CAP. VI – DIFERENCIAÇÃO E INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
6.1 DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA
Em muitas circunstâncias, torna-se difícil obter valores de derivadas de
uma função:
derivadas que não são de fácil obtenção;
Exemplo (calcular a 2ª derivada):
f(x) = exp (( x + ln (sin (x2 + arctan (1+x3)1/2)) +1)) x )
de não se conhecer a expressão analítica da função, sendo esta
definida num número finito de pontos.
MÉTODOS NUMÉRICOS
Acetato 1- Diferenciação e Integração Numérica
Seja f(x) uma função contínua com derivadas contínuas até à ordem n+1 no
intervalo [a,b] , e xi , i = 0, ..., n , pontos do intervalo [a,b].
DERIVADAS DE 1ª ORDEM:
Consideremos o polinómio interpolador de Newton de 1º grau que
interpola f(x) nos nós x0 e x1:
)0x.(x10y0y(x)1p −∇+=
então, [ ]1x,0xf10y(x)'
1p =∇=
e, se ( ) ( ) ( ) ( )xpxfxpxf '1
'1 ≈⇒≈ , portanto
[ ]0x1x
)0f(x)1f(x 1x,0xf 1
0y (x)'1p (x)'f
−
−==∇=≈
Fazendo x=x0,
[ ]0x1x
)0f(x)1f(x 1x,0xf 1
0y )0(x'f−
−==∇≈
Sendo h = x1 – x0 , podemos escrever
[ ]
h
10y
10y 1x,0xf )0(x'f
∆=∇=≈
EXEMPLO:
Calcular a 1ª derivada da função f(x)=exp(sinx) no ponto x = 0.5 com h=0.01.
Acetato 2- Diferenciação e Integração Numérica
DERIVADAS DE 2ª ORDEM: Consideremos o polinómio interpolador de Newton de 2º grau que
interpola f(x) nos nós x0, x1 e x2:
)1x-)(x0x.(x2
0y)0x.(x10y)0f(x (x)2p = −∇+−∇+
Então, [ ]2x,1x,0xf22
0y2(x)''2p ⋅=∇⋅=
Fazendo x = x0 [ ] 2x,1x,0xf2 2
0y2 )0(x''f ⋅=∇⋅≈
Se os pontos forem igualmente espaçados h = x1 – x0 = x2 – x1, temos
[ ]2h2
)0f(x)1f(x2)2f(x 2 x,1x,0xf
⋅
+⋅−= ou [ ]
2h2!
20y2
0y 2 x,1x,0xf⋅
∆=∇=
donde [ ]
2h
)0f(x)1f(x2)2f(x 2 x,1x,0xf2 )0(x''f
+⋅−=⋅≈
ou [ ]2h
20y2
0y2 2 x,1x,0xf2 )0(x''f∆
=∇⋅=⋅≈
EXEMPLO:
Calcular a 2ª derivada da função f(x)=exp(sinx) no ponto x = 0.5 com h=0.01.
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR:
Generalização desta técnica ao cálculo de derivadas de ordem superior !!
Acetato 3- Diferenciação e Integração Numérica
6.2 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
Se uma função f(x) é contínua no intervalo [a,b], e a sua primitiva F(x) é
conhecida, o integral definido daquela função entre a e b pode ser
calculado pela fórmula fundamental do cálculo integral:
∫ −==b
a)a(F)b(Fdx )x(fI
No entanto, em muitos casos, o processo anterior pode ser complexo ou
mesmo não ser possível, devido ao facto:
de a primitiva de f(x) não ser conhecida ou de fácil obtenção;
de não se conhecer a expressão analítica da função, sendo esta
definida num número finito de pontos.
MÉTODOS NUMÉRICOS
A técnica utilizada consiste em substituir a função integranda f(x) por um
polinómio pn(x) que aproxime f(x) no intervalo [a,b] :
∫ ∫≅=b
a
b
an xpdxxfI dx )( )(
Os métodos numéricos que vamos estudar pertencem ao grupo das
FÓRMULAS DE NEWTON-CÔTES:
Utilizam valores de f(x), onde os pontos são igualmente espaçados
Acetato 4- Diferenciação e Integração Numérica
6.2.1 REGRA DOS TRAPÉZIOS ANALITICAMENTE: Seja f uma função com derivadas contínuas até à 2ª ordem em [a, b] e
p1 o polinómio de grau 1 interpolador de f nos pontos a e b. Para a obtenção desta fórmula é utilizado o polinómio de Gregory-Newton de 1º grau:
z.y0y)x(1p 01∆+=
Assim,
dx (x)pdx f(x)Ib
a1
b
a∫∫ ≅= .
