Volume 7 | Número 2 · 2018. 8. 29. · Flambagem local e global de vigas de aço formadas a frio com seção ponto-simétrica Z sob flexão oblíqua Janderson Leitão Sena e Eduardo

Revista da Estrutura de Aço | Volume 7 | Número 2

Volume 7 | Número 2Agosto de 2018


ARTIGOSDimensionamento de pilares compostos por tubos de

aço preenchidos com concreto em situação de incêndio Fábio Masini Rodrigues e Armando Lopes Moreno Júnior

Análise da estabilidade elástica em torres tubulares de aço para aerogeradores de eixo horizontal

Douglas Mateus de Lima, Pablo Aníbal López-Yánez e José Weslen da Silva

Geometric stiffness matrix for generic cross-sectionsPatrick Kherlakian, Thiago Dias dos Santos, Luiz Carlos Marcos Vieira Junior, Ronald D.

Ziemian e Saulo José de Castro Almeida

Estudo do Comportamento de Conectores Crestbond por meio de Simulação Numérica

Hermano de Sousa Cardoso, Rodrigo Barreto Caldas, Ricardo Hallal Fakury e Gustavo de Souza Veríssimo

79

100

120

140


Flambagem local e global de vigas de aço formadas a frio com seção ponto-simétrica Z sob flexão oblíqua

Janderson Leitão Sena e Eduardo de Miranda Batista

Ábacos para Pré-dimensionamento de treliças e tesouras de cobertura com perfis formados a frio

Cristiano Rossoni, Judiclar Rigo, Marinês Silvani Novello eZacarias Martin Chamberlain Pravia

Arena Allianz Parque: um Projeto Inovador Laura Maria Paes de Abreu, Hermes Carvalho e Ricardo Hallal Fakury

160

180

194

Revista indexada no Latindex e Diadorim/IBICT

Recebido: 05/08/2017 Aprovado: 08/01/2018

Volume 7. Número 2 (agosto/2018). p. 79‐99 ‐ ISSN 2238‐9377

Dimensionamento de pilares compostos por tubos de aço preenchidos com concreto em situação de

incêndio Fábio Masini Rodrigues1* e Armando Lopes Moreno Júnior2

1 Faculdade de Engenharia Civil e Arquitetura, Universidade Estadual de Campinas, [email protected]

2 Faculdade de Engenharia Civil e Arquitetura, Universidade Estadual de Campinas, [email protected]

Fire design of concrete‐filled steel tube composite columns

Resumo Os pilares compostos por tubos preenchidos com concreto trazem vantagens em construções residenciais e industriais devido ao seu desempenho estrutural, rapidez e facilidade de execução. Nesse contexto, com a utilização do software ABAQUS, foram elaboradas tabelas para definir temperaturas na seção transversal, condição inicial para o dimensionamento dos pilares em situação de incêndio. O dimensionamento dos pilares, através do procedimento descrito no Eurocode 4, foi apresentado e comparado com outros procedimentos analíticos simplificados e, também, comparado com os resultados obtidos por meio de análise numérica. Os resultados do presente estudo mostraram que o dimensionamento dos pilares, através das tabelas com as temperaturas na seção transversal e processo indicado no Eurocode 4, são satisfatórios para pilares com tubos de diâmetros e dimensões da seção transversal reduzidos, fora dos limites indicados pelo Eurocode 4.

Palavras‐chave: pilar misto; dimensionamento; incêndio

Abstract The composed columns of steel tubes filled with concrete show a high structural performance in industrial and residential constructions, besides the quickness of execution. In this context, with the use of ABAQUS software, tables were elaborated to define temperatures in the cross section, initial condition for the design of the columns in a fire situation. The design of the columns through the procedure described in Eurocode 4 was presented and compared with other simplified analytical procedures and also compared with the results obtained by means of numerical analysis. The results of the present study showed that the design of the columns through the tables with the temperatures in cross section and simplified process indicated in Eurocode 4 are satisfactory for columns with small tubes, outside the limits indicated by Eurocode 4. Keywords: composite column; structural design; fire

_______________________________

*Autor correspondente

80

1 Introdução

Os pilares mistos compostos por tubos de aço preenchidos com concreto apresentam

vantagens com relação aos pilares de aço, do ponto de vista estético, construtivo e

estrutural em situação de incêndio e, em construções residenciais e industriais de

poucos pavimentos, são normalmente utilizados pilares mistos, com tubos de aço de

menores dimensões de seção transversal.

A exigência de resistência ao fogo para elementos estruturais e elementos componentes

do sistema construtivo é estabelecida, pelas normas nacionais e internacionais, por

meio do TRRF (Tempo Requerido de Resistência ao Fogo), que são preestabelecidos

entre 30 e 120 minutos, com intervalos de 30 minutos.

Com relação à verificação em situação de incêndio, a norma ABNT NBR 14432:2001

isenta as estruturas de edificações residenciais térreas, edificações com área construída

inferior a 750 m2 e edificações com dois pavimentos cuja área total seja inferior a 1500

m2 e com carga de incêndio não superior a 1000 MJ/m2. Contudo, uma edificação com

maior área e adequadamente compartimentada é menos vulnerável aos efeitos de um

incêndio, do que uma edificação de menor área sem uma efetiva compartimentação

(Silva, 2003).

Nesse contexto, os pilares mistos compostos por tubos preenchidos com concreto e sem

adição de barras de aço, podem ser uma alternativa técnica e economicamente

vantajosa. No entanto, esses pilares de menor dimensão de seção transversal,

normalmente, ficam fora do campo de aplicação dos métodos analíticos simplificados,

indicados no Eurocode 4.

No presente artigo, visando oferecer uma abordagem prática para o dimensionamento

de pilares mistos com tubos de seção transversal quadrado e circular de pequenas

dimensões, em situação de incêndio, foram elaboradas tabelas, por meio de modelos

numéricos, às quais indicam as temperaturas em camadas ao longo da seção transversal

de pilares mistos. Também foram apresentadas tabelas semelhantes, elaboradas por

Renaud (2004).

As tabelas propostas no presente trabalho foram elaboradas considerando os tubos de

aço comercializados no Brasil.

81

As respostas, obtidas com a utilização das tabelas com os campos de temperaturas e

dos processos simplificados, serão confrontadas, com base nas respostas de modelos

numéricos tridimensionais, elaborados por meio do software ABAQUS.

2 Materiais e método

2.1 Sequência metodológica

No presente trabalho, foram elaborados modelos numéricos planos de pilares mistos

compostos por tubos de aço de seção quadrada e circular com pequenas dimensões,

cuja seção transversal fora subdividida em camadas. As temperaturas representativas

de cada camada foram transcritas e organizadas em tabelas práticas, cujos valores foram

comparados aos indicados nas tabelas elaboradas por Renaud (2004). Considerou‐se a

temperatura representativa para uma determinada camada, a média das temperaturas

nodais (nós dos elementos finitos) pertencentes à respectiva camada.

O procedimento simplificado de dimensionamento, método geral do Eurocode 4, foi

utilizado para determinar a normal última em situação de incêndio de cada pilar

analisado e essa, foi comparada à normal última obtida por meio de modelos numéricos

tridimensionais.

As temperaturas tomadas diretamente dos modelos numéricos foram comparadas às

determinadas por meio de equações simplificadas indicadas em Rodrigues e Moreno Jr.

(2017) para pilares mistos de seção quadrada e em Espinós (2012) para pilares mistos

de seção circular.

2.2 Características dos exemplares nos modelos numéricos e ação térmica

Os pilares escolhidos para o presente estudo estão indicados na Figura 1.

Figura 1 – Características dos pilares mistos

Dimensão do tubo Espessura do tubo

b ou d (mm) t (mm)

PQ‐100‐5.2 Quadrado 100.0 5.2

PQ‐120‐5 Quadrado 120.0 5.0

PQ‐140‐5.6 Quadrado 140.0 5.6

PQ‐160‐6.4 Quadrado 160.0 6.4

PQ‐200‐6.4 Quadrado 200.0 6.4

PC‐114.3‐4 Circular 114.3 4.0

PC‐141.3‐5.6 Circular 141.3 5.6

PC‐168.3‐6.4 Circular 168.3 6.4

PC‐219.1‐8 Circular 219.1 8.0

Denominação Seção

b

t

y

x

y

x

d

t

82

O aço do tubo foi considerado com resistência ao escoamento de 350 MPa e o concreto

com resistência à compressão de 30 MPa.

A ação térmica foi aplicada no entorno dos pilares, agindo uniformemente ao longo de

todo o elemento. Foi adotada a curva de incêndio padrão (ISO 834) e no modelo

numérico foi considerado que, os gases no entorno do elemento estrutural são

aquecidos por radiação e convecção que, consequentemente, aquecem a face externa

do elemento e, por radiação, convecção e condução, é estabelecido o campo de

temperaturas em todo o elemento estrutural. Nos modelos planos, os campos de

temperaturas de interesse foram obtidos para 30, 60 e 90 minutos de exposição ao fogo.

2.3 Modelos numéricos planos (análise de transferência de calor)

Nos modelos foram considerados os seguintes parâmetros: elemento finito

quadrilateral DC2D4, para os pilares com seção quadrada; elemento triangular DC2D3,

para os pilares de seção circular; temperatura inicial definida em 20 oC; fator de radiação

e de emissividade do fogo igual a 1.0 e fator da face exposta do tubo de 0.7; coeficiente

de convecção para superfície exposta de 25 W/m2 oC e constante de Stefan‐Boltzmann

de 5.67x10‐8 Wm‐2K‐4; densidade do aço considerada com o valor constante de 7850

kg/m3 e do concreto, com o valor constante de 2300 kg/m3; umidade do concreto

adotado com 3%; nos modelos planos a resistência térmica na interface entre o tubo de

aço e o núcleo concreto foi negligenciada (contato térmico perfeito); foi adotado o

limite superior da condutividade térmica do concreto; demais propriedades térmicas

foram adotadas conforme Eurocode 4.

Segue na Figura 2 o campo de temperaturas para 60 minutos de exposição ao fogo.

Figura 2 – Campo de temperaturas para o exemplar PC‐168.3‐6.4

83

2.4 Modelos tridimensionais (análise termomecânica)

Os modelos tridimensionais foram elaborados para os exemplares: PC‐114.3‐4, PC‐

168.3‐6.4, PQ‐100‐5.2 e PQ‐140‐5.6, todos com um comprimento longitudinal de 3.5 m,

correspondente a um comprimento de flambagem em situação de incêndio de 1.75 m

(Lfl,= 0.5 x L), conforme processo simplificado. Nos modelos tridimensionais foi

considerada a não linearidade com uma imperfeição geométrica inicial equivalente a

1/500 do comprimento do tubo, conforme Dotreppe (2007).

A força normal foi aplicada nos modelos tridimensionais de forma centrada, sua

intensidade foi definida pelo método simplificado, com o objetivo de comparar o tempo

de resistência ao fogo determinado por ambos os métodos, simplificado e avançado. A

força normal foi aplicada em um ponto de referência (RP2), acoplado à seção da

extremidade superior (topo) do pilar, tendo sido associado ao mesmo, um vínculo

externo articulado e com liberdade à translação na direção vertical (z). Também foi

adicionado um ponto de referências (RP1), acoplado à seção da base do pilar e, a esse,

foi associado um vínculo articulado, com restrição à translação nas 3 direções ortogonais

(x, y e z).

Na Figura 3 estão representados os vínculos definidos nos modelos.

Figura 3 – Características dos vínculos nos modelos numéricos

84

Foi considerada para os modelos tridimensionais, a análise conjunta com o solver

explicit, com iteração entre as análises, térmica e mecânica. A força axial foi aplicada

inicialmente (step 1) e, em seguida (step 2), o elemento foi aquecido, até que o mesmo

esgote sua capacidade resistente. A resistência térmica à condução entre o tubo de aço

e o núcleo de concreto foi considerado pelo software e calibrado para um valor médio

de 0.02 m²K/W, conforme indicado em Espinós (2012).

Para considerar o esgotamento da capacidade resistente do elemento estrutural, foi

adotado o critério da norma EN 1363‐1, cuja falha é caracterizada pela contração axial

máxima de 1% do comprimento do pilar e pela taxa de contração axial de 0.3% do

comprimento do pilar por minuto;

Como definições específicas para a análise termomecânica, pode‐se citar: hard contact

e o penalty contact com coeficiente de atrito constante de 0.3, definidos para o contato

mecânico normal e tangencial entre o tubo de aço e o núcleo de concreto; módulo de

elasticidade do concreto e o do aço, conforme equações constitutivas apresentadas pelo

Eurocode 4, assim como o comportamento plástico dos materiais, que foi determinado

pelos valores de tensão versus deformação, variando com a temperatura; concreto

definido conforme o modelo CDP (Concrete Damage Plasticity), com os parâmetros

indicados em Rodrigues (2012) sendo: = 35o, b0/c0 = 1.16, m = 0.1, K = 0.667 e = 0.

Seguem na Figura 4 os deslocamentos axiais do pilar com seção quadrada.

Figura 4 – Deslocamento axial do exemplar PQ‐140‐5.6

85

2.5 Procedimentos analíticos

2.5.1 Eurocode 4

O Eurocode 4 apresenta procedimentos analíticos simplificados para dimensionamento

de pilares mistos em situação de incêndio, um para pilares compostos por tubos de aço

preenchidos com concreto, descrito no anexo H e cujos resultados se revelaram

inseguros, principalmente para pilares com maior esbeltez (Aribert et al, 2008). Outro

procedimento é descrito em seu anexo G, para dimensionamento de pilares constituídos

de perfis parcialmente revestidos com concreto e, ainda, um método geral.

Para o dimensionamento de um pilar com força axial centrada em situação de incêndio,

a força normal de cálculo não deve superar a força normal resistente em situação de

incêndio. Dada a probabilidade de ocorrência de um incêndio, os coeficientes de

ponderação e majoração da força normal são reduzidos, conforme Eurocode 4 ou ABNT

NBR8681:2004.

Os procedimentos analíticos consideram o campo de temperatura estabelecido na

seção transversal para um determinado tempo de exposição ao fogo e a respectiva

depreciação das propriedades dos materiais.

Para definir a distribuição de temperaturas em pilares mistos com tubo de aço

preenchido com concreto é necessário recorrer, por exemplo, à metodologia proposta

por LIE e WHITE descrita em RIGAZZO (2006), contudo, de difícil aplicação prática, ou

recorrer às tabelas apresentadas no presente trabalho ou em Renaud (2004), ambas

elaboradas por meio de simulações numéricas.

O método descrito no anexo H consiste em determinar a normal última em situação de

incêndio, considerando um campo de temperaturas preestabelecido e a depreciação

das propriedades dos materiais.

86

Figura 5 ‐ Curva crítica de Euler e força normal plástica, em situação de incêndio

A força normal última é encontrada quando a curva da força normal plástica intercepta

a curva que representa a carga crítica Euler (flambagem elástica). Ambas as curvas

devem ser construídas com as propriedades dos materiais depreciadas (Figura 5).

Limites para aplicação do procedimento do anexo H, indicados no Eurocode 4: esbeltez

relativa máxima de 0,5; comprimento de flambagem de até 4,5 m; diâmetro ou lado

menor da seção do tubo entre 140 e 400 mm; resistência do concreto a compressão

entre 20 e 40 MPa e, porcentagem de área das barras de aço entre 0% e 5%.

O método geral se estendeu para o dimensionamento de pilares com tubos de aço

preenchidos com concreto, no entanto, existe um número reduzido de estudos para

validação da aplicabilidade do método, conforme mencionam Wang 1997, Renaud et al.

2004 e Aribert et al. 2008.

Limites para aplicação do método: pilares devem ser contraventados; devem apresentar

dupla simetria; o coeficiente de contribuição do aço deve estar entre 0,2 0,9,

sendo . / , ; a resistência ao escoamento do aço deve estar entre 235 e

460 MPa; a resistência à compressão do concreto entre 20 e 50 MPa; a taxa geométrica

de armação do pilar deve ser de no máximo 6%; o índice de esbeltez relativo de ser igual

ou inferior a 2; a relação entre a altura e largura da seção transversal retangulares deve

estar entre 0,2 e 5; para seções envolvidas por concreto deve ser disposta armação

longitudinal e transversal; as seções preenchidas por concreto podem não conter

armação.

O método geral apresenta as Equação 1 a 5, cuja Equação 1 é utilizada para determinar

a normal última da seção transversal em situação de incêndio.

87

N , . N , , (1)

Sendo: N , , a força normal última de cálculo em situação de incêndio; , o fator de

redução fornecido pela curva de dimensionamento "c" do EN 1993‐1‐1, em função da

esbeltez relativa; N , , , força normal de plastificação de cálculo em situação de

incêndio.

A força normal de plastificação é determinada conforme Equação 2.

N , , ∑ A .f , , ∑ A . f , , ∑ A . f , , (2)

Sendo: ∑ A .f , , , o somatório do produto da área da seção do tubo de aço pela

resistência do aço, em situação de incêndio; ∑ A . f , , , o somatório dos produtos

da área das barras da armadura pela resistência ao escoamento do aço, em situação de

incêndio; ∑ A .f , , , o somatório dos produtos dos elementos de área do

concreto pela resistência característica à compressão, em situação de incêndio.

O índice de esbeltez relativo é determinado pela Equação 3.

,= , ,

, (3)

Onde: N , é a carga crítica de Euler em situação de incêndio, dada pela Equação 4.

, . , ,

(4)

Sendo: (EI),eff,, o produto do módulo de elasticidade pela inércia da seção do pilar misto

à flexão em situação de incêndio, dado pela Equação 5.

EI , , ∑ φ , . E , . I ∑ φ , . E , . I ∑ φ , . E , , . I (5)

Sendo:

E , ,E , ,E , , : módulo de deformação longitudinal do aço do perfil, das barras de

reforço e do concreto; I , I ,I : momento de inércia da seção do perfil de aço, das

barras de reforço e do concreto; φ , , φ , , φ , : coeficiente de redução que depende

dos efeitos das tensões térmicas no perfil de aço, nas barras de reforço e no concreto,

conforme apresentados na Tabela 1 em função do TRRF e do material.

Tabela 1 ‐ Coeficientes de redução (Fonte: Adaptado do Eurocode 4)

TRRF Perfil de aço Armadura Concreto

(minutos) á, s, c,30 1.0 1.0 0.860 0.9 0.9 0.890 0.8 0.8 0.8120 1.0 1.0 0.8

88

O coeficiente c indicado com o valor de 0,8 deve ser utilizado quando o módulo de

elasticidade for determinado por E 3/2E , sendo Ecm o módulo de elasticidade

obtido a partir da resistência média do concreto à compressão, sendo:

22 , . O módulo de elasticidade do concreto em elevadas temperaturas é

determinado depreciando o módulo de elasticidade em temperatura ambiente pelo

fator KEc, definido na Equação 6.

K , Kc, .,

(6)

Sendo: KEc, , fator de redução do módulo de elasticidade do concreto; KC, , fator de

redução da resistência do concreto a compressão; cu , deformação última do concreto

em temperatura ambiente; cu, , deformação última do concreto em elevada

temperatura.

O fator de redução da resistência do concreto à compressão, a deformação última do

concreto em temperatura ambiente e em elevada temperatura são indicados no

Eurocode 4.

Hager & Krzemien (2015) avaliou, com base em ensaios experimentais, o módulo de

elasticidade do concreto a elevadas temperaturas, considerando concretos de normal e

alta resistência, além de considerar a variação de umidade e dos tipos de agregados e

concluiu que o coeficiente de depreciação do módulo de elasticidade do concreto,

definido conforme Eurocode 4, fornece valores conservadores para concretos de

resistência normal e inseguros para concretos de alta resistência, os autores também

indicam as Equações 7 como proposta para concretos de normal e alta resistência.

Ec (20 oC) x (1,067 ‐ 0,0033 x ) p/ 20oC ≤ ≤ 200oC

, , com Ec, = Ec (20 oC) x (0,6 ‐ 0,001 x ) p/ 200oC < ≤ 600oC (7)

0 p/ 600oC <

Segue na Figura 6 o gráfico com os valores dos fatores KEc, determinados conforme

Eurocode 4 para concreto silicoso e conforme Hager & Krzemien (2015).

89

Figura 6 ‐ Coeficiente de redução do módulo de elasticidade do concreto

O comprimento de flambagem em situação de incêndio (L) pode ser tomado igual ao

comprimento do pilar, multiplicado pelos coeficientes de 0,5 para pilares em níveis

intermediários e 0,7 para pilares no último lance.

Conforme EN 1993‐1‐1, as curvas de dimensionamento são apresentadas como curvas

"a, b, c, d e a0" (Figura 7). O Eurocode 4 indica a curva de dimensionamento “c” para

pilares misto com perfil tubular preenchido com concreto em situação de incêndio. O

procedimento simplificado indicado em Espinós (2012) indica a curva "a" com os

coeficientes φ , , φ , , φ , ajustados pela Autora.

Figura 7 ‐ Curvas de dimensionamento segundo o Eurocode 3

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300

KEc, vs. temperatura

EN4‐Agregado silicoso

Hager & Katarzyna

(oC)

KEc,

0,000

0,100

0,200

0,300

0,400

0,500

0,600

0,700

0,800

0,900

1,000

1,100

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2

0

Curvas de dimensionamento

Curve a0

Curve a

Curve b

Curve c

Curve d

90

2.5.2 Processos analíticos simplificados

O dimensionamento dos pilares misto é realizado conforme o método geral,

considerando um prévio conhecimento do campo de temperaturas na seção transversal

a um dado tempo de exposição ao fogo de interesse, normalmente 30, 60, 90 ou 120

minutos.

As temperaturas na seção transversal para os pilares indicados na Figura 1 podem ser

obtidas através das tabelas da Figura 9, elaboradas pelo autor. Para os pilares com

outras dimensões podem ser utilizadas as tabelas da Figura 10 (Renaud, 2004), sendo

válida a interpolação das temperaturas tabeladas para pilares com dimensões

intermediárias.

Outro modo de definir temperaturas na seção transversal seria por meio de equações

simplificadas, em Rodrigues e Moreno Jr. (2017), por exemplo, são apresentadas as

Equações 8 e 9 para pilares com seção quadrada e, em Espinós (2012), são apresentadas

as Equações 11 e 12 para pilares com seção circular.

, , . . . .

, . , . . .

(8)

, . . , . , .

θa, eq 2,2. 10 . R 0,6393. R 67. R 4023 . (9)

7,17. 10 . R 0,2127. R 22,54. R 108

Por meio das equações simplificadas são obtidas temperaturas equivalentes, ou seja,

são temperaturas médias equivalentes, para o tubo de aço e para todo o núcleo de

concreto.

θ , 342,1 10,77R 0,044R 3,922 0,025R (10)

θ , 186,44 5,764R 0,026R 22,577 0,032R 0,14R (11)

Sendo: θ , , a temperatura equivalente do tubo de aço (oC); θ , , a temperatura

equivalente do núcleo de concreto (oC); R , o tempo de duração do fogo (min.); u , o

perímetro da seção transversal; A , a área da seção transversal.

91

Para as Equações 8 e 9 o perímetro e área da seção devem ser em mm e mm2 e para as

Equações 10 e 11 em m e m2.

2.5.3 Utilização das tabelas para definir o campo de temperatura

As temperaturas representativas de cada camada concêntrica (Figura 8) referem‐se às

temperaturas médias em cada camada, obtidas pelo somatório das temperaturas

tomadas nos nós dos elementos finitos, dividido pela quantidade de nós da respectiva

camada. As tabelas das Figuras 9 e 10 indicam as temperaturas nas camadas localizadas

pela relação b/bi ou d/di, para 30 e 60 minutos de TRRF, conforme ABNT NBR

14432:2001, considerando os tipos de edificações descritas no presente trabalho.

Figura 8 – Divisão da seção transversal

3 Resultados e discussões

3.1 Temperaturas ao longo da seção transversal

As temperaturas indicados por Renaud (2004) foram definidas por meio de modelos

numéricos planos, cujas diferenças nos parâmetros são: coeficiente de resistência média

na transferência de calor à condução entre o tudo de aço e o núcleo de concreto de 0.01

m²K/W e emissividade da face exposta de 0.5.

Nas Figuras 11 e 12 são indicadas as temperaturas determinadas pelo autor, por meio

do software ABAQUS e por Renaud (2004), cujos números indicados nos eixos das

abscissas, referem‐se às subdivisões da seção transversal, sendo o ponto 6 referente ao

tubo de aço e o ponto 1, referente à camada mais interna na seção transversal.

di

tubo de aço

b dsetor i

bi

núcleoconcreto

92

Figura 9 ‐ Temperatura ao longo da seção transversal (oC)

Fonte: autor

93

Figura 10 ‐ Temperatura ao longo da seção transversal (oC) Fonte: Renaud (2004)

Figura 11 – Temperaturas ao longo da seção transversal quadrada

94

Figura 12 – Temperaturas ao longo da seção transversal circular

3.2 Dimensionamento em situação de incêndio

Para a análise comparativa dos processos simplificados foram elaborados modelos

numéricos tridimensionais por meio do software ABAQUS, cujos resultados de alguns

exemplares, seguem indicados na Tabela 2.

Tabela 2 ‐ Resultados dos modelos numéricos tridimensionais (análise termomecânica)

Nas Figuras 13 e 14 é apresentado o gráfico referente à contração axial do pilar e taxa

de contração axial em função do tempo, de alguns dos exemplares mencionados, cujo

critério de falha adotado é descrito na EN 1363 (1999).

Exemplar Normal (kN) TRF (min.)PC-114.3-4 142 48,9

PC-168.3-6.4 522 36,8PC-168.3-6.4 618 35,2PQ-100-5.2 148 52PQ-140-5.6 442 38,2PQ-140-5.6 477 37.8

Resultados modelos numéricos

95

Figura 13 – Critério de falha pilar de seção circular

Figura 14 – Critério de falha pilar de seção quadrada

Através dos processos simplificados, foi determinada a normal última de cada exemplar,

considerando comprimentos de flambagem distintos e temperaturas de exposição ao

fogo de 30 e 60 minutos.

Na Figura 15, o procedimento 1, considera às temperaturas tomadas nas tabelas da

Figura 9, definidas por meio do software ABAQUS e dimensionamento pelo método

geral; o procedimento 2, às temperaturas tomadas das tabelas elaboradas por Renaud

(Figura 10) e dimensionamento pelo método geral; procedimento 3, às temperaturas

definidas de forma simplificada pelas equações descritas em 2.5.2. e dimensionamento

pelo método geral; procedimento 4, às temperaturas obtidas por meio do software

ABAQUS e dimensionamento pelo método geral, considerando a curva de

dimensionamento "a".

‐0.0300

‐0.0250

‐0.0200

‐0.0150

‐0.0100

‐0.0050

0.0000

0.0050

0.0100

0.0150

0.0200

0.0250

0.0300

0.0350

0.0400

0.0450

0.0500

0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500 2750 3000

Deslocamento (m) e velocidade x 100 (m/seg)

Tempo (seg.)

