V Seminário da Pós-graduação em Engenharia Mecânica · necessita de mais uma equação que descreve como a fonte de ... em que o oscilador exibe movimentos instáveis nas

V Seminário da Pós-graduação em Engenharia Mecânica

ANÁLISE DE UM OSCILADOR NÃO LINEAR ACOPLADO A UM ABSORVEDOR TIPO “SNAP THROUGH TRUSS” (STTA)

Willians Roberto Alves de Godoy Aluno do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica – Unesp – Bauru

Prof. Titular José Manoel Balthazar

Orientador – Depto de Engenharia Mecânica – Unesp – Bauru

RESUMO Nos últimos anos os estudos sobre os absorvedores de energia, com o intuito de

diminuir amplitudes de vibração de alguns sistemas, vêm ganhando importância e destaque. Esse tipo de absorvedor permite fazer o controle passivo do sistema vibratório. Com isso, verificou-se a necessidade da utilização de absorvedores essencialmente não lineares (NES), para que estes pudessem receber energia além de uma pequena faixa de frequência de vibração do oscilador. Em oposição às formas de controle passivo, técnicas de controle ativo também foram desenvolvidas aproveitando o avanço dos sistemas eletromecânicos, já que esse tipo de controle permite maior eficiência na absorção de vibrações mecânicas. Contudo, o gasto energético e o custo desse sistema, além da robustez e estabilidade, fazem com que o controle passivo se torne uma alternativa mais interessante.

Neste trabalho, considera-se o sistema vibratório constituído de um absorvedor snap-through truss (STTA) acoplado a um oscilador sob excitação de um motor elétrico com uma excentricidade e potência limitada, caracterizando um oscilador não ideal (NIO). Busca-se utilizar o absorvedor STTA como NES e estabelecer condições para que as amplitudes de movimento se tornem menores em determinadas condições do sistema principal.

O interesse de estudo nesse caso é caracterizar as condições em que, durante a passagem pela ressonância, podem-se obter amplitudes de movimento menores, atenuando o efeito Sommerfeld. O sucesso neste tipo de problema permite que não haja grande desperdício de energia, fazendo o sistema vibrar. Portanto, o presente trabalho visa determinar as condições em que o sistema principal, ao passar pela ressonância, tenha suas amplitudes de movimento atenuadas e não desperdice energia trabalhando nessa condição.. PALAVRAS-CHAVE: Oscilador não ideal, Efeito Sommerfeld, Absorvedor de vibração. 1 INTRODUÇÃO

No trabalho a seguir, considera-se um sistema de vibração não ideal, que se caracteriza pela interação entre a resposta e a excitação do sistema, onde a resposta influencia a excitação do mesmo, ao contrário dos sistemas ideais. Por esse motivo, esse modelo se aproxima muito mais de situações reais.

No sistema não ideal, além da interação da resposta e a excitação, há também o fato da fonte de excitação possuir alimentação limitada, o que o torna mais complexo e desafiador. Estudos sobre esse tipo de modelo têm aumentado recentemente, pois o sistema ideal já tem comportamento bem conhecido e estudado.


Ao considerar o sistema juntamente com uma fonte de energia limitada, este necessita de mais uma equação que descreve como a fonte de energia alimenta o sistema, o que adiciona mais um grau de liberdade (1-DOF) ao trabalho.

A teoria sobre sistemas não ideais pode ser vista em detalhes em: (Balthazar et al., 2003), (Nayfeh and Mook, 1979), e em muitos outros autores.

Para esse trabalho, utiliza-se um sistema formado por um bloco oscilante e um motor DC com fonte de alimentação limitada, que funciona como fonte de excitação. Essa situação em que o motor e o sistema interagem, caracteriza o comportamento do sistema não ideal. A passagem pela ressonância revela comportamentos interessantes e é onde muitas máquinas reais podem sofrer danos, grande gasto energético e/ou outras consequências, uma vez que o motor transfere grande parte de sua energia à realização de oscilações do sistema, gerando grandes amplitudes de movimento. Dessa forma, emprega-se o motor com modelo de torque linear e se utiliza esse torque como parâmetro de controle, a fim de obter a passagem pela ressonância e controlar a frequência do motor.

