TÍTULO: DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO SIMPLES DE VIGAS EM CONCRETO ARMADO ATRAVÉS DE MODELOS ÓTIMOS DE BIELAS E TIRANTES

CATEGORIA: 06. Pesquisa Operacional

RESUMO: O objetivo do trabalho consiste em apresentar uma metodologia para o dimensionamento de elementos estruturais em concreto armado através de modelos de bielas e tirante. Esses modelos permitem a generalização dos elementos a serem dimensionados e ainda a otimização da armadura. Para o presente estudo, serão consideradas vigas de seção retangular. O trabalho se resume em comparar o processo de cálculo baseado no comportamento estrutural do concreto armado com a metodologia apresentada, verificando se ela também atende à NBR-6118 2003. Os modelos de bielas e tirantes serão obtidos utilizando ferramentas de programação linear, cujas soluções serão obtidas utilizando o lindo.

AUTORES: Bruno de Souza Lobbo, Élcio Cassimiro Alves

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1 Introdução O comportamento dos elementos estruturais mais freqüentemente utilizados é bem conhecido e possuem seus modelos matemáticos bem definidos, facilitando o seu dimensionamento. Porém existem peças importantes, que, no entanto são pouco usadas e que fogem às regras adotadas, portanto devem ser estudadas individualmente, o que complica o seu projeto, tornando-as mais suscetíveis à falhas, que podem ocasionar incidentes de magnitude flagelante.

Já foram registrados diversos acidentes devido a problemas com o projeto dos elementos estruturais. No Brasil, entre outros, tem o “desastre da Gameleira” que ocorreu em Belo Horizonte na década de 70, onde durante o intervalo para o almoço, dezenas de operários descansavam debaixo da estrutura já construída e desformada, quando as duas maiores vigas, de tamanhos incomuns, vieram ao chão (VASCONCELOS, 1996). Já houve também, em 1990, um prédio no Rio de Janeiro que apresentou trincas nas paredes dos apartamentos com até 6 mm de abertura e 1,3 m de comprimento, que foram causadas por erros de detalhamento do projeto de lajes. Este acidente poderia ter sido muito mais grave (CUNHA, 1996).

De acordo com Alves (1998), é viável utilizar modelos de bielas e tirantes com a finalidade de facilitar o dimensionamento de elementos estruturais em concreto armado, englobando todo e qualquer elemento. Além disso, através dos mesmos modelos também se torna possível otimizar a seção de armadura do elemento projetado.

Dentro do vasto universo estrutural existem diferentes tipos de elementos, cada um com sua relevância e sua complexidade. Sendo assim, por ser de maior representatividade e por haver maior disponibilidade de recursos, trataremos no momento apenas das vigas de seção retangular.

2 Dimensionamento de Vigas Segundo NBR-6118

Segundo Rocha (1984), o princípio do funcionamento de uma estrutura em concreto armado baseia-se em hipóteses verificadas experimentalmente, que podem ser enumeradas:

i. juntos o concreto e o aço possuem boa aderência, evitando o escorregamento entre si;

ii. funcionam como um só elemento, com as mesmas características de deformação;

iii. proteção contra oxidação da armadura por parte do concreto.

Cabendo ao concreto resistir à compressão e ao aço, geralmente à tração. Já que em alguns casos específicos o aço também trabalha na compressão (POLILLO, 1979).

Como estudaremos as vigas, que sofrem apenas esforços de flexão e cisalhamento, o dimensionamento, segundo a norma NBR-6118 (2003), deve ser feito para o estado limite último, que deve seguir as seguintes suposições:

i. as seções permanecem planas após as deformações;

ii. para a retração do concreto parcialmente comprimido considera-se o limite de 3,50/00 na ruptura, e para as seções totalmente comprimidas adota-se 20/00;

iii. o alongamento máximo permitido para as armaduras tracionadas é de 100/00 para se prevenir a deformação plástica excessiva;

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iv. a distribuição de tensões no concreto se faz de acordo com o diagrama parábola-retângulo (Figura 1). O qual tem a substituição permitida por um retangular de altura 0,8x e com tensão de 0,85fcd, onde x representa a altura da linha neutra (LN) e fcd a resistência de cálculo à compressão do concreto, apresentado pela Eq. (1). A Figura1 apresenta as grandezas que aparecem na seção de concreto para o dimensionamento à flexão.

Figura 1 – Diagrama de tensões e deformações

Onde:

h altura da seção da peça estudada;

d altura útil da seção estudada;

d’ altura do recobrimento;

RC resultante dos esforços de compressão;

R’C resultante da armadura de compressão;

RT resultante dos esforços de tração;

As área da seção da armadura de tração;

As’ área da seção da armadura de compressão.

