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Vetores e movimento em duas dimensões

Vetores e movimento em duas dimensões. Posição e deslocamento A trajetória é o caminho percorrido por um objeto (planeta, cometa, foguete, carro..). Qualquer

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Vetores e movimento em duas dimensões

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Posição e deslocamento

A trajetória é o caminho percorrido por um objeto (planeta , cometa, foguete, carro..). Qualquer ponto da trajetória pode ser descrito pelo vetorposição que denotamos por r(t).O deslocamento r entre os pontos rP e rQ é dado por

r = rQ – rP

Note que r não depende da origem

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Posição e deslocamento

O vetor posição em 2-D fica definidoem termos das suas coordenadas cartesianas por

r(t) = x(t)i + y(t)j

r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k

No caso espacial, 3-D, temos

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Velocidade e aceleração

jirrr

vt

y

t

x

tt

tttm

)()(

Similar ao caso de 1-D, a velocidade média é

dtd

tttt

t

rrrv

)()(lim

0

A velocidade instantânea é

jir

vdtdy

dtdx

dttd )(

ou em termos de componentes

jiv yx vv ou

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Velocidade e aceleração

jivvv

at

v

t

v

tt

ttt yxm

)()(

Similar ao caso de 1-D, a aceleração média é

dt

d

t

tttt

vvva

)()(lim

0

A aceleração instantânea é

jiv

adt

dv

dt

dv

dt

td yx )(

em termos de componentes

jia yx aa ou

2

2 )(

dt

td

dt

d rva

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Componentes da aceleração

Componentes cartesianas Componentes tangencial eperpendicular

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O problema inverso

)(ta

tdtavtvt

t

0

)()( 0

tdtvrtrt

t

0

)()( 0

Conhecida a aceleração, podemos integrá-la e

obter a velocidade, que se integrada

nos fornece a posição

Este processo deve ser efetuado para cada componente cartesiana do vetor considerado

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Aceleração constante

• Aceleração constante movimento no plano: plano formado pela velocidade inicial e pelo vetor aceleração.

• Movimento fora do plano não é possível.• A gravidade é um bom exemplo.• Como ax e ay são constantes dois

problemas unidimensionais independentes.

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Aceleração constante

tavv

tatvyy

tavv

tatvxx

yyy

yy

xxx

xx

0

200

0

200

2

1

2

1componente x de r

componente y de r

componente x de v

componente y de v

jiv

jir

0

0

yx vv

yx

00

00

em t =0

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Aceleração da gravidade

gtvv

gttvyy

vv

tvxx

yy

y

xx

x

0

200

0

00

2

1

componente x de r

componente y de r

componente x de v(constante)

componente y de v

jiv

jir

0

0

yx vv

yx

00

00

em t =0

Nesse caso ay = -g e ax=0. Na direção x, vx é constante!

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Aceleração da gravidade

Se tomamos x0 = y0 = 0 (saindo da origem)

de x = v0x t temos t = x/v0x

substituindo na equação para yencontramos a equação da trajetória

2200

0

2

1x

v

gx

v

vy

xx

y

Equação de uma parábola! Foto estroboscópica do movimento parabólico

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Aceleração da gravidade

A coordenada y é independente da velocidade vx.Isto é ilustrado na figura ao lado onde duas bolas são jogadas sob ação da gravidade. A vermelha é solta e a amarela tem velocidade inicial vx.

Em cada instante elas têm a mesma altura!!

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Aceleração da gravidade

Ex.: Bola sai do penhasco com v = 10 m/s na horizontalDescreva o movimento.

A velocidade é

vx = 10 m/svy = (-9.8 m/s2) t

A posição é

x = (10 m/s) ty = (-4.9 m/s2) t2

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Aceleração da gravidade

Como varia o ângulo dos vetores r e v?

vetor r:

tan = y/x = (-0.49 s-1)t

vetor v:

tan ’ = vy/vx = (-0.98 s-1)t

Vetores r, v e a para t = 1s e t = 2s. Enquanto a é constante r e v variam com o tempo.

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Alcance

gv

g

vt yh

000 sin

Tempo para atingir altura máxima h.

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Alcance

g

vgttvh hh 2

sin21

sin2

00200

Tempo para atingir altura máxima h.

O alcance R acontece em t = 2 th:

0

2

00000 2sin

sin2cos2 0

g

v

gv

vtvR hx

gv

g

vt yh

000 sin

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Alcance

0

2

2sin0 g

vR

Para um valor fixo do módulo da velocidade inicial o alcance máximo acontece para ou seja

Alcance máximo

g

vR

2

max0

2/2 0 0

0 45

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Exemplo

Bola sobre a mesa cai de altura H = 80 cm com velocidade inicial v0 = 2.1 m/s. Qual a distância D onde ela atinge o piso?

g

HtgtH HH

2,

2

1 2

A altura H é dada por

g

HvtvD H

200

A vel. horizontal se mantém constante

cmsm

msmD 85

/8.9

80.02/1.2

2

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Exemplo

max20

0

2sinRR

vgR

785.01019800

2sin 0

Canhão atira bolas com vel. v0 portanto seu raio máximo é Rmax =v0

2/g. Mostre que para atirar em um alvo com menor distância existem dois ângulos 0 possíveis. v0 = 100 m/s, D = 800m

Usando os dados numéricos temos Rmax = 1019 m

001

001

002

001

64,26

ou

1282,522

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Movimento circular e uniforme

Este movimento tem velocidade com módulo constante porém sua direção muda continuamente

Exemplos:Movimento de satélites artificiais.Pontos em um disco de vitrola.Disco rígido de computador.Nós como partículas girando com

o movimento da terra.