O principal fenômeno em sistemas não ideais é o efeito Sommerfeld, em que o oscilador exibe movimentos instáveis nas regiões de ressonância. Um salto pode ser visto na curva de resposta-frequência, revelando as condições onde não há regime permanente. O entendimento desse fenômeno ajudou a identificar o que consideramos um sumidouro de energia, já que a energia empregada para fazer uma máquina operar acaba sendo gasta para fazê-la vibrar.

Assim, a aplicação de absorvedores de vibração se mostra uma alternativa interessante na redução das grandes amplitudes e na economia de energia nas regiões de ressonância que estudamos. Além disso, se trata de um controlador passivo, onde não há gasto energético em sua atuação.

Neste trabalho, emprega-se o “snap-through truss” na absorção das vibrações longitudinais do sistema oscilante não ideal. Nesta situação, a energia de oscilação do sistema principal é transferida ao STTA, que oscila em torno de um ponto de equilíbrio. A análise desse sistema de oscilação livre foi recentemente estudada por (Avramov and Mikhlin, 2004). Depois, o sistema forçado com o STTA acoplado foi estudado por (Avramov and Mikhlin, 2006). Também, em recente trabalho (Avramov and Gendelman, 2009) analisaram a interação entre o STTA e um sistema elástico.

O objetivo deste artigo é entender a interação entre o não ideal oscilador e o STTA, de modo que na passagem pela ressonância as amplitudes de vibração sejam reduzidas e o fenômeno do salto seja atenuado. 2 METODOLOGIA

Nos experimentos numéricos realizados utilizou-se um computador pessoal, os

programas matemáticos MAPLE® 13 e MATLAB® 7.0. Nesse último, foram usadas rotinas de programação como:

• Integrador Adams – Bashforth – Moulton, ODE 113 do MATLAB® para a integração direta das equações de movimento do sistema;

• Rotinas computacionais desenvolvidas para o MATLAB®. Os resultados obtidos ilustram a passagem pela ressonância do oscilador não ideal

(NIO), nos quais a variação do parâmetro de controle, que corresponde à energia fornecida, varia fazendo o motor passar pela condição de ressonância. Através dos gráficos correspondentes a essa passagem pela ressonância, uma comparação do sistema sem o


absorvedor é feita em relação ao sistema com o absorvedor do tipo “snap through truss” (STTA). Para isso, adota-se o modelo matemático abaixo:

O sistema considerado é baseado no trabalho anterior de (Avramov and Mikhlin, 2004) e (Felix and Balthazar), e pode ser descrito pela Fig. 1. Nesse estudo, visa-se mostrar como o acoplamento de uma pequena massa “snap-through truss” pode absorver parte da vibração do sistema não ideal, destacando a passagem pela ressonância e o efeito Sommerfeld.

Figura 1 – Um oscilador não ideal com um absorvedor tipo “snap-through truss”

As equações do movimento que representam o modelo matemático de um oscilador não ideal são mostradas a seguir:

2

1 0

( )( , ) ( sin cos )

U xm x f x x m r

xφ φ φ φ

∂+ + = −

∂& &&&& &

0( ) ( ) cosI L H m rxφ φ φ φ= − −&& & & && (1)

No modelo matemático, temos que x é o deslocamento horizontal do NIO (non-ideal oscillator), 0tm M m= + é a massa total do NIO, ϕ é o ângulo de rotação do eixo do motor DC, r e m0 são a excentricidade e a massa desbalanceada do motor elétrico considerado. I é o momento de inércia do rotor. A função H(φ& ) é o torque resistivo aplicado ao motor, e a

função L(φ& ) é o torque de acionamento do motor.

Ao utilizarmos um modelo de torque linear, consideramos que ( ) ( ) 1 2L H u uφ φ φ− = −& & & , onde

u1 está relacionado à voltagem aplicada ao motor, funcionando como um parâmetro de controle para nosso problema, e u2 é constante para cada tipo de motor considerado.

A parte não linear e não conservativa da força restauradora é dada por ( , )f x x& , ao passo que ( )U x

x

∂

∂representa a força conservativa, onde U(x) é o potencial.

