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3. 3. ESTRUTURA ESTRUTURA

CRISTALINA CRISTALINA -- AA

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ESTRUTURA CRISTALINAESTRUTURA CRISTALINA

3.1 INTRODUÇÃO3.1 INTRODUÇÃO

3.2 ORDENAÇÃO 3.2 ORDENAÇÃO DOS ÁTOMOSDOS ÁTOMOS

3.3 CÉLULA 3.3 CÉLULA UNITÁRIAUNITÁRIA

Sistema Cristalino/Rede de BravaisSistema Cristalino/Rede de Bravais

Fator de EmpacotamentoFator de Empacotamento

Número de CoordenaçãoNúmero de Coordenação

DensidadeDensidade

3.4 ALOTROPIA3.4 ALOTROPIA

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3.1 INTRODUÇÃO3.1 INTRODUÇÃO

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♦ As propriedades dos materiais sólidos cristalinos dependem da estrutura cristalina, ou seja, da maneira na qual os átomos, moléculas ou íons estão espacialmente dispostos.

Ex: magnésio e berílio que têm a mesma estrutura (HC) se deformam muito menos que ouro e prata (CFC) que têm outra estrutura cristalina.

♦ Explica a diferença significativa nas propriedades de materiais cristalinos e não cristalinos de mesma composição.

Ex: materiais transparentes, translúcidos, opacos.

A diferença no comportamento mecânico de um material sólido é definida no arranjo atômico, e conseqüentemente na sua estrutura cristalina.

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Cristal Vidro Gás

Ordem a longo alcance

Ordem a curto alcance

Sem ordenamento

Os materiais sólidos podem ser classificados de acordo com a regularidade na qual os átomos ou íons se dispõem em relação à seus vizinhos.

3.1 ORDENAÇÃO DE ÁTOMOS3.1 ORDENAÇÃO DE ÁTOMOS

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SemSem ordemordemAlguns polímeros podem ser inteiramente amorfos

se unem através do entrelaçamento de suas macromoléculas.

Polímero

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OrdemOrdem aa curtocurto alcancealcance♦ Ângulos, distâncias e simetria com ordenação a curto alcance (formam apenas uma estrutura reticular) .

♦ Ocorre no SiO2 , que apresenta uma orientação preferencial, e também em outros materiais vítreos.

materiais não-cristalinos ou amorfos

SiO2

Representação esquemática da estrutura de um vidro de silicato de sódio. Cada Na2O adicionados resulta ma formação

de dois oxigênios nas terminações tetraédricas da sílica

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OrdemOrdem aa longolongo alcancealcance

Material cristalino

Os átomos estão situados de acordo com uma matriz que se repete os átomos são ordenados em longas distâncias atômicas

formam uma estrutura tridimensional

rede cristalina

Metais, muitos cerâmicos e alguns polímeros formam estruturas Cristalinas sob condições normais de solidificação

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OrdemOrdem aa longolongo alcancealcance

⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ A rede cristalina é formada por um arranjo repetitivo de átomos.

REDEREDE: conjunto de pontos espaciais que possuem vizinhança idêntica.

⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Na rede a relação com vizinhos é constante:

- simetria com os vizinhos;

-distâncias define o parâmetro de rede aa(comprimento da aresta da célula unitária);

- ângulos entre arestas

PARÂMETROS PELOS QUAIS SE DEFINE UM CRISTAL

Exemplo esquemático de rede

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⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ CÉLULA UNITÁRIACÉLULA UNITÁRIA unidade estrutural básica, ou seja, unidade estrutural básica, ou seja, menor subdivisão da rede cristalina que retém as características de toda a rede.

3.3 CÉLULA UNITÁRIA3.3 CÉLULA UNITÁRIA

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⇒⇒ CÉLULA UNITÁRIACÉLULA UNITÁRIA Define a rede cristalina em virtude da geometria e das posição dos átomos em seu interior.

