VII Seminário da Pós-graduação em Engenharia MecânicaMauro Cesar Menão Aluno do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica – Unesp – Bauru ... Um método para eliminar

VII Seminário da Pós-graduação em Engenharia Mecânica

COMPARATIVO DE ESTRATÉGIAS DE CONTROLE DE VIBRAÇÕES EM UMA

VIGA MODELADA COM ELEMENTOS ESPECTRAIS

Mauro Cesar Menão

Aluno do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica – Unesp – Bauru

Prof. Dr. Paulo José Paupitz Gonçalves

Orientador – Depto de Engenharia Mecânica – Unesp – Bauru

RESUMO Com o crescente busca por eficiência nos projetos mecânicos envolvendo o assunto

de controle de vibrações, as estratégias de controles passivos usualmente modificam e

adicionam massa a estrutura ao utilizar elementos de dissipação de energia. Esse trabalho tem

o objetivo de demonstrar diferentes estratégias de controle de vibração aplicadas á uma viga

engastada, envolvendo o controle ativo das vibrações, aplicados a uma viga engastada. O

sistema mecânico da viga foi modelado utilizando elementos espectrais, cujas equações do

movimento no domínio da frequência não são aproximações como no usual método de

elementos finitos, permitindo uma resposta precisa do sistema utilizando poucos elementos no

modelo dinâmico. As simulações numéricas, com auxilio do software Matlab®, demonstram

diferentes estratégias de controle das vibrações utilizando controle de feedforward. A posição

da força de controle é estuda em termos de função de controle ótimo, visando maximizar a

performance e evitar a instabilidade na estrutura, que é uma possibilidade nos controles

ativos. As simulações são desenvolvidas para identificar a posição da força de controle,

identificando instabilidades e distribuição dos sensores ao longo da viga.

PALAVRAS-CHAVE: Controle de Vibrações, Método dos elementos espectrais, Controle

feedforward.

1 INTRODUÇÃO

Com a crescente necessidade de projeto mecânico para atingir alta eficiência, os

sistemas estruturais dinâmicos estão cada vez mais flexíveis e muitas vezes possuem baixo

coeficiente de amortecimento, que pode causar vibrações e instabilidade comprometer o

desempenho do sistema. Um método para eliminar este problema é realizar o controle de

vibração, a qual pode ser feita por métodos passivos ou ativos, em que o objetivo principal é a

redução das amplitudes dos deslocamentos de uma estrutura ao longo de um intervalo de

frequência de excitação.

Estratégias de controle passivo são geralmente associadas à modificação estrutural

através da adição de massa. Normalmente, adicionando amortecimento como materiais

viscoelásticos, amortecedores de fricção, amortecedores ajustados com base- isolamento que

têm sido. Sua principal função é dissipar a energia interna do sistema na forma de calor. Uma

característica importante dos sistemas passivos é a sua incapacidade para desestabilizar a

estrutura, porque nenhuma energia externa é adicionada ao sistema.

Outra estratégia para controlar a vibração é a utilização de métodos ativos, que utiliza

uma fonte de alimentação externa por aplicação de forças secundárias para controlar a

estrutura. Geralmente, estas forças são aplicadas por meio de uma lei de controle com

entradas em medições de velocidades de deslocamento (ou acelerações) da estrutura.


Normalmente, o controlo ativo, as forças são inseridas na armação por meio de

materiais "inteligentes", que podem produzir uma tensão mecânica, com uma entrada

específica de um sinal elétrico. Os materiais piezoeléctricos vêm com grande ênfase na área

dos sensores de medição, a principal capacidade de inovação, ambos medidos (sensor) e, se

for de interesse, como a função do atuador. Os materiais piezoeléctricos mais comuns são o

PZT de (titanato zirconato de chumbo) e PVDF (polivinilideno Fluoreto ), que podem

funcionar como sensores ou actuadores , devido ao seu efeito directo e indirecto conhecido,

ou seja, o sensor de sofrer deformação que produz uma diferença de potencial pode ser

medido e , no outro caso , se receber uma diferença de potencial vai responder com uma

deformação . Veja a figura 1 abaixo. ( Prazzo , Carlos Eduardo , 2011) .

