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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIACENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
BACHARELADO EM CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO
TEOREMA DE TAYLOR: APLICAÇÃO DA FÓRMULADE TAYLOR A EXTREMOS E CONVEXIDADE
Vanlline Pimentel Ressurreição
Cruz das Almas - BANovembro/2014
TEOREMA DE TAYLOR: APLICAÇÃO DA FÓRMULADE TAYLOR A EXTREMOS E CONVEXIDADE
Vanlline Pimentel Ressurreição
Trabalho de conclusão de curso apresentado aocurso de Bacharelado em Ciências Exatas e Tec-nológicas do Centro de Ciências Exatas e Tecno-lógicas da Universidade Federal do Recôncavoda Bahia, como parte dos requisitos para a ob-tenção do título de graduação.
Orientador: Profo Ms.c. Gilberto da Silva Pina
Cruz das Almas - BANovembro/2014
TEOREMA DE TAYLOR: APLICAÇÃO DA FÓRMULADE TAYLOR A EXTREMOS E CONVEXIDADE
Vanlline Pimentel Ressurreição
Trabalho de conclusão de curso apresentado ao curso de Bacharelado em Ciências Exatas eTecnológicas do Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas da Universidade Federal do Recôn-cavo da Bahia, como parte dos requisitos para a obtenção do título de graduação.
Banca Examinadora:
Orientador:____________________________________________________________
Profo Ms.c. Gilberto da Silva Pina - UFRB
Membro:______________________________________________________________
Profo Ms.c. Erikson Alexandre Fonseca dos Santos - UFRB
Membro:______________________________________________________________
Profo Ms.c. Elias Santiago de Assis - UFRB
Cruz das Almas, 27 de Novembro de 2014.
Aos meus pais Vania e Valmir,ao meu irmão Wagner, ao meu namorado Fabricio
e à minha famíliacom muito amor e carinho.
"Felizes aqueles que se divertem com problemasque educam a alma e elevam o espírito."
Fenelon
AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente a Deus por ter me dado saúde e força para superar as dificuldadese por ter iluminado o meu caminho nesta caminhada.
Agradeço à minha mãe Vania, meu porto seguro, companheira de todos os momentos efonte inesgotável de estímulo, apoio e compreensão. Agradeço pela determinação e luta paraque este momento pudesse se concretizar. Muitas vezes deixava de satisfazer as suas vontadespara satisfazer às minhas. Muito obrigado mãe, amo muito você!
Agradeço ao meu pai Valmir, que no decorrer desta trajetória se fez ausente. Meu maior de-sejo é que pudesses estar vivenciando este grande momento da minha vida, mas estás presente,agora, na minha lembrança e no amor que sinto por ti, o qual nunca morrerá. Penso no quãofeliz estarias neste momento e sinto como se me abraçasses, como se dissesses o orgulho quesentes de mim, encorajando-me a caminhar sempre adiante. A ti, o eterno, sincero e inabalávelamor que me motivou a continuar sem tua saudosa presença.
Agradeço ao meu irmão Wagner, pelo amor e carinho, pois foste e sempre será meu espelhoe meu exemplo de pessoa.
Agradeço a Fabricio, meu namorado, pelo carinho, pela atenção, pelo ombro amigo nosmomentos difíceis, pela paciência, pois muitas vezes suportou minha chatice sem ter culpa denada. Te agradeço pelo amor incondicional, pois esse é o meu alicerce ao qual me permite lutar.Te agradeço pela admiração, pela disposição em ajudar e pela generosidade, pois está sempredisposto a ajudar no que for necessário, sendo capaz de abrir mão de algumas coisas para meajudar.
Agradeço à minha família e amigos pelo amor, incentivo e pelo contínuo apoio durante esteperíodo, bem como fora dele.
Agradeço ao meu orientador, professor Gilberto Pina, pelo suporte no pouco tempo quelhe coube, pelas suas correções e incentivos, pelas conversas e dicas, por toda a dedicação edisponibilidade.
Agradeço a banca examinadora que humildemente aceitou o meu convite.
Agradeço aos professores e servidores do Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas da Uni-versidade Federal do Recôncavo da Bahia, particularmente aos professores da Área de Mate-mática e Estatística pela inestimável colaboração à minha formação acadêmica e pessoal, so-bretudo, aos professores Erikson Alexandre, Eleazar Madriz e Alex Santana, por toda a expe-riência e conhecimento compartilhados e/ou instigados tão necessários e tão válidos, e pelasvaliosas conversas, pelo imenso apoio, do qual me faltam palavras que possam expressar ta-manha gratidão.
Enfim, a todos os que, de alguma maneira, contribuíram para a conclusão de mais esta faseem minha vida, os meus sinceros agradecimentos.
Vanlline Pimentel
6
RESUMO
N este trabalho estudaremos o Teorema de Taylor, bem como a aplicação da Fórmula deTaylor a extremos e convexidades.
Dada uma função real a valores reais f , derivável até ordem n numa vizinhança de umponto a pertencente ao seu domínio, o polinômio de Taylor de ordem n de f em a é definidocomo sendo a (única) função polinomial de grau menor ou igual a n que tem "contato atéordem n" com f em a, isto é, que coincide com f em a e cujas derivadas de ordens menores ouiguais a n coincidem com as de f em a.
Pn(x) = f (a) + f ′(a)(x − a) +f ”(a)
2!(x − a)2 + ... +
f n(a)
n!(x − a)n.
Neste trabalho, estudaremos que um tal polinômio Pn(x) existe e é único, e que, num sen-tido a ser precisado, é o polinômio de grau menor ou igual a n que melhor aproxima f numavizinhança de a. Os principais resultados a serem apresentados são os teoremas relativos àsfórmulas de Taylor com resto de Lagrange e com resto infinitesimal. Ademais, mostraremosa aplicabilidade de tal teorema na Matemática, como a busca de extremos e convexidade defunções.
Palavras-chave: Séries, Séries de Potências, Teorema de Taylor.
ABSTRACT
I n this work study Taylor ’s theorem, and the application of Taylor Formula, and the appli-cation and convexities.Given a real function of the real values f , differentiable up to order n in a point a belonging
to your domain neighborhood, the Taylor polynomial of order n of f in a is defined as with an( unique ) polynomial function of degree less than or equal to n which has "contact order to n”with f on a, that is, that matches f in a, and whose derivatives of orders less than or equal to ncoincide with those of f a.
Pn(x) = f (a) + f ′(a)(x − a) +f ”(a)
2!(x − a)2 + ... +
f n(a)
n!(x − a)n.
In this paper, we study such a polynomial Pn(x) exists and is unique, and that in a sense tobe specified, is the polynomial of degree less than or equal to n that best approximates f in aneighborhood from a. The main results to be presented are the theorems relating to the Taylorformula with remainder in Lagrange and infinitesimal rest. Furthermore, we show the applica-bility of such a theorem in Mathematics, as the search for extreme and convexity of functions.
Keywords: Series, Series of Power, Taylor ’s Theorem.
SUMÁRIO
Introdução 11
1 Séries Numéricas 131.1 Séries Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2 Critérios de convergência e divergência para séries de termos positivos . . . . . . 19
1.2.1 Critério de Comparação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.2 Série absolutamente convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.3 Teste de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.4 Teste da razão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.2.5 Teste da raiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Séries de Potências 242.1 Séries de Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.1 Convergência das Séries de Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.2 Raio de Convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Funções dada como Série de Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.1 Diferenciação e Integração de Séries de Potência . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Séries de Taylor 363.1 Série de Taylor e Funções Analíticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2 Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.1 Teorema de Taylor com Resto de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.2 Teorema de Taylor com Resto da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2.3 Teorema de Taylor com Resto de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.2.4 Teorema de Taylor com Resto Infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Expansão em Série de Taylor para Funções de Duas Variáveis . . . . . . . . . . . 483.3.1 Expansão em Série de Taylor de 2a Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
9
3.3.2 Expansão em Série de Taylor de n-ésima Ordem . . . . . . . . . . . . . . . 513.4 Expansão em Série de Taylor para Funções de Várias Variáveis . . . . . . . . . . . 53
4 Aplicações 56
Conclusão 60
Referências Bibliográficas 61
INTRODUÇÃO
E sta monografia tem como objetivo principal estudar as Séries de Taylor e os seus principais
resultados de maneira a demonstrar o Teorema de Taylor, assim chamadas em homena-
gem a seu criador, o inglês Brook Taylor (1685 - 1731).
Brook Taylor, foi um matemático britânico inventivo e produtivo, conhecido pelo nome
das famosas Séries de Taylor. Foi encorajado a desenvolver seu talento musical e artístico e
entrou para o St John’s College, Cambridge (1703), onde passou a gostar de matemática. Já
matemático conceituado publicou seu livro de cálculo, Methodus incrementorum (1715), em
que apresentou sua famosa série, base do cálculo diferencial, e seu livro sobre geometria, Linear
perspectiva, no mesmo ano. Apesar do nome, não foi ele que inventou as séries de Taylor, os
estudos já tinham sido antecedidos por James Gregory.
Consideramos que a realização deste trabalho é bastante oportuna e de suma importância,
por se tratar do desenvolvimento de funções em séries de Taylor que são ferramentas frequen-
temente utilizadas em áreas como Cálculo e Análise Numérica.
Expressar funções como a soma de termos infinitos é uma estratégia muito útil. Utilizare-
mos no trabalho esta técnica para aproximar funções ao redor de um ponto, bem como, encon-
trar seus pontos de máximos e mínimos.
No primeiro capítulo trataremos da definição de série numérica, de critérios de conver-
gência destas séries, incluindo demonstrações e alguns exemplos. Definiremos série absolu-
tamente convergente e analisaremos a consequência deste conceito na análise da natureza de
séries de termos reais.
No segundo capítulo, a discussão se dará em torno das séries de potências. Estudaremos o
11
comportamento de funções representadas como série de potências e para isso será necessário
estudar o raio de convergência para que tais séries existam.
Com a finalidade de entrar no tema principal estes serão os tópicos abordados nas primeiras
seções, assim como alguns teoremas que são fundamentais para o desenvolvimento em série
de Taylor. As estruturas destes capítulos estarão baseados, principalmente, nas referências
[2] e [5]. Aqui podem ser encontrados os resultados citados, ao longo do texto, sem as suas
respectivas demonstrações.
No capítulo subsequente, começaremos a introduzir os conceitos de expansão em série de
Taylor para funções de uma ou mais variáveis. Este capítulo será dedicado também à repre-
sentação de uma função através da soma parcial da sua série de Taylor (polinômio de Taylor)
acrescidos de um resto e do qual enunciaremos um resultado importante, a Fórmula de Taylor.
Além disso, como consequência, veremos algumas "formas"de restos que são encontrados na
Fórmula de Taylor.
Por fim, no último capítulo, mostraremos algumas aplicações, na Matemática, da expansão
em série de Taylor: a extremos e convexidade.
Se no ponto x = a, f ′(a) = 0 e f ′′(a) = 0, a função pode ter ou um máximo ou um mínimo
neste ponto, mas pode igualmente não ter extremo. Em casos semelhantes recomendamos de-
terminar os extremos estudando o comportamento da derivada primeira à esquerda e à direita
do ponto crítico x = a. Vamos mostrar como esta questão pode ser resolvida através de um
teorema sobre o polinômio de Taylor.
A orientação da convexidade é uma característica importante da forma da curva. Determi-
naremos os critérios que permitem definir a orientação da convexidade da curva representativa
da função y = f (x) em diversos intervalos. Enfim, concluiremos com alguns exemplos.
12
CAPÍTULO 1
SÉRIES NUMÉRICAS
U ma parte importante do estudo do Cálculo aborda a representação de função como so-
mas s de infinitas parcelas. Realizar esta operação requer um conhecimento familiar da
adição de um conjunto finito de números. Nesta seção definiremos somas de infinitas parcelas
através de limites e critérios de convergência para estas operações, uma vez que, nem todas
as somas poderão ser efetuadas, já que nem toda sequência possuI limite. Detalhes adicionais
acerca dos temas tratados podem ser encontrados em [3] e [5].
