Lanamento Oblquo

Um projtil lanado com velocidade inicial v0 = 16 m/s, num ngulo de 30 com a direo horizontal. Determine:

a) A altura mxima do projtil

b) O alcance do projtil

c) O instante de tempo no qual o projtil est a uma altura 3m do cho.

Esse o enunciado tpico de praticamente qualquer exerccio de lanamento oblquo. Talvez esteja escrito de uma forma diferente: um canho dispara; um jogador de futebol d um chute; um professor de fsica insano arremessa um giz ou qualquer coisa do tipo. No importa, todos esses exerccios se encaixam em lanamento oblquo.

Mas o que quer dizer isso?

Diz-se lanamento oblquo porque algo (uma bola, um giz, um porco) est sendo arremessado numa direo que no nem horizontal nem vertical, isto , uma direo oblqua.

E porque estudar esse exemplo?

Bem, esse exemplo resume quase tudo que se estuda na cinemtica, nele estudamos tanto o MRU (Movimento Retilneo Uniforme), quanto o MRUV (Movimento Retilneo Uniformemente Variado), alm da composio de movimentos.

Composio de Movimentos

Entender a composio de movimentos o ponto chave para resolver problemas de lanamento de projteis. Pode parecer muito complicado estudar o movimento de um objeto lanado, mas podemos simplific-lo ao separar o movimento em duas direes: Vertical e Horizontal.

E porque podemos fazer isso?

Porque s h uma fora atuando no objeto durante todo o movimento, a fora gravitacional. Ela atua somente na vertical, portanto o movimento na horizontal no afetado.

Na vertical, como h uma fora constante atuando, o movimento retilneo uniformemente variado. Isso quer dizer que a velocidade do objeto ir variar com o tempo. Na horizontal, o movimento retilneo uniforme, portanto a velocidade do objeto ser constante.

Movimento vertical:

Para resolver o movimento horizontal utilizamos trs equaes fundamentais:

A equao horrio do movimento, que tem o nome de horria pois uma funo do tempo, isso quer dizer que determinamos o valor de y dependendo dos valores de t:

y = a posio do objeto em um determinado instante de tempo

yo = posio inicial do objeto

= a velocidade inicial do objeto

a = acelerao do objeto

t = instante de tempo.

A equao da velocidade:

E ainda podemos deduzir uma terceira equao a partir dessas duas. Para isso basta isolar o tempo na equao da velocidade e substituir na equao horria do movimento. A lgebra dessa operao fica um pouco cansativa, por isso vamos direto ao resultado:

Ou ainda:

Onde a variao da posio do objeto. Veremos como utilizar essas trs equaes durante a resoluo do exerccio.

Movimento horizontal:

Esse caso mais simples, pois a acelerao nula e, como consequncia, a velocidade constante. Temos apenas uma equao:

Resoluo do exerccio:

Agora que j temos as ferramentas necessrias, vamos voltar ao problema. O primeiro passo interpretar o que o problema est dizendo. Isso quer dizer que devemos extrair do enunciado as informaes que so dadas e entender que informao devemos obter.

Um projtil lanado com velocidade inicial v0 = 16 m/s, num ngulo de 30 com a direo horizontal.

Em destaque esto todas as informaes necessrias para resolvermos o problema. Os enunciados podem ser muito confusos s vezes, e por isso bom prestar bastante ateno na leitura deles. Algumas vezes tem somente uma ou duas informaes fundamentais.

O prximo passo decompor o movimento, dividi-lo no eixo x (horizontal) e no eixo y (vertical). Para isso, precisamos decompor a velocidade. Utilizaremos para tal a trigonometria, vejamos como. Primeiramente, vamos desenhar o nosso vetor velocidade, com o ngulo de 30 graus.

Agora ficou mais fcil visualizar o que devemos fazer. No que consiste essa tal de decomposio dos vetores? Consiste em calcular a projeo do vetor nos eixos x e y. mais ou menos como medir a sombra do vetor nos eixos. Se somarmos Vx e Vy vetorialmente (isto , colocar o rabo de um na ponta do outro) teremos novamente o vetor V.

E como fazemos para determinar o valor de Vx e Vy? Basta usar as relaes trigonomtricas de seno e cosseno. Se estivermos medindo a componente adjacente ao ngulo (isto , colada no ngulo), usamos o cosseno. No desenho acima, usaramos o cosseno para determinar a componente Vx do vetor V. Se medirmos a componente oposta ao ngulo, utilizamos o seno. No caso do vetor V acima, utilizaramos o seno para medir a componente Vy. Vamos tentar com a velocidade que foi nos dada nesse problema:

V0 = 16 m/s, como o ngulo mede 30 com a horizontal, vamos precisar dos valores de sen 30 e cos 30. Esses valores so tabelados e nesse caso valem: e .