Figura 1 – Viga com atuador piezoelétrico

As estratégias mais conhecidas de controle ativo é o feedback e feedforward. Neste

artigo, vamos explorar as possibilidades de um controle de controle feedforward ideal.

O conceito de um controle antecipado baseia-se no princípio da sobreposição de sistemas

lineares, isto é, ondas de entrada no sistema por um atuador para controlar e eliminar a

perturbação onda causa interferência. O diagrama de blocos que ilustra esta estratégia é

apresentada na figura 2:

Figura 2 – Diagrama de blocos de um controlador Feedforward

Onde:

Fd = Força de distúrbio;

Fc = Força de controle;

Y(n,d) = Matriz mobilidade da viga, relacionada a Fd com a velocidade no ponto da

viga.

Y(n,c) = Matriz mobilidade da viga, relacionada a Fc com a velocidade no ponto da

viga.

Hf = Controlador Feedforward.

W Velocidade de interesse na viga.

2 MODELO MATEMÁTICO

O método dos elementos finitos é o hoje o mais utilizado e aceito na análise estrutural.

Neste método, as soluções estáticas são utilizados com grande êxito para os problemas


estáticos, em que o sistema está dividido em vários elementos que constituem a geometria do

corpo, com as condições de fronteira e o carregamento de determinados.

À medida que a evoluir de estática para o problema dinâmico, a solução deve

convergir para valores aceitáveis, que envolvem, geralmente, aumentando o número de

elementos do sistema, em relação ao problema estático, em que os elementos são aumentados

em proporção com o aumento da frequência. Com o grande número de elementos de

simulações são mais longas e, por vezes, a partir de um tempo viável.

Uma alternativa é o uso de elementos espectrais que se baseia na solução exata da

equação da viga, ao contrário da aproximação polinomial de elementos finitos. As funções

trigonométricas e hiperbólicas são incorporadas na resposta de frequência, resultando em

elemento de resposta dinâmica exata.

Vários artigos têm explorado o método em comparação com o método tradicional de

elementos finitos, com resultados satisfatórios (preto Thomas, 2005), (Lee, Kim, Leung,

2000).

Outro método conhecido de modelagem é a matriz de impedância. Apesar de bem

documentada (Rubin, 1967), esta técnica começou a ser usado mais recentemente. Sua

principal vantagem é que , ao contrário do método de matrizes de transferência , as matrizes

são expressas diretamente em termos de funções de resposta em frequência.

Considere uma viga de Euler- Bernoulli que pode ser modelada pela equação

diferencial parcial:

𝐸. 𝐼.𝜕4𝜔 𝑥

𝜕𝑥4+ 𝜌.𝑆.

𝜕2𝜔 𝑥, 𝑡

𝜕𝑡2= −𝑓 𝑥, 𝑡

(1)

Onde:

E = Módulo de Young;

I= momento de inércia I;

x = posição relativa no feixe;

ρ = densidade do material;

S = área da secção transversal;

t = tempo;

O sistema mostra a equação 1 pode ser representado no domínio de frequência através

da utilização de matrizes de impedância.

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] (2)

Onde:

[Y] = Matriz Mobilidade;

[Z] = Matriz Impedância;

[V] = Vetor velocidade;

[F] = Vetor Forças e momentos;

Aplicando as condições de contorno nas extremidades da viga (livre-livre) na figura 3,

temos a seguinte solução na equação 3:


Figura 3 – Modelo de viga livre-livre

[

]=

[

− − − − − −

]

[

]

(3)

Onde:

j = número complexo;

ρ = densidade do material;

S = área da secção transversal;

E = módulo de Young do material;

I = Momento de inércia de área da secção transversal da viga;

l = comprimento da viga;

ω frequência de excitação;

Ver o apêndice para mais equações da matriz de impedância;

Considerando-se um feixe com condições de contorno nas extremidades do tipo

engastada-livre, como mostrado na figura 4, as forças e velocidades no ponto 1 é igual a zero,

devido ao bloqueio dos graus de liberdade. Portanto, a equação da matriz de impedância e o

feixe são descritos como:

Figura 4 – Modelo de viga engastada-livre

[

] =

[

− − − − − −

] [

] (4)

[ ] =

[− − −

] *

+ (5)


No entanto, queremos introduzir uma força de controlo (Fc), para reduzir as

velocidades e os deslocamentos resultantes da aplicação de uma força de distúrbio (Fd).

