vol0.pdf

7/23/2019 vol0.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/vol0pdf 1/39

7/23/2019 vol0.pdf


Marcelo Rufino de OliveiraCom formação pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA)

Coordenador das Turmas Militares do Colégio Ideal

Professor de Matemática das Turmas Militares do Colégio Ideal

Coordenador Regional da Olimpíada Brasileira de Matemática

ÁLGEBRAPROPORÇÃO

FRAÇÕES

Fortaleza – CE

1ª edição

Editora Vestseller

(2012)

COLEÇÃO ELEMENTOS

DA MATEMÁTICA

Marcelo Rufino de Oliveira

7/23/2019 vol0.pdf


Copyright 2011 by marcelo rufino de oliveira

Todos os direitos desta edição estão reservadosà Marcelo Rufino de Oliveira

Belém – Pará – BrasilE-mail: [email protected]

Ilustração da CapaRafael Feitosa parente

LOUDES PACHECOFicha Catalográfica

F48c.........Oliveira, Marcelo Rufino de

Coleção elementos da matemática, 0 : álgebra, proporção, frações /Marcelo Rufino de Oliveira. – 1 ed. - Belém: 2009.

254p.

ISBN: 978-85-60653-18-8

7/23/2019 vol0.pdf


APRESENTAÇÃO À 1ª EDIÇÃO

Este é o volume zero da Coleção Elementos da Matemática. A coleção foiinicialmente programada para apresentar apenas o conteúdo de Ensino Médio, dividido emseis volumes. Entretanto, os autores acharam interessante também abranger o conteúdo deEnsino Fundamental, notadamente os tópicos cobrados em concursos militares, fazendo comque o volume 0 fosse adicionado à coleção em 2011. Os principais tópicos abordados no

volume 0 são álgebra (potenciação e radiciação, operações algébricas, equações einequações), sistema métrico, frações (ordinárias e algébricas) e razão e proporção. Ocapítulo sobre bases de numeração, que constava no apêndice do volume 1, agora seráabordado com mais detalhes no volume 0.

A coleção Elementos da Matemática está agora organizada da seguinte maneira:

Volume 0 – Álgebra, Proporção e FraçõesAutor: Marcelo Rufino de Oliveira

Volume 1 – Conjuntos, Funções, Exponencial, Logaritmo e Aritmética

Autor: Marcelo Rufino de Oliveira e Márcio Rodrigo da Rocha PinheiroVolume 2 – Geometria PlanaAutores: Marcelo Rufino de Oliveira e Márcio Rodrigo da Rocha Pinheiro

Volume 3 – Seqüências, Combinatória, Probabilidade, Matrizes e TrigonometriaAutor: Marcelo Rufino de Oliveira e Manoel Leite Carneiro

Volume 4 – Números Complexos, Polinômios e Geometria AnalíticaAutores: Marcelo Rufino de Oliveira

Volume 5 – Geometria EspacialAutor: Marcelo Rufino de Oliveira

Volume 6 – CálculoAutor: Márcio Rodrigo da Rocha Pinheiro

A idéia de número muito provavelmente nasceu com a natural necessidade humana decontar os objetos do mundo ao seu redor, como animais, frutas ou pessoas. Para essepropósito (contagem ou cardinalidade), o conjunto dos números naturais serve perfeitamente. Além dessa finalidade (de número cardinal), os naturais são também utilizados comonúmeros ordinais, ou seja, para colocar objetos em uma certa ordem (tal qual uma fila).Obviamente, mesmo quando não havia ainda a escrita (os algarismos) para representar acontagem, o que possivelmente já ocorria era uma comparação entre os objetos de dois

conjuntos diferentes, como um conjunto de pedras numa pequena sacola e o conjunto deanimais de um rebanho.

