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XII Encontro Gacho de Educao Matemtica
Inovar a prtica valorizando o Professor
Porto Alegre, RS 10 a 12 de setembro de 2015
O USO DAS TECNOLOGIAS DIGITAIS NA CONSTRUO DE
CONHECIMENTO MATEMTICO: UM EXPERIMENTO ENVOLVENDO
MODELAGEM COM CADEIAS DE MARKOV NO ENSINO MDIO
Rodrigo Sychocki da Silva
IFRS Cmpus Caxias do Sul/ PPGIE (UFRGS)
[email protected]
Marcus Vinicius de Azevedo Basso
Instituto de Matemtica UFRGS [email protected]
Resumo: O presente artigo trata de apresentar o recorte de uma
pesquisa de doutorado em andamento que investiga a construo de
conceitos matemticos por estudantes do ensino mdio em uma escola
tcnica federal da serra gacha. Adota-se como proposta metodolgica a
Engenharia Didtica de M. Artigue na construo, conduo e realizao das
atividades. Analisa-se a produo dos estudantes envolvidos no
experimento didtico luz da teoria da abstrao reflexionante de J.
Piaget. Aponta-se a ttulo de concluso parcial da presente pesquisa
o fato que o uso das tecnologias digitais, em particular o uso dos
objetos virtuais na sequncia de atividades proposta possibilitou
aos sujeitos envolvidos o desenvolvimento e manuteno de formas de
pensamento criativas, a qual torna possvel que cada estudante
construa e desenvolva os seus prprios significados para os
conceitos matemticos abordados. Palavras-chave: Abstrao
Reflexionante; Cadeias de Markov; Tecnologias Digitais.
1. Introduo
Os desafios cotidianamente impostos pela vida adulta em
sociedade e a conduta dos
sujeitos inseridos nos mais diversos contextos sociais
possibilitam tornar a escola um
laboratrio de reflexo e desenvolvimento dos mais variados tipos
de sujeitos, e que aps
determinado ciclo escolar1 encerrado sero tambm sujeitos
inseridos na sociedade. A
complexidade da atual sociedade exige que os sujeitos inseridos
sejam cada vez mais capazes
de posicionar-se e refletir sobre os aspectos exigidos na vida
em sociedade. Com isso, acredita-
se que a vida escolar consiste em um importante processo de
constituio e desenvolvimento
do sujeito, uma vez que importantes contribuies dessa etapa de
construo sero necessrias
no futuro, no que se refere vida em sociedade.
Quanto construo e desenvolvimento dos conceitos matemticos na
escola, Silva et
al (2015) afirma que se a apresentao dos conceitos aos
estudantes ocorre de forma isolada e
sem relao com os demais, acaba por tornar a matemtica uma cincia
isolada e sem sentido,
1 Entende-se ciclo escolar como todo o perodo de permanncia do
sujeito vinculado ao sistema escolar vigente.
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muitas vezes desvinculada com os aspectos da realidade que cerca
o sujeito. Com isso,
entende-se que seja necessria e suficiente a ao e o trabalho
cognitivo sobre os objetos do
conhecimento em estudo, os quais possibilitam aos estudantes a
evoluo, compreenso e
construo dos mais diversos conceitos presentes na matemtica
escolar.
Ao propor aos estudantes a investigao e ao sobre
situaes-problema presentes na
realidade acredita-se que o estudo da matemtica na escola
desempenha uma funo
importante: convida, estimula e desafia os estudantes para a
realizao do exerccio da
reflexo. Entende-se que a construo de relaes que possam explicar
e prever o
funcionamento das mais diversas situaes estimula e desafia
consideravelmente o
desenvolvimento cognitivo dos sujeitos. Uma das hipteses da
presente pesquisa de doutorado
em andamento que o fenmeno da criao, verificao e aperfeioamento
das relaes
matemticas fazendo uso da tecnologia constitui um importante
exerccio cognitivo para o
sujeito, capaz de promover sua autonomia como tambm o
melhoramento na sua capacidade
de tomada de decises, ao se propor uma sequncia de atividades
que envolva o estudo de
modelos matemticos envolvendo Cadeias de Markov2.