Como nem sempre é fisicamente possível aplicação destas forças, no mesmo ponto, temos que

dividir a viga em dois elementos, como a figura 5:

Figura 5 – Modelo de viga dividida em dois elementos

As variáveis deste novo com dois elementos de viga são ilustrados na figura 6:

Figura 6 – Modelo de viga dividida em dois elementos e suas variáveis

Seguem as equações:

Equação da matriz de impedância para o primeiro elemento:

[

]=

[ − − − − − − ]

[

]

(6)

Equação da matriz de impedância par o segundo elemento:

[

]=

[ − − − − − − ]

[

]

(7)

Onde:

e

(8)


Unindo as matrizes de impedâncias dos dois elementos temos:

[

]

=

[ (− ) − ( )

− ( ) − ( )

( ) − ( (− )

(− )) (

− ) ( )

( ) (

− ) (

( )) − ( )

( ) − (− )

( ) ]

[

]

(9)

Eliminando os graus de liberdade relacionados as condições de contorno, temos:

[

]=

[ (

(− )

(− )) (

− ) ( )

(

− ) (

( −

)

(

)) − (

)

( ) − (− )

(

) ( −

)]

[

]

(10)

O mesmo raciocínio pode ser utilizado para uma viga com três elementos conforme a

figura 7 e 8:

Figura 7 – Modelo de viga dividida em três elementos

Figura 8 – Modelo de viga dividida em três elementos e suas variáveis

Seguem as formulações:


[

]

=

[ (− ) − ( )

− ( ) − ( )

( ) − ( (− )

(− )) (

− ) ( )

( ) (

− ) (

( )

( )) − ( )

( ) − ( (− )

(− )) (

− ) ( )

( ) (

− ) (

( )

( )) − ( )

( ) − (− )

( ) ( )]

[

]

(11)

[

]

=

[ ( (− )

(− )) (

− ) ( )

(

− ) (

( )

( )) − ( )

( ) − ( (− )

(− )) (

− ) ( )

( ) (

− ) (

( )

( )) − ( )

( ) − (− )

( ) ( )]

[

]

(12)

2.1 Controle Feedforward

Considerando duas forças que atuam sobre a viga, que a velocidade no ponto desejado

é a soma dos efeitos individuais das forças sobre a viga como se segue:

(13)

Onde:

n = ponto de controle;

ω frequência de excitação;

Yd = matriz mobilidade relacionada a Fd;

Yc = matriz mobilidade relacionada a Fc;

d = ponto da força de distúrbio;

c = ponto da força de controle;

Conforme a teoria de controle feedforward, um controlador com certo ganho é

calculado para minimizar qualquer quantidade física, no caso, a velocidade. São calculados

um ganho e uma fase relativos à força de distúrbio (Fd). Segue, portanto a equação seguinte:

( ) (14)

Onde:

Hf = Controlador feedforward;

Conforme (Fuller, Elliot, Nelson, 1996), uma função para controle ótimo pode ser

calculado da seguinte forma:


−( )

(15)

Nesta equação, o sensor está posicionado exatamente no ponto da força de controle

(c), onde o controlador Hff irá reduzir a velocidade neste ponto, sem considerar outros pontos

da viga.

Geralmente desejamos controlar um ponto determinado na viga, mas sem deixar que

outros pontos tenham resultados piores, podemos escrever o controlador ótimo para incluir

outros da viga, conforme a equação abaixo para uma viga de 2 elementos:

−([

]

[

])

[

]

[

] (16)

Para uma viga de três elementos:

−(*

+

*

+)

*

+

*

+

(17)

Onde os índices “1”, “2” e “3” são os pontos onde os sensores, que, no caso,

obrigatoriamente passam pelos pontos em "Fd" e "Fc". Nesta equação, o controlador Hff tentar

obter o melhor compromisso de redução da velocidade sobre todos os pontos

simultaneamente.