Para se aproximar a função f(x) por um polinómio de 1º grau, são
necessários 2 pontos: x0 e x1. Efectuando uma mudança no intervalo de
integração, isto é, passando do intervalo [a,b] para [x0, x1], tem-se:
( )dx .zy∆0y(x)dxpdx (x)p1x
0x0
11x
0x1
b
a1 ∫∫∫ +== .
Fazendo a mudança de variável h
xxz 0−=
h.dzdx xz.h x 0 =⇒+=⇔ e
0z h
xxz xx 000 =⇔
−=⇒=
1hhz
hxxz xx 01
1 ==⇔−
=⇒= ,
obtemos
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +=+≅ ∫ 0
10
1
0
20
10
1
00
10 y∆
21yh .zy∆
21zyh.h.dz ..zy∆yI
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+≅⇒= 01001y y
21y
21yh. I y-y∆ Como
0
Acetato 5- Diferenciação e Integração Numérica
( )10 yy.2h I +≅ Fórmula dos Trapézios
ou
( ))b(ff(a).2
a)-(b I +≅
ou
( ))x(f)f(x.2
x-x I 1001 +≅
GRAFICAMENTE :
Pelos dois pontos do extremo do intervalo faz-se passar uma recta e o
integral de f(x) é aproximado pela área sob esta recta (área de um trapézio).
Acetato 6- Diferenciação e Integração Numérica
ERRO DE TRUNCATURA :
A diferença entre o integral exacto de f(x) (área sob a curva f(x)) e o
integral aproximado (área do trapézio) é o erro de integração.
Para se determinar o erro cometido ao utilizar a regra dos trapézios, basta
integrar o erro de truncatura da aproximação polinomial:
( ) ba ,2!
f1)z.(zhe ' '
2T <ξ<
ξ−=
Integrando,
( )
∫ −=2!
1)hE1
0
' '2
T h.dzfz.(z ξ
Como z.(z - 1) não muda de sinal em ]a, b[, pelo teorema do valor médio
para integrais,
onde ∈η ]a, b[ ( )
( ) ( ) ( )η−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −η=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−η=
η ∫
' '3
' '31
0
23' '
3
1
0
2 ' 3
f12h
21
31 f
2h
2z
3zf
2!h
dz (z2!
= ' z)-fh
Como h = b – a vem:
( ) ( ) ba ,f
12hf
12a)(bE ' '
3' '
3
T <η<η−=η−
−=
ou
( ) xf maxM ,M
12hM
12a)(bE ' '
bxa22
3
2
3
T≤≤
==−
≤
Acetato 7- Diferenciação e Integração Numérica
EXEMPLO:
Calcular o seguinte integral, pela regra dos trapézios, e determinar uma
estimativa para o majorante do erro cometido. Calcular o integral
analiticamente e o erro absoluto cometido.
∫=3.6
3.0dx
x1I
Acetato 8- Diferenciação e Integração Numérica
FÓRMULA COMPOSTA DA REGRA DOS TRAPÉZIOS:
Uma forma para melhorar o resultado obtido utilizando a regra dos trapézios é
dividir o intervalo [a, b] em n subintervalos [xi, xi+1] de amplitude
na-bh =
e a cada subintervalo aplicar a regra dos trapézios.
GRAFICAMENTE:
ANALITICAMENTE:
( ) )y(y2h...)y(y
2hyy.
2h I n1n2110 ++++++≅ −
OU ( )n1-n210 y2y...2y2yy.2n
a)-(b I +++++≅ Fórmula dos Trapézios Composta
( )n1-n210 y2y...2y2yy.2h I +++++≅
Acetato 9- Diferenciação e Integração Numérica
ERRO DE TRUNCATURA:
O erro total cometido é a soma dos erros cometidos na aplicação da
fórmula dos trapézios a cada um dos subintervalos (h = )n
ab − .