1.1 Séries Numéricas
Seja (an)n∈N uma sequência. Vamos formar uma nova sequência (sn) adicionando os su-
cessivos elementos de (an)n∈N :
s1 = a1
s2 = a1 + a2
s3 = a1 + a2 + a3...
sn = a1 + a2 + ... + an =n
∑k=1
ak
s∞ =+∞
∑k=1
ak
13
Definição 1.1. Se (an)n∈N for uma sequência, chamamos a sequência (sn)n∈N de série infinita, ou
apenas série, e a denotamos por+∞
∑n=1
an, ou simplesmente ∑ an.
O termo geral da série (sn)n∈N é denotado por sn =n
∑k=1
ak, o qual é chamado de soma parcial da
série.
Definição 1.2. Se a sequência (sn) for convergente, com limn→+∞
sn = s, dizemos que∞
∑n=1
an é conver-
gente e ainda∞
∑n=1
an = limn→+∞
sn = s. Algumas vezes escreveremos∞
∑n=1
an < +∞ para expressar a
convergência da série.
Caso contrário, dizemos que∞
∑n=1
an é divergente .
Exemplo 1.1. A série+∞
∑n=1
1n(n + 1)
é convergente, pois
1n(n + 1)
=1n− 1
n + 1,
e a soma parcial desta série é dada por
sn =1
1 · 2+
12 · 3
+ ... +1
n(n + 1)=
(1 − 1
2
)+
(12− 1
3
)+ ... +
(1n− 1
n + 1
)= 1 − 1
n + 1.
Logo,+∞
∑n=1
1n(n + 1)
= limn→+∞
sn = 1.
Portanto, a série+∞
∑n=1
1n(n + 1)
é convergente e sua soma é 1.
Exemplo 1.2. Considere a série Série Geométrica+∞
∑n=1
arn−1. A série geométrica converge se |r| < 1 e
sua soma é+∞
∑n=1
arn−1 =a
1 − re diverge se |r| ≥ 1.
De fato, se r = 1, então limn→+∞
sn = limn→+∞
n
∑k=1
a(1)n−1.
• limn→+∞
n
∑k=1
a = limn→+∞
an = +∞, logo+∞
∑n=1
a(1)n−1 é divergente.
14
Supondo r 6= 1, temos
sn =n
∑k=1
ark−1 = a + ar + ar2 + ... + arn−1
e
rsn = ar + ar2 + ar3... + arn−1 + arn.
Subtraindo membro a membro as equações anteriores, obtemos:
sn − rsn = a − arn
sn(1 − r) = a − arn ⇒ sn =a(1 − rn)
1 − r.
Se −1 < r < 1, sabemos que rn → 0, quando n → ∞; assim
• limn→+∞
sn = limn→+∞
a(1 − rn)
1 − r=
a
1 − r, desde que |r| < 1.
Logo, a série é convergente e,+∞
∑n=1
arn−1 =a
1 − r, desde que |r| < 1.
Se r ≤ −1 ou r > 1, a sequência {rn} é divergente, daí
• limn→+∞
sn = limn→+∞
a(1 − rn)
1 − r= +∞, desde que |r| > 1.
Portanto,+∞
∑n=1
arn−1 é divergente quando |r| ≥ 1.
Teorema 1.1. Se∞
∑n=1
an é uma série convergente, então limn→+∞
an = 0.
Demonstração.
Por hipótese,∞
∑n=1
an é convergente, isto é, limn→+∞
sn = limn→+∞
n
∑k=1
ak = s. Além disso, limn→+∞
sn−1 =
limn→+∞
sn.
Como an = sn − sn−1, então
limn→+∞
an = limn→+∞
(sn − sn−1) = limn→+∞
sn − limn→+∞
sn−1 = s − s = 0.
�
O teste da divergência enunciado abaixo vem do teorema (1.1), porque, se a série não for
divergente, ela é convergente e limn→+∞
an = 0.
15
Corolário 1.1. Se limn→+∞
an não existir ou se limn→+∞
an 6= 0, então∞
∑n=1
an é divergente.
Exemplo 1.3. A Série Harmônica∞
∑n=1
1n
é o contra exemplo mais famoso do teorema 1.1.
De fato, considerando∞
∑n=1
1n= 1 +
12+
13+
14+ · · · e sn =
∞
∑k=1
1k
a sequência das somas parciais,
vamos mostrar que (sn)n∈N possui uma subsequência divergente.
s1 = 1
s2 = 1 +12
s4 = 1 +12+
(13+
14
)> 1 +
12+
(14+
14
)= 1 +
22
s8 = 1 +12+
(13+
14
)+
(15+
16+
17+
18
)> 1 +
12+
(14+
14
)+
(18+
18+
18+
18
)
= 1 +32
s16 = 1 +12+
(13+
14
)+
(15+
16+
17+
18
)+
(19+ ... +
116
)
> 1 +12+
(14+
14
)+
(18+
18+
18+
18
)+
(1
16+ ... +
116
)= 1 +
12+
12+
12+
12
= 1 +42
s32 > 1 +52
...
s2n > 1 +n
2, n > 1
Logo, a subsequência s2n → +∞, pois limn→+∞
1 +n
2= +∞.
Portanto, a sequência das somas parciais (sn)n∈N é divergente, e dessa forma∞
∑n=1
1n
é divergente.
Observação 1.1. A recíproca do teorema (1.1) não é verdadeira.
Teorema 1.2. Se∞
∑n=1
an e∞
∑n=1
bn são convergentes e c ∈ R, então∞
∑n=1
[an + bn] e∞
∑n=1
can são conver-
gentes. Além disso,
16
(1)∞
∑n=1
[an + bn] =∞
∑n=1
an +∞
∑n=1
bn
(2)∞
∑n=1
[an − bn] =∞
∑n=1
an −∞
∑n=1
bn
(3)∞
∑n=1
can = c∞
∑n=1
an
Demonstração.
(1) Sejam sn =n
∑k=1
ak , s =∞
∑n=1
an, tn =n
∑k=1
bk e t =∞
∑n=1
bn. Então
limn→+∞
n
∑k=1
[ak + bk] = limn→+∞
(n
∑k=1
ak +n
∑k=1
bk
)= lim
n→+∞
n
∑k=1
ak + limn→+∞
n
∑k=1
bk =
= limn→+∞
sn + limn→+∞
tn = s + t.
Portanto,∞
∑n=1
[an + bn] é convergente e sua soma é∞
∑n=1
[an + bn] = s + t =∞
∑n=1
an +∞
∑n=1
bn.
(2) Sejam sn =n
∑k=1
ak , s =∞
∑n=1
an, tn =n
∑k=1
bk e t =∞
∑n=1
bn. Então
limn→+∞
n
∑k=1
[ak − bk] = limn→+∞
(n
∑k=1
ak −n
∑k=1
bk
)= lim
n→+∞
n
∑k=1
ak − limn→+∞
n
∑k=1
bk =
= limn→+∞
sn − limn→+∞
tn = s − t.
Portanto,∞
∑n=1
[an − bn] é convergente e sua subtração é∞
∑n=1
[an − bn] = s − t =∞
∑n=1
an −∞
∑n=1
bn.
(3) limn→+∞
n
∑k=1
cak = c limn→+∞
n
∑k=1
ak = c limn→+∞
sn = cs = c∞
∑n=1
an.
�
17
Exemplo 1.4. A série+∞
∑n=1
[3
n(n + 1)+
12n
]é convergente, pois a série dada por
∞
∑n=1
12n
é uma série
geométrica com a =12
e r =12
, assim
+∞
∑n=1
12n
=
12
1 − 12
= 1.
No exemplo (1.1) encontramos que
+∞
∑n=1
1n(n + 1)
= 1.
Daí, pelo Teorema (1.2), a série dada é convergente e tem por soma
+∞
∑n=1
[3
n(n + 1)+
12n
]= 3 ·
+∞
∑n=1
1n(n + 1)
++∞
∑n=1
12n
= 3 · 1 + 1 = 4.
Teorema 1.3. Seja M ∈ N fixado. Então a série∞
∑n=1
an é convergente se∞
∑n=M+1
an é convergente.
Ademias,∞
∑n=1
an =M
∑n=1
an +∞
∑n=M+1
an.
Demonstração.
Para M + 1 ≥ 1 e k ≥ M + 1,k
∑n=1
an =M
∑n=1
an +k
∑n=M+1
an.
Fixado M + 1,
limk→+∞
k
∑n=1
an =M
∑n=1
an + limk→+∞
k
∑n=M+1
an,
pois, para M+1 fixo,M
∑n=1
an é uma constante. Daí
∞
∑n=1
an =M
∑n=1
an +∞
∑n=M+1
an
desde que uma das séries∞
∑n=1
an = 0 ou∞
∑n=M+1
an seja convergente.
�
18
1.2 Critérios de convergência e divergência para séries de ter-
mos positivos
1.2.1 Critério de Comparação
No critério da comparação, a ideia é comparar uma série dada com uma que é sabidamente
convergente ou divergente.
(Critério de Comparação) Sejam ∑ an e ∑ bn séries cujos termos gerais são não-negativos
com an ≤ bn, para n suficientemente grande, então
(1) Se ∑ bn é convergente, então ∑ an é convergente.
(2) Se ∑ an é divergente, então ∑ bn é divergente.
Demonstração.
Sejam sn =n
∑k=0
ak e tn =n
∑k=0
bk as sequências das somas parciais de ∑ an e ∑ bn, respectiva-
mente.
(1) Se ∑ bn convergir, sn ≤ tn ≤ limn→∞
tn = t < ∞ de modo que sn é uma sequência crescente
limitada superiormente 1 por tn. Logo converge. Além disso, sn ≤ tn ⇒ limn→∞
sn ≤ limn→∞
tn
e consequentemente∞
∑k=0
ak ≤∞
∑k=0
bk.
(2) Se ∑ an divergir, tem-se que limn→∞
sn = ∞ e logo, ∞ = limn→∞
sn ≤ limn→∞
tn de modo que
∑ bn = ∞.
�
Exemplo 1.5. Vamos estudar a natureza da série ∑1
np segundo os valores de p.
• 1◦CASO : Seja 0 < p ≤ 1.
Se p = 1, temos que ∑1
np = ∑1n
é a série harmônica e é divergente.
Se 0 < p < 1, então a série ∑1
np é divergente, pois np< n ⇔ 1
np >1n
. Como a série ∑1n
diverge, então pelo critério de comparação ∑1
np é divergente.
1Uma sequência an é dita ser limitada superiormente se existir um número real β tal que, para todo númeronatural n, temos an ≤ β
19
• 2◦CASO: se p > 1.
Sejam
∑k=1
(1k
)p
= sm. Considere m < 2n − 1, para algum n ∈ N. Então,
sm =m
∑k=1
1kp ≤ 1 +
(12p +
13p
)+
(14p +
15p +
16p +
17p
)+ · · ·+
[1
(2n−1)p+ · · ·+ 1
(2n − 1)p
]
< 1 +22p +
44p + · · ·+ 2n−1
2(n−1)p=
n−1
∑i=0
(22p
)i
Como a série ∑
(22p
)n
é uma série geométrica com 0 <
(22p
)< 1, então ∑
(22p
)n
é conver-
gente para algum c ∈ R, então (sm) ≤ c.
Assim (sm) é limitada e monótona decrescente. Logo (sm) é convergente e, portanto, ∑1
np é conver-
gente. �
Teorema 1.4. (Critério de Leibniz) Se (an) é uma sequência monótona decrescente, com an > 0, ∀n ∈ N, que tende para zero, então a série alternada 2∑(−1)n+1an é convergente.
Demonstração.