A teoria da abstrao reflexionante proposta por Piaget (1977)
constitui uma
ferramenta importante na pesquisa para analisar a evoluo dos
sujeitos envolvidos com a
proposta. Atravs desta teoria, considera-se ser possvel analisar
que a construo do
conhecimento matemtico resultado de sucessivos e graduais avanos
do sujeito durante a
sua ao sobre o objeto em estudo. A metodologia de trabalho
adotada na presente pesquisa
fundamentada nas concepes da Engenharia Didtica, segundo a
proposta de Artigue (1996),
a qual constitui uma importante fonte de conhecimentos e reflexo
para o professor envolvido
no exerccio da prtica docente. Pode-se afirmar que a partir da
compreenso dos conceitos e
ideias da Engenharia Didtica seja possvel do professor
questionar a sua prpria prtica
docente, ao mesmo tempo em que est envolvido no ensino da
matemtica.
2. Fundamentos tericos
2.1 Um pouco sobre Modelagem Matemtica
A Modelagem Matemtica prope que atravs da ao e investigao de
situaes-
problema seja possvel construir conhecimento matemtico.
Destaca-se que durante o estudo de
determinada situaes, a partir de uma contextualizao da
realidade, seja possvel que os sujeitos
envolvidos mobilizem diferentes esquemas e estratgias, com o
objetivo de formular e investigar
suas construes e hipteses. Trata-se, portanto de um processo,
onde de maneira progressiva so
elaborados e estruturados os conceitos matemticos envolvidos no
estudo de determinada proposta.
2 Nome dado em homenagem ao matemtico russo Andrei Andreyevich
Markov que as criou inicialmente em 1907. Para maiores detalhes
consulte Anton e Rorres (2012), Kemeny e Snell (1976).
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Sobre isto, Brasil (2006, p. 85) afirma que ante uma
situao-problema ligada ao mundo real,
com sua inerente complexidade, o aluno precisa mobilizar um
leque variado de competncias.
Conforme as diretrizes curriculares nacionais expem, nota-se que
a Modelagem
Matemtica possa contribuir significativamente na investigao de
problemas matemticos. Nesse
sentido, as ideias de Rodney Bassanezi possuem considerveis
contribuies para a discusso sobre
a importncia que a Modelagem Matemtica possui no estudo da
matemtica. Para o autor, a
modelagem no ensino da matemtica um modo de aprender, onde o
mais importante no
chegar imediatamente a um modelo bem sucedido, mas, caminhar
seguindo etapas onde o contedo
matemtico vai sendo sistematizado e aplicado. (BASSANEZI, 2002,
p.38).
Ao manifestar a importncia no processo de construo atravs de
etapas durante a
investigao de determinado conhecimento matemtico, Bassanezi
defende que ao mesmo tempo
em que as ideias so construdas elas tambm so reconstrudas em uma
tentativa de melhorar a
compreenso sobre a realidade que nos cerca, enquanto sujeitos
epistmicos. A elaborao de um
modelo matemtico constitui uma etapa importante durante a
investigao, pois possibilita que o
sujeito envolvido desenvolva e aja sobre diferentes representaes
para os fenmenos presentes na
realidade.
Logo, a Modelagem Matemtica consiste em um gradual processo,
onde o sujeito
desenvolve suas estratgias e formas para analisar e investigar
determinada situao-problema.
Consiste em um importante mtodo para a aprendizagem da
matemtica, pois envolve o
desenvolvimento de um comportamento investigativo e reflexivo
durante sua ao sobre o
problema matemtico. Pode-se dizer que no se restringe apenas na
apropriao dos conceitos e
ideias limitados pela situao-problema investigada, pois em
determinada investigao pode surgir
tambm a possibilidade de abordar conceitos e ideias que esto na
periferia do problema,
complementando o estudo central da investigao. Ao considerar-se
a Modelagem Matemtica
como uma possibilidade para desenvolver possveis contedos
matemticos com os estudantes o
professor possibilita que eles desenvolvam suas tcnicas,
elaborem hipteses, investiguem a
validade de seus argumentos e assim percebam que a matemtica uma
cincia fundamentada em
um processo de investigao baseado na ao do sujeito sobre os mais
diversos fenmenos da
realidade.
