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Variedades de Thom-Boardman, Ideais Jacobianos e
Singularidades de Aplicacoes Diferenciaveis
Agradecimentos
A Deus por mais um sonho realizado.
A minha maravilhosa famılia pelo incentivo e amor.
Ao Junior pelo companheirismo, carinho e paciencia.
Ao Prof.Dr. Marcelo pelo voto de confianca e pelo exemplo de dinamismo e otimismo.
Ao departamento de Matematica do Instituto de Geociencias e Ciencias Exatas, U-
NESP/Rio Claro pela minha formacao, especialmente aos professores: Alice, Anızio, Nativi
e Rosa pelo carinho e pela paciencia. Ao PET (Programa de Aperfeicoamento de Ensino)
pela filosofia do programa que tanto me beneficiou.
A turma de Matematica (Bacharelado e Licenciatura) de 1996 por tantas amizades (que
saudade . . . )
Ao Helton pela disposicao de, juntamente com o Prof.Dr. Marcelo, produzir o software
”Jacobian”, [1], poupando-me horas de calculos.
Ao Instituto de Ciencas Matematicas e Computacionais-USP/Sao Carlos. Ao Grupo de
Singularidades. Aos meus colegas do programa de Pos Graduacao, especialmente aos amigos:
Claudia, Esdras, Hildebrane, Karina e Sergio.
A todos amigos que direta ou indiretamente contribuıram para a realizacao deste.
Este trabalho contou com o apoio financeiro da FAPESP.
i
Resumo
Neste trabalho e desenvolvido um estudo sobre a relacao entre as variedades de Thom-
Boardman e os ideais jacobianos iterados associados a estas variedades. Inicialmente sao estu-
dadas as singularidades de Thom-Boardman associadas a germes de aplicacoes analıticas com
a finalidade de introduzir as variedades de Thom-Boardman no espaco de jatos. Posterior-
mente sao estudados os ideais jacobianos extendidos, seguindo a construcao de Morin. Final-
mente e definido de multiplicidade ci(f) associada a um sımbolo de Boardman i = (i1, . . . , ik)
e ao extrato Σi(f). A seguinte questao e explorada:
Seja f : (Cn, 0) → (Cp, 0) um germe de aplicacao finitamente determinado e i um sımbolo
de Boardman tal que Σi tem codimensao n no espaco de jatos correspondente Jk(n, p), quando
ci(f) e igual ao numero de pontos de tipo Σi que aparecem em uma deformacao generica de
f ?
ii
Abstract
In this work we study about the relation between the Thom-Boardman manifolds and the
iterated jacobian ideals associate to this manifolds. First, we study the Thom-Boardman
singularities associate to analitic map germs with the objective to introduce Thom-Boardman
manifolds in the jet space. After, we study the extended jacobians ideals, following Morin
construction.
We give the definition of the multiplicity ci(f) associate to a Boardman symbol i =
(i1, . . . , ik) and the stratum Σi(f). The following question is explored:
Let f : (Cn, 0) → (Cp, 0) be a finitely determined map germ and i a Boardman symbol
such that Σi has codimension n in the corresponding jet space Jk(n, p), when is ci(f) equal
to the number of Σi points that appear in a generic deformation of f?
iii
Sumario
Introducao 2
1 Preliminares 3
1.1 Germes e k-Jatos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Transversalidade e o Teorema de Thom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Criterio da determinacao finita para os grupos de Mather . . . . . . . . . . . 7
1.4 Algebra Comutativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Conjuntos singulares 16
2.1 Singularidades de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Singularidades de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Conjunto de singularidades de Thom-Boardman 29
3.1 Extensoes jacobianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Ideal de Morin - Teorema 3.1.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 Desdobramentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4 Multiplicidade de singularidades de Thom-Boardman 39
4.1 A multiplicidade ci(f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2 ci(f) e aplicacoes genericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.3 ci(f) e deformacoes genericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.4 Caracterizacao dos aneis Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.5 Singularidades de (C5, 0) em (C4, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Trabalhos futuros 57
Bibliografia 58
1
Introducao
A procura por invariantes geometricos e topologicos de germes de aplicacoes tem sido um dos
principais ramos da pesquisa em Teoria de Singularidades. Dentre estes, as singularidades de
Thom-Boardman sao fundamentais. Um bom entendimento sobre o comportamento destas
singularidades em famılias de germes e fundamental no estudo de questoes relativas a trivi-
alidade desta famılia.
Por outro lado, a associacao das singularidades de Thom-Boardman aos ideais jacobianos
ite-rados feita por Morin permite que, paralelamente ao estudo destas singularidades, seja
feito um estudo da algebra associada a estes ideais.
Este trabalho esta distribuıdo da seguinte forma: no Capıtulo 1 estao os pre-requisitos:
germes, k-jatos, transversalidade e alguns resultados de algebra comutativa.
No Capıtulo 2 sao dadas as definicoes de singularidades de primeira ordem, sımbolos de
Boardman e singularidades de ordem superior, definicao geometrica e algebrica. O ideal de
Morin e as singularidades de Thom-Boardman sao apresentados no Capıtulo 3.
Finalmente no Capıtulo 4 e dado a definicao de multiplicidade ci(f) e a seguinte questao
e explorada:
Seja f : (Cn, 0) → (Cp, 0) um germe de aplicacao finitamente determinado e i um sımbolo
de Boardman tal que Σi tem codimensao n no espaco de jatos correspondente Jk(n, p), quando
ci(f) e igual ao numero de pontos Σi que aparece em uma deformacao generica de f ? Ainda
no Capıtulo 4, ha um estudo para o caso de germes analıticos de (C5, 0) em (C4, 0).
2
Capıtulo 1
Preliminares
1.1 Germes e k-Jatos
Sejam N, P variedades de dimensoes n e p, respectivamente e x ∈ N . Considere o conjunto
de todas as aplicacoes f : U → P de classe C∞ cujo domınio U e vizinhanca de x em N .
Nesse conjunto introduzimos uma relacao de equivalencia ( ∼):
Definicao 1.1.1. Dadas duas aplicacoes de classe C∞ f1 : U1 → P e f2 : U2 → P , f1 ∼ f2
se existir uma vizinhanca U de x em N para que as restricoes f1 | U e f2 | U coincidem.
As classes de equivalencia sobre essa relacao sao chamadas de germes de aplicacoes em
x e um elemento da classe de equivalencia e chamado de representante do germe em x.
Notacao : f : (N, x) → (P, y) , f(x) = y (chamamos N de fonte e P de meta).
Para cada germe f : (N, x) → (P, y) associamos a derivada dxf : TxN → TyP que e
definida como sendo a derivada em x de qualquer representante. Um germe e invertıvel se,
e somente se, sua derivada e invertıvel. O rank de um germe e definido como o rank de sua
derivada em x. Quando o rank e igual a dimensao de N o germe e imersıvel e quando o
rank e igual a dimensao de P o germe e submersıvel. Logo, um germe sera invertıvel se e
somente se for imersıvel e submersıvel. Quando o germe nao e imersıvel e nem submersıvel
em x dizemos que x e ponto singular.
Definicao 1.1.2. Dois germes f1 e f2 sao equivalentes quando existem germes invertıveis h
e k para os quais o seguinte diagrama comuta:
3
(N1, x1)f1−→ (P1, y1)
h ↓ ↓ k
(N2, x2)f2−→ (P2, y2)
Denotamos por En,p o conjunto dos germes de aplicacoes f : Kn, 0 → Kp de classe C∞.
Quando p = 1 este conjunto e denotado por En. Observemos que En e um anel local cujo
ideal maximal e denotado por mn.
Como qualquer germe f : (N, x) → (P, y) e equivalente a algum germe (Kn, 0) → (Kp, 0),
onde K = R ou K = C. Podemos considerar germes (Kn, 0) → (Kp, 0).
Definicao 1.1.3. O espaco dos jatos Jk(n, p) e o espaco vetorial real de todas as aplicacoes
f : Kn → Kp onde cada componente fi de f e um polinomio de grau ≤ k nas coordenadas
canonicas x1, x2, . . . , xn em Kn com termo constante zero. Os elementos de Jk(n, p) sao
chamados de k− jatos.
Para cada germe de aplicacao f : Kn, 0 → Kp e cada a ∈ Kn, e definida a aplicacao
jkf : Kn → Jk(n, p) por:
jkf(a) e o desenvolvimento ate a ordem k (inclusive) da serie de Taylor de f(x)− f(a) em
uma vizinhanca da origem.
Assim temos uma aplicacao de classe C∞
jkf : Kn → Jk(n, p)
a 7→ jkf(a)
chamada de k-jato de f em a.
Ao conjunto En,p definimos uma topologia atraves de um sistema fundamental de vizin-
hancas.
Definicao 1.1.4. Seja f ∈ En,p. Dados ε > 0, R > 0 e k ∈ N associamos a f uma
vizinhanca fundamental em En,p composta de todos os germes de aplicacoes g : Kn, 0 →Kp tais que : ∀x ∈ Kn com |x| ≤ R, ‖jkf(x) − jkg(x)‖ < ε, onde ‖ ‖ e uma norma fixada
no espaco dos jatos Jk(n, p) .
A seguir aplicamos alguns teoremas sobre transversalidade para o espaco En,p.
4
1.2 Transversalidade e o Teorema de Thom
Definicao 1.2.1. Dois subespacos U e W de um espaco vetorial V se interceptam transver-
salmente quando U + W = V . Notacao: U |∩W .
Definicao 1.2.2. Duas subvariedades N1 e N2 de uma variedade N se interceptam transver-
salmente em x ∈ N1∩N2 quando os espacos tangentes TxN1 e TxN2 se interceptam transver-
salmente em TxN . N1 e N2 se interceptam transversalmente em N quando se interceptam
transversalmente em qualquer ponto em N1 ∩N2. Se N1 ∩N2 = ∅, convencionamos N1 |∩N2.
Denotamos por graf(f) o grafico de uma aplicacao f : N → P , isto e,
graf(f) = {(x, y) ∈ N × P : y = f(x)}
Definicao 1.2.3. Sejam f : N → P de classe C∞ e Q subvariedade de P , f e transversal
a Q quando graf(f) e N ×Q se interceptam transversalmente em N × P . Notacao: f |∩Q
Teorema 1.2.4 ([12],(1.1) pag.39). Seja f : Nn → P p de classe C∞ e seja Q subva-
riedade de P . Uma condicao equivalente para f |∩ Q e que : ∀x ∈ N com y = f(x) ∈ Q
temos
dxf(TxN) + TyQ = TyP. (1)
Exemplo 1.2.5. (i) Suponha que f e uma submersao. Neste caso dxf(TxN) e um subespaco
p-dimensional do espaco vetorial p-dimensional TyP , logo, dxf(TxN) = TyP . Concluimos,
portanto, que uma submersao f : N → P e transversal a toda subvariedade Q ⊆ P .
(ii) Se a equacao (1) e verdadeira para algum x entao codim Q ≤ dimN . Assim se
codim Q > dimN , entao, a transversalidade de f : N → P a Q e equivalente a imagem f(N)
ser disjunta de Q.
(iii) Seja Q um ponto em P . Se f e transversal a Q entao Q e chamado de valor regular
de f . Um ponto x ∈ N tal que f(x) nao e regular e um ponto crıtico de f e f(x) e um
valor crıtico. A condicao para que x seja ponto crıtico e que dxf nao seja sobrejetiva, isto
e, rank(dxf) < p. Por exemplo, quando N = P = R os pontos crıticos sao os pontos onde
a derivada se anula; e os valores crıticos sao numeros reais c tais que a reta y = c nao
intercepta transversalmente o graf(f).
5
Teorema 1.2.6 ([12],(1.2) pag.41). Seja f : Nn → P p de classe C∞ e seja Qq sub-
variedade de P com f |∩ Q. Entao f−1(Q) e uma subvariedade de N com a mesma codi-
mensao de Q, ou e vazia. Alem disso, para qualquer ponto em N com y = f(x) ∈ Q,
Txf−1Q = dxf
−1(TyQ).
Teorema 1.2.7 ([12], (2.1) pag.49). (Teorema de Sard) Seja fi : Ni → P uma famılia
contavel de aplicacoes de classe C∞. A intersecao dos conjuntos dos valores regulares de
todas as fi e denso em P .
Se consideramos uma aplicacao de classe C∞ F : N ×S → P , podemos ver tal aplicacao
como uma famılia de classe C∞ de aplicacoes de classe C∞ fs, fs : N → P , onde fs(x) =
F (x, s) e parametrizada pelos elementos s ∈ S.
Lema 1.2.8 ([12], (2.2) pag.49). Seja F : N × S → P uma famılia de aplicacoes de
classe C∞ transversal a subvariedades Q1, . . . , Qt de P . Entao existe um conjunto denso de
parametros s, pertencente a S tal que fs e transversal a Q1, . . . , Qt.
Definicao 1.2.9. Um subconjunto X ⊂ En,p e denso quando: dada qualquer aplicacao
f ∈ En,p e qualquer vizinhanca fundamental V de f podemos encontrar uma aplicacao g em
X com g ∈ V .
Como consequencia do Teorema de Sard, obtemos os seguintes:
Teorema 1.2.10 ([12], (3.1) pag. 52). O conjunto dos germes de aplicacoes tranversais
a subvariedades Q1, . . . , Qt de Kp e denso em En,p.
Teorema 1.2.11 ([12], (4.1) pag. 53). (Teorema da transversalidade de Thom) Sejam
Q1, . . . , Qt subvariedades do espaco dos jatos Jk(n, p). O conjunto de todas as aplicacoes
f ∈ En,p tais que jkf : Kn → Jk(n, p) e transversal a Q1, . . . , Qt e denso em En,p.
Observamos que a transversalidade e invariante por A-equivalencia, ou seja: se f1 e f2
sao germes de aplicacoes A-equivalentes, isto e, existem germes invertıveis h e k tais que
k◦f1◦h−1 = f2 e Q1 e Q2 sao subvariedades de P1, P2, respectivamente, tais que k(Q1) = Q2.
Entao, f1 e transversal a Q1 se, e somente se, f2 e transversal a Q2.
6
1.3 Criterio da determinacao finita para os grupos de
Mather
Os grupos de Mather R,L,A, C,KR e o grupo de germes de diofeomorfismos Kn, 0 → Kn, 0, L e o grupo dos germes de
difeomorfismos Kp, 0 → Kp, 0 e A e o produto direto R×L. Definimos acoes destes grupos
sobre mn.En,p como:
h.f = f ◦ h−1, h ∈ Rk.f = k ◦ f, k ∈ L
(h, k).f = k ◦ f ◦ h−1, (h, k) ∈ Aonde f ∈ mn.En,p. O grupo R (respectivamente L) e tambem chamado o grupo de mudancas
de coordenadas na fonte (respectivamente na meta).
O grupo C e o grupo de germes de difeomorfismos Kn × Kp, 0 → Kn × Kp, 0 que sao
escritos na forma H(x, y) = (x, H(x, y)) com H(x, 0) = 0 para x ∈ Kn proximo da origem.
A acao de C sobre mn.En,p e definida como:
H.f(x) = H(x, f(x)), H ∈ C, f ∈ mn.En,p
C pode ser visto como o grupo de difeomorfismos Kp, 0 → Kp, 0 parametrizados por
x ∈ Kn. Denotando hx(y) = H(x, y) a formula antecedente pode ser escrita na forma:
H.f(x) = hx(f(x))
O grupo K e o grupo dos germes de difeomorfismos Kn × Kp, 0 → Kn × Kp, 0, que sao
escritos na forma H(x, y) = (h(x), H(x, y)), onde h ∈ R, H(x, 0) = 0 para x ∈ Kn proximo
da origem. A acao de K sobre mn.En,p e definida como :
H.f(x) = H(h−1(x), f(h−1(x))), H ∈ K, f ∈ mn.En,p
Isto e,
H.f(x) = hx(f(h−1(x)))
7
O grupo K e chamado grupo de contato. O grupo C e um subgrupo normal de K e os
grupos R,L,A podem ser identificados com subgrupos de K.
Definicao 1.3.1. O espaco tangente a En,p em f denotado θf e En-modulo de campos de
vetores ao longo de f .
Definicao 1.3.2. Seja G um subgrupo de K. A algebra de Lie, denotada por LG, e definida
como segue. Seja φ : (−ε, ε)×Kn+p, 0 → Kn+p, 0 uma curva em G tal que φ0 e a identidade
em G, derivando φ temos um campo de vetores
z → ∂φ
∂t(t, z)|t=0
O conjunto de todos estes campos e denotado por LG e e chamado algebra de Lie do
grupo G.