Seja sn =n
∑k=1
(−1)k+1ak = a1 − a2 + a3 − · · · (−1)n+1an.
Observemos:
s2n = a1 − a2 + · · · − a2n−2 + a2n−1 − a2n
s2n > a1 − a2 + · · · − a2n−2 = s2n−2.
Ainda temos que
s2n+1 = a1 − a2 + · · ·+ a2n−1 − a2n + a2n+1
s2n+1 < a1 − a2 + · · ·+ a2n−1 = s2n−1.
Assim,
s2n = a1 − a2 + · · ·+ a2n−1 − a2n < s2n−1,
2Dizemos que uma série é alternada quando os sinais de seus termos são alternados, isto é, positivos e negati-vos.
20
ou seja,
s2 < s4 < · · · < s2n < s2n−1 < · · · < s3 < s1∀ n ∈ N.
Portanto, as sequências (s2n) e (s2n−1) são monótonas e limitadas, logo são convergentes.
Além disso,
limn→+∞
(s2n)− limn→+∞
(s2n−1) = limn→+∞
(s2n − s2n−1) = limn→+∞
(−a2n) = 0.
Então,
limn→+∞
(s2n) = limn→+∞
(s2n−1) = L.
Como (s2n) e (s2n−1) convergem para o mesmo limite L, então (sn) converge para L. Con-
cluímos que ∑(−1)n+1an é convergente.
�
1.2.2 Série absolutamente convergente
Definição 1.3. Uma série ∑ an diz-se absolutamente convergente quando ∑ |an| é convergente.
Teorema 1.5. Toda série absolutamente convergente é convergente, ou seja, se ∑ |an| → |s|, então ∑ an
é convergente.
Demonstração.
Tomemos três séries ∑ an, ∑ |an| e ∑[an + |an|] com sequências de somas parcias (sn), (tn) e
(rn) respectivamente. Para todo n natural temos an + |an| = 0 ou an + |an| = 2|an|, gerando a
desigualdade
0 ≤ an + |an| ≤ 2|an| (1.1)
Observe que isto implica que (rn) é crescente dado que 0 ≤ an + |an|.Como ∑ |an| é convergente, ela tem uma soma que denotaremos por S. A sequência (tn) é
crescente com termos positivos e assim, tn ≤ S para todo n natural.
De (1.1) temos 0 ≤ rn ≤ 2tn ≤ 2S. Assim, temos que a sequência crescente (rn) tem 2S como
limitante superior e pelo critério da comparação ∑[an + |an|] é convergente e denotaremos sua
soma de R.
Como em (1.1), (rn) é uma sequência crescente podemos concluir que R ≤ 2S.
21
Cada uma das séries ∑ |an| e ∑[an + |an|] é convergente então pelo critério de comparação
concluímos que ∑[an + |an|]− ∑ |an| = ∑ an é convergente.
�
1.2.3 Teste de d’Alembert
Seja ∑ an uma série de termos não nulos. Então:
(1) Se existem c ∈ (0, 1) e n0 ∈ N tais que∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ < c < 1, ∀n > n0, então ∑ an é absoluta-
mente convergente.
(2) Se existem c > 1 e n0 ∈ N tais que∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ > c, ∀ n > n0, então ∑ an é divergente.
Demonstração.
(1) Suponhamos que existem um c ∈ (0, 1) e n0 ∈ N tais que∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ < c, ∀ n > n0. Como
0 < c < 1, temos que∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ < c =cn+1
cn. Logo,
|an+1|cn+1 <
|an|cn
, ∀ n > n0.
Isto é, a sequência( |an|
cn
)é decrescente.
Ainda temos que( |an|
cn
)é uma sequência limitada inferiormente por zero, pois c ∈ (0, 1)
e limitada superiormente por m = max{ |a1|
c1 + · · ·+ |an0 |cn0
}.
Além disso, como c ∈ (0, 1) temos que ∑ cn é convergente.
Portanto, pelo teorema (??), ∑ |an| é convergente. Então, ∑ an é absolutamente conver-
gente.
(2) Consideremos que c > 1 tal que∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ > c > 1 ⇔ |an+1| > c|an|, ∀ n > n0.
Isto é, |an+1| > c|an| > |an| > · · · > |an0 | > 0 pois an 6= 0, ∀ n ∈ N.
Logo, limn→+∞
an+1 6= 0, e portanto, pelo teste da divergência a série ∑ an é divergente.
�
22
1.2.4 Teste da razão
Sejam ∑ an uma série de termos não nulos e ∑ bn uma série convergente com bn > 0 para
todo n ∈ N. Se existe n0 ∈ N tal que|an+1||an|
≤ bn+1
bnpara todo número natural n > n0 então
∑ an é (absolutamente) convergente.
Demonstração.
Como ∑ bn é uma série convergente, com bn > 0 para todo n ∈ N. Então, vai existir um
k > 0 e um no ∈ N tais que |an| ≤ kbn para todo n > n0, então a série ∑ an será absolutamente
convergente.
Assim, dado arbitrariamente n > n0, multipliquemos membro a membro as desigualdades
|an0+2||an0+1|
≤ |bn0+2||bn0+1|
,|an0+3||an0+2|
≤ |bn0+3||bn0+2|
, · · · ,|an||an−1|
≤ |bn||bn−1|
.
Obteremos|an||an−1|
≤ |bn||bn−1|
, ou seja, |an| ≤ kbn, onde k =|an0+1|bn0+1
. Segue-se que a série ∑ an
é absolutamente convergente.
�
1.2.5 Teste da raiz
Seja ∑ an uma série de termos não negativos.
(1) Se existe 0 < c < 1 e n0 ∈ N tal que n√|an| ≤ c, ∀ n > n0, então ∑ an é absolutamente
convergente.
(2) Se c > 1 e n√|an| > c, então ∑ an é divergente.
Demonstração.
(1) Se n√|an| ≤ c, ∀ n > n0 então |an| ≤ cn
< 1 ∀ n ≥ n0. A série ∑ cn é convergente por ser
uma série geométrica de razão cn, com 0 < c < 1. Portanto a série ∑ an é absolutamente
convergente.
(2) Temos que |an| > cn e c > 1, ∀ n > n0. Então, pelo teste da comparação, a série ∑ |an| é
divergente.
�
23
CAPÍTULO 2
SÉRIES DE POTÊNCIAS
E m determinados momentos é indispensável representar funções por séries, mais especifi-
camente séries de potências. Neste capítulo, abordaremos brevemente, conceitos e resul-
tados básicos que se fazem necessários para que os capítulos seguintes sejam melhores com-
preendidos e a sua leitura torne-se mais clara. Serão apresentadas definições e teoremas de
séries de potências, suas principais propriedades, e, além disso, verificaremos que uma classe
restrita de funções são representadas através das mesmas.
2.1 Séries de Potências
Definição 2.1. Uma série de potências centrada em a é definida por:
∞
∑n=0
cn(x − a)n = c0 + c1(x − a) + c2(x − a)2 + ... + cn(x − a)n + ...
com c′ns constantes e n ≥ 0.
Observação 2.1. Quando a = 0 tem-se que a série de potências é uma série geométrica, isto é,
∞
∑n=0
cnxn = c0 + c1x + c2x2 + ... + cnxn + ... .
De certo modo, uma série de potências trata-se de uma série de polinômios com infinitos
termos. Veremos que funções definidas como séries de potências compartilham muitas propri-
edades semelhantes as dos polinômios.
24
2.1.1 Convergência das Séries de Potências
Sabemos que∞
∑n=0
cnxn é convergente se |x| < 1 e divergente se |x| > 1.
Observação 2.2.
(1) Uma série de potências pode convergir para alguns valores de x e divergir para outros valores de x;
(2) Se∞
∑n=0
cnxn é convergente, então
f (x) = c0 + c1x + c2x2 + ... + cnxn + ...
cujo domínio é o conjunto de todos os valores de x para os quais a série é convergente.
Teorema 2.1. Seja a série de potências∞
∑n=0
cnxn convergente para x = x1, com x1 6= 0. Então,∞
∑n=0
cnxn
é absolutamente convergente para todos os valores de x para os quais |x| < |x1|.
Demonstração.
Se∞
∑n=0
cnxn1 é convergente, então lim
n→+∞cn(x1)
n = 0. Daí, quando tomamos ε = 1, encontra-
mos um número inteiro N > 0 tal que se n ≥ N temos |cn(x1)n| < 1.
Agora, se x é qualquer número tal que |x| < |x1|, e se n ≥ N, então
|cn(x)n| =
∣∣∣∣cn(x1)n xn
(x1)n
∣∣∣∣ = |cn(x1)n|∣∣∣∣
x
x1
∣∣∣∣n
|cn(x)n| =
∣∣∣∣x
x1
∣∣∣∣n
.
A série∞
∑n=0
∣∣∣∣x
x1
∣∣∣∣n
é convergente, pois é uma série geométrica com r =
∣∣∣∣x
x1
∣∣∣∣ < 1. Vamos
comparar a série dada, onde |x| < |x1|, com a série∞
∑n=0
∣∣∣∣x
x1
∣∣∣∣n
.
Usando o teste de comparação,∞
∑n=0
cnxn é convergente para |x| < |x1|. Portanto, a série de
potências dada é absolutamente convergente para todos os valores de x para os quais |x| < |x1|.�
25
Corolário 2.1. Se a série de potências∞
∑n=0
cnxn divergente para x = x2, então ela é divergente para
todos os valores de x para os quais |x| > |x2|.
Demonstração.
Suponhamos, por contradição, que a série de potências dada seja convergente para alguns
números de x para os quais |x| > |x2|. Então, pelo Teorema (2.1), a série deve convergir quando
x = x2. Contudo, isto contradiz a hipótese. Portanto, a série de potências dada é convergente
para todos os valores de x para os quais |x| > |x2|.
Exemplo 2.1. A série∞
∑n=0
n!xn é convergente para x = 0 e divergente para os demais casos.
Vamos usar o teste da razão para determinar os valores de x tais que∞
∑n=0
n!xn< +∞.
Temos que
limn→+∞
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = limn→+∞
∣∣∣∣(n + 1)!xn+1
n!xn
∣∣∣∣ = limn→+∞
∣∣∣∣(n + 1)n!(xnx)
n!|xn|
∣∣∣∣ = limn→+∞
(n + 1)|x| = ∞.
Logo,∞
∑n=0
n!xn é divergente se x 6= 0 e é convergente se x = 0.
2.1.2 Raio de Convergência
Teorema 2.2. Para uma dada série de potência∞
∑n=0
cnxn existem apenas três possibilidades:
(1) A série converge apenas quando x = 0.
(2) A série converge para todo x ∈ R.
(3) Existe um número R tal que a série é absolutamente convergente para todos os valores de x tais
que |x| < R e é divergente para todos os valores de x tais que |x| > R.
Demonstração.
Inicialmente se x for 0 na série de potências dada, ou seja c0 + 0 + 0 + ..., vemos que ela é
convergente. Portanto, toda série de potências da forma∞
∑n=0
cnxn é convergente quando x = 0.
Este é o único valor de x para o qual a série é convergente, então o item (1) esta demonstrado.
26
Agora suponhamos que a série dada é convergente para x = x1, onde x1 6= 0. Então, pelo
Teorema (2.1), a série é absolutamente convergente para todos os valores reais de x tais que
|x| < |x1|. Caso não exista nenhum valor de x para o qual a série dada seja divergente, então a
série é absolutamente convergente para todos os valores de x. Isto prova o item (2).
Por fim, se a série é convergente para x = x1, onde x1 6= 0 e é divergente para x = x2,
onde |x2| > |x1|, pelo Corolário (2.1), a série é divergente para todos os valores de x tais que
|x| > |x2|. Em consequência, |x2| é uma cota superior 1 do conjunto dos valores de |x| para
os quais a série é absolutamente convergente. Portanto, este conjunto de números tem, uma
mínima cota superior, que é o número R do item (3), demonstrando assim a última afirmação.
