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Exercícios de estatística

1ª parte – estatística descritiva

1. Tópicos iniciais................................................................................................................................ 2

2. Tipos de frequência ........................................................................................................................ 3

3. Apresentação de dados em classe ................................................................................................. 3

4. Histograma e polígonos de frequência .......................................................................................... 4

5. Média aritmética ............................................................................................................................ 5

6. Propriedades da média .................................................................................................................. 6

7. Média para dados agrupados por valor ......................................................................................... 6

8. Média para dados em classe .......................................................................................................... 7

9. Média ponderada ........................................................................................................................... 8

10. Média geométrica e média harmônica ...................................................................................... 9

11. Mediana para dados em rol ..................................................................................................... 10

12. Mediana para dados agrupados por valor ............................................................................... 11

13. Demais medidas separatrizes para dados agrupados por valor .............................................. 12

14. Medidas separatrizes para dados em classe ........................................................................... 13

15. Moda para dados em rol ou agrupados por valor ................................................................... 17

16. Moda para dados em classe .................................................................................................... 18

17. Moda de pearson ..................................................................................................................... 19

18. Moda quando a amplitude de classe não é constante ............................................................ 20

19. Medidas de dispersão – Introdução ........................................................................................ 20

20. Desvio médio ........................................................................................................................... 21

21. Variância: introdução ............................................................................................................... 21

22. Propriedades das medidas de posição relacionadas a desvios ............................................... 22

23. Forma alternativa de cálculo da variância ............................................................................... 22

24. Desvio padrão .......................................................................................................................... 24

25. Propriedades das medidas de dispersão ................................................................................. 24

26. Coeficiente de variação ............................................................................................................ 25

27. Medidas de dispersão para dados em classe........................................................................... 26

28. Variância da união de dois conjuntos ...................................................................................... 27

29. Box plot .................................................................................................................................... 28

30. Posicionamento relativo de média, mediana e moda ............................................................. 30

31. Outros tipos de posicionamento relativo de média, mediana e moda ................................... 32

32. Assimetria e diferença entre os quartis ................................................................................... 33

33. Coeficientes de assimetria ....................................................................................................... 35

34. Curtose ..................................................................................................................................... 36

2

35. Números índices ...................................................................................................................... 37

1. Tópicos iniciais

Questão 1 ARCE 2006 [FCC]

O processo estatístico que consiste em uma avaliação direta de um parâmetro, utilizando-se todos os componentes da população, denomina-se:

a) amostragem

b) estimação

c) Censo

d) parametrização

e) correlação

Questão 2 TERRACAP 2009 [UNIVERSA]

Julgue os itens a seguir.

I Uma cidade possui 1.000 habitantes. Um estatístico, necessitando fazer uma determinada pesquisa, entrevistou 200 pessoas. É correto dizer que, nesse exemplo específico, de uma amostra de 1.000 pessoas, o estatístico entrevistou uma população de 200 indivíduos.

II -Um estudante tinha 1 moeda, 1 folha de papel em branco e 1 caneta e, com esse material, resolveu fazer uma experiência. Arremessou uma moeda 20 vezes seguidas. Em cada uma das vezes, ele verificava se a face sorteada era “cara” ou “coroa”. Caso fosse “cara”, ele escrevia o número 1 no papel. Caso fosse “coroa”, ele escrevia o número 2 no mesmo papel. No final da experiência, o estudante obteve 7 “coroas” e somou todos os números existentes no papel. Esse resultado foi atribuído a uma variável X. Com isso, o resultado encontrado para X foi 27.

III - Uma fábrica produz 100.000 lâmpadas por mês. São sorteadas 100 lâmpadas, e essas são mantidas acesas até queimarem, com o objetivo de calcular a vida média desse tipo de lâmpada. A experiência, que utiliza um subconjunto de um grupo para calcular determinado parâmetro e admite que esse parâmetro é válido para todo o grupo, é um problema estudado pela estatística inferencial.

Assinale a alternativa correta.

(A) Nenhum item está certo.

(B) Apenas os itens I e II estão certos.

(C) Apenas os itens I e III estão certos.

(D) Apenas os itens II e III estão certos.

(E) Todos os itens estão certos.

3

2. Tipos de frequência

Questão 3 MPU/2007 [FCC]

Uma empresa procurou estudar a ocorrência de acidentes com seus empregados e realizou um levantamento por um período de 36 meses. As informações apuradas estão na tabela a seguir:

Número de empregados acidentados

Número de meses

1 1

2 2

3 4

4 5

5 7

6 6

7 5

8 3

9 2

10 1

A porcentagem de meses em que houve menos de 5 empregados acidentados é:

a) 50%

b) 45%

c) 35%

d) 33%

e) 30%

3. Apresentação de dados em classe

Questão 4 GDF SEJUS 2010 [UNIVERSA]

A tabela a seguir evidencia uma entrevista feita com 50 clientes, dividida por faixa etária

Ordem da faixa etária Faixa etária Número de clientes

1ª 18 ⊢ 25 12

2ª 25 ⊢ 32 24

3ª 32 ⊢ 40 8

4ª 40 ⊢ 48 6

Com base nos dados dessa entrevista, é correto afirmar que

(A) há, na primeira faixa etária, ao menos 1 entrevistado com 25 anos.

(B) 12% dos entrevistados têm mais de 40 anos de idade.

(C) pelo menos 1 entrevistado, na terceira faixa etária, tem 32 anos.

(D) 48% dos entrevistados têm entre 18 e 32 anos.

4

(E) 88% dos entrevistados têm menos de 40 anos de idade.

4. Histograma e polígonos de frequência

Questão 5 IRB 2006 [ESAF]

Histograma e Polígono de frequência são:

a) a mesma representação gráfica (idênticas) de uma distribuição de frequência.

b) um texto descritivo e uma representação gráfica de uma distribuição de frequência.

c) um texto descritivo e uma função gráfica de uma distribuição de frequência.

d) duas representações gráficas de uma distribuição de frequência.

e) duas representações gráficas de uma distribuição de frequência, porém com sentidos opostos.

