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VÁRIAS ABORDAGENS METODOLÓGICAS PARA O ENSINO DA EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU: UMA EXPERIÊNCIA EM ESCOLA PÚBLICA

Ermínia de Lourdes Campello FANTI1

Aparecida Francisco da SILVA2

Ana Claudia Cossini MARTINS, Ana de Fátima C. S. CUNHA33

Resumo: Este trabalho, desenvolvido com alunos da 8a série da E.E. Prof. Guines Affonso Morales – Neves Paulista, teve como objetivo principal o ensino da equação do segundo grau utilizando várias abordagens metodológicas, incluindo jogos, informática, leitura de livros, pesquisa de campo, com destaque para um problema concreto.

Palavras-chave: equação do segundo grau; área de escape; jogos; informática.

1. INTRODUÇÃO

O uso de jogos e informática no ensino da Matemática tem-se mostrado

ferramenta eficaz para o trabalho com adolescentes com o objetivo de fazer com que eles

gostem de aprender essa disciplina, mudando a rotina da classe e despertando o interesse do

aluno envolvido. Jogos e/ou informática podem ser utilizados para introduzir, reforçar o

aprendizado de certos conteúdos ou preparar o aluno para aprofundar os itens já trabalhados.

Também o uso de modelagem, aliado a jogos ou informática, pode produzir seu real

aprendizado por meio de aulas nas quais os alunos participam ativamente do processo de

ensino-aprendizagem.

O trabalho descrito aqui foi desenvolvido na E. E. Prof. Guines Affonso Morales

de Neves Paulista (inicialmente, no ano de 2005, como uma atividade do Projeto Teia do Saber

– UNESP - Secretaria do Estado da Educação, e em 2006, dentro do projeto do Núcleo de

Ensino “Informática e o Ensino de Matemática”, ocasião em que se trabalhou um pouco mais

com atividades envolvendo jogos e softwares matemáticos). A idéia de desenvolver tal trabalho

surgiu a partir de um modelo concreto que se encaixa na abordagem do estudo da equação do

2º grau. Em 1999 houve um acidente com vítima fatal na quadra poliesportiva da escola

mencionada (a tabela de basquete caiu na cabeça de uma criança). Em conseqüência disso, o

governo estadual liberou verba para reforma da mesma, ocasião em que foi feita uma

cobertura.

1Departamento de Matemática do IBILCE – UNESP – SJRP, Coordenadora do projeto do NE da UNESP: Informática e o Ensino de Matemática: do Concreto as Inovações Tecnológicas. 2Departamento de Matemática do IBILCE – UNESP – SJRP, Coordenadora do projeto do NE: Jogos no Ensino de Matemática. 3Professoras do Ensino Fundamental e Médio (Matemática) da Rede Pública do Estado de São Paulo.

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No entanto, observou-se que após a reforma a área de segurança ou escape

(região compreendida entre a área padrão útil da quadra e os pilares de sustentação de sua

cobertura) não ficou dentro dos padrões desejados. Diante dessa situação foi proposto o

seguinte problema:

“Qual é a “largura” da área de escape para que a área total da quadra (área útil

mais área de escape) seja 682m2, observando-se que a região útil da quadra tem a forma

retangular com 17m de largura e 26m de comprimento, que a área de escape é a área da

região que forma uma “moldura” em torno da área útil da quadra distando igualmente de cada

um dos lados, e que 682m2 é a área de uma quadra tendo área de escape dentro dos padrões

de segurança desejado (considerando a área útil)?”

Note que esse problema se resume em resolver uma equação do tipo:

(2x+a).(2x+b)= c, onde a e b são, respectivamente, a largura (17m) e o comprimento (26m) da

quadra (área útil), x é a largura da moldura (área de escape) e c = 682, ou ainda (y+a).(y+b) =

c, se consideramos 2x = y.

Figura 1 – Foto da quadra de esportes e esboço da situação problema.

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2. DESENVOLVIMENTO E ATIVIDADES

Este trabalho, cujo objetivo principal foi o estudo de equação do segundo grau

motivado em um problema concreto, foi desenvolvido no período de onze semanas, por meio

de aulas práticas e teóricas, utilizando durante sua execução vários recursos, como jogos,

informática, pesquisa de campo, além de vídeo e leitura de livro paradidático, conforme descrito

a seguir.

Atividade 1. Vídeo Telecurso 2000

Num primeiro momento foi trabalhado o conceito de equação do 2º grau com

recurso do vídeo - Telecurso 2000 – aula 75 - com a dedução da fórmula de Bhaskara.