Seguindo as recomendações da norma, é necessário que, se majore os esforços e minore as resistências através das seguintes equações:

c

ckcd

ffγ

= (1)

s

ykyd

ff

γ= (2)

Onde, fcd e fyd são as resistência de cálculo do concreto e do aço, fck é a resistência à compressão característica do concreto, fyk é a tensão de escoamento do aço e, �c e �s são os coeficientes observados pelas normas e:

4,1×= máxMMd (3)

Onde, Md é o momento de cálculo e Mmáx é o momento máximo obtido pelo diagrama de momento fletor (DMF).

Com as solicitações e resistências de cálculo, deve-se então verificar o fator limite de compressão do concreto, K e Klim, dados através da tabela e da equação a seguir, respectivamente (Alves, 2003).

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2cd dbf85,0MdK

××= (1)

Limite de K para o tipo de aço.

Aço CA25 CA40A CA40B CA50A CA50B CA60A CA60B Klim 0,427 0,396 0,315 0,376 0,301 0,358 0,289

Fonte: Alves 2003 Tabela 1 – Tabela Para Klim

Assim tem-se que: se DuplaArmaduraKKKK

SimplesArmaduraKKKK,

,

limlim

lim=′⇒>=′⇒≤

De posse do valor limite de compressão, parte-se para o cálculo do As e também para o As’ caso a armadura seja dupla.

21 AsAsAs += (2)

α×××

=yd

cd1 f

dbf85,0As (6)

Φ=′ 2AssA (7)

k211 −−=α (8)

dd1

kkf

dbf85,0Asyd

cd2 ′

−

′−×

××= (9)

Onde Φ é tabelado segundo a razão d /d’ (Tabela 2) e:

Definição de Φ segundo a razão de d'/d e tipo do aço

d/d' Aço CA40B CA50B CA60B

10 0,936 0,899 0,86 15 0,955 0,921 0,886 20 0,964 0,932 0,898 25 0,969 0,938 0,905

Fonte: Alves 2003 Tabela 2 – Tabela para Φ

Em fim, com a área da seção de aço necessária basta seguir a norma e definir a disposição construtiva, onde adotando uma bitola comercial para o tipo do aço utilizado chega-se à quantidade de barras necessárias, daí conclui-se verificando o espaçamento entre as barras.

3 Vigas de Substituição No início do século, Mörsch idealizou, uma treliça fictícia capaz de resistir simultaneamente aos esforços de flexão e de cisalhamento, tendo assim um funcionamento com o aspecto de uma viga de concreto armado fissurada (ALVES, 1998).

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Sussekind (1991) mostra que o cálculo dos esforços das barras das treliças pode ser obtido a partir dos diagramas de momentos fletores e esforços cortantes da viga denominada por “viga de substituição” como na Figura 2.

Mörsch admitiu o funcionamento da viga no estado limite último, encontrando uma treliça com as barras superiores comprimidas, simbolizando o concreto; as barras inferiores tracionadas, simbolizando a armadura da viga; as verticais e diagonais tracionadas simbolizando os estribos responsáveis pela resistência ao cisalhamento e as verticais e diagonais comprimidas, simbolizando a região de concreto parcialmente comprimido.

Figura 2 – Exemplo de Viga de Substituição

Para a obtenção dos esforços normais da treliça, baseado no princípio do equilíbrio das forças (SUSSEKIND, 1991), gera-se sistemas de equações lineares para cada nó, os quais são solucionados por um software de programação linear denominado Lindo, que além de retornar os esforços normais à barra, ainda otimiza este resultado.

4 O Modelo De Programação Linear

4.1 Função a Minimizar

No presente trabalho, deseja-se dimensionar a seção de concreto baseado em modelos de bielas e tirantes de modo que se tenha uma armadura mínima. Da Resistência dos Materiais tem-se:

AF

=σ (10)

Para o aço tem-se:

yd

s fNA = (11)

4.2 Condições de Equilíbrio As condições de equilíbrio em cada nó da estrutura são do tipo:

Segundo o eixo OX:

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N Fi ii

NB

jj

NF

j*cos *cosα β= =∑ ∑+ =

1 10 (10)

Segundo o eixo OY:

N Fi ii

NB

jj

NF

j*sen *senα β= =∑ ∑+ =

1 10 (11)

Figura 3 - Condições de Equilíbrio

Onde:

Ni - esforço axial na barra i dado por:

cti NNN −= (12)

Fj - valor de cálculo da força concentrada de ordem j, aplicada ao nó;