Portanto, uma prtica envolvendo o uso da Modelagem Matemtica
constitui uma potencial
fonte de construo de conceitos matemticos pelos sujeitos. Sobre
uma possvel adoo e uso de
modelos matemticos e suas contribuies na formao dos estudantes,
Biembengut e Hein (2011)
dissertam:
A adoo de modelos matemticos no ensino, seja na forma de
apresentao, seja no processo de criao, dimensionados de forma
adequada realidade das comunidades escolares, incorporando novas
tecnologias, sem deixar de preservar identidades culturais, um meio
que propicia ao aluno atingir melhor desempenho, tornado-o um dos
principais agentes da mudana. Ao participar de um trabalho com
modelagem ou modelao, no qual o contedo no dissociado da realidade,
pois h conexo entre o que se aprendeu e o que se executou,
acreditamos que alunos e professores tornar-se-o mais entusiastas
com a
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possibilidade de transformar a escola, ainda que de forma lenta
e gradual, para que ela venha a exercer o papel que lhe cabe na
preparao do indivduo na para atuar no meio circundante. (BIEMBENGUT
& HEIN, 2011, p.125)
Portanto, pelas reflexes apresentadas anteriormente, a Modelagem
Matemtica apresenta-
se como uma possibilidade de transformao nas relaes entre os
sujeitos e a realidade, que pode
ser iniciada desde muito cedo na vida escolar. E finalmente, no
que se refere ao uso das mdias
informticas nas investigaes envolvendo Modelagem Matemtica,
pode-se destacar como
justificativas plausveis no ensino, pois Almeida et al (2012)
considera que:
a) possibilita lidar com situaes-problema mais complexas e fazer
uso de dados reais, ainda que estes sejam em grandes quantidade ou
assumam valores muito grandes; b) permite que a maior parte dos
esforos se concentre nas aes cognitivas associadas ao
desenvolvimento da atividade de modelagem, considerando que a
realizao de clculos, aproximaes e representaes grficas mediada pelo
uso do computador; c) possibilita lidar com situaes-problema por
meio de simulaes numricas ou grficas, variando a parmetros nas
representaes grficas e (ou) algbricas. (ALMEIDA et al, 2012,
p.32)
2.2 Um pouco sobre Abstrao Reflexionante
A Epistemologia Gentica de Jean Piaget a teoria que apresenta
como hiptese para o
desenvolvimento cognitivo humano a ao do sujeito sobre os
objetos e os seus sucessivos
avanos, devido organizao das coordenaes das aes realizadas pelo
sujeito. Na
epistemologia gentica considera-se objeto tudo o que no o
sujeito. importante destacar que
o pensamento e as ideias do prprio sujeito tambm podem ser
constitudos objetos, desde que o
sujeito aja sobre eles e assim avance na direo da tomada de
conscincia. O termo coordenaes
de aes apresentado anteriormente a fonte de estudo no processo
de abstrao proposto por
Piaget (1977). O verbo abstrair significa retirar, extrair,
puxar; neste caso temos que a abstrao
consiste no processo de retirada das qualidades prprias dos
objetos (abstrao emprica) ou
tambm a retirada da elaborao proposta pelo sujeito sobre os
objetos (abstrao pseudo-
emprica), sendo que ambas ocorrem atravs das coordenaes de aes
do sujeito sobre os objetos.
No processo de retirada das caractersticas dos objetos no se
pode confundir isso com a
retirada de qualidades que se atribui aos objetos, caracterizado
segundo Piaget (1977) por abstrao
pseudo-emprica. A abstrao chamada pseudo-emprica um tipo de
abstrao reflexionante e
exige do sujeito a coordenao de suas aes para que ela ocorra.
