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COKRIGAGEM

Procedimento geoestatístico segundo o qual diversas variáveis regionalizadas podem ser estimadas em conjunto, com base na correlação espacial entre si.

É uma extensão multivariada do método da krigagem quando para cada local amostrado obtém-se um vetor de valores em lugar de um único valor.

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Aplicação da cokrigagem

Quando duas ou mais variáveis são amostradas aproximadamente nos mesmos locais dentro de um mesmo domínio espacial e apresentam significativo grau de correlação.

O método pode ser usado quando a variável de interesse apresenta-se sub-amostrada em relação às demais. Essa variável é conhecida como “primária” e as demais como “secundárias”.

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O objetivo é melhorar a estimativa da variável primária utilizando aquelas mais densamente amostradas.

Ou quando a variável primária também exibe uma baixa autocorrelação espacial e as variáveis secundárias apresentam uma alta continuidade.

Normalmente é usada uma variável primária e apenas uma secundária.

Se o numero total de variável primária e secundárias for igual a n, serão necessários (Nv +1)2/2 variogramas e covariogramas cruzados.

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2

Fundamental na utilização da cokrigagem é a verificação prévia da correlação existente entre as variáveis, a qual deve ser alta para que as estimativas sejam consistentes.

Também deve ser notado que a melhoria de interpretação somente é significativa quando uma das variáveis tem um número extremamente reduzido de casos em relação à outra.

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Se Z1(x) e Z2(x) são funções aleatórias estacionárias

ou intrínsecas, o seu variograma cruzado, define-se como :

))]Z-)(())(-)([(2

1)( 221121

hxxZhxZxZEhZZ (

ZS

O estimador Z(x0) num ponto não amostrado x0 pode ser descrito pela combinação linear dos valores vizinhos de ambas as variáveis

Variograma cruzado experimental:

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Cokrigagem Ordinária: solução por cálculo matricial

[A] [B] [X]

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αi = 1,...ni representam os ni pontos para a variável Zi e α’i = 1, ...ni representam os ni pontos com deslocamento h para a variável Zi i é o identificador da variável primária Z1 ou secundária Z2

Matriz [A] composta: pela sub-matriz , que descreve a distribuição espacial

da primeira variável Z1; pela sub-matriz , que descreve a distribuição espacial

da segunda variável Z2; pela sub-matrizes, que descrevem a variabilidade

cruzada das variáveis Z1 e Z2 consideradas em conjunto; os termos restantes 0 e 1 correspondem à condição de

não viés para ambas as variáveis.

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3

Vetor [B]: a matriz [A] não contém nenhuma informação sobre o ponto X0 , objeto da estimativa.

Toda a informação necessária está contida no segundo membro do sistema, o vetor [B], o qual é composto por 2 subvetores: o que depende da configuração geométrica

relativa ao ponto X0 em relação aos pontos x1 , onde Z1 é observada;

o que depende da configuração geométrica relativa ao ponto X0 em relação aos pontos y2, onde Z2 é observada;

os termos restantes 0 e 1 correspondem à condição de não viés.

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Vetor [X]: a solução do sistema, ou seja, o cálculo dos coeficientes ’s, ’s e dos multiplicadores de Lagrange μ1 e μ2, expressos pelo vetor [X] para diferentes pontos X0 é obtida pela inversão de [A] e subseqüente multiplicação por [B].

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As equações da cokrigagem são formuladas na suposição que as variáveis primária e secundária apresentam covariâncias, com matriz positiva definitiva, para ser considerada uma matriz de covariâncias-cruzada válida.

Uma maneira simples para a obtenção dessa matriz é utilizar o “modelo linear de corregionalização”.

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Modelo linear de corregionalização

Ajusta os variogramas e covariogramas cruzados entre duas variáveis, ou mais, de tal maneira que a variância de qualquer combinação linear possível dessas variáveis seja sempre positiva. Tal combinação usa a mesmas estruturas dos variogramas e dos covariogramas cruzados, mantendo o mesmo valor para o alcance.

Ambos os determinantes das matrizes referentes aos valores do efeito pepita (Co) e soleira (C), devem ser positivos:

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Cokriging

Com dados totalmente coincidentes (isotopia):

Conveniente, apenas, para estimar de maneira consistente o topo e a base de um jazimento.

Topo

Base

Não se obtem uma melhoria substancial quando se aplica a cokrigagem, em relação à krigagem ordinária.

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Cokriging

Impossível estimar covariancias cruzadas com todos os dados não coincidentes (heterotopia).

Variável secundária (impedância acústica)

Variável principal (porosidade)

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Cokriging Resultados satisfatórios quando os dados são parcialmente coincidentes (heterotopia parcial)

Apenas variável secundária (impedancia acústica)

Apenas variável principal (porosidade)

Variável principal e variável secundária

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A cokrigagem ordinária é um procedimento que requer o cálculo e modelagem de variogramas experimentais diretos e cruzados. A modelagem desses variogramas não pode ser feita individualmente, mas sim em conjunto de tal forma que devem satisfazer o modelo linear de corregionalização. Tal procedimento pode se tornar muito trabalhoso à medida que aumenta o número de variáveis secundárias. Além disso, dependendo do número de variáveis envolvido, há o problema de estimativas discrepantes com a distribuição inicial da variável primária. Isso acontece devido às condições de restrição do sistema de equações de cokrigagem ordinária em que os pesos da variável primária somam a um, enquanto os pesos da variável secundária somam zero.