αi - ângulo que a barra de ordem i realiza com o eixo OX;

βj - ângulo que a força Fj faz com eixo OX;

Dessa forma, o problema de programação linear fica:

Mínimo: Esforço nas Barras Tracionadas

Sujeito a:

Condições de equilíbrio

Condições de limitação máximas e mínimas nas armaduras;

Condições de limitação dos valores extremos dos esforços axiais nas bielas

Ou seja:

Minimizar: ∑NT

1 = i yd

i

fN

= Z

Sujeito a:

Para cada um dos nós do modelo articulado:

N Fi ii

NB

jj

NF

j*cos *cosα β= =∑ ∑+ =

1 10

N Fi ii

NB

jj

NF

j*sen *senα β= =∑ ∑+ =

1 10

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Para cada tirante:

0Ni ≥

Para alguns tirantes, dependendo do modelo, o esforço mínimo é dado:

min,ii NN ≥ Para cada biela:

Ni ≥ 0

(13)

Todas as relações envolvidas no problema (13) são lineares nas variáveis Ni,.A solução deste problema matemático obtém-se recorrendo a um algoritmo apropriado sendo o mais conhecido e utilizado no presente trabalho o Simplex. Para a resolução do problema (13) utilizou-se o programa LINDO, onde a partir da resolução do problema se encontra o modelo ótimo para a estrutura.

5 Dimensionamento por Bielas e Tirantes Adotando a mesma filosofia para o dimensionamento da NBR-6118 (2003), que afirma que a seção de aço é definida pela razão do esforço a ser resistido pela tensão de escoamento do elemento.

yd

t

f4,1NAs ×

= (13)

yd

cc

f4,1)RN('As ×−

= (14)

Na Eq. (14) As’ existirá se a força na barra comprimida for maior que a força resistente do concreto na zona de compressão.

6 Exemplos

6.1 Exemplo 1 - Viga Biapoiada Como primeiro exemplo adotou-se uma viga isostática biapoiada de seção 20x40cm e com um vão de 3m conforme o esquema mostrado na Figura 4. Na Figura 4.a apresenta o modelo original com a armadura calculada e o modelo de treliça inicialmente utilizado. Na Figura 4.b aprese o modelo otimizado com armadura detalhada.

(a) (b)

Figura 4 - Viga com Carga Concentrada e Modelo de Treliça (a), Modelo otimizado (b).

Os resultados do dimensionamento da armadura de flexão seguem na Tabela 3.

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Como pode-se observar na Tabela 3 a Área total de aço obtida pelo Modelos de Bielas e Tirantes são ligeiramente menores que o dimensionamento convencional. Porém, o modelo de Bielas e Tirantes, como pode-se observar na Figura 4 e na Tabela 3, fornece já uma armadura mais detalhada, uma vez que a quantidade de aço são obtidos diretamente da Eq. (13) a partir dos esforços nas barras.

TRECHO MOMENTO

(kNm) NBarra As

(Convencional)

As (MBT)

As Min (NBR)

N barras (Convencional)

N barras (MBT)

(cm²) (cm²) (cm²) φ 12,5mm φ 12,5mmA-B 25 65,79 2,13 2,12 1,2 2 2 B-C 50 65,79 4,28 2,12 1,2 3 2 C-D 75 197,37 6,45 6,36 1,2 5 5 D-E 75 197,37 6,45 6,36 1,2 5 5 E-F 50 65,79 4,28 2,12 1,2 3 2 F-G 25 65,79 2,13 2,12 1,2 2 2

Tabela 3 – Resultados da Viga Convencional e Otimizada via Modelos de Bielas e Tirantes

6.2 Exemplo 2 –Viga Biapoiada com Várias Cargas

No segundo exemplo é apresentada uma viga biapoiada com as mesmas dimensões do exemplo 1, porém com várias cargas aplicadas. Na Figura 5.a apresenta o cálculo da armadura e o modelo original e na Figura 5.b o modelo otimizado e a armadura detalhada.

(a) (b)

Figura 5 - Viga com Carga Concentrada e Modelo de Treliça (a), Modelo otimizado (b).