Atividade 2 : Leitura de Livro Paradidático

Uma atividade interessante foi a leitura do Livro Paradidático “As mil e uma

Equações”, que narra as aventuras de três amigos, Ahmed, Kamal e Najla, jovens aventureiros,

que se vêem às voltas com o poderoso emir Mustafa Al Malik e participam de sua caravana

pelos desertos da Arábia. Eles conhecem o famoso matemático Omar Ibn Sinan que, a título de

diversão, propõe divertidas recreações matemáticas durante a viagem. O trio ainda participa

como coadjuvante numa disputa entre dois pretendentes pela mão da princesa, filha do emir,

por meio de um torneio intelectual. Em meio a todas essas aventuras, o trio tem de resolver

intrincados problemas matemáticos propostos por Omar Ibn Sinan. São questões práticas, tais

como: a que preço um determinado comerciante deve vender suas cabras (para ter lucro), ou

qual a melhor maneira de construir uma cerca em certo terreno. As personagens elaboram um

método para solucionar equações do segundo grau, chegando a desenvolver uma fórmula para

a resolução de tais equações, conhecida como fórmula de Bháskara.

Figura 2 - Vídeo Telecurso.

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Figura 3 – Capa do Livro - As Mil e Uma Equações.

Atividade 3: O jogo Vai-e-vem das Equações

Um jogo utilizado foi o “Vai-e-Vem das Equações”, cujo modelo do “tabuleiro”

apresentamos na Figura 4. Os tabuleiros utilizados em sala de aula (em 2006) foram

construídos em EVA pelos bolsistas do projeto do NE, Informática e o Ensino de Matemática.

Figura 4 - Tabuleiro do jogo Vai-e-Vem das Equações.

Ao trabalhar com tal jogo, observamos que os alunos apresentavam dificuldades

em reconhecer os coeficientes de uma equação do 2º grau e em trabalhar com as regras de

sinais – houve mediação das professoras e bolsistas do projeto. Segundo os alunos, o jogo

tornou a resolução da equação do 2º grau mais interessante e ajudou-os a esclarecer dúvidas

em relação às dificuldades citadas.

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Figura - Alunos jogando vai-e-vem das equações.

Atividade 4: O Algeplan

Um outro interessante material concreto utilizado foi o “Algeplan”, que é um

importante recurso didático no estudo de fatoração e da equação do 2º grau (que possua

raízes inteiras e não muito grandes). O Algeplan e algumas atividades relacionadas estão

descritos num outro artigo (Fanti et al – [2]) que foi submetido para publicação na revista do

Núcleo de Ensino.

Atividade 5: O Software Equação do 2º grau V 1.5

O software Equação do 2º grau V 1.5 é um programa bastante simples, que faz

os cálculos do Delta (discriminante), � = B2 - 4AC, e das raízes de uma equação do tipo

Ax2 + Bx + C = 0, uma vez dados os coeficientes A, B e C. Foi utilizado juntamente com o jogo

vai-e-vem das equações: enquanto a dupla que jogava fazia os cálculos mentalmente, a dupla

adversária com, auxílio do software, verificava se a resposta estava correta.

Figura 6 – Equação do 2º grau V 1.5.

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Figura 7 – Alunos trabalhando com o Software Equação do 2º grau V 1.5.

Atividade 6: Pesquisa de campo

A pesquisa de campo foi realizada com o auxílio dos professores de Educação

Física (Hildebrando Gonçalves Borges, em 2005, e João Modesto Vasques, em 2006).

Figura 8 - Pesquisa de Campo – Prof. Hildebrando G. Borges.

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Figura 9 - Pesquisa de Campo – Prof. João Modesto Vasques.

Na pesquisa de campo, os alunos tomaram conhecimento do problema da

quadra (área de escape) e obtiveram algumas informações (medida oficial da quadra para cada

tipo de jogo – comprimento e largura, altura da curva da cobertura).

Figura 10 – Cobertura da quadra de esportes.

Atividade 7. Resolução do problema inicialmente proposto

Sabendo das dimensões da área útil da quadra, 26m de comprimento e 17m de

largura, os alunos calcularam qual seria a largura da faixa da área de escape (que contorna a

área útil), se a área total da quadra fosse 682 m2 , ou seja, resolveram a equação:

(17+2x).(26+2x) = 682 ou (17+y).(26+y) = 682 (considerando y = 2x).

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Mais precisamente, tem-se

442 + 17y + 26y +y2 - 682 = 0, ou ainda, y2 + 43y - 240 = 0.