Conforme dito, o processo de
abstrao emprica um elemento necessrio para que o sujeito evolua
cognitivamente. Porm,
somente com esse tipo de abstrao no seja possvel do sujeito dar
conta nas explicaes sobre os
processos de generalizaes, caractersticos dos contedos de
matemtica. No estudo da
matemtica a empiria se faz presente, ao passo que a extrao das
caractersticas prprias dos
objetos necessria e contribui para elaboraes mais complexas e
que generalizam as qualidades,
enriquecendo assim o objeto de estudo. medida que se aumenta o
nmero de abstraes do
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sujeito durante o processo interativo com o objeto, a qualidade
de seu pensamento evolui devido ao
progresso da abstrao reflexionante e as sucessivas tomadas de
conscincia durante o processo. A
abstrao reflexionante possui duas caractersticas essenciais para
o entendimento sobre como os
nveis de abstrao e tomada de conscincia progridem no decorrer da
ao do sujeito. Trata-se dos
processos de reflexo e reflexionamento. Sobre isso, Piaget
(1977) afirma:
Lembremo-nos, igualmente, de que a abstrao reflexionante
comporta sempre, dois aspectos inseparveis: de um lado,
reflexionamento (rflchissement), ou seja, a projeo (como atravs de
um refletor) sobre um patamar superior daquilo que foi tirado do
patamar inferior e, de outro lado, uma reflexo (rflexion),
entendida esta como ato mental de reconstruo e reorganizao sobre o
patamar superior daquilo que foi assim transferido do inferior.
(PIAGET, 1977, p.274)
A unio da reflexo e do reflexionamento constitui uma estrutura
capaz de no apenas
atravessar de um nvel para o seguinte as formas de pensamento,
mas juntas possuem o carter de
uma estrutura capaz de desenvolver caractersticas qualitativas
superiores no decorrer das
passagens, ou projees. Isso significa que os patamares
superiores atingidos pelo sujeito atravs
da ao e coordenao de aes possuem relao intrnseca com os
patamares inferiores ou iniciais
desenvolvidos atravs da ao.
Portanto, atravs de sucessivas operaes de reflexo e
reflexionamento que torna
possvel ao sujeito avanar na direo dos patamares superiores de
abstrao e tomadas de
conscincia de maior qualidade. A reorganizao e coordenao de suas
aes permitem qualificar
cada vez mais a sua ao na busca pela compreenso sobre o objeto,
ou seja, a evoluo da
abstrao emprica reflexionante um processo pelo qual o sujeito
constri, reconstri, organiza e
reorganiza os seus esquemas e estruturas de pensamento todo
momento. A Figura 1 apresenta um
esquema sobre o processo de reflexo e reflexionamento
decorrentes do avano e aperfeioamento
da ao do sujeito envolvido.
