2ª EDIÇÃO
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Glaciete Jardim Zago
Walter Antonio Sciani
Trigonometria
Conselho Editorial:
Diretor Editorial: Diretor Comercial: Diretor de Publicidade: Conselho Editorial:
Consultor Técnico: Coordenação: Diagramação:
Desenhos Técnicos: Revisão Interna: Finalização de Capa: Revisão Gramatical:
Ano: 2002 2001 2000 1999
Edição: 8 7 6 5 4 3 2
Editora Érica Ltda.
Antonio Marco Vicari Cipelli Paulo Roberto Alves Waldir João Sandrini Celso de Araujo, Eduardo Cesar Alves Cruz, Glaciete Jardim Zaga, Salomão Choueri Junior e Walter Antonio Sciani Wagner Sciani Rosana Arruda da Silva Érica Regina Pagano, Graziela M.L.Gonçalves e Rosana Ap. Alves Santos Pedro Paulo Vieira Herruzo Érica Regina Pagano e Rosana Arruda da Silva Maurício Scervianinas de França Marlene Teresa Santin Alves
Copyright © 1997 da Editora Érica Ltda.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Zaga, Glaciete Jardim Trigonometria/ Glaciete Jardim Zago, Walter Antonio
Sciani. São Paulo: Érica, 1997. - (Coleção Estudo e Use, Série Matemática).
Bibliografia. ISBN 85-7194-403-2
1. Trigonometria. I. Sciani, Walter Antonio, 1956-II. Título. III. Série.
97-0713
Índices para catálogo sistemático: 1. Trigonometria 516.24
CDD-516.24
TODOS OS DIREITOS RESERVADOS. Proibida a reprodução total ou parcial, por qualquer meio ou processo, especialmente por sistemas gráficos, microfílmicos, fotográficos, reprográficos, fonográficos, videográficos. Vedada a memorização e/ou a recuperação total ou parcial em qualquer sistema de processamento de dados e a inclusão de qualquer parte da obra em qualquer programa juscibemético. Essas proibições aplicam-se também às características gráficas da obra e à sua editoração. A violação dos direitos autorais é punível como crime (art. 184 e parágrafos, do Código Penal, cf. Lei n12 6.895, de 17.12.80) com pena de prisão e multa, juntamente com busca e apreensão e indenizações diversas (artigos 122, 123, 124, 126, da Lei n11 5.988, de 14.12. 73, Lei dos Direitos Autorais) .
.... ERICA
Editora Érica Ltda. Rua Jarinu, 594- Tatuapé - Cx. P. 14577 CEP: 03306-000 - São Paulo - SP Fone: (011) 295-3066 - Fax: (011) 217-4060 Home-Page: www.erica.com.br
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Dedicatória
Aos nossos pais:
Orlando e Victorino, que em vida souberam semear a vibração do saber que nos levou a esta obra.
Olga e Jandira com carinho.
Glaciete e Walter
Aos meus filhos Alexandre e Ariadne e ao meu marido Carlos, pela compreensão durante a elaboração deste trabalho.
Glaciete
À minha esposa Maria Isabel e ao meu filho João Paulo, com eterna gratidão.
Walter
Agradecimentos
Aos professores:
Cláudio Minoru Tamashiro
Hideo Nakayama
Issao Y amamoto
Marcelo Aoki
Nelson Kakuiti
Rubens Nista
Sheyla Villar Fredenhagem
Toru Ueno
Valdir Perruzzi
e
José Roberto Torelli, que sempre acreditaram em nosso trabalho.
Os autores
(J
Objetivos
1. Ensinar de um modo mais intuitivo e menos formal.
2. Desenvolver as estruturas lógicas do pensamento.
3. Aplicar o ensino matemático na resolução de problemas práticos.
4. Colaborar com o desenvolvimento do raciocínio do aluno.
5. Utilizar linguagem simples e direta na abordagem de cada assunto.
6. Enfatizar o processo de construção de conceitos.
tores
... lndice
Capítulo 1 - Trigonometria no Triângulo Retângulo ................................ 01
1.1 - Introdução ........................................................................................ 01
1.2 - Triângulos Retângulos ....................................................................... 02
1.3 - Razões Trigonométricas .................................................................... 05
1.4 - Tabela de Razões Trigonométricas .................................................... 13
Capítulo 2 - Medidas de Arcos e Ângulos ................................................. 17
2.1 - Arcos e Ângulos ................................................................................ 17
2.2 - Medidas de Arcos e Ângulos ............................................................. 18
2.3 - Ciclo Trigonométrico ........................................................................ 25
2.4-Arcos Côngruos ................................................................................ 27
2.5 - Menor Determinação Positiva ........................................................... 32
Capítulo 3 - Seno e Cosseno ....................................................................... 37
3.1 - Seno e Cosseno de um Arco ............................................................. 37
3.2 - Valores Notáveis ............................................................................... 39
3.3 - Pontos Extremos de Quadrantes ...................................................... .40
3.4 - Sinal do Seno e do Cosseno ............................................................. 41
3.5 - Relação Fundamental da Trigonometria ........................................... 42.
Capítulo 4- Função Seno e Função Cosseno ........................................... 51
4.1 - Função Seno ..................................................................................... 51
4.2 - Considerações da Função Seno ........................................................ 53
4.3 - Função Cosseno ............................................................................... 56
4.4- Considerações da Função Cosseno ................................................... 58
Capítulo 5 -Tangente e Cotangente ........................................................... 67
5.1 - Tangente de um Arco ....................................................................... 67
5.2 - Cotangente de um Arco .................................................................... 68
5.3 - Pontos Extremos de Quadrantes ....................................................... 69
5.4 - Valores Notáveis ............................................................................... 71
Capítulo 6 - Funções Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante .... 75
6.1- Função Tangente .............................................................................. 75
6.2 - Considerações sobre a Função Tangente .......................................... 77 ~
6.3 - Função Cotangente ........................................................................... 79 ~
6.4- Considerações sobre a Função Cotangente ...................................... 80
6.5 - Função Secante e Função Cossecante .............................................. 81
Capítulo 1 - Relações Trigonométricas ....................................................... 85
7 .1 - Relações Principais ........................................................................... 85
7.2 - Relações Decorrentes ........................................................................ 86
Capítulo 8 - Redução e Identidades ............................................................ 93
8.1 - Redução ao Primeiro Quadrante ....................................................... 93
8.2 - Seno e Cosseno de Arcos Complementares ...................................... 96
8.3 - Identidades ....................................................................................... 99
Capítulo 9 - Transformações ..................................................................... 105
9.1 - Seno e Cosseno da Soma ............................................................... 105
9.2 - Tangente da Soma .......................................................................... 107
9.3 - Seno, Cosseno e Tangente da Diferença ......................................... 109
9. 4 - Multiplicação de Arcos .................................................................... 111
9.5 - Transformação em Produto ............................................................ 114
.. 67 Capítulo 10 - Equações Trigonométricas ................................................ 121
.. 67 10.1- Equações Redutíveis a uma Equação do 2º Grau ......................... 121
.. 68 10.2 - Equações Fatoráveis ..................................................................... 125
.. 69
.. 71 Capítulo 11 - Funções Trigonométricas Inversas ................................... 129
11.1 - Função Arco Seno ........................................................................ 130
.. 75 11.2 - Função Arco Cosseno ................................................................... 133
.75 11.3- Função Arco Tangente .................................................................. 134
.77
· 79 Capítulo 12 - Triângulos Quaisquer ......................................................... 139
.80 12.1- Lei dos Senos ................................................................................ 139
.81 12.2 - Lei dos Cossenos .......................................................................... 142
.85 Respostas ...................................................................................................... 149
.85
.86
.93
93
96
99
05
05
07
09
11
14
1.1 - Introdução 1.2 - Triângulos Retângulos 1.3 - Razões Trigonométricas
Capítulo 1
1.4 - Tabela de Razões Trigonométricas
Trigonometria no Triângulo Retângulo
lntrodu~ão
A Trigonometria tem suas raízes na Astronomia.
Hiparco de Nicéia {109 a.C. - 125 a.C.), astrônomo grego, é considerado o "Pai da Trigonometria". Atribui-se a ele a construção de tabelas cujos valores relacionam arcos e comprimentos das cordas determinadas por esses arcos. As obras de Hiparco só foram conhecidas por meio dos trabalhos de Cláudio Ptolomeu (125 a.C.), o mais célebre astrônomo da Antiguidade.
Baseado nos trabalhos de Hiparco, Ptolomeu apresenta uma obra clássica de astronomia até a época de Copérnico, chamada "Sintaxe do Mundo".
Nesse livro, Ptolomeu mostra as leis que justificam os movimentos dos corpos celestes e um verdadeiro tratado de Trigonometria Retilínea e Esférica.
A Sintaxe Matemática foi traduzida para o árabe como "Almagesto" que significa "Muito Grande".
Foi com o matemático persa Nasir Eddir {1201 - 1274) que a Trigonometria passa a ser tratada como parte da Matemática, desvinculando-se da Astronomia. Já aparecem, nos trabalhos de Nasir, as seis funções trigonométricas e algumas técnicas para resolver problemas com triângulos.
Trigonometria no Triângulo Retângulo 1
Muitos nomes contribuíram para o desenvolvimento da Trigonometria tais como: Purback (1423 - 1463), Regiomontanus (1436 - 1476), Joachim Retico (1514 - 1575), François Viete {1540 - 1603) e Bartholomeus Petiscos (1561 - 1613) a quem devemos a palavra Trigonometria que significa "medida dos ângulos de um triângulo".
1.2 Triângulos Retângulos
Por simplicidade de linguagem, não distinguiremos ângulo (figura geométrica) de sua medida (valor numérico} e segmento (figura geométrica} da sua medida {valor numérico).
2
O triângulo ABC é retângulo em A.
A
Temos:
• a: chama-se hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto}.
• b e c: chamam-se catetos {lados que formam o ângulo reto}, b é o
cateto oposto ao ângulo ~ ou cateto adjacente ao ângulo y e c é o
cateto oposto ao ângulo y ou cateto adjacente ao ângulo ~.
• ~ e y são ângulos complementares, isto é:
~ + y = 90º
a tais ::him 11eus nifica
{Jura 1) da
éo
éo
Teorema de Pitágoras ( S80 a S10 a.C.)
1 O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
Demonstração
Consideremos os quadrados ABCD de lado b + e e EFGH de lado a, como mostra a seguinte figura:
A e
Área do quadrado maior ABCD:
Área do quadrado menor EFGH:
Área de um triângulo:
E b B
AQ = (b + c)2
A ª2
q
A área do quadrado maior ABCD é igual à soma das áreas do quadrado menor EFGH, mais os quatros triângulos, isto é:
1 (b+c)2 =a2+4·
2bc
b2 + 2bc + c2 = a2 + 2bc
Então: 1 ª2 = b2 + c2 j
Trigonometria no Triângulo Retângulo 3
4
Exercícios
1. Calcule x em cada caso seguinte:
a) b)
0,3
e) d)
2
2. Verifique se as medidas 7, 8 e 9 são de um triângulo retângulo.
3. Deduzir a fórmula da altura de um triângulo equilátero de lado t.
Solução:
Aplicando o teorema de Pitágoras no
triângulo hachurado, temos:
2 3 2 2 2 e 2 e =>h =f --=>h =-=> 4 4
inc
in
::::i...c
lS no
=>
4. Deduzir a fórmula da diagonal de um quadrado de lado .f..
5. O perímetro de um losango mede 20 cm e uma das diagonais mede Bem. Determine quanto mede a outra diagonal.
1.3 Razões Trigonométricas
____. Sobre o lado AB do ângulo agudo a, marquemos arbitrariamente os
____. pontos B, Bl, B2, ... e tracemos por esses pontos perpendiculares ao lado AB que ____. encontram o lado AC nos pontos C, C1, C2, ...
Teremos, assim, os triângulos ABC, AB1C1, AB2C2, ... semelhantes entre si.
Então vamos escrever as seguintes proporções:
ª BC B1C1 B2C2 1-) - = -- = -- = ... = k1 (constante) AC AC1 AC2
A constante k1 assim obtida, chama-se seno do ângulo agudo a, e
indicamos sena.
AB AB AB 2ll) - = --1 = --2 = ... = k2 (constante)
AC AC1 AC2
A constante k2 assim obtida, chama-se cosseno do ângulo agudo a, e
indicamos cosa.
Trigonometria no Triângulo Retângulo S
BC BC BC 3.!!) - = - 1- 1 = 2 2 = ... = k 3 (constante)
AB AB1 AB2
A constante k3 assim obtida, chama-se tangente do ângulo agudo ex, e
indicamos tg ex.
Assim, considerando o triângulo retângulo ABC da figura, temos as seguintes conclusões:
6
e
b
A c B
Seno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa.
sen p = cateto oposto a p = ~ hipotenusa a
Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.
cos p = cateto adjacente a P = ~ hipotenusa a
Tangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.
tgp = cateto oposto a P = ~ cateto adjacente a p c
[)a, e
1os as
Temos também:
Note que:
cateto oposto a y c seny= =-
hipotenusa a
cateto adjacente a y b cosy= - -
hipotenusa a
tg y = cateto oposto a y = ~ cateto adjacente a y b
12) sen ~ = cos y e cos ~ = sen y
Como ~ + y = 90º ~ y = 90º - ~
Isto equivale a dizer que o seno de ~ é igual ao cosseno do seu complementar, e o cosseno de ~ é igual ao seno do seu complementar, isto é:
1 sen~ = cos (90º - ~) 1 e [CO"s ~ = sen (90º - ~) 1
Exemplos:
sen 30º = cos (90º - 30º) = cos 60º
cos 25º = sen (90º - 25º) = sen 65º
b
22) sen~ = a = .!: . ª = .!: = tg~, isto é: cos~ ~ a c c
a
De modo análogo: tgy = sen y cosy
tg~ = sen~ cos~
Trigonometria no Triângulo Retângulo 7
Razões Trigonométricas de 60°, 30° e 4Sº
Vamos obter as razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente) dos ângulos de 60°, 30° e 45°, por serem usadas com freqüência.
8
1 !!) Ângulo de 60°
Consideremos um triângulo equilátero de lado L
f.J3 o h -2- f.J3 1 .J3 .J3
sen60 = =--=-- · - =- => sen60º f f 2 f 2 2
f
cos60º = _f_ f
f .J3 tg60º = ~ = + = f; . ~ = .J3 => 1 tg60º = .J3 j
2 2
2.!!) Ângulo de 30°
) dos Como 30° e 60° são complementares, então:
sen 30º = cos 60º = l. ==> 2 1 sen30º = ~
J3 cos 30º = sen 60º = - ==> 2
J3 cos30º = -2
1
tg 30º = sen 30º = 2 = l. . ~ = _1_ = J3 ==> 1 tg 30º = ,/333 cos30º J3 2 J3 J3 3 _
2
3.!!)Ângulo de 45°
Consideremos um quadrado d lado l.
o f f 1 1 .J2. .J2. sen45 =-=--=-=-·-=- ==>
d f .J2. .J2. .J2. .J2. 2 .J2. sen45º =-2
f .J2. cos45º = -= sen45° ==> cos45º = -
d 2
tg45º = ; = 1 ==> 1 tg45º = 1 1
Trigonometria no Triângulo Retângulo 9
10
Podemos resumir esses valores obtidos na seguinte tabela:
a 30° 45° 60°
1 J?. J3 sena - - -2 2 2
J3 J?. 1 cosa - - -
2 2 2
tga J3 1 J3 -3
Exercícios
6. No triângulo retângulo ABC, calcule:
e a) senp b) cosp
e) tgp d) seny
2 e) cosy f) tgy
A 1 B
7. Calcule o seno, o cosseno e a tangente do menor ângulo agudo de um
triângulo retângulo cujos catetos medem 12cm e 5cm.
8. Um terreno possui forma triangular, em que o lado maior mede lOOm, o
maior ângulo entre os lados é 90° e um dos outros dois ângulos é metade do outro. Calcule o lado menor desse triângulo.
9. Um poste na posição vertical, colocado num plano horizontal, encontra-se a 3 metros de uma parede plana e vertical. Nesse instante, o Sol projeta a sombra do poste na parede. Essa sombra tem 17 metros. Se a altura do poste é 20 metros, calcule a inclinação dos raios solares em relação ao plano horizontal.
! um
m, o
ledo
ra-se
~ta a a do
:>ao
1 O. Um arame de 18 metros de comprimento é esticado do nível do solo
(suposto horizontal) ao topo de um poste vertical. Sabendo-se que o ângulo
formado pelo arame com o solo é de 30°, calcule a altura do poste.
11. Um triângulo retângulo tem a hipotenusa e um dos catetos medindo,
respectivamente, 2.J3 cm e 3cm. Determine a medida do ângulo oposto ao
cateto dado.
12. Uma pessoa na margem de um rio vê, sob um ângulo de 60°, uma torre na
margem oposta. Quando ela se afasta 40m, esse ângulo é de 30°. Calcule a largura do rio.
13. No triângulo ABC, têm-se BC = 20m e CF = 6,Sm. Determine AF e EB.
e
B
14. Determine o valor x na figura.
Trigonometria no Triângulo Retângulo 11
12
15. Na figura abaixo, BA é perpendicular a CA, MB = MC e AB = 12cm.
Calcule a medida de AM .
e
B
16. Um observador, no ponto O da figura abaixo, vê um prédio segundo um
ângulo de 75°. Se esse observador está situado a uma distância de 12m do
prédio e a 12m de altura do plano horizontal, calcule a altura do prédio.