�
Observação 2.3. Se em vez da série∞
∑n=0
cnxn, tivéssemos
∞
∑n=0
cn(x − a)n,
bastaria fazer uma mudança de variáveis, por exemplo x − a = y. Então os itens (1) e (3), do Teorema
(2.2), devem ser substituído por y. E os itens se transformam em:
(1) A série converge apenas quando x = a.
(3) Existe um R > 0 tal que quando |x − a| < R a série é convergente e |x − a| > R a série é
divergente.
O número R que aparece no teorema acima é chamado raio de convergência da série de
potências. Se o raio de convergência R = 0, temos o caso (1) e R = +∞, então obtemos o caso
(2).
Se R > 0, o conjunto de todos os pontos de x para os quais a série de potências é convergente
se chama intervalo de convergência da série de potências.
O raio de convergência da série+∞
∑n=0
cnxn, onde cn 6= 0 para todo n ≥ p, com um p natural
fixado, é dado pela fórmula
R = limn→+∞
∣∣∣∣cn
cn+1
∣∣∣∣
desde que o limite exista, finito ou infinito.
1Seja A ⊆ R. Dizemos que b ∈ R é uma cota superior para A se ∀ s ∈ A : s ≤ b
27
Exemplo 2.2. Queremos encontrar o domínio da função f dada por f (x) =∞
∑n=0
nnxn.
f (x) =+∞
∑n=0
nnxn é uma série de potências com an = nn. Determinemos o seu raio de convergência.
R = limn→+∞
∣∣∣∣an
an+1
∣∣∣∣ = limn→+∞
nn
(n + 1)n+1 .
Comonn
(n + 1)n+1 =1(
1 +1n
)n · 1n + 1
resulta
R = limn→+∞
1(1 +
1n
)n · 1n + 1
=1e· 0 = 0.
Portanto, a série converge apenas para x = 0. Logo o domínio de f é {0}. Tal função só está definida
para x = 0.
Exemplo 2.3. Seja a série+∞
∑n=0
(−3)nxn
√n + 1
.
Sendo an =(−3)nxn
√n + 1
, usando o teste da razão, temos:
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣(−3)n+1xn+1
√n + 2
√n + 1
(−3)nxn
∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣−3x
√n + 1n + 2
∣∣∣∣∣
= 3
√1 + (1/n)
1 + (2/n)|x| → 3|x|,
quando n → ∞.
A série dada converge se 3|x| < 1 e diverge se 3|x| > 1. Então, ela converge se |x| < 13
e diverge se
|x| > 13
. Isto significa que o raio de convergência é R =13
.
Sabemos que a série converge no intervalo
(−1
3,
13
). Agora devemos verificar o que ocorre nos
extremos desse intervalo.
28
Se x = −13
, então
+∞
∑n=0
(−3)n
(−13
n)
√n + 1
=+∞
∑n=0
1√n + 1
=+∞
∑n=0
1(n + 1)1/2 =
+∞
∑u=1
1u1/2 = +∞.
Logo,+∞
∑n=0
1√n + 1
é divergente.
Se x =13
, então
+∞
∑n=0
(−3)n
(13
n)
√n + 1
=+∞
∑n=0
1(−33)n
√n + 1
=+∞
∑n=0
(−1)n
(n + 1)1/2 .
Vamos usar o critério da série alternada
(i) Temos que verificar se an+1 < an, com efeito, notemos que
n + 2 > n + 1 ⇔√
n + 2 >
√n + 1 ⇔ 1√
n + 2<
1√n + 1
⇔ an+1 < an;
(ii) limn→+∞
an = 0 ⇔ limn→+∞
1√n + 1
= 0
Pelo teste da série alternada tem-se+∞
∑n=0
(−1)n
√n + 1
é convergente.
Portanto,+∞
∑n=0
(−3)nxn
√n + 1
é convergente no intervalo
(−13
,13
].
2.2 Funções dada como Série de Potências
É muito útil expressar funções como soma de infinitos termos. Nesta seção aprenderemos
representar certos tipos de funções como soma de séries de potências pela manipulação de
séries geométricas ou pela diferenciação e integração de tais séries.
Sabemos que+∞
∑n=0
xn = 1 + x + x2 + ... + xn + ... =1
1 − x,
29
se |x| < 1.
Agora nos referimos à equação acima como uma expressão da função
f (x) =1
1 − x=
+∞
∑n=0
xn, |x| < 1
como uma soma de uma série de potências.
Exemplo 2.4. Seja a função f (x) =1
1 + x2 .
f (x) =1
1 + x2 =1
1 − (−x)2 =1
1 − u
f (x) =∞
∑n=0
un =∞
∑n=0
(−x2)n =+∞
∑n=0
(−1)nx2n, | − x2| < 1.
Logo,
f (x) =1
1 + x2 =∞
∑n=0
(−1)nx2n, |x| < 1.
Exemplo 2.5. Seja a função f (x) =x3
x + 2.
f (x) = x3 1x + 2
=12
x3 − 14
x4 +18
x5 − 116
x6 + · · ·
= x3∞
∑n=0
(−1)n
2n+1 xn =∞
∑n=0
(−1)n
2n+1 xn+3
Outra maneira de escrever essa função é
f (x) =x3
x + 2=
∞
∑n=3
(−1)n−1
2n−2 xn
2.2.1 Diferenciação e Integração de Séries de Potência
A soma de uma série de potências f (x) =∞
∑n=0
cn(x − a)n resulta em uma função cujo do-
mínio é o intervalo de convergência da série. Gostaríamos de poder diferenciar e integrar tais
funções, e o teorema a seguir diz que é possível fazer isso por diferenciação ou integração
termo a termo na série, como faríamos em um polinômio.
30
Teorema 2.3. Se+∞
∑n=0
cnxn é uma série de potências com raio de convergência R > 0, então a série
+∞
∑n=1
ncnxn−1 também tem R como raio de convergência.
Demonstração.
Seja x um número do intervalo (−R, R), ou seja, |x| < R.
Tomemos um número x1 tal que |x| < x1 < R. Sendo |x1| < R, a série+∞
∑n=0
cnxn1 é convergente
e limn→+∞
cnxn1 = 0; pela definição de limite, para todo ǫ > 0 existe um n0 natural tal que n >
n0 ⇒ |cnxn1 | < ǫ.
Se tomarmos ǫ = 1, existe um número n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ |cnxn1 | < 1.
Seja M o maior dos números |c1x1|, |c2x21|, |c3x3
1|, · · · , |cnxn1 |, 1. Então
|cnxn1 | < M (2.1)
para todo n natural. Fazendo
|ncnxn−1| =∣∣∣∣ncn ·
xn−1
xn1
· xn1
∣∣∣∣ = n · |cnxn1 |
|x1|·∣∣∣∣
x
x1
∣∣∣∣n−1
(2.2)
Substituindo (2.1) em (2.2) obtemos |ncnxn−1| ≤ n · Mx1
∣∣∣ xx1
∣∣∣n−1
Aplicando o teste da razão, à série
M
|x1|+∞
∑n=1
n
∣∣∣∣x
x1
∣∣∣∣n−1
(2.3)
temos:
limn→+∞
∣∣∣∣un+1
un
∣∣∣∣ = limn→+∞
∣∣∣∣(n + 1)|x|n
xn1
· |x1|n−1
n|x|n−1
∣∣∣∣ =∣∣∣∣
x
x1
∣∣∣∣ limn→+∞
n + 1n
=
∣∣∣∣x
x1
∣∣∣∣ < 1.
Assim, a série (2.3) é absolutamente convergente e através do teste da comparação, concluí-
mos que a série
+∞
∑n=1
ncnxn−1 (2.4)
31
também é absolutamente cnvergente.
Se x ∈ (−R, R) e R′ é o raio de convergência da série (2.4), então R′ ≥ R.
Dessa forma, resta-nos mostrar que não podemos ter R′> R.
Suponha por absurdo que R′> R e tomemos um número x2 tal que R < x2 < R′.
Sendo |x2| > R temos que a série
+∞
∑n=0
cnxn2 (2.5)
é divergente.
Como |x2| < R′, temos que a série+∞
∑n=0
ncnxn−12 é absolutamente convergente.
Mas,
|x2|+∞
∑n=1
ncnxn−12 =
+∞
∑n=0
|ncnxn2 | e
+∞
∑n=1
|ncnxn2 | (2.6)
é convergente.
Como n é natural, |cnxn2 | ≤ n|cnxn
2 | = |ncnxn2 | e assim temos que
+∞
∑n=0
|cnxn2 | ≤
+∞
∑n=1
n|cnxn2 |
e aplicando o teste da comparação concluímos que+∞
∑n=1
n|cnxn2 | diverge de acordo com (2.5)
contradizendo a afirmação (2.6). Logo, a hipótese de que R′> R é falsa, restando R′ = R.
�
Teorema 2.4. Se o raio de convergência da série de potências+∞
∑n=0
cnxn é R > 0, então R também é o
raio de convergência da série+∞
∑n=2
n(n − 1)cnxn−2.
Demonstração.
Na demonstração do teorema anterior, provamos que a série de potências+∞
∑n=0
cnxn tem raio
de convergência R e a série de potências+∞
∑n=1
ncnxn−1, também é convergente e tem raio de
convergência R′ = R.
32
Então, para mostrarmos que a série+∞
∑n=2
ncnxn−2 é convergente com raio de convergência R,
basta aplicar o teorema (2.1) à série+∞
∑n=1
ncnxn−1.
Temos+∞
∑n=1
ncnxn−1 e+∞
∑n=2
n(n − 1)cnxn−2, fazendo k = n − 1 obtemos
+∞
∑k=0
(k + 1)ck+1xk e+∞
∑k=1
(k + 1)kck+1xk−1.
Tomando (k + 1)ck+1 = bk encontramos+∞
∑k=0
bkxk e+∞
∑k=1
kbkxk−1 que pelo teorema do teste da
razão convergem e possuem mesmo raio de convergência.
�
Teorema 2.5. Se a série de potências+∞
∑n=0
cnxn tiver um raio R > 0, então a função f definida por
f (x) =+∞
∑n=0
cnxn é diferenciável no intervalo (a − R, a + R). Além disso,
(1) f ′(x) =+∞
∑n=0
ncnxn−1
(2)∫
f (x)dx = C ++∞
∑n=0
cnxn+1
n + 1, c uma constante.
Os raios de convergência da série de potências nas equações dos itens (1) e (2) são iguais a R. O
intervalo de convergência, entretanto, pode ser diferente em virtude do comportamento nas extremidades.
Para a demonstração do item (1) utilizaremos o sequinte Lema:
Lema. A desigualdade
|(x + h)n − xn − hnxn−1| ≤ |h|2H2 (|x|+ H)n (I)
é válida quaisquer que sejam os números complexos x e h, com |h| ≤ H.
Para a demonstração basta utilizar o binômio de Newton:
|(x + h)n − xn − hnxn−1| ≤ |h|2n
∑k=2
(n
k
)|x|n−k|h|k−2
33
≤ |h|2H2
n
∑k=2
(n
k
)|x|n−k|H|k ≤ |h|2
H2 (|x|+ H)n.
Demonstração.
(1) Suponhamos que f (x) =+∞
∑n=0
cnxn seja absolutamente convergente em |x| < R. Suponha
por um momento que g(x) =+∞
∑n=0
ncnxn−1 também seja convergente em |x| < R. Deseja-
mos provar que f ′(x) = g(x), o que nos leva naturalmente a considerar a diferença
f (x + h)− f (x)
h− g(x) =
+∞
∑n=0
cn
[(x + h)n − xn
hnxn−1
](I I)
Para mostrar que esta diferença tende a zero com h → 0, estabelecemos primeiro o se-
guinte
Seja agora |x| < R. Podemos escolher H positivo tal que |x|+ H < R. De (I I) e (I) segue
facilmente que, para |h| < H,∣∣∣∣
f (x + h)− f (x)
h− g(x)
∣∣∣∣ ≤|h|H2 ∑ cn(|x|+ H)n.