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Movimento circular e uniforme

Rs

fixoR ;

Usamos coordenadas polares

Daí, o arco fica

Como o raio é constante, a única variável é

),(

onde

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Movimento circular e uniforme

dt

d dt

dRv

dt

ds

Como o raio é constante, a única variável é . A posição angular é uma função do tempo, . O arco descrito em é dado por . Então,

Definimos assim a velocidade angular

)(tt

Rs

Rvdt

ds

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Movimento circular e uniforme

vTR 2

22

vR

T

Tf

1

Período do movimento

Uma volta completa

Frequência

f 2

Velocidade angular e frequência

sT HzsT

f 11Unidades

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ω

δφRv

Rωv

ω

vR

O modulo da velocidade

O vetor associado vem de um produto vetorial

Interpretação da velocidade angular

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Movimento circular e uniforme

v

v

r

r

tr

rv

tv

Aceleração média

t

r

r

v

t

va

tt

00limlim

No limite t 0

22

rr

va

Aceleração instantânea

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Movimento circular e uniforme

r

rr

ˆ

Aqui podemos também usar um vetor unitário (note que este vetor varia com o movimento)

A aceleração cujo módulo vimos, fica:

rr

va ˆ

2

Tem direção do vetor posição

e aponta para o centro do movimento. Está é a aceleração centrípeta.

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Movimento circular e uniforme

Exemplo: Peão roda uniformemente com 16 Hz. Qual é a aceleração centrípeta de um ponto no raio do peão em R = 3 cm

f 2

Velocidade angular é

rad/s101)16(rad2 Hz

Daí a aceleração fica22 303 scmra

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Movimento helicoidal

kjir tvtRtRt z sincos)(

kjiv zvtRtRt cossin)(

jia tRtRt sincos)( 22

Exemplo de movimento tridimensional: considere uma partícula cuja posição varia como

constantes.

A aceleração

zveR ,

A velocidade

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Movimento helicoidal

No plano xy a partícula tem

Movimento periódico onde

O módulo da velocidade

A aceleração

O módulo

tRtx cos)(

tRty sin)(

Rtvxy )()(tvxy

)()( 2 tt xyxy ra

Rtaxy2)(

/2T

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Movimento helicoidal

Podemos compor este movimento no plano com o movimento em z. Note que a partícula anda uma altura h em um período do movimento no plano

A cada período T a partícula se desloca de h no plano z descrevendo um movimento helicoidal!

/2 zz vTvh

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Movimento circular acelerado

.)( constdtd

t

dtd

Rtvdtds )(

é o módulo da velocidade que também varia no tempo e a velocidade angular é dada por

Consideremos agora o caso em que a velocidade angular não é constante. Então,

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Movimento circular acelerado

Como o módulo da velocidade também varia há uma componente tangencial da aceleração dada por

)()()(

tRdttd

Rdttdv

onde é a aceleração angular

)(t

)()(

tdt

td

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ttv

ttv

ttv T

t

N

tt

)(lim

)(lim

)(lim

000

)( ttv

)(tv

Nv

R

Tv

v

Movimento circular acelerado

)()()(

)( tatadttvd

ta TN

A aceleração do corpo é dada por

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Movimento circular acelerado

)(taT

R)(taN

)()()(

)( tatadttvd

ta TN

)(

2

)(

ˆˆ)(

ta

ta

N

T

rRv

vRta

Aceleração total; soma de uma componente tangencial e uma normal

ou ainda

)()()( 22 tatata TN

)(tv

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Movimento circular aceleradoPelas definições da aceleração e velocidade angulares temos

t

t

tdtttdt

td

0

)()()()(

0

t

t

tdtttdt

td

0

)()()()(

0

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Movimento circular aceleradoQuando a aceleração angular é constante temos o chamado movimento circular uniformemente acelerado

)()()(

00 tttdttd

20000 )(

21

)()()()(

ttttttdttd

Em perfeita analogia com movimento linear uniformemente acelerado!

e2

020

2 )(2

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a)

b)

ExemploUm disco possui uma aceleração angular de rad/s2.Supondo que o disco inicie o seu movimento com velocidade angular nula, pede-se:

2

a) a velocidade angular do disco depois que ele girou de 200, e

b) o tempo gasto para ele atingir esta velocidade angular.

sradsrad /)3/2(/9/)2(222

sstt )3/1(2/)3/2(

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Movimento relativo

• O movimento de um determinado objeto é conhecido em um dado sistema de coordenadas A

• Conhecemos o movimento de um segundo sistema de coordenadas B com respeito ao primeiro

• Desejamos conhecer o movimento do objeto em relação ao novo sistema de coordenadas

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Movimento relativo

r

ABr

ABrrr

Mas se são todas funções do tempo

)()()( trtrtr AB

r

AB

rrA rrB

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Movimento relativo

Velocidade relativa

vvv

dtrd

dtrd

dtrd

AB

AB

v

v

ABv

ABv

v

vvvA vvB

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Movimento relativo

Aceleração relativa

aaa

dtvd

dtvd

dtvd

AB

AB

a

a

ABa

a

aABa

aaA aaB

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ExemploUm indivíduo deixa cair um objeto dentro de um elevador que sobe com velocidade de 1/2 m/s. Pede-se:

1/2 m/s

zg ˆ

a) A aceleração do objeto relativa ao elevador tão logo deixe a mão do indivíduo

b) A velocidade do objeto com relação ao solo após 1/10 s.

A Bz

x

a)

b)

zsmgaa

aaaa ABAB

ˆ/10

0;2

zsmv

tavvv

vvv

AB

AB

ˆ/5,00