Existem diferentes tipos de células unitárias, que dependem da relação entre seus parâmetros de rede (arestas – a, b, c e ângulos - αααα, ββββ , γγγγ).

Exemplo de três diferentes tipos de estruturas cristalinas

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Existem 14 tipos diferentes de Redes de Bravais, agrupadas

em sete tipos de Estruturas Cristalinas (Sistemas Cristalinos).

Sistema Cristalino – esquema que classifica as estruturas cristalinas de acordo com a geometria da célula unitária. Essa geometria é especificada de acordo com o comprimento das arestas e os ângulos interaxiais.

Rede de Bravais – são as configurações básicas da disposição dos átomos em cada célula unitária da rede cristalina. Diferentes empacotamentos atômicos nos 7 diferentes tipos de redes cristalinas.

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Sete Sistemas CristalinosSete Sistemas Cristalinos

CÚBICO a = b = c αααα = ββββ = γγγγ = 90°

SISTEMA CRISTALINO RELAÇÃO AXIAL RELAÇÃO

ANGULAR GEOMETRIA DA CÉLULA UNITÁRIA

HEXAGONAL a = b ≠ c αααα = ββββ = 90°, γγγγ = 120°

TETRAGONAL a = b ≠ c αααα = ββββ = γγγγ = 90°

ROMBOÉDRICO a = b = c αααα = ββββ = γγγγ ≠ 90°

ORTORRÔMBICO a ≠ b ≠ c αααα = ββββ = γγγγ = 90°

MONOCLÍNICO a ≠ b ≠ c αααα = γγγγ = 90° ≠ ββββ

TRICLÍNICO a ≠ b ≠ c αααα ≠ ββββ ≠ γγγγ ≠ 90°

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Metais cristalizam preferencialmente:- hexagonal- CCC- CFC- CS →→→→ muito raro

7 Sistemas Cristalinos e 14 Redes de Bravais METAIS

Ligação metálica →→→→ não-direcional

Estrutura cristalina dos metais têm geralmente um número de vizinhos grande e alto empacotamento atômico.

Romboédrico

Hexagonal

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NúmeroNúmero dede átomosátomos porpor célulacélula unitáriaunitária

⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ É o número específico de pontos da rede que define cada célula unitária.

- Átomo no vértice da célula unitária cúbica: partilhado por sete células unitárias em contato

somente 1/8 de cada vértice pertence a uma célula particular.

- Átomo da face centrada:partilhado por duas célulasunitárias

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NúmeroNúmero dede átomosátomos porpor célulacélula unitáriaunitáriaExemplo: Determine o número de átomos da rede cristalina por célula no sistema cristalino cúbico.

Resposta:

CSCS n° pontos da rede = 8(cantos) *1 = 1 átomocélula unitária 8

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NúmeroNúmero dede átomosátomos porpor célulacélula unitáriaunitáriaExemplo: Determine o número de átomos da rede cristalina por célula no sistema cristalino cúbico.

Resposta:

CCCCCC n° pontos da rede = 8(cantos)*1 + 1 (centro)= 2 átomoscélula unitária 8

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NúmeroNúmero dede átomosátomos porpor célulacélula unitáriaunitáriaSISTEMA CRISTALINO CÚBICO – Cúbico de Corpo Centrado

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NúmeroNúmero dede átomosátomos porpor célulacélula unitáriaunitáriaExemplo: Determine o número de átomos da rede cristalina por célula no sistema cristalino cúbico.

Resposta:

CFCCFC n° pontos da rede = 8(cantos)*1 + 6 (faces)*1= 4 átomoscélula unitária 8 2

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NúmeroNúmero dede átomosátomos porpor célulacélula unitáriaunitáriaSISTEMA CRISTALINO CÚBICO – Cúbico de Face Centrado

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NúmeroNúmero dede átomosátomos porpor célulacélula unitáriaunitária

CSCS 1 átomo

CCCCCC 2 átomos

CFCCFC 4 átomos

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RelaçãoRelação entreentre raioraio atômicoatômico ee parâmetroparâmetro dede rederede

⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒Determina-se primeiramente como os átomos estão em

contato contínuo (suas direções compactas).

⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Geometricamente, a temperatura ambiente, determina-se a

relação entre o raio atômico (r) e o parâmetro de rede (ao).

Parâmetros de rede - descrevem o tamanho e o formato da célula unitária (incluem arestas e ângulos).

Raio atômico de um elemento - é definido como a metade da distância entre os núcleos de dois átomos vizinhos.

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RelaçãoRelação entreentre raioraio atômicoatômico ee parâmetroparâmetro dede rederedeExemplo: Determine a relação entre o raio atômico e o parâmetro da rede cristalina para as células unitárias do sistema cristalino cúbico (CS, CFC, CCC).CÚBICO SIMPLESCÚBICO SIMPLES

aaoo = 2r= 2r

Contato entre os átomos ocorre através da aresta da célula unitária

ao = r + r

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RelaçãoRelação entreentre raioraio atômicoatômico ee parâmetroparâmetro dede rederede

aaoo = = 4r4r√√22

Contato entre os átomos ocorre através da diagonal da face da célula unitária

dface2 = ao

2 + ao2

(4r)2 = 2ao2

Exemplo: Determine a relação entre o raio atômico e o parâmetro da rede cristalina para as células unitárias do sistema cristalino cúbico (CS, CFC, CCC).

CÚBICO DE FACE CENTRADACÚBICO DE FACE CENTRADA

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RelaçãoRelação entreentre raioraio atômicoatômico ee parâmetroparâmetro dede rederede

CÚBICO DE CORPO CENTRADOCÚBICO DE CORPO CENTRADO

aaoo = = 4r4r√3√3

Contato entre os átomos ocorre através da diagonal do cubo da célula unitária

dcubo2 = ao

2 + dbase2

(4r)2 = 3ao2

Exemplo: Determine a relação entre o raio atômico e o parâmetro da rede cristalina para as células unitárias do sistema cristalino cúbico (CS, CFC, CCC).

A

B

C

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RelaçãoRelação entreentre raioraio atômicoatômico ee parâmetroparâmetro dede rederede

Fe CCCFe CCC

Exemplo: O raio atômico do ferro é 1,24 A. Calcule o parâmetro de rede do Fe CCC e CFC.

ao = 4r31/2

ao = 4 x 1,24 = 2,86 A31/2

Fe CFCFe CFC

ao = 4r21/2

ao = 4 x 1,24 = 3,51 A21/2

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FatorFator dede empacotamentoempacotamento

⇒ O Fator de Empacotamento Atômico é a fração de volume da célula unitária efetivamente ocupada por átomos, assumindo que os átomos são “esferas rígidas”.⇒ Estas “esferas” empilham-se com a mínima perda de espaço para formar uma estrutura compacta e estável.

FE = FE = (n(n°° átomos / célula) * volume cada átomoátomos / célula) * volume cada átomovolume da célula unitáriavolume da célula unitária

Sendo: Volume dos átomos = Volume da esfera= 4ππππr3/3Volume da célula unitária = Volume cubo (sistema cúbico) = a3

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FatorFator dede empacotamentoempacotamento

As esferas da primeira camada, A, tocam seus seis vizinhos. As esferas da segunda camada (superior), camada B, encontram-se nas depressões da primeira camada.

11 22

As esferas da terceira camada encontram-se nas depressões da segunda camada, que não estão diretamente sobre os átomos da primeira camada.

Se denominarmos esta terceira camada de C, a estrutura tem um padrão ABCABC, de camadas para dar uma estrutura CFC.

As esferas da primeira camada, A, tocam seus seis vizinhos. As esferas da segunda camada (superior), camada B, encontram-se nas depressões da primeira camada.

