UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIADepartamento de Engenharia Civil - DECIV
Faculdade de Engenharia CivilDisciplina: Análise de Estruturas I
ANÁLISE DE ESTRUTURAS I
PÓTICOS OU QUADROS COM
BARRAS CURVAS
Profª.: Msc. Lívia Maria Palácio Ribeiro
INTRODUÇÃO
Definição:
Em uma barra curva, o eixo x do referencial de
definição dos esforços seccionais é tangente ao eixo
geométrico da barra. Consequentemente, em cada seção
transversal, o esforço normal tem vetor representativo
tangente a esse eixo e o esforço cortante é um vetor de linha
de ação que contém o centro de curvatura da barra. E de
modo semelhante à barra reta, há relações diferenciais entre os
esforços seccionais.
INTROUDÇÃO Ç2 3 4 5 6
Por simetria, as reações verticais em A e B são
iguais a P/2 e temos, então, numa seção genérica S, definida
pelo ângulo θ, os seguintes esforços simples são:
Como se trata de uma barra circular os intervalos
de variações entre as seções serão tratadas como ângulos de 0
a π/2.
INTRODUÇÃO 2 3 4 5 6
INTRODUÇÃO
cos2
cos
2
cos12
cos
PVN
senP
senVQ
PRRRVM
As
As
As
As equações acima são válidas, apenas, para
seções no trecho AC, pois em C surge uma carga concentrada
que modificaria estas expressões para θ>π/2.
Devido à simetria existente, não precisamos,
entretanto, instituir as equações para o trecho CB, obtendo
então os diagramas indicados nas figuras a seguir, todos eles
marcados perpendicularmente ao eixo da barra.
OBS: estes diagramas são traçados,
evidentemente, por pontos.
INTRODUÇÃO 2 3 4 5 6
θ M Q N
0 0 0 -0,5 P
30º 0,0669 PR 0,25 P -0,43 P
60º 0,25 PR 0,43 P -0,25 P
90º 0,5 PR 0,5 P 0
Cargas horizontais (passando pela linha AB)
Seja um carregamento horizontal aplicado no
ponto B, desenha-se o diagrama a partir da reta horizontal AB,
levando-se em conta que o momento atuante numa seção
genérica vale Ms= 10˟y = y, tracionando as fibras superiores,
ele será delimitado pelo próprio eixo da barra.
INTRODUÇÃO 2 3 4 5 6
Arcos triarticulados
Os arcos favorecem o uso de materiais de
reduzida resistência à tração, e são adequados quando se deseja
vencer grandes vãos com belas formas arquitetônicas.
O arco triarticulado é constituído de uma
barra curva ou poligonal situada em um plano vertical,
com uma rótula interna, dois apoios do segundo gênero e
sob forças neste plano, de maneira que se comporte
como pórtico plano isostático.
INTRODUÇÃO 2 3 4 5 6
Arcos triarticulados
Considera-se inicialmente o arco triarticulado sob
força vertical horizonatalmente distribuídas conforme mostra a
figura abaixo.
INTRODUÇÃO 2 3 4 5 6
A parte mais elevada do arco é denominada fecho,
a distância entre os apoios é a corda, a projeção horizontal
dessa corda é o vão denotado por l e a distância vertical entre
essa corda e um ponto interno do arco é dinominado flecha,
denotada pela letra f.
Para melhor entendimento, representa-se para
essa figura uma viga biapoiada auxiliar, de vão e força aplicada
iguais aos do arco representado, chamada de viga de subistituição.
INTRODUÇÃO 2 3 4 5 6
Portanto, para o cálculo das reações de apoio de
esforços internos solicitantes, tem-se:
Observa-se que as Reações de apoio do arco são iguais as da viga
de substituição, desse modo, tem-se:
INTRODUÇÃO 2 3 4 5 6
i
BiiBiBAbA
Ayx
PVxPVLPVVHH
MFF
reaçõesdeCálculo
000
:
f
MHfHM
outranaequaçãoumasubstituirpodemosiguaissãoreaçõesasComo
xLPLVM
ãosubstituiçdevigaDa
xLPfHLV
nuloérótulanafletormomentoM
gg
iii
L
iAg
iii
L
iA
esq
G
0
,
0
0
11
11
.