Os resultados do dimensionamento da armadura de flexão seguem na Tabela 4. TRECHO MOMENTO NBarra As (Convencional) As

(MBT) As Min (NBR)

N barras (Convencio

nal)

N barras (MBT)

(cm²) (cm²) (cm²) φ(mm) 16 φ(mm) 16 A-B 31 49,34 2,81 1,59 1,2 1 1 B-C 50 115,13 4,77 3,71 1,2 2 2 C-D 56 148,03 5,44 4,77 1,2 3 2 D-E 56 148,03 5,44 4,77 1,2 3 2 E-F 50 115,13 4,77 3,71 1,2 2 2 F-G 31 49,34 2,81 1,59 1,2 1 1

Tabela 4 – Resultados da Viga Convencional e Otimizada via Modelos de Bielas e Tirantes

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6.3 Exemplo 3 – Viga Contínua com Várias Cargas O terceiro exemplo é uma viga com dois vãos e com cargas concentradas A Figura 6 apresenta a viga com a armadura calculada e o modelo de treliça utilizado inicialmente.

Figura 6 –Viga Contínua com Modelo Inicial de treliça

Na Figura 7 é apresentado o modelo otimizado.

Figura 7 – Modelo Otimizado com o detalhe da armadura nos trechos

TRECHO MOMENTO NBarra As (Convencional

)

As (MBT) As Min (NBR) N barras (Convencional)

N barras (MBT)

(cm²) (cm²) (cm²) φ(mm)= 16 φ(mm)= 16 A-B 32 65,79 2,91 2,12 1,20 1 1 B-C 32 98,69 2,91 3,18 1,20 1 2 C-D 32 98,69 2,91 3,18 1,20 1 2 D-E 32 65,79 2,91 2,12 1,20 1 1 E-F 32 32,89 2,91 1,06 1,20 1 1 F-G 0 0,00 0,00 0,00 1,20 0 0 G-H 55 0,00 5,33 0,00 1,20 3 0

10

H-I 55 49,34 5,33 1,59 1,20 3 1 I-J 55 49,34 5,33 1,59 1,20 3 1 J-K 55 0,00 5,33 0,00 1,20 3 0 K-L 0 0,00 0,00 0,00 1,20 0 0 L-M 32 32,89 2,91 1,06 1,20 1 1 M-N 32 65,79 2,91 2,12 1,20 1 1 N-O 32 98,69 2,91 3,18 1,20 1 2 O-P 32 98,69 2,91 3,18 1,20 1 2 P-Q 32 65,79 2,91 2,12 1,20 1 1

Tabela 5 – Resultados da Viga Convencional e Otimizada via Modelos de Bielas e Tirantes

Como pode-se observar na Figura 7, o modelo obtido acompanha o diagrama de momento fletor da estrutura, fornecendo barras tracionadas em cima do 2o apoio e barras tracionadas ao longo do vão. O modelo ainda sugere utilização de narras verticais com barras inclinadas no combate ao cisalhamento. Nesse caso a armadura sobre o apoio é menor. Isso é devido a redistribuição de esforços nas barras comprimidas e diagonais tracionadas.

7 Conclusões A partir dos exemplos apresentados pode-se chegar às seguintes conclusões:

Com os modelos de Bielas e Tirantes o dimensionamento das vigas é obtido de uma forma simples e eficiente. A metodologia adotada fornece uma armadura menor que a armadura obtida de forma convencional para os exemplos apresentados. O modelo ainda é falho para estruturas com cargas distribuídas, pois nesses casos ter-se-á de reduzir a carga às cargas concentradas nos nós da treliça. Não ficando totalmente compatível o modelo de treliça com o modelo original de viga proposto. Ainda tem que ser feito a análise das diagonais para verificar a distribuição dos estribos.

Referências ALVES, E. C. Um Sistema Para Determinação de Modelos de Bielas e Tirantes. Dissertação de Mestrado em Eng. Civil, Pontifícia Universidade Católica/RIO. 1998.

ALVES, E. C. Notas de Aula de Estruturas de Concreto Armado. 2003

CUNHA, A. J. P. Trincas em Alvenaria de Prédio Residencial. In Cunha, A. J. P., Lima, N. A. e Souza, V. C. M., de Acidentes Estruturais na Construção Civil. 1996.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, 2003. NBR-6118.

POLILLO, A. Dimensionamento de Concreto Armado, Vol. 1, Rio de Janeiro, Editora Científica. 1979.

ROCHA, A. M. Concreto Armado São Paulo, Editora Nobel.. 1984.

SILVA, E. M., GONÇALVES, V., MUROLO, A. C., SILVA, E. M. Pesquisa Operacional Para os Cursos de Economia, Administração e Ciências Contábeis, São Paulo: Editora Atlas. 1998.

SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural, v.1, Editora Globo, 1991.

VASCONCELOS, A. C. O desabamento do pavilhão da gameleira. In Cunha, A. J. P., Lima, N. A. e Souza, V. C. M., de Acidentes Estruturais na Construção Civil. 1996.