17. Sendo O o centro da circunferência de raio unitário, calcule a medida de BC .
12cm.
ido um
.2m do
io.
BC.
1.4 Tabela de Razões Trigonométricas
O seno, o cosseno e a tangente de um ângulo agudo podem ser obtidos na seguinte tabela:
Angulo sen cos tg Angulo sen cos tg
tº n n17r, nnnno nm7r; ALO n 710"l 11 l'OOA7 1 (lQr;r;
2º 00349 o 9994 00349 47° o 7314 o 6820 1 0724
3º 00523 09986 00524 48° o 7431 o 6691 11106
4º 00698 09976 00699 49° o 7547 o 6561 11504
5º 00872 09962 00875 50° o 7660 o 6428 11918
6º o 1045 09945 o 1051 51° o 7771 o 6293 12349
7º o 1219 09925 o 1228 52° o 7880 o 6157 12799
8º o 1392 09903 o 1405 53° o 7986 06018 13270
9º o 1564 09877 o 1584 54° 08090 05878 13764
10º o 1736 09848 o 1763 55° o 8192 05736 14281
11º o 1908 o 9816 o 1944 56° o 8290 05592 14826
12º 02079 o 9781 o 2126 57° o 8387 05446 1 5399
13º 02250 o 9744 02309 58° 08480 05299 16003 14° o 2419 o 9703 02493 59° 08572 05150 16643
15° o 2588 09659 02679 60° 08660 05000 1 7321 16° 02756 09613 02867 61° o 8746 04848 18040 17° 02924 09563 03057 62° o 8829 04695 1 8807 18° 03090 09511 03249 63° o 8910 04540 1 9626 19° 03256 09455 03443 64° o 8988 04384 2 0503
20º 03420 09397 03640 65° 09063 04226 21445
21° 03584 09336 03839 66° 09135 04067 2 2460
22° 03746 09272 04040 67° o 9205 03907 2 3559
23° 03907 09205 04245 68° 09272 03746 2 4751
24° 04067 o 9135 04452 69° 09336 03584 2 6051
25° 04226 09063 04663 70° 09397 03420 2 7475
26° 04384 08988 04877 71° 09455 03256 2 9042
27º 04540 08910 o 5095 72° 09511 03090 3 0777
28° 04695 o 8829 o 5317 73° 09563 o 2924 3 2709
29° 04848 o 8746 05543 74° 09613 o 2756 3 4874
30° 05000 o 8660 05774 75° 09659 02588 3 7321
31° 05150 o 8572 06009 76° 09703 o 2419 40108
32° 05299 08480 06249 77° 09744 o 2250 4,3315
33° 05446 o 8387 06494 78° o 9781 o 2079 4 7046
34° 05592 08290 06745 79° 09816 o 1908 51446
35° o 5736 o 8192 07002 80° 09848 o 1736 5 6713
36° o 5878 o 8090 o 7265 81° 09877 o 1564 6 3138
37° o 6018 07986 o 7536 82° 09903 o 1392 71154
38° o 6157 o 7880 o 7813 83° 09925 o 1219 81443
39° 06293 o 7771 08098 84° 09945 o 1045 9 5144
40° 06428 o 7660 08391 85° 09962 00872 11 4301
41° 06561 o 7547 o 8693 86° 09976 00698 14 3007
42º o 6691 o 7431 09004 87° 09986 00523 19 0811
43° o 6820 o 7314 09325 88° 09994 o 0349 28 6363
44° 06947 o 7193 09657 89° o 9998 o 0175 57 2900
45° 0,7071 0,7071 1,0000
Trigonometria no Triângulo Retângulo 13
t4
Exercícios
18. Um foguete é lançado sob um ângulo de 84° com o plano horizontal. Sabendo que sua trajetória é uma reta, quando o foguete percorreu 1000 metros, qual foi a altura atingida?
19. Calcule o perímetro do quadrilatéro ABCD.
20. Na figura, calcule a. ex.
438,4 cm
X
ontal.
:orreu Pense e Faça
F1: Data Misteriosa
O ano da invenção da imprensa por Guttenberg tem quatro algarismos. O algarismo das dezenas é metade do das unidades; o dos milhares é igual ao excesso do das centenas sobre o das dezenas; a soma dos quatro algarismos é 14, e, aumentando o número de 4905, obtém-se o número escrito na ordem inversa. Ache essa data.
Trigonometria no Triângulo Retângulo 15
16
Pense e Fa~a
F 1 : Fumantes Poluidores
A porcentagem de fumantes de uma cidade é 323. Se três em cada onze fumantes deixarem de fumar, o número de fumantes ficará reduzido a 12 800.
Calcule:
a) O número de fumantes da cidade.
b) O número de habitantes da cidade.
2.1 - Arcos e Ângulos 2.2 - Medidas de Arcos e Ângulos 2.3 - Ciclo Trigonométrico 2.4 - Arcos Côngruos 2.S - Menor Determinação Positiva
~
Capítulo 2 Medidas de Arcos e
Ângulos
2.1 1 Arcos e Angulos
Dois pontos A e B de uma circunferência dividem-na em duas partes chamadas arcos de circunferência ou simplesmente arcos.
º· º·
Os pontos A e B chamam-se extremidades desses arcos. Indica-se o arco ~ ~
de extremidade A e B por AB ou BA.
Se os pontos A e B coincidem, temos dois are os:
• arco nulo (um ponto).
• arco de uma volta (a circunferência).
º· A=B A=B
arco nulo arco de uma volta
Medidas de Arcos e Ângulos 17
1
Ângulo Associado a um Arco ,,,,.......__
A todo arco AB de uma circunferência podemos associar um ângulo central (ângulo que possui o vértice no centro da circunferência) cujos lados contêm os pontos A e B, e vice-versa.
A ,,,,.......__
AOB é o ângulo central associado ao arco AB.
Podemos, então, associar a cada arco unitário um ângulo central e,. considerando tal ângulo como unitário, podemos dizer que são iguais as medidas do arco e do ângulo central que o determinam.
A
2.2 Medidas de Arcos e Anguf os
Para medir arcos e ângulos, usaremos duas unidades de medida: grau e radiano.
1 Grau é a medida do arco, cujo comprimento é igual a da
360 circunferência que contém esse arco.
18
1
mtral mos
li e, lidas
lU e
Subdivisões do Grau
Minuto('): é o arco que corresponde a 6~ do grau.
1'=_!_1° => 1º=60' 60
Segundo("): é o arco que corresponde a ;0
do minuto.
Temos, então:
RADIANO
l"=_!_l' => l'= 60" 60
1o=60' = 3600"
É a medida do arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém esse arco.
Medidas de Arcos e Ângulos 19
Medida de um Arco em R~dianos ,,,,......,_
m{Ae)=lrad B
A medida a de um arco AB de comprimento !, em radianos é o número que indica quantas vezes um arco de comprimento igual ao raio está contido no arco a ser medido.
o
(a em radianos)
Lembrando que o comprimento de uma circunferência é 2m, a medida da circunferência (arco de uma volta) é:
2m a=-= 2mad
r
Assim:
1 360° = 2mad 1
A tabela seguinte mostra os arcos obtidos pela divisão da circunferência em quatro partes iguais:
20
número itido no
lida da
:ia em
Exercícios
" I
.. -I 1 \ \ / ' ,, .... __ .,,.
\ \ / ' .... __ .,"'
21. Converta 120° em radianos.
Solução:
Grau(º)
90°
180°
270°
360°
Podemos fazer a seguinte regra de três:
j 180° --7trad
120° --x
então:
X 120 120·7t 27t - = - => x = -- => x = -rad 7t 180 180 3
Radiano(rad)
7t
2
7t
37t
2
27t
Medidas de Arcos e Ângulos 21
22. 7rt
Converta 6 rad em graus.
Solução:
Como rtrad = 180°, então:
7 rc rad = '!.... · 180° = 210° 6 6
23. Converta em radianos:
a) 15° b) 30° e) 36°
d) 45° e) 50° f) 60°
g) 75° h) 135° i) 150°
j) 160° k) 225° 1) 300°
24. Converta em graus:
a) 1t 1t 1t -rad b) -rad e) 9 rad 15 30
d) 5rt 4rt f) llrt rad -rad e) 3 rad 18 6
8rt h) 7rc rad º) 7rt d g) -rad 1 -ra 9 12 4
º) 16rt d k) lOrt rad 5rc J -ra 1) 3 rad
9 9
25. Quantos minutos possui um arco de:
a) 45° b) 25°18' e) 38°49'
26. Quantos segundos possui um arco de:
a) 3° b) 2°7' e) 1°58'43"
22
.
27. Determine o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio que marca 10h15min.
Solução:
Em uma hora, o ponteiro das horas percorre um ângulo de 30°, isto é, _!__de 12
360°, então:
60 min ---- 30° X 15 => - = - => X = 7°30'
30 60 15min----x
como ex + x = 150°, temos:
ex= 150°-x
ex = 150° - 7°30' => ex= 142°30'
28. Determine o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando marca:
a) 9h15min b) 12h15min e) 3h40min
29. Determine o ângulo formado pelos ponteiros de um relógio à lh12min.
30. É uma hora da tarde. Em que instante o ponteiro dos minutos coincidirá com o ponteiro das horas pela primeira vez?
31. Na figi.lra, têm-se cinco arcos de circunferências concêntricas e igualmente espaçados entre si. Sabendo-se que a soma dos comprimentos desses arcos é igual ao comprimento da circunferência maior, determine a medida do ângulo central comum a todas as circunferências.
Medidas de Arcos e Ângulos 23
24
32. Dois ciclistas percorrem, no mesmo sentido, uma pista circular de 50 metros de diâmetro. A cada volta, o primeiro percorre 2,5 m a mais do que o segundo. Supondo que mantenham o mesmo ritmo, após quantas voltas o primeiro ciclista terá percorrido 1 radiano a mais do que o segundo?
33. Para calcular a circunferência terrestre, o sábio Eratóstenes valeu-se da distância conhecida de 800 km entre as localidades de Alexandria e Siena, no Egito (A e S respectivamente), situadas no mesmo meridiano terrestre. Ele sabia que quando em Siena os raios solares caíam verticalmente, em Alexandria eles faziam um ângulo de 7 ,2° com a vertical. Calcule, com esses dados, a circunferência terrestre, isto é, o comprimento de uma volta completa em tomo da Terra.
34. Achar o valor aproximado em graus, minutos e segundos do arco de 1 radiano.
50 metros do que o
as voltas o ?
aleu-se da ia e Siena, mastre. Ele nente, em com esses
uma volta
, arco de
2.3 Ciclo Trigonométrico
Chama-se ciclo trigonométrico toda circunferência que satisfaz as
l !) O centro coincide com a origem do sistema cartesiano ortogonal.
2!) O raio é unitário (r = 1).
3!) O ponto A (1,0} é a origem dos arcos.
4!) Os arcos são orientados da seguinte forma:
• os percorridos no sentido anti-horário são considerados positivos.
• os percorridos no sentido horário são considerados negativos.
~ antl-hor4rlo ( +)
A
Os eixos do sistema cartesiano dividem o ciclo em quatro partes iguais que são chamadas quadrantes.
Medidas de Arcos e Ângulos 2S
7t
Exemplos:
No ciclo bigonomébico, temos os arcos de medida x associados ao ponto P.
a) X 7t
2
C) X= 7t
p
26
A
A
7t b)x=--2
d) X =-7t
A
p
A
to P.
A
31t f) x=--
2
O ponto P é a imagem do arco de medida x no ciclo.
A
A medida de um arco acompanhada do sinal + ou - (chama-se medida algébrica) e indica a sua orientação no ciclo trigonométrico.
• Quando a medida é positiva o arco é marcado no sentido anti-horário.
• Quando a medida é negativa o arco é marcado no sentido horário.
2.4 Arcos Côngruos
A medida de um arco pode ser maior que 21t (360°). Um arco de 400° é o arco de uma volta completa (360°) mais um arco de 40°.
Medidas de Arcos e Ângulos 27
Arcos que possuem a mesma extremidade são chamados arcos côngruos.
Os arcos de 45° e -315° são côngruos.
45º•-315°
A diferença entre as medidas de dois arcos côngruos é um múltiplo de 2n ou 360°.
Assim:
45° = -315° = 405° = 765° = ... Então, um arco possui infinitos outros côngruos a ele.
,,-....... Dado um arco AP, interessa-nos apenas a posição da extremidade desse
arco, independente do número de voltas dadas, isto é, as várias determinações de um mesmo arco trigonométrico. Para isso, consideramos sempre a menor determinação positiva desse arco. No exemplo, 45° é a menor determinação
,,,......... positiva do arco AP.
Então, podemos estabelecer uma expressão geral para os arcos côngruos.
em graus: 1x=Xo+k·360º1
em radianos: j x = Xo + 2kn j
28
•ngruos.
lo de 2n
le desse ições de menor
rtinação
puos.
em que:
• Xo é a menor determinação positiva do arco de medida x, sendo O< Xo ~ 2n.
• ke"ll..
Do exemplo, a expressão geral do arco de 45° é:
X = 45° + k · 360°
Exercícios
35. Localize no ciclo trigonométrico, os seguintes arcos:
1t a) -
3
Solução:
1t a) -
3
b) - 71t 6
~ = ~ · 1t ( ~ de meia circunferência)
Para localizar este arco, devemos dividir em três partes iguais a semi-circunferência e considerar uma dessas partes, como mostra a figura.
Medidas de Arcos e Ângulos 29
30
b) 71t 6
7rc 1 -- =-TC--· TC
6 6 (
meia circunferência + i de meia circunferência ]
no sentido anti - horário
Para localizar este arco, devemos dividir em seis partes iguais a semicircunferência e considerar uma dessas partes com a semicircunferência, como mostra a figura.
-7n 6
36. Localize no ciclo trigonométrico, os seguintes arcos:
a) 1t 31t 51t e 71t 4' 4, 4 4
1t 21t 41t b) - -
3' 3' 3 51t
e -3
37. Localize no ciclo trigonométrico, os seguintes arcos:
51t 1t e) _ lbt a) -- b) --3 4 6
d) 51t e)
77t f) - 37t -- --6 6 10
38. O ciclo trigonométrico é dividido em três partes iguais pelos pontos A, P e Q, sendo A a origem dos arcos. Dê as expressões gerais dos arcos com extremidades nesses pontos.
) Solução:
:i. semierência, A
e t d 0 f A o ' 1 2 o t ' 27t t-omo a erça parte a circun erencia e - · 7t, 1s o e, - , en ao as menores 3 3
determinações positivas dos arcos com extremidades nos pontos P e Q são 27t 47t
respectivamente 3 e 3 . Assim, as expressões gerais desses arcos para
ke Z, são:
A: X= 2k7t
P: 27t
X= 3 + 2k7t
47t Q: X= 3 + 2k7t
39. Dê a expressão geral dos arcos cujas extremidades são os vértices do polígono regular nos seguintes casos:
a) b)
p
A
s
Medidas de Arcos e Ângulos 31
40. Dê a expressão geral da medida dos arcos com extremidades indicadas nos pontos das seguintes figuras:
a)
e)
41. Localize no ciclo trigonométrico, as extremidades dos arcos de medida x, cuja
expressão geral para k E Zé:
2.S
1t a) X =-+2k7t
4
1t k7t e) x=-+-
4 2
1t b) X =6+k7t
d) X= 2k7t 3
Menor Determinação Positiva
Processo Prático para Encontrar a Menor Determinação Positiva 1~ caso: Arco positivo e medido em graus. Basta efetuar a divisão da
medida do arco por 360°, sem cortar os zeros, e tomar o resto:
Exemplo:
Calcular a mdp {menor determinação positiva) do arco de 940°.
32
940° 1360°
220 2 voltas ly-1 mdp
Assim, 9400 = 2200
=> X = ~ + ,2{3~?~) mdp 2 voltas
as nos
t, cuja
J lO da
2.!! caso: Arco positivo e medido em radianos. Basta efetuar a divisão " da medida do arco por 7t, tirar a parte inteira e multiplicar por 2 7t.
l97t Calcular mdp do arco de 3 rad
19~ 1 3
1: = ~ + 3 l ~ de volta + 3 voltas)
Como 1 volta = 21t, temos:
1 X = - · 21t + 3 · 21t
6
X= 1t + 3 · 21t 3
. l97t 1t Assim: --rad = -rad
3 3
3.!! caso: Arco negativo e medido em graus. Basta a divisão por 360°, sem cortar os zeros, e tomar o replemento do resto da divisão.
Exemplo:
Calcular a mdp do arco de -2140°.
2140° 1360°
340° 5°
Calculando o replemento do resto da divisão, temos 360º - 340° = 20°
X = 20° + 5(360°) "-y-J ~
mdp 5 voltas
Assim, -2140° = 20°
Medidas de Arcos e Ângulos 33
4!! caso: Arco é negativo e medido em radianos. Basta efetuar a divisão da medida do arco 2rr, tirar a parte inteira, multiplicar por 2rr e tomar o replemento.