Observamos que LR = mn.θn e LL = mp.θp.
Definimos o En-homomorfismo
tf : θn → θf
φ 7→ df ◦ φ
e o Ep-homomorfismo, via f ∗ : En → En, α 7→ α ◦ f para α ∈ Ep:
wf : θp → θf
ψ 7→ ψ ◦ φ
Entao os espacos tangentes as orbitas destes grupos de Mather sao dados por
LR.f = tf(mn.θn), LL.f = wf(mp.θp), LC.f = f ∗(mp).θf , LA.f = LR.f + LL.f,
LK.f = LR.f + LC.f
Definicao 1.3.3. Um germe f ∈ mn.En,p e k-G-determinado se qualquer g ∈ mn.En,p
tal que jk(f) = jk(g) e G-equivalente a f . Um germe f e G-finitamente determinado se e
k-G-determinado para algum k.
Teorema 1.3.4. [6] Para f ∈ En,p e G um grupo de Mather, sao equivalentes
(i) f e finitamente G-determinado;
8
(ii) Para algum k, mkn.θf ⊂ LGf ;
(iii) d(f,G) ≤ ∞;
(iv) de(f,G) ≤ ∞, onde de denota a codimensao estendida de f .
Alem disso, se consideramos ε = 1 para G = R, C ou K e ε = 2 para G = L,A, temos
(i) Se f e r-G-determinado, entao mr+1n .θf ⊂ LGf ;
(ii) Se mr+1n .θf ⊂ LGf , entao f e (εr + 1)-G-determinado;
(iii) Se d(f,G) = d ≤ ∞, entao m(d+1)εn .θf ⊂ LGf .
Gaffney em [11] apresenta um importante criterio, em termos de multi-germes, para a
determinacao finita de um germe f : (Cn, 0) → (Cp, 0).
Definicao 1.3.5. Seja S um conjunto em Kn. Duas aplicacoes f, g : Kn → Kp definem o
mesmo multi-germe em S se sao iguais em alguma vizinhanca de S. Denotamos isto por
f : (Kn, S) → (Kp, f(S)). No caso que S consiste de apenas um ponto, tais germes sao
chamados mono-germes. Consideramos multi-germes tais que S e um conjunto finito, a
saber, S = {x1, . . . , xr} e denotamos por f (i) : (Kn, xi) → (Kp, f(xi)) o ramo de f em xi
para i = 1, . . . , r.
Teorema 1.3.6. [11] Seja f : (Cn, 0) → (Cp, 0) um germe holomorfo K-finitamente de-
terminado. Entao este germe e A-finitamente determinado se, e somente se, para cada
representante de f , existe uma vizinhanca u de 0 em Cn e V de 0 em Cp tais que se
y ∈ V − {0}, f−1(y) ∩ Σf ∩ U = {x1, . . . , xr}, entao o multi-germe de f em {x1, . . . , xr} e
A-estavel.
Como vemos em Mather em [14], nem sempre existem germes de aplicacoes A-estaveis
de Cn em Cp.
Mather mostra que este conjunto, ou seja, o conjunto dos germes de aplicacoes A-estaveis
de Cn em Cp e aberto para qualquer par de dimensoes (n, p), mas este conjunto e nao vazio
nas boas dimensoes ([14], Proposicao 2, pag. 182), que definimos abaixo.
Definicao 1.3.7. Para n ≤ p, o par (n, p) e uma boa dimensao se, e somente se, pelo menos
uma das condicoes abaixo valem:
9
(i) n <6
7p +
8
7;
(ii) n <6
7p +
9
7, p− n ≤ 3.
1.4 Algebra Comutativa
Os resultados e definicoes desta secao tem como referencia basica o livro de Matsumura [15],
secoes 1 (§1), 4 (§4 e §5), 6 (§17) e 7 (§21).
Iremos considerar nesta secao um anel A comutativo com unidade.
Estrutura reduzida
Definicao 1.4.1. Seja I um ideal de A. O conjunto
√I = {a ∈ A : an ∈ I, n > 0}
e chamado radical de I.
Se I = (0) entao√
(0) e o conjunto de todos os elementos nilpotentes de A e e chamado
nilpotente de A, que e denotado por nil(A).
Definicao 1.4.2. Seja I um ideal de A. Dizemos que A e reduzido quando nil(A) = 0.
Dimensao de Krull
Definicao 1.4.3. Spec A e o espaco dos ideais primos do anel A.
Definicao 1.4.4. Seja Γ um conjunto parcialmente ordenado. Uma cadeia γ1 ≤ γ2 ≤ . . . de
elementos de Γ satisfaz a condicao c.c.c. (condicao da cadeia crescente) se para algum
N , temos γN = γN+1 = γN+2 = . . .. Analogamente, uma cadeia γ1 ≥ γ2 ≥ . . . de elementos
de Γ satisfaz a condicao c.c.d. (condicao da cadeia decrescente) se para algum N , temos
γN = γN+1 = γN+2 = . . ..
Em ambos os casos, N e chamado comprimento da cadeia γi.
Definicao 1.4.5. Se o conjunto dos ideais de um anel A satisfaz a condicao c.c.c, A e um
anel Noetheriano e se satisfaz c.c.d., A e uma anel Artiniano.
Lema 1.4.6. Se A e um anel Noetheriano entao Spec A e um espaco topologico Noetheriano.
10
Definicao 1.4.7. Um conjunto fechado nao vazio V em um espaco topologico e redutıvel
se ele pode ser expresso como a reuniao V = V1 ∪ V2 de dois conjuntos fechados V1, V2 e
irredutıvel caso contrario.
Lema 1.4.8. Se p ∈ Spec(A) entao V (p) e um conjunto fechado irredutıvel, reciprocamente,
todo conjunto fechado irredutıvel de Spec A pode ser escrito como V (p) para algum p ∈Spec A.
Definicao 1.4.9. Seja X um espaco topologico; consideremos cadeias estritamente decres-
centes (ou estritamente crescentes) Z0, Z1, . . . , Zr de comprimento r de subconjuntos fecha-
dos irredutıveis de X. O supremo dos comprimentos, tomado sobre todas as tais cadeias, e
chamado dimensao combinatorial de X e e denotado por dim X.
Observacao 1.4.10. (i) Se X e um espaco Noetheriano entao nao existem cadeias estrita-
mente decrescentes infinitas, porem pode acontecer que dim X = ∞.
(ii) Se Y e um subespaco de X, entao dim Y ≤ dim X.
Definicao 1.4.11. Seja A um anel. O supremo dos comprimentos r, tomado sobre todas
cadeias estritamente decrescentes p0 ⊃ p1 ⊃ . . . ⊃ pr de ideais primos de A, e chamado de
dimensao de Krull, ou simplesmente dimensao de A e e denotado por dim A
Observacao 1.4.12. Segue do lema 1.4.8, que a dimensao de Krull e igual a dimensao
combinatorial de Spec A.
Observacao 1.4.13. Seja I um ideal no anel En. Entao dimCEn
I< ∞ se, e somente se, a
dimensao de Krull do anelEn
Ie zero.
Altura
Definicao 1.4.14. Para um ideal primo p de A, o supremo dos comprimentos, tomados
sobre todas as cadeias estritamente decrescentes de ideais primos p = p0 ⊃ p1 ⊃ . . . ⊃ pr e
chamado de altura de p, e e denotado por ht p.
Definicao 1.4.15. Para todo ideal I de um anel A definimos a altura de I como o sendo o
ınfimo das alturas dos ideais primos contendo I:
ht p = inf{ht p : I ⊂ p ∈ Spec A}
11
Observacao 1.4.16. (pag.12) E valida a seguinte desigualdade
ht + dim A/I ≤ dim A
Aneis Cohen-Macaulay
Definicao 1.4.17. Seja R = ⊕n≥0Rn um anel graduado, ou seja R = R0 ⊃ R1 ⊃ R2 ⊃. . . ⊃ Rn ⊃ . . ., Noetheriano com R0 Artiniano e M um R-modulo graduado finitamente
gerado. Entao cada Mn tem longitude finita como R0-modulo. Definimos a serie de Hilbert
de M como a serie formal
H(M, t) =∑n≥0
l(Mn)tn
onde l(Mn) e a longitude de Mn como R0-modulo, ∀n ≥ 0.
Proposicao 1.4.18. Seja R = ⊕n≥0Rn um anel graduado Noetheriano com R0 Artiniano e
M um R-modulo graduado finitamente gerado de dimensao d. Suponha que R seja gerado
sobre R0 por elementos de grau 1. Entao existe um unico polinomio QM(t) ∈ Z[t, t−1]:
H(M, t) =QM(t)
(1− t)d
Definicao 1.4.19. Longitude
Definicao 1.4.20. Nas hipoteses da proposicao anterior definimos multiplicidade de M
como o numero e(M) = QM(1) 6= 0. Quando R e de dimensao 0 entao e(M) e igual a
longitude l(M) de M .
Definicao 1.4.21. Suponha que R e um anel Noetheriano local qualquer e I um ideal de
definicao de R, ou seja, se m e o ideal maximal de R, entao existe k ≥ 1 tal que mk ⊆ I.
Seja M um R-modulo finitamente gerado. Definimos a multiplicidade de M em relacao
a I como a multiplicidade do anel graduado grI(M) = ⊕n≥0InM
In+1M.
Quando M = R denotamos e(I, R) por e(I) e chamamos este numero de multiplicidade
de I. Se I = m, entao e(m,R) e a multiplicidade de R, que denotamos por e(R).
Vejamos algumas propriedades de e(I).
12
Proposicao 1.4.22. Seja (R, m) um anel local de dimensao d e I um ideal de definicao de
R. Sao validas as seguintes propriedades:
(i) e(I) > 0;
(ii) Se I ⊆ J entao e(I) ≥ e(J);
(iii) e(I) = limn→∞(d!/nd)l(R/In). Em particular, e(I) = l(R) quando d = 0;
(iv) Se r ≥ 1, entao e(Ir) = rde(I);
(v) Se I e gerado por d elementos entao l(R/I) ≥ e(I).
Definicao 1.4.23. Seja (R, m) um anel local, M um R-modulo e I um ideal de R. Uma
sequencia de elementos x1, . . . , xn contida em I e M-regular se x1 nao e divisor de zero em
M e xi nao e divisor de zero em
M/〈x1, . . . , xi〉M, ∀i = 2, . . . , n.
Se I = m e R = M , dizemos simplesmente que x1, . . . , xn e uma sequencia regular.
Definicao 1.4.24. Seja (R, m) um anel local, M um R-modulo e I um ideal de R. Uma
sequencia M-regular x1, . . . , xn em I e maximal quando x1, . . . , xn, x nao e uma sequencia
M-regular, para todo x ∈ I.
Definicao 1.4.25. Toda sequencia M-regular maximal contida em I tem o mesmo numero de
elementos. Chamamos este numero de profundidade de I em M , denotamos este numero
por depth(I, M). Se I e ideal maximal m de R, denotamos depth(m,M) por depth(M) e o
chamaremos de profundidade de M . Se M = R, escrevemos depth(I).
Observacao 1.4.26. (pag.13) Vale a seguinte desigualdade: depth(I) ≤ ht(I).
Definicao 1.4.27. Se d = dim M e x1, . . . , xd e uma famılia de elementos de R que gera
um ideal I tal que dimM
IM= 0, entao x1, . . . , xd e chamado um sistema de parametros
de M .
Definicao 1.4.28. Se I e gerado por um sistema de parametros de M dizemos que I e um
ideal de parametros de M .
13
Observacao 1.4.29. Toda sequencia M -regular e parte de um sistema de parametros e
portanto
depth M ≤ dim M
Definicao 1.4.30. M e Cohen-Macaulay quando depth M = dim M .
R e um anel Cohen-Macaulay quando R e um modulo Cohen-Macaulay sobre si mesmo.
Definicao 1.4.31. Seja R um anel local. R e um anel regular se o ideal maximal de R e
gerado por um sistema de parametros.
Observacao 1.4.32. Todo anel regular e Cohen-Macaulay.
Teorema 1.4.33. Seja R um anel Noetheriano local. Entao as seguintes condicoes sao
equivalentes:
(i) R e Cohen-Macaulay;
(ii) e(I) = l(R/I), para qualquer ideal de parametros I de R;
(iii) e(I) = l(R/I), para algum ideal de parametros I de R.
Teorema 1.4.34. Seja (R,m) um anel Noetheriano local, x1, . . . , xn ∈ m e M ′ = M/〈x1, . . . , xn〉M ,
sao validas:
(i) Se x1, . . . , xn e uma sequencia M-regular, entao M e Cohen-Macaulay;
(ii) Se R e Cohen-Macaulay, entao x1, . . . , xn e uma sequencia regular se, e somente se,
ht(x1, . . . , xn) = n.
Definicao 1.4.35. Um ideal I em R e uma intersecao completa se I e gerado por uma
R-sequencia. Neste caso, o anel A = R/a e chamado de anel de intersecao completa (c.i.).
Teorema 1.4.36. Seja A um anel Noetheriano local. Valem as seguintes implicacoes:
A regular ⇒ A c.i. ⇒ A Cohen-Macaulay
Os Lemas a seguir nos dao condicoes suficientes para que um conjunto seja de tipo
Cohen-Macaulay.
14
Lema 1.4.37. [5] Sejam R um anel de Cohen-Macaulay de dimensao n, M = (cij) uma
matriz p× q com entradas em R e Ir o ideal gerado pelos menores de ordem r de M . Entao
sao validas:
(i) dim(R/Ir) ≥ n− (p− r + 1)(q − r + 1);
(ii) Se dim(R/Ir) = n− (p− r + 1)(q− r + 1), entao R/Ir e Cohen-Macaulay (neste caso,
Ir e chamado um ideal determinantal).
Lema 1.4.38. [13] Seja R um anel de Cohen-Macaulay de dimensao n. Seja M = (cij) uma
matriz simetrica de ordem m com entradas em R e seja It o ideal gerado pelos menores de
ordem (m− t + 1) de M . Entao sao validas:
(i) dim(R/It) ≥ n− t(t + 1)/2;
(ii) Se dim(R/It) = n− t(t + 1)/2, entao R/It e Cohen-Macaulay.
15
Capıtulo 2
Conjuntos singulares
2.1 Singularidades de primeira ordem
Definicao 2.1.1. Seja f : Kn, 0 → Kp um germe de aplicacao de classe C∞. O conjunto
singular de f , denotado por Σf , e o conjunto de todos os seus pontos singulares. A imagem
de Σf e chamada de conjunto de bifurcacao.
Denotamos por d(f) a matriz jacobiana de f .
Definicao 2.1.2. Seja f ∈ En,p. Para cada i = 1, . . . , min{n, p} o conjunto de singula-
ridades de 1a ordem Σi(f) e definido como o conjunto:
Σif = {x ∈ N : rank(ker(d(f))) = i}
Exemplo 2.1.3. Considere f : R2 → R2 definida por (x, y) 7→ (x2, y2)
Para calcular Σif , temos d(f) =
(2x 0
0 2y
).
Observamos que rank(ker(d(f))) = 0 se e somente se, (x, y) = (0, 0). Portanto, Σ2(f) =
{(0, 0)}.O conjunto Σ1f e determinado pelas equacoes x = 0 e y 6= 0 ou x 6= 0 e y = 0. Logo,
Σ1f = ({x = 0} ∪ {y = 0})− {(0, 0)}.O restante dos pontos (x 6= 0 e y 6= 0) pertencem a Σ0f pois rank(ker d(f)) = 0.
Observe que neste exemplo Σif e subvariedade de codimensao i para todo i.
Exemplo 2.1.4. Considere f : R2 → R2 definida por (x, y) 7→ (x2 + y, y2). Temos
d(f) =
(2x 1
0 2y
).
16
Note que Σ2f = ∅ pois rank(d(f)) 6= 0 para qualquer (x, y) pertencente a R2.
Temos que rank(ker d(f)) = 1 apenas se x = 0 ou y = 0, incluindo (0, 0). Logo, Σ1f =
{x = 0} ∪ {y = 0}.Como rank(ker d(f)) = 0 somente para x 6= 0 e y 6= 0 obtemos que Σ0f e formado por
todos os pontos fora dos eixos de coordenadas.
Neste exemplo Σ1f nao e uma subvariedade. Porem podemos fazer uma deformacao fs
de tal forma que Σ1fs passe a ser uma subvariedade para todo s 6= 0.
Considere a seguinte deformacao fs : R2 → R2 definida por (x, y) 7→ (x2+y, y2+4sx), s 6=0.