Figura 1 Esquema sobre reflexo e reflexionamento. Adaptado de
Becker (2012, p. 38)
3. Fundamentos Metodolgicos, Materiais e Mtodos
O termo Engenharia Didtica emerge no cenrio cientfico no incio
da dcada de 1980 e
possui grande importncia na investigao de situaes onde o
professor de matemtica constitui
um sujeito reflexivo e consciente de sua prtica docente. Neste
sentido, SILVA et al (2014, p.5)
acredita que a engenharia didtica possibilita ao professor
repensar a sua prtica docente enquanto
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atua em sala de aula e tambm nota-se que a realidade escolar
torna-se cenrio para reflexo,
criao e encaminhamento de propostas inovadoras de ensino. Uma
metodologia de trabalho
fundamentada atravs dos princpios da engenharia didtica foi
apresentada inicialmente por
Michle Artigue, onde a autora destaca dois aspectos
essenciais:
1 A engenharia didtica, vista como metodologia de investigao,
caracteriza-se antes de mais por um esquema experimental baseado em
realizaes didticas na sala de aula, isto , na concepo, na realizao,
na observao e na anlise de sequncias de ensino. () 2 A metodologia
de engenharia didtica caracteriza-se ainda, relativamente a outros
tipos de investigao baseados nas experimentaes na sala de aula,
pelo registro no qual se situa e pelos modos de validao que lhe
esto associados. (ARTIGUE, 1996, p.196)
Sobre a importncia que a metodologia de investigao proposta pela
engenharia didtica
desempenha para o professor durante o seu trabalho, Artigue
(1996, p.197) expe que no , pois,
nos objetivos das investigaes levadas a cabo sob o seu
estandarte, mas nas caractersticas do seu
funcionamento metodolgico, que a engenharia didtica apresenta a
sua singularidade. Ou seja, o
professor ao investigar o processo de aprendizagem por parte de
seus alunos, possui atravs dessa
metodologia de trabalho a oportunidade de avaliar e refletir
sobre a sua prpria atuao e
participao como colaborador na criao e desenvolvimento do
conhecimento. Artigue (1996)
afirma que uma metodologia de trabalho fundamentada nos
princpios da engenharia didtica
atravessa um processo constitudo de determinados nveis. A cada
nvel alcanado, o objeto do
conhecimento investigado atinge determinado patamar e os
objetivos e propsitos do professor so
repensados e reavaliados.
Ressalta-se que no Projeto Pedaggico de Curso (PPC, 2010, p.41)
da turma onde ocorreu
o experimento didtico possvel perceber uma manifestao da inteno
de uma proposta do
ensino da matemtica que valorize e seja capaz de envolver os
estudantes no desenvolvimento de
capacidades para realizar clculos, como tambm colabore na
interpretao de problemas
interdisciplinares e do seu cotidiano. Com isso, notrio que a
realizao de um estudo junto aos
estudantes do ensino mdio de situaes-problema que envolva a
Modelagem Matemtica com
Cadeias de Markov prope-se qualificar a formao dos estudantes,
como tambm verificar qual a
influncia da tecnologia no processo de construo do conhecimento
matemtico envolvido.
Portanto, atravs de uma metodologia de trabalho fundamentada nos
princpios da
Engenharia Didtica, para a realizao da sequncia de atividades3
utilizou-se durante cinco
semanas (em aulas de 1h40min) um dos laboratrios de informtica
da instituio. Como havia
trinta e dois computadores disponveis no laboratrio mencionado,
os estudantes, quatorze no total,
foram alocados individualmente nos computadores, porm foi
estimulado e permitido que durante
as aulas eles interagissem entre si (em duplas ou trios) durante
o estudo proposto. As atividades
foram disponibilizadas impressas todos os estudantes, onde
houvesse espao disponvel para que
3A sequncia das atividades utilizadas no experimento didtico com
os estudantes encontra-se disponvel em:
https://dl.dropboxusercontent.com/u/60260993/sequencia_markov_ensino_medio.pdf
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eles fizessem anotaes, clculos, e esboassem suas formas de
pensamento livremente. Todo o
material escrito produzido pelos estudantes constituiu-se em
dados para a pesquisa de doutorado
em andamento.
Atravs do software GeoGebra construiu-se e disponibilizou-se um
objeto virtual,
publicado4 em um repositrio5 de acesso livre, onde todos os
interessados sobre o assunto podem
ter acesso ao objeto virtual. Durante o experimento didtico a
utilizao do objeto virtual pelos
estudantes ocorreu de forma online, exceto em um dia que no foi
possvel estabelecer conexo
com a internet. Desde a concepo inicial do objeto, considerou-se
a possibilidade de disponibiliz-
lo em um repositrio virtual, com o objetivo de que seu acesso
poderia acontecer sem restries,
onde professores e estudantes envolvidos no estudo destes
assuntos pudessem acess-lo de
qualquer computador conectado internet.
