1
3.5: Equilíbrio Termodinâmico 1
A existência de equilíbrio termodinâmico (ET) ou equilíbriotermodinâmico local (ETL) no interior estelar grandes simplificações:
»» pode-se escrever:
(3.15) e
(3.16)
No caso do Sol, em
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PROGRAMA DE AGA 0293 - Astrofísica Estelar
A - Conceitos Básicos de Astrofísica: 1,5 semanas
Corpo Negro - Intensidade - Fluxo
Espectros - Leis dos Gases
B - Propriedades Físicas das Estrelas: 4 semanas
Magnitudes - Índices de Cor - Luminosidade – Temperatura
Tipos Espectrais - Diagrama HR
Massas - Raios
Rotação - Composição Química
Distâncias
C - Atmosferas Estelares: 2,5 semanas
Equação de Transporte Radiativo
Formação de Linhas Espectrais e Composição Química
Modelos de Atmosferas
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PROGRAMA DE AGA 0293 - Astrofísica Estelar (cont.)
D - Estrutura Estelar: 3 semanas
Equilíbrios Hidrostático e Termodinâmico
Equilíbrio Radiativo - Equações de Estado
Produção e Transporte de Energia – Convecção
Equações Básicas da Estrutura Estelar
Politropos
E - Evolução Estelar: 4 semanas
Formação de Estrelas
Evolução Anterior à Sequência Principal
A Seqüência Principal – Estrelas de Baixa Massa: o Sol
Evolução após a Seqüência Principal
Estágios Finais da Evolução Estelar
(Anãs Brancas, colapso gravitacional, Estrelas de Nêutrons, Buracos Negros)
4
»» O caminho livre médio (mean free path) para as interações (colisões) entre as partículas no interior estelar é:
(3.17)
onde ≡ seção eficaz de interação.
Para colisões de elétrons ou íons com elétrons ou íons, 10−16 −10−18 cm2.
Para interações de fótons com elétrons ou íons, 10−24 cm2.
»» Define-se o peso molecular médio como
o nº médio de u.m.a. / partícula de um gás (adimensional)
u.m.a. 1,661 x 10-24 g
5
Exemplos de valores de : H ionizado: = ½ (<massa>/ part.) = ½ mH
Copo d’água: 18
Atmosfera da Terra: 29
»» Define-se a Densidade Numérica média n de partículas como:
onde mH é a massa do átomo de H,
A densidade numérica de partículas no interior estelar é,
(3.18)
6
»» Com esses valores de n,
~ 10-7 cm para interações entre partículas e
~ 1 cm para interações envolvendo fótons.
Isto é, se compararmos esses valores com os gradientes de
P e T (eqs. (3.15) e (3.16) )
e
variação muito pequena desses parâmetros em alguns :
no caso mais desfavorável ( ~ 1 cm),
ou, e
CONCLUSÃO ??
7
CONCLUSÃO: P e T podem ser consideradas CONSTANTES
nas regiões onde acontecem as interações ≡ ≡ ≡
≡ ≡ ≡ EQUILÍBRIO TERMODINÂMICO
3.6: A Variação da Energia com r
»» Seja a taxa de produção de energia nuclear (erg g−1 s−1) naregião central da ; sua luminosidade L pode ser escrita:
Vamos considerar novamente uma casca de raio r e espessura
» Vamos considerar novamente uma casca de raio r e espessura
dr (figura 2.1)
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e
(3.19) (euler) , ≡ variação radial de L; ou,
(3.20) (lagrange)
Sendo L(r) e L(r + dr) as energias/seg
emitidas em r, e r + dr, e
os valores locais, pode-se escrever:
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»» Ordens de grandeza:
De (3.19), com , deduz-se que:
(3.21).
Para o Sol, , o que permite escrever-se:
para Estrelas em geral.
Ex: SP
10
»» Da forma lagrangiana da eq. da variação radial de L, 10
(3.20) , pode-se escrever: dL = є dM FÍSICA??