Entao d(fs) =
(2x 1
4s 2y
). Se fixarmos s 6= 0, rank(d(fs)) = 0 se e somente se,
detd(f)s = 0 ⇔ x.y = s. Assim, os pontos Σ1fs sao dados por x.y = s, uma hiperbole,
que e uma subvariedade.
Logo, o conjunto de singularidade Σ1fs mudou de um par de retas se interceptando para
um par de curvas disjuntas.
Definicao 2.1.5. Em J1(n, p) definimos o seguinte conjunto:
Σi = {j1f(x) ∈ J1(n, p) : rank(ker j1f(x)) = i}
Teorema 2.1.6. O conjunto Σi e uma subvariedade de J1(n, p) de codimensao
i(p− n + i)
Demonstracao: Essa demonstracao e feita em dois passos:
1o
Passo: seja E =
(A B
C D
)uma matriz p× n e A uma matriz k × k invertıvel.
Afirmacao: E tem rank k se e somente se, D = CA−1B.
Observe que para qualquer matriz X(n−k)×k, a matriz E tem o mesmo rank de:
E ′ =
(Ik 0
X Ip−k
)(A B
C D
)=
(A B
XA + C XB + D
)
Assim, podemos escolher X tal que XA + C = 0, ou seja, X = −CA−1.
Entao:
(A B
0 −CA−1B + D
)= E ′
17
Como A tem rank k, segue imediatamente que rank E = rank E ′ = k se e somente se,
D = −CA−1B.
2o
Passo: sejam E0 uma matriz em Σi e k tal que i + k = n.
Podemos supor sem perda de generalidade que:
E0 =
(A0 B0
C0 D0
)
com A0 uma matriz k × k invertıvel.
Devemos exibir uma vizinhanca aberta U de E0 em J1(n, p) e mostrar que U ∩Σi e uma
subvariedade de codimensao i(p− n + i).
Definimos entao uma vizinhanca aberta U de E0, com a propriedade que para cada matriz
E =
(A B
C D
)
nesta vizinhanca a matriz Ak×k e invertıvel.
Considere, agora, a seguinte aplicacao:
f : U → J1(p− k, n− k)
E 7→ D − CA−1B
Como f e uma submersao, f−1(0) e uma subvariedade de codimensao:
(p− k)(n− k) = (p− k)i = i(p− n(n− i)) = i(p− n + 1).
Mas f−1(0) = U ∩ Σi, pois se E ∈ f−1(0) entao, D = CA−1B se e somente se, E tem
rank k se e somente se, rank(ker E) = n− k = i, portanto E ∈ Σi.
O resultado a seguir e consequencia imediata dos Teoremas 2.1.6, 1.2.11 e 1.2.6.
Teorema 2.1.7. Existe um subconjunto denso de germes de aplicacao f ∈ En,p para o qual
j1f e transversal a todos os conjuntos Σi; alem disso Σif e uma variedade de codimensao
i(p− n + i).
Exemplo 2.1.8. Consideremos p ≥ 2n. Se supormos que uma aplicacao f ∈ En,p e tal que
j1f |∩ Σi, entao codim Σi = i(p− n + i) ≥ i(n + i) > n, pra todo i > 0. Logo, Σif = ∅ para
i > 0 e portanto f e uma imersao.
18
Obtemos entao que o conjunto das imersoes de Kn → Kp e denso e portanto, quando
p ≥ 2n toda aplicacao f ∈ En,p pode ser deformada por uma germe de aplicacao linear para
se tornar uma imersao.
Para o caso da curva f : R→ R2 dada por t 7→ (t2, t3) , observe que d(f) =
(2t
3t2
)e f
nao e imersao, pois, d(f)(0) nao e injetora. Porem, fs : R → R2 dada por t 7→ (t2, t3 − ts)
e uma imersao obtida de f por uma pequena deformacao linear pois d(f) =
(2t
3t2 − s
)e
injetora na origem.
Curva definida pela imagem da f Curva definida pela imagem da fs
Estudemos a condicao de j1f ser transversal a Σi para uma funcao f : Rn → R. Temos
que Σi ∈ J1(n, 1) e j1f : Rn → J1(n, 1) , assim
j1f |∩ Σi ⇔ da(j1f)(Rn) + Tj1fΣ
i = J1(n, 1),∀a ∈ Rn. (2)
Se identificamos J1(n, 1) a Rn atraves do isomorfismo que associa a cada aplicacao linear
f : Rn → R sua matriz relativa a base canonica e identificada com
(∂f(a)
∂x1
), . . . ,
(∂f(a)
∂xn
)e
concluımos que a matriz hessiana de f , H(f), e nao singular para todo ponto crıtico a ∈ Rn.
Observamos que em J1(n, 1) existem apenas os conjuntos Σn−1 e Σn de codimensao 0 e
n, respectivamente. Portanto, Σn−1 e um conjunto aberto e qualquer j1f e transversal a ele,
Σnf e definido pelas n condicoes∂f
∂x1
= 0, . . . ,∂f
∂xn
= 0 que e, exatamente, o conjunto dos
pontos crıticos de f .
Observe que a matriz jacobiana de j1f e precisamente H(f) e a imagem da derivada
de j1f e um subespaco do Rn gerado por suas colunas. Como, Σnf = (j1f)−1(Σn) ⇒j1f(Σnf) = Σn = 0 , ou seja, Σn e a origem do Rn.
Considerando que (2) e valida, obtemos que as colunas de H(f) geram Rn , isto e, H(f)
e nao singular.
19
Definicao 2.1.9. Um ponto crıtico de uma aplicacao f ∈ En,p tal que a matriz hessiana e
nao singular e chamado nao degenerado.
Portanto, concluimos que a condicao para j1f ser transversal a Σi e que todo ponto
crıtico seja nao degenerado.
Exemplo 2.1.10. Seja f : R2 → R um germe de aplicacao dado por (x, y) 7→ x3 − 3xy2.
Temos d(f) = (2x− 3y2 − 6xy) e H(f) =
(2 −6y
−6y −6x
).
Neste caso, f tem um ponto degenerado na origem. Assim, j1f nao e transversal a Σ2.
Porem, podemos fazer uma pequena deformacao fs em f tal que j1fs seja transversal a
Σ2. Por exemplo, tome fs : R2 → R dada por (x, y) 7→ (x3 − 3xy − sx) com s > 0. Entao,
para s fixo d(fs) = (3x2 − 3y2 − s − 6xy) e H(fs) =
(6x −6y
−6y −6x
)
Logo,(±√
s3, 0
)e um ponto crıtico nao degenerado de fs.
2.2 Singularidades de ordem superior
Definicao Geometrica
Dada uma aplicacao f ∈ En,p e um conjunto Σif 6= ∅, se Σif e uma subvariedade podemos
considerar os conjuntos de singularidade de segunda ordem Σi,jf = Σj(f/Σif) e este processo
pode ser continuado indutivamente, ou seja, se estes conjuntos sao subvariedades, conside-
ramos os conjuntos de singularidade de terceira ordem Σi,j,kf = Σk(f/Σi,jf). E assim por
diante. Estes conjuntos, denotados por Σi1,...,ik(f), sao chamados conjuntos de singularidade
de ordem superior de f .
Exemplo 2.2.1. Considere o germe de aplicacao f : R2 → R2 dado por f((x, y)) = (x2 −y2, 2xy).
Dado ε > 0 seja fε((x, y)) = (x2 − y2 + 2εx, 2xy − 2εy). Entao:
d(fε) =
(2x + 2ε −2y
2y 2x− 2ε
)
Observe que d(fε) tem rank menor do que 2 quando seu determinante se anula, ou seja,
no cırculo x2 + y2 = ε2. Logo, tal cırculo e o conjunto singular de fε.
Tomando x = ε cos θ e y = ε sin θ obtemos uma parametrizacao do conjunto de bifurcacao
na forma
20
x2 − y2 + 2εx = ε2(cos 2θ + 2 cos θ)
2xy − 2εy = ε2(sin 2θ − 2 sin θ)
A curva obtida e uma representacao usual de um hipocicloide tricuspidal.
Veja que o cırculo x2 + y2 = ε2 e exatamente o conjunto Σ1(f), pois a matriz jacobiana
d(fε) nao pode ter rank 0. Deste modo nao se pode distinguir um ponto do cırculo apenas
observando o sımbolo Σi. Mas existem tres pontos no cırculo, as raızes cubicas de ε3 que
precisam ser distinguidos dos outros pois sao aplicados nas cuspides no hipocicloide.
Olhando a restricao f |Σ1(f), obtemos como fε aplica o cırculo no hipocicloide.
Calculemos o rank da restricao no ponto (x, y) no cırculo. Lembramos que a derivada
da restricao e a restricao da derivada de fε na reta tangente ao cırculo. A reta tangente
ao cırculo no ponto (x, y) e uma reta passando pela origem perpendicular a este vetor. Um
vetor unitario e (−yε, x
ε) cuja imagem pela derivada de fε em (x, y) e obtida aplicando a
matriz jacobiana a ele, ou seja:
(2x + 2ε −2y
2y −2x− ε
)(−yε
xε
)=
2
ε
( −2xy − εy
−y2 + x2 − εx
)
A derivada da restricao tem rank menor ou igual a 1 e tem rank 0 apenas se o vetor obtido
acima for nulo, ou seja, exatamente nas raızes cubicas de ε3. Portanto estes tres pontos sao
destacados precisamente pelo fato de que sao pontos de tipo Σ1 da restricaoΣ1(f), ou seja,
pontos Σ1,1(f).
Observacao 2.2.2. De acordo com o Teorema 2.1.7, se j1f e transversal a Σi entao codim(Σi(f))
em Kn e obtida pela formula codim(Σi(f)) = i(p− n + i).
Fazendo uma ”interpretacao” deste teorema, podemos calcular a codimensao dos conjun-
tos Σi1,...,ik(f) indutivamente, que iremos ilustrar no exemplo abaixo.
Consideremos um germe f : (R3, 0) → (R3, 0); f = (f1, f2, f3) com j1f(0) |∩Σ1. Portanto,
pelo Teorema 2.1.7, Σ1(f) tem codimensao 1(3− 3 + 1) = 1 em R3.
Para calcular Σ1,1(f) consideramos a aplicacao f : R3, 0 → R4 definida por f(x, y, z) =
(f1, f2, f3, Jf) com Jf denotando o determinante da matriz jacobiana d(f).
Com isto obtemos o conjunto Σ1,1(f), que e igual ao conjunto Σ1,1(f) e portanto ambos
tem a mesma codimensao em R3.
Neste caso, codim(Σ1,1(f)) = codim(Σ1(f)) = 1(4− 3 + 1) = 2.
A seguir iremos mostrar como obter o conjunto Σi1,...,ik(f) algebricamente.
21
Definicao Algebrica
Fixemos um sistema de coordenadas y1, . . . , yn em En. Para um ideal I em En gerado pelo
sistema de geradores {f1, . . . , fp}, para cada s, inteiro, com 1 ≤ s ≤ min{n, p} definimos
o ideal ∆sI = I + I ′ onde I ′ e o ideal gerado por todos menores de ordem s da matriz
Jacobiana:
∂f1
∂y1. . . ∂f1
∂yn
......
...
∂fp
∂y1. . . ∂fp
∂yn
p×n
(1)
Teorema 2.2.3. O ideal ∆sI nao depende da escolha dos geradores e nem da escolha das
coordenadas, isto e, se g1, . . . , gq e outro sistema de geradores de I em relacao a um sistema
de coordenadas z1, . . . , zn, entao ∆sI coincide com o ideal gerado por I e pelos menores de
ordem s da matriz Jacobiana:
∂g1
∂z1. . . ∂g1
∂zn
......
...
∂gq
∂z1. . . ∂gq
∂zn
q×n
(2)
Demonstracao: E suficiente mostrar que, qualquer menor de ordem s de (2) pertence a
∆sI.
Cada gi pode ser escrito como uma combinacao linear de fk, com coeficientes em En.
Portanto, cada∂gi
∂zj
pode ser escrito como a mesma combinacao linear de∂fk
∂yj
mais um
elemento de I.
Usando a multilinearidade do determinante temos que qualquer menor s× s de (2) per-
tence ao ideal gerado por I e pelos menores s× s da matriz Jacobiana:
∂f1
∂z1. . . ∂f1
∂zn
......
...
∂fp
∂z1. . . ∂fp
∂zn
p×n
(3)
Portanto, e suficiente mostrar que qualquer menor de ordem s pertence a ∆sI.
Para isto, observe que pela Regra da Cadeia, podemos escrever cada∂
∂zj
como com-
binacao linear de∂
∂yk
, com coeficientes em En. O resultado segue usando novamente a
multilinearidade do determinante.
22
Quando s > n consideramos ∆sI = I e temos as inclusoes:
I ⊆ ∆nI ⊆ ∆n−1I ⊆ . . . ⊆ ∆1I
Exemplo 2.2.4. Seja I = 〈xk〉 em E1, com k ≥ 1.
∆1I e o ideal gerado por I e pelos menores 1 × 1 da matriz Jacobiana (kxk−1), logo
∆1I = 〈xk−1〉 e ∆sI = 〈xk〉, para s ≥ 2.
Exemplo 2.2.5. Seja I = 〈xy, x2 + y2〉 em E2.
∆1I e o ideal gerado por I e pelos menores 1× 1 da matriz Jacobiana:
J =
(y x
2x 2y
)
Logo ∆1I = 〈x, y〉.O ideal ∆2I e gerado por I e pelos menores 2× 2 da matriz J , assim ∆2I = 〈x2, xy, y2〉
e ∆sI = 〈xy, x2 + y2〉 para s ≥ 3.
Definicao 2.2.6. Dado um ideal I ⊆ En adotamos a notacao: ∆sI = ∆n−s+1I. Nos referi-
mos a ∆1I, ∆2I, . . . , ∆nI como as sucessivas extensoes jacobianas do ideal I.
Temos portanto as seguintes inclusoes:
I = ∆0I ⊆ ∆1I ⊆ ∆2I ⊆ . . . ⊆ ∆nI (4)
Definicao 2.2.7. Se I e um ideal proprio de En, ou seja I 6= En, a extensao jacobiana
crıtica de I e o ultimo ideal ∆i1I na sequencia (4) que e proprio.
Considerando I ′ = ∆i1I a extensao jacobiana crıtica de I denotamos por ∆i1i2I a ex-
tensao jacobiana crıtica de I ′.
Desta maneira, obtemos uma sequencia crescente ∆i1I, ∆i1i2I, . . . de sucessivas extensoes
jacobianas crıticas de I e dizemos que I tem sımbolo de Boardman (i1, i2, . . .).
Denotamos (1k) para (1, . . . , 1), com k-repeticoes do numero 1.
Exemplo 2.2.8. O sımbolo de Boardman do ideal I = 〈xk〉 em E1, e (1(k−1), 0).
O sımbolo de Boardman do ideal I = 〈xy, x2 + y2〉 em E2, e (2, 0).
Definicao 2.2.9. O sımbolo de Boardman de um germe f : (Kn, x) → (Kp, y) e definido
como o sımbolo de Boardman do ideal If gerado pelos componentes f1, . . . , fp.
23
Teorema 2.2.10. O sımbolo de Boardman de um germe (Kn, 0) → (Kp, 0) e um invari-
ante por contato, isto e, se dois germes sao K-equivalentes eles tem o mesmo sımbolo de
Boardman.
Demonstracao: Sejam f = (f1, . . . , fp) e f ′ = (f ′1, . . . , f′p).
1o
Passo. Suponha que f e f ′ sao C-equivalentes. Pelo Teorema 2.1, pag.145 de [12] os
ideais If e Ig coincidem e assim, pelo Teorema 2.2.3, os sımbolos de Boardman de f e f ′
coincidem.
2o
Passo. Suponha que f e f ′ sao R-equivalentes, isto e, existe um germe invertıvel
h : (Kn, 0) → (Kn, 0) tal que f ◦ h , f ′ coincidem. Segue do Teorema 2.2.3 que f e f ′ tem o
mesmo sımbolo de Boardman, pois
d(f) =
(∂fi
∂xj
)= d(f ′) =
(∂f ′i∂hj
)
onde {h1, . . . , hn} sao as componentes de h.
Como f e f ′ sao K-equivalentes existe um germe invertıvel l : (Kn, 0) → (Kn, 0) tal que
f ◦ l e f ′ sao C-equivalentes. Pelo 1o
passo, os sımbolos de Boardman de f ◦ l e f ′ coincidem
e pelo 2o
passo, os sımbolos de Boardman de f e f ′ sao iguais. Portanto, o sımbolo de
Boardman de um germe (Kn, 0) → (Kp, 0) e um invariante por contato.