( ) ( ) ] [f
12f
12E
i
'
i
''T ∈η−= ∑∑ i x,x ,hh
i1-in
1
' 3n
1
3
η−=η==
ii
Pelo teorema do valor médio para somas finitas,
( ) ( ) ( ) ( ) ] [ba, ,fn1ff1f ' 'n
1i
n
1i
' '' 'n
1i
' ' ∈ηη⋅=⋅η=η⋅=η ∑∑∑===
ii
Assim, ( ) ] [ ba, , fn
12hE ' '
3
T ∈ηη⋅⋅−=
( ) ( ) ] [ba, ,f h12
a)(bf12.n
a)(bE ' '2' '2
3
T ∈ηη−
=η−
−=
ou
( ) xf M ,Mh
12a)(bM
12.na)(bE ' '
bxa22
222
3
T max≤≤
=−
=−
≤
EXEMPLO:
Calcular o integral utilizando a regra dos trapézios composta considerando
seis subintervalos. Determinar uma estimativa para o majorante do erro
cometido e o erro absoluto cometido.
∫=3.6
3.0dx
x1I
Acetato 10- Diferenciação e Integração Numérica
6.2.2 PRIMEIRA REGRA DE SIMPSON
ANALITICAMENTE:
Para a obtenção desta fórmula é utilizado o polinómio de Gregory-Newton
de 2º grau:
)1.z.(z2
0y2∆z0y(x)2P .y∆ 0
1 −++=
Assim,
∫ ∫≅=b
a
b
a2 dx (x)p dx f(x) I
Para se aproximar a função f(x) por um polinómio do 2º grau, são
necessários 3 pontos: x0, x1 e x2, igualmente espaçados.
Efectuando uma mudança no intervalo de integração, isto é, passando de
[a,b] para [x0, x2], tem-se:
∫∫∫ −++==2
0
2
0
x
x0
1x
x2
b
a2 )dx 1).z.(z
20y2∆
.zy∆0y ((x)dxpdx (x)p
h.dzdx xh.zx
hxx
00 =⇒+=⇔
−z =Como
e,
2h2hz
hxxz bxx
0z h
xxz axx
022
000
==⇔−
=⇒==
=⇔−
=⇒==
Acetato 11- Diferenciação e Integração Numérica
temos que
zh.d z.yyI2
00
10 )1z.(z.
20y2
∫ −∆
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡+∆+≅
Integrando, obtém-se:
)y∆
312y2(h I 0
20
10 +∆+≅ y
Sabe-se que:
01201120102
010
2)()(y
y
yyyyyyyyy
yy
+−=−−−=∆−∆=∆
−=∆
Logo,
GRAFICAMENTE:
Primeira Regra de Simpson ou Regra do 1/3
)y4y(y3h I
)y2y(y31)y2(y12yh I
210
01200
++≅
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−+−+≅
x0=a x h
Y=f(x)
)f(x0)
Acetato 12- Diferenciaç
f(x1
1 x2=b
h
f(x2)
ão e Integração Numérica
A primeira regra de Simpson utiliza a área sob uma parábola para
aproximar a área sob a curva em dois intervalos adjacentes.
ERRO DE TRUNCATURA:
Tal como para a regra dos trapézios, para se determinar o erro cometido ao
utilizar a primeira regra de Simpson, basta integrar o erro de truncatura da
aproximação polinomial ( e ter em conta que h = 2
ab − ).
( ) ( ) bηa ),η(f
90h)η(f
90.2)ab(E 4
54
5
5
T <<−=−
−=
ou
( ) xf maxM ,M
90hM
2880a)(bE (4)
bxa44
5
4
5
T≤≤
==−
≤
NOTA: Era de esperar que tal como a regra dos trapézios é exacta para polinómios
de grau 1, a regra de Simpson fosse exacta para polinómios de grau 2 ou
menor.
Pela fórmula do erro, a 1ª regra de Simpson fornece valores exactos não só
para o integral de polinómios de grau 2, mas também, para polinómios de
grau 3 (derivada de 4ª ordem é nula).