Fazendo h → 0, a demonstração estará completa se mostrarmos
i) que a série∞
∑0|cn|(|x|+ H)n converge;
ii) que a série∞
∑0
ncnxn−1 converge em |x| < R.
Observe que i) segue da escolha de H e ii) é uma simples consequência do Lema. De
fato, segue de (I), com h = H que
|(|x|+ H)n − xn − Hnxn−1| ≤ (|x|+ H)n.
Por outro lado,
|(x + H)n − xn − Hnxn−1| ≤ |Hnxn−1 − [(x + H)n − xn]|
≥ Hn|x|n−1 − |(x + H)n − xn| ≥ Hn|x|n−1 − (|x|+ H)n − |x|n.
34
Daqui e da desigualdade anterior obtemos
Hn|x|n−1 ≤ 2(|x|+ H)n + |x|n
e, consequentemente,
|ncnxn−1| ≤ 1H[2|cn|(|x|+ H)n + |cn||x|n] (I I I)
A série cujo termo geral é o segundo membro de (3) converge pela suposta convergência
de∞
∑0
cnxn se |x| < R e pela escolha de H.
Pelo teste da comparação, segue-se que a série da função g também converge em |x| < R.
Fica assim provado o item (1).
(2) Seja g uma função definida por g(x) =+∞
∑n=0
cnxn+1.
Como os termos da representação da série de potências de f (x) são as derivadas dos
termos da representação da série de potências de g(x), de acordo com o teorema (2.3), as
duas séries têm o mesmo raio de convergência. Por (1) temos que g′(x) = f (x), para cada
x em (−R, R). Dessa forma, pelo teorema, g”(x) = f ′(x) para cada x em (−R, R). f é
contínua em (−R, R), pois f é diferenciável neste intervalo; em consequência f é contínua
em cada subintervalo fechado de (−R, R).
Se tomarmos x ∈ (−R, R) teremos f contínua e integrável no intervalo [0, x] se x ≥ 0 , ou
no intervalo [x, 0] se x ≤ 0 .
Assim, ∫ x
0f (t)dt = g(x)− g(0) = g(x)
⇔∫ x
0f (t)dt =
+∞
∑n=0
cnxn+1
n + 1
concluindo a demonstração do teorema.
�
35
CAPÍTULO 3
SÉRIES DE TAYLOR
Como vimos anteriormente podemos expressar uma função em série de potências. Nosso
próximo objetivo é verificar que a expressão f (x) =+∞
∑n=0
cn(x− a)n pode ser reescrita tal que seu
coeficiente cn é dado pela fórmulaf (n)(a)
n!. Também será mostrado como obter representações
em séries de potências de funções que possuem derivadas de todas as ordens, ou seja, funções
que são infinitamente diferenciáveis, isto é, C∞.
3.1 Série de Taylor e Funções Analíticas
Queremos mostrar que a expansão da Série de Taylor de uma função x em torno de x = a
pode ser dada em termos do somatório infinito∞
∑n=0
f (n)(a)
n!(x − a)n.
Nós podemos facilmente deduzir esta fórmula, lembrando que se nós buscarmos uma ex-
pansão da forma
f (x) = c0 + c1(x − a) + c2(x − a)2 + · · · ,
ou seja, uma expansão em séries de potências de (x − a), então notamos que quando aplicamos
x = a obtemos
f (a) = c0.
36
Se tomarmos a derivada desta expansão obtemos:
f ′(x) = c1 + 2c2(x − a) + 3c3(x − a)2 + · · · ,
quando avaliamos em x = a obtemos
f ′(a) = c1.
Derivando pela segunda vez teremos
f ′′(x) = 2c2 + 3 · 2c3(x − a) + · · · ,
quando avaliamos em x = a obtemos
f ′′(a) = 2c2 ⇒ c2 =f ′′(a)
2.
E assim faremos até a sua n−ésima derivada f (n)(x) e obtemos
f (n)(a) = n!cn ⇒ cn =f (n)(a)
n!.
Portanto nossa expressão em Série de Taylor é dada por
f (x) =∞
∑n=0
cn(x − a)n =∞
∑n=0
f (n)(a)
n!(x − a)n,
que é o que podemos observar na definição abaixo.
Definição 3.1. Seja f : I → R de classe podendo ser representada como série de potências. Assim,
f (x) = f (a) +f ′(a)
1!(x − a) +
f ′′(a)2!
(x − a)2 +f ′′′(a)
3!(x − a)3 + · · ·+ f (n)(a)
n!(x − a)n + · · · .
Se f possuir uma expansão em série de potências em torno do ponto a, isto é,
f (x) =+∞
∑n=0
cn(x − a)n, |x − a| < R,
então seus coeficientes são dados pela fórmula
cn =f (n)(a)
n!.
A série da equação acima é chamada de série de Taylor da função f centrada em a.
No caso de a = 0, a série de Taylor é denominada por série de Mac-Laurin:
f (x) =+∞
∑n=0
f (n)(0)n!
xn.
37
Mas qual será a relação entre esta série de Taylor e a função f que usamos para calcular os
coeficientes da série? No segundo capítulo mostramos entre outras coisas que funções podem
ser expressas como séries de potências. Retomando o assunto em discussão, seria desejável que
a série de Taylor convergisse para a função que lhe deu origem, pelo menos numa vizinhança
de a.
Se a função é dada por série de potências, então a função será igual a soma de sua série de
Taylor. Mas poderá surgir a dúvida: "Dada uma função será que ela tem uma série de Taylor?
Será que toda função tem uma série de Taylor?"A resposta é não, para que uma função seja
dada como sua série de Taylor ela precisa ser de classe C∞, ou seja, ser infinitamente diferen-
ciável.
Porém existem funções distintas infinitamente diferenciáveis que possuem a mesma série
de Taylor e que ignoram sua série de Taylor, pois os intervalos de convergência delas nem
sempre coicidem.
Definição 3.2. Uma função f : I → R, definida num intervalo aberto I, chama-se analítica quando,
para cada a ∈ I existe um ǫ > 0 tal que a série de Taylor∞
∑n=0
f (n)(a)
n!(x − a)n converge para f (x) desde
que |x − a| < ǫ.
Se f (x) é igual a soma de uma série, então f (x) convergirá para o limite das somas parciais
dessa série, digamos Tn(x), ou seja,
Tn(x) =n
∑i=0
f (i)(a)
i!(x − a)i,
onde Tn(x) é um polinômio e denominamos como polinômio de Taylor de grau n centrado em
a. Em outras palavras
f (x) = limn→∞
Tn(x) =+∞
∑n=0
f (n)(a)
n!(x − a)n.
Assim, quando n tende ao infinito a soma parcial dos termos do polinômio de Taylor é uma
aproximação da f (x), isto é, f (x) ≈ Tn(x). Ainda podemos escrever
Rn(x) = f (x)− Tn(x),
onde Rn(x) é o resto da série de Taylor. E de maneira equivalente
f (x) = Tn(x) + Rn(x).
38
Observação 3.1. A fim de que a série de Taylor+∞
∑n=0
f (n)(a)
n!(x − a)n convirja para f (x) é necessário e
suficiente que limn→∞
Rn(x) = 0.
A seguir apresentaremos o teorema que expressa formalmente nossa análise:
Teorema 3.1. Seja f uma função tal que f e suas derivadas existam em algum intervalo (a − r, a + r).
Então, a função está representada por sua série de Taylor+∞
∑n=0
f (n)(a)
n!(x − a)n para todo x tal que
|x − a| < r se, e somente se, limn→∞
Rn(x) = limn→∞
f (n+1)(hn)
(n + 1)!(x − a)n+1 = 0, com x < hn < a.
Demonstração. Seja f uma função com derivadas de todas as ordens e
f (x) = Tn(x) + Rn(x),
onde Tn é o polinômio de Taylor de grau n centrado em a e Rn(x) o resto da série de Taylor,
expressado por
Rn(x) =f (n+1)(hn)
(n + 1)!(x − a)n+1,
com x < hn < a.
No entanto, Tn(x) é a n-ésima soma parcial da série de Taylor de f em a. Assim, se provar-
mos que limn→∞
Tn(x) existe e é igual a f (x) se, e somente se, limn→∞
Rn(x) = 0 o teorema estará
demonstrado.
Como Tn(x) = f (x)− Rn(x), então
Se limn→∞
Rn(x) = 0, implica que
limn→∞
Tn(x) = f (x)− limn→∞
Rn(x) = f (x)− 0 = f (x).
Agora, dada a hipótese de que limn→∞
Tn(x) = f (x), queremos demostrar que limn→∞
Rn(x) = 0.
Temos que, Rn(x) = f (x)− Tn(x). Assim,
limn→∞
Rn(x) = f (x)− limn→∞
Tn(x) = f (x)− f (x) = 0.
�
39
O teorema acima sugere que se, de alguma maneira, pudermos mostrar que limn→∞
Rn(x) = 0,
então f (x) =+∞
∑n=0
f (n)(a)
n!(x − a)n, ou seja, a função f pode ser representada por uma série de
Taylor. De fato, pois
limn→∞
Tn(x) = limn→∞
[ f (x)− Rn(x)] = f (x)− limn→∞
Rn(x) = f (x).
Teorema 3.2. Seja f uma função com derivadas de todas as ordens e f (x) = Tn(x) + Rn(x), onde Tn
é o polinômio de Taylor de grau n centrado em a e limn→∞
Rn(x) = 0, para todo |x − a| < R, então f é
igual a soma de sua série de Taylor no intervalo |x − a| < R .
3.2 Teorema de Taylor
Vimos que f (x) = Tn(x) + Rn(x), e se conseguirmos mostrar que limn→∞
Rn(x) = 0, então
a f pode ser representada através de sua série de Taylor em torno de um ponto a, ou seja,
|x − a| < r (r raio de convergência). Faremos agora a análise sobre a função f quando possui
apenas derivadas até ordem n + 1.
3.2.1 Teorema de Taylor com Resto de Lagrange
Seja f uma função definida num intervalo I, derivável até a ordem (n + 1). O teorema a
seguir fornece uma fórmula para o resto da aproximação de f pelo seu polinômio de Taylor de
ordem n, em termos da derivada (n + 1)-ésima de f . Assim, se for possível estimar superior-
mente o módulo de tal derivada em I, o teorema pode ser aplicado para se obter uma estimativa
superior do módulo do referido resto, o que é frequentemente útil em cálculos aproximados.
Teorema 3.3. (Fórmula de Taylor com Resto de Lagrange 1). Seja f : [a, b] → R uma função com n
derivadas contínuas e f (n+1) definida em todo (a, b). Seja x0 ∈ [a, b] então existe ξ entre x0 e x tal que
f (x) =n
∑k=0
f (k)(x0)
k!(x − x0)
k +f (n+1)(ξ)
(n + 1)!(x − x0)
n+1.
Demonstração.
1Joseph-Louis Lagrange foi um matemático francês de origem italiana que se destacou em todos os campos deanálise e teoria dos números e mecânica analítica e celestes.
40
Suponha x0 < x, e tomemos F : [x0, x] → R definida por
F(y) = f (x)− f (y)−n
∑k=1
f (k)(y)
k!(x − y)k − A(x − y)n+1, ∀ y ∈ [x0, x],
onde A ∈ R é escolhido de forma que F(x0) = 0.