Agora, podemos estender nossa definicao. Como qualquer germe f : (Kn, x) → (Kp, y)
e K-equivalente a um germe de aplicacao f0 : (Kn, 0) → (Kp, 0). Definimos o sımbolo de
Boardman de f como sendo o sımbolo de Boardman de f0.
Teorema 2.2.11. Os primeiros k inteiros no sımbolo de Boardman de um germe de aplicacao
f : (Kn, 0) → (Kp, 0) dependem apenas do k-jato de f .
Demonstracao: Sejam I o ideal gerado pelas componentes f1, . . . , fp de f e (i1, i2, . . .) o
sımbolo de Boardman de I. Portanto se considerarmos um ideal ∆s∆ik−1 . . . ∆i1I, obtemos,
por inducao em k, que este ideal e gerado pelas derivadas parciais de ordem menor ou igual a
k de f1, . . . , fp. Sendo este ideal proprio ou nao, ele depende apenas dos valores das derivadas
de ordem menor ou igual a k de f1, . . . , fp em 0. Portanto ik depende apenas do k-jato de
f .
Definicao 2.2.12. Dados k inteiros i1, i2, . . . , ik, um germe f : (Kn, 0) → (Kp, 0) e de tipo
Σi1,i2,...,ik quando seu sımbolo de Boardman tem a forma (i1, i2, . . . , ik; 0).
24
Definicao 2.2.13. Definimos Σi1,i2,...,ik como o subconjunto do espaco dos jatos composto
daqueles jatos que tem um representante de germe de tipo Σi1,i2,...,ik .
Observacao 2.2.14. Para o caso k = 1, esta definicao e analoga a definicao 2.1.5. De fato,
seja f : Kn, 0 → Kp, 0 um germe e I = 〈f1, f2, . . . , fp〉 o ideal gerado pelas componentes de
f . ∆sI e gerado por I e pelos menores de ordem (n− s + 1) da matriz jacobiana de f , este
ideal e proprio se e somente se, todos os menores de ordem (n− s + 1) sao zero em zero, ou
seja , se e somente se, o rank do kernel da matriz jacobiana e maior ou igual a s. Portanto,
∆sI e crıtico se, e somente se, este rank e exatamente s e concluimos que o 1-jato j1(f)
pertence ao conjunto de singularidades de 1o
ordem Σs.
Teorema 2.2.15. Uma condicao necessaria e suficiente para que o conjunto Σi1,i2,...,ik ⊆Jk(n, p) seja nao vazio e que as seguintes condicoes estejam satisfeitas:
(i) n ≥ i1 ≥ i2 ≥ . . . ≥ ik ≥ 0;
(ii) i1 ≥ n− p;
(iii) se i1 = n− p entao i1 = i2 = . . . = ik.
Necessidade: Suponhamos que o conjunto Σi1,i2,...,ik ⊆ Jk(n, p) seja nao vazio, portanto,
obtemos n ≥ i1 e il ≥ 0 para qualquer l = 1, . . . , k.
Para mostrar o item (i) basta mostrar que ij ≥ ij+1. Para isso, seja I o ideal em En
gerado pelas componentes do representante de algum jato em Σi1,i2,...,ik . Podemos supor que
∆it . . . ∆i1I e gerado por gσ1 , . . . , gσt com σ1 ≤ σ2 ≤ . . ..
Suponha que ∆s∆ij . . . ∆i1I e proprio. Isso implica que todos os menores de ordem
(n − s + 1) da matriz de jacobiana gσ1 , . . . , gσjse anulam, portanto em particular todos
os menores de ordem (n − s + 1) da matriz jacobiana de gσ1 , . . . , gσj−1se anulam e o ideal
∆s∆ij−1 . . . ∆i1I e proprio, assim s ≤ ij. Tomando s = ij+1 obtemos ij+1 ≤ ij.
Para mostrar o item (ii) observamos que o ındice i1 e o rank do kernel da matriz jacobiana,
que e certamente maior ou igual a n− p.
O item (iii) segue do fato que se i1 = n − p, entao ∆i1I = ∆p+1I = I e portanto
i1 = i2 = . . . = ik.
Suficiencia: Suponhamos que (i), (ii) e (iii) estejam satisfeitas.
25
Temos que produzir um germe f : (Rn, 0) → (Rp, 0), com componentes f1, . . . , fp, que
seja de tipo Σi1,i2,...,ik .
Consideremos dois casos:
1o
caso: i1 = n− p.
Neste caso, escolhemos: f1 = x1, . . . , fp = xp.
2o
caso: i1 > n− p.
Escolhemos:
fi = xi, se 1 ≤ i ≤ n− i1
fn−i1+1 =∑n−i2
n−i1+1 xj2 +
∑n−i3n−i2+1 xj
3 + . . .
fi = 0, se n− i1 + 2 ≤ i ≤ p
.
Exemplo 2.2.16. Os unicos conjuntos de tipo Σi nao vazios no espaco dos jatos J2(2, 2)
sao: Σ2,2, Σ2,1, Σ2,0, Σ1,1, Σ1,0 e Σ0,0.
Exemplo 2.2.17. Considere a aplicacao f : R2 → R2 dada por f(x, y) = (u, v) com
u = x2 − y2 + 2εx e v = 2xy − 2εy, ε > 0
No Exemplo 2.2.1 calculamos geometricamente os conjuntos Σi(f), aqui iremos mostrar
como obte-los algebricamente.
Por definicao, calculamos o sımbolo de Boardman de qualquer germe de aplicacao f0 :
(R2, 0) → (R2, 0) que e K-equivalente ao germe de f em (x0, y0). Uma escolha para f0 e
definida por f0(x, y) = (u0, v0), onde, u0(x, y) = u(x + x0, y + y0) − u(x0, y0) e v0(x, y) =
v(x + x0, y + y0)− v(x0, y0).
Neste exemplo, I e o ideal gerado por u0, v0 e para cada i = 1, 2; ∆iI e o ideal gerado
por u0, v0 e pelos menores de ordem (3− i) de sua matriz jacobiana:
∂u0
∂x
∂u0
∂y∂v0
∂x
∂v0
∂y
=
(2(x− x0) + 2ε −2(y + y0)
2(y − y0) 2(x− x0)
)
O ideal ∆2I, gerado por u0, v0 e pelas entradas na matriz jacobiana, nao e proprio, ja
que dois de seus geradores,∂u0
∂x,∂v0
∂ytem termo constante diferente de zero.
26
O ideal ∆1I e gerado por u0, v0 e pelo determinante D da matriz jacobiana. Este ideal e
proprio, portanto crıtico quando o termo constante x02 + y0
2 − ε2 em D se anula. Portanto
Σ1(f) = {(x0, y0) : x02 + y0
2 − ε2 = 0}.Para obter a decomposicao Σ1(f) = Σ1,1(f) ∪ Σ1,0(f) observamos que o ideal ∆1∆1I e
gerado por {u0, v0, D} e pelos menores 2 × 2 de sua matriz jacobiana. Podemos ver que os
termos constantes neste conjunto de geradores sao:
x02 + y0
2 − ε2 ; yo(2x0 + ε) ; y02 − x0
2 + x0ε
E o ideal ∆1∆1I sera crıtico quando as tres expressoes acima se anularem, simultanea-
mente, isto e, exatamente nas tres raızes cubicas complexas de ε3.
Logo, os tres pontos excepcionais no cırculo Σ1f sao distinguidos precisamente pelo fato
de que o germe de f nesses pontos e de tipo Σ1,1 e os demais pontos do cırculo sao de tipo
Σ1,0.
Exemplo 2.2.18. Seja f : R3 → R3 dada por
f(x, y, z) = (u, v, w) com u = x; v = y; w = z4 − xz − yz2
Aqui, temos os conjuntos de singularidade de Thom Σ1,...,1(f) dados pelas equacoes:
Σ1(f) :=
{∂w
∂z= 4z3 − x− 2yz = 0
}
Σ1,1(f) :=
{∂w
∂z= 4z3 − x− 2yz = 0 e
∂2w
∂z2= 12z2 − 2y = 0
}
Σ1,1,1(f) :=
{∂w
∂z= 4z3 − x− 2yz = 0,
∂2w
∂z2= 12z2 − 2y = 0 e
∂3w
∂z3= 24z = 0
}
Ou seja, Σ1,1,1(f) = {(0, 0, 0)}.
Teorema 2.2.19. Seja f = (f1, . . . , fp) ∈ En,p e F : (Kr × Kn, 0) → (Kr × Kp, 0) um
desdobramento a r-parametros de f . Entao, f e F tem o mesmo sımbolo de Boardman.
Demonstracao: Sejam x1, . . . , xn coordenadas canonicas em Kn e u1, . . . , ur em Kr.
Tomamos, f ′ como o germe cujas componentes sao u1, . . . , ur, f1, . . . , fp.
A demonstracao e feita em dois passos:
27
1o
Passo: afirmamos que f e f ′ tem o mesmo sımbolo de Boardman. Consideremos um
ideal Is = ∆s∆ik−1 . . . ∆i0If , com ∆i0If = ∆0If = If e mostremos por inducao sobre k que
o ideal ∆s∆ik−1 . . . ∆i0If ′ e gerado por u1, . . . , ur e pelos geradores de Is.
Para k = 0, ∆0If ′ = If ′ = 〈u1, . . . , ur, f1, . . . , fp〉 por definicao.
Suponha que seja valido para k. Fixemos um conjunto de geradores {h1, . . . , hl} para o
ideal ∆ik . . . ∆i0If com relacao ao sistema de coordenadas x1, . . . , xn e seja J =
(∂hj
∂xi
)sua
matriz jacobiana. Consideremos, o ideal gerado pelo sistema {h1, . . . , hl, u1, . . . , ur} e seja
J ′ sua matriz jacobiana com relacao ao sistema de coordenadas {x1, . . . , xn, u1, . . . , ur}Seja ∆s∆ik . . . ∆i0If ′ , o ideal gerado por {u1, . . . , ur, h1, . . . , hl, } e pelos menores de ordem
(n + p − s + 1) de J ′. Mas J ′ = J ⊕ Ir×r, logo, o ideal gerado pelos menores de ordem
(n + p− s + 1) de J ′ coincide com o ideal gerado pelos menores de ordem (n− s + 1) de J .
Portanto, ∆s∆ik . . . ∆i0If ′ e gerado por u1, . . . , ur, pelos geradores de ∆ik . . . ∆i1If e pelos
menores de ordem (n− s + 1) de J , isto e, e gerado por {u1, . . . , ur} e {h1, . . . , hl}.
2o
Passo: afirmamos que f ′ e F sao C-equivalentes e portanto K-equivalentes. Segue do
Teorema 2.2.10 que f ′ e F tem o mesmo sımbolo de Boardman e usando tambem o 1o
Passo,
segue o resultado. Provemos a C-equivalencia de f ′ e F .
Como F e um desdobramento a r-parametros de f , F tem componentes u1, . . . , ur,
F1, . . . , Fp e para 1 ≤ i ≤ p temos:
Fi(x1, . . . , xn, 0, . . . , 0) = fi(x1, . . . , xn)
Pelo Lema de Hadamard, pag. 100 de [12], podemos escrever cada Fi = fi + ξi, com
ξi pertencente ao ideal em En+r, gerado por u1, . . . , ur. Portanto, u1, . . . , ur, f1, . . . , fp e
u1, . . . , ur, F1, . . . , Fp geram o mesmo ideal em En+p, logo, pelo Teorema 2.1, pag. 145, de
[12] os germes f ′ e F sao C-equivalentes.
Exemplo 2.2.20. Seja F : (Rn, 0) → (Rn, 0) definido por F (x1, . . . , xn) = (x1, . . . , xn−1,
xn+1n +
∑n−1i=1 xixn
i). F e um desdobramento a n−1-parametros do germe f : (R, 0) → (R, 0)
dado por f(x) = xn+1. De acordo com o Exemplo 2.2.8 F e de tipo Σ1n,0.
Exemplo 2.2.21. Seja F : (R4, 0) → (R4, 0) dado por F (x1, x2, x3, x4) = (x1, x2, x3x4, x32 +
x42 + x1x3 + x2x4). F e um desdobramento do germe de aplicacao f : (R2, 0) → (R2, 0)
definido por f(x, y) = (xy, x2 + y2). Portanto, pelo Exemplo 2.2.8, F e de tipo Σ2,0.
28
Capıtulo 3
Conjunto de singularidades de
Thom-Boardman
Neste capıtulo, os conceitos discutidos anteriormente serao colocados em um contexto mais
geral, para descrever os resultados obtidos por Morin em [18].
3.1 Extensoes jacobianas
Iremos considerar somente considerar o anelOn, dos germes de aplicacoes analıticas (Cn, 0) →C. A seguir iremos generalizar os resultados do Capıtulo 2 para o caso (f, I), onde f :
(Cn, 0) → (Cp, 0) e um germe de aplicacao e I um ideal de On finitamente gerado.
Se I ⊆ On e um ideal, denotamos por V (I) o conjunto dos zeros de I, ou seja
V (I) = {x ∈ Cn : f1(x) = . . . = fl(x) = 0}
para algum sistema de geradores {f1, . . . , fl} de I.
Dada uma matriz U = (uij) com entradas em On e um inteiro t ≥ 0, denotamos por
It(U) o ideal gerado pelos menores de ordem t em U .
Quando a matriz U e de ordem p× q e t > min{p, q}, convencionamos It(U) = {0}.Em particular, se f : (Cn, 0) → (Cp, 0) e um germe de aplicacao analıtica, It(d(f)) e o
ideal gerado pelos menores de ordem t de sua matriz jacobiana, d(f).
Definicao 3.1.1. Seja f : (Cn, 0) → (Cp, 0) um germe de aplicacao e I um ideal de On
gerado pelos elementos g1, . . . , gr ∈ I. Para cada m ∈ {1, . . . , n} definimos a extensao
jacobiana de rank m do par (f, I) como:
29
∆m(f, I) = I + Im(d(f1, . . . , fp, g1, . . . , gr)).
Por conveniencia, escrevemos, ∆m(f, I) = I, quando m > n.
Observacao 3.1.2. Se I = (0) esta definicao de extensao jacobiana coincide com a que foi
vista na Secao2.2 anterior.
Se f : (Cn, 0) → (Cp, 0) e um germe de aplicacao analıtica denotamos por f ∗ o morfismo
Op → On dado por f ∗(g) = g ◦ f , para todo g ∈ Op.
Proposicao 3.1.3. [20] Seja f : (Cn, 0) → (Cp, 0) um germe de aplicacao analıtica e I um
ideal de On. Sejam Φ : (Cn, 0) → (Cn, 0) e ψ : (Cp, 0) → (Cp, 0) germes de difeomorfismos,
entao:
(i) o ideal ∆m(f, I) nao depende dos geradores de I escolhidos;
(ii) ∆m(f ◦ Φ, Φ∗I) = Φ∗(∆m(f, I));
(iii) ∆m(ψ ◦ f, I) = ∆m(f, I);
(iv) ∆m(f, I) + If = ∆m(f, I + If ) , onde If = 〈f1, . . . , fp〉.
Demonstracao: As demonstracoes destes resultados sao analogas as feitas no capıtulo
anterior e iremos provar somente a segunda propriedade.
Suponha que o ideal I seja gerado por g1, . . . , gr. Entao h∗I e gerado por h∗g1, . . . , h∗gr.
Por outro lado, pela regra da cadeia temos:
∂fi ◦ h
∂xj
=n∑
k=1
(∂fi
xk
◦ h
)∂hk
∂xj
=n∑
k=1
h∗(
∂fi
∂xk
)∂hk
∂xj
Isso implica que todo menor de ordem m×m, d, da matriz jacobiana de (f ◦h, h∗g) pode
ser escrito como uma combinacao linear da forma∑
aih∗di, onde ai ∈ En e di sao menores
de ordem m×m da matriz jacobiana de (f, g). Portanto, ∆m(f ◦ h, h∗I) ⊂ h∗(∆m(f, I)).
A outra inclusao segue aplicando o mesmo argumento para o germe f ′ = f ◦ h, o ideal
J = h∗I e o germe de difeomorfismo h.
Em funcao dos resultados obtidos no teorema 2.2.15 definimos o conjunto B(n, p), de
sımbolos de Boardman, em dimensoes n e p.