»» Implementações na eq. (3.20):
inclusão dos neutrinos e
caso não-estacionário: na presença de expansão e/ou contração, ocorre U e cabe a inclusão de um termo e a eq.
de variação radial de L completa será:
(3.21)
11
III - CONDIÇÕES FÍSICAS NO INTERIOR ESTELAR 9 (continuação)
3.8: O Gás de Elétrons
Três simplificações importantes:
ET (ETL), gás ionizado e gás perfeito*
3.8.1: Gases Perfeitos (GP):
Um <energia de interação> entre partículas << energia térmica delas
Quando isso ocorre? escrita:
----------------------------
* num gás perfeito, só existem as interações colisionais entre as partículas.
(isto é, não existem forças de atração/repulsão intermoleculares).
12
Ocorre quando a interação é pequena ou quando o gás é suficientemente rarefeito.
»» A relação entre a pressão, a temperatura e a densidade de um GP é:
(3.22) , sendo k a cte. de Boltzmann.
» Em termos do número total de partículas N no volume V,
, sendo o nº de moles,
o nº. de Avogadro e
R= 8,31 x 107 erg K-1 mol-1 é a constante dos gases.
Como , segue que
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»» INFORMAÇÃO PRÁTICA:
um gás totalmente ionizado comporta-se como um GP, mesmo a densidades relativamente altas.
»» Comparação entre as Etérmica e Ec de interação coulombiana num
GP: para partículas com separação média de r,
(3.22), sendo .
o volume ocupado por uma partícula é e seja
e T ~107 no interior estelar; com isso,
e ;
14
» Por outro lado,
< Et > ~ (3/2) kT ~ 10-9 erg ~ 103 eV, isto é,
Ec << Et
Se a condição acima não for satisfeita,
desvio clássico do GP Outros casos de desvio: degenerescência, ioniz. Incompleta,
criação de pares
3.8.2: Funções de Distribuição
»» A distribuição das partículas de um gás em função de sua energia
depende da estatística aplicada.
a) No limite clássico, para partículas idênticas e distinguíveis, aplica-se a
estatística de Maxwell-Boltzmann:
15
(3.23), sendo
o peso estatístico do nível E, ≡
≡ nº de configurações com energia E /cm3 .
é o fator de degenerescência, que é f(n) .
» Para baixas densidades, e para altas, ;
Para fótons, .
b) Para partículas idênticas e indistinguíveis de spin semi-inteiros
(≡ férmions), como elétrons, prótons e neutrinos, a estatística a aplicar é a de Fermi-Dirac:
16
(3.24)
c) Para partículas idênticas e indistinguíveis, de spin inteiro (bósons),
como fótons, partículas alfa e mésons , há que aplicar-se a
estatística de Bose-Einstein:
(3.25)
»» Além da densidade de partículas usa-se às vezes o fator de
ocupação, ou índice de ocupação f(E) = n(E)/g(E), que é ~
17
~ A probabilidade de ocupação do estado de energia E.
Para a distribuição de MB, e se
(baixas densidades) , f(E) << 1 .
»» O que mais nos interessa no interior estelar?
a Pg é exercida essencialmente pelos elétrons, que seguem a
Estatística de FD; nesse caso,
(3.26)
E nas altas densidades em questão, e obtemos ,
O valor 1 não é novidade. PORQUE??
18
» Em condições de T e n tais que (ocorre em baixas n ),
FD MB
3.8.3: Pressão de um Gás Perfeito
PRESSÃO ≡ TRANSFERÊNCIA DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO
P = F / unidade de área ≡ taxa de transferência de QM;
» Seja uma partícula com QM que incide numa superfície S no gás;
Se a reflexão for especular (elástica), a QM transferida para S será:
(ver Fig. 3.1)
p
19
p
Fig. 3.1
Seja o número de partículas com
QM entre que incidem na
superfície unitária/unid. de tempo, vindas de
direções que fazem com a normal ângulos
no intervalo ;
Nessas condições, a Pressão no cone d
pode ser escrita:
e a pressão total no interior do gás será,
(3.27) ;
20
» chamando a densidade de partículas movendo-se nas condições em questão, pode-se escrever
(3.28)
, onde é a velocidade das ptclas. de
QM a componente de v ao longo da normal n .