PC‐114.3‐4 (Normal = 142 kN; L=3,5 m)

DeslocamentoVelocidadeDeslocamento limiteVelocidade limite

‐0.0200

‐0.0150

‐0.0100

‐0.0050

0.0000

0.0050

0.0100

0.0150

0.0200

0.0250

0.0300

0.0350

0.0400

0.0450

0.0500

0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500


Tempo (seg.)

PC‐168‐6.4 (Normal = 522 kN; L=3,5m)

DeslocamentoVelocidadeDeslocamento limiteVelocidade limite

‐0.0500

‐0.0400

‐0.0300

‐0.0200

‐0.0100

0.0000

0.0100

0.0200

0.0300

0.0400

0.0500

0.0600

0.0700

0.0800

0.0900

0.1000

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500


Tempo (seg.)

PC‐100‐5.2 (Normal = 148 kN ; L = 3,5 m)

Deslocamento

Velocidade

Deslocamento limite

Velocidade limite

‐0.0200

‐0.0150

‐0.0100

‐0.0050

0.0000

0.0050

0.0100

0.0150

0.0200

0.0250

0.0300

0.0350

0.0400

0.0450

0.0500

0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500


Tempo (seg.)

PQ‐140‐5.6 (N ormal = 442 kN ; L = 3,5 m)

Deslocamento

Velocidade

Deslocamento limite

Velocidade limite

96

Figura 15 – Normal última dos pilares de seção quadrada e circular

Seguem na Figura 16, os respectivos gráficos comparativos para alguns dos exemplares

indicados na Figura 1.

Conforme se observa, há uma razoável concordância entre os procedimentos 1 e 2, já o

procedimento 3 resulta em diferenças mais expressivas para os pilares com seção

circular, contudo, com valores conservadores. O procedimento 4, que adota a curva "a"

de dimensionamento, resultam em valores significativamente maiores que os demais,

que adotam a curva "c".

97

Figura 16 – Normal última dos pilares de seção quadrada e circular

4 Conclusões

Com o estudo realizado pode‐se observar que o processo analítico simplificado descrito

no Eurocode 4 pode ser utilizado para dimensionamento de pilares mistos compostos

por tubos de aço de menor dimensão, fora do limite de aplicação indicado pela norma.

Os processos simplificados fornecem resultados satisfatórios e normalmente

conservadores, podendo ser utilizadas as tabelas de temperaturas propostas nesse

trabalho, Figura 9 ou, as tabelas indicadas por Renaud (2004), Figura 10.

98

Os resultados dos modelos numéricos, elaborados no presente trabalho, resultam em

tempos de resistência ao fogo sempre maiores que os obtidos pelos processos

simplificados.

Deve ser utilizada a curva de dimensionamento "c" indicada no Eurocode 3, exceto para

o processo indicado em Espinós (2012), que utiliza a curva "a" e cujas respostas

mostraram ser sempre conservadoras.

Todos os estudos foram realizados considerando a força axial aplicada ao pilar de forma

centrada, portanto, para verificar a aplicação dos processos simplificados em pilares

com força axial excêntrica, um estudo semelhante ao apresentado deve ser realizado,

considerando a elaboração de modelos numéricos com diferentes excentricidades de

aplicação da força axial e com pilares de diferentes comprimentos longitudinais.

5 Agradecimentos

Gostaria de agradecer a meu orientador, Dr. Armando Lopes Moreno Junior, pelo

incentivo e dedicação na orientação e à Universidade Católica de Santos, pelo suporte

que tenho recebido.

6 Referências bibliográficas

ARIBERT, J. M. et al, 2008, "Simple fire design for composite hollow section columns". Structures & Buildings 161:325‐336.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – “Exigências de resistência aofogo de elementos construtivos de edificações ‐ Procedimento” – NBR 14432: 2001.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – “Ações e Segurança nas Estruturas” – NBR 8681: 2004.

EUROPEAN COMMITTEE FOR STANDARDIZATION. EUROCODE 4: “Design of composite steel and concrete structures – Part 1.2: General Rules – Structural fire design” ‐ EN 1994‐1‐2, 2005.

EUROPEAN COMMITTEE FOR STANDARDIZATION. EUROCODE 3: “Design of steel structures – Part 1.1: General rules and rules for buildings” ‐ EN 1993‐1‐1, 2005.

European Committee for Standardization (CEN): “Fire resistance tests ‐ Part 1: General requerements” – pr EN 1363‐1. Brussels, 1999.

ESPINÓS CAPILLA, A., 2012. "Numerical analysis of the fire resistance of circular and elliptical slender concrete filled tubular columns". Doctoral thesis. Universitat Politècnica de València, Spain.

99

HAGER I.; KRZEMIEN, K. ‐ "An overview of concrete modulus of elasticity evolution with temperature and comments to European code provisions" ‐ International Fire Safety Symposium, Coimbra, Portugal, Abril, 2015.

INTERNATIONAL STANDARD (1999). Fire‐resistance tests – Elements of building construct: General requirements. ISO 834‐1:1999.

RENAUD, C. et al, CTICN, 2004. Research Project 15Q. Report reference INSI – 04/75b – CR/PB, France.

RIGAZZO, A. O. et al., 2006. "Dimensionamento de pilares tubulares de aço preenchidos com concreto em situação de incêndio". São Carlos. Dissertação de Mestrado ‐ Escola de Engenharia de São Carlos ‐ Universidade de São Paulo, 2007.

RODRIGUES, M. F.; MORENO Jr., A. L. ‐ " Temperature field of concrete‐filled steel tubular columns in fire" ‐ .REM ‐ Revista Escola de Minas, Ouro Preto, 70(2), 137‐147, 2017.

RODRIGUES, J. P., EUROPEAN PROJECT FRISCC ‐ "Finite Element Modeling of Innovative Concrete‐Filled Tubular Columns Under Roon and Elevanted Temperatures", 2012.

VARGAS, M. R., SILVA, V. P. (2003). Resistência do Fogo das Estruturas de Aço, Instituto Brasileiro de Siderurgia – IBS / Centro Brasileiro da Construção em Aço – CBCA, Rio de Janeiro, 76p.

WANG, Y. C., 1997. "Some considerations in the design of unprotected concrete‐filled steel tubular columns under fire conditions". Journal of Constructional Steel Research 44(3):203‐223.




Análise da estabilidade elástica em torres

tubulares de aço para aerogeradores de eixo horizontal

Douglas Mateus de Lima1*, Pablo Aníbal López‐Yánez2 e José Weslen da Silva3

1 Professor do Núcleo de Tecnologia, Universidade Federal de Pernambuco ‐ CAA, Caruaru‐PE, [email protected]

2 Professor do Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal de Pernambuco ‐ CTG, Recife‐PE, [email protected]

3 Graduando em Engenharia Civil na Universidade Federal de Pernambuco ‐ CAA, Caruaru‐PE, [email protected]

Elastic stability analysis in steel tubular towers for horizontal axis wind

turbines

Resumo Neste trabalho, apresenta‐se e discute‐se o comportamento da estabilidade do conjunto estrutural formado por uma torre tubular de aço com 120 m de altura e por sua fundação (sapata). Inicialmente, escreveu‐se a equação diferencial ordinária da torre que foi modelada via método das diferenças finitas para obterem‐se os seus deslocamentos transversais. Em seguida, o projeto do modelo de torre e da sua fundação foi realizado conforme os principais códigos normativos. Então, a torre, a fundação e a interação solo‐estrutura foram modeladas via método dos elementos finitos. Constatou‐se que ocorre levantamento da sapata em virtude da flexibilidade do sistema fundação‐solo, resultando em um incremento no deslocamento transversal total medido no topo da torre; nesta situação, a estabilidade do conjunto foi confirmada.

Palavras‐chave: estabilidade, torres tubulares de aço, aerogeradores, energia eólica. Abstract In this paper, the stability behavior of the structural assembly formed by a 120 m high steel tower and its foundation (slab) is presented and discussed. Initially, it was written the ordinary differential equation of the tower that was modeled by finite difference method to obtain its transverse displacements. Next, the design of the tower model and its foundation was carried out according to the main normative codes. Then, the tower, the foundation and the soil‐structure interaction were modeled via the finite element method. It was found that a slab foundation lifts due to the flexibility of the foundation‐soil system, resulting in an increment on the total transverse displacement at the top of the tower; regarding these conditions, global stability was verified.

Keywords: stability, steel tubular towers, wind turbines, wind energy.

*Autor correspondente

101

1 Introdução

No início do século XXI, teve‐se um crescimento acelerado na implantação de

aerogeradores, onshore e offshore, de porte crescente com torres cada vez mais altas

(Engström et al., 2010). O desenvolvimento, o comércio e a instalação de aerogeradores

no mundo se desenvolveram rapidamente, de forma que a geração de energia a partir

de termoelétricas, usina nucleares e hidrelétricas tenha sido complementada e/ou

substituída pela produção daqueles equipamentos.

A geração de energia elétrica por meio de turbinas eólicas constitui uma alternativa para

diversos níveis de demanda no Brasil. As pequenas centrais podem suprir pequenas

localidades distantes da rede de distribuição; já às centrais de grande porte têm

potencial para atender uma significativa parcela do Sistema Interligado Nacional (SIN)

com importantes ganhos. Especificamente no Nordeste brasileiro (especialmente dos

estados da Paraíba, Rio Grande do Norte, Ceará, Piauí e Pernambuco), o

desenvolvimento da produção de energia eólica se deu de maneira promissora nos

últimos anos, pois diversas usinas eólicas estão em operação e em fase de implantação,

fazendo com que a geração de energia elétrica de origem eólica tenha crescido

exponencialmente na última década (BBC BRASIL, 2015).

Aliado ao exposto acima, a evolução do tamanho dos aerogeradores, cada vez mais

pesados e potentes, torna necessária a instalação destes equipamentos sob a ação de

ventos mais intensos e contínuos, fazendo com que as dimensões das torres destes

aerogeradores estejam sendo incrementadas. Particularmente, a altura da torre é um

parâmetro essencial para captação de ventos estáveis de grande altura; entretanto, o

custo da torre, que pode superar 20% do custo total do gerador eólico (Hau, 2006), faz

com que o aumento de altura represente uma desvantagem. Além disto, o transporte,

a montagem e a posta em operação da torre tornam‐se mais custosos.

Adicionalmente, o incremento da esbelteza das torres resulta num aumento dos efeitos

de 2ª ordem a que estas estruturas ficam submetidas e, concomitantemente, agravam

a probabilidade de tombamento do conjunto fundação‐torre‐nacele‐rotor. Este fato

leva à necessidade de estudos mais detalhados para a previsão de deslocamentos e

deformações, tanto da torre quanto fundação. Alguns autores, a exemplo de Bazeos et

102

al. (2002) e Lavassas et al. (2003), estudaram questões relacionadas com o projeto e

com as análises estruturais estáticas, de estabilidade e de comportamento sísmico, de

protótipos de torre com 38 e 45 m de altura para aerogeradores com potências nominais

de 0,75 e 1 MW, respectivamente. Ademais, Sirqueira (2008) estudou o comportamento

estrutural de uma torre com 76,2 m de altura para um aerogerador com 2 MW de

potência nominal.

Entretanto, percebeu‐se a necessidade de estudos nacionais e regionais a respeito da

estabilidade e do projeto de torres tubulares de aço para aerogeradores de maior porte.

Portanto, neste artigo, são apresentados o projeto estrutural e a análise de estabilidade

de um conjunto de torre tubular de aço, com 120 m de altura, e sua fundação para um

aerogerador de grande porte com potência nominal de 3,2 MW. Portanto, o objetivo

deste artigo é realizar uma análise detalhada da estabilidade elástica da estrutura

composta solo‐fundação‐torre, de maneira a fornecer subsídios ao desenvolvimento das

análises de tais estruturas, uma vez que, por exemplo, alguns tipos de carregamento,

como a carga de neve, são considerados no projeto de torres que são projetadas na

Europa, mas são fabricadas e utilizadas no nordeste brasileiro, onde tais carregamentos

não se aplicam.

2 Modelo Teórico

2.1 Mecânica do meio contínuo (M. M. C.)

Para a análise estrutural da torre tubular utilizaram‐se as equações do equilíbrio da viga‐

coluna (Figura 1), assim, considerando‐se um elemento infinitesimal de torre e

analisando‐se o equilíbrio de momentos em torno do ponto A, obtém‐se:

‐ M ‐ q dx 2

2 + pp dx

dv

2‐ V+dV dx + M +dM ‐ N+dN dv = 0 (1)

Na Equação (1): x é a coordenada ao longo da altura da torre; M=M(x) é a função de

momento fletor; V=V(x) é a função de esforço transversal; N=N(x) é a função de esforço

axial; q=q(x) é a função de carregamento transversal; pp=pp(x) é a função de

carregamento axial; e, v=v(x) é a função de deslocamento transversal da torre.

Simplificando‐se a Equação 1, resulta:

V =dM

dx‐ N

dv

dx (2)

103

e avaliando‐se o equilíbrio de forças na direção transversal, tem‐se:

V‐q dx ‐ V + dV = 0 (3)

em que, simplificando‐se, resulta:

q = ‐dV

dx (4)

Analisando‐se agora o equilíbrio de forças na direção axial, tem‐se:

N+pp dx ‐ N + dN = 0 (5)

ou, ainda, simplificando‐se esta expressão, obtém‐se:

pp =dN

dx (6)

Figura 1 – Configuração da viga‐coluna.

Desprezando‐se as deformações por cisalhamento e considerando‐se a teoria das

pequenas deformações, para o trecho de torre, o momento fletor interno = (x) é:

= ‐E I d2v

dx2 (7)

Na Equação (7): E é o módulo de elasticidade longitudinal do material (considerado

constante nesta análise) e I=I(x) é a função de momento de inércia da seção transversal

da torre. Então, substituindo‐se a Equação 7 na Equação 2, onde iguala‐se o momento

interno ao momento externo, resulta:

‐d

dxE I

d2v

dx2= V + N

dv

dx (8)

da qual, derivando‐se e substituindo‐se a Equação 4 e a Equação 6, tem‐se:

d2

dx2E I

d2v

dx2‐ pp

dv

dx+ N

d2v

dx2= q (9)

que é a equação diferencial ordinária da viga‐coluna, a qual, uma vez expandida, fica:

104

E I d4v

dx4+2 E

d I

dx d3v

dx3+ E

d2I

dx2+ N

d2v

dx2‐ pp

dv

dx= q (10)

Esta equação diferencial ordinária não homogênea, cuja incógnita é a função de

deslocamento transversal da torre com seção transversal variável e que considera a

influência da carga axial, permite analisar matematicamente a torre engastada na base

(análise não linear geométrica). Entretanto, levando‐se em conta que não se tem uma

solução analítica, esta expressão é resolvida via método das diferenças finitas.

2.2 Método energético

Uma importante questão para o projeto da torre pauta‐se no caso homogêneo da

Equação 10, a partir do qual se pretende obter a carga de flambagem da torre (análise

linear de estabilidade). Um método aproximado para a obtenção da carga de flambagem

fundamenta‐se no balanço energético, logo, considera‐se uma forma modal polinomial

(Figura 2) tal que:

v x = Aj xj

m

j=0

(11)

Na Equação (11): Aj são as constantes da forma modal polinomial e utilizando‐se das

condições de contorno essenciais e natural da base da torre, de forma que:

v 0 =0 ; v' 0 =0

V 0 = 0 ⇒ v''' 0 = 0 (12)

e, para o topo, as condições de contorno naturais expressas como:

v'' L = 0

V L = 0 ⇒ v''' L = ‐N L

E I L v' L = ‐

P

E I L v' L = ‐ α2 v' L

(13)

e, ainda, uma condição de contorno acessória, no topo, definida mediante:

v L = δ (14)

Na Equação (14): δ representa o deslocamento transversal no topo da torre e L é o

comprimento da estrutura. Então, utilizando‐se até a quinta potência (m=5), a 1ª forma

modal da torre fica:

v x =δ

L2(α2L2‐ 28)

10

3α2L2 ‐ 40 x2+

5

L24 ‐ α2L2 x4+

8

3L3α2L2 ‐3 x5 (15)

O trabalho, Tpp, realizado pela carga axial distribuída pp ao longo da função de

deslocamento axial u=u(x) da torre é dado, aproximadamente, por:

105

Tpp= pp(x)v'(x) 2

2

x

0

dx

L

0

(16)

Figura 2 – Forma modal considerada para a torre.

Já o trabalho, TP, realizado pela força axial concentrada P, aplicada ao topo, ao longo do

deslocamento axial u=u(x) da torre é aproximadamente:

TP = P v'(x) 2

2dx

L

0

(17)

De outra parte, a energia de deformação oriunda da flexão, U, na qual se desprezam as

energias de deformação por cisalhamento e axial, fica:

U=E I x v''(x) 2

2dx

L

0

(18)

Para a avaliação das integrais das Equações 16, 17 e 18 são estabelecidos os seguintes

vetores contendo as funções relacionadas à variação da seção transversal do tubo da

torre ao longo da altura: função de diâmetros d(x), conforme Equação 19; vetor de

funções de áreas de seção transversal A(x)i, conforme Equação 20; vetor de funções de

pesos próprios por unidade de comprimento pp(x)i, conforme Equação 21; e vetor de

funções de momentos de inércia I(x)i, conforme Equação 22. Tais vetores foram

estabelecidos a partir do vetor de espessuras da parede do tubo espi, que considera o

processo de fabricação da torre, no qual são utilizadas chapas grossas com espessuras

comerciais calandradas para formar o tubo da torre:

106

d x =dbaseL

L ‐ 1 ‐dtopodbase

x (19)

Na Equação (19): dbase e dtopo são os diâmetros médios do tubo na base e no topo;

A x i = π d(x) espi (20)

Na Equação (20): espi é o vetor de espessura da parede do tubo da torre avaliado nos

níveis i ao longo do comprimento;

pp x i=ppbaseL

L ‐ 1 ‐dtopodbase

xespiebase

(21)

Na Equação (21): ppbase é o peso próprio por unidade de comprimento na base da torre

e ebase é a espessura da parede do tubo na base da torre;

I x i=π

64d x i + espi

4‐ d x i ‐ espi

4 (22)

Estabelecendo‐se uma relação β entre o peso próprio por unidade de comprimento na

base da torre e a força axial concentrada P aplicada ao topo da torre, tem‐se:

β =ppbase L

P (23)

aplicando‐se os vetores de funções das Equações 19, 20, 21 e 22 na integral da Equação

18, obtém‐se a seguinte expressão para energia de deformação por flexão:

U=E

2 I(x)i v''(x) 2 dx

(i+1)·h

i·h

n‐1

i=0

(24)

Na Equação (24): n é o número de subdivisões escolhido para a torre e h é o

comprimento do trecho de torre analisado.

Ademais, utilizando‐se as Equações 19, 20, 21, 22 e 23 nas Equações 16 e 17, obtém‐se

a expressão do trabalho realizado pelas cargas:

T=P

2

β

L2L‐ 1‐

dtopodbase

xespiebase

v'(x) 2

x

0

dx dx

(i+1)·h

i·h

n‐1

i=0

+ v'(x) 2

L

0

dx (25)

Finalmente, mediante o princípio de conservação de energia, T = U, escreve‐se o

quociente de Rayleigh para a carga de flambagem:

PCR=E∑ I(x)i v

''(x) 2dx(i+1)·h

i·hn‐1i=0

β

L2∑ L‐ 1‐

dtopodbase

xespiebase

v'(x) 2x

0dx dx

(i+1)·h

i·hn‐1i=0 + v'(x) 2L

0dx

(26)

107

3 Projeto do modelo

O modelo de torre tubular de aço analisado neste trabalho pautou‐se no projeto estático

da torre considerando‐se as prescrições normativas dos seguintes códigos:

ABNT NBR 6123:1988; ABNT NBR 8800:2008; ABNT NBR 6118:2014;

ABNT NBR IEC 61400‐1:2008; EN 1991‐1‐4:2005; EN 1993‐3‐2:2006. Então, considerou‐

se uma torre tubular de aço S355J2, segundo as especificações da EN 10025‐2:2004, a

qual dá suporte a um aerogerador no padrão SWT‐3.2‐113 (Siemens, 2014), conforme

características especificadas na Tabela 1.

Tabela 1 – Dados do padrão do aerogerador selecionado. Fonte: Siemens (2014).

Tipo de parâmetro

Classe segundo IEC (International Electrotechnical Commission)

IIA

Potência nominal (MW) 3,2

Diâmetro do rotor (m) 113,0

Comprimento da pá (m) 55,0

Área varrida pelo rotor (m2) 10000

Altura do cubo do rotor (m) 79,5 – 142,0 (usou‐se 122,5 m)

Regulação de potência Ângulo de passo regulado

Energia elétrica produzida anualmente a 8,5 m/s 14402 MWh

Peso da nacele (tf) 78

Peso do rotor (tf) 67

Extrapolando‐se os resultados de forças e momentos transmitidos ao topo da torre

(Figura 3), em condições eólicas normais e extremas, estabelecidos por Asibor et al.

(2015) que utilizaram o software GL bladed e por Lavassas et al. (2003) que utilizaram

dados fornecidos pelo fabricante, obtêm‐se os valores de forças e momentos máximos

aplicados ao topo da torre, conforme Tabela 2.

Além do carregamento aplicado ao topo da torre, utilizam‐se as ações aplicadas ao longo

do comprimento da torre, ou seja:

i. Carga permanente da torre distribuída axialmente;

ii. Cargas dos equipamentos dispostos ao longo da altura da torre (equipamentos das

instalações elétricas a exemplo de: cabos para transmissão de energia elétrica,

transformador, sistema de climatização, sistema de iluminação, sistema de

controle; e, equipamentos de segurança para manutenção tais como: sistema de

ascensão/escadas, plataformas intermediárias etc.) também dispostas axialmente;

108

iii. Ação do vento orientada radialmente (segundo recomendações das ABNT NBR

6123:1988; ABNT NBR IEC 61400‐1:2008; EN 1991‐1‐4:2005) e ao longo da altura da

torre (Figura 4): utilizando uma velocidade básica de vento igual a 35 m/s (valor

máximo de velocidade para o estado de Pernambuco, onde se idealiza a

implantação do parque eólico);

iv. Força lateral distribuída ao longo da altura da torre equivalente ao desaprumo de

L/2000 compatível ao processo de fabricação e montagem da mesma.

Figura 3 – Representação das forças e momentos aplicados ao topo da torre.

Tabela 2 – Carregamento aplicado ao topo da torre.

P (N) FH (N) Ftrans (N) MH (N.m) Mlat (N.m) T (N.m)

4299033,45 662186,43 32106,07 46644600,79 4147943,60 1985250,43

A torre tubular projetada tem uma altura total de 120 m, é formada por uma estrutura

tronco‐cônica com diâmetro na base de 6,5 m e no topo de 3,5 m e a espessura da

parede da torre tubular varia de 2” na base para 1 ¼” no topo (Figura 5).

Para o transporte, o içamento e a montagem, a torre é subdividida em quatro partes de

30 m que são conectadas por meio de flanges (anéis de conexão entre segmentos da

torre) unidos com parafusos pré‐tracionados de alta resistência classe ISO 10.9, segundo

especificações da ISO 7411:1984, em ligações por atrito. Adicionalmente, utilizam‐se

nestas ligações porcas, segundo recomendações da ISO 4775:1984, e arruelas,

normatizadas pela ISO 7415:1984. Os flanges são posicionados/soldados de maneira

que a furação dos mesmos se encontre na parte interior do tubo, permitindo fácil acesso

para manutenção dos parafusos. Uma configuração similar é utilizada na ligação entre

o flange azimutal da torre e o anel de direcionamento da nacele, neste caso, a

especificação do flange de topo é feita de acordo com o fabricante do anel de

109

direcionamento da nacele. O flange da base da torre é fixado à fundação (neste caso,

uma sapata) por barras de ancoragem (chumbadores) arranjadas concentricamente em

ambos os lados da parede da torre tubular.

(a) Vista superior da distribuição da pressão de vento (N/m2). (b) Perfil da ação

transversal do vento.

Figura 4 – Distribuição da ação do vento atuante na torre.

A fundação da torre tubular consiste em uma sapata circular, de concreto armado com

fck = 30 MPa, formada por: um cilindro de 26,0 m de diâmetro e 0,5 m altura apoiado

sobre solo; acima deste é disposto um segmento com altura de 2,5 m de formato tronco‐

cônico no qual o diâmetro varia, ao longo da altura, de 26,0 m a 7,2 m; e, por fim, tem‐

se um pedestal com diâmetro de 7,2 m e altura de 0,75 m (Figura 5). Para a definição

das dimensões da sapata foi utilizado DNV/Risø (2002), a partir do qual foram analisados

os esforços de tombamento e deslizamento da estrutura, como um todo, e as tensões

atuantes em comparação com a tensão admissível do solo.

A tensão admissível do solo de assentamento da sapata foi calculada a partir dos

métodos teóricos de Meyerhof, Hansen e Vesic´ (Bowles, 1996), considerando‐se as

seguintes propriedades: tipo SW (sand well graded) segundo o Sistema Unificado de

Classificação, ângulo de atrito interno de 30º e peso específico aparente igual a

19 kN/m3. Em seguida, de acordo com a ABNT NBR 6118:2014, foram dimensionadas as

armaduras longitudinais superiores e inferiores e a armadura transversal; além disto,

110

foram feitas as verificações de punção, abertura de fissuras e ancoragem das barras de

reforço.

Figura 5 – Esquema do projeto da torre.

4 Modelagem no software ANSYS

A análise estrutural e o projeto da torre tubular de aço foram elaborados mediante o

método dos elementos finitos (M. E. F.), considerando‐se materiais de comportamento

elástico, do ponto de vista físico, e não linear, do ponto de vista geométrico.

Inicialmente, foi criado um modelo com elementos de barra com 4 graus de liberdade

por nó, no software Mathcad 14, no qual se levam em conta as energias de deformações

por flexão e por corte, bem como a influência das cargas axiais na deformação

transversal da torre.

Adicionalmente, foi criado um modelo de elementos finitos no software ANSYS (2012)

r.14.5, no qual se considerou a torre engastada na base com 7272 elementos de casca,

designado por SHELL 181, com 4 nós e com 6 graus de liberdade por nó. O motivo que

levou à utilização de um modelo em elementos finitos detalhado e outro em elementos

111

de barra, simplificado, portanto, foi a necessidade de avaliar a confiabilidade e a

precisão dos resultados numéricos obtidos.