Definicao 3.1.4. Dados n, p ≥ 1, B(n, p) e formado pelos vetores i = (i1, . . . , ik) de numeros
inteiros tais que :
30
(i) k ≥ 1;
(ii) n ≥ i1 ≥ . . . ≥ ik ≥ 0;
(iii) i1 ≥ n− p;
(iv) se i1 = n− p entao i1 = i2 = . . . = ik.
Se i = (i1, i2, . . . , ik) o comprimento de i denotado por |i| e o numero k.
Segue da definicao anterior que: B(n, p) ⊂ B(n + 1, p + 1) ⊂ B(n + 2, p + 2) ⊂ . . .
Definicao 3.1.5. Sejam f : (Cn, 0) → (Cp, 0) germe de aplicacao analıtica e i = (i1, . . . , ik) ∈B(n, p). Se define, indutivamente, a extensao jacobiana iterada de f em relacao a i,
como segue:
Ji(f) =
∆n−i1+1(f, {0}) se k = 1
∆n−ik+1(f, Ji1,...,ik(f)) se k > 1
Estes ideais satisfazem a seguinte relacao de inclusao para todo sımbolo de Boardman
(i1, . . . , ik):
Ji1(f) ⊆ Ji1,i2(f) ⊆ . . . ⊆ Ji1,...,ik(f)
Observacao 3.1.6. Se f, g : (Cn, 0) → (Cp, 0) sao dois germes A-equivalentes, entao segue
da Proposicao 3.1.3 que os aneisOn
Ji(f)eOn
Ji(g)sao isomorfos.
Definicao 3.1.7. Seja i = (i1, . . . , ik) um sımbolo de Boardman de B(n,p). Um germe
f : (Cn, 0) → (Cp, 0) e uma singularidade de tipo Σi se:
(i) o rank de f e n− i1;
(ii) para todo s = 2, . . . , k o rank de (f, g) e n − is onde g = (g1, . . . , gr) e g1, . . . , gr sao
geradores de Ji1,...,is−1(f).
Seja f : (Cn, 0) → (Cp, 0) um germe de aplicacao analıtica e i ∈ B(n, p).
Observe que se Φ : (Cn, 0) → (Cn, 0) e um germe de difeomorfismo, entao, f e de tipo
Σi se, e somente se, f ◦ Φ e de tipo Σi. Denotamos por Σi(f) o germe em 0 do conjunto
dado pelos pontos x ∈ Cn tais que o germe f em x e de tipo Σi. Logo, f e de tipo Σi se, e
31
somente se, 0 ∈ Σi(f). Neste caso, se |i| = k, se diz que i e um sımbolo de Boardman de f
de ordem k.
Observamos que esta definicao nos leva ao mesmo conjunto Σi1,...,ik(f) definido geome-
tricamente no Capıtulo 2 (ver Observacao 2.2.2 ).
Denotamos por Jk(Cn,Cp) o espaco fibrado de k-jatos, ou seja, Jk(Cn,Cp) = Cn ×Cp ×Jk(n, p).
Dado um germe f : (Cn, 0) → (Cp, 0) a extensao como k-jato de f e o germe de aplicacao
jkf : (Cn, 0) → Jk(Cn,Cp) dado por jkf(x) = (x, f(x), τ) onde τ e o desenvolvimento de
Taylor de ordem k ao redor do zero da aplicacao g(t) = f(t + x)− f(x).
Definicao 3.1.8. Para cada sımbolo de Boardman i ∈ B(n, p), de comprimento ≤ k, defin-
imos o seguinte subconjunto de Jk(Cn,Cp):
Σi = {(x, y, τ) ∈ Jk(Cn,Cp) : τ e de tipo Σi em Jk(n, p)}
Definicao 3.1.9. Dado i ∈ B(n, p) definimos:
ν(i, n, p) = (p− n + i1)µ(i1, . . . , ik)− (i1 − i2)µ(i2, . . . , ik) . . . (ik−1 − ik)µ(ik)
onde µ(i) e o numero de vetores j = (j1, . . . , jk), de coordenadas inteiras, tais que
js ≤ is,∀s; j1 ≥ . . . ≥ jk ≥ 0 e j1 > 0
Notacoes. Como ν(i, n, p) somente depende da diferenca n− p abreviaremos esta notacao
escrevendo ν(i) no lugar de ν(i, n, p), quando nao houver confusao.
Teorema 3.1.10. Seja i ∈ B(n, p), entao o subconjunto Σi e uma subvariedade regular de
Jk(Cn,Cp) de codimensao ν(i).
Este teorema foi provado por Boardman [[4], pag. 408] e Morin [[18], pag.15]. Iremos
descrever na proxima secao os resultados que levam a demonstracao de Morin.
Observamos que a demonstracao deste teorema e feita indutivamente, seguindo a ideia
descrita na Observacao 2.2.2, levando em consideracao que Jk(Cn,Cp) = Cn×Cp× Jk(n, p)
e portanto a codimensao de Σi em Jk(Cn,Cp) e a mesma em Jk(n, p).
32
Exemplo 3.1.11. Caso k = 1. Neste caso, µ(i) = i e, portanto, a codimensao de Σi em
J1(n, p) e i(p− n + i).
Exemplo 3.1.12. Suponha i1 = i2 = . . . = ik = 1. Temos µ(1, . . . , 1) = k, logo, a
codimensao de Σ1k em Jk(n, p) sera (p− n + 1)k. Note que, no caso n = p ν(i) = k.
Exemplo 3.1.13. Caso k = 2. Para k = 2, temos que µ(i, j) = i(j + 1) − j(j − 1)
2e
portanto, a codimensao de Σi,j em J2(n, p) e dada pela formula:
(p− n + i)i +j
2[(p− n + i)(2i− j + 1)− 2i + 2j]
Definicao 3.1.14. As subvariedades Σi1,...,ik de Jk(n, p) sao chamadas de conjuntos de
singularidade de Thom-Boardman.
O proximo resultado e uma consequencia imediata do Teorema 1.2.11.
Teorema 3.1.15. O conjunto de todas as aplicacoes f ∈ En,p tais que jkf e transversal a
todas as subvariedades de Thom-Boardman Σi1,...,ik e denso em En,p.
Definicao 3.1.16. Uma aplicacao f : U → Cp, com U aberto em Cn, e k-generica, no sen-
tido de Thom-Boardman, quando a extensao como k-jato jkf : U → Jk(Cn,Cp) e transversal
a Σi, para qualquer sımbolo de Boardman i ∈ B(n, p) de comprimento ≤ k.
Se f e k-generica para todo k ≥ 1, entao f e generica.
Definicao 3.1.17. Seja f : (Cn, 0) → (Cp, 0) um germe de aplicacao analıtica, entao f e
k-generico quando admite um representante k-generico.
Como consequencia do Teorema 3.1.10, quando f : (Cn, 0) → (Cp, 0) e k-generica, os
germes de conjunto Σi(f) sao germes de subvariedade de codimensao ν(i), para qualquer
sımbolo de Boardman i de comprimento ≤ k, portanto obtemos
Teorema 3.1.18. Seja f : Kn → Kp k-generico no sentido de Thom-Boardman, entao:
Σi1,...,ik,ik+1f = Σik+1(f |Σi1,...,ikf)
Como consequencia do Teorema 3.1.18 temos Σi1f ⊇ Σi1,i2f ⊇ Σi1,i2,i3f ⊇ . . ..
33
Exemplo 3.1.19. Seja f : R3 → R3 k-generico no sentido de Thom-Boardman.
Vejamos quais conjuntos de singularidade de Thom podem ocorrer.
Pelo Exemplo 3.1.11 a codimensao de Σi em J1(3, 3) e i2, assim Σif tem codimensao i2
em R3. Logo Σ1(f), com codimensao 1, e o unico conjunto de singularidade de Thom de 1a
ordem que pode ocorrer.
Σ1f se decompoe em Σ1,0f e Σ1,1f com codimensoes 1 e 2, respectivamente.
Σ1,1f se decompoe em Σ1,1,0f e Σ1,1,1f com codimensoes 2 e 3, respectivamente
Observemos que para k ≥ 4, o conjunto de singularidades de ordem k, Σ1,...,1f tem
codimensao k, portanto sao vazios em Jk(3, 3), ou seja, os unicos conjuntos de singularidades
de Thom-Boardman possıveis em Jk(3, 3) sao Σ1, Σ1,1 e Σ1,1,1.
3.2 Ideal de Morin - Teorema 3.1.10
A demonstracao do Teorema 3.1.10 e feita por inducao em k, e baseada na construcao de um
ideal ∆i definido no anel de polinomios C[ziα] cujas variaveis sao as coordenadas do espaco
de jatos Jk(n, p).
E demonstrado que para um germe generico f o ideal Ji(f) e obtido via o pull-back
(jkf)∗ deste ideal ∆i.
Em seguida e mostrado que o pull-back (jkf)∗(∆i) e o ideal Ji(f). Como este ideal tem
codimensao ν(i) em C[ziα] o Teorema 3.1.10 segue pois Σi(f) e o conjunto de zeros de Ji(f).
A seguir descrevemos todos os passos da construcao acima.
Fixemos um sistema de coordenadas z1α, . . . , zp
α em Jk(n, p) tal que um polinomio τ ∈Jk(n, p) e escrito como:
τ(x1, . . . , xn) = (τ 1(x1, . . . , xn), . . . , τ p(x1, . . . , xn)),
com cada τ i(x1, . . . , xn) =∑
1≤|α|≤k
zi(α1,α2,...,αn)
α!xα1
1 . . . xαnn .
Assim identificamos Jk(n, p) com CN para algum N e utilizando a notacao de ındices
multiplos, podemos escrever zα = (z1α, . . . , zp
α) com α = (α1, . . . , αn), |α| = α1 + . . . + αn e
α! = (α1 + . . . + αn)! tal que
τ(x) =∑
1≤|α|≤k
zα
α!xα
34
O proximo exemplo ilustra esta escolha de notacao.
Exemplo 3.2.1. Se considerarmos o espaco dos jatos J3(2, 2), seguindo a notacao acima,
um jato τ ∈ J3(2, 2) e representado por um germe de tipo
(x, y) 7→( ∑
1≤i+j≤3
z(i,j)
(i + j)!xiyj;
∑
1≤l+s≤3
z(l,s)
(l + s)!xlys
)
Observamos que devido a esta identificacao, se f : (Cn, 0) → (Cp, 0) e um germe de
aplicacao analıtica e jkf : (Cn, 0) → Jk(Cn,Cp) e extensao como k-jato de f , entao:
zαi ◦ jkf =
∂|α|fi
∂xα
Exemplo 3.2.2. Se considerarmos no espaco J3(2, 2) o jato τ cujo representante e dado
pelo germe f : C2 → C2 definido por f(x, y) = (x3− 2xy, x2y− 2x3 + y3− xy) e adotando a
notacao anterior zα = (z1α, z2
α) e α = (α1, α2), os possıveis (α1, α2) sao
(3, 0), (0, 3), (2, 1), (1, 2), (2, 0), (0, 2), (1, 1)(1, 0), (0, 1).
Portanto z1α =
(z1
(3,0) = 1.3!, z1(0,3) = 0, z1
(2,1) = 0, z1(1,2) = 0, z1
(2,0) = 0, z1(0,2) = 0,
z1(1,1) = −2.2!, z1
(1,0) = 0, z1(0,1) = 0
)e z2
α e dado por(z2
(3,0) = −2.3!, z2(0,3) = 1.3!,
z2(2,1) = 1.3!, z2
(1,2) = 0, z2(2,0) = 0, z2
(0,2) = 0, z2(1,1) = −1.2!, z2
(1,0) = 0, z2(0,1) = 0
).
Logo, τ e identificado com(z1
(3,0), z1(0,3), z
1(2,1), z
1(1,2), z
1(2,0), z
1(0,2), z
1(1,1), z
1(1,0), z
1(0,1),
z2(3,0), z
2(0,3), z
2(2,1), z
2(1,2), z
2(2,0), z
2(0,2), z
2(1,1), z
2(1,0), z
2(0,1)
) ∈ C18.
Definicao 3.2.3. Seja Φ : CN × Cn → CN × Cp definida por Φ(τ, x) = (τ, τ(x)). Como Φ e
uma aplicacao polinomial, para cada sımbolo de Boardman i ∈ B(n, p), podemos considerar
Ji(Φ) como um ideal no anel de polinomios C[zαi, xj].
O ideal de Morin, denotado por ∆i em C[zαi] e definido por ∆i = ψ(Ji(Φ)), onde
ψ : C[zαi, xj] → C[zα
i] e o epimorfismo natural que aplica xj em 0.
Lema 3.2.4. Sejam f : (Cn, 0) → (Cp, 0) um germe de aplicacao analıtica e i ∈ B(n, p).
Entao:
Ji(f) = (jkf)∗(∆iOJk(Cn,Cp),σ)
onde (jkf)∗ e o homomorfismo induzido pela extensao como k-jato
35
jkf : (Cn, 0) → (Jk(Cn,Cp), σ) com σ = jkf(0)
Demonstracao: Se Φ e a aplicacao dada por Φ(τ, x) = (τ, τ(x)) temos
Ji1(Φ) = In−i1+1
[∂τi(x)
∂xj
],
com τi(x) =∑k
|α|=1zα
i
α!xα, para i = 1, . . . , p.
Como o epimorfismo ψ leva cada variavel xj a 0, ∆i1 = ψ(Ji1(Φ)) = In−i1+1[zej], onde
ej = (0, . . . , 1, 0, . . . , 0) com 1 na j-esima posicao. Logo,
(jkf)∗(∆i1OJk(Cn,Cp),σ) = In−i1+1
[∂τi(x)∂xj
]= Ji1(f)
De modo analogo, mostra-se por inducao sobre o comprimento de i, a igualdade requerida,
observando apenas que para cada i = 1, . . . , p e cada ındice multiplo α, temos:
(jkf)∗(
ψ
(∂|α|τi(x)
∂xα
))= (jkf)∗(zα
i) =∂|α|fi
∂xα
.
Exemplo 3.2.5. Considerando f como no exemplo 3.2.2, para os sımbolos de Boardman
i = (1, 0) e i = (1, 1) temos:
J(1,0)(f) = 〈3x4 − 15x3 + 2x2y + 9x2y2 − 6y3〉J(1,1)(f) = 〈3x4−15x3+2x2y+9x2y2−6y3, 30x4+54x4y−90x3+4x2y−54x2y2+36y3,−12x5+
45x4 − 108x4y − 45x3 − 18x3y2 + 2x2y + 243x2y2 − 4xy3〉Estes calculos foram feitos utilizando o software [1].
Definicao 3.2.6. Sejam i, j ∈ B(n, p), suponhamos que i = (i1, . . . , ik) e j = (j1, . . . , jl).
Escrevemos i ¹ j quando i = j ou ir0 < jr0 com r0 = min {r : ir 6= jr}.
A relacao de ordem ¹ definida em B(n, p) e conhecida como ordem lexicografica em
B(n, p).
Definicao 3.2.7. Seja i = (i1, . . . , ik) ∈ B(n, p) um sımbolo de Boardman distinto de
(n, . . . , n), definimos o sucessor de i como:
i′ = min{j ∈ B(n, p) : i ¹ j, i 6= j, |j| ≤ |i|}
36
Observamos que se n > ir > ir+1 = ik, o sucessor de i = (i1, . . . , ik) e i′ = (i1, . . . , ir, ir+1).
Assim, quando i1 = . . . = ik > 0 temos que i′ = (i1 + 1).
Indutivamente, podemos definir i(t) como o sucessor de i(t−1). A construcao de sucessores
de i termina em uma quantidade finita de passos, obtendo assim os denominados sucessores
iterados de i.
Teorema 3.2.8. [18] Seja i ∈ B(n, p) entao Σi = V (∆i)\V (∆i′) e quando, i′ nao esta
definido, V (∆i′) = ∅. Em particular, se i′, . . . , i(t) sao os sucessores de i, temos que:
V (∆i) = Σi ∪ Σi′ ∪ . . . ∪ Σi(t)
Alem disso, se σ ∈ Σi, os germes de Σi e V (∆i) em σ coincidem.
Da decomposicao de V (∆i), dada pelo Teorema anterior, segue que a codimensao de
V (∆i), em cada σ ∈ Jk(Cn,Cp), e igual ao mınimo dos ν(i(t)) para os quais o germe do
conjunto de Σi(l) em σ e nao vazio, l ∈ {1, . . . , t}. Ainda, a subvariedade Σi e a parte regular
de V (∆i) se, e somente, se impoe a condicao:
ν(i′), . . . , ν(i(t)) > ν(i)
Teorema 3.2.9. [18] Seja i ∈ B(n, p) um sımbolo de Boardman de comprimento k e seja
σ ∈ Σi. Entao:ON,σ
∆iON,σ
e um anel regular de dimensao N − ν(i).