Fonte: UEMG

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FatorFator dede empacotamentoempacotamento

CCCCCC FE = (2 átomo / célula) * (4ππππr3/3) ao

3

FE = (2 átomo / célula) * (4ππππr3/3) = 0,680,68(4r/31/2)3

CFCCFC FE = (4 átomo / célula) * (4ππππr3/3)ao

3

FE = (4 átomo / célula) * (4ππππr3/3) = 0,740,74(4r/21/2)3

CSCS FE = (1 átomo / célula) * (4ππππr3/3)ao

3

FE = (1 átomo / célula) * (4ππππr3/3) = 0,520,52(2r)3

Exemplo: Calcule o fator de empacotamento do sistema cúbico.

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NúmeroNúmero dede coordenaçãocoordenação⇒ O número de coordenação é o número de vizinhos mais próximos de um átomo, depende:

- covalência: o número de ligações covalentes que um átomo pode compartilhar;- fator de empacotamento da rede cristalina: há liberação de energia quando os átomos ou íons são aproximados (até o equilíbrio).

Um material se torna mais estável se os átomos forem arranjados de uma forma mais fechada e as distâncias interatômicas reduzidas.

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NúmeroNúmero dede coordenaçãocoordenação

NC = 6CÚBICO CÚBICO

SIMPLESSIMPLES

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NúmeroNúmero dede coordenaçãocoordenação

CÚBICO DE CÚBICO DE CORPO CORPO CENTRADOCENTRADO

NC = 8

Ex.:Fe, Cr, W, Na, K...

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NúmeroNúmero dede coordenaçãocoordenação

CÚBICO CÚBICO DE FACE DE FACE CENTRADACENTRADA

NC = 12

Ex.: Al, Cu, Ag, Au, Pb, Ni, Fe...

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DensidadeDensidade

⇒ A densidade de um cristal pode ser calculada usando-se as propriedades da estrutura cristalina.⇒ A densidade é uma propriedade intensiva, então a densidade de uma amostra de um metal é também a densidade da menor unidade característica do sólido, uma única célula unitária⇒ Por meio da densidade do metal, é possível, às vezes, distinguir a sua estrutura cristalina, pelo menos entre empacotamentos compactos hexagonais e cúbico de corpo centrado.

ρρρρρρρρ = = (n(n°° átomos / célula)*(massa atômica de cada átomo) átomos / célula)*(massa atômica de cada átomo) = m= m

(volume da célula unitária) * (n(volume da célula unitária) * (n°° de Avogadro) vde Avogadro) v

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DensidadeDensidade

ρρρρ = (2 átomos / célula)*(55,85 g/g.mol)(23,55 10-24 cm3/célula) * (6,02 1023 átomos/g.mol)

ρρρρ = 7,879 g/cm3

Átomos/célula = 2 átomos Massa atômica = 55,85 g/g.molVolume da célula unitária = a0

3 = 23,55 10-24 cm3/célula Número de Avogadro = 6,02 1023 átomos/g.mol

Exemplo: Determine a densidade do Fe CCC, que tem um a0 de 2,866 A.

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CS CCC CFC

Átomos Número de Parâmetro Fator de

por célula coordenação de rede empacotamento

CS 1 6 2R 0,52CCC 2 8 4R/(3)1/2 0,68

CFC 4 12 4R/(2)1/2 0,74

ResumoResumo dada estruturaestrutura cúbicacúbica

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⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒Metais não cristalizam no sistema hexagonal simples,o fator de empacotamento é muito baixo

⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Cristais com mais de um tipo

de átomo podem cristalizar nestesistema

EstruturaEstrutura hexagonalhexagonal simplessimples

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EstruturaEstrutura hexagonalhexagonal compactacompacta⇒ O número de coordenação (NC) deste sistema é 12, pois cada átomo toca 3 átomos no seu nível inferior, seis no seu próprio plano e mais três no nível superior ao seu, resultando em um.⇒ O fator de empacotamento é o mesmo que o CFC (0,74).⇒ Ex.: Mg e Zn

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⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Alguns metais e não-metais podem ter mais de uma estrutura

cristalina dependendo da temperatura e pressão..