A componente Vx est adjacente ao ngulo (igual na figura), portanto vale:

Como ( significa aproximadamente)

Agora devemos calcular a componente y da velocidade, seguindo o mesmo procedimento:

Agora j possumos as velocidades nos dois eixos, vamos determinar as equaes de movimento do projtil:

No eixo X:

Como o exerccio no diz a partir de qual posio o objeto foi lanado, podemos utilizar x0 = 0. Caso o problema nos dissesse a posio inicial, deveramos utiliz-la aqui. Lembrando sempre que o eixo X, no nosso caso, est relacionado ao movimento vertical. A velocidade que devemos utilizar

Essa a equao do movimento na direo horizontal. Para a vertical temos:

O problema no nos diz a partir de qual altura o objeto foi lanado, portanto podemos considerar . Para utilizaremos a velocidade da componente y que calculamos e para utilizaremos , pois a nica acelerao a gravitacional. Aqui colocamos um sinal negativo pois o eixo de coordenadas est definindo que no sentido para cima os vetores so positivos. Se olharmos a figura 2, notamos que o vetor g est apontando para baixo, nesse caso, no sentido contrrio ao que definimos como positivo. Portanto, utilizamos um sinal de menos para indicar.

Essa a equao do movimento vertical. Ainda podemos determinar a equao para a velocidade:

Utilizando as mesmas informaes para e , teremos:

Vamos enfim, responder s questes do problema:

a) Altura mxima do projtil:

Vamos analisar o movimento do projtil. A altura mxima est relacionada ao movimento na vertical, portanto essa parte que nos interessa. O movimento bastante simples:

- O projtil sobe

- Para no ar

- E cai.

Num primeiro momento o projtil est subindo, portanto sua velocidade ser positiva. Lembrando que a velocidade a variao da posio com o tempo, portanto, se ela positiva, quer dizer que a posio que estamos medindo est aumentando. No caso do nosso referencial, o mesmo que dizer que a altura do projtil est aumentando, portanto, ele est subindo. Como a acelerao negativa, a velocidade do projtil diminuir at se tornar zero. Nesse momento, ele para no ar. Isso quer dizer que sua velocidade igual a zero, e a acelerao negativa. No momento seguinte, sua velocidade comea a se tornar negativa. Isso quer dizer que a altura que estamos medindo est diminuindo, portanto o objeto est caindo.

O que conclumos disso?

Conclumos que a altura mxima atingida no ponto em que a velocidade do objeto se torna zero, pois logo aps isso o objeto comear a cair. Vamos ento calcular a altura mxima do projtil, primeiro devemos determinar o instante de tempo t em que a velocidade se torna zero.

Isolando t:

O que acabamos de calcular o tempo de subida do projtil. Aps 1,4 segundos ele ter atingido sua altura mxima. Para determinar o valor dessa altura basta substituir 1,4 na equao do movimento vertical:

Portanto a altura mxima que o projtil atinge 3,2m e est respondida a primeira parte da questo.

b) O alcance do projtil.

O alcance se refere distncia horizontal que o projtil percorre. Se considerarmos que o cho plano, ele atingir o cho novamente quando a altura for zero, isto , y = 0. Vamos calcular ento o tempo que ele demora para voltar ao cho:

Ou, reescrevendo:

Temos uma equao de segundo grau. Podemos resolv-la utilizando a forma de Bhaskara.

Na nossa equao: a = 5; b = 8; e c = 0

So, portanto, dois resultados possveis:

Mas o que quer dizer termos dois resultados para o tempo? Quer dizer que o projtil estar nessa altura, nesse caso, altura zero, em dois instantes diferentes de tempo. Um deles o instante de tempo t= 0 que imediatamente antes do objeto ser lanado. Portanto no esse o instante de tempo que nos interessa. Eliminando a alternativa t = 0, sabemos que o tempo de voo do objeto de 1,6 s. Certo, e como usar isso para determinar o alcance do objeto? Como foi dito, o alcance est relacionado ao movimento horizontal, portanto devemos utilizar a equao do movimento horizontal:

Substituindo t = 1,6

c) O instante de tempo no qual o projtil est a uma altura 3m do cho.

A diferena desse caso para os anteriores que a informao que nos dada agora a altura, portanto um valor de y. O que nos pedido um instante de tempo, portanto, t. Basta substituir o valor de y na equao do movimento e determinarmos t.

Novamente temos uma equao de segundo grau. Resolvendo:

Novamente temos dois valores para t:

Nesse caso, qual dos valores est correto? A resposta os dois. Um deles, t = 0,6 s referente subida do projtil. Enquanto sobe ele atinge y = 3m. Aps isso ele continua subindo, atinge 3,2m de altura e comea a cair. No movimento de queda, ele novamente passa pela altura y = 3m.