O modelo com elementos finitos de casca foi complementado simulando‐se a torre em

conjunto com sua fundação. Para tal, a sapata foi modelada com 11766 elementos

sólidos tetraédricos, designados por SOLID 186, com 20 nós e 3 graus de liberdade de

translação por nó. Além disto, com o objetivo de avaliar a interação solo‐estrutura, a

reação elástica do solo foi modelada com 2145 elementos de mola com rigidez axial,

colocados na base da sapata e designados por COMBIN 14. A rigidez destes elementos

foi avaliada a partir do valor médio do coeficiente de reação vertical, de uma areia com

densidade relativa média, proposto por Terzaghi (1955). Assim, o valor do coeficiente

reação vertical do solo, que é igual a 45023 kN/m3, foi multiplicado pela área de

influência de cada nó da base da sapata que está em contato com o terreno.

5 Resultados e discussões

Apresentam‐se, na Figura 6, as representações gráficas das expressões de interação

correspondentes à verificação das seções transversais do modelo de torre projetado, no

qual se considera o modelo com elementos finitos de barra para obtenção dos esforços

solicitantes de cálculo de 2ª ordem geométrico, sem redução das rigidezes à flexão e

axial, uma vez que, a análise realizada é elástica linear (análise física linear).

Adicionalmente, observam‐se, na Figura 6, os degraus resultantes da mudança brusca

de espessura da chapa que forma a torre, nas cotas de 30, 45, 60 e 90 m. Verifica‐se,

ainda, um aumento dos valores da expressão de interação (Figura 6‐b) com a altura da

torre, uma vez que se tem uma diminuição dos diâmetros e das espessuras das chapas

calandradas em uma proporção maior do que a diminuição dos esforços ao longo da

altura. Com relação aos esforços cisalhantes, as seções mais solicitadas apresentaram

valores de 4,7% entre esforços solicitantes e resistentes, não sendo, portanto,

determinantes para o dimensionamento.

O máximo valor da expressão de interação é de 74,7% (Figura 6‐b). Ou seja, a seção mais

solicitada conta ainda com 25,3% de capacidade resistente. No entanto, neste estudo

não foram avaliados critérios referentes às ações dinâmicas, tais como fadiga nos

elementos que compõem a torre (chapas, soldas, parafusos). Adicionalmente, verificou‐

112

se o estado limite de serviço de deslocamentos máximos no topo da torre, pois é

necessário obedecer às limitações de deslocamentos estabelecidas pelos fabricantes

dos equipamentos que se encontram na nacele. Além disto, limitam‐se os

deslocamentos da torre para evitar o contato das pás do aerogerador com a torre de

sustentação. Assim, utilizou‐se um limite de L/70 para o deslocamento no topo da torre,

que, neste estudo, é de 1,70 m.

NcSd

NcRd Int

(a) Relação entre os esforços axiais de

compressão solicitantes e resistentes.

(b) Expressão de interação para esforços

axiais.

Figura 6 – Representação das expressões de verificação das seções transversais da

torre.

Na Figura 6:

NcRd é o esforço resistente de cálculo à compressão simples;

NcSd é o esforço solicitante de cálculo à compressão simples;

Int=

NcSd

NcRd+8

9

MH_Sd

MRd+Mlat_Sd

MRd para

NcSd

NcRd≥0,2

NcSd

2 NcRd+

MH_Sd

MRd+Mlat_Sd

MRd para

NcSd

NcRd<0,2

MRd é o momento fletor resistente de cálculo;

MH_Sd é o momento fletor solicitante de cálculo segundo o eixo z da Figura 3;

Mlat_Sd é o momento fletor solicitante cálculo segundo o eixo y da Figura 3.

0.10 0.15 0.200.0

20.0

40.0

60.0

80.0

100.0

120.0

Cot

a (m

)

0.4 0.6 0.80.0

20.0

40.0

60.0

80.0

100.0

120.0

113

Para o cálculo do esforço resistente à compressão simples utilizou‐se o valor de carga

de flambagem (autovalor associado à parcela homogênea da equação diferencial 10

desenvolvida), calculado conforme o método energético descrito no item 2.2, igual a

99607,4 kN para o modelo engastado na base. Adicionalmente, na Figura 7, mostram‐

se os modos de instabilidade do modelo de torre engastado na base e discretizado com

elementos finitos de casca. O primeiro (Figura 7‐a) e o segundo modos são referentes

aos primeiros modos de flexão nos planos YZ e XY, respectivamente (o eixo Y está posto

na vertical no ANSYS, 2012). O terceiro (Figura 7‐b) e o quarto modos referem‐se a

outros dois modos de flexão nos planos YZ e XY, respectivamente. A partir do quinto

modo, caracterizado por três semiondas (Figura 7‐c), tem‐se uma série de modos de

flambagem locais do tubo da torre (com número crescente de semiondas), que não são

capturados no modelo com elementos finitos de barra. Estes são modos de flambagem

locais acoplados, pois enquanto em um modo de flambagem flexional têm‐se

deslocamentos segundo um determinado eixo, nos modos de flambagem locais há

deslocamentos em mais de um eixo coordenado; entretanto, o quinto modo tem um

autovalor correspondente 6,4 vezes maior que o autovalor fundamental (do 1º modo),

o que determina a menor importância destes modos superiores (a partir do quinto) à

análise de estabilidade linear da torre. Vale salientar que o posicionamento dos modos

locais nos modos de vibração da torre está intrinsicamente relacionado com o nível de

esbeltez local do tubo que forma a torre, ou seja, com a relação diâmetro/espessura da

parede do tubo.

(a) 1º modo. (b) 3º modo. (c) 5º modo.

Figura 7 – Modos de instabilidade da torre.

114

Para os modelos engastados na base, elaborados com elementos finitos de barra (em

que se considerou a não linearidade geométrica, mediante a matriz de rigidez

geométrica) e via mecânica dos meios contínuos, não houve diferença significativa entre

os deslocamentos calculados (Tabela 3). O exemplar engastado na base e modelado com

elementos finitos de casca, no software ANSYS (2012), apresentou um deslocamento

transversal de 1ª ordem no topo da torre praticamente igual ao dos dois anteriores;

além de um deslocamento de 2ªordem 1% superior aos outros dois modelos com base

engatada. Por fim, o modelo com base flexível apresentou deslocamentos transversais

de 1ª ordem e 2ª ordem no topo da torre, pelo menos, 3,6% e 4,0% superiores aos

deslocamentos dos modelos com base engastada, respectivamente. Na Tabela 3

apresenta‐se, também, a relação entre os deslocamentos transversais de 2ª ordem e de

1ª ordem do topo da torre (suscetibilidade aos efeitos de 2ª ordem ou grau de

deslocabilidade da estrutura). Salienta‐se que, apesar de em todos os casos estudados

a estrutura ser classificada como de pequena deslocabilidade (valores abaixo de 1,1), o

incremento de deslocamentos é significativo à análise de estabilidade e ao aumento dos

esforços solicitantes necessários ao projeto da torre.

Tabela 3 – Deslocamentos transversais do topo da torre (m).

Base engastada Base flexível

M. M. C E. F. barra E. F. casca E. F. casca‐sapata

1ª ord. 2ª ord. 1ª ord. 2ª ord. 1ª ord. 2ª ord. 1ª ord. 2ª ord.

1,50669 1,59969 1,50869 1,59930 1,50647 1,61563 1,56309 1,68092

Graus de deslocabilidade

1,06172 1,06006 1,07246 1,07538

Para a análise da estabilidade não linear geométrica transversal da torre tubular de aço,

em conjunto com a sapata e considerando‐se a interação solo‐estrutura, foram

verificados, numa primeira etapa da análise, se os elementos finitos de mola que ligam

a sapata ao terreno se encontravam tracionados ou comprimidos sob a aplicação das

ações descritas no item 3. Em seguida, iterativamente, nas etapas subsequentes, as

molas tracionadas foram sendo desativadas até alcançar o equilíbrio da estrutura

apoiada sobre o terreno deformável (Figura 8). Observa‐se que 538 dos 2145 nós da

base da sapata têm as molas desativadas, desta forma, 25% da área da base da sapata

se levanta e fica sem contato com o solo.

115

Figura 8 – Representação das reações do solo sobre a sapata.

Na Figura 9 expõe‐se uma representação dos deslocamentos verticais da sapata, onde

se constatam as molas que não estão trabalhando (em vermelho, laranja e amarelo), ou

seja, a região onde a sapata se levanta acima do terreno. Observe‐se que o

deslocamento vertical máximo para baixo, na borda da sapata, é 3,284 mm. Em virtude

da flexibilidade do sistema fundação‐solo, que resulta em uma rotação de 0,0289º da

base da torre, o deslocamento transversal do topo da torre é aumentado em 6,529 cm

(Tabela 3) quando comparado com o modelo de elemento finito de casca engastado na

base. Salienta‐se que as deformações obtidas (deslocamentos e rotações) poderiam ser

ainda maiores no caso desta fundação estar assente em um solo de menor qualidade,

uma vez que, o tipo de solo utilizado neste estudo apresenta excelentes propriedades

físicas e mecânicas, compatíveis com a região do agreste de Pernambuco, onde se

idealiza a implantação do parque eólico.

Figura 9 – Deslocamentos verticais da sapata (m).

Na Figura 10 tem‐se a distribuição de von Mises para o modelo de torre tubular de aço,

no qual considera‐se a interação solo‐estrutura e a não linearidade geométrica. A

máxima tensão de von Mises obtida (182,22 MPa), encontra‐se na junção entre os dois

últimos segmentos da torre na cota de 90 m, porém, com valor abaixo da tensão

admissível (208,82 MPa) do aço utilizado (S355J2); fato que justifica a utilização do

modelo linear para a equação constitutiva do aço. Observe‐se que o critério

determinante para o projeto da torre foi a limitação dos deslocamentos máximos

transversais no topo desta. Desta forma, não houve necessidade de empregar modelos

de falha, pois nenhum ponto da torre atingiu a tensão de admissível do aço.

116

Figura 10 – Distribuição de tensões de von Mises na torre (Pa).

Por fim, tem‐se o detalhamento das ligações parafusadas da torre, nas quais foram

utilizados parafusos M36 (ISO 10.9):

i. Ligação da sapata com o flange basal: barras de ancoragem, com 2x144 parafusos

(Figura 11‐a);

ii. Ligação do flange intermediário 1 com o flange intermediário 2: cota de 30 m com

180 parafusos (Figura 11‐b);

iii. Ligação do flange intermediário 2 com o flange intermediário 3: cota de 60 m com

144 parafusos (Figura 11‐b);

iv. Ligação do flange intermediário 3 com o flange intermediário 4: cota de 90 m com

144 parafusos (Figura 11‐b); e,

v. Ligação do flange azimutal da torre com a cremalheira da nacele: cota de 120 m

com 108 parafusos (Figura 11‐c).

Os parafusos de alta resistência utilizados nas ligações entre os flanges foram

dimensionados considerando‐se ligações por atrito resistentes aos esforços cisalhantes

e axiais a serem transmitidos entre os segmentos da torre. Em particular, na base da

torre, para a transmissão da força de tração entre a torre de aço e a sapata de concreto

armado, calcularam‐se a largura e a espessura do anel de aço embutido na base da

sapata, no qual são fixadas as barras de ancoragem. A transmissão da força de

117

compressão se deu pelo contato entre o flange basal da torre e o anel de aço colocado

no topo da sapata, de forma que a torre fica apoiada nas barras de ancoragem que estão

contidas lateralmente pelo volume de concreto armado da sapata. No

dimensionamento dos anéis da base e do topo da sapata considera‐se que a aderência

entre as barras de ancoragem (lisas) e o concreto armado da sapata seja nula, assim, a

ancoragem é garantida pelo contato dos anéis com o concreto e pela capacidade

resistente à flexão destes.

(b) Ligação: flanges intermediários.

(a) Ligação: sapata ‐ torre (dimensões em mm). (c) Ligação: flange topo ‐ anel nacele.

Figura 11 – Detalhamento das ligações.

Na Figura 11:

esp0 (2”), esp1 (1 3/4 ”), esp2 (1 5/8 ”), esp3 (1 1/2 ”) e esp4 (1 1/4 ”) são as espessuras

da parede do tubo da torre; efl 1 (4”), efl 2 (4”), efl 3 (3 1/2 ”) e efl 4 (4”) são as espessuras

dos flanges intermediários 1, 2 e 3 e do flange azimutal da torre, respectivamente; Lfl 1

(28 cm), Lfl 2 (28 cm), Lfl 3 (24 cm) e Lfl 4 (24 cm) são as larguras dos flanges

intermediários 1, 2 e 3 e do flange azimutal da torre, respectivamente; afl 1 (12 cm), afl 2

118

(12 cm), afl 3 (11 cm) e afl 4 (11 cm) são as distâncias do eixo do parafuso a borda do flange

intermediário 1, 2 e 3 e do flange azimutal da torre, respectivamente.

6 Considerações finais

A técnica de meio contínuo aplicada à torre tubular de aço do aerogerador mostrou‐se

adequada para previsão da carga de flambagem (solução da parcela homogênea da

equação diferencial), dos esforços e das deformações utilizados para realizar o projeto

da torre com seção transversal variável e engastada na base.

O modelo estrutural via elementos finitos foi comparado com o modelo de meio

contínuo, resolvido mediante diferenças finitas, observando‐se que os resultados

obtidos apresentam‐se consistentes e muito próximos, o que garante a validade das

técnicas numéricas implementadas.

Constatou‐se, para o modelo simulado no software ANSYS (2012), em que se considera

a interação solo‐estrutura, que há estabilidade para o conjunto estrutural torre‐sapata‐

solo, ou seja, o sistema tende para uma deformada final, estável, compatível com o

limite de deformações requerido. Adicionalmente, na análise da distribuição de tensões

de von Mises, ao longo da torre, não houve necessidade de empregar modelos de falha,

pois nenhum ponto da estrutura atingiu a tensão de admissível do aço empregado. Por

fim, estes resultados serviram de base para o projeto das ligações entre os segmentos

da torre e entre sua base e a sapata.

Os resultados desta pesquisa envolvem contribuições de interesse prático imediato,

uma vez que se pretende desenvolver subsídios para análises de estabilidade de torres

e fundações para aerogeradores a serem implantados no território brasileiro.

7 Referências

ASIBOR, A. I. et al. Wind turbine performance and loading calculations using aero elastic modelling. In: International Congress of Mechanical Engineering, 23, 2015, Rio de Janeiro. Anais… Rio de Janeiro: ABCM, 2015.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: Projeto de estruturas de concreto: Procedimento. Rio de Janeiro, 2014.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6123: Forças devidas ao vento em edificações. Rio de Janeiro, 1988.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 8800: Projetos de estruturas de aço e de estruturas mistas de aço e concreto de edifícios. Rio de Janeiro, 2008.

119

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR IEC 61400‐1: Aerogeradores Parte 1: Requisitos de Projeto. Rio de Janeiro, 2008.

BARIFOUSE, Rafael; SCHREIBER, Mariana. Como o Nordeste virou principal polo da energia eólica no Brasil. BBC BRASIL, São Paulo e Brasília, 13 nov. 2015. Disponível em: <http://www.bbc.com/portuguese/noticias/2015/11/151110_energia_eolica_nordeste_rb>. Acesso em: 27 set. 2017.

BAZEOS, N. et al. Static, seismic and stability analyses of a prototype wind turbine steel tower. Engineering Structures, v. 24, n. 8, p. 1015‐1025, 2002.

BOWLES, J. E. Foundation Analysis and Design. 5th ed. Singapore: McGraw‐Hill Book Co., 1996.

DNV/Risø. Guidelines for Design of Wind Turbines. 2 ed. Denmark: Jydsk Centraltrykkeri, 2002.

ENGSTRÖM, S. et al. Tall Towers For Large Wind Turbines. Estocolmo: Elforsk, 2010.

EUROPEAN COMMITTEE FOR STANDARDIZATION. EN 1991‐1‐4: Eurocode 1: Actions on structures – Part 1‐4: General actions – Wind actions. Brussels, 2005.

EUROPEAN COMMITTEE FOR STANDARDIZATION. EN 1993‐3‐2: Eurocode 3: Design of steel structures – Part 3‐2: Towers, masts and chimneys – Chimneys. Brussels, 2006.

EUROPEAN COMMITTEE FOR STANDARDIZATION. EN 10025‐2: Hot rolled products of structural steels – Part 2: Technical delivery conditions for non‐alloy structural steels. Brussels, 2004.

HAU, E. Wind Turbines: Fundamentals, Technologies, Application, Economics. 2 ed. Munich (Germany): Springer, 2006.

INTERNATIONAL ORGANIZATION FOR STANDARDIZATION. ISO 7411: Hexagon bolts for high‐strength structural bolting with large width across flats (thread lengths according to ISO 888) ‐ Product grade C ‐ Property classes 8.8 and 10.9. 1984.

INTERNATIONAL ORGANIZATION FOR STANDARDIZATION. ISO 4775: Hexagon nuts for high‐strength structural bolting with large width across flats ‐ Product grade B ‐ Property classes 8 and 10. 1984.

INTERNATIONAL ORGANIZATION FOR STANDARDIZATION. ISO 7415: Plain washers for high‐strength structural bolting hardened and tempered. 1984.

LAVASSAS, I. et al. Analysis and design of the prototype of a steel 1‐MW Wind turbine tower. Engineering Structures, v. 25, p. 1097‐1106, 2003.

SIRQUEIRA, A. S. Comportamento estrutural de torres de aço para suporte de turbinas eólicas. 2008. 112f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) – Faculdade de Tecnologia e Ciências, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2007.

SWANSON ANALYSIS SYSTEMS Inc. ANSYS Mechanical User's Guide. Release 14.5. Canonsburg (Pennsylvania, USA): South pointe, 275 Technology Drive, PA 15317, 2012.

SIEMENS. Siemens D3 platform – 3.0‐MW and 3.2 – MW direct drive wind turbines: Reduced complexity, increased profitability. Erlangen, Germany, 2014. Disponível em: <https://www.energy.siemens.com/br/pool/hq/power‐generation/renewables/wind‐power/platform20brochures/D3%20Onshore%20brochure_ENGLISH_Apr2014_WEB.pdf>. Acesso em: 12 ago. 2015.

TERZAGHI, K. Evaluation of coefficient of subgrade reaction. Geotechnique, v. 5, n. 4, p. 297‐326, 1955.




Geometric stiffness matrix for generic cross‐sections

Patrick Kherlakiana, Thiago Dias dos Santosb, Luiz Carlos Marcos Vieira Juniorc, Ronald D. Ziemiand, Saulo José de Castro Almeidae*

a, b, c, e* LabMeC, Dept. of Structural Engineering, University of Campinas Campinas, São Paulo, 13083‐970, Brazil, [email protected],

[email protected], [email protected], [email protected]* d Dept. of Civil and Environmental Engineering, 367 Breakiron Engineering

Building, Bucknell University Lewisburg, PA 17837, USA, [email protected]

Abstract

This paper presents the derivation of a geometric stiffness matrix, which considers cross‐sectional warping of a generic tridimensional thin‐walled member with open cross‐section. Additional terms were added to the derivation previously published to take in account uniform axial deformation together with bimoment contribution. The derivation is implemented in a new software developed by the authors: Structural System Analysis, SSA, which is based on the MASTAN2 kernel and written in MATLAB. A series of examples are presented and the results are compared to the solution given by a commercial finite element software. Satisfactory agreement was found when axial and major axis loading is applied; however, when a member is loaded in the minor axis direction, the results are considerably different indicating that more research shall be carried out to accurately predict the buckling load in the minor axis.

Keywords: Stiffness Matrix, Generic Cross‐Section, Warping.

* Correspondent Author

121

1 Introduction

Krajcinovic (1969) following the methods developed to perform a matrix analysis of

structures composed from solid beams, developed a general matrix formulation to

analyze thin‐walled beams. In his paper, Krajcinovic (1969) mentions: “Since the single

thin‐walled member is by itself statically undetermined regardless of boundary

conditions, the number of redundant forces is considerably higher than for a similar

structure assembled from solid beams”; based on his observation Krajcinovic (1969)

developed a matrix formulation which does not take in account non‐linearity and non‐

symmetric cross‐section.

In the following year Barsoum and Gallagher (1970) presented a set of stiffness matrices

to take in account torsional stability as well as flexural‐torsional stability, but the authors

cautioned the reader: “The measures of solution efficacy were less satisfactory for cases

where the torsional mode predominated. This factor stems from the use of a functional

representation which does not satisfy the basic governing differential equation.”

Yoo (1980) presents most of the development towards deriving a stiffness matrix for

solving linear static problems and eigenvalue problems, however, the authors does not

include in the paper the final matrices and it becomes difficult to implement such

solution. Conci (1992) presents the derivation of a geometric stiffness matrix for generic

cross‐section, however, the digital file with the resulting stiffness matrix is illegible and

the numerical analysis cannot be reproduced.

In this paper, we have revised the assumptions made by Conci (1992) and re‐derived the

geometric stiffness matrix for generic cross‐section; we have found some mistakes,

perhaps typos, which are correctly presented herein. We have also added to the

derivation presented by Conci (1992) additional terms to take in account uniform axial

deformation. Note that, the geometric stiffness matrix developed in this paper can be

simply added to a stiffness matrix previously developed for doubly symmetric sections

given in McGuire et al. (2000) and implemented in the software MASTAN2 (2016), a

MATLAB based structural analysis software. We have implemented this newly

developed geometric stiffness matrix into MASTAN2 (2016) and named this new

software by: Structural System Analysis (SSA). SSA is primarily based on MASTAN2 (2016)

122

and it is also written in MATLAB. We compared our development with a commercial

finite element software: Abaqus 6.14‐1.

2 Problem Definition

The derivation presented in this paper is based in the virtual displacement approach. In

order to apply the virtual displacement approach it is necessary to know: (i) the material

constitutive relationship, (ii) the strain‐displacement compatibility equation, and (iii) a

displacement shape function.

In the virtual displacement approach, the expression for internal work is given in terms

of strain, thus the displacement function (shape function) must be differentiated. For an

axial member, the strain is given by the first derivative of the longitudinal displacement,

while for torsion, the “strain” is given by the rate of change of the rotation about the x‐

axis, and for bending, the “strain” or curvature is given by the second derivative of the

transversal displacement. In a general format, the strain (e) is given by appropriate

differentiation of the shape functions vector with respect to the spatial coordinate, N' ,

multiplied by the vector of nodal point displacements, ∆,

.e N Δ (1)

In the same manner, it is necessary to derive an expression for the internal virtual work

in terms of virtual strain, δe. The virtual strain, δe, is given by the same vector of

differentiated shape function, N’, multiplied by the virtual vector of nodal point

displacements, δ∆,

.e N Δ (2)

McGuire et al. (2000) describe the principle of virtual displacement for deformable

structures as: “For a deformable structure in equilibrium under the action of a system

of applied forces, the external virtual work due to an admissible virtual displacement

state is equal to the internal virtual work due to the same virtual displacements”, which

is algebraically represented by:

.ext intW W (3)

Since the virtual displacements are arbitrary, the relationship between the vector of

element nodal forces, F, and the vector of nodal point displacements, ∆, is

123

,F kΔ (4)

where the general expression for an element stiffness matrix, k, is

Ω

,

e

TE dV k N N

(5)

where N’ and N’T are real and virtual vector of the differentiated shape function and E

is the relevant elastic constants.

Simple strength of materials principles for an element in pure torsion neglects resistance

to cross‐sectional out‐of‐plane warping and the torsional shearing stresses is in

equilibrium with the applied torque. When longitudinal displacement is restrained the

resistance to cross‐sectional out‐of‐plane warping shall be considered; note that, in this

case, the rate of twist along the length is no longer constant. This condition is known as

nonuniform torsion and it can be analyzed by introducing the rate of twist, ∂φ/∂x, which

is in equilibrium with the bimoment, B.

Bimoment, B, was first introduced by Vlasov (1961) and it can be easily understood in

Figure 1. Consider an axial force, P, applied on the tip of an I‐beam, Figure 1a. Figure 1a

is equivalent to superposing the effect of the axial force, Figure 1b, the bending moment

about z axis, Figure 1c, and the bending moment about the y axis, Figure 1d. When

summing all these components, however, the system is found to not be in equilibrium

and it is necessary to add the self‐equilibrated forces depicted in Figure 1e; these forces

are responsible for bending each flange in an opposite direction and, therefore, warping

the cross‐section due to a warping moment (aka bimoment).

Figure 1: Equivalent system of forces

124

For wide flange members, it is acceptable to admit that the bimoment corresponds to a

moment of opposite direction applied to each flange multiplied by the distance between

both flanges, which considerably simplifies the element stiffness equations. Traditional

cold‐formed steel cross‐sections, however, are not usually double symmetric sections

and, therefore, this assumption may lead to solutions that are not accurate.

Given that the bimoment exists, and following the nomenclature depicted in Figure 2,

the normal stress is given by

,yz

xz y

MMN By z

A I I I (6)

where,

• ω = sectorial area;

• Iω = Cω = warping constant.

Based on the virtual displacement principles, an updated Lagragian formulation can be

linearized McGuire et al. (2000), which results in

Δ

Ω Ω Ω

: : ,t tdV dV dV R Ce e T e T η

(7)

where C is the 4th stress‐strain tensor, T is the Cauchy stress tensor, e and η are defined

below. The first and second integral in Eq. (7) represents the conventional elastic

stiffness matrix and the forces acting on the element in the reference configuration,

respectively. The last integral is of our immediate interest. The usual definition of the

Green‐Lagrange strains expressed in terms of the reference state can be decomposed

into linear and nonlinear components, ɛ = e + η, where:

1,

2T e u u

(8)

and

1,

2T u uη

(9)

where u is the deformation gradient (u = u (x, y, z) is the deformation map). For this

work purpose, we need to rewrite last integral of Eq. (7) for a nonsymmetrical

framework element, as shown in Figure 2.

125

Figure 2: Internal Forces

For this framework, the stresses σy, σz and τyz can be not considered. Since τyx = τxy and

τzx = τxz, the only independent stresses at any point on a cross section are σx, τxy and τxz.

Thus, the tensors T, and η are reduced to:

, ,T

x xy xz T

, ,T

x xy xze e

, ,T

xx xy xz η

(10)

Using Eq. (10), last integral of Eq. (7) becomes:

22 2

Ω Ω

1

2yx z

x

uu udV dV

x x x

T η

Ω

1

2x x z z

xyu u u u

dVx y x y

Ω

1

2y yx x

xz

u uu udV

x z x z

(11)

Considering the Vlasov hypothesis of absence of shearing strain in the profile, supposing

rigid cross‐sectional shape and small twist angle about the shear center (Θx,T = 0), as well

as considered by Conci (1992), the displacement of a arbitrary point (x, y, z) is given by,

, , ,x x z y xu x y z u x zu x yu x y z x

, ,y y S xu x y z u x z z x

, ,z z S xu x y z u x y y x

(12)

where uy, uz and θx are displacements above the shear center S (yS, zS), ux is the

centroidal displacement C and signal ’ means derivation to the argument (ex.

/ ). Shear and center axes are shown in Figure 3.