Exemplo:
34
231t Calcular mdp do arco de - -- rad
7
231t 7 23rr 23 --=--=- ==>
21t 141t 14
23 ~ 9 1
-=-+ 1 - de volta+ 1 volta 23 9 (9 ) 14 14 14
Como 1 volta = 2rr, temos:
9 9rr -·21t=-14 7
Calculando o replemento desse arco, temos:
21t - 91t = 51t 7 7
51t X =-+1·21t
7
. 231t 51t Assim: - -- rad = - rad
7 7
tuar a Exercícios mar o
42. Encontre a menor determinação positiva (mdp) dos seguintes arcos, representando-os no ciclo trigonométrico.
a) 800° b) 915° e) 5321° d) 7777°
) 197t d f) 537t d ) 1987t d h) 24967t rad e -ra --ra g --ra 2 4 5 7
i) -620° j) -1313° k) -2111° 1) -3333°
387t 657t 497t 3217t m) ---rad n) --rad o) --rad p) ---rad 3 2 4 5
43. Determine em que quadrante estão os seguintes arcos:
a) 721° b)llllº e) 327t rad 3
d) 867t rad 5
f) -1510° 697t h) - 357t rad e) -830° g) --rad
4 3
Medidas de Arcos e Ângulos 3S
36
Pense e Fa~a
Gastei tudo que tinha em quatro lojas. Em cada uma delas gastei um real a mais do que a metade do que tinha ao entrar nela. Quanto dinheiro eu tinha inicialmente?
3.1 - Seno e Cosseno de um Arco 3.2 - Valores Notáveis 3.3 - Pontos Extremos de Quadrantes 3.4 - Sinal do Seno e do Cosseno 3.S - Relação Fundamental da
Trigonometria
Capítulo 3 Seno
e Cosseno
3.1 Seno e Cosseno de um Arco
,,-......, Consideremos no ciclo trigonométrico, um arco AP de medida a.
Chama-se seno de a a ordenada do ponto P.
Indicamos por:
1 sena= y 1
y
A X
Chama-se cosseno de a a abscissa do ponto P.
Indicamos por:
COS a= X 1
Seno e Cosseno 37
y
A X
Essas definições de seno e cosseno são compatíveis com as definições vistas anteriormente para um ângulo agudo no triângulo retângulo.
De fato:
y
cateto oposto y ~na= =-=y
hipotenusa 1
cateto adjacente x cosa= =-=x
hipotenusa 1
O eixo das abscissas é chamado eixo dos cossenos e o eixo das ordenadas é chamado eixo dos senos.
38
1istas
, das
3.2 Valores Notáveis
Na tabela abaixo, temos os valores exatos do seno e do cosseno já vistos anteriormente.
ex 30° 45° 60º
1 J2 ../3 sen ex - -- --2 2 2
../3 J2 1 cos ex -- -- -
2 2 2
Por simetria, obtemos os demais valores do seno e cosseno representados no ciclo:
seno
1 90"
0"=360" 1 coneno
Seno e Cosseno 39
40
Note, por exemplo, que:
sen 30° = sen 150° cos 30° = cos 330°
sen 135° = - sen 225° cos 135° = cos 225°
Pontos Extremos de Quadrantes
A seguir, temos o cosseno e o seno de ; , 1t, 321t e 21t.
1t 1t cos - = O e sen 1 cos 1t -1 e sen n = O
2 2
3n cos -=o
2 31t
e sen = -1 2
cos O = cos 2n = 1
sen O = sen 2n = O
(1,0)
Varia~ões do Seno e do Cosseno
Como mostram as figuras anteriores, o valor mínimo do seno de um arco é -1 e o valor máximo é 1, isto é, para todo x e [0, 2rr]. Tem-se
-1 s sen x s 1
Analogamente:
1-1 S COS X S 1 1
3.4 Sinal do Seno e do Cosseno
Em cada quadrante, os valores do sen a e cos a possuem sinal positivo ou negativo, de acordo com as coordenadas da extremidade do arco.
Sinais do Seno Sinais do Cosseno
+
Seno e Coueno 41
3.S Relação Fundamental da Trigonometria
~
Consideremos no ciclo trigonométrico, um arco AP de medida a. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo OPQ, temos:
y
X sen2 a + cos2 a = 1 J
Qualquer que seja a posição de P no ciclo trigonométrico, esta relação é válida.
42
Então:
sen2 x = 1- cos2 x e sen x = ±~1- cos2 x
cos 2 x=l-sen 2 x e cosx=±~l-sen2 x
Exercícios
44. No ciclo trigonométrico seguinte, tem-se sen a. = 0,8. Determine:
a) sen a, sen ~ e sen cr
b) cos a, cos a., cos ~ e cos y a ---' \ \
\ \
\ I \ I
o é
Solução:
y
X
y
X
a) Como ex e a são representados por pontos simétricos em relação ao eixo y, então:
sen a = sen ex = OM = 0,8
p e y são representados por pontos cuja ordenada é oposta à de M, então:
sen p = - sen ex = - sen a = OM' = - 0,8
b) Aplicando Pitágoras no triângulo hachurado, temos:
cos2a+ (0,8) 2 = 12 =>cosa= 0,6
Sendo a e y representados por pontos simétricos em relação ao eixo x, então:
cos y = cos a = ON = 0,6
.. ~ .~º·ª
O.t.~N cosa
Como ex e P são representados por pontos cuja abscissa é oposta à de a, então:
cos p = cos ex = - cos a = ON' = - 0,6
Seno e Cosseno 43
44
45. No ciclo trigonométrico abaixo, temos cosa= .!. . Determine: 2
a) cos o:, cos ~ e cos y y
b) sen a, sen o:, sen ~ e sen y
X
46. Determine o seno e o cosseno de:
a) 8n b) 9n 2
e) 15n d) lln 2
e) 9n 4
f) 131t 3
) 23n g-3
h) 151t 4
i) 341t 3
º) 131t J -
6
47. Determine o seno e o cosseno de:
a) -2n b) 1t 7n d) _ 17n 3
e) --4 6
48. Calcule o valor das expressões:
3n n a) sen4n-2cos2+3sen2
d) cos( 2n-; J
e) sen-+cos-+cos -+-1t 1t (1t 1t} 4 4 2 4
49. Determinem para que se tenha sen x = 3m - 1
Solução:
Como -1 ~ sen x ~ 1, temos:
-1 ~ 3m -1 ~ 1, resolvendo esta inequação vem:
-1 + 1 ~ 3m ~ 1 + 1
O~ 3m ~ 2
o 2 -~m~ => 3 3
2 o~ m ~
3
S = {m E IR 1 O ~ m ~ ~} 3
50. Determine os valores de m para que se tenha:
a) sen x = 2m + 5
e) sen x = 2 - m
· 3m+2 b) cosx = ---
3
1-m d) cosx = --
2
3 7t 51. Sendo sen x = - e O < x < - , obtenha cos x.
5 2
Solução:
Como x é um arco do primeiro quadrante, o cos x > O, então:
cos x = ~1- sen2
x = ~1-(~)2 = ~1- 9 = {16 = ~ s 2s '/25 s
52. Sendo sen x = -~ ex é um arco do 32 quadrante, calcule cos x. 5
1 7t 53. Sendo cos x = -- e - < x < 7t, obtenha sen x.
2 2
Seno e Coueno 45
46
54. Sendo sen x = 37t
2 < x < 27t, calcule o valor de
y = cos2x - 5 cos x.
55 S J2. . , . 1 . e cos x = S , quais os poss1ve1s va ores para sen x.
56. Determine os números reais m e a que satisfazem simultaneamente
sena= m -1 ecos a= ~1-m2 , para O< a< 27t.
Solução:
Como sen2 a+ cos2 a= 1, temos:
=>-2m =-1 1
m=-2
Substituindo:
1 sena =--1 =>
2 1
sena=--2
l17t a=--e
6
./3 cosa=-2
57. Determine os números reais m e a que satisfazem simultaneamente
sena= m-2 e cosa= m-3 para O< a< 27t.
r de
ente
58. Sendo sen x + cos x = a, calcule sen x · cos x.
Solução:
Elevando ambos os membros dessa igualdade ao quadrado, temos:
{senx+cosxf =a2 => sen2 x+2senx cosx+cos2 x = a 2
=> 2senxcosx=a2 -1 => ª2 -1
senx·cosx =--
59. Sendo sen x - cos x =a, calcule 5 · sen x · cos x.
1-J3 60. Sendo sen x + cos x = --- , calcule sen x · cos x.
2
2
=>
61. Dado J3 sen x + cos x = J3, com O ~ x ~ 27t, calcule sen x ecos x.
Solução:
Isolando cos x na expressão, temos:
cos x = J3 -J3 sen x e substituindo em
sen2 x + cos2 x = 1, vem:
~~x+3-6~nx+3~~x=l
2sen2 x - 3 sen x + 1 = O. Fazendo sen x = a, temos:
1 a= -
2a2
- 3a + 1 = o< 2
a=l
1 • paraa= -
2 1
sen x:;: -2
=> e COSX =
• para a = 1 => ~en x = 1 e cos x = O
+ J3 - 2
62. Dado sen x -../2. cos x = .J2., com O ~ x ~ 27t, calcule sen x e cos x:
Seno e Cosseno 4 7
48
Pense e Faça
F 4 : Reprodução Rápida
Uma determinada espécie de alga se reproduz, dividindo-se em 2 a cada dia. Assim, no primeiro dia temos 1, no segundo 2, no terceiro 4, no quarto 8, e assim por diante. Se, começando por uma dessas algas, precisamos de 30 dias para preencher determinado volume, em quanto tempo preencheremos o mesmo volume se começarmos com duas das referidas algas?
Pense e Fa~a
F s : Gaivotas
Atualmente, 50% das gaivotas de certa região são brancas e 50% são cinzentas. Se a população da espécie branca aumentar 40% ao ano e da espécie cinzenta aumentar 80% ao ano, qual será, . aproximadamente, a porcentagem de gaivotas brancas daqui a dois anos?
Seno e Cosseno 49
Anotações
50
4.1 - Função Seno 4.2 - Considerações da Função Seno 4.3 - Função Cosseno 4.4 - Considerações da Função Cosseno
Capítulo 4 Função Seno
e Função Cosseno
4.1 Fun~ão Seno
Chama-se função seno de x, indica-se: y = sen x ou f(x) = sen x, a função f: JR ~ JR, que associa a cada arco de medida x o número real y = sen x.
y
senx
o A X
Gráfico
Para O s x s 27t, temos os valores conhecidos para o sen x marcados no ciclo trigonométrico.
Função Seno e Função Cosseno S1
seno
0=2!t o
7tr/6 _______ :Y.? ---------- lltr/6
Str/4 ___ :if.!fr --------- 7rr/4 :::IF jfr - - - - - Sn:/3
·l 31t T
X
o 1t -6
1t -4
1t -3
1t -2
1t
y=senx Pontos
o (0, O)
1 (~' ~) -2
..J2 [X JZ) 4' 2 2
./3 [X J3J - 3' 2 2
1 ( ~' 1) o (1t, 0)
:
Representando esses pontos no sistema cartesiano, obtemos o gráfico da função y = sen x.
S2
y
l "'{312 -YZ;2
1/2
!t !t 'Ít 643
1t 2
Zit 3"it 51t 346
7it Sit 4it 3it 643 2
-l --------------------------------------~ ------------------------------------------{"j/2 -------------------------------------------
-!
X
>da
4.2 Considerações da Função Seno
• Arcos côngruos possuem o mesmo seno, isto é, sen x = sen (x + 21t) = sen(x + 41t) = ... = sen (x + 2k1t), em que k e Z. Isto significa que a função seno repete seus valores a cada 21t, então o seu gráfico possui trechos que se repetem.
Assim, dizemos que a função seno é uma função periódica de período 21t.
V 1
• O gráfico da função seno chama-se senóide.
• O domínio da função seno é D = R.
41t X
• O conjunto imagem da função seno é Im = {y e IR 1 -1 $; y $; 1} ou Im = [-1, 1].
• A função seno é crescente no 1 i;i e 4º quadrantes e decrescente no 2º e 3º quadrantes.
• f {x) = O para x = lm, k e Z.
• A função seno é positiva no 1 i;i e 2i;i quadrantes e negativa no 3i;i e 4i;i quadrantes.
• A função seno é ímpar, isto é, sen x = -sen (-x).
• Dizemos também que o período é o comprimento da onda e a ordenada máxima é chamada de amplitude.
Função Seno e Função Cosseno 53
Exercícios
63. Construa o gráfico da função y = 1 + senx e dê o seu período e imagem.
Solução:
y = 1 + senx
Deslocando a senóide (y = senx) uma unidade na vertical, temos:
y
p = 21t 2
lm =[O, 21
1
·l
64. Construa os gráficos e dê o período e a imagem das seguintes funções:
a) y = 2 + sen x b)y=-l+senx
65. Construa o gráfico da função y = 2 senx e dê o seu período e imagem.
Solução:
Multiplicando por 2 as ordenadas de y = senx, temos:
y
p = 21t
Im = [-2, 21
S4
66. Construa os gráficos das seguintes funções e dê o período e a imagem:
a) y = 3 senx 1
b) y = - senx 2
6 7. Construa o gráfico da função y = sen ( x -i).
Solução:
Deslocando a senóide (y = senx) em ~ para a direita, temos: 2
y
1
-1
5 x x p=---=2
2 2 Im = (-1,1)
~ X
68. Construa o gráfico das seguintes funções e dê seu período e imagem.
b) y = sen (x+i)
69. Construa o gráfico da função y = sen2x e dê seu período e sua imagem.
Solução:
y = sen 2x
Seja2x = t ~
t
o 1t -2
1t
31t -2
21t
t -x = - , entao y = sen t. 2
X y = sent
o o 1t
1 -4 1t o -2
3n -1 -
4 1t o
Função Seno e Função Cosseno SS
1
V
p = 1t
1 Im = [-1, 1]
ir ,,/2lt X
,,•" ........... ____ ,,. o
-1
70. Construa os gráficos das seguintes funções, dê seu período e imagem.
71.
4.3
a) y = sen4x X
b) y = sen -2
Construa os gráficos das seguintes funções, dê o seu período e a imagem.
a) y = -senx b) y = 1 + 2senx
e) y = lsenxl d) y 1 + sen(x-~)
e) y = 2 + 2sen ( x + ~) f) y = -1 + sen{2x - 1t)
1 Função Cosseno
Chama-se função cosseno de x, indica-se y = cosx ou f(x) = cosx, a ·função f: IR ~ IR, que associa a cada arco de medida x, o número real y = cosx.
V
Oco•x A x
56
sx.
Gráfico
Para O :5: x :5: 21t, temos os valores conhecidos para o cosx marcados no ciclo trigonométrico.
: ! -1/2 :~: 1 2 1
7'/f/6 i :
5'/f/4 1 : 1
41f/3
1 'lf/2.
o 112 ! : cosseno
:.n:: 1 2 1 : 1 lllf/6 1 1
: 71f/4 Slf/3
X
o 1t -6
1t -4
1t -3
1t -2
1t
:
y = COS X Pontos
1 (0, 1)
J3 (X JS) - 6' 2 2
J2. (X JZ) - 4' 2 2
1 (~·~) -2
o (~·º) -1 (1t, -1)
Representando esses pontos no sistema cartesiano, obtemos o gráfico da função y = cosx.
y
-! -"'{if2 -~12
-1
21t 31t Sit 341) lt
~ t ~ ! ! : : : 1 : : : -T--~-----•------r--r-
1 1 1 1 1
----------------------- --L-----~-----..L-1 1 1
-------------------------- -----;-----
21t X
Função Seno e Função Cosseno 57
S8
4.4 Considerações da Função Cosseno
• Arcos côngruos possuem o mesmo cosseno, isto é, cosx = cos (x + 27t) = = cos (x + 47t) = ... = cos(x + 2k7t), em que k E Z. Isto significa que a função cosseno repete os seus valores a cada 21t, então o seu gráfico possui trechos que se repetem.
Assim, dizemos que a função cosseno é uma função periódica de período 21t.
li
pedodo=21t
• O gráfico da função cosseno chama-se cossenóide.
• O gráfico da função cosseno coincide com o gráfico da função seno
deslocado de i à direita. Isto significa que cosx = sen ( x - ; }
y
• O domínio da função cosseno é D = R.
• O conjunto imagem da função cosseno é lm= {y E IR 1 -1 ~ y ~ 1} ou Im = [-1, 1].
• A função cosseno é crescente no 3&? e 4Q quadrantes e decrescente no 12 e 22 quadrantes.
de
no
•
•
•
1t f (x) = O para x = "2 + kn, k E Z .
A função cosseno é positiva no 12 e 42 quadrantes e negativa no 22 e 32 quadrantes.
A função cosseno é par, isto é, cos x = cos (-x) .