Materiais de mesma composição química podem

apresentar estruturas cristalinas diferentes são denominados

de alotrópicos ou polimórficos.

⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒Geralmente as transformações polimórficas são acompanhadas de

mudanças na densidade e mudanças de outras propriedades físicas.

3.4 ALOTROPIA 3.4 ALOTROPIA OU TRANSFORMAÇÕES OU TRANSFORMAÇÕES POLIMÓRFICASPOLIMÓRFICAS

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Carbono grafite hexagonal

diamante cúbico(uma das formas)

Fe CCC

CFC

Titânio αααα - existe até 883ºC, apresenta estruturahexagonal compacta e é mole.

ββββ - existe a partir de 883ºC, apresenta estrutura CCC e é dura.

SiC (chega ter 20 modificações cristalinas)

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Tambiente FeCCC, NC 8FE 0,68

910°C FeCFCNC 12FE 0,74

1390°C FeCCC

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O ferro passa de CCC para CFC a 912 ºC. Nesta temperatura, os raiosatômicos nas duas estruturas são respectivamente, 0,126nm e0,129nm. Qual a percentagem de variação volumétrica provocada pelamudança de estrutura?“Para este cálculo foi tomado como base 4 átomos de ferro, ou seja, 2 células

unitárias CCC (por isso Vccc= 2a3, uma vez que na passagem do sistema CCC

para CFC há uma contração de volume e um aumento de densidade) e 1

célula unitária CFC.”VCCC = 2a3

aCCC = 4R/(3)1/2

VCCC = 0,0493 nm3

VCFC = a3

aCFC = 2R (2)1/2

VCFC = 0,0486 nm3

∆∆∆∆V/V = (0,0486 - 0,0493)/0,0493 = - 0,014∆∆∆∆V% = 1,4%

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3. 3. ESTRUTURA ESTRUTURA

CRISTALINA CRISTALINA -- BB

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44

3.5 ESTRUTURA CRISTALINA NOS METAIS3.5 ESTRUTURA CRISTALINA NOS METAIS

3.6 DIREÇÕES NO CRISTAL3.6 DIREÇÕES NO CRISTAL

3.7 PLANOS NO CRISTAL3.7 PLANOS NO CRISTAL

3.8 ÍNDICES DE MILLER PARA CÉLULA HEXAGONAL3.8 ÍNDICES DE MILLER PARA CÉLULA HEXAGONAL

3.9 DIFRAÇÃO DE RAIOS3.9 DIFRAÇÃO DE RAIOS--XX

ESTRUTURA ESTRUTURA CRISTALINA CRISTALINA -- BB

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SistemaSistema cúbicocúbico

SistemaSistemahexagonalhexagonalcompactocompacto

3.5 ESTRUTURA CRISTALINA NOS METAIS3.5 ESTRUTURA CRISTALINA NOS METAISOs metais cristalizam preferencialmente em sistemas cúbico

(CCC, CFC) ou hexagonal (HC).

CCCCCC CFCCFC

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Características gerais de metais comunsCaracterísticas gerais de metais comuns

Estrutura a0 x R átomos NC FE Metaispor célula Típicos

CS a0 = 2R 1 6 0,52 Po

CCC a0 = 4R/31/2 2 8 0,68 Fe, Ti (ββββ), W, Mo, Nb, Ta, K, Na, V, Cr, Zr

CFC a0 = 4R/21/2 4 12 0,74 Fe, U, Al, Au, Ag, Pb, Ni, Pt

HC a0 = 2R 6 12 0,74 Ti (αααα), Mg, Zn c0 = 1,633 a0 Be,

Co, Zr, Cd

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3.6 DIREÇÕES NO 3.6 DIREÇÕES NO CRISTALCRISTALCoordenadasCoordenadas dosdos pontospontos

⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Pode-se localizar os pontos das posições atômicas da célula unitária cristalina construindo-se um sistema de eixos coordenados.

