Análise e Projeto de Sistemas de Controle pelo Métododo Lugar das Raízes
Saulo Dornellas
Universidade Federal do Vale do São Francisco
Juazeiro - BA
Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 1 / 44
Análise do Lugar da Raízes
A resposta transitória depende da localização dos pólos de malhafechada
Como os pólos de malhada fechada se movem no plano-s à medida queo ganho de malha varia?
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Análise do Lugar da Raízes
Os pólos de malha fechada são as raízes da equação característica
Método do Lugar das Raízes:permite que as raízes da equação característica sejam representadosgraficamente para todos os valores de um parâmetro do sistema
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Método do Lugar da Raízes
C(s)R(s)
=G(s)
1+ G(s)H(s)
Equação característica:
1+ G(s)H(s) = 0⇔ G(s)H(s) = −1
Condição angular
∠(G(s)H(s)) = ±180◦(2k +1) (k = 0,1,2, . . .)
Condição de módulo|G(s)H(s)| = 1
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Método do Lugar da Raízes
Lugar das raízesLugar dos pontos no plano-s que satisfaz a condição angular
Considere G(s)H(s)
G(s)H(s)=K(s+ z1)(s+ z2) . . . (s+ zm)
(s+ p1)(s+ p2) . . . (s+ pn)
onde k > 0 é o ganho
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Passos para obtenção do Lugar das Raízes e Exemplo
1 Localizar os pólos e zeros de G(s)H(s) no plano-s
2 Determinar os trechos do lugar das raízes no eixo real
3 Determinar as assíntotas do lugar das raízes
4 Determinar os pontos de partida e os de chegada do eixo real
5 Determinar o ângulo de partida de um pólo complexo (ou de chegada aum zero complexo) do lugar das raízes
6 Determinar os pontos onde o lugar das raízes pode cruzar o eixoimaginário
7 Obter uma série de pontos de teste na região próxima à origem doplano-s e esboçar o lugar das raízes
8 Determinar os pólos de malha fechada
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1. Localizar os pólos e zeros de G(s)H(s) no plano-s
Os ramos se iniciam nos pólos de malha aberta e terminam nos zeros demalha aberta (finitos ou infinitos)
O lugar das raízes é sempre simétrico em relação ao eixo real
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Exemplo
Considere o sistema
G(s)H(s) =K
s(s+1)(s+2)
-2 -1
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2. Determinar os trechos do lugar das raízes no eixo real
Os pólos e zeros complexos de malha aberta não influenciam os trechosdo lugar das raízes no eixo real
Se o número de pólos reais e zeros reais à direita do ponto de teste forímpar, então o ponto de testes pertence ao lugar das raízes
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Exemplo
-2 -1 s
∠(s)+∠(s+1)+∠(s+2) = 0◦
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Exemplo
-2 -1 s
∠(s)+∠(s+1)+∠(s+2) = 180◦
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Exemplo
-2 -1s
∠(s)+∠(s+1)+∠(s+2) = 360◦
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Exemplo
-2 -1s
∠(s)+∠(s+1)+∠(s+2) = 3·180◦ = 180◦
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Exemplo
-2 -1
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3. Determinar as assíntotas do lugar das raízes
G(s)H(s) =K(s+ z1)(s+ z2) . . . (s+ zm)
(s+ p1)(s+ p2) . . . (s+ pn)
Ângulo das assíntotas
±180◦(2k +1)
n−m(k = 0,1,2, . . .)
Ponto de interseção das abscissas no eixo real
−(p1 + p2+ . . .+ pn)− (z1 + z2+ . . .+ zm)
n−m
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Exemplo
G(s)H(s) =K
s(s+1)(s+2)
Ângulo das assíntotas
±180◦(2k +1)
3−0= ±60◦(2k +1) (k = 0,1,2, . . .)
Ponto de interseção das abscissas no eixo real
−(0+1+2)− (0)
3−0= −1
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Exemplo
Assíntotas
-1
60◦
60◦
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4. Determinar os pontos de partida e os de chegada do eixoreal
-2 -1
Ponto de partida
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4. Determinar os pontos de partida e os de chegada do eixoreal
Exprimir K em função de s na equação característica
Os pontos de partida e os de chegada do eixo real são raízes de
dKds
= 0
Observação:Nem todas as raízes serão pontos de partida e chegadaÉ necessário que pertençam ao lugar das raízes no eixo real
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Exemplo
G(s)H(s) =K
s(s+1)(s+2)
Equação característica:
Ks(s+1)(s+2)
= −1⇒ k = −s3−3s2−2s
dKds
= 0⇒−3s2−6s−2 = 0⇒ s = −1±√
33
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Exemplo
s =−1±√
33
-2 -1
−1+√
33
−1−√
33
Somente −1+√
33 pertence ao lugar das raízes no eixo real
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5. Determinar o ângulo de partida de um pólo complexo (oude chegada a um zero complexo) do lugar das raízes
Tomar um ponto de teste nas proximidades de um pólo complexo (ouzero complexo)
As contribuições angulares de todos os pólos e zeros devem satisfazer acondição angular
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Exemplo
φ′1−(
θ1 + θ′2)
= ±180◦(2k +1)
ou
θ1 = 180◦−θ′2+φ′1 = 180◦−θ2+φ1
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6. Determinar os pontos onde o lugar das raízes podecruzar o eixo imaginário
Duas maneiras:Critério da estabilidade de Routh
k?