Questão 6 Petrobras 2010 [CESGRANRIO]

Histogramas e polígonos de frequências são duas representações gráficas de distribuições

(A) uniformes.

(B) de frequências.

(C) de acumulações.

(D) não uniformes.

(E) assimétricas.

Questão 7 MS ADM 2009 [CESPE]

A figura acima apresenta os totais anuais de casos de febre hemorrágica da dengue, de 1988 a 2008, em Fortaleza, cidade em que a doença foi confirmada pela primeira vez em 1994. A partir de 1998, verifica-se a ocorrência anual da enfermidade, iniciando em um patamar de baixa incidência (1998 a 2000) e seguindo para um patamar elevado que varia de 44 a 254 casos, com exceção de 2004.

5

Secretaria Municipal da Saúde de Fortaleza. Plano de contingência para o controle da dengue no município de Fortaleza em 2009, (com adaptações).

Com base nas informações acima, considerando que a variável X representa o total anual de casos de febre hemorrágica da dengue em Fortaleza, julgue os itens a seguir.

55 A figura apresentada é um histograma da variável X.

5. Média aritmética

Questão 8 Fiscal ICMS/DF – 2001 [FCC]

Em determinado mês, a média aritmética dos pagamentos de certo tributo, efetuados por 53 empresas, foi de R$ 2.340,00. Acrescentando-se o pagamento feito por uma nova empresa, a média passou a ser R$ 2.480,00. O valor do tributo pago por esta empresa foi de:

a) 140,00

b) 990,00

c) 5.820,00

d) 7.420,00

e) 9.900,00

Questão 9 TCU 2009 [CESPE]

Uma instituição realizou levantamento com vistas a comparar os valores de dez diferentes tipos de itens de consumo. Para cada item i(i = 1, 2, ..., 10), foi registrado um par de valores (xi,yi), em que xi representa o valor do item i estabelecido pela empresa A, e yi representa o valor desse mesmo item fornecido pela empresa B. Os seguintes resultados foram encontrados:

�� + �� = 130; �� − �� = 10

��

��

��

��

�� + �� = 1.790; �� − �� = 26

��

��

��

��

Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.

96. A média amostral dos valores x1, x2, ..., x10 é 13% maior do que a média amostral dos valores y1, y2, ..., y10.

98. A média aritmética da distribuição x1 × y1, x2 × y2, ..., x10 × y10 é maior que 43.

6

6. Propriedades da média

Questão 10 SEFAZ BA 2004 [FCC]

Uma administradora de locação de imóveis, com o objetivo de analisar o mercado em sua região, procedeu às seguintes operações:

I. Multiplicou por dois os valores de todos os alugueis de sua carteira

II. Subtraiu R$ 1.200,00 de cada valor encontrado no item I.

III. Dividiu por R$ 1.000,00 cada valor encontrado no item II

IV. Calculou a média aritmética de todos os valores apurados no item III.

Se o valor encontrado no item IV foi de 3/10, então a média aritmética dos valores dos alugueis em reais é:

a) 2300

b) 1700

c) 1500

d) 1300

e) 750

Questão 11 BACEN/2006 [FCC]

A média aritmética dos salários dos 100 empregados em uma empresa é de R$ 1.500,00. Na hipótese de serem demitidos 20 empregados, que ganham cada um o salário de R$ 2.500,00, e ser concedido, posteriormente, um aumento de 10% em todos os salários remanescentes, a nova média aritmética dos salários será de:

a) R$ 1.375,00

b) 1.350,00

c) R$ 1.345,00

d) 1.320,00

e) 1.300,00

7. Média para dados agrupados por valor


Em uma licitação para aquisição de lotes destinados à construção de residências, quinze propostas foram apresentadas. Os valores das propostas e a frequência com que apareceram se encontram na tabela a seguir.

7

Valor (R$) Frequência

100.000,00 1

105.000,00 2

110.000,00 5

112.000,00 4

115.000,00 3

A média aritmética de um conjunto de dados é a soma de todos os valores dividida pelo número total de itens. Para o conjunto de valores apresentados pelos licitantes, a média aritmética, em R$, é

(A) 107.000,00.

(B) 108.250,00.

(C) 110.020,00.

(D) 111.500,00.

(E) 113.000,00.

8. Média para dados em classe


A tabela abaixo apresenta os pesos de um grupo de pessoas e suas respectivas frequências. Não há observações coincidentes com os extremos das classes.

O peso médio do conjunto de pessoas, em kgf, é

(A) 60

(B) 65

(C) 67

(D) 70

(E) 75

8

Questão 14 SEFAZ PARÁ 2002 [ESAF]

A tabela de frequências abaixo apresenta as frequências acumuladas (F) correspondentes a uma amostra da distribuição dos salários anuais de economistas (Y) – em R$ 1.000,00, do departamento de fiscalização da Cia. X. Não existem realizações de Y coincidentes com as extremidades das classes salariais.

Classes F

29,5 – 39,5 2

39,5 – 49,5 6

49,5 – 59,5 13

59,5 – 69,5 23

69,5 – 79,5 36

79,5 – 89,5 45

89,5 – 99,5 50

Assinale a opção que corresponde ao salário anual médio estimado para o departamento de fiscalização da Cia. X.

a) 70,0

b) 69,5

c) 68,0

d) 74,4

e) 60,0

9. Média ponderada

Questão 15 Prefeitura de Recife 2003 [ESAF]

Em uma amostra, realizada para se obter informação sobre a distribuição salarial de homens e mulheres, encontrou-se que o salário médio vale R$ 1.200,00. O salário médio observado para os homens foi de R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale a opção correta.

a) O número de homens na amostra é igual ao de mulheres.

b) O número de homens na amostra é o dobro do de mulheres.

c) O número de homens na amostra é o triplo do de mulheres.

d) O número de mulheres é o dobro do número de homens.

e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens.