Com o decorrer do tempo houve a necessidade de medir grandezas (massas,comprimentos, volumes, tempo, etc.). Medir uma grandeza significa compará-la com outra, damesma espécie, denominada unidade de medida (padrão). Dessa forma, para exemplificar,quando se diz que a massa de uma pessoa é igual a 87 kg, compara-se a massa do indivíduocom a de um bloco de platina (o quilograma padrão), guardado na França, e adotado comounidade padrão de medida de massa pela maior parte do mundo (há outras, como a libra e aonça). Mas não é necessário um exemplo tão formal: basta notar a utilização de partes docorpo como padrão unitário (como os pés, medindo uma “travinha”, ou o palmo da mão,medindo os mais diversos comprimentos).

Entretanto, é de esperar-se que nem todo ser humano (ou qualquer outro material)tenha uma massa correspondente a um múltiplo inteiro de 1 kg. É comum encontrar massas“quebradas”, isto é, do tipo 87,654 kg, por exemplo. Esta medida significa que, ao dividir-se a

7/23/2019 vol0.pdf


unidade padrão de medida, 1 kg, em 1000 partes de mesma massa (denominado miligrama,por sinal um dos vários submúltiplos do quilograma), a massa fracionária corresponde a 87blocos originais mais 654 unidades de cada uma das partes da divisão. Analogamente,quando se mede um comprimento usando os palmos da mão, é freqüente não caber umnúmero inteiro de palmos.

Dessa forma, surge a necessidade da noção dos números racionais (ou “fracionários”),para os quais a unidade é subdividida em quantidade conveniente de partes iguais, até que

alguma dessas partes caiba um número inteiro de vezes na grandeza a ser medida. A tempo, quando o resultado da comparação de uma grandeza com uma unidadepreviamente escolhida resulta sempre em números inteiros (até agora, naturais), diz-se que seestá realizando uma contagem. Tal fato ocorre quando, por exemplo, vai ser medida aquantidade de vacas num rebanho: sempre se tem 1 vaca, 2 vacas, ou 56 vacas, ou mesmo 0vacas. Nunca se conta (de um modo geral) 5,7, 3 69 ou vacas, por exemplo. A grandeza,nesta situação, é denominada discreta.

Já quando essa comparação com a unidade permite que ocorram (todos os) valores –reais – entre dois inteiros consecutivos, lida-se com grandezas denominadas contínuas. Nãose usa mais o termo contagem para medidas deste tipo, mas sim medição. Como exemplos,podem ser citadas a massa ou a temperatura de um corpo. A massa de um corpo não passa,

abruptamente (instantaneamente), de 79 kg para 80kg. Passa-se por todos os valoresintermediários, como 79,1 kg, 79,567 kg, 79,666... kg, 70536345 kg (ainda que não sepossa vê-los, explicitamente, na balança).

Essencialmente, o desenvolvimento numérico do ser humano atingiu esse ponto desdea pré-história até aproximadamente o século V antes de Cristo. Esses resultados jápredominavam na antigüidade, como entre os babilônios, egípcios e, mais tarde, gregos.Estes tinham a noção de números racionais, sem a notação atual, é claro. Para eles, osnúmeros serviam quase que exclusivamente para efetuar medições (ou contagens), de modoque eram principalmente interpretados como segmentos de reta. Desse modo, números reaispara eles consistiam em qualquer segmento de reta que pudesse ser desenhado, construído

ou concebido, em última análise.

Em geral, quando se pode dividir a unidade “’u” em q segmentos congruentes “w” (de

medida 1/q), e quando p destes segmentos “w” justapostos cabem exatamente sobre AB , diz-se que AB = p/q, com p e q inteiros.

