FICHA DE TRABALHO 3 Funções e equações trigonométricas

NOME: _________________________________________ N.º:______ TURMA: _________ DATA: __________

1. Determine o valor exato de:

a) sin π 6

c) tan π e) sin(– 2 π 3 )

b) cos 3 π 4

d) tan(–11 π 6 ) f) cos (– π

3 )2. Use a periodicidade das funções trigonométricas para obter o valor exato de:

a) sin 11 π 4

b) cos 9π 2

c) tan 29 π 6

3. Determine o valor exato de tan 23 π 4

–cos ( – 112 π 3 )+ sin 73 π

6 .

4. A profundidade, A, da água, em metros, à entrada de um porto de abrigo, é dada por x

A(t) = 22 + 8 sin( π 6

t)em que t é o número de horas após as 0 horas do dia 12 de janeiro de 2014.

4.1. Qual é o período fundamental da função A?

4.2. Nesse dia, a que horas aconteceu a maré alta e a maré baixa?

4.3. Por questões de segurança, só é possível entrar ou sair do porto quando a profundidade da água à entrada do porto for superior a 26 m. Durante quantas horas é possível transitar pela entrada do porto nesse dia?

5. Indique o contradomínio das seguintes funções:

a) f(x)=sin(3 x ) c) i(x)=3−3cos (3 x)

b) g(x)=2−sin x d) j( x )=1−12

sin 2 x

6. Na figura ao lado está representada uma função f definida por f( x )=A sin(Bx) .

6.1. Determine os parâmetros A e B.

6.2. Determine:

a) f ( π2 ) b) f ( 5π3 ) c) f ( 8π

3 )

7. Determine uma expressão geral dos zeros das seguintes funções:

a) f(x)=sin( π4 +x )

b) g(x)=cos x2

c) h(x)=tan (2x )

8. Na figura estão representados a circunferência trigonométrica e um triângulo

isósceles [OAB], tal que A e B pertencem à circunferência e α ∈ ¿0 , π2

¿ é a

amplitude, em radianos, do ângulo AOC.

8.1. Mostre que a área do triângulo [AOB], em função de α, é dada por:

A(α )=sinα cosα ,α ∈¿0 , π2

¿

8.2. Determine a área do triângulo para α = π3

.

8.3. Sabendo que sin α cos α sin(2α ) 2

, determine os valores de α para os quais o triângulo [AOB] tem área

máxima.

9. Indique o domínio de cada uma das funções seguintes e estude-as quanto à paridade:

a) f(x)=sin(2 x)

b) g(x)=1+cos x

c) h(x)=tan x2

10. O gráfico da função f(x) = 3 cos x – 2 é imagem do gráfico da função cosseno pela composição de uma dilatação vertical com uma translação.

10.1. Identifique a dilatação e a translação indicando o coeficiente de dilatação e o vetor translação, respetivamente.

10.2. Indique o contradomínio de f.

10.3. Determine o valor exato de f ( π6 )10.4. Determine a expressão geral dos mínimos da função f.

11. Prove que são verdadeiras as proposições definidas para os valores possíveis de x :

a) cos2 x−sin 2 x=1−2sin 2 x

b) (4cos x−3sin x)2+(3 cos x+4sin x)2=25

c) ( 1cos x

−tan x)2

=1−sin x1+sin x

12. Simplifique as seguintes expressões:

a) sin(2π−x )−sin (π−x)+sin (−x)

b) tan(π+x)−tan(π−x)

c) cos ( π2 −x )−sin (−x)

13. Se sin θ = 0,3 e θ ∈¿ 0 , π2

¿ em radianos, indique o valor exato de:

cos (π−θ)+ tan( π2 −θ)

14. Se tan (π−α )= 724

e α∈¿π , 3π2

¿, em radianos, determine o valor exato de:

a) cos α

b) sin(π+α )

c) 2 cos( π2 +α)−tan( π2 −α)15. Considere a função real de variável real definida por f( x )=1−√2cos x .

15.1. Determine f (−13π3 )

15.2. Sabendo que cos (π2 −α)=−13

e α∈ ¿−π ,−π2

¿

16. Determine o valor exato de:

a) arccos 12

b) sin (arctan (−1))

c) cos (arcsin (√32 )+arccos 1

2 )17. Determine o valor exato de:

a) cos (arctan (−23 ))

b) tan (arcsin (−35 ))

18. Determine os valores de xque satisfazem simultaneamente as igualdades:

sin x=√2x2−12

e cos x=√4 x−12

19. Resolva cada uma das seguintes equações:

a) 2 cos( x−π4 )−√3=0 , em IR e no intervalo [0 ,2 π ]

b) cos (2 x )=√2 sin 16

, em IR e no intervalo [−π , π ]

c) tan3 x−tan x=0 , em IR e no intervalo [0 , π ].

d) √3sin x=¿¿cos x, em IR e no intervalo [−π ,0] .

e) 2 cos2 x+cos x−1=0 , em IR e no intervalo [0 ,2 π ] .

f) 2 sin2 x−3cos x=0 , em IR e no intervalo [−π2 , π2 ] .

g) arcsin x=arccos 3 x2, no intervalo [0 , π4 ]

20. Considere a função f(x)=sin( π4 + x2 ). Determine todos os valores de x∈¿ que satisfazem f(x)> 1

2.