9

Questão 16 Prefeitura de São Paulo 2007 [FCC]

No presente mês, o salário médio mensal pago a todos os funcionários de uma firma foi de R$ 530,00. Sabe-se que os salários médios mensais dos homens e mulheres são respectivamente iguais a R$ 600,00 e R$ 500,00. No próximo mês, todos os homens receberão um adicional de R$ 20,00 e todas as mulheres um reajuste salarial de 10%, sobre os salários atuais. Supondo que o quadro de funcionários não se alterou, após esses reajustes, o salário médio mensal de todos os funcionários passará a ser igual a:

a) 540,00

b) 562,00

c) 571,00

d) 578,00

e) 580,00

10. Média geométrica e média harmônica

Questão 17 AFRF – 2005 [ESAF]

Assinale a opção que expresse a relação entre as médias aritmética ( X ), geométrica (G) e harmônica (H), para um conjunto de n valores positivos (X1, X2, ..., Xn).

a) XHG ≤≤ , com XHG == somente se os n valores forem todos iguais.

b) HXG ≤≤ , com HXG == somente se os n valores forem todos iguais.

c) HGX ≤≤ , com HGX == somente se os n valores forem todos iguais.

d) XGH ≤≤ , com XGH == somente se os n valores forem todos iguais.

e) GHX ≤≤ , com GHX == somente se os n valores forem todos iguais.



�� + �� = 130; �� − �� = 10

��

��

��

��

�� + �� = 1.790; �� − �� = 26

��

��

��

��

10


99. A média harmônica dos valores x1, x2, ..., x10 é menor que 8.

Questão 19 FINEP 2009 [CESPE]

Considere a obtenção de três medidas de diâmetro, em milímetros, de furos que tenham ocorrido em chapas de aço, em uma linha de produção: 2, 4 e 8. Nesse caso, a média geométrica dessas medidas é, em milímetros quadrados,

A maior que 1,5 e menor que 2,5.

B maior que 2,5 e menor que 3,5.

C maior que 3,5 e menor que 4,5.

D maior quer 4,5 e menor que 5,5.

E maior que 5,5.

Questão 20 CGU 2002 [ESAF]

Em um passeio de moto, um dos participantes vai de Curitiba a São Paulo a uma velocidade média de 50 Km por hora; após, retorna de São Paulo para Curitiba a uma velocidade média de 75 Km/h. Considerando todo o percurso de ida e volta, a velocidade média, em Km/h foi de:

a) 60

b) 62,5

c) 65

d) 70

e) 72,5

11. Mediana para dados em rol


Determine a mediana do seguinte conjunto de dados:

58, 95, 17, 44, 63, 9, 57, 21, 88, 12, 31, 28, 73, 5 e 56.

a) 28

b) 31

c) 44

d) 50

e) 56

11

Questão 22 SEFAZ MG 2005 [ESAF]

Considere o diagrama de ramos e folhas abaixo correspondente à sequência de observações (91, 91, ..., 140, 145, 158). Assinale a opção que dá a mediana das observações de X.

9 11

9 9

10 002234

10 57778

11 013

11 66

12 00012

12 558

13 004

13 555

14 0

14 5

15

15 8

a) 110

b) 120

c) 116

d) 113

e) 111

12. Mediana para dados agrupados por valor



12


100.000,00 1

105.000,00 2

110.000,00 5

112.000,00 4

115.000,00 3

A mediana de um conjunto de dados é uma medida de tendência central cuja característica principal é a divisão do conjunto em dois grupos com mesmo número de valores cada. O primeiro grupo apresenta valores inferiores à mediana e o segundo, valores superiores. Para o conjunto de dados apresentados, o valor da mediana é, em R$,

(A) 100.000,00.

(B) 105.000,00.

(C) 110.000,00.

(D) 112.000,00.

(E) 115.000,00.


Um levantamento efetuado entre os 100 jovens inscritos em um projeto de inclusão social desenvolvido por uma instituição mostra a seguinte distribuição etária.

idade (X, em anos) frequência

16 40

17 30

18 20

19 10

Com base nessas informações, assinale a opção incorreta.

a) A mediana da distribuição etária é igual a 17,5 anos.

b) A variável X apresentada na tabela de frequências é uma variável discreta.

c) A média das idades dos jovens observados no levantamento é igual a 17 anos.

d) A moda da distribuição etária é igual a 16 anos.

e) Dos jovens inscritos no referido projeto de inclusão social, 30% possuem idades maiores ou iguais a 18 anos.

13. Demais medidas separatrizes para dados agrupados por valor


[Conjunto de dados da questão anterior: 58, 95, 17, 44, 63, 9, 57, 21, 88, 12, 31, 28, 73, 5 e 56].

13

Dado o conjunto de dados da questão anterior, determine a amplitude interquartilica Q3 – Q1.

a) 33.

b) 37.

c) 40.

d) 46.

e) 51.


Uma amostra aleatória da quantidade de litros de combustível abastecida por 16 carros em um posto de combustível apresentou, em litros, o seguinte resultado:

A amplitude interquartil dessa série de observações é

(A) 3

(B) 10

(C) 13

(D) 17

(E) 22

14. Medidas separatrizes para dados em classe

Questão 27 AFRF 2003 [ESAF]

Considere a tabela de frequências seguinte correspondente a uma amostra da variável X. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

14

Classes Frequências Acumuladas

2.000 – 4.000 5

4.000 – 6.000 16

6.000 – 8.000 42

8.000 – 10.000 77

10.000 – 12.000 89

12.000 – 14.000 100

Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor x da distribuição amostral de X que não é superado por cerca de 80% das observações.

a) 10.000

b) 12.000

c) 12.500

d) 11.000

e) 10.500

Questão 28 BACEN 2006 5 [FCC]