Exercícios
72. Construa o gráfico da função y = 1 + cosx, dê seu período e imagem.
Solução:
y=l+cosx
Deslocando a cossenóide (y = cosx) uma unidade na vertical para cima, temos:
y
p = 27t 2
Im = [0,2]
1
·1
73. Construa o gráfico, dê o período e a imagem das seguintes funções:
a) y = -2 + cosx b) y = 3 + cosx
74. Construa o gráfico da função y = 2cosx, dê seu período e imagem.
Solução:
Multiplicando por 2 as ordenadas de y = cosx, temos:
Função Seno e Função Cosseno 59
60
y
2
1
o
-1
-2
1 1 1 1 1
, ...... -1 , 1
/ 1 , 1
,' 1
21t X
p = 21t
lm = [-2, 2]
75. Construa o gráfico das funções, dê seu período e imagem.
a) y = 3cosx b) y = -2cosx
76. Construa o gráfico da função y = cos ( x + : ) , dê seu período e imagem.
Solução:
p = 27t
y Im = [-1, 1]
X
77. Construa o gráfico das seguintes funções, dê seu período e imagem.
a) y = COS (X -i) b) y = cos (x + 1t)
78. Construa o gráfico da função y = cos i, dê seu período e imagem.
Solução:
p = 41t y
Im = [-1, 1]
......... , ,, 1
,, 1 , 1
,' 1
o
·l
,2it 1 1
'
79. Construa o gráfico das seguintes funções, dê seu período e imagem.
a) y = cos 2x b) y X
cos -4
80. Construa os seguintes gráficos, dê o período e imagem.
a) y = -cosx b) y = 1 + 2cosx
e) y = Jcosxl d) y =-1 + cos( x+i)
e) y = 2 + cos( x-i) f) y = -1 + cos(2x - n)
81. Sendo a, b, e, d números reais, determine o período da função y = a + b sen (ex + d).
Solução:
Para que esta função complete um período, o arco ex + d deve variar de O a 2n. Temos, então:
d cx+d=O ~ x=
ex+ d= 2n ~
e
2n-d X=-
C
Função Seno e Fungão Cosseno 61
62
p = 21t-d -(-~)= 21t e e e
~ logo:~
Tal conclusão também é válida para a função y a+ b cos (ex+ d).
82. Determine o período das seguintes funções:
a) y = 3 + 2 sen ( 3x - 1~)
b) y = -5 cos ( ~+1t)
Solução:
a) y = 3 + 2 sen ( 3x - 1~) Como o coeficiente de x é 3, isto é, e = 3, então o período é p = ~1t .
b) y= -Scos (~+1t)
e f .. td - 1 ·, 1 ~ 'd' 21t4 orno o coe 1c1en e e x e 2" , isto e, e = 2
, entao o peno o e p = = 1t.
83. Determine o período das funções:
a) y = sen 6x
e) y = 2 + cos 3x
e) y = 3 + 5 cos( 2x-~)
2
b) y = 9 sen x
d) y = 1 -2 cos(x+~)
f) y = -4+/2. sen ( ~-1t)
84. Dê o conjunto imagem das funções:
a) y = 2 + COS X
e) y = 1 + cosx
e) y = 1 + sen 2x
85. Resolva as equações:
a) senx = 1
Solução:
a) senx = 1
7t
2
X
b)cosx=-1
X
o
b) cosx = -1
b) y = 3 - 2senx
d) y = 3 1 sen x 1
f) y = 1 + 2 1 cosxl
e) senx =O
Observando o ciclo trigonométrico, temos:
1t X=-+ 2k1t
2
1t S = {x E IR 1 x = 2 + 2k1t, k E Z}
Observando o ciclo trigonométrico, temos:
X= 1t + 2k1t
S = {x E IR 1 x = n+ 2k1t, k E Z}
Função Seno e Função Cosseno 63
64
e) senx =O
X
o
86. Resolva as equações:
a) COS X= 1
e) sen x = -1
e)cos (x-~)=o
g) sen ( x+~ )=-~
Observando o ciclo trigonométrico, temos:
X = k7t
S = {x E IR 1 x = k7t, k E Z}
b) COS X= Ü
d) sen 2x =O
f)2cos (x-7t)=l
h) 2 cos (x-~ )= "2
87. Resolva as equações:
) J3. 10 2 a sen x = z , no mterva o :s; x :s; 7t
b) 2 cos x = 1, no intervalo O :s; x < 27t
e) sen ( x -~) = ~ , no intervalo O :s; x :s; 7t
d) 2 cos (x + 7t) = J3, no intervalo O :s; x :s; 47t
Pense e Faça
F 6 : Nem Lucro e Nem Prejuízo
Uma loja vendeu duas motos por 99 mil reais. Na venda de uma, perdeu 10% e na venda de outra, ganhou 10%. Ficaram elas por elas, não é?
Função Seno e Função Cosseno 6S
66
Pense e Fa~a
F7: Dois Melões
Dois melões da mesma espécie estão sendo vendidos. Um tem 60 cm de circunferência e outro 50 cm. O primeiro é uma vez e meia mais caro.
Qual dos dois vale a pena comprar?
(Extraído do liuro "Aprenda Matemática Brincando" - J. Perelmann)
S.1 - Tangente de um Arco S.2 - Cotangente de um Arco S.3 - Pontos Extremos de Quadrantes S.4 - Valores Notáveis
Capítulo S Tangente
e Cotan ente
S.1 Tangente de um Arco
Consideremos no ciclo trigonométrico, um arco x -::/:. ; + kn e um eixo t com
origem em A, paralelo e de mesmo sentido que o eixo y. Chama-se tangente de
a a ordenada do ponto T, obtida pela intersecção da reta ÜP com o eixo t (eixo
das tangentes).
y
T
X
B'
Indicamos por:
1 tga = AT 1
Assim, a tangente de ex é a medida algébrica AT.
Tangente e Cotangente 67
! ~;
j; ! ! t
• Arcos com extremidades nos pontos B e B' (a. = · ~ + kn, k e 7Z..) não
-possuem tangente, pois a reta OP que passa por esses pontos é paralela ao eixo t.
• Podemos relacionar a tangente de um arco com o seno e o cosseno do mesmo. Assim:
y
S.2
X
~OAT-~OQP
Então:
tg a. 1 --=--sena. cosa.
t sena.
~ ga.=-cosa.
Esta expressão existe para cos a. -:t. O , 7t
isto é, a. :;t: 2
+ kn, k e 7Z...
Cotangente de um Arco
Consideremos no ciclo trigonométrico, um arco a. -:t. kn e um eixo s com
origem em B, paralelo e de mesmo sentido que o eixo x. Chama-se cotangente
-de a. a abscissa do ponto S, obtida pela intersecção da reta OP com o eixo s
(eixo das cotangentes).
y
s
A' X
B'
68
Indicamos por:
1 cotg a= ssl Assim, a cotangente de a é a medida algébrica BS.
• Arcos com extremidades nos pontos A e A' ( a = k1t, k E Z) não possuem
cotangente, pois a reta OS que passa por esses pontos é paralela ao eixos.
• Relacionando a tangente de um arco com o cosseno e o seno do mesmo, pela semelhança dos triângulos OBS e OPQ, temos:
S.3 Pontos Extremos de Quadrantes
Para a tangente:
y
• 1t
a = 2 + k1t (pontos B e B'} não
X existe tg a.
• a= kn (pontos A e A'), tg a= O
Tangente e Cotangente 69
•
'
Para a cotangente:
s
A'
B'
• a = kn (pontos A e A') não existe cotg a.
1t • a= - + kn (pontos B e B'), cotg a = O
2
Sinal da Tangente e da Cotangente
Arcos situados no 1 Q e 3Q quadrantes possuem tangentes positivas, e arcos situados no 2Q e 4Q quadrantes possuem tangentes negativas.
70
p
'
y
' ' ' o
tga>O
X
X
tga<O
y
Multiplicando tg a por cotg a, temos:
~na cooa 1 1 tga· cotga=--·--=1 => tga· cotga=l cosa sena . .
tga>O
X
X
tga<O
5
Assim:
1 tga=-
cotga
S.4
ou 1 cotga=
tga
Valores Notáveis
Tem os os valores notáveis para a tangente e para a cotangente dos
1t 1 7t 7t sen 6 2 1 J3
• a=-=>tg-=--=-=-=-6 6 cos~ J3 J3 3
6 2
cotg 1t =-1-= ~ = ~ =J3
6 tg 1t -v3 -v3 6 3
1t J2 sen- -• a=2:=>tg 7t =--4 = 7,. =1
4 4 cos 1t "' 2 4 2
1t 1 1 cotg-=--=-=1
4 t 1t 1 94
1t J3 sen- -• a=1t=>tg7t=--3= I =J3
3 3 cos 1t -3 2
1t 1 1 J3 cotg-=-=-=-
3 tg~ J3 3 3
Tangente e Cotangente 71
t
t
Temos a tabela dos valores notáveis para o seno, cosseno, tangente e cotangente de um arco.
1t 1t 1t a - - -
6 4 3
1 .J2 J2, sena - -
2 2 2
J2, .J2 1 cosa - - -
2 2 2
tga J2,
1 J2, -3
cotga J2, 1 J2, -3
Arcos situados no 12 e 32 quadrantes possuem cotangentes positivas, e arcos situados no 22 e 42 quadrantes possuem cotangentes negativas.
y y
X X
li
A X
p
72
e
e
Resumindo, temos os sinais da tangente e da cotangente.
Exercícios
88. Dê o valor de:
7t a) tg27-
4
-
b) tg (-870º)
y
X
7t e) cotg31-
6 d) cotg (-61-i)
89. Sabendo que x é um arco do 3º quadrante e sen x =-~,calcule: 5
a) tg X b) cotg x
J2 90. Sendo tgx= - , calcule cotgx.
5
91. Sendo cosa. = 0,8, calcule sena.. tga..
92. Sabendo que 16 cos2x + 3 sen2x = 7, obtenha tgx.
93. Resolva as equações:
a) tgx = 1 b) cotgx = -1 e) tg {x - 7t) = J3
d) tg2x =O e) cotgx =O f) cotg ( 2x -i) = O
Tangente e Cotangente 73
~· ..
74
Pense e Faça
F 8: Etiquetas Trocadas
Em um armazém, existem três caixas. Uma só contém maçãs, outra só pêras, e a outra, maçãs e pêras. Nenhuma das caixas está com a etiqueta correta. Quantas frutas, no mínimo, devem ser tiradas das caixas para que as etiquetas sejam colocadas corretamente?
6.1 - Função Tangente 6.2 - Considerações sobre a Função Tangente 6.3 - Função Cotangente 6.4 - Considerações sobre a Função Cotangente 6.S - Função Secante e Função Cossecante
Capítulo 6 Funções Tangente,
Cotangente, Secante e Cossecante
6.1 Função Tangente
Chama-se função tangente de x, indica-se y = tgx ou f (x) = tgx, a
função f: D -7 IR, em que D = { x e IR 1 x * ~ + kn, k e :z} , que associa a cada
arco de medida x, com x e D, o número real y tgx.
y
T
tgx
X
tgx = AT
Funções Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante 7S
Gráfico
Para O s x s 2n, temos os valores conhecidos para a tgx.
X y = tgx Pontos
o o (O, 0)
1t J3 (X~) - -6 3 6' 3
y
7t 1 [:. 1) -4
1t J3 (;.JS) -3
1t não existe - -
2 X
27t -/3 [~1t ,-~) -3
3n -1 [:: ,-1) -4
Sn J3 (Sx _ ~J - --6 3 6' 3
1t o (1t, 0) :
Representando esses pontos no sistema cartesiano, obtemos o gráfico da função y = tgx.
76
a
y
2x
-~ ----· ---------· 2t' '----!-----~--~--. 'T , , ••
-1 -----------------J----- -- --------------------------:-----~--• • 1
-f3' -----------------~----- -----------------------------1-----· 1 • 1 1 1 1 1 1 1 1 1 " 1 1 1 1 • • 1 • 1 1 1 1 1 1 1
----perrooo= x •I
6.2 Consideratões sobre a Funtão Tangente
• O gráfico da função tangente chama-se tangentóide.
• o domínio da função tangente é D = {X E IR 1 X '# ~ + k1t, k e z} . • O conjunto imagem da função tangente é Im = R.
• A função tangente é crescente em IR.
• A função tangente é periódica de período p = 1t.
• A função tangente é positiva no l 2 e 32 quadrantes e negativa no 22 e 42 quadrantes.
• A função tangente é ímpar, isto é, tgx = -tg(-x).
Funções Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante 77
•
,,,
78
Exercícios
94. Determine o domínio e o período da função y = tg ( x - : ) .
Solução:
Fazendo x - 1t = a , então existe tg a se a -:F- 1t + kn, k e :Z. Então: 4 2
1t 1t 1t 1t 31t X---:F--+k7t ~X '#.-+-+k1t ~X '#.-+k1t
4 2 2 4 4
Assim, D = { x e IR 1 x '#. ~1t + kn, k e :Z}
Para tga completar um período, devemos ter:
1t 3n 1t n 3n -<<X<-~-<x--<-~ 2 2 2 4 2
1t 1t 3n n 3n 7n ~-+-<x<-+-~-<x<-
2 4 2 4 4 4
_ 7n (3n) Entao: p= 4 - 4 =1t
95. Determine o domínio e o período das seguintes funções:
a)y=tg(x+i) b)y=tg3x e) y = tg( 2x-:)
96. Determine:
a) tg 28n b) tg 17n ) t 37n
e g--3
d) tg 43n 4
4 37t 97. Sendo tgx = - , 7t < x < - , calcule senx.
3 2
7t 98. Dado tgx = 3, O < x < - , calcule cosx.
2
3tgx 7t 99. Sendo --= 2, e O < x < - , calcule senx + cosx.
1+ tgx 2
6.3 Função Cotangente
Chama-se função cotangente de x, indica-se y = cotgx ou f(x) = cotgx, a função f: D ~ IR, em que D = {x e IR lx '* kn, k e Z}, que associa a cada arco de medida x, com x e D, o número real y = cotgx.
y
X
1 cotgx • BS 1
De modo análogo à função tangente, temos o seguinte gráfico da função cotangente.
Funções Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante 79
80
y
6.4 Considerações sobre a Função Cotangente
• O gráfico da função cotangente chama-se cotangentóide.
• O domínio da função cotangente é D = {x E IR 1 x -::;:. k7t, k E Z}.
· • O conjunto imagem da função cotangente é Im = R.
• A função cotangente é decrescente em IR.
• A função cotangente é periódica de período p = 7t.
• A função cotangente é positiva no 1 º e 3º quadrantes e negativa no 2º e 4º quadrantes.
• A função cotangente é ímpar, isto é, cotg x = -cotg{-x).
1
6.S Função Secante e Função Cossecante
............... Consideremos no ciclo trigonométrico, um arco AP de medida a.
1t 12) Chama-se secante de a, a *
2 + k7t , k e Z, o inverso do cosseno
de a. Indica-se:
seca=-1-1 cosa
Sendo assim, a secante e o cosseno possuem os mesmos sinais.
2.!!) Chama-se cossecante de a, a * k7t, k e Z, o inverso do seno de a. Indica-se:
1 cosseca=--
sena
Sendo assim, a cossecante e o seno possuem os mesmos sinais.
V
T
s
X X
seca= OTI 1 cosseca =OS 1
Funções Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante 81
• 1
t
• t
82
Gráfico da Função Secante:
1 1
' 1
' ' • 1 1
' • • • 1
' 1
1 1 1 1 • 1 1 1 1 1 1 1
'
y
1 ' ~-----------~----
1 1 ----"-----------• f ,,
1 t , •, ' \ 1 1 1 ' \ 1
\ 1 \1 1 ' ' ' •'
..JXJ\, 1 \ 1 ', :----::t ' 1 1 1
' 1 1 1 1
' 1 1 1
'
,,-2iç :.li -iç,\ ,/: 2 : \
, 1 ' ',
~---~-----------t----1 1 1 1 1 1 1 ' 1 1 1 1
' ' 1 ' 1 1
1 ' ' ' 1 1
'
Gráfico da Função Cossecante:
' 1 1 1 1 1
' 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ___ _ 1 ,,. 1 , 1 , 1 I
i/
~· -2lt 2: 1 1
~-----------i----1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
y
' ' ' ' ' ' 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
----~-----------·----', : : ,, ... ' ' ' , '\I : /
21t ~· 2: • 1
----+-----------~ 1 1 • 1 1 1 • 1 1 1 • 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 ' 1 1 1 1
1 1 1
Mf4--pedodo•2n: --•tof
X
Exercícios
100. Determine o domínio e o período das seguintes funções:
a) f(x) = cotg( x -~)
b) f(x) = sec ( x - ; )
e) f(x) = cossec 2x
101. Calcule o valor da expressão:
3Jt 5Jt sec - + cossec
4 6 y=-------~
4Jt cotg3
102. Resolva as equações:
a) sec(x+ ~) =1
b) 3sec x = 9
e) cossec 4x = O
Funções Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante 8 3
84
Pense e Fa~a
F 9: As Torneiras Novamente
Um tanque é abastecido por duas torneiras. Uma delas enche o tanque em 10 minutos e a outra, em 20 minutos. As duas juntas enchem o tanque em quantos minutos? 1
7.1 - Relações Prineipais 7.2 - Relações Decorrentes
Capítulo 7 Relações
Trigonométricas
7.1 Relagões Principais
Sendo a um número real, temos as seguintes relações já vistas anteriormente.
sen2 a + cos2a = 1
t sena
ga=--' cosa
cosa cotga =--,
sena
1 seca=--,
cosa
1 cossec a = --,
sena
em queke Z
Relações Trigonométricas 8S
'
t
..
86
7.2.
sena Como tga=-
cosa
1 cotga=-
tga
e
Rela~ões Decorrentes
cosa cotga=--,
sena
Dividindo os membros sen2 a + cos2a = 1 por cos2a, temos:
sen2 a cos2 a 1 --=-- + = --=--cos2 a cos2 a cos2 a
Dividindo os membros sen2 a + coSZa = 1 por sen2a, temos:
sen2 a cos2 a 1 --=--- + --=-- - --=--sen2 a sen2 a sen2 a
Resumindo, temos:
1 cotga=-
tga
Das duas últimas relações, concluímos que a seca e a cosseca são hipotenusas dos triângulos abaixo hachurados.