Aplicando então a fórmula de Bhaskara, obtém-se,

2)240.(44343

y2 −−−

=+−

Assim y = 5 ou y = - 48. Como as medidas, no problema, não podem ser

negativas, o resultado é y = 5m. E, portanto x = 2,5 cm é a medida da largura da faixa da área

de escape em cada lado da quadra. Verificando o resultado obtido: 22m x 31m = 682m2 que

deve ser a área total da quadra com a nova área de escape.

Atividade 8: Representando, com o Winplot, a parábola associada a cobertura da quadra.

Para a representação da parábola associada à cobertura da quadra (a partir da

viga) foi utilizando o software Winplot. Primeiramente, utilizando as novas dimensões da

quadra (isto é, incluindo as novas medidas da área de escape) os alunos modelaram o

problema e calcularam, através da “forma fatorada”, a função do 2º grau que descreve a

parábola a partir da viga:

Figura 11 – Modelando os dados para obtenção da função quadrática associada.

Mais precisamente, considerando os dados, obtem-se que y = a(x- 0)(x- 22) =

ax2- 22ax. Agora, levando em conta o vértice, isto é, o ponto (xv, yv) = (11, 3), conclui-se que

3 = a(11)2 + 11(-22a), e assim a = - 3/121 = - 0,024793 (resultado aproximado). De onde

segue que b =(0,024793).22 = 0,545456. Portanto a função que dá origem à parábola é y = -

0,024793x2 + 0,545456x, ou usando números fracionários y = 22x)(x113 2 −− .

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Figura 12 – Gráfico da função quadrática associada a cobertura da quadra (parábola)-Winplot.

Figura 13 – Construção do gráfico – parábola – Laboratório de Informática.

Atividade 9: Equação da Cobertura da Quadra (Parábola) e o Excel

O Excel também foi utilizado para a construção do gráfico (parábola) com o

propósito de não somente interpretar o gráfico, mas também explorar esse excelente programa

para cálculos matemáticos.

Figura 14 - Construindo o Gráfico com o software Excel.

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3. CONCLUSÕES

Com o desenvolvimento deste trabalho foi possível introduzir algumas

curiosidades Matemáticas relativas a equações, trabalhar com conceitos básicos como

coeficientes de uma equação e verificação de uma solução, comprovar que há situações reais

que recaem no estudo de tal equação, deduzir e aplicar a fórmula (de Bhaskara) da resolução

de equações do 2º grau, além de explorar a representação de uma parábola (gráfico de uma

função quadrática) no plano cartesiano. Pudemos observar que o estudo de um determinado

tópico por meio de várias formas/métodos permite um aprendizado mais significativo por parte

dos alunos, pois as chances deles se identificarem com um desses métodos são bem maiores.

Observamos também que quando tratamos de temas matemáticos a partir de informações

fornecidas pelo cotidiano dos alunos, as atividades ficam mais prazerosas e interessantes.

Utilizar diferentes metodologias de ensino, como jogos, pesquisa de campo e utilização de

tecnologias, pode aproximar um pouco mais a matemática do mundo real do estudante e

motivá-lo fortemente.

4. BIBLIOGRAFIA

[1] FANTI, E.L.C., BAGNAM, T., BOCCARDO, M., Explorando funções reais com o software Winplot (minicurso). In: XVIII Semana da Matemática – UNESP – S. J. R. Preto, 2005.

[2] FANTI, E.L.C; KODAMA, H. M. Y.; MARTINS, A. C. C.; CUNHA, A. F. S.; Ensinando Fatoração e Funções Quadráticas com o Apoio de Material Concreto e Informática; submetido para publicação na rev. Pró-Reitoria de Graduação Núcleos de Ensino da UNESP.

[3] JAKUBOVIC, J., LELLIS, M. CENTURIÓN, M. – Matemática na Medida Certa. Editora Scipione - 9ª edição, p.36 – 69, 2005.

[4] MARTINS, A. C. C.; CUNHA, A. F. S.; SILVA, A. F.; FANTI, E.L.C; Estudo da Função do 2º grau e Função Quadrática no Cotidiano. In: III Bienal da SBM - Goiânia, 2006.

[5] Vídeo: Telecurso 2000 – 2º grau, aulas 31 e 75.

[6] www.abed.org.br/congresso2004/por/htm/135-TC-D2.htm

[7] http://www.eduquenet.net/jogosmatematicos.htm

[8] http://www.matematicahoje.com.br/telas/sala/didaticos/recursos_didaticos.asp

[9] http://www.mat.ibilce.unesp.br/laboratorio/

[10] http://revistaescola.abril.com.br/home/home.shtml