FICHA DE TRABALHO 8 Limites de sucessões

NOME: _________________________________________ N.º:______ TURMA: _________ DATA: __________

1. Considere a sucessão (un) definida por un = n2

n2+1 .

1.1. Determine a ordem, p ∈ IN, a partir da qual todos os termos da sucessão (un) satisfazem a condição

|un−1|<10−6

1.2. Prove, utilizando a definição de limite, que un → 1.

2. Considere a sucessão (un) definida por un = 4−n5n+3

2.1. Mostre que un → – 15

2.2. Determine quantos termos de (un) não pertencem à vizinhança 0,1 de 15

2.3. Indique um majorante e um minorante de (un).

3. Estude as seguintes sucessões relativamente à monotonia e convergência:

a) an=(−1)n× 2nn+1

c) cn=n2

2+n

b) bn=(−1)n× 2n+3

d) dn=n2

2+n

4. Considere as sucessões definidas por un = 3n+4

e vn = 1 – 4–n

4.1. Mostre que un → 0

4.2. Mostre que (vn) é limitada.

4.3. Indique, justificando, lim (un vn).

5. Considere a sucessão de termo geral un = 1 – n3.

5.1. Determine a ordem a partir da qual todos os termos da sucessão são menores do que:

a) –1000 b) –100 000 c) –9 x 1020

5.2. Prove, usando a definição de limite, que lim un = –∞

6. Indique o limite das sucessões definidas por:

a) an ¿ πn−1 c) cn = n –1 000 000 e) en = n + 5(n –3)

b) bn = 3 – √2n d) dn ¿1−5n

2

7. Considere as sucessões (un) e (vn) definidas, respetivamente, por:

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un ¿3n−1n+2

e vn { 3n−1n+2

se n<1000

3n−2997 se n≥1000

7.1. Mostre que:

a) lim un = 3

b) lim vn = + ∞7.2. As sucessões (un) e (vn) têm termos em comum. Explique porque é que não têm o mesmo limite.

8. Indique:

a) lim(–5) c) lim 1n3 e) lim (2n−1)2

3n2−n+5

b) lim 2n2 d) lim 1−nn+1

f) lim 3n−n2

(n+1)2

9. Considere as sucessões (un) e (vn) convergentes, tais que lim un = – 4 e lim vn = 23

. Calcule:

a) lim (un – 2vn) b) lim ( unvn−5−10nn+2 )

❑

c) lim (un2−( 1vn )

2

)10. Calcule:

a) lim (2− 2n3n+1 ) b) lim (2− 25n2

( 4n−1 )2 )−12 c) lim ( 1

n− 1n2 +√2)

2

11. Calcule:

a) lim ( 2n−3n+1

− 5n+2

+n) b) lim (√2−√2nn+5

+√2n)12. Considere a sucessão de termo geral un = 5 – 3n2. Indique um termo geral de uma sucessão (vn) com

limite +∞ , tal que:

a) lim (un + vn) = 0 c) lim (un + vn) = – ∞

b) lim (un + vn) = +∞ d) lim (un + vn) = – 5

13. Considere as sucessões (an), (bn) e (cn) em que lim an = 2 , lim bn = +∞ , lim cn = –∞.

Indique, se possível:

a) lim (an + bn) c) lim (bncn) e) lim ancn2

b) lim(bn + cn) d) lim (an – bn) f) lim (bn)13

14. Considere as sucessões de termo geral un = 3n+5

,vn = 2n + 10 e wn = 5 – 3n.

Indique, se possível:

a) lim (unvn) c) lim (vnwn) e) lim vnwn

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b) lim (unwn) d) lim un

vn f) lim

1wn

15. Determine:

a) lim (5 – n3) d) lim (√n2+1−4n ) f) lim ( 2n−3n2

4+2n2 )b) lim (3n – 4n) e) lim ( n2+1

n (n2+4 ) ) g) lim ( 2n−1√n2+6 )

c) lim (n−√n2−1)

16. Considere a sucessão de quadriláteros cinzentos gerados a partir de quadrados com 16 dm2 de área, em que os quatro primeiros elementos estão representados abaixo.

16.1. Justifique que a sucessão das áreas a cinzento de cada quadrado é uma progressão geométrica e determine o termo geral desta sucessão.

16.2. Determine o limite, quando n tende para +∞, da soma das áreas dos n quadriláteros cinzentos e interprete o resultado geometricamente.

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