V
cotga. ___ ... ___ .s
s
X X
f 1+tg2 a = sec2 a1
Exercícios
103. Dado sen x = ~ , O < x < i, obtenha as demais funções trigonométricas.
Solução:
2 4 5 JS => cos x= 1--=- => cosx= ± 9 9 3
1t JS Como o < X < - => cos X > o => cos X = -
2 3
2 senx 3 2 2JS
tgx=~= JS= JS=>tgx=5
3
Relações Trigonométricas 87
104.
105.
106.
107.
108.
109.
110.
88
1 1 JS cot g x = -- = r.:: => cot g x = -
tgx 2-vS 2
5
1 1 3JS sec x = --= r.:: => sec x = --
cos X v5 5 3
1 1 3 cossecx =--=-=> cossecx =-
senx 2 2 3
Dado cos x = - ~ , ~ < x < 7t, calcule as demais funções bigonométricas. 5 2
Sabendo que sec x = 3 e tg x < O, detennine sen x.
Se tg x = JS, detennine sen2 x.
Se x é um arco do 3!! quadrante e tg x = 1, detennine cos x.
Se cos 9 = -3 7t < 9< 7t , detennine o valor de ~ 2 cot g9 + cossec 2 9
J[O' 2
sec x + cot g x 1 Calcule o valor da expressão y = , sabendo que sen x =
cosx+tgx 4 e x é um arco do 22 quadrante.
1 Sendo cos x = - e x um arco do 12 quadrante, calcule o valor da
2 expressão:
tg x · cossec x y=-----
secx -cosx
1 4
da
111.
112.
113.
114.
115.
116.
117.
f3 Sendo sen x = -2 e x um arco do 3º quadrante, calcule o valor de:
senx l+cosx y= + .
l+cosx senx
_ 2tgx 3 Calcule o valor da expressao E=
2 para cos x = -- e tg x <O.
1-tg X 7
Sabendo que sen x = ~ e x E [O,%] , calcule o valor numérico da
- sen x · cossec 2x expressao: y = .
sec 2 x · cot g x - cossec x · tg x
5 Sendo x um arco com extremidade no segundo quadrante e sec x = - - ,
3 calcule o valor de 5 sen2x - 3 tgx.
24 1-cosx Se sen x = - e sec x < O, calcule o valor de
25 l+cosx
S.
1.f. _ cos3 x - 2 cos x + sec x
1mp 1 1que a expressao y = 2 cosx·sen x
1 1 1 1 Mostre que + + + é igual a 2.
1 + sen 2 x 1 + cos 2 x 1 +sec 2 x 1 + cossec 2 x
118. Sendo a um ângulo agudo e tg a = 2, quais os possíveis valores de sen a ecos a?
Relações Trigonométricas 8 9
90
119.
120.
3 37t Se tgx = 4", 7t < x< 2 , calcule sen x.
Determine m e x que satisfaçam simultaneamente:
m-3 2 senx =--e secx =--
2 m-1
Solução:
2 1 2 m-1 Como: sec x = --~ --= --~ cos x = --
m -1 cosx m-1 2
Sabendo que sen2x + cos2x = 1, temos:
m-3 m-1 2
( )2 ( )2 -2- + -
2- =l~m -4m+3=0~
{
m=l
ou
m=3
la) Param= 1, não existe sec x.
3-3 3-1 2a) Para m = 3, temos sen x = -- = O e cos x = -- = 1, portanto
2 2 X = 2k7t, k E Z.
121. Determinem ex que satisfaçam simultaneamente:
1 2 cosx=m-- e cossecx= ~
2 -v2m+l
Pense e Fa~a
f 10: Cálculo em Família
Um pai, querendo encorajar seu filho à prática de cálculo, combina pagar-lhe por cada problema certo 8 saldos, mas retira-lhe 5 saldos por cada problema não resolvido ou errado. Depois de 26 problemas, fazem as contas e o filho nada recebe e nada deve. Quantos problemas ele resolveu?
Relações Trigonométricas 91
92
Pense e Faça
f 11: Aposentado
Uma escola tem 18 professores. Um deles se aposenta e é substituído por um professor de 22 anos. Com isso, a média das idades dos professores diminui de 2 anos. Qual é a idade do professor que se aposentou?
1
8.1 - Redução ao Primeiro Quadrante 8.2 - Seno e Cosseno de Arcos
Complementares 8.3 - Identidades
Capítulo 8 Redu~ão e
Identidades
8.1 Redu~ão ao Primeiro Quadrante
Reduzir um arco ao primeiro quadrante significa determinar um arco no primeiro quadrante cujas funções trigonométricas têm o mesmo valor absoluto.
,,.......... Consideremos um arco AP de medida x no 1 º quadrante e as seguintes
simetrias do ponto P: ,,,-........
l!) em relação ao eixo Oy, temos o arco AQ de medida 7t - x no 2º quadrante.
/"""'-.. 2ª) em relação ao centro do ciclo, temos o arco AR de medida 7t + x no 3Q
quadrante. ,,,-......
3!) em relação ao eixo Ox, temos o arco AS de medida 27t - x no 4º quadrante.
Assim, no ciclo trigonométrico, temos:
Redução e Identidades 1
1
que:
94
Observando as abscissas e as ordenadas dos pontos P, Q e R, é imediato
sen (1t-x) = sen x
sen (1t + x) = - sen x
sen (2n;-x) = -sen x
sen (- x) = - sen x
Exercícios
122. Reduza ao 1si quadrante:
a) sen 1300
e) sen 340"
Solução:
a) sen 1300
COS (1t-X) = -COS X
COS (n;+x) = - COS X
COS (21t - X) = COS X
COS (-X)= COS X
b) cos 250º
41t d) sec 3
f) t 111t
cog-6
Como 130º é um arco do 2º quadrante, então:
180 - x = 130º => x = 50°, assim:
sen 130º = sen 50º
b) cos 250º
Como 2500 é um arco do 32 quadrante, então:
180 + x = 250º => x = 70º, assim:
cos 250º = -cos 70º
lia to e) sen 340º
Como 340º é um arco do 42 quadrante, então:
360 - x = 340º ~ x = 20º, assim:
sen 340º = - sen 20º
41t d) sec-
3
Como ~1t é um arco do 32 quadrante, então:
41t 41t 1t . 1t+x=-~ x=--1t~X =- assim:
3 3 3'
41t e) tgS
1 1t
-cos-3
1t -sec-
3
Como ~1t é um arco do 22 quadrante, então:
41t 41t 1t ' n-x::-~ x=n--~ x=- assim:
5 5 5'
41t 1t 4 sen- sen-
5 1t
tg~= 5 =---='--- tg 5 41t 1t - - 5
f)
cos- -cos-5 5
111t cotg
6
Como 1 !1t é um arco do 42 quadrante, então:
Redução e Identidades 95
117t l17t 7t . 27t-x =-=> x =27t--=> x =- assim:
6 6 6'
l17t 7t 11 cos- cos-
cotg~= 6 =--6 =-cotg~ 6 ll7t 7t 6
sen- sen-6 6
123. Reduza ao lQ quadrante:
a) sen 145º b) cos 100º
d) cos 196º e) sen 310º
97t 47t g) senlO h) cos-
5
º) 77t l97t J cos6 k) sen-
10
124. Reduza ao 12 quadrante:
a) sec 160º
67t e) tg-
5
377t e) sec-
4
g) sen (-10º)
l07t b) cossec-
9
l97t d) cotg-
10
f) tg l 77t 6
h) cos (-40º)
e) sen 235º
f) cos 325º
º) 57t 1 sen-4
57t 1) cos-
3
8. 2 Seno e Cosseno de Arcos Complementares
Seja AP' um arco de medida x, 7t < x < 7t e um ponto Q do ciclo, 4 2
simétrico de P em relação à bissetriz do l 2 quadrante.
96
,, ___ _. Bissetriz do
1.2 Quadrante
.1!-x 2
Os triângulos O Q1Q e O P1P são congruentes. Assim:
OQ1= OP1 =::} senx=cos(;-x)
QQ1= PP1 =::} cosx=sen(;-x)
sen x = cos (; - x)
cos x = sen (; - x)
Exemplos
sen 60º = cos (90º 60º) = cos 30º
cos 86º = sen (90º - 86º) = sen 4º
3n 1 1 1 sec-g= 37t = ( 3 )=--7t-
cos-8- sen ~ -3n sen
8
1t cossec8
Redu~ão e Identidades 97
98
Exercícios
125. Sendo sen 53º = 0,80, calcule cos 37º.
126. Simplifique as seguintes expressões:
127.
128.
129.
a) Y = sen (<+x)· sen( ~ -x J cos (21t-x). cos {n-x)
b) sen (n + x)· cotg (21t- x)
y= cos (1t-x)· cossec (1t + x)
sen{7t-x)·cos(~-x l e) y= (1-senx) senx·tg(7t+x)+2 J
t (1t) sen(n+x) gx·cos --x 2
1 Sendo sen x = '3 , calcule o valor de:
sen(i-x }sec(7t+x)
tg (1t- x)
sec (1t-x)·cos( ~-x J Sendo sec x = 2, calcule o valor de: (
2}
cossec x · cot g 1t + x · sen x
Mostre que:
n) Se <X, ~ e 'Y são medidas dos ângulos internos de um triângulo, então cos (<X + ~) = - cos 'Y·
b) Se <X e ~ são medidas dos ângulos agudos de um triângulo retângulo, então sen <X= cos ~-
o
8.3 Identidades
Duas funções f(x) e g(x) são idênticas. Indica-se f(x) = g(x), se e somente se, a sentença f (x) = g(x) for verdadeira para todo x pertencente ao domínio de ambas as funções.
São exemplos de identidades:
• a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
• a3 + b3 = (a+ b)(a2 - ah+ b2
)
x2 -9 • =X+ 3
x-3
• sen x = tg x . cos x
Todas as relações que já foram vistas também são identidades, como por exemplo sen2x + cos2x = 1, que podem ser empregadas na demonstração de outras identidades.
Podemos provar uma identidade pelos seguintes métodos:
12 ) Partir de um dos membros e chegar ao outro.
Prove a identidade: cos x + sen x · tg x = cossec x senx · secx
Solução:
j 12 membro
senx cosx+senx--
cos2 x +sen2 x 1 cos X - __ c=o=s=x;___ = --=C=OS=X:.::..__ =
1 - 1 1 senx·
cosx
1 --=cossecx senx
senx·-- senx·--cosx cosx
22 mem
Redu~ão e Identidades 99
100
2!!) Transformar os dois membros separadamente numa mesma expressão.
Prove a identidade: tg x - sen x = tg x · sen x tg x · sen x tg x + sen x
Solução:
lºmembro
senx senx-senx cosx ---senx
tg x - sen x _ -"c'"""o""""s"""'x'---- = ------"c-=-os"""'x=----- = tgx. senx senx senxz --·senx
cosx cosx
= sen x - sen x cos x = sen x (1 - cos x) _ sen x (1 - cos x) _ sen2 x 1- cos2 x - (1 + cos x) (1- cos x) -
senx =----
(1 + cosx)
j 22 membro
senx sen2 x tgx · senx --·senx
cosx cosx = = = tgx +senx senx senx +senx cosx --+senx cosx cosx
sen2 x sen2 x senx ------=----
senx +senxcosx sen x (1 + cos x) 1 + cos x
na 3J!) Mostrar que a diferença entre os dois membros é igual a zero.
1 cosx Prove a identidade: ---
senx
Solução:
senx l+cosx
1-cosx senx _ (1-cosx)(l+cosx)-sen2 x _ senx l+cosx - senx(l+cosx) -
= (1- cos2 x )- sen 2 x = sen 2 x - sen 2 x = O senx(l+cosx) senx (1 + cosx)
Exercícios
130. Prove as seguintes identidades.
a) senx+ l+secx
X =senx
b) (senx+cosx)2 =1+2senxcosx
e) sec 2 x · cossec 2x = sec 2 x + cossec 2x
d) sen4 x-cos4 x = 2sen 2 x -1
e)
f)
g)
sen3 x -cos3 x ------= sen x -cos x l+senxcosx
cossec x - sec x ------= secx cotgx-1
cotg2x _ 1
1 + cot g2x - 1 + tg2x
Reduião e Identidades 101
h) senx l+cosx
2 ---+ = cossec x 1+ cosx senx
i) tgx-senx secx _::_ ____ . cossec x = ---
sen 2 x 1 + cos x
j) sen x + sen y cos x + cos -----= cos x - cos y sen y - sen x
102
Pense e Faça
F1i: É dê-me e não me dá
Se dou 7 reais a cada um dos pobres que está à minha porta, ficarei com 24 reais; se quiser dar a cada um 9 reais, faltar-me-ão 32. Qual o número de pobres e quantos reais tenho?
Redução e Identidades 103
104
Pense e Fa~a
f 13: Elevador
Um elevador pode levar 20 adultos ou 24 crianças. Se 15 adultos já estão no elevador, quantas crianças ainda podem entrar?
9 .1 - Seno e Cosseno da Soma 9.2-Tangente da Soma 9.3 - Seno, Cosseno e Tangente da Diferença 9.4 - Multiplicação de Arcos 9.5 - Transformação em Produto
Capítulo 9
Transformações
9.1 Seno e Cosseno da Soma
- -Consideremos dois arcos consecutivos AP e PQ de medidas a e b, respectivamente, no 12 quadrante.
U V A
Da figura, temos:
~OTQ: sen b = TQ = TQ :::} TQ == sen b OQ 1
OT OT cosb =-= - :::} OT = cosb
OQ 1
Transformações 105
1
~TQX:
~OVf:
Então:
XT sena = - ::} XT = sena · TQ = sena · sen b
TQ
XQ cosa= - ::} XQ = TQcosa = sen b ·cosa
TQ
vr sena=- ::} vr =sena· OT =sena· cosb
OT
ov cosa= OT ::} OV =cosa· OT =cosa· cosb
o UQ UQ 1-) sen(a+b) =-=- = UQ = UX + XQ = vr + XQ=
OQ 1
=sena cos b + sen b cosa
logo: lsen(a + b) =sena cos b + sen b cos ai
o ou ou 2-) cosa(a + b) = - = - =OU= OV - UV = OV - XT =
OQ 1
=cosa cos b - sena sen b
logo: lcos(a + b) =cosa cosb - sena sen bl
É possível provar que as fórmulas anteriores são válidas para quaisquer ~ medidas de a e b.
11 Exercícios H
131. Calcule:
a) sen 75° b) cos105°
Solução:
a) sen 75° •• 1
sen 75° = sen (45° + 30°) = sen 45° cos 30° + sen 30° cos45°
106
er
132.
133.
134.
9.2
sen 75° = J2. · ,,f3 + 1 · J2. = ..[6 + J2. 2 2 2 2 4
b) cos 105 o
cos 105° = cos(50º + 45°) = cos 60° cos 45° - sen 60° sen 45° =
cos 105° = .!. . J2. 2 2
Calcule:
a) sen 105°
Mostre que:
,,f3 J2. J2. - ..[6 -·-=---2 2 4
b) cos75°
a) sen( ~ +x) = cosx b) cos( ~ + x) = - sen x
e) sen(321t + x) = -cosx d) cos(
321t + x) = senx
Sendo cos x = - e O < x < - , calcule cos - + x . 3 1t (1t ) 5 2 3
Tangente da Soma
tg(a+b) = sen (a+ b) cos (a+ b)
sena cosb + senb cosa cosa cos b sena sen b
Dividindo o numerador e o denominador por cos a cos b, temos:
sena cos b + sen b cosa cosa cosb
tg(a + b) = cosa cos b - sena sen b = cosa cosb
Transformações 107
t 1
•I
108
=
sena cos b sen b cosa +
cosa cos b cosa cos b tga + tgb = cosa cos b sena sen b 1- tga tgb
cosa cosb cosa cosb
logo: tg(a + b) = tga + tgb 1- tga tgb
7t 7t 7t Com a '#
2 + k7t, b '#
2 + k7t e a + b *
2 + k7t (k e Z).
Exercícios
135. Calcule tg 285°.
Solução:
tg 285° = tg (360° - 285°) = - tg 75º =
tg 45º + tg 30º = -tg (45º + 30º) = = 1 - tg45º tg30º
=- 3+../3 =-2-../3 3 -../3
136. Calcule:
a) tg 105° b) tg 255°
137. Sendo tgx = 3, O< x < i· calcule tg ( ~ + x}
1 + J3 3 = J3 1-1·-3
138. 12 7t 4 7t
Sendo sen a= 13
, 2" < a < 7t e cos b = - 5, 2 < b < 7t ,
calcule tg (a + b).
139 Se tg 45° = 1, calcule tg 22,5°.
140. Prove as identidades:
a) sen (a+b} b ---- = tga + tg cosa cosb
b) ( b} cotga cotgb - 1
cotg a+ =-----cotga cotgb
9.3 Seno, Cosseno e Tangente da Diferença
Sabemos que sen (a + b) = sena cos b + sen b cosa, vamos deduzir a fórmula de sen (a - b). Como a - b = a + (-b), vem:
sen (a-b) = sen[a + (-b)] = senacos(-b) + sen(-b) cosa
Lembrando que cos(-x) = cosx e sen (-x) = -senx, temos:
lsen(a-b) =sena cosb - senb cosa 1
De modo análogo, temos:
lcos (a-b) =cosa cosb +sena senbj
e
( b) tga - tgb
tga- =----1 + tga tgb
n n n com a *
2 + kn, b *
2 + kn e a - b *
2 + kn (k e 7l)
Exercícios
141. Calcule:
a) sen 15° b) tg 15°
Transformações 109
f
' 1 '
, .