O valor da mediana dos salários dos empregados da empresa XYZ, obtida pelo método da interpolação linear, é igual a:

a) R$ 3.500,00

b) R$ 3.625,00

c) R$ 3.650,00

d) R$ 3.800,00

e) R$ 4.000,00

15

Questão 29 TRT 2ª REGIÃO 2008 [FCC]

O valor da mediana dos salários dos empregados, obtido pelo método da interpolação linear, é igual a

(A) R$ 1.750,00

(B) R$ 1.800,00

(C) R$ 1.850,00

(D) R$ 1.900,00

(E) R$ 1.950,00

Questão 30 TRT 2ª REGIÃO 2008 [FCC]

Utilizando o método da interpolação linear, o número de empregados da empresa que ganham salários menores ou iguais a R$ 2.100,00 é igual a

(A) 900

(B) 950

(C) 980

(D) 1.000

(E) 1.100

16

Questão 31 MPU/2007 [FCC]

Considere o histograma da variável X a seguir, em que as frequências simples absolutas foram anotadas no interior dos retângulos.

O valor do terceiro quartil de X é:

a) 40

b) 35

c) 30

d) 25

e) 12

Questão 32 Ministério da Saúde/2007 [FCC]

O histograma abaixo representa a distribuição das idades dos pacientes atendidos no ano de 2000 em uma clínica infantil, expressa em anos.

A idade que separa os 30% mais jovens é:

a) 3,5

b) 4,2

c) 4,4

d) 4,6

e) 5,0

17

Questão 33 TRT 3ª 2009 REGIÃO [FCC]

A distribuição dos salários dos 200 funcionários, em R$ 1.000,00, de determinada carreira profissional em um órgão público está representada pelo histograma abaixo. No eixo vertical estão assinaladas as respectivas densidades de frequências, em (R$ 1.000,00)−1. Define-se densidade de frequência de um intervalo de classe como sendo o quociente da divisão da respectiva frequência relativa pela correspondente amplitude do intervalo.

Considerando todos os intervalos de classe fechados à esquerda e abertos à direita, tem-se que a quantidade de funcionários que possuem salários maiores ou iguais a R$ 4.000,00 e inferiores a R$ 8.000,00 é

(A) 60

(B) 80

(C) 90

(D) 140

(E) 160

15. Moda para dados em rol ou agrupados por valor

Questão 34 AFRFB 2009 [ESAF]

Considere a seguinte amostra aleatória das idades em anos completos dos alunos em um curso preparatório. Com relação a essa amostra, marque a única opção correta:

29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25, 25, 23, 27, 27, 32, 26, 24, 36, 32, 26, 28, 24, 28, 27, 24, 26, 30, 26, 35, 26, 28, 34, 29, 23, 28.

a) A média e a mediana das idades são iguais a 27.

b) A moda e a média das idades são iguais a 27.

c) A mediana das idades é 27 e a média é 26,08.

d) A média das idades é 27 e o desvio-padrão é 1,074.

e) A moda e a mediana das idades são iguais a 27.

18




100.000,00 1

105.000,00 2

110.000,00 5

112.000,00 4

115.000,00 3

A moda de um conjunto de dados é o valor que aparece com maior frequência. Para o conjunto de dados apresentados, o valor da moda é, em R$,

(A) 100.000,00.

(B) 105.000,00.

(C) 110.000,00.

(D) 112.000,00.

(E) 115.000,00

16. Moda para dados em classe

Questão 36 SEFAZ BA 2004 [FCC]

Considere a tabela abaixo, que mostra a distribuição de salários (em reais) de 160 funcionários de determinada empresa, com suas respectivas frequências relativas acumuladas. Classes em reais Frequência relativa acumulada (%)

Classes em reais

Frequência relativa acumulada (%)

[600,1000) 10

[1000,1400) 30

[1400,1800) 70

[1800,2200) 95

[2200,2600) 100

O valor modal dos salários (desprezando os centavos), é:

a) 1784

b) 1666

c) 1648

d) 1636

19

e) 1628

Questão 37 BACEN 2005 [FCC]

O valor da moda, obtida com a utilização da fórmula de Czuber, é igual a (desprezar os centavos na resposta):

a) R$ 3.201,00

b) R$ 3.307,00

c) R$ 3.404,00

d) R$ 3.483,00

e) R$ 3.571,00

17. Moda de pearson

Questão 38 TCE/MG – 2007 [FCC]

O histograma de frequências absolutas a seguir demonstra a distribuição dos salários dos empregados de uma empresa em dezembro de 2006:

20

Sabendo-se que todos os intervalos de classe referentes a este histograma são fechados à esquerda e abertos à direita, calculou-se a média aritmética dos salários dos empregados, considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo. A moda de Pearson é igual a:

a) R$ 3.200,00

b) R$ 2.950,00

c) R$ 2.900,00

d) R$ 2.850,0

e) 2.800,00

18. Moda quando a amplitude de classe não é constante

Questão 39 Prefeitura Municipal de Vila Velha 2008 [CESPE]

Um estudo foi realizado por uma prefeitura acerca da qualidade do atendimento no hospital municipal da cidade. Com base em uma amostra de 100 dias, foram produzidas as seguintes estatísticas referentes ao número diário de pacientes atendidos.

média = 30

variância amostral = 100

mínimo = 0

primeiro quartil = 10

segundo quartil = 25

terceiro quartil = 40

máximo = 60.

Com base nas informações apresentadas no texto, julgue os itens subsequentes.

1. É correto estimar que a moda da distribuição do número diário de pacientes atendidos é inferior a 10.

19. Medidas de dispersão – Introdução

Questão 40 IRB 2006 [ESAF]

O grau ao qual os dados numéricos tendem a dispersar-se em torno de um valor médio chama-se

a) média.

b) variação ou dispersão dos dados.

c) mediana.

21

d) correlação ou dispersão.

e) moda.