126

Conci (1992) subdivided Eq. (11) in components with terms found in doubly symmetric

sections, , and in non‐symmetric cross‐sections, . Here, we also derived these two

components. Following Chen and Atsuta (2007), we have the identities:

2 2( )P y z S SI I I y z A

3 212y S

y

z zy dA zI

3 212z S

z

y yz dA yI

2 21w

w

wz wy dAC

(13)

Using the displacements of Eq. (12) and the coordinate system of the McGuire et al.

(2000), we have the symmetric and non‐symmetric components of Eq. (11), respectively:

2 2 2 2

02

lpS x

g x y z x

IFR u u u dx

A

0

l

z z xM u dx

0

l

y y xM u dx

0

l

y x y z xF u u u dx

0

l

z x z y xF u u u dx

(14)

0

lGg x y xS z xSR F z u y u dx

2

0

1

2

l

z z y y w xM M B dx

0

l

y S x xF y dx

0

l

z S x xF z dx

(15)

The symmetric and non‐symmetric geometric matrices are derived, respectively, from

Eq. (14) and Eq. (15).

127

3 Derivation of Stiffness Matrix

The derivation of the stiffness matrix was based on the following Hermite polynomials:

1 1 , m

2 3 2 3 2 3 23

31 3 2 , 2 , 3 2 , l l m

2 3 2 3 2 3 2 33 1 3 2 , 2 , 3 2 , l l m

(16)

in which ε = x/l. Given the degrees of freedom depicted in Figure 3, the following

variables can be defined as:

( , )z zA zBM M M ( , )y yA yBM M M

, x xA xBu uu

( , , , )y yA zA yB zBu u u

( , , , )z zA yA zB yBu u u

( , , , )x xA xA xB xB θ

(17)

Using Eq. (16) and Eq. (17), the internal forces, displacements and rotation are rewritten

using tensorial notation:

x xBF F /y zA zBF M M l

/z yA yBF M M l

1z zM m M

1y yM m M

1x xu m u

3 yyu m u

3z zu m u

3x x m

θ

(18)

Figure 3: Degrees of freedom for a generic section.

128

3.1 Derivation of Stiffness Matrix for Symmetric Cross‐sections

Using Eq. (18) in the Eq. (14), we have:

3 3

2 22 2

1 3

0

' ' ' '2

lpS xB

g x y z x

IFR dx

A

m u m u m u m

θ

1

0

33' 'l

z z x dx

m M m u m

θ

3 31

0

' 'l

y y x dx

m M m u m

θ

3 31 3

0

' ' 'l

zA zBx y z x

M Mdx

l

m u m u m u m

θ

33

0

31' ' 'l

yA yBx z y x

M Mdx

l

m u m u m u m

θ

(19)

The following tensor properties (Gurtin, 1982) are applied in the next step:

,a u b v a b u v (20)

TS u v Sv u v S u (21)

( )Ta b b a (22)

Using Eq. (20), Eq. (21), Eq. (22), grouping some parts and applying the virtual operator

δ we finally have the symmetric cross‐section geometric matrix:

1 10

' 'l

Sg x xB xR F dx u m m u

3

03' '

l

y xB yF dx

u m m u

3 3

0' '

l

z xB zF dx u m m u

3

03' '

lpx xB x

IF dx

A

m m

θ θ

1 33

0' '

l

z z xdx

u m M m m

θ

1 33

0' '

l

x z zdx

m M m m u

θ

(23)

129

1 3 3

0' '

l

y y xdx

u m M m m

θ

1 3 3

0' '

l

x y ydx

m M m m u

θ

1

03' '

lzA zB

x y

M Mdx

l

u m m u

1

03' '

lzA zB

y x

M Mdx

l

u m m u

3

03'

lzA zB

z x

M Mdx

l

u m m

θ

3 3

0'

lzA zB

x z

M Mdx

l

m m u

θ

1 30

' 'lyA yB

x z

M Mdx

l

u m m u

3 10

' 'lyA yB

z x

M Mdx

l

u m m u

0

3 3'lyA yB

y x

M Mdx

l

u m m

θ

3

03'

lyA yBx y

M Mdx

l

m m u

θ

3.2 Derivation of Stiffness Matrix for Non‐Symmetric Cross‐sections

Similar to symmetric cross‐sections, applying Eq. (18) in the Eq. (15), and using the

tensor properties Eq. (20), Eq. (21), Eq. (22), and grouping some terms, we have:

3 3 33

0 0

' ' ' 'l l

Gg xB S y x xB S z xR F z dx F y dx

m m u m m u

θ θ

31 1 1

0

3

1' '

2

l

z z y y w x xdx m M m M m B m m

θ θ

0

3 3'l

zA zBS x x

M My dx

l

m m

θ θ

0

3 3'l

yA yBS x x

M Mz dx

l

m m

θ θ

(24)

Applying the virtual operator δ and using the tensor properties, we finally have the non‐

symmetric cross‐section geometric matrix:

130

3 3 3 3

0 0

' ' ' 'l l

Gg x xB S y x xB S zR F z dx F y dx

m m u m m u

θ θ

3 3

0

3 3

0

' ' ' 'l l

y xB S x z xB S xF z dx F y dx

u m m u m m

θ θ

31 31 1

0

' 'l

x z z y y w xdx m M m M m B m m

θ θ

0

3 3 3 3' 'l

zA zBx S x

M My dx

l

m m m m

θ θ

0

3 3 3 3' 'l

yA yBx S x

M Mz dx

l

m m m m

θ θ

(25)

Based on the development depicted previously, KG,Symmetric (from Eq. 23) and

KG,Non−Symmetric (from Eq. 25) are presented in the appendix section.

4 Examples

In order to validate the symmetric and non‐symmetric stiffness matrices, we

implemented them both in SSA. Six examples will be given, where the first ten elastic

buckling modes were computed and compared with the obtained in the software

Abaqus 6.14‐1, where the element B31OS was used. B31OS is a tridimensional open

section beam element that uses linear interpolation, Abaqus (2014). Yoo (1980) reports

that elastic buckling loads converge to the same value once the member is discretized

into 16 elements; thus, all examples herein are conservatively modeled with 32 equal

size elements. Two different loads were applied in all examples studied herein: unitary

axial load to the center of gravity, Fx, and loads applied to the shear center in the major

cross‐section axis direction. The effect of loading applied to the minor axis has small

practical importance, but the authors have found that further studies have to be

conducted in the topic, since, in our examples, it was not found a satisfactory agreement

when loading is applied in the minor axis, for both: symmetric and non‐symmetric cross‐

sections.

131

4.1 Example 1

A beam with length of 7,320 mm was analyzed. It has a symmetric I cross‐section with

web of 508 mm and flanges of 305 mm. The cross‐section thickness was defined with 13

mm. It was used an isotropic material of Young’s Modulus of 200 GPa and Poisson’s Ratio

of 0.25. The boundary conditions presented in Figure 4 are considered and two load

cases are applied: a concentrated axial load, Fx, and a concentrated load at mid‐length

in the direction of the y‐axis, Fy. The results are tabulated in Table 1. The first ten

buckling loads calculated by Abaqus and SSA had an average difference of 5.8% and 5.1%

for Fx and Fy loads, respectively, which is considered a satisfactory agreement between

both models.

(0) (0) (L) (0) (L) 0x y y z zu u u u u

(0) ( ) (0) ( ) (0) ( ) 0x x y y z zL L L

(0) (L) 0x x

Figure 4: Boundary Conditions for Example 1.

Table 1: Buckling Loads for Example 1.

Modes SSA Abaqus Abaqus/SSA SSA Abaqus Abaqus/SSA Fx (N) Fx (N) Fy (N) Fy (N)

1 9058576 8915390 0.98 2802455 2754150 0.982 13209187 13179900 1.00 11195287 10867000 0.973 18531689 17873900 0.96 23916965 22808200 0.954 25630697 25353800 0.99 40690609 39223300 0.965 36235416 34044800 0.94 58393375 55575600 0.956 48844502 47798500 0.98 77008669 73774500 0.967 54779359 49849210 0.91 86351502 78237100 0.918 73160032 70522700 0.96 98747694 91291400 0.929 81540406 71203700 0.87 125752176 117642000 0.9410 96317211 79893900 0.83 164743938 156054000 0.95

4.2 Example 2

The problem examined in this subsection presents the same cross‐section depicted in

Figure 5a with thickness of 2 mm and beam length of 2,000 mm. The material is

considered isotropic and has a Young’s Modulus of 205 GPa and a Poisson’s Ratio of

0.30. The boundary conditions are presented in Figure 5b and a concentrated axial load,

Fx, and the effect of a distributed load, qy is analyzed. The results of computer analyses

are tabulated in Table 2. The average difference between Abaqus and SSA’s buckling

132

loads was 2.2% and 3% for Fx and qy loads, respectively. The models lead to a satisfactory

agreement for both applied loads.

(a)

(b)(0) (0) (L) (0) (L) 0x y y z zu u u u u

(0) ( ) 0x x L

Figure 5: (a) Channel section, units in mm and (b) Boundary conditions for example 2.


Modes SSA Abaqus Abaqus/SSA SSA Abaqus Abaqus/SSA Fx (N) Fx (N) qy (N/mm) qy (N/mm)

1 44015 42789 0.97 6.02 6.03 1.002 52689 52658 1.00 24.97 25.03 1.003 136347 132934 0.97 58.31 58.65 1.014 210758 210263 1.00 105.94 107.10 1.015 289980 283458 0.98 167.89 170.87 1.026 474209 471700 0.99 244.18 250.62 1.037 505043 495319 0.98 334.83 347.11 1.048 533749 578936 1.08 439.89 461.48 1.059 781571 769679 0.98 559.41 594.81 1.0610 843056 835111 0.99 693.50 749.00 1.08

4.3 Example 3

A beam of 12,000 mm length with cross‐section depicted in Figure 6 was tested with the

same boundary conditions of Example 2. A concentrated axial load, Fx, and the effect of

a distributed load, qy is analyzed. This cross‐section was based on Palermo (1985). The

material used has Young’s Modulus of 205.9 GPa and Poisson’s Ratio of 0.3125. The

thickness was 10 mm. SSA and Abaqus results are compared in Table 3. While there is a

satisfactory agreement when axial Fx loading is applied, when qy is applied the difference

is as high as 58% for the 10th mode. This difference occurs only in cases where there is

not a single symmetry axis. Note that for the first buckling mode, usually the mode with

most practical interest in design calculation, a difference of only 5% has been found. A

possible reason for this divergence is due to the considerations taken in account while

deriving the stiffness matrix implemented in Abaqus. According to the commercial

software documentation theory guide (Abaqus, 2014), the derivation of the stiffness

133

matrix of element B31OS considers transverse shear strain while our derivation

implemented in SSA and presented herein does not consider it.

Figure 6: Gutter beam cross‐section. Units in mm.



1 270075 270173 1.00 4.02 4.32 1.052 475818 475720 1.00 9.91 11.47 1.163 609581 610365 1.00 17.46 21.28 1.224 822679 827485 1.01 27.16 34.62 1.275 1108739 1124430 1.01 39.23 51.88 1.326 1129922 1132177 1.00 53.84 73.55 1.377 1473841 1512871 1.03 71.00 100.03 1.418 1919161 2001439 1.04 90.71 132.39 1.469 2445190 2530900 1.04 112.78 171.62 1.5210 2519132 2600233 1.03 138.27 218.69 1.58

4.4 Example 4

The same beam of Example 2 is analyzed, however, with the boundary conditions used

in Example 1. A concentrated axial load, Fx, and the effect of a distributed load, qy, is

analyzed. The results are presented in Table 4. Both models lead to similar results: the

average difference is 1.2% for both Fx and qy loads.



1 136347 133236 0.98 48.81 48.59 1.002 210758 210263 1.00 146.86 145.84 0.993 264879 259305 0.98 319.20 316.53 0.994 431160 428601 0.99 548.49 550.83 1.005 505043 496347 0.98 777.35 787.00 1.016 756596 746114 0.99 1044.83 1082.60 1.047 843056 835111 0.99 1275.30 1277.20 1.008 1119612 1110200 0.99 1488.03 1487.50 1.009 1274501 1254870 0.98 1701.29 1725.40 1.0110 1494287 1489060 1.00 2068.08 2158.60 1.04

134

4.5 Example 5

The same beam length and cross‐section of Example 3, however, with boundary

conditions presented in Example 1 was analyzed. A concentrated axial load, Fx, and a

distributed load, qy, were applied. Results are shown in Table 5. The mean buckling load

difference for Fx load is 3.6%, which corresponds to a satisfactory agreement. For the

distributed load, qy, one can note larger difference: mean difference of 12.7%, maximum

difference of 26% for the 10th mode. For the first mode, Abaqus and SSA generate the

same buckling load. We understand that this difference can be explained by the same

comment delineated in Example 3: consideration of transverse shear strain in the

Abaqus geometric stiffness derivation. One can note the difference shown in this

example for qy load is smaller than the difference observed In Example 3. We associate

this differences to the constraints imposed in this example.

Table 5: Example 5 Buckling Loads


1 609581 610366 1.00 19.6 19.6 1.002 788847 792966 1.01 46.1 52.0 1.123 1108740 1124430 1.01 87.3 100.0 1.144 1129922 1132178 1.00 143.2 163.8 1.145 1440891 1477960 1.03 201.0 229.5 1.146 1919161 2001439 1.04 274.6 312.8 1.147 2291618 2300836 1.00 341.3 381.5 1.128 2412338 2563458 1.06 426.6 456.0 1.079 3052320 3321905 1.09 464.8 527.6 1.1410 3707796 4142329 1.12 519.8 653.1 1.26

5 Conclusion

A geometric stiffness matrix, which considers cross‐sectional warping of a generic cross‐

section, is presented herein. The geometric stiffness matrix developed herein was

implemented in MASTAN2 (2016), which lead to the creation of a new software

Structural System Analysis, SSA; both software were developed in MATLAB. Additional

terms were added to the derivation presented by Conci (1992) to take in account

uniform axial deformation. The results are compared to commercial finite element

software, Abaqus 6.14‐1, and it was found that there is a satisfactory agreement when

axial Fx and distributed qy loads are applied for the selected examples The authors,

135

however, show that Abaqus models did not lead to results similar to the results

presented herein when a member is loaded in the minor axis direction. These

differences occur only in cases where there is not a single symmetry axis. Nevertheless,

for the first buckling mode, usually the mode with most practical interest in design

analysis, a difference of only 5% has been found. The derivation of the stiffness matrix

of Abaqus element B31OS considering transverse shear strain is a potential reason for

this divergence since our derivation does not consider it. Although loading in minor axis

is not usual, the authors recommend that more research shall be carried out to

accurately predict the buckling load when the element is loaded in the minor axis.

6 References

ABAQUS (2014). 6.14 Documentation. Dassault Systemes Simulia Corporation

BARSOUM, R. S. and GALLAGHER, R. H. (1970). Finite element analysis of torsional and torsional–flexural stability problems. Int. J. Numer. Meth. Engng, 3(2): 335–352.

CHEN, W. and ATSUTA, T. (2007). Theory of Beam‐Columns, Volume 2: Space Behavior and Design. J. Ross Publishing.

CONCI, A. (1992). Stiffness Matrix for Nonlinear Analysis of Thin‐Walled Frames. J. Eng. Mech., 118(9): 1859–1875.

GURTIN, M. E. (1982). An Introduction to Continuum Mechanics. Academic Press, USA.

KRAJCINOVIC, D. (1969). A consistent discrete elements technique for thinwalled assemblages. Int. J. Solids Struct., 5(7): 639–662.

MCGUIRE, W., GALLANGER, R. H. and ZIEMIAN, R. D. (2000). Matrix Structural Analysis, 2nd edn. John Wiley & Sons, USA.

PALERMO, L. (1985). Esforços de flexão e flexo‐torção em teoria de 2a. ordem: automatizacão do cálculo. Master’s Thesis in Portuguese, EESC‐USP, Sao Paulo, Brazil.

VLASOV, V. Z. (1961). Thin‐Walled Elastic Beams, 2nd edn. National Science Foundation, Washington, D.C., USA.

YOO, C. H. (1980). Bimoment contribution to stability of thin‐walled assemblages. Comput. & Struct., 11(5): 465–471.

ZIEMIAN, R. D. and MCGUIRE W. MASTAN 2. Version 3.5. 2016. Available at: <http://www.mastan2.com/download.html>

136

Appendix A. Geometric Stiffness Matrix KG,Symmetric and KG,Non−Symmetric are depicted respectivelly:

2 2

2

2

,Sy

0 0 0

1160 0

5 10 10

6 110

5 10 10

6 ( 2 )11 2

10 5 10 10

20 0

15

20

15

xA yA zA xA yA zA xB

yA yBxB zA zB xB

yB yAxB xB zA zB

yA yBxB zB zA xB

xB p yA yBzB zA zA zB

xB

xB

xG mmetric

u u u u

M MF M M F

L LL L

M MF F M M

L L L

M MF M M F

L L L

F I M MM M M M

L AL

F L

F L

FK

q q q

++- -

- +- -

+-- -

- -- +-

= B

L

éêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêë

137

' '

2 20 0 0 0 0

1160 0

5 10 10 10 10

6 110 0

5 10 10 10 10

11 6 (2 )11 ( 2 )

10 10 5 10 10 10 10

0

yB zB xB yB zB xA xB

yA yBzA zB

yA yB yA yBxB xB

xB zA zB xB zA zB

yB yA xB p yA yB xB p xB pzB zA zA zB

u u

M MM M

L L

M M M MF F

L L

F M M F M M

L L

M M F I M M F I F IM M M M

L L AL A A

F

q q q q q

++-

-- - -

-- - -

- +- - --

2 2

( 2 ) ( ) L(3 ) L0

10 10 30 30 30

( 2 ) L(3 ) (L )( )0 0

10 10 30 30 30

0 0 0 0 0

1160 0

5 10 10 10 10

6 110

5 10 10 10 10

6

5

xB zA zB xB zB zA zA

yA yB yA yB yAxB xB

yA yBzA zB

yA yB yA yBxB xB

xB zA zB xB zA zB

xB p

M M F L M M M

M M M M MF F L

M MM M

L L

M M M MF F

L L

F M M F M M

L L

F I

- - --

+ -- - -

++-

-- -

--

( 2 )(2 )

10 10 10 10

2 L( 3 )0

15 30 30

L( 3 )2

15 30 30

2

15 30

2

15

yA yB xB p xB pzA zB

xB zB zA zB

yB yA yBxB

xB p xB p

xB p

M M F I F IM M

AL A A

F L LM M M

LM M MF L

F I L F I L

A A

F I L

A

ùúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúú- -+ ú- - úúú

- ú- - ú

úúúú- úúúúúú

- úúúúúúûú

138

44

,Non Sy

0 0 0 0 0 0 0

60 0 0 0 0

5

60 0 0 0

5

010 10

0 0 0

0 0

0

xA yA zA xA yA zA xB

xB s

xB s

xB s xB s

G mmetric

u u u u

F z

L

F y

L

F y F zK

K

q q q

-

éêêêêêêêêê -êêêêêêêêêêêêêêê= êêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêë

44

3 3 3 3 3 3 5 5 5 5

5A w B w y yA y yB z zA z zB zAy zBy yAz yBzS S S S

B B M M M M M M M Mk

L

139

' '

4,10 4,13 4,14

0 0 0 0 0 0 0

60 0 0 0

5 10 106

0 0 0 05 10 10

6 6

5 5 10 10( ) 2

0 0 0 010 15 30

20 0 0 0

10 15 300 0 0 0 0 0 0

yB zB xB yB zB xA xB

xB s xB s xB s

xB s xB s xB s

xB s xB s xB s xB s

xB s xB s xB s

xB s xB s xB s

u u

F z F z F z

LF y F y F y

LF z F y F y F z

K K KL L

F y F Ly F Ly

F z F Lz F Lz

q q q q q

-

- -

-

- -

- -

10,10 4,13 4,14

13,13 13,14

14,14

60 0 0 0

5 10 106

0 0 05 10 10

10 102

0 030 15

20

30 15

xB s xB s xB s

xB s xB s xB s

xB s xB s

xB s xB s

xB s xB s

F z F z F z

LF y F y F y

LF y F z

K K K

F Ly F Ly

F Lz F Lz

K K

K

ùúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúú- - úúú

- úúúú- - - - úúúú- úúúú-úúúúúû

4,10

3

5

A w B w y yA y yB z zA z zBB B M M M Mk

L

4,13 10B w y yB z zBB M M

k

4,14 10A w y yA z zAB M M

k

10,10

3 3 3 3 3 3 5 5 5 5

5A w B w y yA y yB z zA z zB zAy zBy yAz yBzS S S S

B B M M M M M M M Mk

L

13,131

3 3 330 A w B w y yA y yB z zA z zBk L B B M M M M

13,141

60 A w B w y yA y yB z zA z zBk L B B M M M M

14,141

3 3 330 A w B w y yA y yB z zA z zBk L B B M M M M




Estudo do Comportamento de Conectores Crestbond por meio de Simulação Numérica Hermano de Sousa Cardoso1*, Rodrigo Barreto Caldas1, Ricardo Hallal Fakury1 e

Gustavo de Souza Veríssimo2

1 Universidade Federal de Minas Gerais, Programa de Pós‐Graduação em Engenharia de Estruturas, Av. Antônio Carlos, 6627 ‐ Escola de Engenharia, Bloco I – 4º andar – Sala 4215– Pampulha – Belo Horizonte – MG – Brasil,

[email protected], [email protected], [email protected]

2 Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal de Viçosa, Av. P. H. Rolfs, s/n, Campus Universitário, Viçosa, MG, Brasil,

[email protected]

Study of Behavior of Crestbond Connectors by Numerical Analysis

Resumo Os conectores de cisalhamento constituídos por chapas de aço com recortes regulares, nomeados como composite dowels, podem apresentar diversas geometrias, uma das quais caracteriza o conector Crestbond. Neste trabalho, é mostrado o comportamento desse conector quando utilizado de formas contínua e descontínua em vigas mistas a partir de simulações numéricas utilizando o software comercial Abaqus. Ao final, ficou constatado o surgimento de fissuras na linha de ação dos conectores e nas extremidades das lajes caracterizando a falha do concreto por cisalhamento. Constatou‐se também que quando o conector é utilizado de forma contínua, a capacidade média de um componente (dowel) de concreto para resistir a esforços de cisalhamento permanece a mesma, independentemente do número de componentes. Palavras‐chave: vigas mistas de aço e concreto, conectores Crestbond, ensaios de cisalhamento, análise numérica, conectores em chapa.

Abstract The shear connectors composed by steel plates with regular cutouts, known as composite dowels, may present different shapes, one of them is denominated as Crestbond. This study shows the behavior of this connector, when applied to composite beams both in continuously and discontinuous modes through numerical simulation by using the commercial software Abaqus. At the end, it was observed the appearance of cracks in the line of action of the connectors and at the outer slab region which leads the concrete shearing failure. It was also noted that whenever the connector is used continuously, the concrete dowel average strength to resist shearing loads remains constant, regardless the number of dowels. Keywords: steel and concrete composite beams, Crestbond shear conectors, push‐tests, numerical analysis, composite dowels.

* Autor correspondente

141

1 Introdução

Nas duas últimas décadas, têm sido bastante estudados, em especial no Brasil e na

Europa, conectores de cisalhamento constituídos por chapas de aço com recortes

regulares, denominados genericamente na literatura em língua inglesa como composite

dowels, por apresentarem dowels de aço (componentes de aço) e dowels de concreto

(componentes de concreto) (Figura 1). Esses dispositivos podem ser utilizados de forma

descontínua (nesse caso, o conector é denominado descontínuo – Figura 2a) ou

contínua (conector contínuo – Figura 2b). Na Figura 2b pode‐se observar,

adicionalmente, uma das vantagens desse tipo de conector, que é a de permitir com

facilidade o posicionamento de barras de aço da armadura entre suas aberturas.

Figura 1 – Conector em chapa com recortes regulares.

(a) Descontínua (b) Contínua (com armadura passante)

Figura 2 – Formas de utilização dos conectores (Veríssimo, 2007).

Os conectores de cisalhamento constituídos por chapas podem apresentar diversas

geometrias de recortes, algumas das quais, com suas denominações, são mostradas na

Figura 3. Grande parte dos estudos envolvendo esse tipo de conector foi realizado com

o intuito de definir qual geometria conduz a uma maior capacidade resistente,

mantendo características importantes para o projeto, como elevada rigidez em estado‐

limite de serviço e alta ductilidade em estado‐limite último, além de baixo custo de

fabricação.

Dowel (componente) de concreto

Dowel (componente) de aço

142

Figura 3– Algumas geometrias de conectores em chapas com recortes regulares.

A primeira publicação com a denominação de conector Crestbond (Figura 3a) ocorreu

em 2006, descrevendo um estudo experimental desenvolvido por Veríssimo et al.

(2006). Nesse mesmo ano, o projeto europeu Preco‐Beam (Biegus e Lorenc, 2015) foi

aprovado, sendo financiado pelo fundo Research Fund for Coal and Steel. Esse projeto

estudou diversas geometrias de conectores, e com a sua finalização, foram publicados

dois manuais de projeto: Preco‐Beam (Seidl et al., 2013a) e Preco+ (Seidl et al., 2013b).

Esses manuais apresentam prescrições para o dimensionamento dos conectores

clothoid‐shaped (Figura 3b) e puzzle‐shaped (Figura 3c). Há uma forte perspectiva que

as prescrições para essas duas geometrias sejam inclusas na próxima versão da norma

europeia de estruturas mistas de aço e concreto (atual EN 1994‐1‐1:2004) ou dispostas

na forma de um anexo suplementar (Feldmann et al., 2016).

Segundo Lorenc (2017), os conectores composite dowels foram empregados pela

primeira vez em projetos de pontes na década passada, ao mesmo tempo que estudos

sobre esse tema eram desenvolvidos. O autor ainda comenta que até no final de 2016,

pelo menos 34 pontes utilizando conectores composite dowels foram construídas.

Percebe‐se assim, a importância do desenvolvimento contínuo de estudos no Brasil

utilizando esses tipos de conectores e demonstrando ao mercado brasileiro a sua

aplicabilidade.

O conector Crestbond permanece sendo bastante estudado, visando seu

aprimoramento dimensional e definição do seu comportamento sob condições

distintas. Diversos trabalhos têm sido realizados estudando essa geometria a partir de

2006 (Veríssimo et al., 2006; Veríssimo, 2007; Silva, 2011; Silva, 2013; Dutra, 2014,

Aguiar, 2015; Petrauski, 2016). Mais recentemente, foram desenvolvidos estudos sobre

(a) Crestbond (Cardoso, 2016)

(b) clothoidal‐shaped (Berthellemy et al., 2011)

(c) puzzle‐shaped (Schmitt et al., 2004)

143

o comportamento do conector Crestbond em situações específicas, como na região de

introdução de forças de pilares mistos preenchidos com concreto em temperatura

ambiente (Cardoso, 2016) e em temperatura elevada (Prado e Caldas, 2016).