Figura 9 – Esquema de posição dos sensores


3 SIMULAÇÕES E RESULTADOS

O principal objetivo é controlar a velocidade em determinados pontos da viga para

faixa de frequências de excitação. O controle envolve a técnica de feedforward e será

executado posicionando “sensores” ao longo da viga.

Para as análises fixamos os parâmetros de uma viga engastada-livre com os seguintes

valores na tabela 1:

Tabela 1 – Parâmetros da viga para simulação

Comprimento (L): 0,5 metros

Secção transversal:

Retangular /

Largura: 25,4 mm

Espessura: 3 mm

Material:

Alumínio

= 2710 kg/m³

E = 7e10 Pa

Força de distúrbio (Fd): 1 N

Frequência de excitação:

a

Onde:

= 1° frequência natural

= 5° frequência natural

Primeiro, é necessário conhecer as frequências naturais e modos de vibrar da viga em

questão e os resultados são apresentados na tabela 2.

Tabela 2 – Frequências naturais da viga

Frequências naturais e equações dos modos de vibrar Modos de

vibrar Knb

Resultados

para ωn

𝜔 √𝐸 𝐼

𝜌 𝑆

𝑥 [ 𝑥 − 𝑥 ] − [ 𝑥 − 𝑥 ]

−

−

n=1

72,2 Hz

n=2

452,7 Hz

n=3

1267,6 Hz

n=4

2484 Hz

n=5

4106,3 Hz


n=6, 7, ... −

---

Os gráficos dos modos de vibrar, que mostram o deslocamento relativo em relação do

comprimento da viga, são demonstrados na Figura 10:

Figura 10 – Modos de vibrar da viga

Analisando o gráfico dos deslocamentos relativos pode-se concluir que os maiores

deslocamentos estão na extremidade livre e, portanto, esse ponto é o de maior interesse.

Outra observação é que os pontos de velocidade zero (nós) na viga mudam de acordo

com a frequência natural. Esta constatação é importante para o correto posicionamento do

sensor (es) e força de controle para atingir o objetivo de reduzir a vibração da viga.

A seguir, segue a velocidade da extremidade livre da viga com uma força de

perturbação posicionada na mesma extremidade, de acordo com a figura 7 e 8.

Figura 11 – Modelo de uma viga engastada com uma força de distúrbio F2

Desenvolvendo da equação 2:

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Modos de vibrar => Viga engastada-livre

Comprimento da viga [m]

Raiz modo 1 =0.00

Raiz modo 2 =0.00 /0.39Raiz modo 3 =0.00 /0.25 /0.43Raiz modo 4 =0.00 /0.18 /0.32 /0.45Raiz modo 5 =0.00 /0.14 /0.25 /0.36 /0.46

Viga estática

Modo 1 =1(9.9 Hz)

Modo 2 =2(61.7 Hz)

Modo 3 =3(173.3 Hz)

Modo 4 =4(338.8 Hz)

Modo 5 =5(560.0 Hz)


*

+ [

] (18)

Figura 12 – Velocidade na extremidade livre da viga – Sem controle – 1 elemento

Os vales observados ao longo das frequências de excitação do gráfico significam que a

velocidade, e consequentemente, o deslocamento da viga são mínimas.

. Utilizando a técnica de feedforward, colocando uma força de controle em L2 = 50%

L e o sensor no mesmo ponto, temos a viga representada na figura 13:

Figura 13 – Modelo de uma viga engastada com uma força de distúrbio F3 e uma força

de controle F2

Desenvolvendo da equação 12:

[

]

[

] (16)

100

101

102

103

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

Viga engastada-livre => Velocidade na extremidade (sem força de controle)

Frequência[Hz]

Mobili

dade [

m/s

.N]

9.9Hz 61.7Hz 172.9Hz 338.8Hz 560.0Hz

Viga sem força de controle

Frequências naturais por fórmulas


As figuras 14 e 15 mostram as velocidades nos pontos das forças de controle e

distúrbio, respectivamente.