Para os esforços internos de uma seção S,
distantes de x do ponto A, temos:
Todavia, da viga de substituição, tem-se:
onde φ encontra-se a partir de y(x):
tgφ = dy/dx; sendo dada a curva y(x)
que define o arco.
INTRODUÇÃO 2 3 4 5 6
yHxxPxVM
HsenPVN
senHPVQ
i
i
i iAS
i
i iAS
i
i iAS
1
1
1
cos
cos
yHMM
HsenVN
senHVQ
SS
SS
SS
cos
cos
Arcos triarticulados
Considera-se agora cargas verticais
com linhas de fechamento inclinada.
A resultante das reações Va e Vb
dos apoios do 2º gênero são
decompostas em duas direções,
vertical e paralela a AB
(conforme mostra a figura).
α= ângulo que AB faz com o eixo x.
INTRODUÇÃO 2 3 4 5 6
Arcos triarticulados
Analogamente ao que foi visto para linha de fechamento
horizontal, será utilizado o artifício da viga de fechamento para
o cálculo das reações verticais e esforços internos solicitantes
em uma seção genérica S.
INTRODUÇÃO 2 3 4 5 6
L
PVxPVLPVVHHH
MFF
reaçõesdeCálculo
iBiiBiBAbA
Ayx
'
000
:
Arcos triarticulados
O momento na rótula será:
INTRODUÇÃO 2 3 4 5 6
.0'
1cos0
0cos'
:log
:,
0cos'
0
11
11
..
nteanteriormeencontradaequaçãoaequivalefHM
para
fHM
o
xLPLVM
temosãosubstituiçdevigaDa
xLPfHLV
MM
g
g
iii
L
iAg
iii
L
iA
dir
G
esq
G
Para os esforços internos de uma seção S, y
medido a partir da linha de fechamento AB:
Pela viga de substituição, tem-se:
INTRODUÇÃO 2 3 4 5 6
cos'
cos'
'cos
1
1
1
yHxxPxVM
HsenPVN
senHPVQ
i
n
i iAS
n
i iAS
n
i iAS
cos'
cos'
'cos
yHMM
HsenVN
senHVQ
SS
SS
SS
Utilizando-se as linnhas de pressões, iguala-se as
equações de momento a zero
Forma do arco que coincide com a linha de
pressões do carregamento, para a qual o arco está submetido
apenas a esforço normal. Mostraremos que Qs será sempre
nulo também. Derivando a equação do cortante em relação à
x:
INTRODUÇÃO 2 3 4 5 6
cos'
0cos'
H
My
yHMM
S
SS
cos'
cos'
Hdx
dyQ
H
Q
dx
dy
s
s
Levando-se em conta que y= Y-y*
Portanto, se Ms=0, logo Qs=0
INTRODUÇÃO 2 3 4 5 6
0'cos'cos'
'coscos'
;tan,log
*
senHsenHsenHQ
senHtgtgHQ
tecordoequaçãonadosubstituino
tgtgdx
dy
dx
dY
dx
dy
S
S
Nesse caso o único esforço atuante é o esforço
normal (Ns), que pode ser obtido
INTRODUÇÃO 2 3 4 5 6
22cos'' HsenHVN SS
Que é o resultado da projeção de H' nas direções
horizontal e vertical, seguida do cálculo da resultante vetorial,
em módulo, da composição das forças horizontais e verticais à
esquerda da seção S, na direção normal à seção (Ns será de
compressão para arcos com concavidade e cargas para baixo).
Pode-se também obter, da figura anterior, a
inclinação da tangente ao arco na seção S:
INTRODUÇÃO 2 3 4 5 6
cos'
'
H
senHQtg S