»» Em condições de ET, a distribuição de velocidades é ISOTRÓPICA
∝ ângulo sólido subtendido pela figura 3.1; daí,
= dS/r2 e como teremos que =2 sin d e
(3.29)
sendo a densidade de ptclas. com QM entre
21
» de 3.27, 3.28 e 3.29,
(3.30), para cuja integração temos de
conhecer (cf. efeitos relativísticos) e a estatística adequada.
da eq. 3.30 EQUAÇÃO DE ESTADO das partículas.
»» Estamos interessados no momento num gás de elétrons;
Não muito próximo ao centro da , pode-se considerar que ,
isto é, FD → MB, e a estatística dos e- pode ser escrita:
(3.31), sendo
n = densidade total de ptclas./cm3 e
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»» Assim, a Eq. de ESTADO de um gás Perfeito, Monoatômico,
não-degenerado, não-relativístico e sem radiação, será:
(3.32) , sendo
(mostra-se que este termo = 1, o que nos faz recuperar (3.22): P=nkT
3.8.4: O Peso Molecular Médio A equação de estado de um gás perfeito formado de partículas de diferentes espécies, pode então ser escrita na forma
que , com ,
sendo µ o peso molecular médio e .
23
» Nessas condições, podemos definir µ como (3.33)
ou seja, sendo n a densidade numérica (cm-3) de partículas
livres,
µ é a massa média das partículas do gás, em unidades de mH.
>> Pode-se definir também o peso molecular médio como
o nº médio de u.m.a. / partícula de um gás (adimensional)
( u.m.a. 1,661 x 10-24 g; mH 1,673 x 10-24 g)
Exs: gás < nº uma > / ptcla. µ
H0 1 / 1 1
H+ 1 / 2 0,5
He0 (2+2) / 1 4
He+ 4 / (1+1) 2
He++ 4 / (1+2) 4/326Fe (26+) 26 x 2 / (1+26) 2
ZEl(Z+) Z x 2 / (1+Z) 2
Copo d’água: 18
Atm. da Terra: 29
24
»» Chamando X, Y e Z as frações por massa de H, He e elementos pesados ("metais") , podemos obter uma relação µ(X, Y,Z) :
a) parâmetros físicos em função de X :
b) pode-se escrever para a densidade total,
sendo Z um valor médio;
25
» Com , resulta
(3.34) e sendo ,
(3.35)
EXs.: H puro: µ = ½ ; He puro: µ = 4/3 ; “metais” puros: µ = 2;
Gás totalmente ionizado:
»»» Pode-se definir também um Peso Molecular relativo à me
µ
26
3.8.5: Degenerescência
»» Cálculo de n(p) em condições de densidade elevada.
ISTO É,
À medida em que n , os e- são forçados a ocupar
estados de maior ,
pois os de menor estarão ocupados, segundo o limite
estabelecido em (3.41).
(3.41)
Utilizando-se o o Princípio de Heisenberg, que nos diz que:
e como
27
MORAL DA HISTÓRIA??
Nesse caso, os e - de maior contribuição importante
pressão do gás; é a chamada
PRESSÃO DE DEGENERESCÊNCIA.
►► ILUSTRAÇÃO DA DITA CUJA P Deg: Façamos um corte no espaço de fase a seis dimensões (Fig. 3.2):
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1) baixas n : é a de MB (curvas a, b) [n = f(T)]
2) dobrando o nº de e- para a mesma T, também dobra n(px) (curva b)
3) esse comportamento NÃO continua indefinidamente: tem um
limite, devido ao Princípio de Pauli (cf. Eq. 3.41). As células de menor p
são ocupadas primeiro e os e- adicionais terão de ocupar estados de >
energia curva de MB deformada, f(T) (curvas c, d, e, c/ graus de Deg. crescentes)
4) estágio de Deg. Completa: todas as células abaixo de pf ocupadas (f)
Fig. 3.2
29
►► Outra ilustração da P Deg : Fig. 3.3
MBs para 106 e 107 K
com n = 1026 cm−3 > n(p)max ,
(3.31) e
(3.41)
Na distribuição MB, pmax = (2mekT)1/2 .