Figura 14 – Velocidade no ponto 2 da viga – Com controle em 2 – 2 elementos

Figura 15 – Velocidade na extremidade livre da viga – Com controle em 2 – 2 elementos

É possível observar, conforme a figura 14, como o controlador Hff é eficaz no

controle da velocidade no ponto do sensor, em que a velocidade é praticamente zero.

Na extremidade livre da viga, onde não posicionamos nenhum sensor, há um

deslocamento da frequência natural em frequências mais elevadas. Esse fato é explicado pelo

fato do controle de feeforward ser baseado no cancelamento de ondas e, ao considerar apenas

um ponto, a velocidade nesse ponto é praticamente anulada. Anular a velocidade de translação

nesse ponto na viga (ponto 2) equivale a incluir uma condição de contorno do tipo pino, já

que neste ponto a viga pode rotacionar mas não sofre translação. Em outras palavras,

100

101

102

103

10-25

10-20

10-15

10-10

10-5

100

105

Viga engastada-livre => Velocidade no ponto 2 => Controlador feedforward no ponto 2

Frequência [Hz]

Mobili

dade [

m/s

.N]


Viga com força de controle em L1=0.25 de L=0.5

100

101

102

103

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

Viga engastada-livre => Velocidade no ponto 3 => Controlador feedforward no ponto 2

Frequência [Hz]

Mobili

dade [

m/s

.N]





podemos entender que o modelo dinâmico da viga foi alterado pela inclusão do controlador

nesse único ponto.

Posicionando a força de controle em valores de L2 = 20%, 40%, 60%, 80% do

comprimento L, é possível observar o deslocamento da frequência em relação à posição do

controlador, tal como mostra a figura 16.

Figura 16 – Velocidade na extremidade livre da viga – Com controle em 2 – 2 elementos

É importante notar que a força de controle estando posicionada em 80% de L, ou

seja, uma distância de 0,4 m da extremidade engastada, o controle da frequência não é eficaz

no segundo modo de vibrar. Isto é explicado pelo fato da força de controle estar posicionada

muito próxima no ponto de velocidade zero (raiz) do segundo modo de vibração, como

podemos ver na figura 10.

Modificando a estratégia e incluindo um segundo sensor de velocidade no

controlador, posicionados no ponto da força de controle e na extremidade livre da viga,

visamos obter o melhor compromisso entre as velocidades nesses dois pontos.

Aplicando o novo controlador temos os seguintes resultados na Figura 18 e 19:

Figura 17 – Modelo de uma viga engastada com uma força de distúrbio F3 e uma força

de controle F2 – 2 sensores

100

101

102

103

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

Viga engastada-livre => Velocidade no ponto 3 => Controlador feedforward no ponto 2 - Várias posições da força de controle

Frequência [Hz]

Mobili

dade [

m/s

.N]






Figura 18 – Velocidade no ponto 2 da viga – Controle em 2 posições – 2 elementos

Figura 19 – Velocidade na extremidade da viga – Controle em 2 posições – 2 elementos

Podemos notar que as velocidades foram significativamente reduzidas nos pontos de

frequência natural em relação à viga sem controle.

Na figura 20 podemos ver o comportamento do controlador para várias posições da

força de controle.

100

101

102

103

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

Viga engastada-livre => Velocidade no ponto 2 => Controlador feedforward com 2 pontos

Frequência [Hz]

Mobili

dade [

m/s

.N]




100

101

102

103

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

Viga engastada-livre => Velocidade no ponto 3 => Controlador feedforward com 2 pontos

Frequência [Hz]

Mobili

dade [

m/s

.N]





Figura 20 – Velocidade na extremidade livre da viga – Controle em 2 posições – 2

elementos

Para melhor compreender a eficiência do controle, podemos definir um índice de

atenuação de velocidade, I, definido conforme a seguinte equação:

𝐼

(17)

Onde:

Vf = Velocidade após a aplicação do controlador

V = Velocidade antes da aplicação do controlador

n = ponto desejado da viga;

ω = frequência de excitação;

Aplicando essa formulação, temos os resultados listados na figura 21 e na tabela 3.