20. Desvio médio

Questão 41 SEFAZ /BA – 2004 [FCC]

Sabe-se que o valor de uma determinada variável Q é obtida pela expressão definida por

2

32 += iQ

sendo i um número inteiro positivo. Se i assumir os valores 1, 2, 3, 4 e 5, então, o desvio médio dessa variável é:

a) 1,8

b) 1,2

c) 0,9

d) 0,75

e) 0,5

21. Variância: introdução

Questão 42 AFPS 2002 [ESAF]

Dada a seqüência de valores 4, 4, 2, 7 e 3 assinale a opção que dá o valor da variância. Use o denominador 4 em seus cálculos.

a) 5,5

b) 4,5

c) 3,5

d) 6,0

e) 16,0

Questão 43 SENADO 2008 [FGV]

A média e a variância amostral de um conjunto de 20 observações são, respectivamente, 5 e 1. Uma nova observação, de valor igual a 5, foi acrescentada ao conjunto inicial, passando-se a ter 21 valores. A nova variância amostral será igual a [obs: o enunciado original forneceu as fórmulas da média e da variância]:

(A) 1,10.

(B) 1,05.

(C) 1,00.

22

(D) 0,95.

(E) 0,90.

22. Propriedades das medidas de posição relacionadas a desvios

Questão 44 MPE RO 2005 [CESGRANRIO]

Analise as afirmativas a seguir, a respeito da média aritmética.

I - a soma dos resíduos em relação à média aritmética é sempre igual a zero;

II - é em relação à média aritmética que a soma dos valores absolutos dos resíduos é mínima;

III - é em relação à média aritmética que a soma dos quadrados dos resíduos é mínima.

Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s):

(A) II, somente.

(B) I e II somente.

(C) I e III somente.

(D) II e III somente.

(E) I, II e III.

Questão 45 MPU 2004 [ESAF]

A norma euclidiana ( )∑=

−n

ii AX

1

2 é mínima quando A é igual:

a) à média dos valores de iX

b) à mediana dos valores de iX

c) à moda dos valores de iX

d) ao primeiro quartil dos valores de iX

e) ao desvio padrão dos valores de iX

23. Forma alternativa de cálculo da variância


Do total de funcionários de uma empresa, foi retirada uma amostra de seis indivíduos. A tabela abaixo apresenta o tempo trabalhado na empresa, em anos completos, por cada um deles.

23

A variância dessa amostra é

(A) 3,7

(B) 4,0

(C) 4,4

(D) 5,0

(E) 5,5


Foi realizado um levantamento para comparar estatisticamente o valor de avaliação X de um bem imóvel com o seu respectivo preço de venda Y. Para cada imóvel i (i = 1, 2, ..., 10), registrou-se um par de valores (xi, yi), em que xi e yi representam, em R$ 1 milhão, respectivamente, o valor de avaliação e o preço de venda do imóvel i.

Os seguintes resultados foram encontrados:

Com relação às informações apresentadas no texto e considerando que �� representa a diferença entre o valor de avaliação e o preço de venda do imóvel i, a variância amostral da distribuição do conjunto de dados d1,..., d10 foi

A positiva e inferior a 0,10.

B superior a 0,10 e inferior a 0,20.

C superior a 0,20 e inferior a 0,30.

D superior a 0,30 e inferior a 0,40.

E superior a 0,40.



�� 130;�� 10��

��

��

��

24

�� + �� = 1.790; �� − �� = 26

��

��

��

��


97. A variância da distribuição das diferenças yi - xi é maior que 1,5 e menor que 1,9.

100. Se VA for a variância amostral dos valores x1, x2, ..., x10 e VB for a variância amostral dos valores y1, y2, ..., y10, então a soma VA + VB será maior do que 7.

24. Desvio padrão


Calcule o valor mais próximo do desvio-padrão da amostra representada pela distribuição de frequências abaixo representada pelos pontos médios das classes x e respectivas frequências f.

x F

5 5

15 10

25 31

35 10

45 5

a) 1.

b) 2,44.

c) 5,57.

d) 7,056.

e) 10.

25. Propriedades das medidas de dispersão

Questão 50 TJ PI 2009 [FCC]

A média aritmética dos salários dos empregados de uma empresa é igual a R$ 1.200,00 com uma variância igual a 400,00 (R$)2. Caso seja concedido para todos os salários um reajuste de 10% e, a seguir, um adicional fixo de R$ 200,00, é correto afirmar, com relação aos novos valores da média, da variância e do desvio padrão, que

(A) o desvio padrão fica igual ao anterior multiplicado por 1,21.

(B) o novo coeficiente de variação fica igual ao anterior multiplicado por 1,10.

(C) a variância fica inalterada.

25

(D) a média fica igual a R$ 1.520,00 e o desvio padrão igual a R$ 22,00.

(E) a variância fica igual a 440,00 (R$)2.

Questão 51 SEFAZ SP – 2006 [FCC]

Considerando as respectivas definições e propriedades relacionadas às medidas de posição e de variabilidade, é correto afirmar:

a) concedendo um reajuste de 10% em todos os salários dos empregados de uma empresa, tem-se que a respectiva variância fica multiplicada por 1,10.

b) definindo o coeficiente de variação (CV) como sendo o quociente da divisão do desvio padrão pela respectiva média aritmética (diferente de zero) de uma sequência de valores, tem-se então que CV também poderá ser obtido dividindo a correspondente variância pelo quadrado da média aritmética.

c) subtraindo um valor fixo de cada salário dos funcionários de uma empresa, tem-se que o respectivo desvio padrão dos novos valores e igual ao valor do desvio padrão dos valores anteriores.

d) dividindo todos os valores de uma sequência de números estritamente positivos por 4, tem-se que o respectivo desvio padrão fica dividido por 2.

e) em qualquer distribuição de valores em estudo, a diferença entre a mediana e a moda é sempre diferente de zero.