Considerando agora o NIO (non-ideal oscillator) acoplado ao STTA, obtemos as equações do movimento como segue:

22

1 1 1 02 2 2

( cos )2 cos

2 ( sin cos )( sin cos )

l l x lm x k x k x l

l l y x x ym rc x

ϕϕ

ϕ ϕφ φ φ φ

−+ + + − + =

+ − + +−

&& & &&&

0( ) cosI m rxφ φ φ= Γ −&& & &&


2 2 2 2

( sin )2 sin 0

2 ( sin cos )

l l ymy c y k y l

l l y x x y

ϕϕ

ϕ ϕ

++ + + + =

+ − + +

&& &

(2)

onde (x, y, ϕ) são as coordenadas generalizadas do NIO, STTA e do rotor, respectivamente. (m0, M, m) são a massa desbalanceada, massa do NIO e massa do STTA. (k, k1) são a rigidez linear das molas. (c1, c2) são os amortecimentos lineares do NIO e STTA. Por fim, l é o comprimento da mola e φ é o ângulo que define a posição de equilíbrio do STTA.

2.1 Sistema adimensional Utilizando os seguintes parâmetros adimensionais:

(3)

Podemos reescrever as equações do movimento como:

2

1 12 ( ) ( , ) ( sin cos )u u u c K u v uγ η φ φ φ φ α′′ ′ ′′ ′+ + − = − −

2 cosa b uφ φ η φ′′ ′ ′′= − −

22 ( ) ( , )v s v K u v vµγ α′′ ′+ + = − (4)

onde

2 2

1( , ) 1

1 2( )K u v

vs uc u v= −

+ − + +

Definindo novas variáveis, podemos reescrever o sistema vibratório em espaço de estados.

1x u= , 2x u′= , 3x v= , 4x v′= , 5x φ= , 6x φ ′=

1 2x x′ =

2 1 1 1 3

1[ 2 ( ) ( , )x x x c K x xγ′ = − − −

∆2

1 6 5 1 2 1 6 5sin ( )cos ]q x x x q a bx xα+ − − −

3 4x x′ =

4 3 1 3 2 42 ( ) ( , )x s x K x x xµγ α′ = − + −

ntτ ω=

11

1 n

c

mα

ω=

01

1

m r

m lη =

1

1n

k

mω =

'' '( ) a bφ φΓ = −

1

k

kγ =

1m

mµ =

cosc ϕ=

sins ϕ=

1 0m m M= +

02

m rl

Iη =

22

n

c

mα

ω=

12n

ua

Iω=

22

n

ub

Iω=

xu

l=

yv

l=


5 6x x′ = (7)

6 6 2 1 1 1 3

1{( ) [ 2 ( ) ( , )x a bx q x x c K x xγ′ = − − − − −

∆

21 6 5 1 2 5sin ]cos }q x x x xα+ −

2

1 2 51 cos 0q q x∆ = − ≠ (8)

1 3 2 2

3 1 1 3

1( , ) 1

1 2( )K x x

x s x c x x= −

+ − + + (9)

2.2 Pontos de equilíbrio: Agora, em (7) encontramos os pontos de equilíbrio fazendo:

1 2 3 4 5 6 0x x x x x x′ ′ ′ ′ ′ ′= = = = = =

1 1 1 3 1 52 ( ) ( , ) cos 0x x c K x x q a xγ+ − + = (10)

3 1 3( ) ( , ) 0s x K x x+ = (11)

2 1 1 1 3 5[ 2 ( ) ( , )]cos 0a q x x c K x x xγ+ + − = (12)

Se 0∆ ≠ , podemos considerar a = 0. Também assumimos que 5 0x = e obtemos 2 0x = , 4 0x = , 6 0x = . Dessa forma, as equações (10) e (12) tornam-se similares e os pontos de equilíbrio são obtidos a partir de (10) e (11) nos seguintes casos:

a) se x1 = 0, K(x1,x3) = 0: 2

3 32 0x s x+ = First equilibrium point: x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 0, x5 = 0, x6 = 0; Second equilibrium point: x1 = 0, x2 = 0, x3 = -2s, x4 = 0, x5 = 0, x6 = 0;

b) se x3 = - s in (10): 32 ( ) ( , ) 0s s c K s xγ− + − − − =

Third equilibrium point: x1 =2 ( 1)

1 2

cγ

γ

−

+, x2 = 0, x3 = - s, x4 = 0, x5 = 0, x6 = 0;

Fourth equilibrium point: x1 =2 ( 1)

1 2

cγ

γ

+

+, x2 = 0, x3 = - s, x4 = 0, x5 = 0, x6 = 0;

A estabilidade dos pontos de equilíbrio pode ser checada usando a matriz Jacobiana do

sistema (19).