Temos que F é contínua e derivável em (x0, x) e F(x) = F(x0) = 0. Então, pelo Teorema de
Rolle 2, existe um ξ ∈ (x0, x) tal que F′(ξ) = 0. Mas, ∀ y ∈ (x0, x)
F′(y) = − f ′(y)−n
∑k=1
(f (k+1)(y)
k!(x − y)k − f (k)(y)
(k − 1)!(x − y)k−1
)+ (n + 1)A(x − y)n
= − f ′(y) +n
∑k=1
(− f (k+1)(y)
k!(x − y)k +
f (k)(y)
(k − 1)!(x − y)k−1
)+ (n + 1)A(x − y)n.
Então, a soma da telescópica é
n
∑k=1
(− f (k+1)(y)
k!(x − y)k +
f (k)(y)
(k − 1)!(x − y)k−1
)= f ′(y)− f (n+1)(y)
n!(x − y)n
Logo,
F′(y) = − f (n+1)(y)
n!(x − y)n + (n + 1)A(x − y)n.
Portanto para y = ξ temos:
0 = F′(ξ) = − f (n+1)(ξ)
n!(x − ξ)n + (n + 1)A(x − ξ)n ⇒ A =
f (n+1)(ξ)
(n + 1)!,
retornando a função e substituindo o valor de A
F(y) = f (x)− f (y)−n
∑k=1
f k(y)
k!(x − y)k − f (n+1)(ξ)
(n + 1)!(x − y)n+1,
E para y = x0, então F(x0) = 0, por hipótese concluímos que
f (x) =n
∑k=0
f (k)(x0)
k!(x − x0)
k +f (n+1)(ξ)
(n + 1)!(x − x0)
n+1
para ξ entre x e x0.
2Se f é contínua em [a, b], f é derivável em (a, b) e f (a) = f (b), então ∃ x0 ∈ (a, b) tal que f ′(x0) = 0
41
O Teorema de Taylor com Resto de Lagrange é uma extensão do Teorema do Valor Médio3. Isto é, se uma função F contínua em [a, b] e diferenciável em (a, b), então existe um c ∈ (a, b)
com F′(c) =F(b)− F(a)
b − a.
Observação 3.2. O Teorema de Taylor com Resto de Lagrange garante simplesmente que existe uma
função para o resto e que seu valor existe para algum número entre x e x0. Porém, na prática, um dos
problemas comuns é determinar ξ entre x e x0 para encontrar o valor de f (n+1)(ξ).
3.2.2 Teorema de Taylor com Resto da Integral
O resultado a seguir mostra que se f possui derivada até a ordem n+ 1 e f (n+1) for contínua
num intervalo aberto, então f pode ser reescrita como
f (x) =n
∑n=0
f (n)(a)
n!(x − a)n +
1n!
∫ x
a(x − t)n f (x+1)(t)dt,
onde t é um ponto entre a e x.
Teorema 3.4. (Fórmula de Taylor com Resto da Integral). Seja f : [a, x] → R uma função (n + 1)
vezes derivável com f (n+1) integrável em (a, x). Então
f (x) =n
∑n=0
f (n)(a)
n!(x − a)n +
1n!
∫ x
a(x − t)n f (x+1)(t)dt,
onde t é um ponto entre a e x.
Onde Rn(x) =1n!
∫ xa (x − t)n f (x+1)(t)dt é o resto da forma.
Demonstração.
Usaremos indução matemática sobre n para demonstrar o resultado.
Temos que f (x) = Tn(x) + Rn(x). Então, para n = 1,
R1 = f (x)− T1(x) = f (x)− f (a) − f ′(a)(x − a)
3Se f é contínua em [a, b] e f é derivável em (a, b), então ∃ x0 ∈ (a, b) tal que f ′(x0) =f (b)− f (a)
b − a
42
e pela hipótese devemos obter a integral∫ x
a (x − t)n f ′′(t)dt. Assim, usando o Teorema Funda-
mental do Cálculo e a técnica de integração por partes com u = x − t e dv = f ′′(t)dt, assim
du = −dt e v = f ′(t). Então∫ x
a(x − t)n f ′′(t)dt = (x − t) f ′(t)]xa +
∫ x
af ′(t)dt
= 0 − (x − a) f ′(a) + f (x)− f (a)
= f (x)− f (a) − (x − a) f ′(a)
= f (x)− T1(x) = R1
Portanto, o teorema é válido para n = 1. Agora, vamos supor que vale para n = k e assim
Rk(x) =1k!
∫ x
a(x − t)k f (k+1)(t)dt.
E queremos mostrar que vale para n = k + 1, ou seja,
Rk+1(x) =1
(k + 1)!
∫ x
a(x − t)k+1 f (k+2)(t)dt.
Novamente integramos por partes, temos u = (x − t)k+1, dv = f (k+2)dt, du = −(k+ 1)(x −t)kdt e v = f (k+1)(t). Assim,
1(k + 1)!
∫ xa (x − t)k+1 f (k+2)(t)dt =
=1
(k + 1)!(x − t)k+1 f (k+1)(t)]xa +
k + 1(k + 1)!
∫ x
a(x − t)k f (k+1)(t)dt
= 0 − 1(k + 1)!
(x − a)k+1 f (k+1)(a) +1k!
∫ x
a(x − t)k f (k+1)(t)dt
= − f (k+1)(a)
(k + 1)!+ Rk(x)
= f (x)− Tk(x)−f (k+1)(a)
(k + 1)!= f (x)− Tk+1(x) = Rk+1(x)
O que conclui a demonstração.
43
3.2.3 Teorema de Taylor com Resto de Cauchy
Esta fórmula é um aperfeiçoamento da Fórnula de Taylor com Resto de Lagrange e é uti-
lizada em vários textos, particularmente para a análise da Fórmula Binomial, e assim a apre-
sentamos aqui,visando ampliar o estudo sobre as formas de expressar o resto na Fórmula de
Taylor.
Teorema 3.5. (Fórmula de Taylor com Resto de Cauchy 4). Seja f : [a, b] → R uma função com n
derivadas contínuas e f (n+1) definida em todo (a, b). Se x0 ∈ [a, b], então existe um η entre x0 e x tal
que
f (x) =n
∑k=0
f (k)(x0)
k!(x − x0)
k +f (n+1)(η)
n!(x − η)n(x − x0).
Demonstração. A função f , por hipótese, tem n + 1 derivadas contínuas no intervalo (a, b)
que contém x0 e x. Portanto, é válido a Fórmula com Resto da Integral. Logo,
Rn(x) =∫ x
x0
(x − t)n f (n+1)(t)
n!dt
para algum t entre x e x0. Pelo Teorema do Valor Médio para integrais 5, a hipótese assegura a
existência de um η entre x0 e x, tal que
1x − x0
∫ x
x0
(x − t)n f (n+1)(t)
n!dt =
f (n+1)(η)
n!(x − η)n
sendo assim, o resto pode ser representado também por,
Rn(x) =f (n+1)(η)
n!(x − η)n(x − x0),
com f (x) = Tn(x) + Rn(x), temos que
f (x) =n
∑k=0
f (k)(x0)
k!(x − x0)
k +f (n+1)(η)
n!(x − η)n(x − x0).
�
4Augustin-Louis Cauchy pioneiro no estudo da análise, real e complexa, e a teoria de grupos de permutação.Ele também pesquisou em convergência e divergência de séries infinitas, equações diferenciais, determinantes,probabilidade e física matemática.
5Se f é contínua em [a, b] e f é derivável em (a, b), então ∃ x0 ∈ [a, b] tal que f (x0) =1
b − a
∫ ba f (x)dx
44
Observação 3.3. A mesma dificuldade de encontrar o ξ para a Fórmula com Resto de Lagrange, tam-
bém, acontece quando precisamos encontrar o η para a Fórmula com Resto de Cauchy. Usualmente, o
que se faz é procurar uma função que limita a função do resto e assim fazer uma estimativa do erro.
Admitindo f (n+1) contínua, a Fórmula de Taylor com Resto de Cauchy é consequência ime-
diata da Fórmula de Taylor com Resto Integral, pois sob tal hipótese o Teorema do Valor Médio
para Integrais assegura a existência de η entre x0 e x, η 6= x0 e η 6= x, tal que
1x − x0
∫ x
x0
f (n+1)(t)
n!(x − t)ndt =
f (n+1)(η)
n!(x − η)n.
3.2.4 Teorema de Taylor com Resto Infinitesimal
Nesta seção mostraremos que se f é n-vezes derivável em x0 então podemos aproximar os
valores de f (x), com x próximo de x0, pelos valores de um polinômio Tn(x) de grau menor
ou igual a n, f (x) = Tn(x) + Rn(x), tal que o resto nesta aproximação, Rn(x) = f (x)− Tn(x),
satisfaz
limx→x0
R(x)
(x − x0)n= 0.
Proposição 3.1 (Fórmula de Taylor de ordem 1, com resto infinitesimal) Sejam A ⊂ R,
x0 ∈ A e f : A → R uma função contínua em x0.
(1) Se f for derivável em x0 e R1 for a diferença entre f e o polinômio de Taylor de ordem 1
em x0, então limx→x0
R1(x)
(x − x0)n= 0;
(2) Reciprocamente, se T for uma função polinomial de grau menor ou igual a 1 e Rn(x) =
f (x) − Tn(x) satisfazer limx→x0
R(x)
(x − x0)n= 0 então f é derivável em x0 e T é o polinômio
de Taylor de ordem 1 de f em x0.
Demonstração.
(1) Com efeito, suponha que f seja derivável em x0 , isto é, existe f ′(x0) = limx→x0
f (x)− f (x0)
x − x0.
Então, como ∀ x ∈ A − {x0},R1(x)
(x − x0)n=
f (x)− f (x0)
x − x0− f ′(x0), segue-se que
limx→x0
R1(x)
(x − x0)n= 0.
45
(2) Reciprocamente, seja:
T : R → R
x → a(x − x0) + b
a, b ∈ R, uma função polinomial tal que, se Rn(x) = f (x)− Tn(x), então
limx→x0
R(x)
(x − x0)n= 0.
Em particular, isto implica
limx→x0
R(x) = 0;
como f é contínua, segue-se que b = f (x0). Logo, ∀ x ∈ A − {x0},
R(x)
(x − x0)n=
f (x)− f (x0)
x − x0− a.
Como limx→x0
R(x)
x − x0= 0, concluimos que f é derivável em x0 e f ′(x0) = a, portanto T é o
polinômio de Taylor de ordem 1 de f em x0.
�
Teorema 3.6. (Fórmula de Taylor de ordem n, com resto infinitesimal). Sejam n ∈ N, A ⊂ R, x0 ∈ A
e f : A → R. Suponha que f seja derivável até ordem (n − 1) e que f (n−1) seja derivável em x0. Então:
(1) Se Rn é a diferença entre f e o seu polinômio de Taylor de ordem n em x0, então
limx→x0
Rn(x)
(x − x0)n= 0;
(2) Reciprocamente, se T for uma função polinomial de grau menor ou igual a n e Rn(x) = f (x) −Tn(x) satisfizer e lim
x→x0
Rn(x)
(x − x0)n= 0, então T é o polinômio de Taylor de ordem n de f em x0.
Demonstração. Será feita por indução matemática sobre n.
Para n = 1, vide proposição anterior. Seja k ≥ 2, e suponha que (1) e (2) sejam verdadeiras para
n ≤ k − 1. Provemos que também serão verdadeiras para n = k. Com efeito:
46
(1) Se ∀ x ∈ A,
Rk(x) = f (x)−k
∑j=0
f (j)(x0)
j!(x − x0)
j,
então Rk : A → R é derivável e para ∀ x ∈ A,
R′k(x) = f ′(x)−
k
∑j=1
f (j)(x0)
(j − 1)!(x − x0)
j−1 = f ′(x)−k−1
∑m=0
( f ′)(m)
m!(x − x0)
m.
Portanto, pela hipótese de indução,
limx→x0
R′k(x)
(x − x0)k−1 = 0.
Assim, como limx→x0
Rk(x) = 0 e limx→x0
(x − x0)k = 0, a regra de l’Hôpital implica
limx→x0
Rk(x)
(x − x0)k= 0.