26. Coeficiente de variação

Questão 52 SEFAZ BA – 2004 [FCC]

Com relação às medidas de tendência central e de dispersão, é correto afirmar que:

a) multiplicando-se todos os valores de uma determinada sequência de números positivos por um mesmo número, maior que um, o seu respectivo coeficiente de variação aumenta de valor.

b) a diferença entre a média aritmética e a mediana de uma sequência de números positivos é sempre maior que a diferença entre a média aritmética e a moda dessa mesma sequência.

c) a média harmônica de uma sequência de números positivos é igual à média aritmética dos respectivos inversos destes números.

d) em uma sequência de números positivos, o produto da média aritmética pelo respectivo coeficiente de variação é igual ao valor do desvio padrão correspondente.

e) a média geométrica de uma sequência de números positivos é sempre maior ou igual à média aritmética destes números.

26

Questão 53 TCE RN 2009 [CESPE]

Em um estudo estatístico censitário, foi considerado um indicador X que assume os três seguintes valores possíveis: –1, 0 ou 1. A média e a variância populacionais desse indicador X são, respectivamente, 1/2 e 3/4. Nesse caso, é correto afirmar que

56. a moda de X foi igual a -1.

57. o coeficiente de variação de X foi inferior a 1,6.

58. a frequência relativa dos casos em que o indicador assume o valor zero foi inferior a 0,01.

59. a mediana do indicador X foi igual a 1/2

Questão 54 Senado 2008 [FGV]

O coeficiente de variação amostral (em porcentagem) de um conjunto de salários é 110%. Se os salários desse conjunto forem reajustados em 20%, o novo coeficiente de variação amostral será:

(A) 110%.

(B) 112,2%.

(C) 114,2%.

(D) 122%.

(E) 130%.

27. Medidas de dispersão para dados em classe

Questão 55 BNDES 2008 2 [CESGRANRIO]

Para um estudo sobre a distribuição de salário mensal dos empregados de uma empresa foram coletados os salários de uma amostra aleatória de 50 empregados. Os resultados amostrais levaram à construção da distribuição de frequência abaixo. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

Classe (em salários mínimos) Frequência relativa acumulada

1 - 3 40

3 – 5 70

5 – 7 90

7 – 11 100

A média aritmética e a variância amostral da distribuição valem, aproximadamente,

27

Média amostral (em salários mínimos)

Variância amostral (em salários mínimos2)

(A) 2,6 2,2

(B) 2,6 2,9

(C) 4,1 2,9

(D) 4,1 5,0

(E) 7,2 12,1

28. Variância da união de dois conjuntos

Questão 56 SEFAZ BA – 2004 [FCC]

Sabe-se que a altura média dos 5.000 habitantes de uma cidade X é igual à altura média de uma outra cidade Y com 10.000 habitantes, ou seja, igual a 1,70m. O desvio-padrão correspondente encontrado para a população da cidade X é 2 cm e para a população da cidade Y é 5 cm. Então, a variância das alturas da população das duas cidades reunidas é:

a) 12,25 cm2

b) 16,00 cm2

c) 18,00 cm2

d) 24,50 cm2

e) 29,00 cm2

Questão 57 ARCE/2006 [FCC]

Uma administradora de imóveis realizou um estudo sobre todos os imóveis alugados em duas regiões, A e B, levantando o seguinte quadro:

Região Qdade de imóveis alugados

Valor médio dos aluguéis

Coeficiente de variação

A 1.000 R$ 500,00 20%

B 4.000 R$ 500,00 30%

(Observação: no enunciado original, é dada a definição de coeficiente de variação.)

A variância conjunta de A e B, isto é, a variância dos valores dos aluguéis das regiões A e B reunidas é, em R$2, igual a:

a) 20.000

b) 25.000

c) 32.500

d) 40.000

e) 62.500

28


Em uma instituição bancária, o salário médio dos 100 empregados do sexo masculino é de R$ 1.500,00, com desvio padrão de R$ 100,00. O salário médio dos 150 empregados do sexo feminino é de R$ 1.000,00, com desvio padrão de R$ 200,00. A variância, em R$2, dos dois grupos reunidos é:

a) 25.600,00

b) 28.000,00

c) 50.000,00

d) 62.500,00

e) 88.000,00

29. Box plot


O gráfico a seguir é o box-plot da distribuição de renda, em mil reais, da população de um determinado município.

Qual é a probabilidade de um habitante desse município ter renda superior a 6 mil reais?

(A) 0,15

(B) 0,20

(C) 0,25

(D) 0,50

(E) 0,75

Questão 60 CEB 2009 [UNIVERSA]

Considere o gráfico Boxplot seguinte:

29

O valor marcado com um asterisco (*) representa

(A) o menor valor;

(B) 1,5 � �� (C) �� 1,5 � ��

(D) �� (E) um outlier.

Questão 61 INMETRO 2010 [CESPE]

Nos últimos cinco meses, uma família apresentou o seguinte quadro de despesas:

1.º mês: R$ 1.000,00;

2.º mês: R$ 1.200,00;

3.º mês: R$ 900,00;

4.º mês: R$ 1.100,00;

5.º mês: R$ 800,00.

Em relação a esse conjunto de dados, assinale a opção correta.

A O desvio padrão amostral é superior a R$ 200,00.

B O primeiro quartil é igual a R$ 1.100,00.

C O terceiro quartil é igual a R$ 1.200,00.

D Ao se construir um Box plot para esse conjunto de dados, os limites inferior e superior estarão contidos no intervalo [R$ 400,00, R$ 1.600,00].

E A média é maior que a mediana dos dados.

Questão 62 SEFAZ RJ 2007 [FCC]

Considere as informações contidas no Box Plot abaixo, referente aos salários dos engenheiros de uma empresa, por sexo.

30

É correto afirmar que:

(A) o desvio interquartílico dos salários das mulheres é maior do que o dos homens.

(B) a distribuição dos salários das mulheres é assimétrica negativa.