21 22 23 25 26

41 43 2

61 62 63 65 66

0 1 0 0 0 0

0

0 0 0 1 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 1

0

J J J J J

JJ J

J J J J J

α

= −

(13)

Onde:

2 2 3/2

21 1 1 3 1 1 3

1( 1 2 2 ( )( )(1 2( ) ) )J K x c c x x s x c x xγ γ −= − − − − − + + − + +

∆

1

22Jα

= −∆

1 3

23 2 2 3/ 23 1 1 3(1 2

( )(2 )

) )

2

(

x xJ

x s x c

s

x x

cγ−

=+ −

+

+

− −

+

2 1 2

25 1 6 5 1 6 5 1 6 5 1 2 5( cos ( )sin ) ( ( )cos )( sin 2 )J q x x q a bx x g q a bx x q q x− −= + − ∆ − − − ∆

26 1 6 5 1 5

1(2 sin cos )J q x x q b x= +

∆

3 1

41 2 2 3/23 1 1 3

2 ( )( )

(1 2( ) )

s x c xJ

x s x c x x

µγ− + − +=

+ − + +

3 3

43 2 2 3/ 23 1 1 3

2 ( )( )2

(1 2( ) )

s x s xJ K

x s x c x x

µγµγ

+ += − −

+ − + +

2 2 3/2

61 2 5 1 1 3 1 1 3

1( cos ( 1 2 2 ( )( )(1 2( ) ) ))J q x K x c c x x s x c x xγ γ −= − − − − − − + + − + +

∆

1 2 5

62

cosq xJ

α=

∆

2 2 3/2

63 2 5 1 3 3 1 1 3

1( cos ( 2 ( )( )(1 2( ) ) )))J q x x c s x x s x c x xγ −= − − − + + − + +

∆

2 2 1 2

65 2 5 1 2 6 5 6 2 5 1 2 5( sin cos ) ( cos ) sin 2J gq x q q x x a bx fq x q q x− −= − ∆ − − − ∆

( )66 1 2 6 5

1sin2J b q q x x= − −

∆ (14)

Na qual: 2

1 1 1 6 5 1 22 ( ) sing x x c K q x x xγ α= − − − + −

3 RESULTADOS E DISCUSSÃO Antes de iniciar com os resultados do sistema não ideal, exibem-se os autovalores

obtidos para o sistema que utiliza os parâmetros da tabela 1. A determinação dos autovalores permite escolher em torno de qual ponto estável deve-se fazer a simulação numérica.


Tabela 1 – Parâmetros adimensionais do sistema não ideal (Felix e Balthazar, 2009)

Parâmetros Símbolo Valores

Coeficientes de interação η1 , η2 0.05, 0.35

Coeficientes de

amortecimento

α1, α2 0.01, 0.03

Coeficiente de rigidez γ 0.35

Coeficiente de massa µ 100

Ângulo ϕ 0.405

TABELA 3 – autovalores do sistema não ideal para cada condição inicial.

Pon

to d

e eq

uilí

brio

/aut

oval

ores

X01 X02 X04

-0.015142+3.479978i -0.0151441+3.449720i -0.0127141+1.740720i

-0.015142-3.479978i -0.0151441-3.449720i -0.0127141-1.740720i

-1.521155+0.i -1.521288+0.i -1.511467-2.774635.10-

16i

-0.772758e-2+0.606641i -0.765946e-2+0.585608i 1.023547.10-16-7.774143.10-18i

-0.772758e-2-0.606641i -0.765946e-2-0.585608i -3.266547+23.853640i

-7.201329.10-17+0.i -5.414816.10-17+0.i 3.236547-23.853640i

Conforme os critérios de classificação de Lyapunov sobre estabilidade e de acordo

com os pontos de equilíbrio que constam na seção (2), tais pontos podem ser classificados como:

X01 = (0, 0, 0, 0, 0,0) → é um atrator, assintoticamente estável. X02 = (0, 0, -2s, 0, 0,0) → é um atrator, assintoticamente estável.