(2) Suponha ∀ x ∈ A,
f (x) = T(x) + Rk(x),
com grau T ≥ k e limx→x0
Rk(x)
(x − x0)k= 0. Isto implica lim
x→x0
Rk(x)
(x − x0)m= 0, para 0 ≤ m ≤ k.
Sejam a0 · · · ak ∈ R tais que ∀ x ∈ R,
T(x) =k−1
∑n=0
an(x − x0)n + ak(x − x0)
k.
Definamos, T̃(x) =k−1
∑n=0
an(x − x0)n, de forma que ∀x ∈ R :
f (x) = T̃(x) + ak(x − x0)k + R(x) (3.1)
Como
limx→x0
ak(x − x0)k + R(x)
(x − x0)k−1 = 0
e grau T̃ ≤ k − 1, pela hipótese de indução concluimos que T̃ é o polinômio de Taylor de
grau (k − 1) de f em x0, isto é, an =f (n)(x0)
n!para 0 ≤ n ≤ k − 1.
47
Resta-nos mostrar que ak =f (k)(x0)
k!.
Afirmamos que
limx→x0
f (x)− T̃(x)
(x − x0)k=
f (k)(x0)
k!.
Com efeito, para cada j ∈ {0, · · · , k − 2},
limx→x0
[ f (j)(x)− T̃(j)(x)] = 0
e
limx→x0
dj
dxj[(x − x0)
k] = limx→x0
k(k − 1) · · · (k − j + 1)(x − x0)k−j = 0.
Como é derivável f (k−1) em x0 (por hipótese) e
T̃(k−1)(x) = cte. = f (k−1)(x0),
temos
limx→x0
f (k−1)(x) + T̃(k−1)(x)
k!(x − x0);
logo aplicando-se (k − 1) vezes a regra de l’Hôpital, provamos a afirmação.
Por outro lado, de (3.1) segue-se
limx→x0
f (x)− T̃(x)
(x − x0)k= lim
x→x0[ak +
Rk(x)
(x − x0)k] = ak;
portanto, pela unicidade de limite conclui-se que
ak =f (k)(x0)
k!,
logo T é o polinômio de Taylor de ordem k de f em x0.
�
3.3 Expansão em Série de Taylor para Funções de Duas Variá-
veis
O objetivo presente nesta seção é elaborar uma análise sobre como a série de Taylor pode re-
presentar uma função com duas variáveis. Basicamente, o raciocínio é fazer analogia à funções
de apenas uma variável atendo-se ao fato que suas derivadas são parciais.
48
3.3.1 Expansão em Série de Taylor de 2a Ordem
Assim como uma função f (x) em determinadas situações pode ser aproximada através
do polinômio de Taylor de grau dois, isto é, f (x) ≈ T2(x), procuramos uma expressão que
aproxime a função z(x, y) tal que z(x, y) ≈ T2(x, y).
Agora, se z = f (x, y) é uma função de duas variáveis que é diferenciável numa vizinhança
próxima do ponto (x0, y0), então queremos encontrar um polinômio T2 que satisfaça
f (x) ≈ T2(x, y)
quando (x, y) está suficientemente próximo de (x0, y0), ou seja, quando (x − x0) (y − y0) e são
pequenos. E, assim devemos tomar
∆x = x − x0
e
∆y = y − y0.
Seja z = z(x, y), uma função com duas variáveis, e, digamos que x e y estão em função de
uma variável t, ou seja, x = x(t) e y = y(t). Assim, como z está em função de x e y é correto
dizer, também, que z está em função de t, logo z = z(t) = f (x(t), y(t)). Além disso, z possui
derivada (se existir), em relação a t. Para estender para o cenário de duas variáveis vamos
aplicar a regra da cadeia no caso especial de x(t) = x0 + t∆x e y = y0 + t∆y, onde ∆x e ∆y são
constantes. Portanto, x′(t) = ∆x, y′(t) = ∆y, x′′(t) = 0, y′′(t) = 0.
Então, pela regra da cadeia, a primeira derivada em relação a t é:
z′(t) =∂ f
∂x(x(t), y(t))
dx
dt+
∂ f
∂y(x(t), y(t))
dy
dt
=∂ f
∂x(x(t), y(t))x′(t) +
∂ f
∂y(x(t), y(t))y′(t)
=∂ f
∂x(x(t), y(t))∆x +
∂ f
∂y(x(t), y(t))∆y. (3.1)
49
E a segunda derivada de z em relação a t:
z′′(t) =d
dtz′(t)
=d
dt
[∂ f
∂x(x(t), y(t))x′(t) +
∂ f
∂y(x(t), y(t))y′ (t)
]
=d
dt
[∂ f
∂x(x(t), y(t))x′(t)
]+
d
dt
[∂ f
∂y(x(t), y(t))y′(t)
]
=
[∂2 f
∂x2 (x(t), y(t))[x′(t)]2 +∂2 f
∂x∂y(x(t), y(t))[x′(t)y′(t)]
]
+
[∂2 f
∂x∂y(x(t), y(t))[x′(t)y′(t)] +
∂2 f
∂y2 (x(t), y(t))[y′(t)]2]
.
Simplificando temos:
z′′(t) =∂2 f
∂x2 (x(t), y(t))(∆x)2 + 2∂2 f
∂x∂y(x(t), y(t))(∆x∆y) +
∂2 f
∂y2 (x(t), y(t))(∆y)2 . (3.2)
Para encontrar T2(x, y) aplicamos a aproximação da fórmula de Taylor para uma única
variável para a função
z(t) = f (x(t), y(t)) = f (x0 + t∆x, y0 + t∆y),
utilizaremos (3.1) e (3.2) para calcular z′(t) e z′′(t).
É importante observar que
f (x, y) = f (x0 + (x − x0), y0 + (y − y0)) = z(1).
Pela fórmula de Taylor para funções reais de uma variação temos que
z(t) = z(t0) + z′(t0)(t − t0) +12!
z′′(t0)(t − t0)2 + R2(t).
Então, para t0 = 0 temos que,
f (x, y) = z(1) = z(0) + z′(0) +z′′(0)
2.
Tudo o que temos que fazer agora é expressar os três termos na extrema direita desta equa-
ção em termos da função f e suas derivadas parciais, e isso não é difícil de fazer, mas requer
muita atenção.
50
Primeiro observe que (x(0), y(0)) = (x0 + 0 · δx, y0 + 0 · δy) = (x0, y0), assim
z(0) = f (x(0), y(0)) = f (x0 + 0(x − x0), y0 + 0(y − y0)) = f (x0, y0)
Em seguida, aplicando a fórmula (3.1), vemos que
z′(0) =∂ f
∂x(x0, y0)∆x +
∂ f
∂y(x0, y0)∆y.
Da mesma forma, aplicando a fórmula (3.2) vemos que
z′′(0) =∂2 f
∂x2 (x(0), y(0))(∆x)2 + 2∂2 f
∂x∂y(x(0), y(0))(∆x∆y) +
∂2 f
∂y2 (x(0), y(0))(∆y)2 .
Substituindo z(0), z′(0)z′′(0) na aproximação da fórmula, obtêm-se:
f (x, y) ≈ f (x0, y0) +∂ f
∂x(x0, y0)(x − x0) +
∂ f
∂y(x0, y0)(y − y0)
+12
∂2 f
∂x2 (x(0), y(0))(x − x0)2 +
∂2 f
∂x∂y(x(0), y(0))(x − x0)(y − y0)
+∂2 f
∂y2 (x0, y0)(y − y0)2,
que é preciso quando ambos |x − x0| e |y − y0| são suficientemente pequenas.
Exemplo 3.1. Iremos encontrar o polinômio de Taylor de segunda ordem centrada no ponto (1, 1) para
a função x2 cos(y3).
Calculando as derivadas parciais de primeira e segunda ordem e utilizando a fórmula acima obtemos
o resultado:
x2cos(y3) ≈ cos(1)− 3 sen(1)(y − 1) + 2(x1)cos(1)− 92
cos(1)
− 3 sen(1)(y − 1)2 − 6(x − 1) sen(1)(y − 1) + (x − 1)2 cos(1)
3.3.2 Expansão em Série de Taylor de n-ésima Ordem
Na seção anterior, a função f (x, y) foi aproximada até a segunda ordem do polinômio de
Taylor, isto é, f (x, y) ≈ T2(x, y). Agora, queremos expressar f (x, y) = Tn(x, y) + Rn(x, y),
onde Tn(x, y) é a n-ésima ordem do Polinômio de Taylor da função f , e Rn(x, y) é dito o resto
da n-ésima ordem do polinômio.
51
A ideia se conserva a mesma aplicada anteriormente, porém, pela fórmula de Taylor basta
aproximar a função z pela k-ésima derivada, ou seja,
z(t) =n
∑k=0
z(k)(t)
k!(t − t0)
k + Rn(t).
E ainda, para t0 = 0
f (x, y) = z(1) =n
∑k=0
z(k)(0)k!
+ Rn(t).
Então, precisamos encontrar a k-ésima derivada de z em relação a t e aplicar o ponto t0 = 0.
Ainda, no caso em que ∆x = x − x0 e, ∆y = y − y0 e z(t) = f (x0 + t∆x, y0 + t∆y) a função f
vai ter sempre derivada em relação x e y. Logo,
z(k)(t)k
∑i=0
k!i!j!
∂k f
∂xi∂yj(x(t), y(t))(x − x0)
i(y − y0)j.
Quando calculamos a k-ésima derivada∂k f
∂x∂x · · · ∂y∂ytodas as parciais mistas são permuta-
ções ∂x e ∂y, sendo assim, uma permutação repetida com i e j elementos. Portanto a quantidade
de parciais mistas nesse caso ék!i!j!
∂k f
∂xi∂yj(x(t), y(t)). Ainda i + j = k ⇒ j = k − i, e assim
z(k)(t)k
∑i=0
k!i!(k − i)!
∂k f
∂xi∂yj(x(t), y(t))(x − x0)
i(y − y0)k−i.
Então a z(k)(t) aplicada no ponto t0 = 0 é igual a
z(k)(t)k
∑i=0
k!i!(k − i)!
∂k f
∂xi∂yj(x0, y0)(x − x0)
i(y − y0)k−i.
Substituindo essa equação em f (x, y) = z(1) =n
∑k=0
z(k)(0)k!
+ Rn(t) obtemos uma expressão
para a Fórmula de Taylor de n-ésima ordem:
f (x, y) =n
∑k=0
1k!
k
∑i=0
k!i!(k − i)!
∂k f
∂xi∂yk−i(x0, y0)(x − x0)
i(y − y0)k−i + Rn(x, y)
com resto Rn em função das duas variáveis x e y.
52
Entretanto, quando limn→+∞
Rn(x, y) = 0
f (x, y) =+∞
∑k=0
1k!
k
∑i=0
k!i!(k − i)!
∂k f
∂xi∂yk−i(x0, y0)(x − x0)
i(y − y0)k−i.
Além disso, uma função de apenas uma variável pode ser expressa através da Fórmula de
Taylor com resto de Lagrange. Analogamente, conseguimos uma expressão que represente
uma função de duas variáveis.
Teorema 3.7. Suponha que f (x, y) e todas suas derivadas parciais de ordem menor ou igual a n + 1
sejam contínuas em D = {(x, y)/a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} e seja (x0, y0) ∈ D. Para cada (x0, y0) ∈ D,
existem ξ1 entre x e x0 e ξ2 entre y e y0 tais que f (x, y) = Tn(x, y) + Rn(x, y) em que
Tn(x, y) =n
∑k=0
1k!
k
∑i=0
k!i!(k − i)!
∂k f
∂xi∂yk−i(x, y)(x − x0)
i(y − y0)k−i
e
Rn(x, y) =1
(n + 1)!
n+1
∑i=0
(n + 1)!i!(n + 1 − i)!
