Teorema: O n total de subconjuntos ou partes de um conjunto com n elementos 2n.
Dem (mtodo de induo) Provar que a afirmao verdadeira para n=1. O n total de subconjuntos de um conjunto com 1 elemento 21. (Os nicos subconjuntos so o { } e o prprio conjunto.
Dem (mtodo de induo):
Provar que a afirmao verdadeira para n=1. O n total de subconjuntos de um conjunto com 1 elemento 21. (Os nicos subconjuntos so o { } e o prprio conjunto. Hiptese de induo: O n de subconjuntos de um conjunto com p elementos 2p. Tese: O n de subconjuntos de um conjunto com p+1 elementos 2p+1 Seja A um conjunto com p+1 elementos e B um subconjunto de A com p elementos. Seja a o elemento de A que no est em B. Por hiptese de induo, o conjunto B tem 2p subconjuntos que tambm so subconjuntos de A. Assim, 2px2= 2p+1 subconjuntos de A. Provamos que o teorema se verifica para n=1, admitimos a validade para p e provmos que vlida para p+1, logo universal em IN,
Mtodo de induo um processo demonstrar propriedades vlidas no conjunto IN.
Basta demonstrar 2 factos: 1) Mostrar que a propriedade vlida para n=1, para o 1 elemento do conjunto; 2) Provar que se a propriedade vlida para n ento tambm valida para n+1. (hereditariedade)
Exemplo: Verificar o teorema anterior para V={a,e,i,o,u} Quantos subconjuntos podemos formar com: 5C = 1 (vazio) 0 elementos 0 1 elemento? 2 elementos? 3 elementos? 4 elementos?5C = 1 5C 2 5C 3
5
= 10 = 10 5
5C = 4 5C = 5
5 elementos?
1 ( conj. V)
1 +5 + 10 +10 + 5 +1 = 32 = 25.5C 0
+ 5C1+ 5C2 + 5C3 + 5C4 + 5C5 = 25
TRINGULO DE PASCALO tringulo de Pascal um tringulo numrico dispondo-se nmeros inteiros em linhas de atravs do seguinte algoritmo: 1. Na linha 0, escreve 1; 2. Na prxima linha, linha 1, escreve o numero 1 duas vezes; 3. Na linha seguinte, linha 2, escreve o numero 1, um espao em branco, e novamente o nmero um. No espao em branco, soma os dois elementos imediamente acima; 4. Na linha 3, comea escrevendo o nmero 1, depois dois espaos em branco, e por fim o nmero 1 novamente. Em cada espao em branco, escreve a soma dos dois elementos imediatamente acima; 5. Continua o processo aumentando o nmero de espaos em branco a cada linha. O resultado desse algoritmo :
Preenchendo os espaos em branco temos
1
1
1 2 6
1
1
11 4
3
34
11
1 1
5 6 15
10
10
5 15 6
1 1
20
Os nmeros que constituem o tringulo de Pascal resultam do clculo dos valores de nCp, com n,p IN0 e 0pn.
Linhan=0 n=1 n=2 n=33C 4C 0 4C 2C 1C 0 2C 3C 1 4C 1C 0
1C
1
0
1 3C 2
2C
2 3C
2 4C
1 4C
n=4
0
1
3
3
O tringulo de Pascal pode apresentar-se da seguinte forma:
Linhan=00C 0
n=1 n=2
1C
0
1C
1
2C
0
2C
1
2C
2
n=3
3C
0
3C
1
3C
2
3C
1
n=4
4C
0
4C
1
4C
2
4C
3
4C
3
Nota:
nC tambm podem ser escritas k k
n
LINHA0 1 2 3 4 5 6 70 0 1 1 0 1 2 2 2 0 1 2
Coluna 0 Coluna 1
Coluna 2 Coluna 3Coluna 4 Coluna 5 Coluna 6 Coluna 7 Coluna 8
3 3 3 3 0 1 2 3 4 4 4 4 4 0 1 2 3 4 5 5 5 5 5 5 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 6 6 6 0 1 2 3 4 5 6 7 7 7 7 7 7 7 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8
8
Propriedades!) Soma dos elementos de uma linha
2)
nC
0=
1
nC
n=1
Todas as linhas comeam e acabam em 1 Esta propriedade est relacionada com a simetria existente em cada linha do tringulo
3)
nC
p=
nC
n-p
4)
nC + nC nC + nC n+1C n+1C p p p+1= p+1= p+1 p+1
Ex:7C + 7C = 8C 4 5 5
Esta propriedade permite obter os nmeros de cada linha atravs dosvizinhos de cima, somando dois nmeros consecutivos de uma linha obtm-se um nmero da linha seguinteA soma dos nmeros de cada linha o dobro da soma dos nmeros da linha anterior
5)
n
p 0
n+1C
p=
n
p 0
n+1C
p+1
6)
O n de elementos de uma linha n n+1
Aplicaes do Tringulo de Pascal ao estudo das Probabilidades
Lanamento de moedas
Cada fila do tringulo integra o nmero de possibilidades para cada um dos resultados da experincia
1 Moeda 2 Moedas 3 Moedas 4 Moedas EEE EE
1 1 1
1 2
E
N
1
5 Moedas
EEEEE EEEEN EEENN EENNN ENNNN NNNNN
1
EEEE NEEE
1
4
EEN
3
EN
5
10
EENN
6
NNE
3
NN
1
10
ENNN
4
NNN
1
NNNN
1
5
1
Perguntas:
1. O que indica o nmero sobre cada combinao de faces europeia e nacional?2. Se somarmos todos os valores de uma fila, o que indica esse resultado?
respostas:1. Indica o nmero de vezes que se repete essa combinao(recorda que no importa a ordem, s o nmero de faces europeia e nacional. Isto pode interpretar se como o total de possibilidades de obter uma determinada combinao. 2. Indica o total de combinaes possveis de obter ao realizar-se a experincia, ou seja, o nmero total de elementos presentes no espao amostral.
Binmio de Newton Dados a, b R e n N, a expresso (a + b)n chamada binmio de Newton.
De um modo geral, cada linha do Tringulo de Pascal d os coeficientes do desenvolvimento (a+b)n. (a+b)n = nC0 anb0+nC
1
an-1b1 +
nC
2
an-2b2 +.+
nC
p
an-p bp + nCn a0bn
Por exemplo, se quisermos saber o desenvolvimento de (x+y)4, olhando para a Linha 4, temos:
Calculadora Y1= 12 nCp X
2nd Table
Combinaes de 12 p a p