Observacao 3.2.10. (i) Observe que, dado o sımbolo de Boardman i = (i1) de comprimento
1, expressamos o conjunto de zeros de Ji1(f) como:
V (Ji1(f)) = Σi1(f) ∪ Σi1+1(f) ∪ . . . ∪ Σn(f)
(ii) Usando o Teorema 3.2.8 esta expressao se generaliza para qualquer sımbolo de Board-
man i usando os sucessores iterados de i.
Corolario 3.2.11. [18] Seja f : (Cn, 0) → (Cp, 0) um germe de aplicacao analıtica e con-
sidere i ∈ B(n, p). Entao, Σi(f) =V (Ji(f))
V (Ji′(f)), onde consideramos V (Ji(f)) = ∅ quando i′
nao esta definido. Em particular, se i′, . . . , i(t) sao os sucessores iterados de i,
V (Ji(f)) = Σi(f) ∪ Σi′(f) ∪ . . . ∪ Σi(t)(f)
Ainda, se f e de tipo Σi, os germes V (Ji(f)) e Σi(f) coincidem.
37
3.3 Desdobramentos
Lema 3.3.1. Seja i ∈ B(n, p) um sımbolo de Boardman e considere um germe de aplicacao
analıtica, f : (Cn, 0) → (Cp, 0), da forma f(u, x) = (u, g(u, x)), com u ∈ Cn e x ∈ Cn−r.
Entao, Ji(f) = Ji(g, x), isto e, o ideal Ji(f) se calcula considerando somente as derivadas
parciais de g em relacao as n− r ultimas variaveis.
Seja F : (Cr×Cn, 0) → (Cr×Cp, 0) um germe de aplicacao analıtica da forma F (u, x) =
(u, fu(x)), onde u ∈ Cr e x ∈ Cn. Se diz que F e um desdobramento a r-parametros de f ,
quando f0 = f . Pelo Lema anterior, se tem que Ji(F ) = Ji(fu, x), para qualquer sımbolo de
Boardman i ∈ B(n, p).
Definicao 3.3.2. Seja f : (Cn, 0) → (Cp, 0) um germe de aplicacao analıtica e considere
F : (Cr × Cn, 0) → (Cr × Cp, 0) um desdobramento de f . F e um desdobramento k-
generico se existe um representante F : U × V → Cr × Cp, onde U e V sao vizinhancas
de 0 em Cr e Cn, respectivamente, tal que a aplicacao jxkF : U × V → Jk(Cn,Cp) dada por
jxkF (u, x) = fu(x) e transversal a Σi, para qualquer sımbolo de Boardman i ∈ B(n, p) de
comprimento ≤ k.
Pelo Teorema da transversalidade, se F : (Cr×Cn, 0) → (Cr×Cp, 0) e um desdobramento
k-generico, entao existe um representante F : U×V → Cr×Cp tal que a aplicacao fu : V →Cp e k-generica, para quase todo u ∈ U .
Exemplo 3.3.3. Dado um germe de aplicacao analıtica f : (Cn, 0) → (Cp, 0), e sempre
possıvel construir um desdobramento k-generico de f.
Consideremos o espaco dos jatos Jk(n, p) como o espaco dos parametros, definimos
Gk(f) : (Jk(n, p)× Cn, 0) → (Jk(n, p)× Cp, 0) por Gk(f)(τ, x) = (τ, f(x) + τ(x))
Para ver que Gk(f) e um desdobramento k-generico, considere um representante f : V →Cp do germe f .
A aplicacao Λ : Jk(n, p) × V → Jk(Cn,Cp) definida por Λ(τ, x) = jk(f + τ)(x) e uma
submersao, pois quando fixamos x, a aplicacao τ → Λ(τ, x) e uma transformacao afim.
Em particular, Λ e transversal a qualquer subvariedade de Jk(Cn,Cp).
38
Capıtulo 4
Multiplicidade de singularidades de
Thom-Boardman
4.1 A multiplicidade ci(f )
O numero de Milnor de um germe de funcao analıtica f : (Cn, 0) → C com singularidade
isolada na origem e definido por: µ(f) = dimCOn
Jf
onde Jf e o ideal jacobiano gerado pelas
derivadas parciais∂f
∂xi
, para i = 1, . . . , n. Este numero, definido por J. Milnor em [16]
e interpretado geometricamente como o numero de pontos de Morse, ou pontos Σn,0, se
usarmos a notacao de conjuntos de singularidades de Thom-Boardman, que aparecem em
uma deformacao A-estavel de f .
Analogamente, se consideramos um germe finitamente determinado f : (C2, 0) → (C2, 0),
de tipo Σ1,1 podemos definir o numero:
c(f) = dimCO2
〈J, pxJy − pyJx, qxJy − qyJx〉
onde f = (p, q), J e o determinante jacobiano e os subındices indicam derivadas parciais.
De acordo com [7] e [10], este numero e o numero de cuspides, isto e, pontos Σ1,1,0 que
aparecem em uma deformacao A-estavel de f .
Um resultado similar pode ser encontrado em [17] para um germe de aplicacao finitamente
determinado f : (C2, 0) → (C3, 0). O numero c(f) e definido como:
c(f) = dimCO2
〈J1, J2, J3〉
39
onde J1, J2, J3 sao os tres menores 2 × 2 da matriz jacobiana de f . Neste caso, o numero
c(f) e o numero de cross-cap, ou pontos Σ1,0, que aparecem em uma deformacao A-estavel
de f .
Nesta secao, generalizando as tres construcoes acima, e definido um numero ci(f) para
cada sımbolo de Boardman i = (i1, . . . , ik) e para cada germe de aplicacao f : Kn, 0 → Kp, 0.
Sera provado que este numero e A-invariante e explorada a seguinte questao:
Seja f : (Cn, 0) → (Cp, 0) um germe de aplicacao finitamente determinado e i um sımbolo
de Boardman tal que Σi tem codimensao n no espaco de jatos correspondentes Jk(n, p),
quando ci(f) e igual ao numero de pontos Σi que aparece em uma deformacao generica de
f ?
Adotamos o conceito de deformacao generica ao inves de deformacao A-estavel porque
uma deformacao A-estavel nem sempre existe, a menos que estejamos considerando as boas
dimensoes de Mather.
Definicao 4.1.1. Seja f : Kn, 0 → Kp, 0 um germe de aplicacao, i = (i1, . . . , ik) um sımbolo
de Boardman e Ji(f) a extensao jacobiana iterada de f . O numero ci(f) e definido por:
ci(f) = dimCEn
Ji(f).
Observamos que no caso complexo, o numero ci(f) generaliza os exemplos anteriores.
Proposicao 4.1.2. O numero ci(f) e A-invariante.
Demonstracao: Suponha que f, g sejam A-equivalentes. Entao, g = h◦f ◦k−1 para germes
de difeomorfismos h, k. De (ii) e (iii) do lema 3.1.3, obtemos Ji(g) = h∗Ji(f). Portanto, Ji(g)
e Ji(f) sao induzidos isomorficamente e ci(f) = ci(g).
Observacao 4.1.3. Apesar da teoria de sımbolos de Boardman ter sido introduzido no
contexto de K-equivalencia, o numero ci(f) nao e K-invariante. Por exemplo, considere os
germes de aplicacao f(x, y) = (x, xy + y3), g(x, y) = (x, y3), os quais sao K-equivalentes.
Porem, c1,1(f) = 1 e c1,1(g) = ∞.
Seja f : Kn, 0 → Kp, 0 um germe de aplicacao de rank r. Apos uma mudanca de
coordenadas na fonte, f pode ser escrito como um desdobramento de um germe de aplicacao
Kn−r, 0 → Kp−r, 0. Isto e, podemos considerar f(u, x) = (u, g(u, x)), onde u, x denotam
40
coordenadas em Kr,Kn−r, respectivamente, e g : Kn, 0 → Kp−r, 0 e um germe de aplicacao.
A proxima proposicao diz que, neste caso o numero ci(f) e calculado em termos do germe g.
Notacao: suponha que selecionamos um conjunto fixo de coordenadas xi1, . . . , xir de Kr.
Podemos construir a extensao jacobiana ∆m(f, I) considerando as derivadas parciais em
relacao as estas coordenadas. Denotaremos tal extensao jacobiana por ∆m(f, I; xi1, . . . , xir),
usaremos Ji(f ; xi1, . . . , xir) para denotar a extensao jacobiana iterada e ci(f ; xi1, . . . , xir)
para denotar a multiplicidade.
Proposicao 4.1.4. Suponha que f : Kn, 0 → Kp, 0 seja um germe de aplicacao dado por
f(u, x) = (u, g(u, x)), para u ∈ Kr, x ∈ Kn−r e seja i = (i1, . . . , ik). Entao
ci(f) =
0, se i1 > n− r
ci(g; x), se i1 ≤ n− r
Demonstracao. A matriz jacobiana de f tem a forma
(Ir A
0 B
), onde Ir e a matriz
identidade de ordem r, A =
(∂gi
∂uj
)e a matriz jacobiana de g em relacao as coordenadas ui
e B =
(∂gi
∂xj
)e a matriz jacobiana em relacao as coordenadas xj.
No caso que i1 > n− r, temos n− i1 +1 ≤ r. Isto resulta que existe um menor de ordem
n− i1 + 1 igual a 1. Portanto, Ji1(f) = En e ci(f) = 0.
Por outro lado, n− i1 + 1 > r e todo menor de ordem n− i1 + 1 coincide com um menor
de B de ordem maior ou igual a n − r − i1 + 1. Reciprocamente, todo menor de ordem
n − r − i1 + 1 de B pode ser visto como um menor de ordem n − i1 + 1 da matriz inteira.
Isso prova que Ji1(f) = Ji1(g; x).
Agora procedendo por inducao e aplicando um argumento similar em cada passo obtemos
Ji(f) = Ji(g; x).
Corolario 4.1.5. Sejam f : Kn, 0 → Kp, 0 um germe de aplicacao de corank 1 dado por
f(u, x) = (u, g(u, x)), u ∈ Kn−1, x ∈ K e i = (i1, . . . , ik). Entao ci(f) = ci(g; x), ou seja,
ci(f) =
0, se i1 > 1
dimC =En⟨
∂g1
∂x, . . . , ∂gp−n+1
∂x, . . . , ∂sg1
∂xs , . . . , ∂sgp−n+1
∂xs
⟩ , se i1 = 1
41
4.2 ci(f ) e aplicacoes genericas
Proposicao 4.2.1. Seja f : Kn, 0 → Kp, 0 um germe de aplicacao. Para cada sımbolo de
Boardman i ci(f) ≥ 1 se, e somente se, f e uma singularidade de tipo Σi ∪ Σi′ ∪ . . . ∪ Σi(t),
onde i′, . . . , i(t) sao os sucessores iterados de i.
Demonstracao. Esta demonstracao e consequencia do corolario 3.2.11, pois ci(f) ≥ 1 se, e
somente se, o ideal Ji(f) e proprio, isto e, 0 ∈ V (Ji(f)).
A seguir mostraremos a relacao entre a condicao ci ≥ 1 e o conjunto de zeros do ideal
Ji(f), V (Ji(f)).
Corolario 4.2.2. Seja f : Kn, 0 → Kp, 0 um germe de aplicacao e i um sımbolo de Board-
man.
(i) Suponha que f e uma singularidade de tipo Σi, entao V (Ji(f)) = Σi(f). Alem disso,
se ci(f) = 1, entao f e uma singularidade de tipo Σi,0;
(ii) Suponha que f tem rank n− 1, entao V (J1,...,1(f)) = Σ1,...,1(f).
Demonstracao. Como f e uma singularidade de tipo Σi, entao Σi′(f) = . . . = Σi(t)(f) = ∅,o que resulta a primeira parte de (i).
Para a segunda parte, suponha que ci(f) = 1. Entao, Ji(f) = mn e portanto o ideal
(f, Ji(f)) tambem tem rank n, pois f(0) = 0, assim f tem singularidade de tipo Σi,0.
Finalmente, observamos que o item (ii) segue do Corolario 3.2.11 pois quando f tem rank
n− 1 temos V (Ji′(f)) = . . . = V (Ji(t)(f)) = ∅.
Observacao 4.2.3. A recıproca da segunda parte de (i) na proposicao acima nao e valida,
mesmo no caso em que f e A-estavel. Por exemplo, considere o germe de aplicacao f(x, y) =
(x, y2). Este germe e de tipo Σ1,0, porem c1(f) = ∞
Quando f e generica e ν(i) = n, os pontos Σi sao isolados. Na tabela seguinte aparecem
os sımbolos de Boardman de codimensao n para n, p ≤ 8.
42
n p 1 2 3 4 5 6 7 8
1 (1)
2 (2) (12) (1)
3 (3) (2,1) (13) (1)
4 (4) (3,1) (2,12) (14)(2) (12) (1)
5 (5) (4,1) (3,12) (2,13)(22) (15)
6 (6) (5,1) (4,12) (3,13)(3,2) (2,14)(3) (16) (13)(2) (12)
7 (7) (6,1) (5,12) (4,13)(4,2) (3,14) (2,15)(22,1) (17)(2,1)
8 (8) (7,1) (6,12) (5,13)(5,2) (4,14) (3,15)(3,2,1)(4) (2,16) (18)
Proposicao 4.2.4. Sejam f : Kn, 0 → Kp, 0 um germe de aplicacao generico e i um sımbolo
de Boardman tal que ν(i) = n. Entao, ci(f) = 1 se, e somente se, f e de tipo Σi,0.
Demonstracao: Como f e generico e ν(i) = n, f deve ser uma singularidade de tipo Σi,0.
Entao segue da definicao de sımbolo de Boardman que podemos selecionar g1, . . . , gn ∈ Ji(f)
com rank n em zero. Mas isso implica que Ji(f) = 〈g1, . . . , gn〉 = mn e portanto ci(f) = 1.
A recıproca e imediata das definicoes.
4.3 ci(f ) e deformacoes genericas
Restringiremos nossa atencao para o caso K = C. Queremos determinar quando o numero
ci(f) pode ser interpretado geometricamente como o numero de pontos Σi que aparecem em
uma deformacao generica de f . Para fazer isto, primeiro estudamos quando o numero ci(f)
e finito.
Observamos que o numero ci(f) nem sempre e finito, mesmo quando ν(i) ≥ n e o germe
e A-estavel, como mostra o por exemplo abaixo.
Exemplo 4.3.1. Seja f : C5 → C5 um germe de aplicacao definido por f(u, v, w, x, y) =
(u, v, w, xy, x2 + y2 + ux + vy).
Este germe e uma singularidade de tipo Σ2,0 e e A-estavel. Por outro lado, o sımbolo
de Boardman i = (1, 1, 1, 1, 1) satisfaz ν(i) = 5, mas pela Proposicao 4.1.4 obtemos Ji(f) ⊂〈u, v, x, y〉 e portanto ci(f) = ∞.
O lema abaixo mostra quando ci(f) e finito.
43
Lema 4.3.2. Seja i um sımbolo de Boardman tal que ν(i), ν(i′), . . . , ν(i(t)) ≥ n, onde
i′, . . . , i(t) sao os sucessores iterados de i. Se f : (Cn, 0) → (Cp, 0) e um germe finitamente
determinado, entao ci(f) < ∞.
Demonstracao: Temos que ci(f) = dimCEn
Ji(f)< ∞ se, e somente se, a dimensao de Krull
do anelEn
Ji(f)e zero. Mas esta dimensao coincide com a dimCV (Ji(f)) e pela Proposicao
4.2.1 este conjunto pode ser escrito como
V (Ji(f)) = Σi(f) ∪ Σi′(f) ∪ . . . Σi(t)(f)
Por outro lado, podemos usar o criterio de determinacao finita de Mather-Gaffney que
diz que existe um representante f : U → Cp tal que f e A-estavel em U \ {0}. Entao jk(f) e
transversal a toda subvariedade de Thom-Boardman em U\{0} e portanto V (Ji(f))∩(U\{0})e uma uniao finita de subvariedades de codimensao maior ou igual a n. Encolhendo a
vizinhanca U se necessario, teremos V (Ji(f))∩ (U \{0}) = ∅, o que significa que V (Ji(f)) ⊂{0} e dimCV (Ji(f)) = 0.