Neste trabalho é discutido o comportamento dos conectores Crestbond quando

aplicados em elementos de vigas mistas, a partir de análises numéricas efetuadas pelo

Método dos Elementos Finitos com a utilização do Programa Abaqus (Hibitt et al., 2014).

Para atingir esse objetivo, foi efetuada primeiro a calibração do modelo numérico

considerando os modelos experimentais de ensaios de cisalhamento padrão realizados

por Veríssimo (2007), com conectores descontínuos. Após a calibração, foi analisado o

comportamento desses conectores e efetuadas análises também do comportamento

dos conectores contínuos.

2 Ensaios para a Caracterização da Capacidade Resistente do Conector

A norma europeia de estruturas mistas de aço e concreto EN 1994‐1‐1:2004 apresenta

os procedimentos para o ensaio de cisalhamento padrão (standard push test ‐ Figura 4)

para a caracterização de conectores a serem utilizados em vigas mistas de aço e

concreto. Nesse ensaio, são adotados conectores de cisalhamento soldados em perfis H

posicionados entre duas lajes de concreto.

Figura 4 – Ensaio de cisalhamento padrão (standard push test) (adaptado de Veríssimo, 2007).

Lorenc et al. (2010) propõem uma adaptação desse ensaio, na qual é eliminada a parcela

de força resistida pela região frontal do conector nos ensaios, como se observa na

Figura 5, aplicando‐se um material de resistência desprezável, como uma camada de

isopor. Ensaios com essa adaptação foram os utilizados no projeto Preco‐Beam. Como

P

(a) vista frontal (b) vista lateral (c) vista superior

144

o conector permite o corte simétrico, pode‐se realizar o corte na alma de um perfil I ou

H para obter o formato desejado do conector. Assim, com o procedimento de corte no

perfil original, dispõem‐se de dois novos perfis em formato de T e com o conector

situado na extremidade da alma desses perfis. Posteriormente, as mesas dos dois perfis

T são soldadas entre si, e os conectores são dispostos internamente nas duas lajes de

concreto (Figura 5).

Figura 5 – Ensaio de cisalhamento adaptados para conectores contínuos.

Observando‐se ainda a Figura 5, percebe‐se que há também a contenção da laje

impedindo o seu desprendimento em relação ao perfil de aço. O uso dessa restrição é

aconselhada para simular o uso dos conectores em vigas mistas de pontes, nas quais

além de haver a continuidade da laje de concreto e do conector, é utilizada, na maioria

dos casos, alta taxa de armadura (Figura 3c).

3 Comportamento de Conectores Crestbond em Ensaios de

Cisalhamento Padrão

Neste item são descritos os ensaios de cisalhamento padrão com conectores Crestbond

de geometria CR56b e com conectores constituídos por chapas sem furos, realizados por

Veríssimo (2007), mostrados na Figura 6. Na designação CR56b, 56 indica o diâmetro em

milímetros da circunferência inscrita no componente de concreto, e b indica uma versão

do conector, na qual os componentes de aço intermediários e externos possuem as

(a) ilustração do ensaio (adaptado de Classen e Gallwoszus, 2016)

(b) perfil de aço e conector (adaptado de Lorenc et al. 2014)

145

larguras mínimas iguais (na Figura 6a, essas larguras são iguais a 50 mm). Os conectores

constituídos por chapas sem aberturas tinham dimensões externas iguais às dos

conectores Crestbond, e foram designados como CR 56b‐SF.

Figura 6 – Conectores ensaiados por Veríssimo (2007).

Essa parte do programa experimental incluiu ao todo 16 modelos, subdivididos em duas

séries: B e C. As características e propriedades dos modelos dessas séries são

apresentadas na Tabela 1. Como pode‐se observar, essas séries eram diferenciadas pela

resistência à compressão do concreto (fc). Na série B, essa resistência nos dias dos

ensaios variou entre 25 MPa e 30 MPa. Na série C, variou entre 45 MPa e 50 MPa. Nas

duas séries existiam quatro variações de modelos, sendo três com conectores CR56b e

uma com conectores CR56b‐SF. As variações com conectores Crestbond se deviam à

utilização de diferentes taxas de armadura passante nos componentes de concreto: sem

armadura, com uma barra de armadura de 10 mm e com uma barra de armadura de

12 mm. Nota‐se, na Tabela 1, onde indica o diâmetro da barra da armadura, que os

modelos agrupados em pares (ex: B1 e B2, C1 e C2, B3 e B4, etc.) apresentam as mesmas

características, podendo‐se considerá‐los pares de modelos semelhantes.

Tabela 1 ‐ Características e propriedades dos modelos das séries B e C.

Série B Série C

Modelo Designação fc

(MPa)Φ

(mm)Modelo Designação

fc (MPa)

Φ

(mm)

B1 CR56b 26,6 0 C1 CR56b 46,9 0

B2 CR56b 26,6 0 C2 CR56b 48,1 0

B3 CR56b 27,2 10 C3 CR56b 49,1 10

B4 CR56b 26,9 10 C4 CR56b 48,7 10

B5 CR56b 28,5 12 C5 CR56b 48,7 12

B6 CR56b 24,8 12 C6 CR56b 45,9 12

B7 CR56b‐SF 28,3 0 C7 CR56b‐SF 49,4 0

B8 CR56b‐SF 24,8 0 C8 CR56b‐SF 49,7 0

(a) conector Crestbond CR56b

(b) conector constituído por chapa CR 56b‐SF

146

Algumas características comuns a todos os modelos podem ser citadas:

os conectores e os perfis H possuíam resistência ao escoamento (fy) e resistência

à ruptura (fu) iguais 324 MPa e 489 MPa, respectivamente;

os modelos possuíam barras de armadura de diâmetro de 10 mm acima e abaixo

dos conectores ‐ ver barras designadas como N2 na Figura 4;

as espessuras do conector e da laje de concreto eram iguais a 12 mm e 150 mm,

respectivamente;

os perfis H possuíam altura e largura das mesas de 260 mm, espessura das mesas

e das almas de 17,5 mm e 10 mm respectivamente.

4 Modelo Numérico

A modelagem numérica foi realizada através do software comercial de elementos finitos

Abaqus (Hibitt et al., 2014). Os modelos foram simulados tomando‐se apenas um quarto

da sua geometria, devido à dupla simetria, como pode ser observado na Figura 7a. O

método de convergência utilizado foi o Dynamic Implicit, geralmente utilizado em

problemas dinâmicos, podendo ser empregado também em problemas quase‐estáticos.

O processo interativo se deu por controle de deslocamento, prescrevendo um

deslocamento de magnitude de valor U, como pode‐se observar na extremidade

superior do perfil H na Figura 7b. Os valores de deslocamentos prescritos foram iguais

aos descolamentos máximos obtidos nos ensaios experimentais.

Figura 7 – Modelos numéricos de ensaios de cisalhamento utilizando conectores Crestbond.

Conector Crestbond

Barras da armadura de aço

Laje de concreto

Perfil H de aço

U

RP‐1

(a) malha e designação dos componentes

(b) partição adotada para a varredura da malha e representação do deslocamento

controlado

147

A laje de concreto, o perfil de aço e os conectores de cisalhamento foram modelados

com elementos hexaédricos do tipo C3D8. Para as barras de armadura envolvidas pelo

concreto, foram utilizados elementos de viga B31. O contato entre concreto, perfil de

aço e conectores de cisalhamento foi simulado através de interações face a face.

Baseando‐se na calibração numérica realizada nos estudos de Aguiar (2015), para o

contato entre o Crestbond e o concreto foi adotado um coeficiente de atrito estático (μ)

igual a 0,5. Nas regiões de contato restantes, não foi adotado atrito. Para as barras de

armadura de aço, foi utilizada a ferramenta embedded, que permite que haja uma

aderência completa delas com o concreto. Na Figura 8 são representadas as condições

de contorno adotadas nos modelos.

Figura 8 – Condições de contorno adotadas para o modelo numérico.

O diagrama de tensão versus deformação, que representa a lei constitutiva dos

conectores Crestbond e do perfil de aço, é ilustrado na Figura 9a. Esse diagrama foi

utilizado no estudo de Aguiar (2015), e possui um trecho elástico seguido de um patamar

de escoamento e de uma região de encruamento e, posteriormente, um

descarregamento simulando a ruptura do material. Para as barras de aço da armadura

presentes na laje de concreto, um comportamento elastoplástico perfeito foi adotado,

como pode ser observado na Figura 9b.

Figura 9 – Representação das leis constitutivas.

Restrição para a translação lateral

Restrição somente para translação vertical

Tensão

Deformação

E Er

Tensão

fyr

fy

Deformação

fu

(a) conector Crestbond e perfil de aço (b) armaduras de aço

148

Para levar em conta o efeito de dano e do confinamento no núcleo de concreto, foi

utilizado o modelo constitutivo Concrete Damage Plasticity, que permite simular a perda

de rigidez do concreto após atingir o ponto de sua resistência máxima. Nesse modelo

constitutivo foram adotados os seguintes parâmetros: ângulo de dilatância (ψ) igual a

28o; razão entre as resistências à compressão nos estados biaxial e uniaxial (σb0/σc0) igual

a 1,16; razão entre o segundo invariante de tensão no meridiano de tração e o segundo

invariante de tensão no meridiano de compressão (Kc) igual a 2/3; viscosidade (μvis) igual

a 5 x 10‐5, e; excentricidade (ϵ) igual a 0,1. Uma descrição sucinta dos parâmetros

supracitados pode ser encontrada na documentação técnica do programa (Hibitt et al.,

2014).

O comportamento do concreto à compressão foi representado através da lei

constitutiva representada pelo diagrama ilustrado na Figura 10a (o valor de 40 MPa é

apenas uma exemplificação). Nesse diagrama, considera‐se que o concreto se comporta

linearmente até atingir 40% do valor da resistência à compressão média fcm.

Posteriormente, em cor vermelha, é utilizada a formulação proposta pela norma

europeia EN 1992‐1‐1:2004. Contudo, a formulação proposta pela norma europeia se

limita a uma deformação última de εcu1, correspondente à tensão fcu1, no ponto D.

Entretanto, nas estruturas mistas em que se utilizam conectores de cisalhamento,

podem ocorrer elevadas deformações por esmagamento na região do concreto em

contato com os conectores. Dessa maneira, a resistência do concreto pode ser

superestimada caso não sejam consideradas deformações superiores a εcu1. Para

contornar essa situação, foi utilizada uma extensão para o trecho de curva obtida com

a formulação da norma EN 1992‐1‐1:2004, conforme proposta de Pavlović et al. (2013).

O comportamento do concreto à tração foi representado através de curvas de tensão

versus tamanho de abertura por fissura fictícia. O primeiro ponto dessa curva tem como

tensão a resistência média do concreto à tração (fctm), a partir do qual é representada a

perda de resistência devida ao processo de fissuração. Na Figura 10b é apresentado um

diagrama com uma curva com tensão fctm igual a 3,0 MPa (valor de fctm escolhido para

exemplificação) e com abertura de fissura crítica (wc) igual a 1,0 mm, valor que define o

tamanho necessário de abertura de fissura para que o concreto tenha resistência nula

(fctm = 0). Por motivos de convergência, o último ponto da curva é estabelecido quando

149

a tensão é igual a 5% de fctm. Neste trabalho, após a calibração com os modelos

experimentais de Veríssimo (2007), adotou‐se para wc o valor de 1,0 mm. Os valores de

fctm foram estimados a partir dos valores de fcm (obtidos em ensaios de compressão de

corpo de prova), conforme a Tabela 3.1 da norma EN 1992‐1‐1:2004.

Figura 10 – Diagramas tensão versus deformação para material concreto.

As curvas de tensão versus tamanho de abertura por fissura fictícia que estabelecem a

lei constitutiva do concreto à tração foram obtidas por meio de uma função polinomial

cúbica de Bézier, representada por:

1,0)1(313)1()(),()( 33

22

12

03

tPtPtttPtPtt

ft

w

wtB

ctm

t

c

onde t é um parâmetro que varia de 0 a 1,0, w é largura em milímetros da abertura por

fissura fictícia, wc é a abertura de fissura crítica, σt é a tensão de tração, fctm é a

resistência do concreto à tração e P0, P1, P2 e P3 são parâmetros de ajuste da curva. Neste

trabalho, foram adotados os valores desses parâmetros de ajustes sugeridos por Kim e

Nguyen (2010), e que são os seguintes:

)()( t

w

wtB

c

,

0,1

1,0

05,0

0

3

2

1

0

P

P

P

P

;

)()( t

ftB

ctm

,

0

2,0

3,0

0,1

3

2

1

0

P

P

P

P

(2)

O programa Abaqus (Hibitt et al., 2014) permite que se defina uma resposta de dano

para uma melhor simulação do comportamento pós‐pico do concreto. As variáveis de

dano são definidas como 1 / e 1 / , estando correlacionadas

com a deformação do concreto submetido à compressão e com a largura por abertura

de fissura, respectivamente.

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Tensão (M

Pa)

Deslocamento (mm)

Wc = 1.0 (Utilizado)

E

0,4fcm

fcuD = fcu1 fcuE = α/fcm

A

B

fcm

D

C

(1)

(a) comportamento à compressão com fcm igual a 40,0 MPa

(b) comportamento à tração com fctm igual a 3,0 MPa.

150

5 Análise Numérica de Ensaios de Cisalhamento Padrão com Conectores

Crestbond

Nas simulações realizadas neste trabalho, foram adotadas as características mecânicas

e dimensões médias dos modelos experimentais ensaiados por Veríssimo (2007), as

quais foram retratadas no Item 3. Na Tabela 2 são dispostas as forças máximas

experimentais médias (Pu,Exp), juntamente com o valor da resistência média do concreto

à compressão (fcm), e as forças numéricas (Pu,Num). Na última coluna é fornecida a razão

entre as forças Pu,Num/Pu,Exp. Na Figura 11 são apresentados diagramas comparando as

curvas força por conector versus deslizamento relativo de modelos experimentais

(Veríssimo, 2007) e numéricos deste trabalho. Os modelos B7‐B8 e C7‐C8 serviram para

a investigação da parcela de força resistida pela parte frontal do conector isoladamente.

Ao avaliar os resultados, constata‐se que a modelagem numérica demonstrou

resultados bastante próximos aos obtidos experimentalmente.

Tabela 2 ‐ Comparação entre os resultados experimentais e numéricos.

Modelo Experimental

Pu,Exp (kN)

Valor médio

fcm

(MPa) Valor médio

Modelo Numérico

Pu,Num

(kN) Expu

Numu

P

P

,

,

B1 301,33 26,60 B1‐B2 296,89 0,99

B2

B3 362,30 27,05 B3‐B4 331,11 0,91

B4

B5 374,95 26,65 B5‐B6 326,29 0,87

B6

B7 180,65 26,55 B7‐B8 131,21 0,73

B8

C1 369,40 47,50 C1‐C2 416,54 1,13

C2

C3 500,15 48,90 C3‐C4 456,00 0,91

C4

C5 480,90 47,30 C5‐C6 460,86 0,96

C6

C7 216,55 49,55 C7‐C8 200,20 0,92

C8

Média 0,93

Analisando os diagramas apresentados na Figura 11, nota‐se que as forças máximas

experimentais e numéricas foram consideravelmente menores nos modelos com

conectores formados por chapas sem aberturas (CR 56b‐SF, ou seja, modelos B7, B8, C7

151

e C8). Nesses conectores, há somente a parcela de resistência decorrente da sua

capacidade frontal. Nos conectores Crestbond (CR 56b), além dessa parcela de

resistência, há aquela proporcionada pelos componentes de concreto.

Figura 11 – Comparação entre curvas de força por conector versus deslizamento relativo.

152

Veríssimo (2007) menciona que o modo de fissuração das lajes foi semelhante em todos

os seus modelos ensaiados, com fissuras localizadas na linha de ação dos conectores e

nas extremidades das lajes (Figura 12a). Além disso, havia um desprendimento de

concreto em formato de cunha na região inferior da laje, logo abaixo do conector

(Figura 12b). Todas essas observações foram constatadas nas simulações numéricas

realizadas neste trabalho, como pode se observar nas Figuras 12c e 13b. Nessas figuras,

o dano à tração no concreto da laje é representado pela varável DAMAGET, com cada

coloração representando uma escala de dano indicada na legenda. Para esta variável, o

valor 0 indica nenhum dano no material à tração e, o valor 1, o dano máximo à tração.

A representação dessas variáveis ocorre em um dado incremento da análise, na qual o

deslizamento relativo é próximo aos deslizamentos máximos obtidos nos ensaios

experimentais (Figura 11), a fim de se obter uma melhor comparação entre deformação

final dos modelos experimentais e numéricos.

Figura 12 – Padrão de fissuração nas lajes de concreto nos modelos experimentais B1 e numérico B1‐B2.

Medberry e Shahrooz (2002) realizaram ensaios de cisalhamento padrão com

conectores Perfobond, e observaram o mesmo fenômeno de desprendimento de

concreto em formato de cunha na região inferior da laje. Segundo os autores, na região

frontal do conector, atuam além de esforços de compressão, esforços de tração.

Medberry e Shahrooz (2002), em seu estudo, esquematizam a distribuição das tensões

Fissuras na linha de ação do conector

Fissuras na extremidade

da laje

Cunha de ruptura

(a) vista lateral externa da laje (Veríssimo, 2007)

(b) vista lateral externa da laje (Veríssimo, 2007)

(c) varável DAMAGET no instante em que o deslizamento relativo é igual a 28,61 mm

153

de tração na região abaixo dos conectores, como pode ser observado na Figura 13a.

Como nessa região não há contenção da laje de concreto pelo perfil H, há o

desprendimento de uma região de concreto após um estágio avançado de fissuração. O

fenômeno de desprendimento de uma parcela do volume de concreto da laje também

é denominado pry‐out. Na Figura 13b, é ilustrado o modelo numérico C1‐C2, para um

deslizamento de 27,69 mm, muito superior ao deslocamento correspondente à força

máxima (Figura 11). Logo, pode‐se considerar esse desprendimento como um estágio

pós‐crítico.

Figura 13 – Pry‐out na região inferior da laje de concreto.

Veríssimo (2007) destaca que o primeiro componente de aço (ou dente frontal) dos

conectores sofreu maior deformação, sendo que nos outros componentes de aço não

se observou uma deformação significativa. Na Figura 14 são apresentadas as

deformadas dos conectores do modelo experimental B1‐B2, após o desmonte. Nas

Figuras 15a e 15b são representadas as tensões de von Mises no conector do modelo

numérico B1‐B2. Na Figura 15a é ilustrado o estado de tensão correspondente ao

incremento em que a solicitação no conector é máxima, observando‐se que o

escoamento só ocorre no primeiro componente de aço. Na legenda são representadas

as tensões verdadeiras fy e fu, iguais a 324,525 MPa e 568,218 MPa, respectivamente.

A solicitação máxima do primeiro dente do conector ocorre quando o deslizamento

relativo é igual a 19,30 mm, que se manifesta ao se atingir a força máxima do modelo

(Figura 11). Após esse estágio, as tensões de von Mises começam a diminuir, devido ao

desprendimento do conector da laje (Figura 15b), efeito este conhecido como uplift, o

Cunha de ruptura (pry‐out)

(a) ensaios com conectores Perfobond (Medberry e Shahrooz, 2002)

(b) Modelo C1‐C2 no momento em que o deslizamento relativo é igual a 27,69 mm

154

qual também foi observado nos modelos ensaiados por Veríssimo (2007). Na Figura 15c

são ilustrados os deslocamentos nodais na direção y no último incremento da análise

numérica com deslizamento relativo igual a 31,67 mm. Nota‐se, assim, um significativo

desprendimento da laje em relação ao perfil H de aço após o modelo atingir sua

capacidade resistente máxima.

Figura 14 – Modelos experimentais B1 eB2 com Crestbond após ensaio (Veríssimo, 2007).

Figura 15 – Análise do modelo numérico B1‐B2.

Nas simulações foi observado o cisalhamento das lajes de concreto como estado‐limite

último. Segundo Kraus e Wurzer (1997) o componente de concreto apresenta duas

regiões de comportamentos distintos. Uma primeira região sujeita a um estado triaxial

de tensões de compressão em que o concreto é esmagado, e uma segunda região em

que atua tanto esforços de tração quanto de compressão (Figura 16c). Essas

observações foram constatadas na modelagem numérica. As Figuras 16a e 16b ilustram

o modelo numérico B1‐B2 quando submetido à força máxima atingida, igual a 296,9 kN.

O valor de 1,0 para a variável DAMAGEC, como na variável DAMAGET, representa o dano

máximo, porém, nesse caso em relação aos esforços de compressão. Assim,

observando‐se a Figura 16a, nota‐se que as duas regiões que constituem o componente

Desprendimento da laje (uplift)

(a) Tensões de von Mises a um deslizamento de 19,3 mm

(b) Tensões de von Mises a um deslizamento de 28,6 mm

(c) deslocamentos na direção transversal a um deslizamento relativo de 31,67 mm

155

de concreto apresentam dano máximo à compressão. Nota‐se ainda que a fissuração se

estende até a superfície da laje, na linha de ação do conector Crestbond (figuras 12c,

13b e 16b).

Figura 16 – Cisalhamento da laje de concreto.

6 Análise dos Componentes de Concreto de Conectores Crestbond

Contínuos

Neste item são analisadas vigas com conectores Crestbond CR56b contínuos submetidos

somente à cisalhamento (Figura 17a). Nessa investigação foram estudados conectores

com 3, 6, 9 e 12 componentes de concreto, com o objetivo de verificar se a capacidade

resistente do componente permaneceria inalterada apesar do aumento do

comprimento.

Figura 17 – Modelo com Crestond contínuos com 3 componentes de concreto.

Região de concreto esmagada e sob altas

tensões de confinamento ( )

Controle de deslocamento

Armadura passante

Perfil de aço

Armaduras longitudinais

Laje de concreto

Região de concreto sujeita à fissuração

(a) variável DAMAGEC no modelo B1‐B2 no incremento de força

(b) variável DAMAGET no modelo B1‐B2 no incremento de força máxima

(c) cisalhamento do concreto nas reentrâncias dos conectores (adaptado de Kraus e Wurzer, 1997)

(a) modelo submetido à cisalhamento (b) comprimento do conector funçãode ex

ex = 121 mm ex/2

ex/2 + 3ex + = 424 mm

156

Os modelos possuíam as mesmas características mecânicas dos modelos apresentados

no Item 5, com exceção da resistência do concreto (fc), agora igual a 45 MPa. Para os

componentes dos conectores, eram mantidas as dimensões que foram representadas

anteriormente na Figura 6a, variando somente o comprimento total do conector. Esse

comprimento era função do passo do conector (ex) igual a 121 mm (Figura 17b). As lajes

de concreto possuíam barras de armadura passante com diâmetro de 10 mm.

Nos modelos com 12 componentes de concreto, houve dificuldade de convergência

quando se utilizou o método de convergência Dynamic Implicit do Abaqus (Hibitt et al.,

2014), provavelmente devido ao grande número de interações de contato presentes

nesses modelos. Para contornar o problema e manter uma certa padronização na

modelagem numérica, foi utilizado o método de convergência Dynamic Explicit. Nesse

método, assim como no Dynamic Implicit, análises quase‐estática podem ser realizadas.

Nessas simulações, foram utilizados elementos de integração reduzida C3D8R, pois o

custo computacional para elementos de integração completa, para o Dynamic Explicit,

é consideravelmente mais elevado. (Figura 18).

(a) 3 componentes de concreto (b) 12 componentes de concreto.

Figura 18 – Malha de elementos finitos utilizada nos modelos com Crestbond contínuo.

Na Figura 19 são apresentados diagramas força versus deslizamento relativo obtidos na

análise numérica. Na Figura 19a podem ser vistas as curvas dos modelos considerando

a força total aplicada e na Figura 19b as curvas considerando a força total aplicada

dividida pela quantidade de componentes de concreto. Observando‐se esses diagramas,

conclui‐se que a capacidade média de um componente de concreto permanece

inalterada, mesmo aumentando‐se o comprimento total do conector.

157

Figura 19 – Curvas força versus deslizamento.

Nas Figuras 20a e 20b, são apresentados os danos à tração e a compressão,

respectivamente, para o modelo com 12 componentes, no momento em que ocorre o

incremento de força máxima. Nota‐se que os componentes de concreto sofrem dano à

compressão de forma homogênea. Contudo, ao observar o dano à tração na laje,

verifica‐se que a perda de rigidez à tração nos componentes de concreto é ligeiramente

menor naqueles situados próximo à seção em que é aplicado o carregamento.

Figura 20 – Variáveis de dano no incremento de força máxima.

7 Conclusões

Neste trabalho, foi realizada uma investigação sobre o comportamento de conectores

Crestbond aplicados em vigas mistas de aço e concreto. Para tal, foram realizadas

simulações numéricas utilizando o software comercial de elementos finitos Abaqus

(Hibitt et al., 2014). O modelo numérico representou de forma satisfatória o

comportamento dos modelos experimentais de cisalhamento padrão realizados por

Veríssimo (2007). Constatou‐se que os modelos experimentais e numéricos rompiam de

forma semelhante, com o surgimento de fissuras localizadas na linha de ação dos

(a) DAMAGEC

(b) DAMAGET

(a) curva dos modelos em análise (b) curvas dos modelos em análise normalizadas pela a quantidade de componentes de concreto

158

conectores e nas extremidades das lajes, caracterizando como estado‐limite último o

cisalhamento da laje de concreto. Observou‐se também que quando o conector

Crestbond é utilizado de forma contínua, a capacidade média de um componente de

concreto para resistir a esforços de cisalhamento permanece a mesma,

independentemente do número de componentes.

É oportuno salientar que outros estados‐limites podem ocorrer nos ensaios de

cisalhamento, como a ruptura do conector e o pry‐out. O primeiro pode ocorrer quando

se utilizam conectores de menor espessura ou lajes com concretos mais resistentes e, o

segundo, principalmente em situações que a laje de concreto seja pouco espessa,

dependendo da taxa de armadura transversal.

Agradecimentos

Os autores agradecem os apoios concedido pela CAPES (Coordenação de

Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior), CNPq (Conselho Nacional de

Desenvolvimento Científico e Tecnológico) e FAPEMIG (Fundação de Amparo à Pesquisa

do Estado de Minas Gerais).

Referências bibliográficas

Aguiar, O. P. Estudo do Comportamento de Conectores Crestbond em Pilares Mistos Tubulares Preenchidos com Concreto. Dissertação de Mestrado ‐ Escola de Engenharia, Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG), Belo Horizonte, Brasil, 2015.

Berthellemy, J.; Lorenc, W.; Mensinger, M; Ndogmo, J; Seidl, G. Zum Tragverhalten von Verbunddübeln – Teil 2. Stahlbau, v.80(4), p. 256‐267, 2011.

Biegus, A.; Lorenc, W. Development of Shear Connections in Steel‐Concrete Composite Structures. Civil And Environmental Engineering Reports, v.15(4), p. 23‐32, 2015.