X04 = (2 ( 1)

1 2

cγ

γ

+

+, 0, -s ,0 ,0 ,0) → sela, instável.

O intuito deste trabalho é realizar os ensaios numéricos em torno de pontos estáveis, o ponto a ser considerado como condição inicial será o ponto X01, pois o absorvedor deve oscilar em torno de um ponto estável, que será um sumidouro de energia e fará com que o mesmo possa dissipar a energia recebida do NIO.

Para o oscilador não ideal (NIO) apresentado na seção 2, determina-se, através da Figura 4 para qual valor do parâmetro de controle (a) ocorre o fenômeno do salto quando o NIO está sem o STTA (ponto preto).


A Figura 2 mostra o fenômeno do salto para o NIO com e sem acoplamento com o STTA. No sistema acoplado, diferentes valores do parâmetro de rigidez (γ) são usados com o objetivo de obter a influência deste sobre o sistema. Nesta figura, adota-se γ = 0.05 (ponto cinza), γ1 = 0.35 (ponto vermelho), γ2 = 0.50 (ponto azul), γ3 = 0.70 (ponto verde), γ4 = 1.0 (ponto magenta). Observando sempre que os demais valores estão contidos na Tabela 1. Para todos os casos estudados nessa seção, adotam-se todas as condições iniciais nulas.

A Figura 2a exibe a máxima amplitude correspondente ao valor médio da velocidade angular do motor (ϕ’). Já a Figura 2b mostra a máxima amplitude para cada valor do parâmetro de controle (a). O valor ∆a = 0.01 refere-se ao passo dado com o parâmetro (a) nas simulações numéricas. A partir da Figura 2 vemos que a máxima amplitude e o salto da frequência do NIO sem acoplamento ocorrem quando (a) está perto de 1.8 e (ϕ’) de 1.0. Também se pode confirmar que quando o NIO tem o STTA acoplado, à medida que o valor de (γ) aumenta, a máxima amplitude do oscilador tende a decrescer para valores de (a) próximos de 1.8, região de salto do NIO. Outro aspecto a ser verificado nessa figura é o efeito que a mudança no valor de (γ) causa nas curvas mostradas. É fácil ver que à medida que aumentamos o valor de (γ) as curvas se deslocam para direita, indicando que o salto ocorre, para valores de (a), acima de 1.8. Para a frequência ou velocidade angular (ϕ’), o mesmo acontece e os valores acabam sendo maiores que 1.0 para o salto.

2a


Figure 2. Efeito Sommerfeld com e �a = 0.01. Para o NIO com STTA

acopaldo: γ = 0.05 (ponto cinza), γ1 = 0.35 (ponto vermelho), γ2 = 0.50 (ponto azul), γ3 = 0.70 (ponto verde), γ4 = 1.0 (ponto magenta). Para o NIO sem acoplamento: ponto preto.

Após determinar onde ocorre o salto, o comportamento do NIO com e sem o STTA é

analisado. Para verificar a reação do NIO na passagem pela ressonância observa-se o deslocamento e a velocidade angular do motor.

O deslocamento do NIO (coluna esquerda) e a velocidade angular do motor (coluna direita) são mostrados na Figura 3 em três situações: (a = 1.4) antes da ressonância, (a = 1.8) na região de ressonância e (a = 2.2) depois da ressonância. Os valores usados são os mesmo da tabela 1.

3a

2b


Figure 3 – Deslocamento do NIO (coluna esquerda) velocidade angular do motor (coluna direita) com acoplamento (linha cinza) e sem acoplamento (linha preta) sendo:

(a) a = 1.4; (b) a = 1.8; (c) a = 2.2.

