FICHA DE TRABALHO 6 Sucessões: generalidades, monotonia e recorrência. Princípio de indução matemática

NOME: _________________________________________ N.º:______ TURMA: _________ DATA: __________

1. Indique o termo geral de uma sucessão cujos primeiros termos sejam:

a) 5, 7, 9, 11, … d) 16, 8, 4, 2, …

b) 0,5; 1; 2; 4;… e) 7, 7, 9, 13, …

c) 12, 9, 6, 3, …

2. Considere a sucessão (un) de termo geral un = 4−n2n

2.1. Determine os quatro primeiros termos de (un)

2.2. Averigue se os números−13,−18

17 e−2875

são termos de (un) e, em caso afirmativo, indique a respetiva

ordem.

2.3. Mostre que un ≤32,⩝ n ∈ IN .

3. Determine o 3.º e o 10.º termos da sucessão de termo geral:

a) un ¿ 2n

n2 b) Vn ¿−(−1)n−1 c) Wn ¿2n−3n+1

4. Nas figuras seguintes estão representados cinco quadrados, divididos em quadrados mais pequenos, pretos e brancos, de igual dimensão.

…

Supondo que o processo de construção dos quadrados maiores se mantém, determine:

a) o número de quadrados brancos de um tabuleiro do jogo de xadrez.

b) o número de quadrados pretos que terá a figura de ordem 10.

c) um termo geral da sucessão, an, do número de quadrados brancos.

d) um termo geral da sucessão, bn, de quadrados pretos.

5. Estude quanto à monotonia as sucessões de termo geral:

a) an=nn+1

e) en=4−n2n

i) in=nn2+1

b) bn=1n

f) f n=n2n+1

j) j n={ n2

2 n+1se n≤4

n2−12se n>4

DIMENSÕES • Matemática A • 11.º ano • Material fotocopiável • © Santillana

c) cn=(−1 )n+1 12n

g) gn=3− 1n

d) dn=1+ 1n

h) hn=arctan n k) k n={(−2)n−2 se npar 3n−1se n ímpar

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6. Considere os seguintes subconjuntos de números reais:

I. [–3, 5] IV. ] – ∞, 4]

II. ]–1, 2] V. [2, 7[ U {9}

III. ]2, + ∞[ VI. {14, 910 }

Para cada subconjunto indique:

a) se é majorado. e) se tem mínimo.

b) se é minorado. f) o conjunto dos majorantes.

c) se é limitado. g) o conjunto dos minorantes.

d) se tem máximo.

7. Mostre que são limitadas as sucessões com os termos gerais seguintes, indicando um majorante e um minorante para cada uma:

a) un = n−1n

c) wn = – 2

b) vn = 3n−2n+1

d) zn = (−1)n+1 2nn+1

8. Uma sucessão (un) de termos negativos é tal que, para todo o número natural n, –3un < 2.Justifique que a sucessão é limitada.

9. Considere a sucessão de termo geral vn = 4 – n2.

9.1. Mostre que (vn) é monótona e não limitada.

9.2. Indique, caso exista, o máximo do conjunto dos termos de (vn)

10. Prove, por indução matemática, que são verdadeiras as seguintes propriedades:

a) ⩝ n ∈ IN, n3 + 2n é divisível por 3

b) ⩝ n ∈ IN, 1 + 2 + 22 + 23 + … + 2 n = 2n+1 –1

c) ⩝ n ∈ IN, 12– 22 + 32– 42 + … + (– 1 )n -1 n2 = ( – 1)n-1 n (n + 1) 2

d) ⩝ n ∈ IN, 2 3

+ 2 9

+ 2 27

+ … +2 3n

= 1 –1 3n

e) ⩝ n ∈ IN 6, 4 n < n2– 7

f) ⩝ n ∈ IN, 1 1 x 2

+1 2 x 3

+1 3 x 4

+…+1n (n + 1 )

= nn + 1

11. Considere as sucessões (an) e (bn) definidas, por recorrência, por:

{a1 = 1 an + 1 = 3 an + 1, ∀ n ∈ IN e {b1 = 1

b2 = 4 bn = 4 bn - 1 − 4 bn - 2, ∀ n ∈ IN3

11.1. Determine os seis primeiros termos de cada sucessão.

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11.2. Encontre uma expressão para o termo geral de cada sucessão e prove que esta define de forma equivalente a respetiva sucessão.

12. Defina por recorrência a sucessão (an) cujo termo geral é:

a) an = 2n c) an = n2

b) an = 2n d) an = 1n

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