Cardoso, H. S. Conetores Crestbond Aplicados em Pilares Tubulares de Aço Preenchidos com Concreto. Projeto de Tese para Obtenção do Título de Doutor em Engenharia de Estruturas ‐ Escola de Engenharia, Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG), Belo Horizonte, 2016.

Dutra, C. M. Estudo do Comportamento Estrutural do Conector Crestbond Considerando Variações Geométricas e Mecânicas. Dissertação de Mestrado ‐ Universidade Federal de Viçosa (UFV), Viçosa, Brasil, 2014.

European Committee for Standardization – EN 1992‐1‐1:2004. Eurocode 2: Design of Concrete Structures, Part 1.1: General Rules and Rules for Buildings. Bruxelas, Bélgica, 2004.

European Committee for Standardization – EN 1994‐1‐1:2004. Eurocode 4: Design of Composite Steel and Concrete Structures, Part 1.1: General Rules and Rules for Buildings. Bruxelas, Bélgica, 2004.

Feldmann, M.; Kopp, M.; Park, D. Composite Dowels as Shear Connectors for Composite Beams – Background to the German Technical Approval. Steel Construction, v.9(2), p. 80 – 88, 2016.

159

Hibitt, Karlsson, Sorensen. Abaqus Online Documentation. Version 6.14, Dassault Systèmes, SIMULIA, 2014.

Kim, S. E.; Nguyen, H. T. Finite Element Modeling and Analysis of a Hybrid Steel–PSC Beam Connection. Engineering Structures, v. 32(9), p. 2557‐2569, 2010.

Kraus, D.; Wurzer, O. Nonlinear Finite‐Element Analysis of Concrete Dowels. Computers & Structures, v.64(5–6), p. 1271–1279, 1997.

Lorenc, W. The Model for a General Composite Section Resulting from the Introduction of Composite Dowels. Steel Construction, v.10(2), p. 154 – 167, 2017.

Lorenc, W.; Kożuch, M.; Rowiński, S. The Behaviour of Puzzle‐Shaped Composite Dowels ‐ Part I. Journal of Constructional Steel Research, v.101, p. 482‐499, 2014.

Lorenc, W.; Kubica, E.; Kożuch, M. Testing Procedures in Evaluation of Resistance of Innovative Shear Connection with Composite Dowels. Archives of Civil and Mechanical Engineering, v.10(3), p. 51‐63, 2010.

Medberry, S. B.; Shahrooz, B. M. Perfobond Shear Connector for Composite Construction. Engineering Journal, American Institute of Steel Construction (AISC), v.39, p. 2–12, 2002.

Pavlović, M.; Marković, Z.; Veljković, M.; Buđevac, D. Bolted Shear Connectors vs. Headed Studs Behaviour in Push‐Out Tests. Journal of Constructional Steel Research, v.88, p. 134‐149, 2013.

Petrauski, M. C. Simulação Numérica do Comportamento de Vigas Mistas de Aço e Concreto com Conectores Crestbond. Dissertação de Mestrado ‐ Universidade Federal de Viçosa (UFV), Viçosa, Brasil, 2016.

Prado, L. F. P.; Caldas, R. B. Influência do Conector Crestbond na Distribuição de Temperaturas em Pilares Mistos Tubulares Preenchidos com Concreto em Situação de Incêndio. In: VII Congresso Latino‐americano da. Construção Metálica, São Paulo, 2016.

Schmitt, V; Seidl, G; Hever, M; Zapfe. Verbundbrücke Pöcking – Innovative VFT‐Träger mit Betondübeln. Stahlbau v.73(6), p. 387‐393, 2004.

Seidl, G.; Viefhues, E.; Berthellemy, J.; Mangerig, I.; Wagner, R.; Lorenc, W.; Kozuch, M.; Franssen, J‐M.; Janssen, D; Ikäheimonen, J.; Lundmark, R.; Hechler, O; Popa, N. Preco‐Beam: Prefabricated Enduring Composite Beams Based on Innovative Shear Transmission. Research Fund for Coal and Steel – Final Report. Luxemburgo, Luxemburgo, 2013a.

Seidl, G.; Hoyer, O.; Zanon, R.; Popa, N.; Lorenc, W, Rowiński, S.; Kożuch, M.; Franssen, J‐F., Fohn, T.; Quinchia, J. P.; Carrasco, C. H.; Farhang, A.; Nüsse, G. PRECO+: Prefabricated Enduring Composite Beams Based on Innovative Shear Transmission. Research Fund for Coal and Steel – Final Report. Berlin, Alemanha, 2013b.

Silva, M.A.P. Modelos Semiempíricos para a Estimativa da Capacidade Resistente de Conectores de Cisalhamento Crestbond e Perfobond. Dissertação de Mestrado ‐ Universidade Federal de Viçosa (UFV), Viçosa, Brasil, 2011.

Silva, H. P. Simulação Numérica do Comportamento de Conectores de Cisalhamento tipo Crestbond. Dissertação de Mestrado ‐ Universidade Federal de Viçosa (UFV), Viçosa, Brasil, 2013.

Veríssimo, G. S. Desenvolvimento de um Conector de Cisalhamento em Chapa Dentada para Estruturas Mistas de Aço e Concreto e Estudo do seu Comportamento. Tese de Doutorado ‐ Escola de Engenharia, Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG), Belo Horizonte, Brasil, 2007.

Veríssimo, G. S.; Paes, J. L. R.; Valente, I.; Cruz, P. J. S.; Fakury, R. H. Design and Experimental Analysis of a New Shear Connector for Steel and Concrete Composite Structures. In: 3rd International Conference on Bridge Maintenance, Safety and Management, v. 1, 2006.




Flambagem local e global de vigas de aço formadas

a frio com seção ponto‐simétrica Z sob flexão oblíqua

Janderson Leitão Sena1 e Eduardo de Miranda Batista1*

1Programa de Engenharia Civil, COPPE, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, RJ, Brasil. CP 68506, 21945‐972. [email protected]; [email protected]

Local and global buckling of Z‐section cold‐formed steel beams under

oblique flexural bending

Resumo

O presente trabalho apresenta formulações para a flambagem global e local em seções abertas de paredes finas, do tipo Z, que encontram larga utilização como perfis de aço formados a frio. Para o modo local, foram obtidos os coeficientes de flambagem local de seções Z sob flexão oblíqua, sendo essa condição não considerada na norma brasileira ABNT NBR 14762:2010. Para o modo global, constatou‐se que a equação de momento crítico sugerida na referida norma não atende as equações diferenciais da Teoria da Estabilidade Elástica apresentadas por TIMOSHENKO e GERE (1961). Nesse contexto, os autores apresentam solução adequada, que atende a solução teórica acima citada. Ao final, é apresentada uma tabela comparativa dos diferentes modos de obtenção do momento crítico global, considerando a equação da norma, a equação desenvolvida pelos autores e as análises numéricas segundo o MFF e da GBT.

Palavras‐chave: Perfis de aço formados a frio; seção Z; flexão oblíqua; flambagem global; flambagem local. Abstract

The present work presents formulations for global and local buckling of Z thin‐walled sections, with wide application as cold‐formed steel members. For the local mode, the buckling local coefficients of Z sections under oblique flexion were obtained, considering this condition is not considered in the Brazilian code ABNT NBR 14762:2010. For the global mode, it was found that the critical bending moment equation suggested in the Brazilian code does not meet the differential equations of Elastic Stability Theory presented by TIMOSHENKO and GERE (1961). In this context, the authors present an adequate solution, which meets the theoretical solution mentioned above. Finally, the different ways of obtaining the global critical bending moment are compared, considering the equation of the Brazilian code, the equation developed by the authors and the numerical analysis results according to FSM and the GBT.

Keywords: Steel cold‐formed member; Z section; oblique flexural bending; global buckling; local buckling.


161

1 Introdução

A utilização de perfis de aço formados a frio (PFF), também conhecidos como perfis de

chapa dobrada, tem larga utilização na construção civil. Entre as vantagens que seu uso

proporciona destacam‐se a alta relação resistência/peso das estruturas, sistemas

estruturais leves, menor tempo de fabricação, transporte e montagem, melhor

aproveitamento de espaço no canteiro de obra, além da facilidade na obtenção de uma

grande variedade de seções abertas, garantindo assim uma maior liberdade

arquitetônica em projeto.

As seções abertas de paredes finas são especialmente sensíveis aos fenômenos de

flambagem, com destaque para efeitos de torção, flambagem local e distorcional. A

flambagem afeta e contribui diretamente para a redução do esforço resistente de PFF,

podendo ocorrer segundo os modos local, distorcional e global. Logo, identificar os

possíveis modos de flambagem e obter os seus respectivos esforços críticos é um

aspecto fundamental para o dimensionamento de estruturas constituídas por perfis de

aço formados a frio.

O uso de PFF permite a obtenção de diferentes geometrias, sendo muito utilizadas em

projeto as seções do tipo monossimétrica, duplamente simétrica e simétrica em relação

a um ponto, esta última também conhecida por ponto‐simétrica. O uso destes perfis

abrange uma vasta gama de possibilidades, em especial na composição de coberturas

metálicas, verificando‐se a aplicação de seções ponto‐simétricas do tipo Z, em

particular, como elementos de terças, conforme representado na Figura 1.

Figura 1 – Terças de aço constituídas por PFF de seção ponto‐simétrica Z enrijecida (PEREIRA, 2016)

162

As terças de cobertura são componentes que trabalham essencialmente à flexão, sendo

o dimensionamento para a referida solicitação prescrito nas normas técnicas, as quais

tratam de garantir a segurança estrutural. Entre os métodos de dimensionamento mais

usuais estão o Método da Seção Efetiva (MSE) e o Método da Resistência Direta (MRD),

ambos presentes na ABNT NBR 14762:2010. O primeiro foi proposto por BATISTA (2010)

e incorporado à norma brasileira em sua última versão. O segundo foi originalmente

desenvolvido por SCHAFER (2006), e, além de compor a ABNT NBR 14762:2010,

encontra‐se também na norma americana AISI S100‐16 (2016).

Conforme a necessidade em projeto, a opção por seções ponto‐simétricas Z em

detrimento das seções monossimétricas U sob flexão justifica‐se por sua geometria

favorecer o armazenamento, transporte e principalmente o transpasse nas ligações,

como pôde ser observado na Figura 1. Além disso, os perfis de seção Z apresentam

característica favorável quando carregados no plano da alma, visto que neste elemento

estão localizados, por questões geométricas, o centróide e o centro de torção da seção

transversal. Logo, para forças externas alinhadas com o centróide (e centro de torção),

a barra não está sujeita a momento torsor.

2 Objetivos

A presente investigação trata, em particular, dos modos de flambagem local e global,

em seções ponto‐simétricas Z simples ou enrijecida, sob flexão simples em torno do eixo

perpendicular à alma. O principal objetivo é verificar os procedimentos para

dimensionamento estrutural constantes na ABNT NBR 14762:2010, visando a segurança

e economia em projeto estrutural, levando‐se em conta a condição conflitante de tratar

a flexão como oblíqua ou restringida. A primeira condição decorre da flexão livre da

barra como uma viga sem elementos de contenção lateral no vão, enquanto a segunda

se refere à condição usual de terças restringidas pela fixação às telhas, somada à

contenção lateral proporcionada por linhas de corrente.

Para o modo local serão apresentados os coeficientes de flambagem local kl para seções

completas sob flexão oblíqua. Já para o modo global a contribuição da pesquisa fica por

conta da elaboração de uma equação para o cálculo do momento crítico em seções

duplamente simétricas e ponto‐simétricas, baseada na Teoria da Estabilidade Elástica

163

apresentada por TIMOSHENKO e GERE (1961). A Figura 2 ilustra os referidos modos de

flambagem em uma seção Z enrijecida sob flexão.

Figura 2 – Modos de flambagem em seções ponto‐simétricas do tipo Z enrijecido na flexão: (a) modo local (b) modo global de flambagem lateral com torção

Apesar da ABNT NBR 14762:2010 apresentar tabelas e expressões que permitem obter

o coeficiente de flambagem local kl para seções completas na flexão, assim como dispõe

de equações para o cálculo do momento crítico global, a elaboração do presente

trabalho tem por objetivo complementar propor o aprimoramento das prescrições da

norma brasileira, visto que as proposições aqui tratadas são distintas e, julgamos, mais

adequadas do que aquelas inseridas na versão atual da norma brasileira, para o caso de

seções do tipo Z.

3 Flexão restringida e Flexão livre

Em seções do tipo U, o eixo de flexão, normal à alma, define a simetria da seção, sendo

igualmente o eixo principal de inércia máximo. Para o caso de seções Z, o eixo normal à

alma não será principal de inércia, seja a seção simples ou enrijecida. Logo, de acordo

com as condições em que se encontra o perfil de seção Z na estrutura, a flexão em torno

deste eixo pode ser tratada de dois modos diferentes: como flexão restringida

(lateralmente) ou flexão livre (obliqua), sendo a primeira condição mais usual em

projeto, em especial quando se trata de terças de coberturas com águas inclinadas.

Conforme referido anteriormente, a flexão restringida se desenvolve em torno de um

eixo que não é principal de inércia da seção. Em virtude do deslocamento da seção estar

impedido na direção do eixo de flexão, devido à condições proporcionadas por vínculos

externos, ocorre o que pode ser definido como um caso de flexão reta “forçada”. Logo,

164

o referido eixo assume o papel de eixo principal da seção, fazendo com que a

distribuição de tensões normais na seção se manifeste para a situação na qual a linha

neutra coincide com o referido eixo, similar a um eixo principal.

A Figura 3 ilustra a distribuição de tensões normais em seções ponto‐simétricas Z

segundo a flexão restringida (reta) e flexão livre (oblíqua), quando solicitadas por

carregamento externo alinhado com o plano da alma.

Figura 3 – Distribuição de tensões em seção Z: (a) flexão restringida (b) flexão livre (FÁVERO, 2013)

O estudo da flexão livre em seções ponto‐simétricas Z sob flexão em torno do eixo

perpendicular à alma da seção foi recentemente tratado por FÁVERO (2013). Em seu

trabalho sobre ligações em terças, o autor apresentou resultados teóricos e

experimentais que comprovaram a distribuição de tensões em seções Z mais próximas

da flexão oblíqua se comparada à flexão reta “forçada”. Além disso, esse autor

constatou que o dimensionamento baseado na flexão livre pode ser considerado mais

adequado quando comparado com a condição de flexão restringida. As observações

apresentadas pelo autor motivaram a elaboração da presente pesquisa, adotando‐se a

flexão livre em seções ponto‐simétricas Z.

4 Modo de flambagem local

A equação para o cálculo da tensão crítica de flambagem local presente na ABNT

NBR 14762:2010, considerando seções completas, é equivalente à equação utilizada

para o cálculo da tensão crítica local em placas isoladas, definida segundo a Teoria da

165

Estabilidade Elástica apresentada por TIMOSHENKO e GERE (1961), sendo expressa pela

Equação [1]:

Entre os termos que compõem a Equação [1], diferem do caso da análise de placas

isoladas o valor de bw e do coeficiente de flambagem local kl. Para placas isoladas os

valores adotados são da largura b do elemento e o respectivo coeficiente de flambagem,

de acordo com as condições de contorno e tipo de carregamento na placa. Já para o

caso de seções completas (caso dos PFF, em particular), os valores inseridos na equação

são do elemento de maior largura da seção, no caso a alma bw, e o coeficiente de

flambagem local kl, considerando a seção completa.

O cálculo da tensão crítica local considerando propriedades da seção completa, em

substituição ao Método da Largura Efetiva (MLE), foi proposto por BATISTA (2010),

originando o Método da Seção Efetiva (MSE) constante da ABNT NBR 14762:2010. O

referido método permite um dimensionamento muito mais expedito e preciso, se

comparado ao tradicional MLE, lembra BATISTA (2010), já que o método não trata

elementos isolados, mas sim seções completas e a consequente interação entre as

paredes da seção. Apesar de sua praticidade para o cálculo manual, para que se obtenha

o coeficiente de flambagem local kl de seções completas é necessário o uso de

programas computacionais especializados em análise da Estabilidade Elástica. Devido a

esta necessidade, a norma brasileira apresenta os valores do coeficiente kl na forma de

tabelas e equações para as seções mais usuais, dentre elas as seções ponto‐simétricas Z

aqui investigadas.

As Tabelas 12 e 13 da ABNT NBR 14762:2010, que disponibilizam o cálculo e a consulta,

respectivamente, dos coeficientes de flambagem local kl para seções completas na

flexão simples, considerando seções ponto‐simétricas Z carregadas no plano da alma,

satisfazem apenas a condição de flexão restringida, enquanto a presente investigação

aborda a flexão livre. A constatação baseou‐se nas verificações efetuadas com o auxílio

do programa computacional CUFSM v.3.12, representando o Método das Faixas Finitas

166

(MFF) e desenvolvido por SCHAFER e ÁDÁNY (2006). De acordo com os valores obtidos

numericamente, foram consideráveis as diferenças encontradas comparando‐se com os

valores apresentados na norma brasileira de PFF, tratando a flexão como livre.

Entretanto, quando verificados para a condição de flexão restringida, os valores

coincidiram com aqueles constantes na ABNT NBR 14762:2010.

Conclui‐se que a inclusão das seções ponto‐simétricas Z nas Tabelas 12 e 13 da norma é

limitada ao caso de flexão restringida, não havendo informação que esclareça essa

condição: os coeficientes de flambagem local kl satisfazem apenas a condição de flexão

restringida. Além disso, o eixo perpendicular à alma da seção, no caso de seções ponto‐

simétricas Z, não se trata do eixo de maior inércia, sendo a referência das tabelas válidas

apenas para o caso das seções monossimétricas U.

Logo, em complemento à ABNT NBR 14762:2010, foram analisadas numericamente com

o auxílio do programa CUFSM v.3.12, seções ponto‐simétricas Z, simples e enrijecidas,

sob a condição de flexão livre em torno do eixo perpendicular à alma, e, com a

contribuição da Equação [1], foram obtidos os valores dos coeficientes de flambagem

local kl na flexão oblíqua. Para os perfis enrijecidos foram investigadas seções limitadas

à relação (enrijecedor/alma) D/bw = 0,3, seguindo, assim, limitação apresentada na

ABNT NBR 14762:2010. Foram adotadas seções enrijecidas a 90º, porém sendo

desprezível a diferença para o caso de enrijecedores de borda a 45º. A Tabela 1

apresenta os valores dos coeficientes de flambagem local kl obtidos.

Após a obtenção dos coeficientes de flambagem, foi elaborada a superfície de tendência

referente aos valores de kl em função das relações geométricas bf/bw e D/bw. A superfície

obtida é ilustrada na Figura 4.

Observando a Figura 4, nota‐se uma superfície pouco irregular enquanto existe a

presença de enrijecedores de borda (D/bw>0), porém uma variação abrupta ocorre

quando se aproxima da geometria da seção Z simples (D/bw=0). Logo, foi necessário

separar as expressões para cada caso, mantendo‐se assim uma boa precisão para os

valores da análise numérica. Para os perfis simples foi utilizada função de uma variável

apenas (X=bf/bw), representada pela Equação [2]. Já para os perfis Z enrijecidos foi

necessária uma função de duas variáveis (X=bf/bw e Y=D/bw), representada pela Equação

[3].

167

Tabela 1 – Valores dos coeficientes de flambagem local kl para seção Z, simples e enrijecida, sob flexão oblíqua, para momento fletor aplicado no plano da alma

Figura 4 – Superfície formada pelos valores dos coeficientes de flambagem local kl para seção Z, simples e enrijecida, sob flexão oblíqua, em função das relações geométricas

entre as larguras da alma, mesas e enrijecedor (bw, bf e D)

kl = 7574,5X6 – 28007X5 + 40919X4 – 29783X3 + 11165X2 – 2033,5X + 170,5 [2]

kl = 25,84 + 29,59Y + 126,45Y2 – 495,04Y3 + 39,16X –

– 159,13XY + 140,33XY2 – 72,79X2 + 75,65X2Y + 24,33X3 [3]

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

0,2 29,21 31,97 32,56 32,75 32,84 32,89 32,92

0,3 29,91 31,20 31,42 31,50 31,54 31,55 30,19

0,4 29,61 30,26 30,32 30,31 30,28 30,22 26,39

0,5 22,20 28,97 28,87 28,73 28,58 28,38 23,82

0,6 15,37 27,12 26,68 26,24 25,77 25,24 21,98

0,7 11,28 24,25 23,43 22,65 21,90 21,14 20,34

0,8 8,64 20,78 19,78 18,89 18,08 17,30 16,56

0,9 6,83 17,49 16,53 15,69 14,95 14,26 13,62

1,0 5,55 14,72 13,89 13,16 12,52 11,93 11,38

A relação D/bw igual a zero representa os perfis ponto-simétricos Z simples (não enrijecidos)

Para valores intermediários é sugerido interpolar linearmente

bf/bwD/bw

1,00,90,80,70,60,50,40,30,2

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

Coeficiente de flambagem local k

l

30,00‐35,00

25,00‐30,00

20,00‐25,00

15,00‐20,00

10,00‐15,00

5,00‐10,00

0,00‐5,00

168

É importante ressaltar que os valores dos coeficientes de flambagem local kl obtidos no

presente estudo, apresentados na Tabela 1 e disponibilizados também segundo as

Equações [2] e [3], são referentes à flexão livre (oblíqua). Portanto, as demais

propriedades da seção devem, obrigatoriamente, ser consideradas sob a mesma

condição para um possível dimensionamento em estado limite último.

A Equação [1] para o cálculo da tensão crítica local permanece válida para a flexão livre

ou restringida, sendo apenas necessário o cuidado de adotar o valor apropriado do

coeficiente kl em cada caso. Contudo, para o cálculo do momento crítico local Ml deve

ser aplicada a Equação [4], sendo necessário adotar o módulo de flexão elástica Wc

(referente ao bordo comprimido da seção; em posição, portanto, sujeita ao efeito da

flambagem local). Observar que, neste caso, Wc será distinto para a flexão livre ou

restringida, não devendo, de forma alguma, serem confundidos.

5 Modo de flambagem global

Para o caso particular da flexão simples em seções ponto‐simétricas Z bi‐apoiadas,

tomando‐se um trecho compreendido entre seções contidas lateralmente e analisadas

globalmente para carregamento transversal agindo no plano da alma, a ABNT NBR

14762:2010, assim como a norma americana AISI S100‐16, define o cálculo do momento

crítico global Me, também conhecido por momento fletor de flambagem lateral com

torção, segundo a Equação [5]:

0,5. . . , 5

Sendo Ney e Nez as forças axiais de flambagem global elástica por flexão em torno do eixo

principal y e por torção pura em torno do eixo longitudinal z, respectivamente. Para

estas considerações, o eixo principal x refere‐se ao eixo de simetria em seções

monossimétricas. A constante r0 consiste no raio de giração polar da seção bruta em

relação ao centro de torção, enquanto Cb é o fator de modificação para momento fletor

não uniforme, sendo este adotado ao longo de todo o estudo igual a 1,0, e, portanto,

169

suprimido nas formulações que serão apresentadas. Os termos e propriedades

geométricas citados podem ser conferidos diretamente na ABNT NBR 14762:2010, já

que as nomenclaturas adotadas na presente pesquisa seguem o padrão da norma

brasileira. Na Figura 5 estão identificados os elementos da seção tipo Z: bw alma, bf

flanges ou mesas e D enrijecedor. A espessura das paredes é referida por t.

Figura 5 – Seção Z: identificação dos elementos de placa como as mesas, alma e enrijecedor e representação da espessura das paredes

Analisando‐se previamente algumas seções ponto‐simétricas Z na condição de flexão

oblíqua em torno do eixo perpendicular à alma, mais uma vez com o auxílio do programa

CUFSM v.3.12, foram constatadas diferenças exorbitantes nos valores encontrados para

Me em relação aos da equação da norma brasileira, representada pela Equação [5] na

presente pesquisa. Logo, procurou‐se compreender o motivo para resultados tão

discrepantes partindo das formulações da Teoria da Estabilidade Elástica apresentadas

por TIMOSHENKO e GERE (1961), considerando o caso mais básico da flexão (flexão

pura, isto é, barra submetida a momento fletor constante).

Considere uma viga bi‐apoiada, de comprimento L, sob momento fletor constante

agindo em cada um dos eixos principais de inércia de sua seção, representados por M1

e M2, em referência aos eixos principais 1 e 2, respectivamente eixos máximo e mínimo,

como ilustrado na Figura 6. Ressalta‐se que nos apoios o deslocamento no plano da

seção (eixos x‐y, respectivamente 1‐2) é impedido (contida lateralmente nas

extremidades) e o empenamento é livre. As formulações apresentadas são válidas para

carregamento externo alinhado com o centro de torção, similar à norma brasileira.

170

Figura 6 – Viga bi‐apoiada solicitada por momentos fletores constantes ao longo da barra, de flexão segundo os planos principais de inércia, M1 e M2 (TIMOSHENKO e

GERE, 1961)

O sistema de equações diferenciais para o cálculo do momento fletor de flambagem

lateral com torção Me, segundo a Teoria da Estabilidade Elástica apresentada por

TIMOSHENKO e GERE (1961), é descrito pelas Equações [6], [7] e [8]. Os termos u e v

representam respectivamente as translações nas direções principais x e y da seção,

enquanto o termo ϕ refere‐se ao ângulo de torção da seção em torno do eixo

longitudinal z. Para efeito das formulações que serão apresentadas, os eixos x e y

representam, respectivamente, os eixos principais de inércia máximo e mínimo da

seção, eixos 1 e 2.

. .∅

0 6

. .∅

0 7

.∅

. . .∅

. . 0 8

Sendo Ix e Iy os momentos principais de inércia máximo e mínimo da seção,

respectivamente. Como propriedades da seção transversal têm‐se a constante de

empenamento e a constante de torção de Saint Venant J. Para o material têm‐se os

módulos de Elasticidade longitudinal E e transversal G. Todos os termos aqui descritos

são conhecidos e simples de serem obtidos, podendo ser conferidos também em

bibliografia especializada.

171

Complementando os termos apresentados, existem, ainda, os parâmetros geométricos

da seção transversal β1 e β2, empregados exclusivamente no cálculo da flambagem

lateral com torção. O primeiro está relacionado ao eixo x (máximo, 1) e o segundo ao

eixo y (mínimo, 2). O cálculo desses parâmetros, segundo TIMOSHENKO e GERE (1961),

é definido pelas Equações [9] e [10], onde x0 e y0 representam a distância entre o

centróide e o centro de torção da seção na direção de seus eixos principais de inércia.

1 2 9

1 2 10

Estes parâmetros estão inteiramente associados à posição do centro de torção em

relação aos eixos principais de inércia da seção. O valor do parâmetro β se aproxima de

zero à medida que o centro de torção está mais próximo do eixo de referência, ou seja,

β1 será igual a zero caso o centro de torção esteja localizado exatamente sobre o eixo 1,

assim como β2 será nulo quando o centro de torção estiver localizado sobre o eixo 2.