Na Figura 3, nota-se que antes de entrar na região de ressonância (Figura 3a) e dentro dessa região (Figura 3b), a velocidade angular tende a flutuar muito menos e manter um valor constante quando temos o sistema com o STTA. O comparativo entre os deslocamentos também revela que as oscilações podem ser significativamente diminuídas quando acoplamos ao NIO o absorvedor. Já na saída dessa região de ressonância (Figura 3c), o sistema sem acoplamento oscila menos enquanto o sistema acoplado está em sua própria região de ressonância, com grandes flutuações, como pode ser visto na Figura 2.

Em seguida, a influência do parâmetro de rigidez da mola é observada no deslocamento do NIO (coluna esquerda) e na velocidade angular do motor (coluna direita). Empregando-se diferentes valores para (γ), os históricos no tempo são mostrados quando: (a = 1.4) antes da ressonância (Figura 4a), (a = 1.8) na região de ressonância (Figura 4b) e (a = 2.2) depois da ressonância (Figura 4c). Nestas três figuras, o deslocamento e velocidade angular, correspondentes a cada valor de (γ), são mostrados a cada intervalo de tempo de 700. Os valores adotados são: γ = 0.05, γ1 = 0.35, γ2 = 0.50, γ3 = 0.70, γ4 = 1.0.

3c

3b


Figure 4. Históricos no tempo para γ = 0.05 em 0 ≤ τ ≤ 700, γ = 0.35 em 700 ≤ τ ≤

1400, γ = 0.50 em 1400 ≤ τ ≤ 2100, γ = 0.70 em 2100 ≤ τ ≤ 2800 e γ = 1.0 em 2800 ≤ τ ≤ 3500: Respostas do NIO (preto) e STTA (cinza). a) a = 1.4. b) a = 1.8. c) a = 2.2.

Observando as Figuras 4a e 4b, percebe-se que à medida que o coeficiente de rigidez

aumenta a amplitude de movimento do NIO tende a ser menor. Ao mesmo tempo, a velocidade angular também diminui devido ao aumento da rigidez. Contudo, na Figura 4c, o aumento da rigidez faz com que o deslocamento e a velocidade angular aumentem, e isso se deve ao fato de que com essa variação de (γ) e a = 2.2 o sistema acaba entrando numa região de ressonância, fato que podemos verificar olhando a Figura 2.

4 CONCLUSÕES

O sistema formado pelo oscilador não ideal com STTA acoplado, proposto nesse trabalho, mostrou que esse tipo de controlador passivo é muito efetivo quando aplicado a sistema vibratório. O principal interesse dessa aplicação em sistemas não ideais é a redução

4b

4a

4c


das amplitudes de vibração, especialmente quando a frequência de excitação se aproxima da frequência natural do sistema, o que cria o fenômeno do salto. Portanto, o absorvedor gerou os resultados esperados, reduzindo de forma eficaz as amplitudes desta região.

Em trabalhos futuros, a partir dos parâmetros de massa e rigidez, vamos tentar definir as condições em que ocorre a maior transferência energética do oscilador para o absorvedor - "energia de bombeamento".

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

AVRAMOV, K. V. and GENDELMAN, O. V., ‘Interaction of elastic system with snap-through vibration absorber’, International Journal of Non-Linear Mechanics 44, 2009, 81–89. AVRAMOV, K. V. and MIKHLIN, YU. V., ‘Snap-through truss as a vibration absorber’, Journal of Vibration and Control, 10, 2004, 291–308. AVRAMOV, K. V. and MIKHLIN, Yu. V., ‘Snap-through truss as an absorber of forced oscillations’, Journal of Sound and Vibrations, 2006, 705–722. BALTHAZAR, J.M.; MOOK, D.T.; WEBER, H.I.; BRASIL, R.M.L.R.F.; FENILI, A.; BELATO, D.; FELIX, J.L.P.; 2003, ―An overview on non-ideal vibrationsǁ, Meccanica, Vol. 38, No. 6, 613-621. FELIX and BALTHAZAR, J. M., ‘On a Nonlinear Dynamics of a Non-Ideal Oscillator, with a Snap-Through Truss Absorber (STTA)’, 2009, Annals 20th International Congress of Mechanical Engineering. NAYFEH, A.H. and MOOK, D.T., 1979, Nonlinear Oscillations. Wiley, New York.

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