Ou seja, para dada n, MB não é mais válida para Ts
suficientemente baixas.
O mesmo naturalmente ocorre para uma dada
temperatura, se n for suficientemente alta.
Gás a 107 K: não-DG
Gás a 106 K: DG
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»» A degenerescência (quando existe) nos interiores estelares, é
restrita aos e- , os íons permanecendo não degenerados
Em ET, a Ecinética média dos íons e e- é a mesma, e
(3.42)
Para um dado volume V, íons ocupam no espaço de fase um
volume maior que o dos e- por um fator .
para os p+, , isto é, onúmero de células do espaço de fase disponíveis aos p+ é maior
por um fator 8 × 104 que o dos e-.
Vol. do espaço de fases ocupado por partícula numa caixa de vol. V =
= V d3p
31
A Pressão Total no Interior de uma : Ela será a resultante das contribuições de todos os componentes: (3.72)
elétrons
núcleos
»» Balanço entre Pr e Pgás:
e ;
Igualando as duas expressões, obtém-se a região limite para P :
fótons
32
Limite entre predominâncias de Pr e Pgás :
( em g/cm3 e T em K).
Isso pode ser visto na Fig. 3.6 (Maciel’s):
Pr domina
Pgás domina
não DG
DG
não-relativístico
relativístico
cristalização
33
◐◑ OBSERVAÇÃO 1: transportes CONVECTIVO e RADIATIVO
»»a) O Frad é: (eq. 6.11) ;
P/ o , o <valor> estimado é K/cm
P/ regiões centrais,
o que dá e
Mais longe do centro,
o que dá
cf. cap. 2
"aprox. de difusão"
r/RO ≈ 0,05
[FTot(r=0,05) ~ 2,5 x 1013 c.g.s.][FTot(r=0,80) ~ 8 x 1010 c.g.s.]
34
»»b) O Fconv é: e o
fluxo TOTAL no interior da estrela é
para o ,
e o gradiente médio solar,
e pode-se escrever:
sendo
Pode-se mostrar que para r/R ≲ 0.3 , ≤ 10-7,
≡ transporte é praticamente TOTALMENTE CONVECTIVO
35
»»c) Comparação de Escalas de Tempo no interior solar,
Radiativa X Convectiva:
o tempo para um elemento do plasma percorrer um
é
, onde é a aceleração do elemento;
~1010 cm, e tc ≈ 1,6x106 s ≈ 20 dias.
a escala de tempo radiativa pode ser estimada por
"random walk" (cf. Reif) :
no interior solar tr >> tc
a CAMADA CONVECTIVA é misturada eficazmente
nesse caso,
tr ≈ 3,3x109 s , ou,
36
CÁLCULO DA equação (3.41)
» Para uma distribuição contínua de estados de energia, definimos a
densidade de estados = o número de estados por unidade de
volume com energia entre E e E + dE.
» No espaço de quantidade de movimento, definimos analogamente
como o nº de estados /unidade de volume, tal que a
componente do vetor esteja no intervalo , etc...
» o Princípio de Heisenberg nos diz que:
e a incerteza
na posição associada a partículas de quantidade de movimento é:
que dá um volume associado de incerteza de:
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» Para que os estados possam ser resolvidos e identificados,
cada volume deve ser associado a um estado. portanto, o nº de estados / unidade de volume = inverso do
(volume de incerteza)-1,
Em ET as quantidades de movimento são isotrópicas, e como para
estudar a DEGENERESCÊNCIA, devemos examinar a densidade
de estados com entre , segue que:
(3.39) . ≡ dois graus de polarização
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»» Como a pode ser escrita , de 3.39 →
(3.40) e sendo
, pode finalmente ser escrita como:
(3.41) .
►► ISTO É,
À medida em que n , os e- são forçados a ocupar estados
de maior , pois os de menor estarão ocupados, segundo o limite
estabelecido em (3.41).