Fazendo s = jω na equação característica, e resolver para ω e k
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Exemplo
Equação característica Ks(s+1)(s+2) +1= 0⇒ s3 +3s2 +2s+ k = 0
Critério de Routh:
s3 1 2s2 3 Ks1 2− K
3 0s0 K
O lugar das raízes pode cruzar oeixo imaginário para
2− K3
= 0⇒ K = 6
Usando a equaçãoauxiliar da linha s2
3s2 + K = 0⇒⇒ 3s2 +6 = 0⇒
⇒ s = ± j√
2
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Exemplo
Fazendo s = jω na equação característica
( jω)3 +3( jω)2 +2( jω)+ K = 0⇒⇒− jω3−3ω2 +2 jω+ K = 0⇒
⇒{
−ω3 +2ω = 0−3ω2 + K = 0
⇒{
ω = 0,±√
2K = 3ω2
Para ω = 0, K = 0 é inadmissível
Para ω = ±√
2, K = 6
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Exemplo
j√
2
− j√
2
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7. Obter uma série de pontos de teste na região próxima àorigem do plano-s e esboçar o lugar das raízes
Duas maneiras:Manualmente, observando-se a condição angularAtravés do MatLab (função rlocus)
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Exemplo
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Gráfico do lugar das raízes de G(s) = k/[s(s+1)(s+2)]
Eixo real
Eix
o im
agin
ário
j√
2
− j√
2
−1+√
33
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8. Determinar os pólos de malha fechada
A condição de módulo permite encontrar o valor de K relativo a qualquerponto específico do lugar das raízes
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Exemplo
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Gráfico do lugar das raízes de G(s) = k/[s(s+1)(s+2)]
Eixo real
Eix
o im
agin
ário
k = 6
k = 6
k = 2√
33
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Projeto de Sistemas de Controle pelo Método do Lugar dasRaízes
Requisitos dos sistemas de controleRequisitos da resposta transitóriaRequisitos em regime permanente
Projeto pelo Lugar das raízesAlterar o lugar das raízes pela adição de pólos e zeros na função detransferência de malha abertaO novo lugar das raízes deve passar pelos pólos de malha fechadadesejados
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Projeto de Sistemas de Controle pelo Método do Lugar dasRaízes
Ajustar o ganhoNem sempre permite o desempenho desejadoMelhora o regime permanente, mas torna o sistema pouco estável, ou atémesmo instável
Reprojetar o sistemaModificação de sua estruturaAdição de um compensador
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Esquemas de compensação
Compensação em série
Compensação em paralelo
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Efeitos da adição de pólos
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Efeitos da adição de zeros
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Compensador avanço de fase
Gc(s) = Kcs+ 1
T
s+ 1αT
= Kcs+ zs+ p
onde α < 1 e consequentemente p > z
Técnica:Considere um sistema
instávelou estável, mas com resposta transitória insatisfatória
Modificar o lugar das raízes para que um par de pólos dominantes demalha fechada passe pela posição desejada no plano-s
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Compensador atraso de fase
Gc(s) = K̂cs+ 1
T
s+ 1βT
onde β > 1
Técnica:Considere um sistema
com resposta transitória satisfatóriae com resposta em regime permanente insatisfatória
Aumentar o ganho de malha abertasem alterar sensivelmente as características da resposta transitória
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Compensador atraso de fase
Para evitar uma alteração significativa do lugar das raízesA contribuição angular do compensador atraso de fase deve ser pequena
−5◦ < ∠
(
s+ 1T
s+ 1βT
)
< 0◦
É possível alocar o pólo e o zero próximos um do outro e da origem doplano-s.Para um pólo dominante de malha fechada s = s1,
|Gc(s1)| = |K̂cs1 + 1
T
s1 + 1βT
| = K̂c|s1 + 1
T
s1 + 1βT
| = K̂c|s1 + 1
T ||s1 + 1
βT |∼= K̂c
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Compensador atraso de fase
Fazendo K̂c = 1As características da resposta transitória não serão alteradasO ganho resultante da função de transferência de malha aberta pode seraumentado por um fator β > 1Sistema não compensado
Kv = lims→0
sG(s)
Sistema compensado
K̂v = lims→0
sGc(s)G(s) = lims→0
Gc(s)Kv = K̂cβKv
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Compensador atraso e avanço de fase
Gc(s) = Kc
(
s+ 1T1
s+ γT1
)(
s+ 1T2
s+ 1βT1
)
onde γ > 1 e β > 1
Consideramos Kc pertencente à porção de avanço de fase
Técnica:Melhorar tanto a resposta transitória quanto a resposta em regimepermanente
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Compensação em paralelo
Na compensação em série
C(s)R(s)
=Gc(s)G(s)
1+ Gc(s)G(s)H(s)
Equação característica 1+ Gc(s)G(s)H(s) = 0
Dados G(s) e H(s), o problema de projeto é a determinação de Gc(s)
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Compensação em paralelo
Na compensação em paralelo
C(s)R(s)
=G1(s)
G2(s)1+G2(s)Gc(s)
1+ G1(s)G2(s)
1+G2(s)Gc(s)H(s)
=G1(s)G2(s)
1+ G2(s)Gc(s)+ G1(s)G2(s)H(s)
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Compensação em paralelo
Equação característica
1+ G2(s)Gc(s)+ G1(s)G2(s)H(s) = 0⇒ 1+ Gc(s)G2(s)
G1(s)G2(s)H(s)= 0
Fazendo
G f (s) =G2(s)
G1(s)G2(s)H(s)
Temos 1+ Gc(s)G f (s) = 0
O projeto de Gc(s) é o mesmo que no caso da compensação em série
Dornellas (UNIVASF) Juazeiro - BA 44 / 44