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DireçõesDireções dada célulacélula unitáriaunitária

ÍNDICES DE MILLER PARA DIREÇÕES:

1. Definir dois pontos por onde passa a direção

2. Definir o ponto alvo e origem, fazendo-se: ALVO-ORIGEM

3. Eliminar as frações e reduzir ao m.m.c.

4. Escrever entre colchetes, e se houver n° negativo o sinal é colocado

sobre o n°.

[h k l][h k l]

x y z

Índices de Miller: usados para descrever o conjunto Índices de Miller: usados para descrever o conjunto de direções e planos existentes num cristal.de direções e planos existentes num cristal.

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Exemplo: Determine os Índices de Miller das direções A, B e C, da

figura abaixo.Direção A:1. alvo= 1, 0, 0; origem= 0, 0, 02. alvo - origem = 1, 0, 03. sem frações4. [1 0 0]

Direção B:1. alvo= 1,1,1; origem= 0, 0, 02. alvo - origem = 1, 1, 13. sem frações4. [1 1 1]

DireçõesDireções dada célulacélula unitáriaunitária

Direção C:1. alvo= 0, 0, 1; origem= 1/2, 1, 02. alvo - origem = -1/2, -1, 13. 2 (-1/2, -1, 1) = -1, -2, 24. [1 2 2]

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Considerações:• A simetria da estrutura permite que as direções equivalentes sejam agrupadas para formar uma família de direções:<100> para as faces<110> para as diagonais das faces<111> para a diagonal do cubo

•A direção [222] é idêntica à direção [111]. Assim sendo, a combinação dos menores números inteiros deve ser usada.

DireçõesDireções dada célulacélula unitáriaunitária

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No sistema CCC os átomos se tocam ao longo da diagonal do cubo, que corresponde

a família de direções {111}. Neste caso, a direção [111] é a de maior empacotamento

atômico para este sistema.

[111][111]

DireçõesDireções dada célulacélula unitáriaunitária

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No sistema CFC os átomos se tocam ao longo da diagonal da face, que corresponde a

família de direções {110}. Portanto, a direção [110] é a de maior empacotamento

atômico para este sistema.

[110]

[011]

DireçõesDireções dada célulacélula unitáriaunitária

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⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒Outra maneira de caracterizar as direções é através do fator de empacotamento e da densidade linear.

DENSIDADE LINEAR: É o número de átomos por unidades de comprimento.

ρρρρρρρρLL = número de átomos= número de átomosunidade de comprimentounidade de comprimento

DireçõesDireções dada célulacélula unitáriaunitária

O vetor direção está direcionado de forma a passar através dos centros dos átomos, e a fração do comprimento da linha que é interceptada por estes átomos é igual a densidade linear.

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Exemplo: Calcular a densidade linear, em Å, na direção [1 0 0] para o

potássio. Dados: K - CCCr - 0,2312 nm

ρρρρL = n° átomosunid comprimento

ρρρρL = ½ + ½ = 1ao 4r/√3

ρρρρL = 0,1837 átomos/Å

DireçõesDireções dada célulacélula unitáriaunitária

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⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Um cristal possui planos de átomos que influenciam as propriedades e o comportamento de um material.

⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒Os Índices de Miller também são determinados para planos.

ÍNDICES DE MILLER PARA PLANOS:

1. Definir três pontos onde o plano corta x, y e z.

2. Calcular os recíprocos dos valores obtidos.

3. Eliminar as frações sem reduzir ao m.m.c.

4. Escrever entre parênteses, e se houver n° negativo o sinal é colocado sobre este n°.

OBS.: Se o plano passar pela origem, desloque-a. (h k l)(h k l)x y z

3.7 PLANOS NO 3.7 PLANOS NO CRISTALCRISTAL

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Exemplo: Determine os Índices de Miller para os planos A, B e C da figura

abaixo. Plano A:1. 1 1 12. 1/1 1/1 1/13. Não tem frações4. (1 1 1)