Esta situação particular, inclusive, ocorre para as seções duplamente simétricas e as

seções ponto‐simétricas aqui investigadas, devido à posição do centro de torção

coincidir com a posição do centróide. Logo, ambos os parâmetros, β1 e β2, assim como

os demais termos que os acompanham na Equação [8], desaparecem do sistema de

equações apresentado, o que vem a simplificar os cálculos posteriores.

Considerando, então, o caso particular das seções ponto‐simétricas, suponha‐se uma

seção Z enrijecida solicitada por momento fletor M aplicado em um eixo centroidal

qualquer da seção, normal ou não à alma, defasado do ângulo θ para com o eixo

principal de inércia máxima (eixo 1), como apresentado na Figura 7. Nessa figura é

apresentado o caso mais usual de momento fletor aplicado no plano da alma, que

inclusive se trata do caso de flexão investigado no presente estudo.

172

Figura 7 – Momento fletor M agindo em um eixo centroidal qualquer, normal ou não à alma da seção ponto‐simétrica Z

O momento fletor, por ser uma grandeza vetorial, pode ser decomposto nas direções

dos eixos principais 1 e 2, os quais são perpendiculares entre si. Logo, o valor do

momento crítico global Me pode ser definido segundo as expressões abaixo:

. .

Portanto, novamente as equações diferenciais que governam a flambagem lateral com

torção são introduzidas, fazendo‐se agora a substituição das incógnitas M1 e M2 por uma

única incógnita, o momento crítico global Me, juntamente do ângulo de defasagem θ

para com o eixo 1, dando origem às Equações [11], [12] e [13]:

. . .∅

0 11

. . .∅

0 12

.∅

.∅

. . . . 0 13

Os resultados da flambagem lateral com torção dependem, ainda, das condições de

extremidade (vínculos) da barra. Para a condição estabelecida de apoios simples e

empenamento livre, TIMOSHENKO e GERE (1961) definem como solução para as

equações diferenciais a adoção de u, v e ϕ segundo as expressões seguintes:

. . ∅ .

173

Substituindo‐se as expressões anteriores nas equações diferenciais do sistema,

definidas pelas Equações [11], [12] e [13], e reorganizando‐se os termos, obtêm‐se as

Equações [14], [15] e [16]:

².

². . . 0 14

².²

. . . 0 15

. . . .². ²

. 0 16

Uma solução possível para as equações do sistema seria considerar A1 = A2 = A3 = 0,

correspondente à configuração de equilíbrio indeformada ou inicial. Logo, para a

configuração de equilíbrio deformada associada à flambagem lateral com torção, é

preciso obter a solução que corresponde ao determinante nulo do sistema formado

pelas Equações [14], [15] e [16]. Antes disso, os termos que compõem as equações do

sistema podem ser simplificados, o que vem a facilitar as manipulações algébricas

posteriores. Para isso são adotadas notações idênticas às da ABNT NBR 14762:2010,

com o intuito de reduzir o número de termos das equações e facilitar o entendimento

por parte do leitor:

..

.

.

1 .

².. ²

Os termos Nex e Ney representam a força axial de flambagem global elástica por flexão

em torno dos eixos principais x e y, respectivamente, e o termo Nez a força axial de

flambagem global elástica por torção pura, como mencionado anteriormente. As

variáveis Kx.Lx, Ky.Ly e Kz.Lz denotam a condição de extremidade considerada, sendo no

presente estudo adotada viga bi‐apoiada e com empenamento livre, o que conduz a

Kx=Ky=Kz= 1. Logo, o sistema de equações passa a ser representado segundo as

Equações [17], [18] e [19]:

. . . 0 17

174

. . . 0 18

. . . . . . 0 19

Montando‐se o determinante do sistema formado pelas equações anteriores, as

constantes A1, A2 e A3 desaparecem, restando como incógnita apenas o valor do

momento crítico global Me. Igualando a zero e expandindo o determinante, o resultado

é a equação do segundo grau apresentada pela Equação [20]:

. ² . ² . . 0 20

Apesar do caráter de equação quadrática, para o caso particular de seções duplamente

simétricas e ponto‐simétricas, as duas soluções da Equação [20] serão iguais em valor

absoluto para ambos sentidos de flexão de um mesmo eixo centroidal, independente

do eixo de solicitação, isto é, qualquer que seja o ângulo θ formado entre o vetor

momento fletor aplicado e o eixo principal máximo. Com isso, isolando‐se a incógnita

Me, tem‐se como solução final para o momento crítico global de seções duplamente

simétricas e ponto‐simétricas, sob a condição de flexão livre (oblíqua), a Equação [21].

. .,

. . , 21

É importante lembrar que esta equação não pode ser aplicada no caso de flexão em

seções monossimétricas, visto que as proposições anteriores são válidas somente para

o caso particular em que a posição do centro de torção coincide com a posição do

centróide da seção, caso este que não ocorre em seções monossimétricas.

A Equação [21], que se mostra simples e prática, foi validada posteriormente com o

auxílio do programa CUFSM v.3.12, usado ao longo de todo o estudo, e adicionalmente

com a contribuição do programa computacional GBTUL v.2.0, desenvolvido por

BEBIANO et al (2010) e representante do método da Teoria Generalizada de Vigas (GBT).

Os resultados obtidos pelas soluções analítica e numéricas foram coerentes,

apresentando diferença percentual inferior a 10%, diferença essa justificada pelos

diferentes métodos de resolução adotados na comparação.

175

Considerando ainda a Equação [21], e levando‐se em conta o uso de seções ponto‐

simétricas Z, simples e enrijecidas, sob flexão em torno do eixo perpendicular à alma, foi

elaborada a Tabela 2 reunindo os diferentes valores para o ângulo θ, em graus, para as

relações bf/bw e D/bw mais usuais na prática. Para o caso dos perfis enrijecidos os

ângulos foram obtidos adotando‐se perfis com enrijecedores a 90º, entretanto,

conservadoramente, podem ser adotados igualmente para enrijecedores a 45º

(diferenças podem ser consideradas desprezíveis para efeito de cálculo de Me).

Tabela 2 – Valores de θ, em graus, para seções ponto‐simétricas Z, simples e enrijecida, sob flexão livre (oblíqua) em torno do eixo perpendicular à alma

Da mesma maneira que foi adotado para o modo de flambagem local, quando foram

disponibilizados os valores dos coeficientes de flambagem kl por meio de tabela e

expressões matemáticas, para os valores de θ também foi definida uma expressão,

representada pela Equação [22]. Devido à variação quase constante entre os valores do

ângulo θ para cada relação geométrica, foi possível obter uma única expressão para

representar os perfis simples e enrijecidos simultaneamente, sem com isso perder em

precisão. Novamente a variável X representa a relação bf/bw, e Y a relação D/bw.

θ = – 9,39 + 42,24Y – 33,60Y2 + 75,94X + 4,13XY – 19,97X2 [22]

Diante das exposições apresentadas até aqui foram analisadas as Equações [5] e [21],

representando, respectivamente, a solução proposta pela ABNT NBR 14762:2010 e a

solução desenvolvida no presente estudo para o cálculo de Me em seções ponto‐

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

0,2 6,33 8,35 9,92 11,20 12,29 13,23 14,06

0,3 11,34 13,68 15,58 17,20 18,62 19,89 21,03

0,4 16,81 19,34 21,47 23,32 24,98 26,50 27,91

0,5 22,50 25,12 27,35 29,33 31,14 32,83 34,42

0,6 28,19 30,78 33,02 35,03 36,88 38,63 40,30

0,7 33,66 36,12 38,27 40,22 42,04 43,76 45,41

0,8 38,74 41,00 43,00 44,84 46,55 48,19 49,77

0,9 43,32 45,35 47,17 48,86 50,44 51,97 53,44

1,0 47,38 49,17 50,81 52,33 53,78 55,18 56,54

A relação D/bw igual a zero representa os perfis ponto-simétricos Z simples (não enrijecidos)Para valores intermediários é sugerido interpolar linearmente

D/bwbf/bw

176

simétricas Z. Nota‐se que a equação da norma considera o eixo normal à alma dessas

seções como principal de inércia máximo, similar à condição de flexão restringida,

aplicando‐se ainda um fator de redução igual a 0,5 à equação. A razão para a presença

desse fator na composição da Equação [5], assim como da formulação da própria

equação, foi investigada, contudo não foram encontradas referências literárias que

justificassem sua existência, apesar de estar presente nos procedimentos normativos.

Já a Equação [21] foi elaborada com base na Teoria da Estabilidade Elástica. A diferença

de resultados entre ambas as equações será mensurada na próxima seção.

6 Comparativo entre os diferentes modos de obtenção de Me

Concluindo a investigação do cálculo do momento fletor crítico de flambagem global

elástica de seções ponto‐simétricas Z apresentada no presente artigo, foi elaborada a

Tabela 3, constando os valores obtidos para Me segundo os diferentes modos discutidos:

(i) Equação [5], segundo a ABNT NBR 14762:2010; (ii) Equação [21], solução analítica

baseada na Teoria da Estabilidade Elástica; (iii) CUFSM v.3.12 e GBTUL v.2.0, soluções

numéricas baseadas no MFF e GBT, respectivamente. A tabela apresenta, ainda,

comparativo entre os valores obtidos pela equação da norma brasileira com os valores

encontrados pelas demais soluções abordadas, analítica e numéricas. Foram adotados:

bw=100mm, L=4000mm, t=1,0mm, D/bw=0,2, Cb=1,0, E=200GPa, =0,3.

Tabela 3 – Comparativo dos valores obtidos para Me, em N.mm, segundo Equação [5] da ABNT NBR 14762:2010, Equação [21] do presente artigo e soluções numéricas

dif. (%) GBTUL v.2.0 dif. (%)

0,2 120,3 115195 104,7

0,3 128,2 238514 110,4

0,4 138,0 419082 118,5

0,5 150,1 664487 129,2

0,6 164,5 980862 142,1

0,7 180,9 1374699 156,8

0,8 199,0 1852522 173,2

0,9 218,5 2421227 190,9

1,0 239,0 3086921 209,6

115104 104,5

418795 118,4

1850809 172,9

3082702 209,2

289880 663756 129,0

Equação [21]

Flexão livre (oblíqua) em torno do eixo perpendicular à alma de seções ponto-simétricas Z90

14762:2010

ABNT NBR

2027766

535298 1373349 156,6 1503680

678161

456368

113340 238275 110,2 258595

725005

405213

123978

Equação [5] dif. (%)

56284

bf/bw

191760

979789

3380086

832407 2418496 190,5 2650939

997128

Soluções numéricas

MFF GBT

Solução analítica

Estabilidade Elástica

141,8 1071753

CUFSM v.3.12

177

De acordo com os resultados apresentados na Tabela 3, percebe‐se que o cálculo do

momento crítico global Me, segundo cada modo investigado, conduz a valores muito

distintos, sendo para a solução da ABNT NBR 14762:2010, representada pela Equação

[5], sempre inferior aos demais. Logo, em se tratando do dimensionamento estrutural

de PFF, onde o valor do momento crítico afeta diretamente o valor do esforço resistente

da barra na flexão, a adoção da solução proposta pela norma para o cálculo de Me

resultará em um momento fletor resistente muito abaixo daquele esperado, visto que

as diferenças obtidas da comparação entre os modos de obtenção de Me foram muito

elevadas, principalmente para perfis de comprimento longo, onde o modo de

flambagem global é dominante sobre os demais.

É possível observar também como as diferenças percentuais se comportam com a

variação da relação bf/bw. Nota‐se um aumento das diferenças à medida que a relação

bf/bw também aumenta. A observação é válida quando se comparam os resultados

obtidos pela Equação [5] da ABNT NBR 14762:2010 com os resultados da Equação [21]

e dos programas computacionais CUFSM v.3.12 e GBTUL v.2.0.

Analisando os valores obtidos da Equação [21] frente aos do programa GBTUL v.2.0,

notam‐se diferenças irrelevantes, muito abaixo de 1%, o que corrobora a eficiência da

solução analítica apresentada no presente estudo. Comparando‐se aos do programa

CUFSM v.3.12 as diferenças são um pouco mais expressivas, mas ainda assim ficam

abaixo de 10%, justificadas conforme o motivo mencionado na seção anterior.

Apesar dos resultados da Tabela 3 estarem associados a parâmetros específicos como

espessura t igual a 1 mm, comprimento L igual a 4000 mm e relação D/bw igual a 0,2,

verificou‐se que a variação dessas propriedades pouco altera as diferenças percentuais

obtidas da comparação entre os resultados das equações propostas, isto é, quando

considerados perfis com diferentes espessura, comprimento e largura do enrijecedor de

borda. Logo, conclui‐se que as seções analisadas bastam para justificar a solução

proposta pela Equação [21]. A afirmação baseia‐se em testes efetuados pelos autores,

porém não registrados neste artigo, a fim de não estender o conteúdo do mesmo.

178

7 Conclusões

A presente pesquisa permitiu concluir que as prescrições da norma brasileira ABNT NBR

14762:2010 deixam lacunas quanto ao dimensionamento de seções ponto‐simétricas Z

sob flexão simples em torno do eixo perpendicular à alma, em se tratando dos modos

de flambagem local e global.

Para o modo de flambagem local, notou‐se a ausência de prescrições para cálculo do

coeficiente de flambagem local kl para seção completa sob a condição de flexão oblíqua.

Há apenas indicações para o cálculo desse coeficiente para a condição de flexão

restringida, a qual foi verificada e confirmada em muito boa concordância frente aos

resultados numéricos. No entanto, a norma não esclarece ser essa a condição de flexão

a que se refere. Nesse contexto, sugere‐se a inclusão das Equações [2] e [3] e Tabela 1

propostas para o cálculo do coeficiente de flambagem local kl para as seções ponto‐

simétricas Z na flexão oblíqua em torno do eixo perpendicular à alma da seção.

O estudo do modo de flambagem global apresentou resultados em desacordo com a

Teoria da Estabilidade Elástica, visto que a equação de cálculo do momento crítico global

constante na norma brasileira não está em concordância com a teoria apresentada por

TIMOSHENKO e GERE (1961). A solução proposta pela ABNT NBR 14762:2010 demonstrou

ser muito antieconômica, com diferenças podendo chegar a 200% inferiores ao valor

esperado. Considerando que a Equação [21] elaborada na pesquisa foi validada pela

comparação com resultados obtidos pela solução numérica da flambagem segundo os

programas CUFSM v.3.12 e GBTUL v.2.0, seria recomendável uma validação

experimental posterior, visando assim uma possível substituição da Equação [5]

constante na ABNT NBR 14762:2010 pela Equação [21] desenvolvida na presente

pesquisa em uma próxima revisão da norma.

8 Agradecimentos

O primeiro autor agradece o apoio financeiro da Coordenação de Aperfeiçoamento de

Pessoal de Nível Superior (CAPES) para a realização da presente pesquisa.

179

9 Referências Bibliográficas

ABNT, NBR 14762:2010. Dimensionamento de estruturas de aço constituídas por perfis formados a frio, Associação Brasileira de Normas Técnicas, Rio de Janeiro, RJ. 2010.

AISI, S100‐16. North American Specification for the Design of Cold‐Formed Steel Structural Members, American Iron and Steel Institute, Washington, DC. 2016.

BATISTA, Eduardo de Miranda. “Effective section method: A general direct method for the design of steel cold‐formed members under local–global buckling interaction”, Thin‐Walled Structures, v.48, pp. 345‐356.2010.

BEBIANO, Rui; SILVESTRE, Nuno; CAMOTIM, Dinar. “GBTul 1.0 β – Buckling and Vibration Analysis of Thin‐Walled Members”, GBT Theoretical Background, DECivil/IST, Technical University of Lisbon, Portugal. 2010.

FÁVERO NETO, Alomir Hélio. Terças em perfis de aço formados a frio com continuidade nos apoios: ênfase ao estudo das ligações de alma parafusadas com transpasse ou luva, Dissertação de Mestrado, EESC/USP, São Carlos, SP. 2013.

PEREIRA, Vitor Faustino. Integração entre sistemas de cobertura metálica e estrutura de concreto em galpões. Aplicações em sistemas pré‐moldados e tilt‐up, Apostila, Prof. adjunto UEL. 2016.

SCHAFER, Benjamin William. “Designing Cold‐Formed Steel Using the Direct Strength Method”, 18th International Specialty Conference on Cold‐Formed Steel Structures, Orlando, FL. 2006.

SCHAFER, Benjamin William; ÁDÁNY, Sandor. “Buckling analysis of cold‐formed steel members using CUFSM: conventional and constrained finite strip methods”, 18th International Specialty Conference on Cold‐Formed Steel Structures, Orlando, FL. 2006.

TIMOSHENKO, Stephen Prokofievich; GERE, James Monroe. Theory of Elastic Stability, 2 ed., McGraw‐Hill, New York. 1961.




Ábacos para Pré‐dimensionamento de treliças e tesouras de cobertura com perfis formados a frio Cristiano Rossoni1, Judiclar Rigo1, Marinês Silvani Novello2, Zacarias Martin

Chamberlain Pravia3*

1 Engenharia Civil, Universidade de Passo Fundo, Passo Fundo, [email protected], [email protected]

2 Engenharia Civil, Faculdade Meridional – Imed, Passo Fundo, RS, [email protected]

3 Programa Pós‐Graduação em Engenharia Civil e Ambiental, PPGEng, Universidade de Passo Fundo, Passo Fundo, RS, [email protected]

ABACUSES TO PRE‐DESIGN COLD‐FORMED STEEL TRUSSES

Resumo

O projeto da estrutura de uma cobertura em estrutura de aço treliçada é composta por

várias fases, sendo uma delas a de pré‐dimensionamento. Na bibliografia técnica

somente encontram‐se fórmulas empíricas e gráficos que através do vão livre teórico

definem apenas a altura da viga treliçada. Diante disso, esse trabalho dá continuidade

ao trabalho de BIANCHI, NOVELLO e PRAVIA (2015), agora com treliças de banzos

paralelos e tesouras em perfis formados a frio, considerando além do vão livre,

premissas como, espaçamento e ações permanentes e variáveis, através de ábacos e

tabelas obtêm‐se os dimensionais da seção transversal do perfil, mais próximos do real,

que podem ser utilizados nos projetos.

Palavras‐chave: pré‐dimensionamento, treliças de aço.

Abstract

The design of a truss steel structure roof consists of several stages, after defined the

global dimensions need to define sections of elements: pre‐design. In literature area

founded only empirical formulas and graphics that give global sizing, as relation of span

height of truss, but not sections. Therefore, this work continues the presented by

BIANCHI, NOVELLO and PRAVIA (2015) and presents tables and abacuses to pre‐design

elements of planar trusses.

Keywords: presizing, steel trusses.


181

1 INTRODUÇÃO

A elaboração do projeto de uma estrutura é composta por fases de pré‐

dimensionamento, análise estrutural, verificação de resistências e estabilidade, bem

como verificação dos limites de deformações. Os resultados dessas fases permitem a

elaboração do projeto detalhado, sendo que nessas etapas são determinadas as

dimensões das seções transversais dos elementos que serão utilizados para formar a

estrutura da edificação.

A maioria das publicações existentes considera equações e gráficos empíricos e ou

regras decorrentes de práticas aplicadas durante a execução de projetos. Rebello (2007)

afirma que as treliças planas mais econômicas são as que apresentam a relação entre

altura da treliça e vão compreendido entre 1/7 e 1/10, e em casos extremos podem ser

utilizados valores entre 1/5 a 1/15 do vão livre teórico, porém já não sendo tão

econômicos. Ocorre que esse pré‐dimensionamento se limita às dimensões globais do

modelo estrutural (treliças ou tesouras), sem fornecer as dimensões das seções a dispor

nos elementos do arranjo estrutural.

2 JUSTIFICATIVA E OBJETIVOS

Diante dessa necessidade, e dando continuidade ao trabalho de BIANCHI, NOVELLO

e PRAVIA (2015), o qual a partir de modelos definidos de arcos treliçados têm‐se a seção

do perfil mais próxima da esperada que pode ser aplicada nos projetos, o objetivo deste

trabalho também é apresentar as seções de perfis em aço formados a frio porém para

elementos em forma de cantoneiras duplas e perfis ``U`` que compõem vigas treliçadas

planas em duas águas do tipo trapezoidais (RIGO, 2014) e retangulares de banzos

paralelos (ROSSONI, 2015). Nas verificações foram considerados os perfis mais

adequados para atender às solicitações de segurança estrutural e critérios das normas

ABNT.

A meta do presente trabalho é determinar com as prescrições de estados limites e

de utilização dimensões de seções que possam ser um ponto de partida para pré‐

dimensionar e configurar projetos para poder analisar e verificar os elementos de

maneira mais eficiente. De maneira secundária, apresentam‐se os procedimentos

necessários para o cálculo de edificações deste tipo.

182

3 METODOLOGIA

A seguir são definidos os processos de dimensionamento dos conjuntos de

edificações industriais que foram usadas, as seções que foram consideradas de acordo

com a padronização das normas brasileiras e as ações e prescrições seguidas no

dimensionamento.

As seções transversais escolhidas foram as seções padronizadas pela ABNT NBR

6355:2012 Nas análises e dimensionamentos apresentados a seguir foram consideradas

as seguintes hipóteses:

sistema estrutural transversal: pórticos com ligações rígidas e bases

engastadas;

sistema estrutural longitudinal: pórticos contidos verticalmente com bases

rotuladas;

treliças de cobertura trapezoidais e retangulares, ambas com contenções

laterais a cada dois nós e contenções laterais no banzo superior travados a

cada nó da treliça onde são instaladas as terças de cobertura;

colunas sem contenções laterais;

perfis com seção de dupla cantoneira e perfil U em aço estrutural ASTM A

572 grau 50 dispostos em diferentes posições conforme figuras 1 e 2.

Figura 1 – Seção transversal dos perfis que compõem os modelos de treliças

trapezoidais. Fonte: Adaptado de Rigo (2014).

183

Figura 2 – Seção transversal dos perfis que compõem os modelos de treliças retangulares. Fonte: Adaptado de Rossoni (2015)

Nos modelos estruturais que foram analisados e dimensionados, foram definidos

vários vãos dos pórticos, altura da coluna e distância entre pórticos conforme a

configuração da figura 3 (a e b) e figura 4 e valores apresentados na Tabela 1 e 2:

(a) (b)

Figura 3 – Esquemas de composição das treliças plana trapezoidal de cobertura Tabela 1 ‐ Dimensões padrões para análise dos modelos de treliça plana trapezoidal

L ‐ Vão livre (m)

H ‐ Altura da coluna (m)

B ‐ Distância entre

pórticos (m)

Comprimentoda edificação

(m)

H‐MAXAltura

máxima da treliça (m)

H‐MIN Altura mínima da treliça (m)

Inter‐terças Espaçamento

entre terças (m)

15 6 6 60 1,74 0,8 1,89

25 9 9 63 2,36 0,8 1,80

35 12 12 60 2,99 0,8 1,96

45 3,62 0,8 1,89

Figura 4 – Vista transversal da viga treliçada de cobertura retangular de banzos paralelos

184

Tabela 2 ‐ Dimensões padrões para análise dos modelos de treliça plana retangular de banzos paralelos. Fonte: Rossoni (2015)

L ‐ Vão livre (m)

H ‐ Altura da coluna

(m)

B ‐ Distância entre pórticos

(m)

Comprimentoda edificação

(m)

H‐ Altura da treliça (m)

Inter‐terças Espaçamento entre terças

(m)

15 6 6 60 1,00 1,89

25 9 9 63 1,75 1,80

35 12 12 60 2,50 1,96

45 3,00 1,89

Para análise estrutural dos pórticos e dimensionamento dos elementos de aço

considerou‐se as normas técnicas: ABNT NBR 6120:1980, ABNT NBR 6123:1986 ações

devidas ao vento, ABNT NBR 8681:2003 segurança nas estruturas, ABNT NBR 8800:2008

projeto de estruturas com perfis laminados e soldados, ABNT NBR 14762:2010 projeto

de estruturas com perfis formados a frio. Nessa análise para as ações e combinações

foram consideradas as ações permanentes, incluído o peso próprio da estrutura, uma

ação acidental mínima de 0,25 kN/m2, e o vento para velocidades básicas de 30, 35, 40

e 45 m/s. As combinações utilizadas estão conforme aquelas previstas na ABNT NBR

8800:2008 e na ABNT 14762:2010 para estados‐limites últimos e as frequentes para

estados‐limites de serviço. Além disso, foram verificadas as flechas dos elementos e das

treliças.

Para exemplificar o uso dos ábacos propostos são apresentadas duas aplicações

explicativas.

4 RESULTADOS

A partir da análise dos resultados obtidos para as seções da treliça trapezoidal,

se observou que a maior diferença entre os perfis obtidos na verificação do

dimensionamento é com relação ao vão maior (45m) e em relação ao menor vão de

(15m), sendo que a variação de espessura foi pequena, pois aumentavam‐se as

dimensões da seção do perfil e reduzia‐se a espessura.

Analisando as tabelas 3 e 4 dos perfis utilizados nas tesouras retangulares planas

de banzos paralelos percebeu‐se que as diferenças entre espessuras dos perfis para os

galpões do menor vão para o maior, com as mesmas considerações de cálculo, não

185

apresentam grande variação, mas foi o aumento nas dimensões do perfil o que

repercutiu na não alteração da espessura.

As treliças retangulares planas de coberturas com banzos paralelos

demonstraram ser muito funcionais, pois sua deformação ficou abaixo do limite de

L/250, e também tendo espessura máxima de 7,94mm em perfil U e 12,7mm em

cantoneira dupla, necessitando assim de equipamentos de menor capacidade para seu

processo de produção.

A partir dos resultados do dimensionamento elaboraram‐se ábacos para realizar

o pré‐dimensionamento da estrutura da cobertura em treliça plana trapezoidal e em

treliça plana retangular. Esses ábacos foram elaborados considerando 4 (quatro)

incógnitas, que são: a velocidade básica do vento, vão dos pórticos, espaçamento entre

pórticos e pé‐direito (altura da coluna).

Na montagem desses gráficos, primeiramente determina‐se a união dos pontos

de vão da treliça (L) no eixo das abscissas eixo (x) e o ponto da velocidade do vento (V0)

no eixo das ordenadas (y) conforme mostra a figura 5. Após termos o primeiro ponto

que é a intersecção de (L) com (V0) conforme figura 5, gira‐se o triângulo em 45° no

sentido horário e têm‐se um segundo eixo de coordenadas (figura 6) e neste ábaco loca‐

se os pontos de espaçamento entre pórticos (B) no eixo das abscissas (x) e altura das

colunas (H) no eixo das ordenadas (y). Com a união destes pontos determina‐se o tipo

de perfil a ser adotado para a treliça trapezoidal ou retangular. Através destes ábacos é

possível também determinar a seção de pré‐dimensionamento para o pilar para a

condição de projeto desejada, mas essa consideração não será apresentada neste

trabalho.