''
110
Solução:
a) sen 15° = sen (45° - 30°) = sen 45° cos 30° - sen 30° cos 45° =
./2. J3 1 ./2. J6 - ./2. 1- J3 3 =-·---·- = = J3 2 2 2 2 4
1+1·-3
b) tg 15º = tg (45º - 30º) = tg 450 - tg30º = 1+tg45º tg30º
=3-./3=2-./3 3 + J3
=
142. Calcule tg (a - b), sendo tg a = 2 e tg b = 3.
143. Calcule:
a) cos 15° e) tg 13n 12
144. 1 4
Dados sena = - e cos b = - , a e b agudos, calcule: 3 5
a) sec (a - b) b) tg (a- b) e) cotg (a - b)
145. 3 1t
Se tgx = "2 e x - y = "6, calcule tg y.
146. 4 12 37t
Sendo tga = - ecos b = -, - < b < 2n, calcule tg (a+ b). 5 13 2
147. 1t 3 (1t ) Se O < x < "2 e cos x = s" obtenha tg 4
- x .
148. Prove as identidades:
a) sen (a + b) · sen (a - b) = sen 2 a - sen 2 b
b) cos(a + b) +sen (a-b) =(cosa+ sena) (cosb- senb)
9.4 Multiplica~ão de Arcos
Consideremos as seguintes fórmulas de adição de dois arcos de medidas a e b:
• sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a.
• cos (a+ b) cosa cos b - sena sen b.
• tg(a+b)= tga+tgb 1-tgatgb
Substituindo b por a nessas fórmulas, temos:
12) sen (a+a} =sena cosa+ sena cosa
lsen2a = 2sena cosal
22) cos (a+ a}= cosa cosa - sena sena
cos2a = (1 - sen2 a) - sen2 a ==> jcos2a = 1-2sen2a 1
cos2a = cos2 a-{1-cos2 a)==> jcos2a = 2cos2a-1 I ºº) t ( ) tg a + tg a .,- g a+a =-----
1- tga tga
tg2a = 2tga 1- tg2 a
T ranslormações 111
f. . ,,
112
Exercícios
149.
150.
151.
152.
1 7t Sendo sena = "3, O < a < 2" , calcule sen2a.
Solução:
1 8 Temos cos 2 a = 1 - sen 2 a = 1 - - = - ~
9 9
2 ../2. ~cosa=--
3
Como sen 2a = 2 sen a cos a, então:
1 2 ../2. 4../2. sen 2a = 2 · - · -- = --
3 3 9
3 7t Sendo cosa= s' O< a< 2", calcule:
a) sen 2a b) cos 2a e) tg 2a
1 Sendo x um arco do 3º quadrante e sen x = -- , calcule:
2
a) sen 4x b) cos 3x
, 1 Sabendo que sen x + cos x = "3 , calcule sen 2x.
153. Dado senx = ~, O< x<i, calcule cos ( i + 2x}
154. Calcule sen 22°30' .
Solução:
Temos: cos2a = l-2sen 2 a
Fazendo a = 22°30', então 2a = 45°. Assim:
cos 45° = 1 - 2 sen 2 22º30' ~
1 - ./2. 2 1 cos45º 2 - ./2.
~ sen 22º30' = ---- ;;;;; ----"'-- = ~ 2 2 4
~2- ./2. ~ sen 22º30' = -'---
2
155. Calcule:
156.
157.
a) cos 22°30'
a Sendo tg '2 = 2 , calcule tg2a
Prove as identidades:
a) sen 3x = 3senx - 4sen 3 x
b) 1-cos2x t 2 ----= g X 1 + cos2x
b) tg22°30'
158. Prove que:
x +~1-cosx sen- = -2 2
Solução:
2 ~ 2 1- cos2a Sendo cos 2a = 1 - 2 sen a, entao sen a =
2
~1 - cos2a Assim, sena = ± 2
Fazendo 2a = x ~ a = -i , então:
X ~1 - COSX sen- = + 2 - 2
Transformações 113
159. Prove que:
) X _ ± ~1 + COSX X 1 COSX b) tg-2 = ± a cos- -
2 2 1 + cosx
9.S T ransforma~ão em Produto
Podemos transfonnar em produto {ou fatorar) uma soma ou diferença de senos, cossenos e tangentes. Estas fatorações são úteis na resolução de algumas equações trigonométricas.
Consideremos as expressões:
• sen (a+ b) =sena cos b + sen b cosa G) • sen {a - b) = sen a cos b - sen b cos a @
• cos {a+ b) =cosa cos b - sena sen b @
• cos {a- b) =cosa cos b + sena sen b @) Tem os as seguintes transfonnações em produto:
1 !) Somando CD e ®: sen {a + b) + sen {a - b} = 2 sen a cos b
Fazendo:
{
a+ b = p , obtemos : a = p + q e b = p - q
a-b=q 2 2
Então:
senp + senq = 2sen (9 )cos (9) 2!.) Subtraindo CD e ®: sen {a + b) - sen {a - b) = 2 sen b cosa
114
Como:
p+ q p- q a + b = p a - b = q a = -- e b = -- temos· ' ' 2 2 ' .
senp- senq = 2sen(Y )cos (9)
3!!) Somando @ e @):
cos (a + b) + cos (a- b) = 2 cosa cos b
Como:
a + b = p, a - b = q, a = P; q e b = P ; q , temos:
cosp + cosq = 2 cos (9 )cos (Y)
4!!) Subtraindo @ e @):
cos (a + b) - cos (a - b) = - 2 sena . sen b
Como a+ b = p, a - b = q, a = P ; q e b = P ; q , temos:
cosp-cosq=-2sen( 9 )sen(Y)
Exercícios
160. Transforme em produto:
a) sen 70° + sen 30º
b) cos 50º - cos 20°
Transformações 11S
Solução:
a) sen 70° + sen 30°
Fazendo p = 70° e q = 30° na fórmula
sen p + sen q = 2 sen ( p ; q ) · cos ( p ; q } temos:
(70º + 30°) (70º -30º) sen 70º + sen 30° = 2 sen 2
· cos 2
sen 70° + sen 30° = 2 . sen 50° . cos 20°
b) cos 50° - cos 20°
Fazendo p = 50° e q = 20° na fórmula
cos p - cos q = - 2 sen ( p ; q ) · sen ( p ; q ) , temos:
(50° + 20º) (50º - 20º) cos 50° - cos 20º = - 2 sen
2 . sen
2
cosSOº - cos20º = -2sen35º senlSº
161. Fatore as expressões:
a) sen 50° + sen 30º b) sen 70º - sen 40º
e) cos60º + cos20º d) cos 85º - cos 15º
162. Fatore as expressões:
a) 1+cos40° b) cos 70° + sen 48°
Solução:
(0º+40º) (ºº-40º) a) 1 + cos 40º = cos Oº+ cos 40º = 2 cos 2
. cos 2
=
= 2 cos 20° cos (-20°)
116
Como cos (- 20º) = - cos 20º, então:
1 + cos 40° = 2 cos 20° cos 20º = 2 cos2 20º
b) cos 70° + sen 48° = sen {90° - 70°) + sen 48°
(20° + 48°) (20º - 48º) = sen20º + sen48º = 2sen
2 · cos
2 =
= 2sen34º cos (-12º) = 2sen34º cosl2º
cos70º + sen48º = 2 sen 34º cosl2º
163. Fatore as expressões:
a) 1 + sen20° b) cos 72° -1
e) sen 70° + cos 8° d) cos 20° - sen 40°
164. Transforme em produto:
a) sen 2x + sen 6x b) cos 7x - cos 3x
e) -1 + cos2x d) sen x + 1
e) sen 2x - cos x f) sen x + cos x
165. Transforme num produto de senos:
sen2 3x - sen2 x
166. Fatore a seguinte expressão:
sen x + sen 2x + sen 3x
167. Sabendo que existem tg p e tg q, prove que:
t t sen{p+q)
gp+ gq=---cosp cosq
Transformações 117
118
Solução:
t t sen p sen q sen p cos q + sen q cos p
gp + gq = -- + -- = ----'-----''----=--cos p cos q cos p cos q
Como sen p cos q + sen q cos p = sen (p + q), então:
tg p + tg q = sen (p + q) cosp cosq
168. Sabendo que existem tg p e tg q, prove que:
t t sen (p - q)
gp- gq= cosp .cosq
169. Transforme em produto:
a) tg 30° + tg 50° b) tg 70° - tg 20°
e) 1+tg10° d) tg 18° -1
170. Transforme o produto cos 2x cos 4x numa soma equivalente.
Solução:
Temos: cos p + cos q = 2 cos ( p ; q ) · cos ( p ; q )
Então: cos ( p ; q} cos ( p ; q ) = ~ (cos p + cos q)
Comparando cos 2x cos 4x com esta expressão, vem:
p + q = 2x p - q 4 {p + q = 4
x 6 2 e -- = x => => p = xe q = - x 2 2 p - q = 8x
1 1 logo: cos2x cos4x = "2 (cos6x + cos(-2x)) = "2 (cos 6x + cos 2x)
171. Calcule o valor numérico das expressões:
77t 51t a) y = sen
12 cos12
Transformações 119
•
,1
120
Pense e Faça
F,4 : A Cachorrada do Coelho Um coelho dá 6 saltos enquanto um cachorro dá 5 saltos, mas 6 saltos do cachorro equivalem a 9 saltos do coelho. Quando o cachorro começou a perseguir o coelho, ele estava 60 saltos (do coelho) na frente. Quantos saltos deve dar o cachorro para alcançar o coelho?
10.1 - Equações Redutíveis a uma Equação do 2! Grau
10.2 - Equações Fatoráveis
Capítulo 10 Equações
Trigonométricas
Vimos em capítulos anteriores, equações do tipo sen x = a, cos x = b e tg x = e. Neste capítulo, estudaremos dois tipos de equações trigonométricas.
10.1 Equa~ões Redutíveis a uma Equa~ão do 2 ! Grau
Resolva a equação: 2 sen2x - 3 senx + 1 = O
Solução:
Fazendo sen x = y, temos: 2y2 - 3y + 1 = O
Resolvendo esta equação, encontramos y = 1 ou y = ; .
• Para y = 1 ::} 1 sen x = 1 j
1t x=-+2krt
2
Equações T rigonoméfricas 121
•
122
la • Para y = - => sen x = -2 2
Assim:
Exercícios
172. Resolva as equações:
a) 2 sen2x - 5 sen x - 3 = O
e) 2 sen2x + J3 sen x = O
e) 3 tg2x - J3 tg x = O
173. Resolva as equações:
1 1 4 a) --
1-senx l+senx 3
b) 4 sen4x-11sen2x+6 =O
e) cos 2x - 4 cos x + 3 = O
1t 57t X =
6 + 2 k1t OU X = 6 + 2k1t
b) cos2x + cos x-2 =O
d) 2 cos2x - cos x = O
1 f) - -tgx =O
tgx
17 4. Resolva a equação 2 cos2x + senx - 1 = O
Solução:
Substituindo cos2x por 1 - sen2x, temos:
2 {1 - sen2x) + sen x- 1 =O
2-2 sen2x+sen x-1 =O
2 sen2x - sen x - 1 = O
Fazendo sen x = y, temos: 2y2 - y - 1 = O
Resolvendo esta equação, encontramos:
1t y =1=>senx=1 => x =-+2k7t
2
ou
1 1 77t l17t y= --=>senx=--=>x=-+2k7t ou x=-+2k1t
2 2 6 6
Assim:
S = { x e IR 1 x = ~ + 2k1t ou x = 761t + 2k7t ou x = 1
!7t + 2k1t}
175. Resolva as equações:
a) 2 cos2x + 3 sen x - 3 = O
b) sen2x + cos x + 1 = O
e) 2 sen2x - 3 cos x =O
d) ./3 sen X + 2 cos2x - 2 = o
Equa~ões Trigonométricas 123
124
176. Resolva a equação ...f3 sen x + cos x = 1
Solução:
Vamos montar o seguinte sistema:
{../3 sen x + cos x = 1
sen 2 x+cos 2 x=1
Da 1ª equação temos: cos x = 1 -../3 sen x. (1)
Substituindo cos x por 1 -../3 sen x na 2ª equação, vem:
sen 2 x+(l-../3senx) 2=1 ~ sen 2 x+l-2../3senx+3sen 2 x=l ~
~ 4sen 2 x-2../3 senx =O ~ senx(4senx-2...f3)= O
Substituindo em (1):
sen x = O ~ cos x = 1- ...f3 · O = 1 ~ x = 2k7t
ou
../3 senx=-2
Assim:
s = {X E IR 1 X = 2k7t ou X = ~7t + 2k7t ou X = ~7t + 2k7t}
177. Resolva as equações:
a) sen x + ../3 cos x = 1
b) sen x + cos x = 1
e) sen x + ../3 cos x = ...f3
10.2 Equações Fatoráveis
São equações do tipo sen p ± sen q O e cos p ± cos q = O em que utilizamos as fórmulas de transformação em produto.
Resolva a equação: sen 2x + sen x = O
Solução:
3x x 3x x ==> 2sen-cos- =O ==> sen- =O ou cos- =O
2 2 2 2
Então:
3x 3x 2kn: • sen- = O ==> - = kn: ==> x =
2 2 3
ou
X X 1t • COS- Ü ::::> - = - + kn: ::::> X = 1t + 2kn:
2 2 2
{ 2~ } s = X E IR 1 X = 3 ou X 1t + 2kn:
Equa~ões Trigonométricas 12.S
126
Exercícios
178. Resolva as equações:
a) sen Sx + sen 3x = O
b) sen 6x - sen 2x =O
e) cos 7x + cos 4x = O
d) cos lOx - cos 3x = O
179. Resolva as equações:
a) cos 2x + cos 4x + cos 6x = O
b) sen 2x + sen 3x + sen 4x + sen Sx =O
Pense e Faga
f 1s: A Perseguida
Numa sala de 30 pés de comprimento, 12 de largura e 12 de altura, há uma aranha no centro de uma das paredes menores, a 1 pé do teto; existe uma mosca na parede oposta, a 1 pé do chão. A aranha tem certas intenções com relação à mosca. Qual é o menor caminho possível pelo qual deve ir a aranha para atingir sua presa?
Equa~ões Trigonométricas 127
•
t
' 1 128
Pense e Fa~a
f16: Um Quarto Crescente
Será que você consegue dividir a figura de uma lua em quarto crescente em seis partes traçando somente duas linhas?
(Extraído do livro "Aprenda Matemática Brincando" - J. Perelmann) .
11.1 - Função Arco Seno 11.2 - Função Arco Cosseno 11.3 - Função Arco Tangente
Capítulo 11 Funções Trigonométricas
Inversas
A função y = sen x não admite inversa em IR, pois a cada valor de y possui em correspondência infinitos valores para o arco x.
P 1 1 t d~ . n: Sn or exemp o, para y = 2
, emas em correspon enc1a os arcos 6 , 6 , 13n: 17n: . , . 1 1 - , - , etc. CUJO seno e 1gua a - . 6 6 2
7t 13n 6'6'ººº
Assim, para que a função seno admita inversa, devemos restringir o seu domínio a um intervalo em que ela seja bijetora.
No intervalo [- ~ , ~], a função seno é bijetora, portanto admite inversa.
Funções Trigonométricas Inversas 129
y
1 ,_ ____ _
11.1
.lt 21
1 _____ j
Função Arco Seno
X
Consideremos a função f(x) = sen x definida no intervalo [- ~ , ~] com
imagens [-1, 1].
A função que associa todo x do intervalo [-1, 1] a um arco y em [-;, ;] ,
cujo seno vale x, chama-se função arco seno.
arcsen x {::::}
Gráfico
Os gráficos das funções y = arcsen x e y = sen x são simétricos em relação à reta y = x.
A seguir, temos o gráfico da função y = arcsen x.
130
y
z. ------~:':!i:en x ,.v=x 2 , ,
: ,,' 1 --------- -}~--:•- .. y=sen x
"1 ,, 1
·A, 2: 1 1 1 1 1
: J' ,' ~,,~·~-1<--~~~+..1
/ ,'
, 1 , 1
,' 1
':.I. 2
D= {xE 1Rj -l~x~l} = [-1, 1]
Exercícios
, A' 1 ,-:.. ... 1 1 ~, : :
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 JL 2
180. Determine o valor de y nos seguintes casos:
1 a) y = arcsen
2
Solução:
a) 1 1
y = arcsen 2 ~ sen y = 2
Como y E [- _:: _::] então y = _:: 2'2 ' 6
../2 b) y = arcsen --2
X
Funções Trigonométricas Inversas 131
J2 J2 b) y = arcsen - - ~ sen y = --2 2
e [ 7t 7t] ~ 7t orno y E - - - entao y = - -2'2 ' 4
181. Detennine os valores de y, tais que:
J3 a) y = arcsen T b) y = arcsen (- ~ )
e) y = arcsen O d) y = arcsen 1
182. Obtenha o domínio da função y = arcsen (x - 2).
" f Solução:
132
Como o domínio da função arcsen x é -1::;; x::;; 1, devemos ter:
logo: D = {x E IR 1 1 ::;; x ::;; 3}
183. Dê o domínio das funções:
a) y = arcsen (x + 1)
b) y = arcsen (x - 2)
e) y = arcsen (2x + 3)
184. Resolva as equações:
7t a) arcsen (x - 1) = -
2
7t b) arcsen (2x + 1) = "3
e) arcsen (x2 - 1) = 2: 6
11.2 Função Arco Cosseno
Consideremos a função f(x) = cos x definida no intemalo [O, 1t] com imagens em [-1, 1]. A função que associa todo x do intemalo [-1, 1] a um arco y em [0, 1t], cujo cosseno vale x, chama-se função arco cosseno.
