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RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

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TRIÂNGULO RETÂNGULO

Num triângulo retângulo, os lados perpendiculares, aqueles que formam um ângulo

de 90º, são denominados catetos e o lado oposto ao ângulo de 90º recebe o nome

de hipotenusa. O teorema de Pitágoras é aplicado ao triângulo retângulo e diz que:

hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos, h² = c² + c².


Observem os triângulos:

Os triângulos AHB e AHC são semelhantes, então podemos estabelecer algumas

relações métricas importantes:

h² = mn b² = ma c² = an bc = ah



APLICAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS

DIAGONAL DO QUADRADO

Dado o quadrado de lado l, a diagonal D do quadrado será a hipotenusa de um

triângulo retângulo com catetos l, com base nessa definição usaremos o teorema

de Pitágoras para uma expressão que calcula a diagonal do quadrado em função da

medida do lado.

DIAGONAL DO BLOCO RETANGULAR (PARALELEPÍPEDO)

Observe o bloco de arestas a, b e c, iremos calcular a diagonal (d), mas usaremos a

diagonal x da base em nossos cálculos. Veja:

x² = a² + b²

d² = x² + c²

substituindo, temos:



ALTURA DE UM TRIÂNGULO EQUILÁTERO

O triângulo PQR é equilátero, vamos calcular sua altura com base na medida l dos

lados. Ao determinarmos a altura (h) do triângulo PQR, podemos observar um

triângulo retângulo PHQ catetos: h e l/2 e hipotenusa h. Aplicando o teorema de

Pitágoras temos:



DIAGONAL DO CUBO (CASO PARTICULAR DO PARALELEPÍPEDO)

Considere o cubo um caso particular de um bloco retangular, então:

a = b = c = l

TRIANGULO RETÂNGULO (seno, cosseno e tangente)

Em um triângulo retângulo, seno, cosseno e tangente são definidos por:

PS triângulo retângulo em C:

Seno (em inglês e na maioria das linguagens de programação e calculadoras, sin):

Cosseno (em linguagens de programação e calculadoras, cos):

Tangente (na maioria das linguagens de programação e calculadoras, tan, mas

também é possível encontrar tang e tg):

Observando-se, na figura, que os ângulos A e B somam um ângulo reto.

( , em radianos), chega-se a:



Elementos de um triângulo retângulo

No triângulo retângulo ABC da figura acima, temos:



DEMONSTRANDO AS RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO

RETÂNGULO

VEJAMOS:



RELAÇÕES DAS SEMELHANÇAS DOS TRIÂNGULOS:

1) Através da relação de Euclides, podemos dizer que o quadrado da medida de um

cateto, é o mesmo que o produto da medida da hipotenusa através da medida da

projeção ortogonal deste mesmo cateto sobre a hipotenusa.



2) Através do Teorema de Pitágoras, podemos dizer que o quadrado da medida

da hipotenusa, é o mesmo que a soma dos quadrados das medidas dos catetos.

Logo, temos:



3) Há uma igualdade entre o quadrado da medida da altura relativa e o produto das

medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

Logo, temos:

4) O produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa

será igual ao produto das medidas dos catetos.

Logo, temos:



RESUMO DAS RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

No triângulo retângulo ABC da figura, onde BC = a, AC = b; AB = c; AH = h; BH =

m e CH = n, valem as seguintes relações, vejamos:



RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS (demonstrações) Considere um triângulo retângulo ABC. Podemos definir:

- Seno do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa do triângulo. senÊ = e/a senÔ = o/a



- Cosseno do ângulo agudo: razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa do triângulo. cosÊ = o/a cosÔ = e/a - Tangente do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente. tgÊ = e/o tgÔ = o/e Observe: senÊ = cosÔ, senÔ = cosÊ e tgÊ = 1/tgÔ, sempre Ê + Ô = 90º Exemplo:

senÔ = 3/5 = 0,6 senÊ = 4/5 = 0,8 cosÔ = 4/5 = 0,8 cosÊ = 3/5 = 0,6 tgÔ = 3/4 = 0,75 tgÊ = 4/3 = 1,333....

ÂNGULOS NOTÁVEIS Pode-se determinar seno, cosseno e tangente de alguns ângulos. Esses ângulos chamados de notáveis são: 30°, 45° e 60°. A partir das definições de seno, cosseno e tangente, vamos determinar esses valores para os ângulos notáveis. Considere um triângulo equilátero de lado l Traçando a altura AM, obtemos o triângulo retângulo AMC de ângulos agudos iguais a 30° e 60°. Aplicando as razões trigonométricas ao triângulo AMC temos:



Para obter as razões trigonométricas do ângulo de 45°, considere um quadrado de lado l. A diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos isósceles. No triângulo ABD, temos:



Observação: sen45° = cos45°

TABELA DOS ÂNGULOS NOTÁVEIS:

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