Perceba-se, então, que até alguns séculos antes de Cristo, tudo que se sabia sobrenúmeros dizia respeito aos conjuntos N, Z+ e Q +, sendo que este último, na verdade, eraimaginado como uma espécie de Z + “composto” (quociente de dois inteiros). O que havia para

os gregos no último exemplo, em que AB = 19/5, não era bem o resultado da divisão de 19por 5, mas sim 19 segmentos “novos unitários”, adjacentemente dispostos em AB. Isso éevidenciado, com grande destaque, em uma seita de cunho místico, os pitagóricos, quepregavam, em essência, exatamente esta idéia: a de que tudo (no universo) é número (ou

u

u u u u

A B

Fixando “u” como segmento unitário(unidade de medida), tem-se como eraentendido o número inteiro 4: AB.

w

u u u

A B

w

É de esperar-se que AB não seja sempre inteiro. Oque fazer, então? Fácil! Basta subdividir a unidade“u” em subunidades (ou melhor, submúltiplos) “w”, demodo que “w” caiba exatamente um número inteirode vezes em “u”. Ao lado, tem-se, assim, u = 5w

w = u/5, e, conseqüentemente, AB = 3u + 4w = 19/5unidades.

w w w

7/23/2019 vol0.pdf


pode ser explicado por eles). Ressalte-se que o conceito de número, na época (séculos VI e Va.C., aproximadamente), restringia-se ao de números inteiros positivos. Quando umagrandeza pode ser medida por esse processo (isto é, através de um número racional), ela édita comensurável (com a unidade escolhida).

Por ironia do destino, foram os próprios pitagóricos que descobriram,concomitantemente com o teorema pelo qual eles ficaram famosos (ou , pelo menos, seulíder: o Teorema de Pitágoras), que nem tudo pode ser explicado por razões entre inteiros. Até

então, era aceita a idéia que sempre era possível subdividir a unidade, de forma a obter umsubmúltiplo conveniente. Se não fosse conveniente subdividir a unidade em 2 partes iguais,efetuava-se a divisão em 3, 4, 5, ... partes iguais até caber um número inteiro de vezes nosegmento a ser medido. Esta consideração era oriunda da harmonia existente entre cordasmusicais cujas medidas estivessem entre si na mesma razão de dois inteiros. Na prática, esseprocesso sempre chegava a um fim num certo número inteiro positivo q, o qual criava asubunidade 1/q, uma vez que o olho humano (e mesmo o aparelho de medida maissofisticado da atualidade) possui o que se chama de precisão limitada, o que significa, porexemplo, que dividir a unidade em 20 partes aparenta o mesmo resultado para a divisão em19 partes. A partir de resultados puramente teóricos, todavia, descobriu-se que, adotando olado de um quadrado como unidade de medida jamais a diagonal do mesmo poderia ser

medida por um número racional. Muito estranho, para a época, uma vez que era óbvio que areferida diagonal existe (é real ). A saída foi abandonar (PARA FINS TEÓRICOS) a idéia deque o processo de subdivisão da unidade fosse impecável, e aceitar a existência degrandezas incomensuráveis, ou seja, para as quais a medida não é sempre um númeroracional. Surgem, assim, os números irracionais.

O matemático grego Eudóxio (aproximadamente século V a.C.) foi quem criou,posteriormente e pela primeira vez, definições e propriedades convenientes (para a época epor muitos séculos depois), as quais ensinavam a lidar com esses “monstros numéricos”, osirracionais. Deve-se a ele as idéias básicas vistas anteriormente de compreenderperfeitamente um número irracional qualquer por meio de suas aproximações por falta e porexcesso. Outro resultado fundamental, a ser visto quando do estudo de funções afins, é um

poderoso método de demonstração, conhecido por método da exaustão, que servebasicamente para estender uma propriedade dos números racionais para os números reais,sob certas condições.

O curioso é que a existência de números negativos só foi aceita muito tempo depois,principalmente sob influência de mercadores orientais (árabes, por exemplo), que játrabalhavam comercial e algebricamente com noções de saldo credor ( positivo) e saldodevedor (negativo). Somente após o Renascimento, em meados do século XV, os númerosnegativos foram sendo introduzidos mundo afora. O número zero também demorou a seraceito e utilizado, mas essa verdadeira conquista é uma outra história...