Gráfico
-1 , ,
y = arccos x {::> cos y = x
y
,'o ,'
1 Jt ', n, X 2 ......... :
..... 1 ... , 1
.... 1 ...... 1
-1 ------------------------~··~ y=cosx
D= {X E IR 1 -1=:;;X=:;;1 } = [-1, 1]
Im = { x e IR 1 O s y s 1t } = [ O, 1t ]
Funções Trigonométricas Inversas 133
t
11.3 Fun~ão Arco Tangente
Consideremos a função f(x) = tg x definida no inteivalo ]- ~ , ~[com imagens em IR A função que associa todo número real x a um arco y em
]- ~, ;[, cuja tangente vale x, chama-se função arco tangente.
Gráfico
D= IR
y = arctg x <=> tg.y = x
• 1
' 1 1 1
y
: Jl _________ J __________ 2 1 1 1 1
' 1 1 1 1 1 1
~" ,, , ,, ,,, ---------).'--4---------, 1 I , 1' , :,
/ :• 1
• 1
1
' ' y=x 1: , li ,' ti ,,
Ili' ________ ..,.. __________ _
I '' I I' I ,, ,.,.,
IJt 12 1 1 1 1 1 1 1 1
-----------r----------:1.. 1
2 : l 1 1 1 • 1
X
Exercícios
185. Determine y nos seguintes casos:
1 a) y = arccos2
e) y~arccos(-4;)
e) y = arctg 1
g) y == arctg O
186. Dê o domínio das funções:
a) y = arccos 3x
e) y = arctg 2x
187. Resolva as equações:
51t a) arccos x = -
6
e) arctg x 1t
3
188. Calcule cos( arcsen ~).
Solução:
d) y arccos (-1)
f) y arctg (- .J3)
.J3 h) y = arctg3
b) y = arccos (1 - 2x}
d) y arctg (.Jsx -2)
1t b) arccos x =
3
1t d) arctgx = -
4
1 1t 1t Fazendo arcsen 3' = a , devemos calcular cos a, com - 2 s; a s; 2 .
Então:
1 1 arcsen3 =a => sena =3
Funções Trigonométricas Inversas 13S
'1
' '
,,
136
Como sen2a + cos2a = 1, temos:
1 2 2 8 2../2. -+cos a=l ~ cos a=-~ cosa=--9 9 3
Logo, co{ arcsen ~) = cosa = 2'{!
189. Calcule:
a) co{ arcsen ~ ) b) sen( arctg ~)
e) sen( arctg ! ) d) tg ( arcsen t)
e) arcsen ( cos ~3 1t) n tg+=•n -:)
190. Determine o valor de cos(arcsen ~ +arccost}
Solução:
Fazendo:
•
1 1 • arccos-=P ~ cosP=-,(Pel2 quadrante).
2 2
Devemos calcular cos (a+ PJ.
Como cos(a + p) =cosa· cos p - sena· sen p, precisamos determinar cosa e senp.
Então:
_!_+cos 2 a=1 ~ 16
15 cos 2 a=-
16 .J15
~ COSCX=--4
1 sen 2 p +
4 = 1 => 2 3 sen p =-
4 .J3
=> senp =-2
cos (ex+ P)= ,J15 .!_! . .J3 = .JlS-./3 4 2 4 2 8
Logo:
cos arcsen-+arccos- = cos (cx+P)=---( 1 1) .JlS-./3 4 2 8
191. Calcule:
192.
a) sen ( arcsen % + arcsen ~)
b) tg [s arctg .J3 - ! arcsen ./3 l 3 4 2
7t Resolva: arctg 2x + arctg 3x = -
4
Funções Trigonométricas Inversas 137
138
Pense e Fa~a
F17: Livros Empilhados
Tem os dez pilhas de livros, de aspecto igual. Em nove dessas pilhas, cada livro pesa 1 kg e na pilha restante, cada livro pesa 1, 1 kg. Efetuando apenas uma pesagem, determinar em que pilha estão os livros mais pesados.
12.1 - Lei dos Senos 12. 2 - Lei dos Cossenos
12.1
Capítulo 12 Triângulos Quaisquer
Lei dos Senos
Num triângulo qualquer, a razão entre cada lado e o seno do ângulo oposto é constante e igual ao diâmetro da circunferência circunscrita.
Demonstração
Consideremos o triângulo ABC cujos lados medem a, b e c, inscrito numa circunferência de raio R.
Vamos construir o triângulo BCD, como mostra a figura seguinte.
D
Triângulos Quaisquer 139
140
Dessa construção:
• O triângulo BCD é retângulo em C (inscrito numa semi-circunferência).
• Os ângulos A e D são congruentes (ângulos inscritos que ~
determinam o mesmo arco BC na circunferência).
Temos:
sen Ô = 2~ . Como, Ô = Â , então:
- a senA=
2R =>I ª-=2RI senA
De modo análogo, obtemos:
lb--=-:1 ~
e 1 c_=2RI senC
Comparando essas expressões, concluímos que:
Exercícios
-ª---=-b __ =-e __ =2R senA senB senC
193. Detennine o raio da circunferência circunscrita no triângulo ABC.
e
A~ B
194. Calcule x na figura.
~ 30º
Solução:
X 4../2. · sen 30° ---=--- x=-----sen 30° sen 135° sen135º
Como sen 135º= sen 45° = ~ , então:
4..J2. . .! x= 2 ~ x=4
..J2. 2
195. No triângulo ABC, calcule x nos seguintes casos:
•)~ e s-{3' e
b)
B
e)~ B~C
A
d)~ B C
196. No triângulo seguinte, detennine os valores de x e y.
A
e x e
Triângulos Quaisquer 141
12.2 Lei dos Cossenos
Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o duplo produto desses lados pelo cosseno do ângulo que eles formam.
142
Demonstra~ão
Consideremos o triângulo ABC, cujos lados medem a, b, e e.
1.e caso: o ângulo  é agudo.
Temos:
e
A,L .....L---....i.:""""---------~.B 1 lH 1
I+-m --1!1).;.11141----- c-m -----.;!1)1 : ! : ·~------e-------....'
No triângulo CHB: a2 = h2 + (e- m) 2
a2 = h2 + c2 - 2cm + m2 ª2 =I h2 + m2 I + c2 - 2cm
No triângulo CHA: b2 =I h2 + m2 I Substituindo a segunda igualdade na primeira, vem:
a2 = b2 + c2 - 2cm (D
No triângulo CHA = cos  = ~ => m = b cos A ®
] a
Substituindo @ em G), vem:
a2 = b2 + c2 - 2 bc cos Â
22 caso: o ângulo  é obtuso.
e 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
h: 1 1 1 1 1 1 1 1 • 1 180"-HLõJ __________ -----------,B : :A 1
1+--m--1Pi'l1---- e ----~I ..... : :
,..• ------ c+m ------...'
Temos:
No triângulo CHB: a2 = h2 +{e+ m) 2
a2 = h2 + c2 + 2cm + m2 => a2 =I h2 + m2 l + c2 + 2cm
No triângulo CHA: b2 = 1 h2 + m2 I
Substituindo a segunda igualdade na primeira, vem:
a2 = b2 + c2 + 2cm (D
No triângulo CHA = cos(180°-Â)= ~
Sendo cos(180°-Â)= - cos A, então:
- cos A = ~ => m = - b cos A ®
Triângulos Quaisquer 143
Substituindo @ em (D , vem:
1 a2 = b2 + c2 - 2 bc cos  1
Podemos também escrever:
1 b2 = a2 + c2 - 2 ac cos B 1 c2 = a2 + b2
- 2 ab cosê
Exercícios
197. Dois lados de um triângulo medem 4 cm e 6 cm e formam entre si 120º. Calcule a medida do terceiro lado.
Solução:
e
Aplicando a lei dos cossenos, temos:
a2 = b2 + c2 - 2 bc · cos  => a2 = 16 + 36-2·4·6·cosl
Como cosl20° = - cos 60° = -t, então:
a2 = 16 + 36- 2·4·6{- ~ )= 76 => a=2.Jf9 cm
198. Dois lados de um triângulo medem .J3 cm e 4 cm e formam 150° entre si. Calcule a medida do terceiro lado.
144
199. Calcule x em cada caso:
a) b)
200. Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 8 cm e 12 cm e formam um ângulo de 60º. Calcule a medida de suas diagonais.
201. O triângulo ABC é equilátero de lado 4, AM = MC = 2 e PB = 1. Calcule o perímetro do triângulo APM.
A
202. Duas forças concorrente F1 = SN e F2 = lON formam um ângulo de 60º
entre si. Calcule o módulo e a direção da resultante de F 1 e F 2.
203. Calcule a medida da menor diagonal de um hexágono regular inscrito numa circunferência de raio 4 cm.
204. Os lados de um triângulo são dados pelas expressões:
a= x2 + x + 1, b = 2x + 1 e
Determine o maior ângulo desse triângulo.
Triângulos Quaisquer 145 ..
146
Solução:
Observando as expressões, o maior ângulo desse triângulo é oposto ao lado de medida a.
A
~ B X +x+l e
Aplicando a lei dos cossenos, temos:
(x2 + x + 1) 2 = (x2 - 1) 2 + (2x + 1) 2
- 2(x2 - 1)(2x + 1). cos Â
x4 + x2 + 1 + 2x3 + 2x2 + 2x = x4 - 2x2 + 1 + 4x2 + 4x + 1 -
- (2x3 + x2 - 2x - 1) cos Â
- 2 (2x3 + x2 - 2x - 1). cos  = 2x3 + x2
- 2x - 1
-2 cosA = 1 - 1 -
~ cos A = - - ~ A = 120° 2
205. Os lados de um triângulo medem a, b e e centímetros. Qual o valor do ângulo interno desse triângulo, oposto ao lado que mede a centímetro, se forem satisfeitas as relações: 3a = 7c e 3b = Bc.
Pense e Faça
F18: Frações!
Se a metade de cinco fosse nove, quanto seria a terça parte de dez?
Triângulos Quaisquer 147
I t4s
Pense e Fa~a
Eu tenho três bolas: A, B e C.
Pintei uma de vennelho, uma de branco e a outra de azul, não necessariamente nessa ordem. Somente uma das seguintes afinnações é verdadeira:
A évennelha
B não é vennelha
e não é azul
Qual é a cor de cada bola?
Respostas
Capítulo 1
1) a) 0,4 b)3 e) 2./2 d) 2./5
2) Não
4) d"' l./2
5) 6cm
6) a) 2./5 5
b) ./5 5
e) 2 d) ./5 5
e) 2./5 5
f) .!.. 2
7) 5 12 5 --e-13'13 12
8) som
9) 45º
10) 9m
11) 600
12) 20m
13) Af = 3,5m, EB 7,0m
14) 2013 3
15) 4/3 cm
16) 4(3+/3)m
17) 1 2
18) 994,5m
19) 26,92 m (aproximadamente)
20) a= 26°, X= 898,8cm
Respostas 149
Capítulo 2
23) a)~ 12
b) ~ 6
e)~ 5
d)~ 4
e) 5it 18
f)~ 5it h) 3it i) 5it j) Bit 3
g) 12 4 6 9
k) 5it 4
!) 5it 3
24) a) 12º b) 6º e) 20"
dl ser e) 240" f) 330"
g) 160" h) 105º i) 315º
j) 320º k) 200" 1) 300º
25) a) 2700' b) 1518' e) 2329'
26) a) 10800" b) 7620" e) 7123"
28) a) 172º30' b) 82º30' e) 130"
29) 36º
30) 13h 5min 27 s
31) 2
lt rad 3
32) 10 voltas
33) 40.000 km
34) 57º19'29"
36) a) b)
y y
e)
y
X
37) a) b)
y y
X X
e) d)
y y
X X
e) f)
y y
A A X X
_ª11, 10
39) a) x=..'.:+ kit 4 2
b) X= 2klt 5
Respostas 151
40) a) X= 2kit b)x =kit e) X=.'.:+ kit 2
d) X= kit 2
e) x = Sit +kit f) X=+.'.:+ 2kJt g) X=.'.:+ kit h) X=.'.:+ kit 6 -6 4 3 2
41) a) b)
42) a) 80" b) 195º e) 281 º d) 217º
3it Sit g) 8it rad h) 4it rad e) 2 rad f) 4 rad 5 7
i) 100" j) 127º k) 49° 1) 267º
) 4it n) 3it o) 7it ) 9it m - p-
3 2 4 5
,, 43) a) l"Q b) 1•Q e) 2•Q d)3°Q
e)3°Q f) 4•Q g) 2•Q h) l"Q
Capítulo 3
45) 1 1 1 a) -2,-2e2
b) .f3 .f3 - .f3 e - .f3 2 • 2 • 2 2
46) a}Oel b) 1 e O
f) .f3 e.!. .f3 1 2 2 g) -2 e 2
47) a} Oe 1 .f3 1 b) -- e -
2 2
48) a)3 b) 2 2
50) a)-3sms-2 bl-~ sm s .! 3 3
52) 3 -5
53) .f3 2
54) 636 169
55) ± 123 5
57) param =2,a=it,eparam 1t
3,a=2
59) 5(1-a2
)
2
60) -J3 4
62) senx=Oecosx -1 ou senx=
e) O e-1
h) - J2 e J2 2 2
e) J2 e J2 2 2
e) .! 2
c)lsms3
2./2 ecos= 1 3
d)-1 e O
i) - .f3 e _ _!. 2 2
d) _.! e .f3 2 2
d).! 2
d)-lsms3
il .!. e .f3 2 2
Respostas 153
Capítulo 4
64) a)
y
b)
y
-2
66) a)
y
1S4
p•2ll lrn•(-2, 0)
X
p•2ll lrn•(-3, 3)
2K X
b)
68) a)
b)
70) a)
y
1
1/2
-1
y
y
P= 21t
lm [-_!_ .!.] 2· 2
p= 21t
lm = [-1, l]
y
p=~ lm•[-1, 1J
X
Respostas 1SS
b}
y
11',
-1
71) a)
y
b)
y
1S6
""'....... , ........ __ ., __ _
p=211 bn=(-1, 1)
211 X
p•211i lm•(-1,3)
X
3Jt
p•4n: lm•(-1, 1)
411: X
e)
y
1 p=1t lm•(O, 1)
-1
d)
y
p=21t
lm = [0,2] 2
1
o X
-1
e)
y
p = 211 lm = [1.4]
X
Respostas 1S7
f)
y
1
o
-1
-2
73) a)
y
-1
b)
y
4
3
2
......... ,, . . o
-1
1S8
•31t 1-12
--~ •• 1 , 1
,• 1 , 1
,,, 1
211:
p=!t lm=(-2, O]
p•211: lm•(-3, -1)
X
p=2Jt
Im = (2, 4]
X
X
75) a)
b)
77) a)
y
3
2
1
o
-1
-2
-3
y
2
o
y
--...... .. •, •,
··-.. •, 1
'•' o
-1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 __ ..