A janela de visualizao do objeto, conforme ilustrado na Figura 2
possui dois ambientes
indicados pela sinalizao [1] e [2] na Figura 2. No espao de
visualizao [1] possvel que o
usurio manipule o objeto atravs de sua representao geomtrica. No
ambiente [2] possvel
alterar parmetros, definir os objetos especificamente atravs de
valores inicialmente definidos e
realizar operaes de potenciao das matrizes envolvidas no
problema, como tambm habilitar a
funo rastro dos objetos. Destaca-se tambm que ao modificar
determinados parmetros no
ambiente [2], ocorre a alterao simultnea de visualizao no
ambiente [1]. Acredita-se que assim
se proporciona ao usurio a possibilidade de elaborar hipteses,
conjecturar e testar possibilidades,
argumentar matematicamente sobre a situao-problema investigada
atravs do uso do objeto
virtual.
Figura 2 Layout do objeto virtual Cadeia de Markov 2D. Fonte: Os
Autores.
4. Alguns resultados da pesquisa
As observaes do pesquisador e a produo escrita dos estudantes ao
longo das atividades
conduzem a uma reflexo sobre como a construo dos conceitos
matemticos ocorreu durante a 4 Objeto virtual publicado em:
http://tube.geogebra.org/material/show/id/860625. 5 Repositrio
intitulado GeoGebra Tube. Disponvel em:
http://tube.geogebra.org/.
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sequncia de atividades. Nota-se que no h espao suficiente no
presente artigo para discutir com
profundidade todas as contribuies dos estudantes ao longo das
cinco semanas do experimento
didtico, portanto faz-se ento uma anlise geral luz do
referencial terico adotado.
Primeiramente, o uso do objeto virtual proposto proporcionou aos
sujeitos a elaborao de
hipteses sobre as situaes-problema exploradas em aula. Com as
atividades desenvolvidas
procurou-se estimular e desafiar os sujeitos para o
desenvolvimento de estratgias, com o objetivo
de criar um possvel modelo matemtico que tornasse possvel
compreender cada uma das
situaes apresentadas. Ao longo da realizao das atividades
verificou-se que gradualmente os
sujeitos envolvidos na proposta desenvolveram o pensamento
matemtico na direo da construo
dos conceitos necessrios para a compreenso das situaes-problema.
Notou-se uma diferenciao
na evoluo progressiva referente aos aspectos cognitivos
envolvendo as atividades. Ou seja, ao
longo da proposta objetiva-se desafiar o sujeito no
desenvolvimento de formas de pensamento
capazes de construir possveis modelos matemticos. Em uma
primeira tentativa, algumas solues
propostas pelos estudantes, na resoluo da primeira
situao-problema mostram diferentes
relaes e formas de pensamento estabelecidas pelos estudantes na
tentativa de construir uma
soluo, conforme ilustrado na Figura 3.
Figura 3 Amostras para enunciar o princpio geral na 1
situao-problema. Fonte: Arquivo pessoal.
Algumas consideraes a partir da realizao do experimento didtico
ao longo das cinco
semanas de sua realizao so possveis de ser inferidas:
1) Os sujeitos envolvidos pensam matematicamente de
maneiras/modos diferentes. E os modos
esto relacionados com a maneira que cada sujeito envolve-se na
tentativa de resolver os problemas
propostos.
2) O uso da tecnologia contribuiu positivamente no
desenvolvimento dos sujeitos durante as
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atividades, pois permitiu que eles, em sua maioria, se
envolvessem e interagissem entre si na
construo das resolues das atividades realizadas.
3) Notou-se a passagem pelos nveis iniciais de abstrao mais
elementares como sendo necessria.
Verificou-se que no possvel elaborar uma lei matemtica de forma
direta, sem antes ter
experimentado e relacionado algumas caractersticas empricas e
pseudo-empricas envolvendo o
experimento.
4) No decorrer das atividades observou-se em diferentes nveis a
ocorrncia dos processos de
reflexo e reflexionamento. medida que os estudantes avanam nas
atividades reorganizam sua
forma e estratgia de pensamento. Observou-se que apesar de
ocorrer em diferentes nveis, foi
atravs do exerccio cognitivo pessoal que cada sujeito aprimorou
sua assimilao e compreenso
sobre as situaes-problema estudadas.