100

101

102

103

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

Viga engastada-livre => Velocidade no ponto 3 => Controlador feedforward com 2 pontos - Várias posições da força de controle

Frequência [Hz]

Mobili

dade [

m/s

.N]






Figura 21 – Índice de atenuação para os pontos 2 e 3 – Controle em 2 posições – 2

elementos

Tabela 3 – Índice de atenuação – L2=50% de L

Modelo sem controle Modelo com controle

pontos 2 e 3

Pon

to 2

Índice de atenuação médio 1 242,2%

Índice de atenuação – Até 1°

frequência 1 5,9%

Índice de atenuação – 1°

frequência até 2° 1 64,5%







Pon

to 3

Índice de atenuação médio 1 43,1%

Índice de atenuação – Até 1°

frequência 1 0,7%








frequência até 5° 1 43%

100

101

102

103

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

Índice de atenuação para o controlador feedforward

Frequência[Hz]

Índic

e d

e a

tenuação

Ponto2=5.9%Ponto3=0.7%





Índice de atenuação para o ponto 2 =>242.2%

Índice de atenuação para o ponto 3 =>43.1%


4 CONCLUSÕES

Como mostrado nas Figuras 10 e 12, o modelo dinâmico utilizando matriz de

mobilidade com elementos espectrais foi preciso ao comparar as frequências naturais do

modelo resultante e a frequência calculada pelas fórmulas exatas.

Para o modelo clássico de uma viga engastada-livre, como mostrado na figura 11,

confirmou-se que o controle feedforward é eficaz para controlar a velocidade no ponto em

que o sensor está localizado. No entanto, como mostrado na Figura 15, os pontos de

extremidade da viga, bem como outros pontos não são adequadamente controlados. Tal como

mostrado na Figura 14, a força de controle com o sensor localizado nesse ponto, reduz a

velocidade no ponto até praticamente ser anulado, simulando o comportamento de um pino e

modificando o modelo dinâmico da viga, alterando as frequências naturais e modos de vibrar

da viga.

Conclui-se ainda pela figura 16 de que o controlador com o sensor numa única

posição não é eficaz para reduzir a velocidade em todas as faixas de frequência de excitação,

fato devido a posição da força ser coincidente com um ponto de velocidade zero em algum

modo de vibração.

Usando a técnica de controle feedforward com dois sensores, demonstrou-se ser mais

eficaz no controle de todas as faixas de frequência, conforme mostrado nas Figuras 18, 19 e

20, sem qualquer controlo de frequência, como visto na Figura 16.

5 APÊNDICE

√𝜌 𝑆

𝐸 𝐼

√𝜔

−

−

−

−

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS


PRAZZO, CARLOS EDUARDO. “Modal Analysis of a Beam Structure Using Piezoelectric

Materials (PVDF) as Sensors”. Unesp – Ilha Solteira, 2011.

THOMAS BLACK. “Spectral Element Analysis of Bars, Beams, and Levy Plates”. Virginia

Polytechnic Institute, 2005.

USIK LEE, JOOHONG KIM, AND ANDREW Y. T. LEUNG. “The Spectral Element

Method in Structural Dynamics”. In The Shock and Vibration Digest, Nov2000.

S. RUBIN. “Mechanical immitance- and transmission-matrix concepts”. Journal of the

Acoustical Society of America 41, 1171-1179, 1967.

FRANK FAHY AND JOHN WALKER, 2004. “Advanced Applications in Acoustics, Noise

and Vibration”. Livro.

C.R. FULLER, S. J. ELLIOTT, AND P. A. NELSON, 1996. “Active Control of Vibration”.

Livro.

Documents

VII Seminário da Pós-graduação em Engenharia MecânicaMauro Cesar Menão Aluno do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica – Unesp – Bauru ... Um método para eliminar