Plano B:1. 1 2 ∞2. 1/1 1/2 1/∞3. 2 1 04. (2 1 0)

Plano C: passa pela Plano C: passa pela origemorigem

(x’, y’, z’)(x’, y’, z’)1. 1. ∞∞ --1 1 ∞∞2. 1/ ∞ 1/-1 1/∞3. 0 -1 04. (0 1 0)

PlanosPlanos

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Planos (010)• São paralelos aos eixos x

e z (paralelo à face do cubo)

• Cortam um eixo (neste exemplo: y em 1 e os eixos x e z em ∞∞∞∞)

• 1/ ∞∞∞∞, 1/1, 1/ ∞∞∞∞ = (010)

PlanosPlanos CristalinosCristalinos

Fonte: Eleani Maria da Costa DEM/PUCRS

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Planos (110)• São paralelos a um eixo (z)

• Cortam o cubo através de dois eixos ( x e y) passampela diagonal vertical do cubo

• 1/ 1, 1/1, 1/ ∞∞∞∞ = (110)

PlanosPlanos CristalinosCristalinos

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Planos (111)

• Cortam o cubo através de 3 eixos cristalográficos passam pela diagonal inclinada do cubo

• 1/ 1, 1/1, 1/ 1 = (111)

PlanosPlanos CristalinosCristalinos

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Planos paralelos são equivalentes tendo os mesmos índicesPlanosPlanos CristalinosCristalinos

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DENSIDADE PLANAR: É o número de átomos pela área do plano.

ρρρρρρρρPP = número de átomos no plano= número de átomos no planoárea do planoárea do plano

PlanosPlanos CristalinosCristalinos

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Exemplo: Calcule a densidade planar para o plano (0 1 0) para o sistema cúbico simples do polônio, o qual tem a0 = 3,34 10-8 cm.

ρρρρplanar = n° átomosárea

ρplanar (0 1 0) = 1 átomo = 8,96. 1014 átomos/cm2

ao2

(010)

(020)

PlanosPlanos

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⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Direções na célula unitária hexagonal

[h k i l][h k i l]

⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Eixos: a1 a2 a3 c

3.8 ÍNDICES DE MILLER PARA CÉLULA 3.8 ÍNDICES DE MILLER PARA CÉLULA HEXAGONALHEXAGONAL

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ÍndicesÍndices dede MillerMiller parapara aa CélulaCélula HexagonalHexagonal

Exemplo 13: Determine os índices de Miller para os planos A e B e para as direções C e DExemplo 13: Determine os índices de Miller para os planos A e B e para as direções C e D

Plano A:1. ∞ ∞ ∞ 12. 1/ ∞ 1/ ∞ 1/ ∞ 1/13. 0 0 0 14. (0 0 0 1)

Plano B:Plano B:1. 1 1 -1/2 12. 1/1 1/1 -2/1 1/13. 1 1 -2 14. (1 1 -2 1)

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ÍndicesÍndices dede MillerMiller parapara aa CélulaCélula HexagonalHexagonal

Direção C:1. alvo= 0, 0, 0, 1; origem= 1, 0, 0, 02. alvo - origem = -1, 0, 0, 13. sem frações4. [1 0 01]

Direção D:1. alvo= 0, 1, 0, 0; origem= 1, 0, 0, 02. alvo - origem = -1, 1, 0, 03. sem frações4. [1 1 0 0]

Exemplo 13: Determine os índices de Miller para os planos A e B e para as direções C e DExemplo 13: Determine os índices de Miller para os planos A e B e para as direções C e D

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DISTÂNCIA INTERPLANAR: É a distância de dois planos com mesmos índices de Miller – relaciona os índices de Miller com o parâmetro de rede.