-- 1 ,• 1 , , 1 , 1
pz2Jt lm•[-3,3)
21t X
pz2Jt lm•[-2,2)
X
p•211: lm•[-1, li
X
Respostas 159
b)
79) a)
b)
80) a)
160
y
l
·l
o
-1
y
-1
\ • '
y
-1
.......... , ,... 1
,., 1 , 1
;'' 1
............ , , 1
/ 1 , 1
,' 1
p=2lt lm•(-1, 1)
X
p•lt lm=(-1, 1)
X
p•2Jt lm•(-1, l)
X
p•81t lm•l-1,11
li
b)
y
3
2
1
o
-1
e)
y
1
·1
d)
li
1 l
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
,--~ ' .,,,,. 1 . ,,"' . ' ,' 1 1, 1
21t
p=21t Jm=(-1, 3]
X
p=lt lm=[O, 1)
X
p•2K lm=(-2,0]
X
Respodat 161
83)
84)
86)
162
e)
n
y
3
2
o
-1
y
1
o
-1
-2
a) 21t 6
d)27t
--......... . . ' . '
a) { X E R 1 1 S X :s; 3 }
d){xeRl0SxS3}
a) 2k1t
e) 7t + k1t
b) .!: + k1t 2
b)27t
e) 7t
1 1 1 1 1
__ , 1 ,, 1 1 ,"' 1 1 , 1 1 ,' 1 ,
...... -·1 ,,' :
, 1 ·,' 1
2Jt
21t
p=lt lrn=(-2, O]
b) { X E R 1 1 S X S 5 }
e) { X E R 1 0 :s; X S 2 }
e) 3
1t + 2k1t 2
M 2
X
p•21t bn=(l,3)
X
e) 21t 3
f)47t
e) { x e R 1 OS x :s; 2 }
f){xeRl1SxS3}
d) k1t 2
g) ~lt + 2k1t ou 761t + 2k1t
í ' t
87) a) 2: 21t 3' 3
Capítulo S
88) a)-1
89) a)~ 4
90) s/2
2
91) 0,45
92) 3
±-2
93) a) 2: + k1t 4
d) k1t 2
Capítulo 6
95)
96) a)O
97) 4 5
98) ./iÕ 10
99) 3.JS
5
b) 2: e S1t 3
b) J3 3
b) i 3
31t b) 4 +k1t
e) 2: + k1t 2
b)O
1t 2
e) J3 d) -.J3 3
e) 41t + k1t 3
f) 2:+ k1t 2 2
e) J3 d)-1
Respostas 163
100)
101)
102)
1t a) { x e R 1 x * "6 + k1t }; p = 1t
51t b) { x e R 1 x * (i + k1t }; p = 21t
k1t 1t e) { x e R 1 x * "2 }; p = 2"
a) { x e R 1 x = _.!: + 2k1t} 8
1t 51t b) { x e R 1 x = "3 + 2k1t ou x = 3" + 2k1t}
c)0
Capítulo 7
104)
105)
106)
107)
108)
109)
110)
111)
112)
113)
114)
164
4 senx=s·
2./2 3
5
6
.J2 2
2
4
4
3
4./3 3
12.[lõ
31
2
36
5
tgx = -~ 3'
cotgx = -~ 4'
5 5 secx= -- e cossecx = -
3 4
115) 4 3
116) trl X
118) ./5 cosa=-5
2./5 e sena=-
5 ou ./5 2./5 cosa= -- e sena= --
5 5
119) 3 5
121) m = 1 1t
e x= -3
Capítulo 8 123) a) sen 35º b) -<:OS 80" c) -sen 55º d)-cos 16º e) -sen 50" f) cos 35º
1t h)-cos~ i)-sen~ j)-cos~ k)-sen..!:. lt g) sen 10 5 4 6 10
l)cos 3
124) a)-sec20" b)-cossec~ 1t d)-cotg..!:. 9
c)tgS 10
e)-sec~ 4
f)-tg~ 6
g) -sen 10" h) cos40º
125) 0,80
126) a) tgx b) sen X c) 1-2 sen x
127) ±2./2
128) -3
Capítulo 9
132) a) ./6 +./2 4
b) ./6-./2 4
134) 3-4./3
10
136) a) -( 2+J3) b) 2+J3
137) 9+J3 3-3J3
138) 75 11
Respostas 165
139) ./2-1
142) 1 7
143) a) ./6-./2 4
b) 4./2-3./3 e) 2-./3
144) a) 120./2 +45 b) 50./2 -108 e) 54+25./2
119 119 7
145) 13./3 -24
23
146) 13 80
147) 1 7
150) a) 24 25
b) _..!...._ 25
e)_ 24 7
151) a) J3 2
b)O
152) 2 3
153) 4./5 9
155) a) b+./2 2
b) b-2./2
156) 24 7
161) a) 2 sen 40" cos 1 O" b) 2 sen 15º cos 55º
e) 2 cos 40" cos 20" d) -2 sen 50º sen 35º
163) a) 2 sen 75º cos 35º b) -2 sen 38° sen 38º
e) 2 cos 14º cos 6º d) 2 sen 15º cos 55º
t66
164) a) 2 sen 4x cos 2x
d) 2sen( 2x; 1t }os( 2x;1t)
165) 2 sen2 2x cos 2x
166) (2 cosx + 1). sen 2x
169) a) 2./3 · sen&f' 3cos50"
e) ./2 · sen55° coslO"
171) a)..!. 4
b) -2 sen Sx sen 2x
b) sen50" cos 70" cos 20"
d) ./2 · sen27º cosl8°
b) 2-./2 4
Capítulo 10
172) a) { x e IR 1 x = 761t + 2k1t ou x =
1 !1t + 2k1t}
b) {xe 1Rlx=2k1t}
C) {X E IR 1 X= k1t OU X= ~1t + 2k1t OU X= S31t + 2k1t}
d) {xe 1Rlx=i+k1t ou x=i+2k1t ou x= 561t +2k1t}
173) a) {xe IR lx =i+ 2k1t ou x = 561t + 2k1t}
e) {x e IR 1 x = 2k1t }
f) .ficos(~-x)
Respostas 16 7
175) a) {xe 1Rlx=i-+21ac ou x=~+2klt ou x= 5; +2k1t}
b) {x e IR 1x=lt+2k1t}
d) {xe 1Rlx=klt ou x=i+2k1t ou x= 231t +2k1t}
177) a) {xelRlx=i-+kJt ou x=±5;+2k1t}
b) {xe 1Rlx=2k1t ou x=i-+2k1t}
e) {xe IR 1x=2klt ou x =i+ 2k1t}
178) a) {xe 1Rlx= k: ou x=i-+klt}
b) xe 1Rlx=- ou x=-+-{ k1c ltklt} 2 8 4
{ 1t 2k1t 1t 2klt} e) xe 1Rlx=-+- ou x=-+-11 11 3 3
{ 2klt 2klt} d) xe 1Rlx=3 ou x=-
7-
179) { 1t klt 1t } a) xe IRlx=-+- ou x=+-+lac 8 4 -3
{ 2klt 1t } b) xe IRlx=-7- ou x= 2 +k7t ou x=7t+2k1t
Capítulo 11
181)
168
a).!: 3
e) O
183) a) { x e R 1 -2 :>: x :>: O }
b) { xe RI 1 SxS3}
e) { x e R l -2 Sx S-1 }
184) a) {2} b) { J34-2} e){~}
185) a).!!. 3
b) 511: 6
e) 31t 4
d) 1t
e).!!. 4
o_.!: 3
g)O h) .!: 6
186) a) {xe m1-3-sxs:M
b) { x e R 1 OS x :>: 1 }
c)R
d) {xem!x~M
187) a) {-~} b) HJ e) ~J3J d) { ;2}
189) a)! 5
b) JS 3
e) J1s 5
d) J3 3
e)O f) --f3
191) a) 3/5 +8 15
b)-1
192) {M
Capítulo 12
193) 4cm
195) a)5 b) /6+J2 2 e) 2(J3-1) d) 3J2
2
196) x= 16 e y 8(J3-1)
198) /i1 cm
199) a) 7 b) 4
Respostas 16 9
200) 4.fi e4Jl9
201) 5 + .fi
202) s.fi e .fi -
a= arcsenM com F2
203) 4./3 cm
205) 60"
t'
Bibliografia
Ayres Jr., Frank. Theory and Problems of First Year College Mathematics. New York, Schaum Publishing Co., 1958.
Boyer, Carl B. História da Matemática. São Paulo, Ed. Edgard Blücher Ltda., 1974.
Caraça, Bento de Jesus. Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa: Livraria Sá da Costa Editora, 1984.
Klaf, A. Albert. Trigonometry Refresher for Tecnical Men. New York, Dover Publications, Inc., 1956.
Lacaz Netto, F. A. Trigonometria. São Paulo: Livraria Nobel, 1967.
School Mathematics Study Group. Matemática, curso colegial. Vol. 1. São Paulo, Edart, 1966.
Revistas
Revistas do Professor de Matemática - n52 das revistas: 9, 15, 16, 20 e 29. São Paulo, Sociedade Brasileira de Matemática.
171
Série Eletrônica Analógica
Amplificadores Operacionais 212 Páginas• Código: 3168
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344 Páginas • Código: 3206
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Autores: Antonio C. de Lourenço, Eduardo C. A. Cruz, Sabrina R. Ferreira, Salomão Choueri Jr.
Série Eletrônica Digital
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Manual Didático de Circuitos Integrados · TIL 120 Páginas • Código: 2927
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Portas Lógicas e Circuitos Combinacionals 176 Páginas• Código: 2021
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Autores: Jan Novaes Recicar Sabrina Rodero Ferreira
Praticando Eletrônica Digital 328 Páginas• Código: 4318
Este livro serve como material de apoio ao livro de teoria Orcuitos Digitais, da Coleção Estude e Use, orientando alunos e professores na elaboração e execução de experiências de eletrônica digital, desde portas lógicas e circuitos combinacionais até circuitos seqüenciais e memórias. Desenvolvido pedagogicamente, ele procura fazer que os alunos aprendam a Interpretar e analisar circuitos digitais utilizando diversos circuitos Integrados comerciais. O livro é Indicado aos cursos técnicos de Eletrotécnica, Eletroeletrônica, Eletromêcanica e Informática Industrial.
Autores: Celso de Araújo William Soler Chui
Sistemas Numéricos e Álgebra Booleana 104 Páginas • Código 1939
Este livro aborda os sistemas numéricos decimal, hexadecimal e binário. A primeira parte mostra como fazer conversões entre eles e operações aritméticas. A segunda parte do livro aborda a lógica, desde as funções bâsicas até a simplificação de expressões booleanas, dando subsldios para o estudo da lógica combinacional e seqüencial. Nos vários exemplos, são usadas situações reais simplificadas, dando uma base para Implementação de sistemas de controle digitais.
Autor: Antonio Carlos de Lourenço
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Série Instalações Elétricas
Luminotécnica 120 Páginas• Código: 2978
Trata-se de um livro didático para o ensino das técnicas de iluminação de diversos ambientes diferentes, ao mesmo tempo em que é um pequeno manual de referência para o desenvolvimento de projetos luminotécnicos dos mais diversos portes como os residenciais, comerciais e industriais. Voltado para professores e alunos dos cursos técnicos de Eletrônica, Informática Industrial, Eletroeletrônica, Edificações e para estudantes dos primeiros anos dos cursos de Arquitetura e Engenharias Elétrica e Civil.
Autor: Ervaldo Garcia Júnior
Projetos de Instalações Elétricas Prediais 280 Páginas • Código: 4172
Este livro é indicado aos alunos de cursos técnicos e universidades, e aos profissionais que atuam na área de instalações elétricas prediais. Fornece normas e subsídios teóricos e práticos, voltados exclusivamente para o projeto completo de instalações elétricas prediais. Inclui diversos exemplos, visando à aplicação das normas e conceitos nele tratados.
Autor: Domingos Leite Uma Alho
Instalações Elétricas Prediais 456 páginas • Código: 5411
Este livro foi concebido com o objetivo de prover as informações técnicas, bem como os procedimentos de execução de instalações elétricas prediais. Os temas são apresentados de forma didática, partindo de conhecimentos básicos de eletricidade, geração de energia elétrica, utilização de ferramentas, luminotécnica, simbologias, instalação de interruptores, lâmpadas, tomadas, etc., dimensionamento da instalação e culminado com o desenvolvimento de um pequeno projeto residencial, com mais de 700 figuras. É indicado para professores e alunos dos cursos técnicos de Eletrotécnica, Eletromecânica, Eletroeletrônica, Edificações, Engenharia Elétrica, Civil e Arquitetura e para os profissionais que atuam na elaboração de projetos e execução de instalações elétricas.
Autores: Geraldo Cavalin e Severino Cervelin
Instalações Elétricas Prediais - Caderno de Atividades 208 páginas• Código: 542X
O livro apresenta, no início, uma coletânea de exercícios sobre instalações elétricas prediais, denominada Teste Diagnóstico, que tem como finalidade verificar os conhecimentos básicos do estudante. Na seqüência, há exercícios sobre dispositivos de comando de iluminação (condutores, proteção, eletrodutos e luminotécnica), com exemplos no início de cada capítulo. No último capitulo, é solicitado o desenvolvimento de um projeto residencial completo. É indicado para os cursos técnicos de Eletrotécnica, Eletromecânica, Eletroeletrônica, Edificações e para estudantes de Engenharia EIMrica, Ctvil e Arquitetura.
Autores: Geraldo Cavalin e Severino Cervelin
Série Mecânica
Elementos de Máquinas 320 páginas. Código: 5187
Este livro é "sui generis" ria Are.a técnica. Ele aborda assuntos de peso econômico na seleção de elementos de máquinas. Seguem-se as téaúcas para reduzir a flexão; a utilização de eixos vazados; projetos de acoplamentos; os rearsos do reboque e do levantamento de cargas usados pelas empresas l;lm geral; a redução e ampliação brutal de wlocidades das pequenas caixas, dos modernos engrenamentos epicicloidais; os envol\llentes traballos dirigidos, que muito auxílio trazem aos professores. Destinado a Cursos Técnicos, Faculdades, Centros de Treinamento Industrial entre outros.
Autores: Marcos AC. Freire e lzildo Antunes
Série Matemática
Análise Combinatória e Probabilidade 84 Páginas• Código: 2935
Estuda a análise combinatória e a probabilidade pelo desenvolvimento do pensamento lógico por meio do aprofundamento gradativo de situações-problema, evitando, ao máximo, a transcrição de fórmulas prontas, permitindo ao estudante buscar soluções próprias que são posteriormente formalizadas. Voltado para a disciplina de matemática do segundo grau, seja em cursos técnicos seja em cursos regulares.
Autores: Claudio Delfini, Geraldo José Sant'Anna
Exponencial e Logaritmos 112 Páginas• Código: 3532
Partindo da análise de potências e raízes, este livro estuda as funções exponencial e logarítmica, na forma aula-exercício-aula, envolvendo fenõmenos reais aos quais essas teorias se aplicam, facilitando a sua compreensão. Esta publicação está voltada para a disciplina de matemática do segundo grau, seja em cursos técnicos seja em cursos regulares.
Autores: Glaciete Jardim Zago, Walter Antonio Sciani
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Função do 12 Grau, Função do 2• Grau, Função Modular 180 Páginas• Código: 3214
Partindo dos conjuntos numéricos, este livro estuda as funções de primeiro grau, segundo grau e modulares, na forma aula-exercício-aula, facilitando a compreensão e aplicação delas a situações reais. É voltado para a disciplina de matemática do segundo grau, seja em cursos técnicos seja em cursos regulares.
Autores: Glaciete Jardim Zago, Walter Antonio Sciani
Introdução à Lógica 176 Páginas• Código: 3265
Apresenta uma abordagem elementar da lógica matemática, sendo destinado a alunos do segundo grau. Os temas estudados são: lógica proposicional, álgebra de Boole, proposições e conjuntos, argumentos, sentenças abertas e quantificadores. Os exercícios propostos procuram estimular o aluno ao cuidado e atenção necessários à linguagem formal.
Autora: Mareia Xavier Cury
Trigonometria 192 Páginas • Código: 4032
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Esta obra é feita na forma aula-exercícios-aula. Aborda: Trigonometria no Triãngulo Retângulo; Medidas de Arcos e Ângulo; Funções: Seno, Cosseno, Tangente, Cotangente, Secante, Co-secante; Relações Trigonométricas; Redução e Identidade; Transformações; Equações, FunçõesT rigonomét:ica.• Inversas, Triângulos Quaisquer. Destina-se a estudantes de matemática de 22 grau para os cursos técnicos ou regulares.
Autores: Glaciete Jardim Zago, Walter Antonio Sciani
Série Eletricidade
Circuitos Magnéticos 160 Páginas• Código: 377X
Por meio de uma abordagem científica, o livro trabalha conceituai e metodologicamente os fenômenos magnéticos e eletromagnéticos, até atingir seu maior objetivo, que são a análise e o projeto de circuitos magnéticos, como pré-requisitos para o estudo de máquinas elétricas. Voltado para estudantes de Eletrônica, Eletrotécnica, Eletroeletrônica e Informática Industrial, o livro é permeado de histórias dessa ciência, envolvendo pesquisas realizadas por Oersted, Ampere, Faraday e Henry, visando à formação de um profissional criativo e competente.
Autor: Giuseppe G. Massimo Gozzi
Praticando Eletricidade - Circuitos em Corrente Contínua 292 Páginas• Código: 4016
Este livro serve como material de apoio ao livro de teoria Circuitos em Corrente Contínua, da Coleção Estude e Use, orientando alunos e professores na elaboração e execução de experiências de eletricidade, desde os seus conceitos mais básicos de eletrostátíca e eletrodinâmica até a análise de circuitos em corrente continua e projetos de instrumentos de medidas elétricas.
Autor: Eduardo Cesar Alves Cruz
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1 Livro: TRIGONOMETRIA· Coleção Estude e Use ·Série Matemática 1 1 Autor: Glaciete Jardim Zago /Walter Antonio Sciani ISBN: 85·7194·403·2 1 1 1 1 Nome: 1 1 1 1 1 1 1 l 1 1 1 11 1 Endereço para correspondência: 1
: 1. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 q I Cidade: Estado: I
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1 1 H 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Data de Nascimento: 1 1 1 1 Empresa onde trabalha: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 E-mail: 1 1 1 1 l 1 1 1 1 1 1 1 1 1
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Objetivos:
1- Ensinar de um modo mais intuitivo e menos formal.
2- Desenvolver estruturas lógicas do pensamento.
3- Aplicar o ensino matemático na resolução de problemas práticos.
4- Colaborar com o desenvolvimento do raciocínio lógico do aluno.
5- Utilizar linguagem simples e direta na abordagem de cada assunto.
6- Enfatizar o processo de construção de conceitos.
Autores:
GLACIETE JARDIM ZAGO - Bacharel e Licenciada em Matemática, Professora do CEETEPS - E. T.E. Jorge Street.
WALTER ANTONIO SCIANI - Bacharel e Licenciado em Matemátfoa, Professor do CEETEPS - E.T.E. Lauro Gomes.
PUBLICAÇÕES ÉRICA, CLAREZA E OB.JETIVIDADE.
EDITORA ÉRICA L TOA. Rua Jarinu, 594 • Tatuapé • SP CEP: 03306-000 • Caixa Postal: 14.577 • São Paulo Fone: (011) 295-3066 •Fax: (011) 217-4060 Home Page: www.erica.com.br
ISBN: 85-7194-403-2
788571 944039