Finalmente, no final do século XIX, a humanidade alcançou o ponto de dominar osconceitos dos conjuntos numéricos, quando grandes matemáticos como Dedekind, Peano,Cantor e Weierstrass desenvolveram teorias rigorosas que explicavam os números reais e,assim, os números irracionais. O interessante é que muitas das idéias partiram (ou estavambem próximas) dos resultados obtidos por Eudóxio, 24 séculos antes. Obviamente, de modobem mais operacional e completo.

A propósito, as letras representativas dos principais conjuntos numéricos acima (N, Z eQ) significam, respectivamente, número, zahl (número, em alemão) e quociente.

O autor

7/23/2019 vol0.pdf


7/23/2019 vol0.pdf


Índice

Capítulo 1. Potências e Radiciação1. Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Radiciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. Expoentes Fracionários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. Expoentes Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Métodos de Aproximação para Extração da Raiz Quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

168

11

1216

Capítulo 2. Bases de Numeração1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Conversão de uma base b para base 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. Conversão de base 10 para uma base b qualquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20202224

Capítulo 3. Médias1. Média Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Média Ponderada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. Média Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. Média Harmônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5. Média Quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2626262629

Capítulo 4. Sistema Métrico1. Comprimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. Ângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6. Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7. Conversão entre Unidades Compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34353536

37383940

Capítulo 5. Razões e Proporções1. Razão entre Duas Grandezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Proporção de suas Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. Regra de Três Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. Regra de Três Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5. Porcentagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Juros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4648545761

6772

Capítulo 6. Operações Algébricas1. Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Adição e Subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. Produtos Notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5. Divisão de Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6. Fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7. Máximo Divisor Comum de Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Mínimo Múltiplo Comum de Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95979798

101111115

117118

7/23/2019 vol0.pdf


Capítulo 7. Frações1. Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Transformações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. Operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. Racionalização de Denominadores Irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5. Representação Decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6. Decimais Exatos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Dízimas Periódicas Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8. Dízimas Periódicas Compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

128128130137142144

144145149

Capítulo 8. Equações1. Identidades e Equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Princípios Gerais Sobre a Transformação de Equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. Equações do 1º Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. Equações do 2º Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5. Equações Biquadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6. Equações Modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7. Equações Irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8. Sistema de Equações Não-Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

160161163174182184188192194

Capítulo 9. Inequações1. Desigualdades e Inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. Inequações do 1º Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. Sistema de Inequações do 1º Grau do uma incógnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5. Sistema de duas Inequações do 1º Grau com duas incógnitas . . . . . . . . . . . . . . . .6. Inequações do 2º Grau do uma incógnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Sistemas de Inequações do 2º Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8. Inequações Envolvendo Funções Produto e Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . .9. Inequações Simultâneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10. Inequações Modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11. Inequações Irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

215215219221222222

225226228230232233

Gabaritos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

7/23/2019 vol0.pdf


1

7/23/2019 vol0.pdf


2

7/23/2019 vol0.pdf


3

7/23/2019 vol0.pdf


4

7/23/2019 vol0.pdf


5

7/23/2019 vol0.pdf


12

7/23/2019 vol0.pdf


13

7/23/2019 vol0.pdf


14

7/23/2019 vol0.pdf


15

7/23/2019 vol0.pdf


16

7/23/2019 vol0.pdf


17

7/23/2019 vol0.pdf


26

7/23/2019 vol0.pdf


29

7/23/2019 vol0.pdf


31

7/23/2019 vol0.pdf


42

7/23/2019 vol0.pdf


46

7/23/2019 vol0.pdf


52

7/23/2019 vol0.pdf


53

7/23/2019 vol0.pdf


56

7/23/2019 vol0.pdf


59

7/23/2019 vol0.pdf


75

7/23/2019 vol0.pdf


92

7/23/2019 vol0.pdf


120

7/23/2019 vol0.pdf


137

7/23/2019 vol0.pdf


139

7/23/2019 vol0.pdf


151

7/23/2019 vol0.pdf


188

7/23/2019 vol0.pdf


190

7/23/2019 vol0.pdf


190

7/23/2019 vol0.pdf


Documents

vol0.pdf