Acetato 13- Diferenciação e Integração Numérica
FÓRMULA COMPOSTA DA PRIMEIRA REGRA DE SIMPSON: ANALITICAMENTE:
Para obter a fórmula composta deve dividir-se o intervalo de integração
[a,b] em n subintervalos iguais de amplitude h e a cada par de subintervalos
aplicar a primeira regra de Simpson.
Nota: Como a regra de Simpson simples é aplicada a pares de
subintervalos, o número de subintervalos tem que ser par e cada
subintervalo tem amplitude h = n
ab − .
Obtém-se então:
)yy4y2 .. .y2y4y2y4y(3hI
)yy4y(3h ... )yy4y(
3h )yy4y(
3hI
n1n2n43210
n1n2n432210
++++++++≅
+++++++++≅
−−
−−
Primeira Regra de Simpson Composta -
ERRO DE TRUNCATURA:
O erro total cometido pela primeira regra de Simpson composta é a soma
dos erros cometidos na aplicação da regra de Simpson simples a cada par
de subintervalos.
( ) ( ) ( ) ( ) ] [ b a, ,.fh180
a)(b f180.n
a)(b E 4444
5
T ∈ηη−
−=η−
−=
ou ( ) xf maxM ,.Mh
180a)(bM
180.na)(bE (4)
bxa44
444
5
T≤≤
=−
=−
≤
Acetato 14- Diferenciação e Integração Numérica
EXEMPLO:
Calcular o valor de utilizando a primeira regra de Simpson ∫+
em 4 subintervalos.
=Π2
dx41
0 x1
Acetato 15- Diferenciação e Integração Numérica
6.2.3 SEGUNDA REGRA DE SIMPSON Para a obtenção desta fórmula é utilizado o polinómio de Gregory-Newton
de 3º grau:
)2.(z)1.z.(z6
0y3∆)1.z.(z
20y2∆
.zy∆0y(x)3P 01 −−+−++=
Assim,
∫ ∫≅=b
a
b
a3 dx (x)p dx f(x) I
Para se aproximar a função f(x) por um polinómio do 3º grau (n=3), são
necessários 4 pontos: a=x0, x1, x2 e x3=b, igualmente espaçados (h=3
ab − ).
Integrando, obtem-se:
Segunda Regra de Simpson ou Regra dos 3/8
)3y23y130y(
83h I +++≅ y
ERRO DE TRUNCATURA:
Para se determinar o erro cometido ao utilizar a segunda regra de Simpson,
basta integrar o erro de truncatura da aproximação polinomial ( e ter em
conta que h = 3
ab − ).
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] [ b a, ,f6480
abf80h3E 4
54
5
T ∈ηη⋅−
−=η⋅−=
ou
( ) ( ) xf maxM ,M6480
abM80h3E (4)
bxa44
5
4
5
T≤≤
=⋅−
=⋅≤
Acetato 16- Diferenciação e Integração Numérica
FÓRMULA COMPOSTA DA SEGUNDA REGRA DE SIMPSON: ANALITICAMENTE:
Para obter a fórmula composta deve dividir-se o intervalo de integração
[a,b] em n subintervalos iguais de amplitude h e a cada conjunto de três
subintervalos aplicar a segunda regra de Simpson.
Nota: Como a regra de Simpson é aplicada a conjuntos de três
subintervalos, o número total de subintervalos pode ser ímpar ou par.
Obtém-se então:
)yy3y3y(
8h3 ...
... )yy3y3y(8h3 )yy3y3y(
8h3I
n1n2n3n
65433210
++++
++++++++≅
)yy3y3y2 .. .y3y2y3y3y(8h3I n1n2n3n43210 +++++++++≅ −−−
-
EXEMPLO:
−−−
Segunda Regra de Simpson Composta
Calcular o integral ( )∫ ++4
1
x3 dx1exln aplicando a 2ª regra de Simpson
com 3 e 9 subintervalos.
Acetato 17- Diferenciação e Integração Numérica
Acetato 18- Diferenciação e Integração Numérica
Acetato 19- Diferenciação e Integração Numérica
Acetato 20- Diferenciação e Integração Numérica
Acetato 21- Diferenciação e Integração Numérica