(C) o salário médio dos homens é igual ao das mulheres.

(D) a distribuição dos salários dos homens é atípica.

(E) o salário mediano das mulheres é superior ao dos homens

30. Posicionamento relativo de média, mediana e moda

Questão 63 ENAP 2006 [ESAF]

Em uma distribuição positivamente assimétrica, tem-se que:

a) a média é maior do que a moda, e a moda maior do que a mediana.

b) a moda é maior do que a mediana, e a mediana maior do que a média.

c) a moda é maior do que a média, e a média maior do que a mediana.

d) a mediana é maior do que a moda, e a moda maior do que média.

e) a média é maior do que a mediana, e a mediana maior do que a moda.

Questão 64 MPE PE 2006 [FCC]

Considere a tabela a seguir:

31

A tabela acima apresenta a distribuição de freqüências relativas do valor do salário pago aos funcionários da fábrica Y no mês de abril de 2006. A média e a mediana do valor do salário pago pela fábrica Y no mês de abril de 2006 são, respectivamente,

a) R$ 200,00 e R$ 400,00

b) R$900,00 e R$1.000,00

c) R$1.050,00 e R$1.000,00

d) R$800,00 e R$800,00

e) R$900,00 e R$900,00

Questão 65 MPU 2004 [ESAF]

A mediana é uma medida de posição usualmente utilizada na análise de distribuições de renda porque as distribuições de renda

a) têm intervalos de classe distintos.

b) sempre são normais.

c) tipicamente são do tipo uniforme.

d) geralmente se mostram bastante assimétricas

e) são sempre bimodais

Questão 66 INEP 2008 [CESGRANRIO]

Analise as afirmações a seguir.

Numa distribuição simétrica, a média e a mediana coincidem.

PORQUE

Numa distribuição simétrica a moda nem sempre existe.

Quanto às afirmações acima, pode-se concluir que

(A) as duas asserções são verdadeiras e a segunda é uma justificativa correta da primeira.

(B) as duas asserções são verdadeiras e a segunda não é uma justificativa correta da primeira.

(C) a primeira asserção é uma proposição verdadeira e a segunda, uma proposição falsa.

(D) a primeira asserção é uma proposição falsa e a segunda, uma proposição verdadeira.

32

(E) tanto a primeira como a segunda são proposições falsas.

31. Outros tipos de posicionamento relativo de média, mediana e moda

Questão 67 TRE PI 2009 [FCC]

Numa pesquisa realizada em 160 domicílios de uma cidade obteve-se o seguinte gráfico em que o eixo y representa a quantidade de domicílios e o eixo horizontal representa o número de eleitores verificado por domicílio.

Com relação à média aritmética (Me), número de eleitores por domicílio, a mediana (Md) e a moda (Mo) correspondentes tem-se que:

(A) Me = Md e Md < Mo

(B) Me < Md < Mo

(C) Me < Md e Md > Mo

(D) Me < Md e Md = Mo

(E) Me > Md e Md = Mo


O histograma de freqüências absolutas a seguir foi elaborado com base nas informações contidas na revista “O empreiteiro”, de junho de 2005, que demonstra o comportamento das empresas construtoras do ramo da construção civil no Brasil que obtiveram faturamento em 2004 maior ou igual a 15 milhões de reais e menor o igual a 120 milhões de reais.

33

Com base nestas informações, obteve-se a média aritmética do faturamento das empresas deste estudo, considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo. Com relação ao total de empresas deste histograma, o valor encontrado para esta média pertence ao intervalo de classe que contém

a) 24% das empresas

b) 16% das empresas

c) 9% das empresas

d) 7% das empresas

e) 5% das empresas

32. Assimetria e diferença entre os quartis

Questão 69 PM Manaus 2004 [CESGRANRIO]

Os quartis de uma distribuição são Q1 = 4, Q2 = 6 e Q3 = 10. Essa distribuição:

(A) é simétrica.

(B) é assimétrica à direita.

(C) é assimétrica à esquerda.

(D) tem moda maior que a média.

(E) tem moda igual à média

34

Questão 70 ABIN 2010 [CESPE]

A figura acima apresenta esquematicamente as distribuições das alturas (em cm) dos estudantes das três turmas de uma escola. As linhas verticais de cada box-plot se estendem até os valores extremos da distribuição. Com base nessas informações, julgue os itens consecutivos.

86 A turma 3 tem a maior amplitude de alturas.

87 As distribuições das alturas referentes às turmas 2 e 3 são simétricas.

88 Entre os estudantes da turma 1, 75% possuem alturas iguais ou superiores a 160 cm, enquanto metade dos estudantes da turma 3 tem altura igual ou inferior a 160 cm.

Questão 71 SEFAZ RJ 2009 [ESAF]

Para comparar as rendas de dois grupos de pessoas, A e B, foram preparados diagramas de caixas (box-plots) com os valores observados dos salários, representados na figura a seguir:

A respeito desses diagramas, considere as seguintes afirmativas:

I. O salário médio dos dois grupos é o mesmo.

35

II. A distribuição dos salários no grupo A é assimétrica à direita.

III. Há mais pessoas no grupo A do que no grupo B.

Assinale:

(A) se somente a afirmativa I for verdadeira.

(B) se somente a afirmativa II for verdadeira.

(C) se somente a afirmativa III for verdadeira.

(D) se somente as afirmativas I e II forem verdadeiras.

(E) se somente as afirmativas II e III forem verdadeiras.