∂n+1 f
∂xi∂yn+1−i(ξ1, ξ2)(x − x0)
i(y − y0)n+1−i.
Exemplo 3.2. Para n = 2
f (x, y) = f (x0, y0) +∂ f
∂x(x0, y0)(x − x0) +
∂ f
∂y(x0, y0)(y − y0)
+12
∂2 f
∂x2 (x0, y0)(x − x0)2 +
∂2 f
∂x∂y(x0, y0)(x − x0)(y − y0)
+∂2 f
∂y2 (x0, y0)(y − y0)2
e
Rn(x, y) =12
2
∑i=0
2!(3 − i)!
∂3 f
∂xi∂y(3−i)(ξ1, ξ2)(x − x0)
i(y − y0)3−i.
3.4 Expansão em Série de Taylor para Funções de Várias Variá-
veis
Como pode-se imaginar, assim que o número de variáveis cresce a expressão que aproxima
a função pela série de Taylor também cresce. Seja f : Rm → R uma função com derivadas
53
de todas as ordens n numa vizinhança próxima ao ponto (a1, a2, · · · , am) a série de Taylor que
representa f é dada por:
f (x1, · · · , xm) =
=∞
∑n=0
1k!
k
∑i1+···+im=k
k!i1! · · · im!
∂k f (x1, · · · , xm)
∂xi11 · · · ∂xim
m
(x1 − a1)i1 · · · (xm − am)
im
Analogamente à função com duas variáveis, dada uma função z tal que z = z(x1, x2, · · · , xm)
e ainda que xj está em função de uma variável t, isto é, xj = xj(t) para todo j = 1, 2, · · · , m. Da
mesma maneira, pode-se dizer que
z(t) = f (x1(t), x2(t), · · · , xm(t)).
Ainda, assume-se para um caso especial em que xj(t) = a1 + t(xj − aj), para j = 1, 2, · · · , m.
Então, z(1) = f (x1(1), x2(1), · · · , xm(1)) = f (x1, x2, · · · , xm).
Logo, da fórmula de Taylor temos que :
n
∑k=0
z(k)(t0)
k!(t − t0)
k + Rn(t).
Então, aproximando o valor z(1) através da série de Taylor centrada no ponto t0 = 0, obtém-
se que:n
∑k=0
z(k)(0)k!
+ Rn(t).
Portanto,
z(1) = f (x1, · · · , xm) =
=n
∑k=0
1k!
k
∑i1+···+im=k
k!i1! · · · im!
∂k f (x1, · · · , xm)
∂xi11 · · · ∂xim
m
(x1 − a1)i1 · · · (xm − am)
im +
+ Rn(x1, · · · , xm).
É importante observar que
z(k)(0) =k
∑i1+···+im=k
k!i1! · · · im!
∂k f (x1, · · · , xm)
∂xi11 · · · ∂xim
m
(x1 − a1)i1 · · · (xm − am)
im ,
54
onde a generalização da derivada z(k)(t) é obtida a partir de uma análise de combinações tal
quek!
i1! · · · im!é a quantidade das parciais mistas (permutações com repetição) para a função
z(t) = f (x1(t), · · · , xm(t)).
Portanto, a partir dos resultados acima para f : Rm → R uma função n vezes diferenciável
numa vizinhança próximo a um ponto (a1, a2, · · · , am) pode ser representada pela fórmula de
Taylor da seguinte forma:
f (x1, · · · , xm) =
=n
∑k=0
1k!
k
∑i1+···+im=k
k!i1! · · · im!
∂k f (x1, · · · , xm)
∂xi11 · · · ∂xim
m
(x1 − a1)i1 · · · (xm − am)
im +
+ R(x1, · · · , xm).
E ainda quando n tende ao infinito e Rn(x1, · · · , xm) tende a zero, então temos uma repre-
sentação em série de Taylor para f e logo
f (x1, · · · , xm) =
=n
∑k=0
1k!
k
∑i1+···+im=k
k!i1! · · · im!
∂k f (x1, · · · , xm)
∂xi11 · · · ∂xim
m
(x1 − a1)i1 · · · (xm − am)
im
55
CAPÍTULO 4
APLICAÇÕES
Sabemos que, para uma função f , diferenciável num ponto a, tenha um extremo local neste
ponto, é necessário, embora não suficiente, que f ′(a) = 0.
Definição 4.1. Chamamos pontos críticos ou estacionários de uma função f aos zeros da sua função
derivada. Para decidir se um ponto crítico é ou não um ponto de máximo ou de mínimo, pode recorrer-se
ao sinal da primeira derivada.
Nos casos em que não seja possível estudar o sinal de f ′(x) em pontos próximos de a o
recurso à fórmula de Taylor dá um método alternativo, que pode ser útil se forem conhecidos
os valores assumidos no ponto a por algumas das derivadas de ordem superior à primeira.
Exemplo 4.1. Se f é duas vezes diferenciável em a, f ′(a) = 0 e f ′′(a) 6= 0 então a fómula de Taylor
com resto de Lagrange será
f (x) = f (a) + f ′′(a)(x − a)2
2+ R2(x),
com limx→a
R2(x) = 0. Então existe ǫ > 0 tal que para x ∈ Vǫ(a) se tem que |R2(x)| < | f ′′(a)|. Assim
o sinal da soma f ′′(a)(x − a)2
2+ R2(x), em Vǫ(a) será o sinal do primeiro termo.
Se f ′′(a) > 0, tem-se
f (x)− f (a) = f ′′(a)(x − a)2
2+ R2(x) ≥ 0,
56
isto é, f (x) > f (a) para x ∈ Vǫ(a). Se for f ′′(a) < 0 tem-se f (x) < f (a) para x ∈ Vǫ(a). No
primeiro caso tem-se um mínimo local estrito e no segundo caso um máximo local também estrito.
Se f ′′(a) = 0 o processo não é aplicável e teria que realizar o mesmo processo para a primeira ordem
da derivada que não se anulasse em a. Assim:
Teorema 4.1. Seja f uma função n vezes diferenciável em a, com n ≥ 2, e suponha que f (n)(x) é a
primeira derivada que não se anula em a. Então:
1. se n é ímpar, f não tem qualquer extremo no ponto a;
2. se n é par, f (a) é um máximo ou um mínimo local (estrito) de f , conforme f (n)(a) < 0 ou
f (n)(a) > 0, respectivamente
Demonstração.
Como f é uma função n vezes diferenciável em a então, numa vizinhança de a, Vǫ(a), pode
ser representada pela fórmula de Taylor com resto de Lagrange
f (x) = f (a) + f ′(a)(x − a) + · · ·+ f (n)(a)
n!(x − a)n +
f (n+1)(ξ)
(n + 1)!(x − a)n+1,
para x ∈ Vǫ(a).
Como f (n)(x) é a primeira derivada que não se anula em a então
f (x)− f (a) =f (n)(a)
n!(x − a)n +
f (n+1)(ξ)
(n + 1)!(x − a)n+1
=(x − a)
n!
[f (n)(a) +
f (n+1)(ξ)
n + 1(x − a)
].
Como (x − a) pode ser arbitrariamente pequeno então o sinal dominante do último fator
será o sinal de f (n)(a).
Se n é ímpar, o primeiro membro f (x)− f (a) tem sinais contrários quando x toma valores
à esquerda ou à direita de a, mas suficientemente próximos. Logo f (a) não é um extremo.
Se n é par, o sinal de f (x)− f (a) é o mesmo que o de f (n)(a).
Assim se f (n)(a) < 0 então f (x) < f (a) para x ∈ Vǫ(a), pelo que f (a) é um máximo. Se
f (n)(a) < 0 então f (a) é um mínimo local.
�
57
Exemplo 4.2. A função f (x) = 3x4 − 4x3 + 2 tem unicamente dois pontos estacionários: 0 e 1. Como
f ′′(1) = 12 > 0 então f (1) = 1 é um mínimo de f . No ponto 0, f ′′(0) = 0, f ′′′(0) = −24 pelo que
f ′(0) não é um ponto de extremo.
0 x
y
1
1
2
Outra aplicação da fórmula de Taylor está relacionada com a noção de convexidade, isto é,
com a posição do gráfico da função f , diferenciável em a, em relação à respectiva tangente no
ponto (a, f (a)).
Definição 4.2. Se existe ǫ > 0 tal que em Vǫ(a) o gráfico de f está acima do da função g(x) =
f (a) + f ′(a)(x − a) diz-se que a função f é convexa em a ou que tem a concavidade voltada para
cima nesse ponto.
Definição 4.3. Se o gráfico de g está acima do de f diz-se que a função f é côncava em a ou que tem
a concavidade voltada para baixo nesse ponto.
Definição 4.4. Pode acontecer que exista um intervalo à esquerda de a e outro à direita de a em que o
gráfico de f esteja acima do de g num deles e abaixo no outro. Neste caso diz-se que a é um ponto de
inflexão de f .
Teorema 4.2. Seja f uma função n vezes diferenciável em a, (n ≥ 2), e suponha-se que são nulas em a
todas as derivadas de f de ordem superior à primeira e inferior a n, isto é,
f ′′(a) = · · · = f (n−1)(a) = 0, f (n)(a) 6= 0.
Então:
1. se n é ímpar, a é um ponto de inflexão de f ;
58
2. se n é par, f é convexa ou côncava no ponto a conforme f (n)(a) > 0 ou f (n)(a) < 0, respectiva-
mente.
Demonstração.
A demonstração é análogo à do teorema anterior, considerando agora a Fórmula de Taylor
de ordem n com resto de Lagrange na forma
f (x) = f (a) + f ′(a)(x − a) + · · ·+ f (n)(a)
n!(x − a)n +
f (n+1)(ξ)
(n + 1)!(x − a)n+1,
e então
f (x)− f (a) − f ′(a)(x − a) =(x − a)
n!
[f (n)(a) +
f (n+1)(ξ)
n + 1(x − a)
].
�
Exemplo 4.3. Para f (x) = 3√
x tem-se para x 6= 0, f ′′(x) = − 2
9 3√
x5. O gráfico tem a concavidade
voltada para baixo se x > 0 e para cima se x < 0. O ponto 0 é um ponto de continuidade de f e
f ′(0) = +∞, pelo que se trata de um ponto de inflexão.
59
CONCLUSÃO
OS estudos acerca da teoria das séries de Taylor constituem uma ciência muito mais vasta
que a abordagem feita neste trabalho. Contudo, diante dos nossos propósitos, consegui-
mos abordar aspectos importantes como a fórmula de Taylor bem como de seus conceitos mais
básicos. Além do mais, conseguimos mostrar algumas aplicações desta teoria, o que prova o
seu valor em métodos númericos. Muitas outras aplicações existem para as séries de Taylor,
além das que foram apresentadas aqui, como por exemplo, soluções de EDO’S, provar que "e" é
irracional, aproximações de funções, entre outra, aplicações estas, que podem vir a fazer parte
de trabalhos futuros.
A elaboração do mesmo foi uma tarefa que exigiu muitas horas de dedicação, porém, pra-
zerosas. Além do mais,pudemos aplicar vários conceitos adquiridos durante o curso e, ainda,
aperfeiçoar e agregar novos conhecimentos.
60
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] ANDRADE, Doeherty. Teorema de Taylor. Disponível em:
<http://www.dma.uem.br/kit/arquivos/arquivos-pdf/taylor.pdf>. Acesso em: 18
de setembro de 2014.
[2] GUIDORIZZI, Luiz Hamilton. Um Curso de Cálculo. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC,
2008.v. 4.
[3] LIMA, E. L. Curso de Análise. 12. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional
de Matemática Pura e Aplicada, 2010. 2 v. v.1.
[4] PISKOUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral. 18 ed. Edições Lopes da Silva,
Porto, 2000. v.1.
[5] STEWART, J. Cálculo. 5 ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006. 2 v.
61
