AGG.0305 Teoria de Ondas Ssmicas e Estrutura da Terra

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4. Equao da Onda Ssmica Ondas Planas (verso 14/03/2014) Vamos deduzir inicialmente a equao da onda P plana, que um caso simples, e depois generalizar para a equao da onda ssmica em meios homogneos e isotrpicos. Onda Plana qualquer onda cujos deslocamentos e partcula so iguais em todos os pontos de qualquer plano perpendicular direo de propagao (Fig. 4.1). Isso significa que, para uma onda propagando-se na direo x, qualquer atributo da onda (deslocamento, velocidade de partcula, dilatao, tenso, energia, etc.) depende unicamente da coordenada x.

Fig. 4.1. Onda plana P: os deslocamentos variam apenas com x. Numa onda plana P propagando-se na direo x, como os deslocamentos no variam com y ou z, no haver deformaes lineares nas direes y ou z, (yy=zz=0) mas unicamente xx.

Fig. 4.2 Onda plana P: cada partcula se desloca apenas na direo x (A -> A; B -> B). O deslocamento u =u(x), e portanto apenas xx 0. A relao entre deformao linear e tenso normal (Lei de Hooke) ser ento:

pxx = ( xx + yy + zz) + 2 xx = ( + 2) xx [ eq. 4.1]

O deslocamento de qualquer partcula ser funo apenas de x: u = f(x)

xx =ux =

ux

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Equao da onda P plana

Fig. 4.3. Tenses normais na passagem de uma onda P. u o deslocamento do centro de gravidade do elemento. 3a. Lei de Newton: Aplicando para a onda P da Fig. 4.3, teremos foras na direo x =massa x acelerao tenso x rea = densidade x volume x 2u/t2

pxx .y.z = .x.y.z. 2ut 2

pxxx =

2ut 2

pxxx =

2ut 2

Lei de Newton [eq. 4.2] A Lei de Newton para um corpo : fora = massa x acelerao do corpo. Esta mesma lei pode ser expressa para um ponto: gradiente de tenso = densidade x acelerao da partcula. Substituindo a tenso pxx na Lei de Newton (eq. 4.2) pela expresso da Lei de Hooke (eq. 4.1), obtemos a equao da onda P:

2ut 2 =

( + 2)

2ux 2

ou 2ux 2 =

1V 2

2ut 2

Equao de onda plana com velocidade de propagao V. Neste caso da onda P,

V = + 2

. Note que a equao de onda resulta da combinao de uma lei geral da Fsica (3a. Lei de Newton) com uma lei experimental (Lei de Hooke). Nos casos em que a aproximao linear da lei de Hooke no mais vlida, a equao de onda pode ficar bem mais complexa.

Na passagem de uma onda no haver mais equilbrio esttico e qualquer elemento de volume estar sujeito a uma fora resultante causando aceleraes da partcula (ou do elemento de volume). A Fig. 4.3 mostra as tenses normais na propagao de uma onda P na direo x.

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Exerccios 4.1. Use a Lei de Newton e a Lei de Hooke para deduzir a equao da onda S propagando-se na direo x, com deslocamentos v na direo y. Note que os deslocamentos variam apenas com x ! Dica: Use a Fig. 2.7 (captulo de Deformaes) e expresse as tenses de cisalhamento em cada lado do cubo ABCD; lembre que as tenses variam com a posio x e que o elemento de volume ter uma acelerao na direo y. 4.2. Mostre que qualquer funo onde a posio, x, e o tempo, t, esto na forma f ( x + V t ) ou f ( x - V t ) satisfazem a equao de onda

2ux 2 =

1V 2

2ut 2

4.3. Uma onda P harmnica e plana, propaga-se na direo x com velocidade c. Os deslocamentos so dados por: u = A cos ( k x - t ), onde k = nmero de onda = 2/ (= comprimento de onda), e = 2/T = frequncia angular; T = perodo. Mostre que = c T, e que c = / k

a) deduza a expresso da densidade de energia cintica. b) Deduza a expresso da densidade de energia potencial e mostre que ela igual densidade de energia cintica. (Dica: use o resultado do exerccio 3.6 do captulo de Lei de Hooke).