4.1 Aplicação 1 – Treliça Plana trapezoidal

Para dimensionar um pórtico com viga de cobertura treliçada trapezoidal com as

seguintes características:

vão do pórtico, largura: L= 35,0m;

velocidade do vento conforme Mapa de Isopletas: V0 =45m/s;

espaçamento entre pórticos: B=6,0 m;

altura da coluna: H = 12,0 m.

Pré‐dimensionamento pelo Ábaco:

186

primeiramente encontra‐se a largura de L=35m no eixo horizontal (x);

no eixo vertical y, encontra‐se a velocidade básica do vento V0=45m/s,

encontrando‐se assim a primeira intersecção (figura 5);

nesta interseção (figura 6) encontra‐se um novo sistema de coordenadas

com 9 opções, variando a altura da coluna (H=6, 9 e 12m) e a distância

entre pórticos (B=6, 9 e 12m), linhas estas que estão rotacionadas em 45°

a partir do eixo global horizontal da figura.

Rotacionando‐se esta figura encontra‐se os novos eixos globais a partir

da origem da intersecção de L e V, onde se encontra o ponto H=12m e

B=6m (figura 7).

Figura 5 – Ábaco para definição de perfis de treliças planas trapezoidais com seção de perfis em cantoneira dupla. Fonte: Rigo (2014)

187

Figura 6 – Ponto de origem do novo sistema de coordenadas. Fonte: Rigo (2014)

Figura 7 – Segundo eixo de coordenadas globais: Intersecção dos eixos H=12 metros e B = 6 metros. Fonte: Rigo (2014)

Tabela 3 ‐ Identificação do perfil por código do ábaco. Fonte: Rigo (2014)

Seção perfil dupla cantoneira (mm) Seção perfil U (mm)

B1 2L 50x2,25x50 U 100x50x3

B2 2L 50x2,65x50 U 100x75x2,65

B3 2L 50x3,75x50 U 100x75x3

B4 2L 50x4,75x50 U 100x75x3,35

B5 2L 50x6,35x50 U 100x75x4,25

B6 2L 60x2,65x50 U 100x75x4,75

B7 2L 60x3,35x50

B8 2L 60x3,75x50

B9 2L 60x4,75x50

B10 2L 60x6,35x50

188

Portanto, conforme a figura 7 para a intersecção H = 12 e B = 6, têm‐se um código

B5 que representa o perfil pré‐dimensionado 2L 50x6,35x50 mostrado na tabela da

tabela 3 para a treliça plana trapezoidal de cobertura com as características admitidas

anteriormente, para V0 = 45 m/s e L = 35 m, B = 6m e H = 12m.

O mesmo procedimento de pré‐dimensionamento deve ser realizado para

treliças planas trapezoidais, porém compostas por perfis de seção transversal em U,

utilizando o ábaco da figura 8 e seções disponíveis na tabela 3

Figura 8 – Ábaco para definição de perfis de treliças planas trapezoidais com seção de perfis U. Fonte: Rigo (2014)

4.2 Aplicação 2: Treliça Plana Retangular de Banzos Paralelos

Para pré‐dimensionar o perfil para viga de cobertura treliçada retangular de

banzos paralelos, o processo é o mesmo do apresentado no exemplo 1, sendo:

primeiramente encontrar o vão desejado no caso do exemplo de L=25m

no eixo de coordenadas cartesianas horizontal (x), L(m);

189

após encontrar a velocidade básica do vento no caso desse exemplo

V=40m/s no eixo de coordenadas cartesianas vertical “y”, em m/s,

encontra‐se a primeira intersecção no eixo das coordenadas cartesianas

representada na figura 9;

Figura 9 – Ábaco para definição de perfis de treliças planas retangulares com seções de perfis U. Fonte: Rossoni (2015)

esta intersecção encontra‐se o ponto de origem do novo sistema de

coordenadas globais com 9 opções, variando o pé‐direito (H=6, 9 e 12m)

e a distância entre pórticos (B=6, 9 e 12m), linhas estas que estão

rotacionadas em 45° e 135° a partir do eixo global (figura 10);

190

Figura 10 – Ponto de origem do novo sistema de coordenadas. Fonte: Rossoni (2015)

encontra‐se então a intersecção entre o eixo que representa o pé‐direito,

H=9m e o eixo que representa o espaçamento entre pórticos, B=12m

(figura 11).

Figura 11 – Segundo eixo de coordenadas globais: Intersecção dos eixos H = 9metros e B = 12 metros. Fonte: Rossoni (2015)

Esta intersecção (figura 11) define o ponto no qual se encontra o perfil pré‐

dimensionado para as treliças de cobertura planas retangulares para as considerações

anteriormente previstas, para L=25m, V0=40m/s, H=9m e B=12m. Com isso o perfil

requerido para essa combinação do exemplo 2 corresponde ao código V5 que

representa o perfil pré‐dimensionado (U 200x80x6,35 ) da tabela 4.

O mesmo processo de pré‐dimensionamento deve ser realizado para treliças

planas retangulares, porém compostas por perfis de seção transversal em dupla

191

cantoneira, utilizando o ábaco da figura 12 e seções com seu respectivo código do ábaco,

disponíveis na tabela 4.

Figura 12 – Ábaco para definição de perfis de treliças planas retangulares com seções de dupla cantoneira. Fonte: Rossoni (2015)

Tabela 4 – Identificação do perfil por código do ábaco. Fonte: Rossoni (2015)

Treliça ‐ Perfil U Treliça ‐ Perfil Dupla cantoneira

Seção perfil (mm) Seção perfil (mm) Lado externo (mm)

V1 U 150x70x3,75 2L 75x3,75x75 200

V2 U 150x70x4,75 2L 75x4,75x75 200

V3 U 200x80x4,75 2L 75x6,35x75 200

V4 U 200x100x4,75 2L 75x9,52x75 200

V5 U 200x80x6,35 2L 100x6,35x100 250

V6 U 200x100x6,35 2L 100x7,94x100 250

V7 U 250x150x6,35 2L 100x9,52x100 250

V8 U 300x150x6,35 2L 125x12,7x125 300

192

5 CONCLUSÕES

As diversas soluções estruturais analisadas neste trabalho tiveram por objetivo

apresentar sugestões de pré‐dimensionamento de seções para diversos vãos e duas

configurações de treliças. As prescrições das normas ABNT NBR 8800:2008 e ABNT NBR

14762:2010 foram seguidas e foram apresentados os ábacos para serem usados com

dois exemplos de uso.

O uso destes ábacos facilitará a estudantes em cursos de graduação e os

profissionais iniciantes a realização de projetos de coberturas de aço.

6 AGRADECIMENTOS

À Stabile Engenharia pela licença do programa MCalc 3D concedida para a realização da

pesquisa.

7 REFERÊNCIAS

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). NBR 6120:1980 Cargas para o cálculo de estruturas para edificações. Rio de Janeiro: 1980. ________. NBR 14672:2010 Dimensionamento de estruturas de aço constituídas por perfis formados a frio. Rio de Janeiro: 2004. ________. NBR 6123:1988. Forças devidas ao vento em edificações. Rio de Janeiro: 1988. ________. NBR 6355:2012. Perfis Estruturados de aço formados a frio: padronização. Rio de Janeiro: 1988. ________. NBR 8681:2003 Ações e segurança nas estruturas ‐ procedimento. Rio de Janeiro: 2003 ________. NBR 8800:2008. Projetos de Estruturas de Aço e de Estruturas Mistas de Aço e Concreto de Edifícios. Rio de Janeiro: 2008. BIANCHI, Pollyana; NOVELLO, Marinês Silvani; PRAVIA, Zacarias Chamberlain; Um ábaco para pré‐dimensionamento de seções de coberturas em arco treliçadas de perfis formados a frio. Associação Brasileira da Construção Metálica –ABCEM. São Paulo, Edição 119, p. 422 a 45, dez. 2015.

193

BIANCHI, Pollyanna Fernandes. Pré‐dimensionamento de coberturas sustentáveis em arco treliçadas compostas por perfis de aço conformados a frio. Universidade de Passo Fundo, Passo Fundo, 2014. CARVALHO, Paulo Roberto M. de.; GRIGOLETTI, Gladimir.; DALTROZO BARBOSA, Giovana. Curso Básico de perfis de aço formados a frio. 3ª edição. Porto Alegre [s.n.], 2014. 370 p. CHAMBERLAIN PRAVIA, Zacarias. M., Drehmer, G. A., Galpões para usos gerais. 4ª ed. Instituto Aço Brasil. Rio de Janeiro: IAB/CBCA, 2010. 74p. D’ÁLAMBERT, Flávio Correa. Galpão em pórticos com perfis estruturais laminados. Instituto Brasileiro de Siderurgia / Centro Brasileiro da Construção em aço. Rio de Janeiro, 5ª ed. 2014. 68p. REBELLO, Yopanan Conrado Pereira. Bases para projeto estrutural na arquitetura. 5ª ed. São Paulo: Zigurate, 2007. 286 p. RIGO, Judiclar. Pré‐dimensionamento de coberturas sustentáveis treliçadas em perfis de aço dobrados a frio. Universidade de Passo Fundo, Passo Fundo, 2014. ROSSONI, Cristiano. Pré‐dimensionamento de coberturas sustentáveis em arcos e treliças planas em perfis dobrados a frio e perfis tubulares. Universidade de Passo Fundo, Passo Fundo, 2015. STABILE ENGENHARIA LTDA. Manual Mcalc3D. 3ª versão.


Recebido: 05/01/2018 Aprovado: 20/03/2018 Volume 7. Número 2 (agosto/2018). p. 194-204 - ISSN 2238-9377

NOTA TÉCNICA

Arena Allianz Parque: um Projeto Inovador Laura Maria Paes de Abreu 1*, Hermes Carvalho 2 e Ricardo Hallal Fakury 2

1 Doutoranda do Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Estruturas,

Universidade Federal de Minas Gerais, [email protected] 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas, Universidade

Federal de Minas Gerais, Av. Antônio Carlos, 6627 – Bloco 1 – 4º Andar, Belo Horizonte/MG, [email protected] e [email protected]

Allianz Parque Arena: an Innovative Project

Resumo No cenário da Copa do Mundo de Futebol de 2014, a reforma e modernização do centenário estádio da Sociedade Esportiva Palmeiras, atual Arena Allianz Parque, despontou como um investimento promissor. Uma cobertura em estrutura de aço treliçada foi construída com perfis de aço de seção tubular totalizando 22.000 kN e abrangendo uma área coberta de 23.000 m². A estrutura teve um projeto arrojado, com cinco grandes treliças apoiadas em núcleos de concreto suportando um anel interno que, por sua vez, servia de apoio para tesouras secundárias vindas das arquibancadas. O dimensionamento dos elementos estruturais foi realizado conforme as prescrições das normas ABNT NBR 8800:2008 e ANSI/ AISC 360-10. Devido aos elevados valores das ações, dimensões e consequentes deslocamentos da estrutura, uma sequência criteriosa de montagem foi planejada, com o objetivo de garantir a tolerância dimensional, estabilidade e segurança da estrutura.

Palavras-chave: estruturas de aço; coberturas de arenas; montagem de estruturas.

Abstract In the scenario of the 2014 Football World Cup, the renovation and modernization of the centenary stadium of the Sociedade Esportiva Palmeiras, current Allianz Parque Arena, emerged as a promising investment. A roof in lattice steel structure was constructed with tubular section steel profiles totaling 22,000 kN and covering an area of 23,000 m². The structure had a daring design, with five large trusses supported on concrete cores and supporting an inner ring that, in turn, served as support for secondary roof beams coming from the bleachers. The design of the structural elements was performed according to the requirements of ABNT NBR 8800: 2008 and ANSI/AISC 360-10 codes. Due to the high values of the actions, dimensions and displacements of the structure, a careful assembly sequence was planned to guarantee the dimensional tolerance, stability and safety of the structure.

Key Words: steel structures; arena roofs; steel structures assembly.


mailto:[email protected]

1 Introdução

Em 2010, no período que antecedia a Copa do Mundo de Futebol no Brasil, foi proposta

a reforma e a modernização do estádio da Sociedade Esportiva Palmeiras, na época

denominado Palestra Itália e

conhecido popularmente como

Parque Antárctica, na cidade de São

Paulo, então com cem anos de

construção (Figura 1). Tratava-se de

uma proposta arrojada, composta

por um complexo de prédios de

quadras, setores administrativos e

estacionamento, além de uma nova arena com capacidade para 45.000 pessoas

sentadas.

O projeto da nova arena, que passaria a se chamar Arena Allianz Parque, envolvia a

demolição parcial das arquibancadas e vestiários existentes e sua substituição por novas

estruturas concebidas em concreto pré-fabricado. Envolvia ainda uma cobertura

suportada por estrutura de aço treliçada para proteger toda a arquibancada e ainda

avançar sobre parte do gramado, proporcionando assim uma área multiuso que, entre

outras finalidades, poderia ser usada para shows e eventos. A Figura 2 mostra duas

imagens do projeto original da arena, numa das quais se vê parte da estrutura, descrita

no Item 2 deste trabalho, e na outra o aspecto visual previsto originalmente para a

arena.

Figura 2 – Imagens do projeto da Arena Allianz Parque (Fonte: Edo Rocha Arquiteturas)

Figura 1 – Antigo Estádio Palestra Itália (Fonte: site campeoesdofutebol.com.br)

195

A empresa responsável pelo empreendimento foi a Construtora WTorre, com projeto

arquitetônico desenvolvido por Edo Rocha Arquiteturas. A parte da estrutura de

concreto foi projetada pelo Eng. César Pereira Lopez e, a parte da estrutura de aço, pela

Enga. Laura Maria Paes de Abreu, da Usiminas Mecânica, empresa que também efetuou

o fornecimento e a montagem dessa estrutura.

2 Concepção estrutural da cobertura da arena

2.1 Aspectos gerais

Como se vê na Figura 2, a arena projetada possui uma forma particular constituída por

uma combinação de um semicírculo em concordância com trechos laterais retos, que

por sua vez concordam com um trecho ortogonal reto por meio de arcos de raio menor.

Para sua cobertura, grandes estruturas espaciais de aço, as treliças principais, se

projetam do topo de cinco núcleos de concreto armado que contêm escadas de acesso

em seu interior.

Apoiado nas treliças principais, em alguns casos excentricamente, foi projetado um anel

treliçado interno para suportar uma das extremidades das tesouras radiais (tesouras

secundárias), que possuem a outra extremidade apoiada na estrutura de concreto das

arquibancadas. Com essa solução, foi possível eliminar o balanço dessas tesouras, de

modo que não fossem transmitidos momentos para as arquibancadas. Na região

semicircular da cobertura, que avançava até 60 m além da arquibancada, foram

projetadas vigas do anel interno de maneira a distribuir igualmente os esforços entre

três treliças principais simetricamente posicionadas.

A estrutura da cobertura da arena totalizou um peso de 22.000 kN, abrangeu uma área

de 23.000 m2 e foi constituída em sua maior parte por perfis tubulares de seções circular

e quadrada, fabricados pela Vallourec do Brasil com aço de resistência ao escoamento

especificada como igual a 350 MPa.

2.2 Descrição e comportamento dos elementos estruturais principais.

A Figura 3 apresenta os elementos estruturais principais que compõem a estrutura de

aço da cobertura da arena: as tesouras secundárias radiais, o anel interno e a projeção

das cinco treliças principais. Pode-se observar ainda todo o intertravamento desses

196

elementos (terças e contraventamentos horizontais) para estabilização e suporte das

telhas.

Figura 3 – Arranjo estrutural do plano da cobertura

As cinco treliças principais, com altura máxima de 8,8 m, vencem um vão em balanço de

40 m e são os elementos fundamentais de sustentação da cobertura (Figura 4). A ação

do balanço gerou forças de arrancamento de 7.000 kN no apoio posterior, onde foram

previstas cordoalhas de ancoragem associadas a placas de cisalhamento planas

embutidas no concreto, capazes de absorver as ações verticais de tração e horizontais.

Figura 4 – Elevação de uma treliça principal típica

197

Uma mão-francesa entre cada treliça e seu núcleo de concreto foi utilizada para facilitar

a ligação entre ambos. As cinco treliças totalizaram 7.000 kN de perfis tubulares, o que

representa 30% do peso total da estrutura de aço usada na obra.

O anel interno, que serve de apoio para 66 tesouras secundárias radiais, é formado por

seis treliças planas com perfis tubulares laminados e soldados, das quais quatro

acompanham os lados do gramado e têm vão de 100 m, e duas se projetam da treliça

principal situada no centro do semicírculo para as duas treliças principais adjacentes e

têm vão de 53 m (ver Figura 3). As treliças com vão de 100 m possuem altura variável de

3,5 m nas extremidades a 6,5 m no centro, e as de 53 m, de 3,5 m a 4,1 m. Para absorver

os efeitos de variação de temperatura, as ligações entre o anel interno e as

extremidades das treliças principais foram concebidas como rótulas compostas por

chapas de olhal e um pino

cilíndrico forjado em aço inox a

fim de liberar os vínculos

horizontais (Figura 5). Dessa

forma, permitiu-se que a

cobertura se deformasse livre de

tensões térmicas.

As 66 tesouras secundárias

radiais são treliças de altura

padrão igual a 2,5 m e vão médio de 32 m. A Figura 6 mostra a estrutura em fase final

de acabamento, onde é possível observar o apoio dessas tesouras na arquibancada de

concreto e no anel interno. Nessa figura são vistas também mísulas que sustentam uma

faixa de cobertura em telha translúcida dentro do anel, para permitir a insolação do

gramado.

Figura 5 – Detalhe da ligação entre a extremidade da treliça principal com o anel interno por meio

de um sistema de pinos e olhais

198

Figura 6 – Detalhe do apoio das tesouras radiais no anel interno e das mísulas com

telhas translúcidas

3 Considerações sobre o projeto estrutural

3.1 Análise numérica e normas de dimensionamento

A primeira etapa da concepção do projeto estrutural da cobertura da Arena Allianz

Parque, a rigor um projeto híbrido de aço e concreto, consistiu na análise da estrutura

de aço para a determinação das suas reações nos suportes de concreto armado e

respectivas fundações. Essa análise foi desenvolvida no programa SAP2000® (1995),

levando em conta a não linearidade geométrica, como é usual nesse tipo de estrutura

com comportamento espacial e que apresenta deslocamentos significativos (ver Lazzari

et al., 2009), e contemplou cerca de 6.000 barras e nós. Adicionalmente, com os

resultados dos esforços solicitantes e deslocamentos, foi realizado o dimensionamento

dos elementos estruturais de aço e suas ligações conforme as prescrições das normas

brasileira ABNT NBR 8800:2008 e americana ANSI/AISC 360-10.

3.2 Ações

As ações na cobertura da Arena Allianz Parque são devidas:

• à carga permanente decorrente do peso próprio da estrutura e de todos os

elementos construtivos, como as telhas, e também decorrente dos equipamentos

de som e iluminação na projeção da arquibancada e equipamentos de cenografia na

projeção da área do semicírculo (local que servirá de palco em eventos);

• à sobrecarga de uso para a cobertura (valor básico igual a 0,5 kN/m2) e passarelas

(valor básico igual a 1,5 kN/m2);

199

• ao vento, segundo as pressões dinâmicas determinadas a partir der ensaio em túnel

de vento (ver Subitem 3.3);

• à variação da temperatura, considerada como +20°C ou –20°C em relação à

temperatura ambiente.

3.3 Consideração da ação do vento

Maiores níveis de segurança e confiabilidade são atingidos quando a consideração

criteriosa dos efeitos do vento é feita na etapa de concepção, podendo inclusive levar a

alterações arquitetônicas na forma externa da construção. Por essa razão, o ensaio de

edificações com formas não previstas nas normas relacionadas a ações do vento, como

é o caso Arena Allianz Parque, se torna indispensável. Nesse tipo de ensaio são

determinadas as pressões dinâmicas para diversos ângulos de incidência do vento,

considerando inclusive os efeitos de vizinhança causados pelo relevo ou edificações do

entorno.

Os ensaios de túnel de vento da arena foram desenvolvidos no Laboratório de

Aerodinâmica das Construções da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, a partir

da construção de um modelo rígido reduzido na escala 1/400, mostrado na Figura 7-a.

Os resultados são apresentados em forma de curvas isobáricas na superfície da

estrutura (Figura 7-b). A pressão dinâmica do vento a 40 m de altura foi calculada

conforme ABNT NBR 6123:1988, sendo obtido o valor de 940 N/m² no projeto.

(a) Modelo em escala reduzida (b) Curvas isobáricas na cobertura

Figura 7 - Ensaio da arena em túnel de vento (Loredo-Souza et al., 2012a)

200

Segundo Loredo-Souza et al. (2012b), para a consideração das respostas dinâmicas da

estrutura no túnel de vento, uma vez que o modelo é rígido e não representa o

comportamento dinâmico do conjunto estrutural, é necessária a realização de uma

análise dinâmica. Essa análise, na estrutura em estudo, foi desenvolvida a partir de um

modelo que combina as pressões dinâmicas de vento medidas experimentalmente em

túnel de vento com um modelo dinâmico teórico-numérico da estrutura, permitindo

assim a determinação das amplitudes de deslocamentos, velocidades e acelerações que

ocorrerão em resposta às flutuações das pressões aerodinâmicas.

4 Montagem da estrutura da cobertura

Uma obra de alta complexidade envolve inúmeras abordagens no que tange às soluções

de montagem. É fato que, em estruturas especiais com elementos de grandes

dimensões e peso, com canteiro de obras de difícil acessibilidade para equipamentos de

grande porte e área extremamente reduzida para estoque de peças e pré-montagem,

um projeto considerando todas as etapas de montagem deve ser elaborado, a fim de se

garantir não só a segurança e qualidade da estrutura, mas o cumprimento de prazos e

custos.

No projeto da Arena Allianz Parque, foram estabelecidos critérios de montagem que

priorizavam os pontos determinantes para o caminho crítico, tais como: (i) peso e

dimensão das peças; (ii) sequência da montagem dos elementos e a garantia da

estabilidade dos semiconjuntos em cada etapa; (iii) sequência do descimbramento via

controle das cargas e dos deslocamentos por meio de macacos hidráulicos;

(iv) especificação dos equipamentos necessários (guindastes, torres de escoramento,

atirantamento provisório, etc.); e, (v) interação da estrutura da cobertura com os demais

elementos, estruturais ou não (concreto armado, telhas, estruturas auxiliares, etc.).

201

A montagem da estrutura de aço teve início com o posicionamento das cinco treliças

principais. Para os demais elementos, efetuou-se uma sequência em sentido anti-

horário, de maneira que a cobertura fosse liberada em etapas, sendo a parte de

geometria semicircular

executada por último, como

mostrado na Figura 8. Dessa

forma, alcançou-se o melhor

desempenho em termos de

planejamento na montagem

das subestruturas das

arquibancadas em concreto

pré-fabricado, que obedeceu à

mesma sequência.

Em cada etapa de 1 a 4 (Figura

8), inicialmente metade da

treliça do anel interno foi

apoiada na treliça principal e

em uma torre de

escoramento e içados

conjuntos pré-montados

constituídos por um par de

tesouras radiais e,

posteriormente, o mesmo

procedimento foi executado com a outra metade da treliça do anel, sendo as duas

metades ligadas entre si. Finalmente, foi feito o içamento das demais peças principais e

execução dos ajustes nas ligações entre os elementos de aço e desses elementos com o

concreto. Como ilustração, a Figura 9 apresenta o posicionamento dos elementos de aço

durante a montagem da Etapa 1: içamento de metade da treliça do anel interno (1),

apoiada na treliça principal sobre uma torres de escoramento (2), e travada

lateralmente por um conjunto de duas tesouras radiais (3).

Figura 8 – Esquema da sequência de montagem da estrutura

Figura 9 – Montagem de parte da treliça do anel interno da Etapa 1

202

Na Etapa 5 (Figura 8), a última treliça do anel interno foi totalmente pré-montada “in

loco” e içada em seu

comprimento total de 100 m

sem escoramento,

totalizando 650 kN de peso.

Nessa operação, foi

necessária a mobilização de

toda a área do canteiro de

obras para o posicionamento

de dois guindastes de grande

porte, conforme mostrado na

Figura 10.

A Figura 11 apresenta uma

imagem aérea da arena

multiuso concluída.

Observa-se que o

revestimento externo que

cobriria as treliças

principais, e que pode ser

observado na Figura 1, não

foi executado por decisão arquitetônica, o que permite uma melhor visualização do

sistema estrutural.

5 Considerações finais

A Arena Allianz Parque é hoje referência mundial em arenas multiuso devido ao aspecto

moderno e inovador de sua concepção. Tem sido palco de grandes eventos esportivos e

culturais, nacionais e internacionais.

Devido ao conceito estrutural inovador, inúmeras soluções inéditas e não convencionais

foram desenvolvidas pela equipe técnica. As etapas essenciais e os principais desafios

de engenharia para o desenvolvimento de um projeto dessa magnitude foram

Figura 11 – Imagem aérea da arena concluída

Figura 10 – Içamento da última treliça do anel interno (Etapa 5)

203

apresentados neste trabalho, fornecendo assim parâmetros que podem ser úteis no

desenvolvimento de novos projetos.

Agradecimentos

Os autores agradecem o apoio da CAPES e do CNPq.

Referências bibliográficas

ANSI/AISC 360-10. Specification for Structural Steel Buildings. American Institute of Steel Construction (AISC), Chicago, 2010.

ABNT NBR 6123:1988. Forças devidas ao Vento em Edificações. Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT), Rio de Janeiro, 1988.

ABNT NBR 8800:2008. Projeto de Estruturas de Aço e de Estruturas Mistas de Aço e Concreto de Edifícios. Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT), Rio de Janeiro, 2008.

Lazzari, M.; Majowiecki, M.; Vitalini, R.V.; Saetta, A.V. Nonlinear F.E. analysis of Montreal Olympic Stadium roof under natural loading conditions. Engineering Structures, v.31, p.16-31. 2009.

Loredo-Souza, A.M.; Rocha, M.M.; Oliveira, M.G.K. Ação do Vento sobre a Nova Cobertura do Estádio Palestra Itália. Relatório Técnico, São Paulo. 2012a.

Loredo-Souza, A.M.; Rocha, M.M.; Oliveira, M.G.K. Análise Dinâmica por Integração de Pressões (HFPI) – Relatório Final. Relatório Técnico, São Paulo. 2012b.

SAP 2000 v. 14.1.0, Computer and Structures Inc., Berkeley, California, USA. 1995.

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Volume 7 | Número 2 · 2018. 8. 29. · Flambagem local e global de vigas de aço formadas a frio com seção ponto-simétrica Z sob flexão oblíqua Janderson Leitão Sena e Eduardo