5) Foi possvel perceber que a elaborao das resolues ao longo das
atividades fruto da
evoluo do exerccio da abstrao, manifestada nos mais diversos
nveis e intensidade. A ao dos
estudantes sobre as atividades possibilitou a construo e
reconstruo dos conceitos de forma
contnua e gradual, tornando efetiva a aprendizagem da
matemtica.
Destaca-se que a construo do conhecimento matemtico proposto com
as atividades
realizadas no experimento foi influenciada diretamente pelas aes
do sujeito sobre o objeto virtual
utilizado e tambm pela ao derivada das coordenaes de aes do
sujeito, constituindo um
processo de construo/reconstruo de ideias, criao/validao de
hipteses e manuteno de um
processo argumentativo capaz de produzir e expressar possveis
explicaes sobre os fenmenos
observados e modelados matematicamente. Quanto ao sobre o objeto
virtual, os sujeitos
conseguiram avanar na assimilao dos questionamentos.
As relaes estabelecidas pelos sujeitos durante a investigao das
situaes-problema
fazendo uso do objeto virtual foram potencializadas e
acompanhadas por uma evoluo do
processo da abstrao. Ou seja, ao longo da sequncia de atividades
notou-se que a maioria dos
estudantes gradualmente construiu e elaborou mtodos para a
resoluo dos problemas propostos,
caracterizando um pleno exerccio de reflexo e reflexionamento.
Conforme destacado
anteriormente, durante as atividades percebeu-se o exerccio da
reflexo e reflexionamento, uma
vez que o desempenho dos sujeitos gradualmente evoluiu ao longo
do tempo. Ao mobilizar
diferentes estruturas cognitivas, observou-se que ao confrontar
uma situao-problema que impe
novos desafios, houve a necessidade, por parte dos sujeitos, de
efetuar o melhoramento do
exerccio de abstrao, uma vez que com essa mobilizao seria
possvel avanar na compreenso
do fenmeno investigado.
5. Algumas concluses parciais
Diante dos resultados apresentados neste texto, nota-se que a
partir do momento que o
professor d-se conta que a aprendizagem matemtica pelos
estudantes intimamente influenciada
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na ao sobre os objetos do conhecimento, qualitativamente nota-se
a contribuio do professor
enquanto agente de transformao na vida do estudante. Quanto ao
uso da Modelagem Matemtica
na explorao de problemas, a pesquisa tem mostrado que ao
diferenciar a complexa realidade
durante a construo de um possvel modelo matemtico, h produo de
conhecimento por parte
dos sujeitos. Essa construo consiste em um processo contnuo e
gradual, visando por parte do
sujeito o esforo na compreenso dos fenmenos da realidade que o
cerca. Quanto ao uso dos
recursos tecnolgicos possvel verificar o potencial
desenvolvimento das mais variadas formas de
pensamento, possibilitando aos sujeitos elaborar conjecturas e
hipteses atravs da sua ao sobre o
objeto do conhecimento. Nota-se que atravs da explorao do objeto
virtual o sujeito pode
visualizar, validar ou refutar de modo dinmico as suas hipteses
antecipadamente construdas.
E por fim, a pesquisa de doutorado at o presente momento tem
evidenciado a existncia
de relaes intrnsecas entre os processos da continuidade na
abstrao, manifestada atravs das
modificaes das aes e do prprio sujeito, com o aperfeioamento e
construo de hipteses
durante determinada investigao pelo sujeito. A cada modificao na
tela do computador, via
mudana dos parmetros, por exemplo, possvel perceber uma
reorganizao por parte do sujeito,
provinda da reflexo ocorrida j em um patamar cognitivo superior,
fazendo com que haja o
estabelecimento de novas abstraes que agem na direo da formao de
novas hipteses, as quais
avanam de modo dinmico e iterativo, promovendo a reorganizao ou
reestruturao do sujeito.
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