33. Coeficientes de assimetria

Questão 72 AFRF 2002/1 [ESAF]

Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

Classes P (%)

70-90 5

90-110 15

110-130 40

130-150 70

150-170 85

170-190 95

190-210 100

Seja S o desvio padrão do atributo X. Assinale a opção que corresponde à medida de assimetria de X como definida pelo primeiro coeficiente de Pearson.

a) 3/S

b) 4/S

c) 5/S

d) 6/S

e) 0


O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências seguinte (obs: considere que você já sabe que a mediana é igual a 71,04):

36

Classes Freqüência (f)

29,5-39,5 4

39,5-49,5 8

49,5-59,5 14

59,5-69,5 20

69,5-79,5 26

79,5-89,5 18

89,5-99,5 10

Assinale a opção que dá o valor do coeficiente quartílico de assimetria

a) 0,080

b) -0,206

c) 0,000

d) -0,095

e) 0,300

34. Curtose


Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

Classes P (%)

70-90 5

90-110 15

110-130 40

130-150 70

150-170 85

170-190 95

190-210 100

Entende-se por curtose de uma distribuição seu grau de achatamento em geral medido em relação à distribuição normal. Uma medida de curtose é dada pelo quociente:

1090 PP

Qk

−=

onde Q é a metade da distância interquartílica e P90 e P10 representam os percentis de 90% e 10%, respectivamente. Assinale a opção que dá o valor da curtose K para a distribuição de X.

a) 0,263

b) 0,250

37

c) 0,300

d) 0,242

e) 0,000


O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências seguinte:

Classes Freqüência ( f )

29,5-39,5 4

39,5-49,5 8

49,5-59,5 14

59,5-69,5 20

69,5-79,5 26

79,5-89,5 18

89,5-99,5 10

Para a distribuição de freqüências do atributo X sabe-se que:

( )∑=

=−7

1

2500.24

iii fXX

( )∑=

=−7

1

4500.682.14

iii fXX

Nessas expressões os Xi representam os pontos médios das classes e X a média amostral. Assinale a opção correta. Considere para sua resposta a fórmula da curtose com base nos momentos centrados e suponha que o valor de curtose encontrado é populacional.

a) A distribuição do atributo X é leptocúrtica.

b) A distribuição do atributo X é platicúrtica.

c) A distribuição do atributo X é indefinida do ponto de vista da intensidade da curtose.

d) A informação dada se presta apenas ao cálculo do coeficiente de assimetria com base nos momentos centrados de X.

e) A distribuição de X é normal.

35. Números índices

Questão 76 SEFAZ MS 2006 [FCC]

O relativo de preços de março de 2006 com base 100 em fevereiro de 2006 é 125. Qual é o relativo de preços de fevereiro de 2006 com base 100 em março de 2006?

a) 72

b) 75

38

c) 80

d) 85

e) 90


Dadas as três séries de índices de preços abaixo, assinale a opção correta.

Ano S1 S2 S3

1999 50 75 100

2000 75 100 150

2001 100 125 200

2002 150 175 300

a) As três séries mostram a mesma evolução de preços.

b) A série S2 mostra evolução de preços distinta das séries S1 e S3

c) A série S3 mostra evolução de preços distinta das séries S1 e S2.

d) A série S1 mostra evolução de preços distinta das séries S2 e S3.

e) As três séries não podem ser comparadas pois têm períodos-base distintos.


Um índice de preços com a propriedade circular, calculado anualmente, apresenta a

seqüência de acréscimos 1δ = 3 %, 2δ = 2% e 3δ = 2 %, medidos relativamente ao ano

anterior, a partir do ano 0t . Assinale a opção que corresponde ao aumento de preço do

período 20+t em relação ao período 10−t .

a) 7,00 %

b) 6,08 %

c) 7,16 %.

d) 9,00 %

e) 6,11 %

Questão 79 AFRFB 2005 [ESAF]

Considerando-se os dados sobre os preços e as quantidades vendidas de dois produtos em dois anos consecutivos, assinale a opção correta.

39

Ano Produto I Produto II

P11 Q11 P21 Q21

1 40 6 40 2

2 60 2 20 6

a) O índice de Laspeyres indica um aumento de 50% no nível de preços dos dois produtos, enquanto o índice de Paasche indica uma redução de 50%.

b) Os fatores de ponderação no cálculo do índice de Laspeyres são 80 para o preço relativo do produto 1 e 240 para o preço relativo do produto 2.

c) O índice de Laspeyres indica um aumento de 25% no nível de preços dos dois produtos, enquanto o índice de Paasche indica uma redução de 75%.

d) Os fatores de ponderação no cálculo do índice de Paasche são 240 para o preço relativo do produto 1 e 80 para o preço relativo do produto 2.

e) O índice de Laspeyres indica um aumento de 25% no nível de preços dos dois produtos, enquanto o índice de Paasche indica uma redução de 25%.

Questão 80 SEFAZ SP 2009 [ESAF]

Dados os relativos de preços do ano 1 em relação ao ano 0 de quatro produtos e os pesos relativos dos valores de cada produto no ano 0, obtenha o valor mais próximo da variação percentual do Índice de Preços de Laspeyres do ano 1 em relação ao ano 0.

Relativo de preços 1,10 1,05 1,08 1,15

Pesos no ano 0 0,10 0,20 0,30 0,40

a) 9,9%

b) 12,0%

c) 10,8%

d) 11,3%

e) 10,4%


Em um mesmo período considerado, o índice de preços de Fisher (FP) é obtido calculando-se a média geométrica entre o índice de preços de Laspeyres (LP) e o índice de preços de Paasche (PP). Também, o índice de quantidade de Fisher (FQ) é obtido calculando-se a média geométrica entre o índice de quantidade de Laspeyres (LQ) e o índice de quantidade de Paasche (PQ).

Seja uma cesta de 8 produtos com seus respectivos preços e quantidades nas épocas 1 e 2 e as seguintes informações:

40

em que,

: preço do produto i na época j

: quantidade consumida do produto i na época j

Tomando como base a época 1 e calculando os índices no período de 1 a 2, tem-se que (FP)2 e (FQ)2 são, respectivamente,

a) 1,75 e 1,60

b) 4,375 e 0,70

c) 4,375 e 1,75

d) 1,60 e 1,75

e) 1,75 e 0,70

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