Agora queremos estender este resultado para o caso nao-generico. Dado um germe de
aplicacao f : (Cn, 0) → (Cp, 0) consideramos uma deformacao a r-parametros fu, com a
propriedade que fu e generica para qualquer u. Neste caso, o desdobramento correspondente
F (u, x) = (u, fu(x)) e um desdobramento generico de f . Tambem, consideramos um sımbolo
de Boardman i tal que ν(i) = n e ν(i′), . . . , ν(i(t)) > n, sendo i′, . . . , i(t) os sucessores de i.
Note que, a condicao ν(i′), . . . , ν(i(t)) > n tem que ser adicionada para assegurar que, para
qualquer u, fu tem apenas pontos de tipo Σi. Nesta situacao, queremos saber quando o
numero ci(f) e igual ao numero de pontos Σi que aparecem em fu para qualquer u.
Proposicao 4.3.3. Sejam f : (Cn, 0) → (Cp, 0) um germe e i um sımbolo de Boardman tal
que ν(i) = n , ν(i′), . . . , ν(i(t)) > n e ci(f) < ∞. Seja F (u, x) = (u, fu(x)) um desdobramento
a r-parametros generico de f . Entao, o numero de pontos Σi que aparecem em fu, para
qualquer u, e menor ou igual a ci(f).
Alem disso, a igualdade e valida se, e somente se, o anelEn+r
Ji(f)e um anel Cohen-
Macaulay.
Demonstracao: Se ci(f) = 0, entao V (Ji(f)) = ∅ e como V (Ji(fu)) = Σi(fu) para u 6= 0,
fu nao tera nenhum ponto Σi. Portanto, podemos supor que ci(f) > 0 e V (Ji(f)) = {0}pelo Corolario 4.2.2.
44
Neste caso, o conjunto X = V (Ji(f)) e 1-dimensional e a projecao π : X → C dada por
π(u, x) = u satisfaz π−1(0) = {0}. Alem disso, para u 6= 0, a cardinalidade de π−1(u) e igual
ao numero de pontos Σi que aparecem em fu. De [[10], Proposicao 7.1, Exemplo 7.1.3] este
numero e o numero de intersecao i(0; V (Ji(f))) ◦ V (u)), onde V (u) e o n-plano u = 0.
Por outro lado, se R =En+1
Ji(f)e u denota a classe de u em r, como 〈u〉 e um ideal de
parametros de R, aplicamos o Teorema 17.11 de [15] e obtemos que R e Cohen-Macaulay se,
e somente se, e(〈u〉, R) = dimCR
〈u〉 . Finalmente, obtemos
dimCR
〈u〉 = dimC
En+1
Ji(f)
〈u〉 = dimCEn
Ji(f)
Observacao 4.3.4. O fato que ci(f) e igual ao numero de pontos Σi que aparecem em
uma deformacao generica de f nao depende do desdobramento generico F . Portanto, se o
anelEn+r
Ji(F )e Cohen-Macaulay para algum desdobramento generico F , entao ele e Cohen-
Macaulay para qualquer outro desdobramento. Por exemplo, quando f tambem e K-finito,
existe um desdobramento F que e K-versal [23]. Este desdobramento F sera A-estavel,
portanto generico, como um germe, o que implica que F e generico como um desdobramento.
Observacao 4.3.5. Sejam f : (Cn, 0) → (Cp, 0) um germe K-finito de tipo Σi e i um
sımbolo de Boardman tal que ν(i) = n e ci(f) < ∞. Entao ci(f) e igual ao numero de
pontos Σi que aparecem em uma deformacao generica de f . Seja F um desdobramento K-
versal de f . Entao F tambem e de tipo Σi e A-estavel. Isso implica que V (Ji(F )) = Σi(F )
e uma subvariedade de Cn+r de codimensao n e o anel localEn+p
Ji(F )e regular e portanto
Cohen-Macaulay.
Note que isto pode ser estendido para o caso quando f e de tipo Σj, com j ¹ i (no caso
em que j ≺ i, ci(f) e o numero de pontos Σi ambos sao iguais a zero). Portanto, temos que
estudar o caso que f nao e de tipo Σi mas e de tipo Σj, com i ≺ j.
Teorema 4.3.6. Sejam f : (Cn, 0) → (Cp, 0) um germe finitamente determinado e i um
sımbolo de Boardman tal que ν(i) = n. Entao ci(f) e o numero de pontos Σi que aparecem
em uma deformacao generica de f , desde que
(i) o comprimento de i e 1;
(ii) f e uma singularidade de tipo Σi; ou
45
(iii) f tem rank n− 1 e i = (1, . . . , 1).
Demonstracao: Seja F : (Cn+1, 0) → (Cp+1, 0) um desdobramento a 1-parametro de f ,
dado por F (u, x) = (u, fu(x)) e com a propriedade que fu e generica para todo u 6= 0. Pela
Proposicao 4.3.3, temos que mostrar que nos tres casos, o anel R =En+p
Ji(F )e Cohen-Macaulay.
No primeiro caso, Ji(f) e definido pelos menores de ordem (n − i1 + 1) da matriz de
ordem n × p, sendo i = i1. Como ν(i) = i1(p − n − i1) = n, temos que dimCR = 1 =
(n + 1)− i1(p− n− i1), o que implica que R e um anel determinantal e portanto pelo Lema
1.4.37 e um anel Cohen-Macaulay.
No segundo caso, F tambem e uma singularidade de tipo Σi e portanto V (Ji(F ) =
Σi(F ). Isto significa que o anel local R pode ser obtido como o pull-back do anel local
da subvariedade de Thom-Boardman Σi ⊂ Jk(n, p) atraves da aplicacao jkF : Cn+1, 0 →Jk(n, p). Agora, Σi e Cohen-Macaulay pois e suave em todo ponto e como codim Σi = n =
codim R, R e tambem Cohen-Macaulay.
No ultimo caso, temos que F tem rank n. Pelo corolario 4.1.5 sabemos que apos uma
mudanca de coordenada na fonte, o ideal Ji(F ) e gerado por n funcoes g1, . . . , gn. Mas,
R =En+1
Ji(F )tem dimensao 1 e portanto isto e uma intersecao completa. Em particular, pelo
Lema 1.4.36 R e Cohen-Macaulay.
Observacao 4.3.7. O primeiro caso do Teorema acima, inclue o numero de Milnor para p =
1 e o numero de cross-caps para n = 2 e p = 3. Generalizando, temos que c1(f) e o numero
de pontos Σ1 de um germe de aplicacao finitamente determinado f : (Cn, 0) → (Cn−1, 0) e
c2(f) e o numero de pontos Σ2 de f : (C2n, 0) → (C3n−2, 0), etc.
Se consideramos o caso geral de um germe de aplicacao finitamente determinado f :
(Cn, 0) → (Cp, 0) e um sımbolo de Boardman i com ν(i) = n, podemos tentar aplicar o
argumento acima para provar que ci(f) e o numero de pontos Σi. Depois da proposicao 4.2.1
e do lema 4.3.2 e obvio que devemos adicionar a condicao ν(i′), . . . , ν(i(t)) > n para assegurar
que ci(f) e finito e que fu tem apenas pontos Σi como singularidades isoladas. Porem, em
ambos os casos o resultado nao e valido em geral. Na verdade, o anel local R =En+1
Ji(f)que aparece na demonstracao acima nao e Cohen-Macaulay em geral e isto e devido ao fato
que estes aneis nao tem uma estrutura reduzida (todo anel local um dimensional reduzido e
Cohen-Macaulay).
O exemplo seguinte ilustra a observacao anterior.
46
Exemplo 4.3.8. Quando n = p = 3 o unico sımbolo de Boardman que satisfaz ν(i) = 3
e i = (1, 1, 1). Alem disso, seus sucessores iterados sao i′ = 2 com ν(i′) = 4 e i” = 3 com
ν(i”) = 9.
Seja f : (C3, 0) → (C3, 0) um germe de aplicacao dado por f(x, y, z) = (x, yz, y2+z2+xz).
Mostraremos que para este germe o numero ci(f) e 4, mas a deformacao generica a 1-
parametro fu(x, y, z) = (x, yz, y2 + z2 + xz + uy) tem apenas dois pontos Σ1,1,1 para u 6= 0.
O primeiro passo e calcular o ideal J1,1,1(F ). Este ideal e gerado pelos menores de ordem
maxima da matriz
(z 2y + u −4y − u 8y + u 16z + 6x
y 2z + x 4z + x 8z + x 16y + 6u
)
No caso, u = 0, J1,1,1(f) = m32, onde m3 = 〈x, y, z〉 e o ideal maximal de E3, portanto,
c1,1,1(f) = 4.
Por outro lado, temos V (J1,1,1(F )) = V (4z + x, 4y + u, x2 − u2), logo para u 6= 0, os
pontos Σ1,1,1 de fu sao P1 = (u,−u
4,−u
4), P2 = (−u,−u
4,u
4)
Finalmente, vemos que fu e na verdade generica para u 6= 0, pois P1 e P2 sao pontos de
tipo Σ1,1,1,0.
Devemos provar que o rank de fu e os geradores de J1,1,1(fu) sao iguais a 3 em ambos os
pontos.
Consideramos o menor dado pela primeira e a ultima colunas, que e igual a −6xy + 6uz.
Entao o determinante jacobiano de (x, xy,−6xy+6uz) resulta 6xy+6uz, que e igual a −3u2
em P1 e a 3u2 em P2. Isto mostra que os unicos conjuntos de singularidades que aparecem
em fu sao Σ1,0, Σ1,1,0 ou Σ1,1,1,0, portanto fu e generica em todo ponto.
4.4 Caracterizacao dos aneis Cohen-Macaulay
Nesta secao estudaremos todas as possıveis situacoes que podem ser resolvidas aplicando o
Lema 1.4.37 e Lema 1.4.38, ou seja, quando os aneisEn
Ji(f)sao de tipo Cohen-Macaulay.
Lema 4.4.1. Para qualquer sımbolo de Boardman (i1, . . . , ik) temos
ν(i1, . . . , ik, 1) = 2ν(i1, . . . , ik)− ν(i1, . . . , ik−1) + 1
.
47
Demonstracao: A demonstracao e uma consequencia obvia do seguinte fato
µ(i1, . . . , ik, 1) = 2µ(i1, . . . , ik)− µ(i1, . . . , ik−1)
que pode ser facilmente provado por inducao sobre k.
Teorema 4.4.2. Seja f : (Cn, 0) → (Cp, 0) um germe de aplicacao generico de tipo Σi1,...,ik .
EntaoEn
Ji1,...,ik,1(f)e um anel Cohen-Macaulay.
Demonstracao: Observe que , neste caso, temos
V (Ji1(f)) = Σi1(f), . . . , V (Ji1,...,ik(f)) = Σi1,...,ik(f)
e como f e generica, estes conjuntos sao subvariedades de codimensoes ν(i1), . . . , ν(i1, . . . , ik).
Alem disso, os respectivos aneis locais,En
Ji1(f), . . . ,
En
Ji1,...,ik,1(f)sao regulares.
Como f tem rank n−1, apos uma mudanca de coordenadas na fonte, podemos supor que
f pode ser escrito na forma f(x; y) = (x; g(x; y)), onde x = (x1, . . . , xn−i1), y = (y1, . . . , yi1)
e g = (g1, . . . , gp−n+i1). Entao, Ji1(f) e gerado pelas i1(p − n + i1) derivadas parciais∂gα
∂yβ
,
com 1 ≤ α ≤ p− n + i1 e 1 ≤ β ≤ i1.
Agora,
(f ;
∂gα
∂yβ
)tem rank n − i2 e podemos tomar uma nova mudanca de coorde-
nada na fonte tal que a aplicacao acima possa ser escrita na forma (x; g; x1; h1), com
x1 = (x11, . . . , x
1i1−i2) e h1 = (h1
1, . . . , h1i1(p−n+i1)−(i1−i2)). O ideal Ji1(f) e gerado por
(x1, h1) e∂gα
∂yβ
∈ Ji1(f) com 1 ≤ α ≤ p− n + i1 e yβ uma coordenada nao inclusa em (x; x1).
O segundo ideal Ji1,i2(f) e gerado por (x1, h1) e pelas derivadas parciais∂h1
α
∂yβ
. Alem disso,
a condicao de regularidade permite extrair um conjunto minimal de derivadas parciais por
isso temos um total de geradores ν(i1, i2) de Ji1,i2(f). Como acima,
(f ; x1; h1;
∂h1α
∂yβ
)tem
rank n − i3 e podemos tomar novamente uma mudanca de coordenada na fonte, entao isto
pode ser escrito na forma
(x; g; x1; h1; x2; h2)
sendo (x1; h1), os geradores ν(i1) de Ji1(f) e (x1; h1; x2; h2), os geradores ν(i1, i2) de Ji1,i2(f)
e com a propriedade que
∂gα
∂yβ
,∂h1
α
∂yβ
∈ Ji1,i2(f)
48
para qualquer coordenada yβ nao inclusa em (x, x1, x2).
Podemos iterar este processo e obtermos um sistema de geradores ν(i1, . . . , ik−1) de
Ji1,...,ik−1(f) da forma (x1; h1; . . . ; xk−1; hk−1), que pode ser completado como um sistema
(x1; h1; . . . ; xk−1; hk−1; hk) de geradores ν(i1, . . . , ik) de Ji1,...,ik(f) com a propriedade que
∂gα
∂yβ
,∂hj
α
∂yβ
∈ Ji1,...,ik(f)
para j = 1, . . . , k − 1 e para qualquer yβ nao incluso em (x; x1; . . . ; xk−1).
Nesta situacao, o ideal desejado Ji1,...,ik,1(f) e gerado por Ji1,...,ik(f) e pelos menores maxi-
mais da matriz dada pelas derivadas parciais∂hk
α
∂yβ
, com 1 ≤ α ≤ ν(i1, . . . , ik)−ν(i1, . . . , ik−1)
e 1 ≤ β ≤ ik.
Sejam R, S os aneis locais R =En
Ji1,...,ik(f), S =
En
Ji1,...,ik,1(f)que tem dimensoes n−ν(i1, . . . , ik)
e n− ν(i1, . . . , ik, 1), respectivamente. Pelo Lema 4.4.1
ν(i1, . . . , ik, 1)− ν(i1, . . . , ik) = ν(i1, . . . , ik)− ν(i1, . . . , ik−1)− ik + 1
e portanto S e Cohen-Macaulay pelo Lema 1.4.37.
Teorema 4.4.3. Seja f : (Cn, 0) → (Cp, 0) um germe de aplicacao generico de corank 1
(n ≥ p). Entao
En
Jn−p+1,j(f),
En
Jn−p+1,1,1(f)
sao aneis Cohen-Macaulay.
Demonstracao: Como f tem rank p − 1, podemos supor que f e dado por f(x; y) =
(x; g(x; y)), onde x = (x1, . . . , xp−1), y = (y1, . . . , yn−p+1) e g e um germe de aplicacao.
Entao, Jn−p+1(f) e gerado pelas n− p + 1 derivadas parciais∂g
∂ys
e R = En/Jn−p+1(f) e um
anel Cohen-Macaulay de dimensao p− 1.
Agora, considere o anel S =En
Jn−p+1,j(f), que tem dimensao n − ν(n − p + 1, j) =
p− 1− j(j +1)/2. Este anel pode ser obtido como o quociente do anel R/I, onde I e o ideal
gerado pelos menores de ordem (n− p + 1− j + 1) da matriz simetrica
[∂2g
∂ys∂yt
]de ordem
n−p+1. Como p−1−j(j +1)/2 = dimCS, o Lema 1.4.38 implica que S e Cohen-Macaulay.
Note que, no caso particular j = 1, S tem dimensao p − 2 e o ideal I acima e gerado
pelo determinante Hessiano de g, H(g). Seja T o anelEn
Jn−p+1,1,1(f), que tem dimensao
49
n − ν(n − p + 1, 1, 1) = p − 3. Como T e igual ao quociente R/J , onde J e o ideal gerado
pelos menores maximais da matriz
[∂2g
∂ys∂yt
|∂H(g)/∂ys
]de ordem (n− p + 1)× (n− p + 2).
Como p − 1 − ((n − p + 2) − (n − p + 1) + 1) = p − 3 = dimCT , concluimos que T e
Cohen-Macaulay pelo Lema 1.4.37.
Corolario 4.4.4. Sejam f : (Cn, 0) → (Cp, 0) uma germe de aplicacao K − finito e i um
sımbolo de Boardman tal que ci(f) < ∞. Entao ci(f) e o numero de pontos Σi que aparecem
em uma deformacao generica de f em cada uma das seguintes situacoes:
(i) i = (i1, . . . , ik, 1), com ν(i) = n e f e uma singularidade de tipo Σi1,...,ik ;
(ii) i = (n− p + 1, j), com p = 1 + j(j + 1)/2 e f tem corank 1;
(iii) i = (n− 2, 1, 1), com p = 3 e f tem corank 1.