D D (h, k, l)(h, k, l) = = aa00

(h(h22 + k+ k22 + l+ l22))1/21/2

Para o sistema cúbico

PlanosPlanos

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Exemplo: Calcule a distância interplanar entre dois planos adjacentes

(1 1 1) no ouro, que tem a0 = 4,0786 Å.

d (h, k, l) = a0

(h2 + k2 + l2)1/2

d (111) = 4,0786 A = 2,355 Å

(12 + 12 + 12)1/2

PlanosPlanos

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FAMÍLIA DE PLANOS {110} é paralelo a um eixo

⁄⁄⁄⁄⁄⁄⁄⁄ z

⁄⁄⁄⁄⁄⁄⁄⁄ y

⁄⁄⁄⁄⁄⁄⁄⁄ x

Contém todos os planos que são cristalograficamente equivalentes, ou seja, possuem o mesmo empacotamento atômico.

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⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ A simetria do sistema cúbico faz com que a família família de planos tenha o mesmo arranjo e densidade

⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Deformação em metais envolve deslizamento de planos atômicosDeslizamento ocorre mais facilmente nos planos e direções de maior densidade atômicaCCC

Família de planos {110}: maior densidade atômicaFamília de planos que passa pela diagonal vertical do cubo

CFCFamília de planos {111}: maior densidade atômicaFamília de planos que passa pela diagonal inclinada do cubo

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UTILIZAÇÃO PRÁTICA DOS PLANOS E UTILIZAÇÃO PRÁTICA DOS PLANOS E DISTÂNCIAS INTERPLANARESDISTÂNCIAS INTERPLANARESDifração de raios XDifração de raios X

• Para detecção de elementos e moléculas emmateriais

Uma das técnicas utilizadas é a do Pó: o material a ser analisado encontra-se na forma de pó (partículas finasorientadas ao acaso) que são expostas a um raio X monocromático.O grande número de partículas com orientação diferenteassegura que a lei de Bragg seja satisfeita para algunsplanos cristalográficos

nλ= 2 dhkl.senθLEI DE BRAGGLEI DE BRAGG

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Distância interplanar - válido para sistema cúbico

O Fenômeno de Difração: Quando um feixe de raios x é dirigido à um material cristalino, esses raios são difratados pelos planos dos átomos ou íons dentro do cristal.

nλ= 2 dhkl.senθ

LEI DE BRAGGLEI DE BRAGG

λ - comprimento de onda

n - número inteiro de ondas

d - distância interplanar

θ - ângulo de difração com a superfíciedhkl= a

(h2+k2+l2)1/2

3.9 DIFRAÇÃO DE RAIOS3.9 DIFRAÇÃO DE RAIOS--XX

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• T= fonte de raios X• S= amostra

• C= detector

• O= eixo no qual a amostra e o detector giram

Detector

Fonte

Equipamento: Difratômetro

Difração de raios X têm diferentes comprimentos de onda

2θθθθ = ângulo de difração (ângulomedido experimentalmente)

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λλλλ = 0,1542nm (CuKαααα)

Exemplo Exemplo –– pó de Alpó de Al

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Exemplo Exemplo –– Al AA6056Al AA6056

Imagem de alto contraste de pequenos precipitados intragranularese padrão de difração selecionado no plano (001).

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Exemplo: Uma amostra de ferro CCC foi colocada num difractômetrode raios X incidentes com λλλλ= 0,1541nm. A difração pela família de planos {110} ocorreu para 2θθθθ= 44,704o. Calcule o valor do parâmetro de rede do ferro CCC (considere a difração de 1a ordem, com n=1).

Solução:

d[110]

2θθθθ= 44,704o θθθθ= 22,352o

λλλλ= 2.d[hkl] sen θθθθd[110]= λλλλ / 2 sen θθθθ = 0,1541nm / 2(sen 22,35o) = 0,2026 nm

ao(Fe)

d[110]= ao / (h2+k2+l2)0,5

ao(Fe)= d[110]= ao / (h2+k2+l2)0,5 = 0,2026nm (1,414) = 0,287 nm

nλ= 2 dhkl.senθ

LEI DE BRAGGLEI DE BRAGG