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A cokrigagem colocalizada é uma técnica que simplifica o procedimento da co-estimativa, pois não requer o cálculo do variograma cruzado, o qual é deduzido com base no chamado Modelo de Markov 1 ou 2, dependendo do suporte amostral da variável primária em relação à variável secundária. Trata-se de uma técnica que faz a estimativa usando a informação secundária em caso de alta correlação ou a informação primária em caso de baixa correlação. Em situações de correlações médias, a cokrigagem colocalizada faz uso tanto da informação primária como da secundária, por meio dos pesos da variável primária e peso da secundária.

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A krigagem com deriva externa é também uma alternativa interessante em situações onde a variável secundária é fartamente amostrada. Nesse procedimento, há uma condição de restrição que força os pesos da variável primária seguirem a geometria da variável secundária. A maior dificuldade da krigagem com deriva externa está no cálculo da covariância residual a partir do variograma residual. Foi desenvolvido um procedimento que permite calcular a componente de tendência sobre a malha regular contendo a informação secundária e a partir daí derivar o seu variograma, que subtraído do variograma da variável primária resulta no vaiograma residual.

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Yamamoto e Landim, 2013 20

A cokrigagem ordinária trabalha com uma base de dados, preferencialmente com heterotopia parcial, da qual são calculados os variogramas diretos e cruzado. A cokrigagem colocalizada e a krigagem com deriva externa usam duas bases de dados: a primeira com amostragens das variáveis primária e secundária nos mesmos pontos, ou seja, a base é isotópica e outra base com dados secundários sobre os pontos que se deseja estimar a variável primária. No caso da cokrigagem colocalizada, parte-se do covariograma da variável primária para estimar o covariograma cruzado. A krigagem com deriva externa precisa do variograma residual .

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Exemplo: Distribuição dos poços que atingiram o lençol freático/Bauru,SP (Sturaro, 1994)

563.25

514.46

543.98

520.01

506.17

576.60

504.35

541.45

537.46

546.28

556.50

502.17

496.77

501.15 518.00

499.56502.88513.60

504.98

534.50

518.00530.13521.80

547.45

535.00

526.70

558.50

499.27495.78

522.48

510.95

527.00

508.80518.00

501.28502.22

500.75

512.85511.56

511.69

504.24

554.87

551.25

555.35

559.80559.15

549.40

543.53

535.30530.60538.90

541.15

538.10510.00

512.18

508.43

534.00

542.38

503.23

552.00

530.00

511.40

501.80

535.63

541.40

505.15

514.90

510.00

494.77

537.16

519.00523.30

548.48

556.58

564.73

495.63

528.33

562.73

528.30

554.08

539.70

526.10

502.10

534.02

577.87

504.68

542.00

525.00

568.84

549.00

516.74516.56

696000 697000 698000 699000 700000 701000 702000 703000 704000

7526000

7527000

7528000

7529000

7530000

7531000

7532000

7533000

7534000

21 22

Topografia e lençol freático

Correlação entre cota topográfica e topo do lençól freático

23 24

7

25

Variogramas

694000 696000 698000 700000 702000 704000 706000

(UTM) - LESTE

7524000

7526000

7528000

7530000

7532000

7534000

7536000

7538000

(U

TM

) -

NO

RT

E

450

460

470

480

490

500

510

520

530

540

550

560

570

580

590

600

COKRIGAGEM DO TOPO DO LENÇOL FREÁTICO

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Cokrigagem do topo do lençol freático

694000 696000 698000 700000 702000 704000 706000

UTM - LESTE

7524000

7526000

7528000

7530000

7532000

7534000

7536000

7538000

UT

M -

NO

RT

E

6.0

7.5

9.0

10.5

12.0

13.5

15.0

16.5

18.0

19.5

MAPA DOS DESVIOS PADRÃO DA COKRIGAGEM TOPO DO LENÇOL FREÁTICO

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Mapa dos desvios padrão da cokrigagem

28

EXERCÍCIO 05. Krigagem indicativa Aplicar o algoritmo “Kriging” aos 359 dados do exercício 01, após transformação para valores binários 0-1. Os níveis de corte, necessários para a transformação binária 0-1, são 0.8 para cádmio, 50 para cobre e 50 para chumbo. Esses valores são definidos como sendo o máximo tolerável para um solo ser considerado como não poluído. Para a transformação binária: Planilha de dados/Data Transform

Transform with: Column variables Transform equation: Para cádmio: G=IF(D>0.80,1,0) Para cobre: H=IF(E>50,1,0) Para chumbo I=IF(F>50;1,0)

Calcular mapas com valores de probabilidade de ocorrência para os metais cádmio, cobre e chumbo. Os mapas resultantes deverão obedecer à área irregular abrangida pelos pontos de amostragem.