Demonstracao: Seja F um desdobramento a r-parametros K-versal de f . Entao F e A-
estavel e portanto generico. Pelos Teoremas 4.4.2 e 4.4.3, em todos os casos,En+r
Ji(F )e um
anel Cohen-Macaulay e o resultado segue da Proposicao 4.3.3.
O resultado do Corolario 4.4.4 tambem pode ser aplicado para responder a seguinte
pergunta: seja i um sımbolo de Boardman tal que ν(i) = n e ν(i′), . . . , ν(i(t)) > n, onde
i′. . . . , i(t) sao os sucessores iterados de i, sob quais condicoes em f : (Cn, 0) → (Cp, 0) ci(f)
e o numero de pontos Σi que aparecem em uma deformacao generica de f?
Para responder esta questao, comecaremos provando uma lista de todos os sımbolos de
Boardman que satisfazem as requeridas condicoes.
Teorema 4.4.5. Os unicos sımbolos de Boardman que satisfazem as condicoes ν(i) = n e
ν(i′), . . . , ν(i(t)) > n sao os seguintes:
(i) i = i1, com n = i1(i1 + p− n);
(ii) i = (1, 1), com n = 2(1 + p− n) e p ≥ n;
(iii) i = (2, 1), com n = 11 e p = 12;
(iv) i = (n− p + 1, j), onde p = 1 + j(j + 1)/2 e n ≥ 2p− 3;
(v) i = (n− p + 2, 1), onde p = (7 + 2n)/3 e n ≥ 7;
(vi) i = (n− 2, 1, 1), com p = 3 e n ≥ 3;
50
(vii) i = (n− 5, 2, 1), com p = 6 e n ≥ 9.
Separamos a demonstracao deste teorema em tres casos, de acordo com o comprimento
do sımbolo de Boardman. Em todos os casos, a demonstracao e baseada no fato que a
codimensao ν(i) preserva a ordem natural dos sımbolos de Boardman. Isto e, dados dois
sımbolos de Boardman i = (i1, . . . , ik) e j = (j1, . . . , jm) tais que k ≥ m e is ≥ js para
s = 1, . . . ,m temos ν(i) ≥ ν(j).
Lema 4.4.6. Suponha que n ≥ p. Entao nao existem sımbolos de Boardman i de compri-
mento maior ou igual a 4 satisfazendo as condicoes ν(i) = n e ν(i′), . . . , ν(i(t)) > n.
Demonstracao: Seja r = n − p ≥ 0. Note que a codimensao ν(i) e maior que 0 apenas
quando i1 ≥ r + 1. Suponha que |i| ≥ 4 e seja i1 = r + 1 + t, com t ≥ 0. Entao temos
ν(i) ≥ ν(r + 1 + t, 1, 1, 1) = 4 + r + 5t + 4rt + 4t2
Porem, um dos sucessores de i e r + 2 + t, que tem codimensao
ν(i) ≥ ν(r + 1, s + 1, 1, 1) = 4 + r +5
2s +
3
2s2
Quando s < r, podemos comparar esta codimensao com a codimensao do sucessor
ν(r + 1, s + 2) = 4 + r +5
2s +
1
2s2
resultando uma contradicao com as hipoteses. Finalmente, para o caso s = r, comparamos
ν(i) ≥ ν(r + 1, r + 1, 1, 1) = 4 +11
2r +
3
2r2
com ν(r + 2) = 4 + 2r.
Lema 4.4.7. Suponha que n ≥ p. Entao os unicos sımbolos de Boardman i de comprimento
3 satisfazendo as condicoes ν(i) = n e ν(i′), . . . , ν(i(t)) > n sao aqueles correspondendo aos
casos (vi) e (vii) do Teorema 4.4.2.
Demonstracao: Seja r = n− p ≥ 0 como acima, e suponha que i1 = r + 2 + t, com t ≥ 0.
Entao
ν(i) ≥ ν(r + 2 + t, 1, 1) = 10 + 4r + 10t + 3rt + 3t2
51
Porem, isto nao e possıvel, pois
ν(r + 3 + t) = 9 + 3r + 6t + rt + t2
Portanto, a unica possibilidade e i1 = r+1. Para o segundo termo, suponha que i2 = 3+s,
com s ≥ 0. Entao
ν(i) ≥ ν(r + 1, 3 + s, 1) = 11 + r + 6s + s2
e, como ν(r + 1, 4 + s) = 11 + r + (9s + s2)/2, novamente temos uma contradicao. Portanto,
existe apenas tres possibilidades para i, a saber: (r + 1, 2, 2), (r + 1, 2, 1) e (r + 1, 1, 1). A
primeira nao e possıvel pois ν(r + 1, 2, 2) = 8 + r e ν(r + 1, 3) = 7 + r. Para a segunda,
temos os resultados ν(r +1, 2, 1) = 6+ r , ν(r +1, 3) = 7+ r e ν(r +2) = 4+2r. Assim este
sımbolo de Boardman satisfaz as condicoes quando n = 6 + r e r ≥ 3 (caso (vii)). A ultima
possibilidade resulta ν(r + 1, 1, 1) = 3 + r e ν(r + 2) = 4 + 2r, satisfazendo as condicoes
quando n = 3 + r e r ≥ 0 (caso (vi)).
Lema 4.4.8. Suponha que n ≥ p. Entao os unicos sımbolos de Boardman i de comprimento
2 satisfazendo as condicoes ν(i) = n e ν(i′), . . . , ν(i(t)) > n sao aqueles correspondendo aos
casos (iv) e (v) do Teorema 4.4.2.
Demonstracao: Comecamos com o caso i1 = r + 3 + t, com t ≥ 0, sendo r = n − p ≥ 0.
Entao temos:
ν(i) ≥ ν(r + 3 + t, 1) = 16 + 5r + 11t + 2rt + 2t2
mas isto e uma contradicao para o fato que ν(r + 4 + t) = 16 + 4r + 8t + rt + t2. Portanto,
as unicas possibilidades para i1 sao r + 2 ou r + 1. Suponha que i1 = r + 2 e i2 ≥ 2. Entao,
ν(i) ≥ ν(r + 2, 2) = 10 + 4r, o que nao e possıvel pois ν(r + 3) = 6 + 3r. Portanto, i2 deve
ser igual a 1 e como ν(r + 2, 1) = 7 + 3r , temos o caso (v).
Finalmente, quando i1 = r + 1, a codimensao de i e 1 + r + i2(i2 + 1)/2. O fato que
ν(r + 2) = 4 + 2r resulta a desigualdade do caso (iv).
Lema 4.4.9. Suponha que n < p. Entao os unicos sımbolos de Boardman i de comprimento
2 satisfazendo as condicoes ν(i) = n e ν(i′), . . . , ν(i(t)) > n sao aqueles correspondendo aos
casos (i), (ii) e (iii) do Teorema 4.4.2.
52
Demonstracao: Neste caso, denotamos r = p − n − 1 ≥ 0. Primeiro mostramos que nao
existem sımbolos de Boardman de comprimento maior ou igual a 3. Suponha que |i| ≥ 3 e
seja i1 = 1 + t, com t ≥ 0. Entao temos
ν(i) ≥ ν(1 + t, 1, 1) = 6 + 3r + 7t + 3rt + 3t2
que nao e compatıvel com
ν(2 + t) = 6 + 2r + 5t + rt + t2
Agora, classificamos os sımbolos de Boardman de comprimento 2. O caso i1 = 3 + t,
com t ≥ 0, nao e possıvel, pois ν(3 + t, 1) = 22 + 6r + 13t + 2rt + 2t2 e ν(4 + t) =
20 + 4r + 9t + rt + t2. Portanto, devemos apenas considerar os casos (2, 2),(2, 1) ou (1, 1).
As codimensoes correspondentes sao ν(2, 2) = 15 + 5r, ν(2, 1) = 11 + 4r, ν(1, 1) = 4 + 2r,
ν(3) = 12 + 3r e ν(2) = 6 + 2r.
Portanto, o caso (2, 2) nao e possıvel, o caso (2, 1) e possıvel apenas quando r = 0 caso
(iii) e o caso (1, 1) ocorre quando n = 4 + 2r caso (ii).
Corolario 4.4.10. Seja f : (Cn, 0) → (Cp, 0) um germe K-finito e seja i = (i1, . . . , ik) um
sımbolo de Boardman tal que ν(i) = n e ν(i′), . . . , ν(i(t)) > n e tal que ci(f) < ∞. Entao,
ci(f) < ∞ e o numero de pontos Σi que aparecem em uma deformacao generica de f , desde
que um dos seguintes itens seja valido:
(i) O comprimento de i e 1;
(ii) n = p = 2 e i = (1, 1);
(iii) p 6= 6 e f tem rank n− i1, isto e, f e uma singularidade de tipo Σi1;
(iv) p = 6 e f e uma singularidade de tipo Σi1,i2.
Exemplo 4.4.11. Seja f : (C3, 0) → (C3, 0) um germe dado por f(x, y, z) = (x, yz, y2 +
z2 + xz). Para este germe temos J1,1,1(f) = m23, onde m3 = 〈x, y, z〉 e o ideal maximal de
E3. Portanto, o numero c1,1,1(f) e igual a 4. Se considerarmos a deformacao a 1-parametro
dada por fu(x, y, z) = (x, yz, y2 + z2 + xz + uy) temos que o conjunto de zeros V (J1,1,1(fu))
tem exatamente dois pontos
53
P1 =(u,−u
4,−u
4), P2(−u,−u
4,u
4
)
ambos de tipo Σ1,1,1,0. Portanto, fu e uma deformacao generica de f com apenas dois pontos
Σ1,1,1.
Exemplo 4.4.12. Consideremos o germe f : (C4, 0) → (C5, 0) dado por
f(x, y, z, t) = (x, y, z2 − t2, zt + x2, xz + yt).
Temos J1,1(f) = m24, onde m4 = 〈x, y, z, t〉 e o ideal maximal de E4. Portanto, c1,1(f) e
5. Por outro lado, a deformacao a 1-parametro fu(x, y, z, t) = f(x, y, z, t) + u(0, 0, x + y +
z + t, 0, 0) tem a propriedade que o conjunto V (J1,1(fu)) consiste de apenas tres pontos
P1 = (0, 0,−1, 1)u
2, P2 = (0, 0,−1 +
√3, 1 +
√3)
u
8e P3 = (0, 0,−1−
√3, 1−
√3)
u
8
todos de tipo Σ1,1,0. Portanto, fu e uma deformacao generica de f com apenas tres pontos
Σ1,1.
Exemplo 4.4.13. Seja f : (C3, 0) → (C2, 0) um germe dado por f(x, y, z) = 12(x2 + y2, y2 +
z2). Temos que J2,1(f) e gerado por {xy, xz, yz, x3, y3, z3} e c2,1(f) = 7. Por outro lado, se
considerarmos a deformacao a 1-parametro fu(x, y, z) = f(x, y, z) + u(z, x + y), mostramos
que fu e uma deformacao generica de f com apenas seis pontos de tipo Σ2,1 quando u 6= 0.
De fato, a matriz jacobiana de fu e
E0 =
(x y u
u u + y z
)
o que implica que J2,1(fu) e gerado por xy + u(x− y), yz− u(u + y), xz− u2. Em particular,
Σ2(fu) e uma curva suave dada pela imagem da aplicacao λ : C \ {0,−u} → C3 definida por
λ(y) =
(uy
u + y, y,
u(u + y)
y
). Alem disso, a linha tangente de Σ2(fu) e gerada pelo vetor
λ′(y) =
(u2
(u + y)2, 1,−u2
y2
).
Agora, se calcularmos a restricao da matriz jacobiana de fu a Σ2(fu) e aplicar isto ao
vetor tangente λ′(y) temos o vetor
u3y3 + (y3 − u3)(u + y)3
y3(u + y)3(y, u + y)
54
que e zero se, e somente se, u3y3 + (y3 − u3)(u + y)3 = 0. Um pequeno calculo mostra
que todas as solucoes da equacao acima sao simples. Logo, esta equacao tem seis solucoes
distintas, e isto implica o resultado.
4.5 Singularidades de (C5, 0) em (C4, 0)
Nesta secao iremos considerar o caso de germes de (C5, 0) → (C4, 0), onde aparecem dois
sımbolos de Boardman cuja variedade e de codimensao n.
Seja f : (C5, 0) → (C4, 0) um germe de aplicacao analıtica. Se f e um germe A-estavel,
ele e equivalente ao germe determinado por uma das seguintes formas:
(i) f(x, y, a, b, c) = (x2 + y2, a, b, c) A1, (fold, Σ2);
(ii) f(x, y, a, b, c) = (x3 + ax + y2, a, b, c) A2, (cuspide, Σ2,1);
(iii) f(x, y, a, b, c) = (x4 + ax2 + bx + y2, a, b, c) A3, (swallow tail, Σ2,1,1);
(iv) f(x, y, a, b, c) = (x5 + ax3 + bx2 + cx + y2, a, b, c) A4, (butterfly, Σ2,1,1,1);
(v) f(x, y, a, b, c) = (x2y + y3 + ay2 + bx + cy, a, b, c) D4, (umbılico, Σ2,2).
Consideramos o seguinte problema: quantos butterflies e umbılicos aparecem em uma
deformacao A-estavel de um germe f : (C5, 0) → (C4, 0)?
Seja fu um deformacao A-estavel de f e b(fu) e u(fu) o numero de pontos A4, D4 de f ,
respectivamente. Se f e K-finito, entao existe um K-desdobramento versal de f e portanto
b(fu) e u(fu) nao dependem da escolha de u. Portanto, denotamos este numero por b(f) e
u(f).
Facamos (n, p) = (5, 4). Neste caso, a lista de sımbolos de Boardman i com codim Σi ≤ 5
e o seguinte:
i (2) (2, 1) (2, 1, 1) (2, 1, 1, 1) (2, 2)
codim Σi 2 3 4 5 5
Proposicao 4.5.1. Seja f : (C5, 0) → (C4, 0) um germe K-finito com c2,2(f) < ∞. Entao
temos u(f) ≤ c2,2(f) e a igualdade e valida se rank(ker(f)) ≤ 2 em zero.
55
Demonstracao: Por [18] temos V (∆2,1,1,1) = Σ2,1,1,1 ∪ V (∆2,2) como conjuntos. Portanto
o numero c2,1,1,1(f) e uma reflexao de butterflies e umbılicos.
Proposicao 4.5.2. Seja f : (C5, 0) → (C4, 0) um germe K-finito com c2,1,1,1(f) < ∞.
Entao b(f)+4u(f) ≤ c2,1,1,1(f) e a igualdade e valida se, e somente se, V (∆2,1,1,1) e Cohen-
Macaulay em jk(f).
Demonstracao. Primeiro observe que c2,1,1,1(f) = 4, se f : (C5, 0) → (C4, 0) e um germe
A-estavel com 0 ∈ Σ2,2(f). Isto e uma singularidade D4 e e dada por f(x1, x2, . . . , x5) =
(12x2
1x2 + 16x3
2 + 12x2
2x3 + x2x4 + x1x5, x3, x4, x5). Por um calculo elementar, temos ∆2(f) =
(x1x2 +x5,12(x2
1 +x22)+x2x3 +x4), ∆
2,1(f) = ∆2(f)+ (x22 +x2x3−x2
1), ∆2,1,1(f) = ∆2,1(f)+
(x1(4x2 +3x3), x2(4x2 +3x3)) e ∆2,1,1,1(f) = (x1, x2, x3)2 +(x4, x5). Portanto, c2,1,1,1(f) = 4.
A afirmacao restante e consequencia de 4.3.3.
56
Trabalhos futuros
O estudo sobre Variedades de Thom-Boardman, Ideais Jacobianos e outros topicos apresen-
tados nesta dissertacao permite desenvolver outras linhas de pesquisa, por exemplo:
– Seguir as ideias de Fukui em C5 → C4 e aplicar os resultados de Weyman e Fukui para
descrever as singularidades de germes Cn → Cp , para outros pares (n, p).
– Descrever os polinomios de Thom seguindo os trabalhos de Rimanyi e Gaffney feitos
para o caso Σ1,1,1,1.
– Estudar a relacao de Cohen-Macaulay de variedades de Thom-Boardman e bases de
Grobner dos ideais associados a estas variedades.
– Encontrar outros invariantes associados as singularidades de Thom-Boardman de ger-
mes de aplicacoes.
57
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