PERFIL LONGITUDINAL
Estradas e Aeroportos
Perfil longitudinal
Pontos singulares do greide:
PCV: Ponto de curva vertical;
PIV: Ponto de intersecção vertical;
PTV: Ponto de tangente vertical.
Exemplo
Considerando que, no greide
esquematizado na figura anterior, o PIV1
esteja localizado na estaca 7 + 0,00 m e o
PIV2 localizado na estaca 18 + 10,00 m,
qual é a declividade do trecho reto do
greide ente o PTV1 e o PCV2, sabendo-se
que a cota do ponto correspondente ao PIV1
é 97,985 m e que a cota do ponto
correspondente ao PIV2 é 89,935 m?
Exemplo – Resolução
A diferença de cotas (dV) entre os pontos singulares PIV1 ePIV2 é igual a:
dV = 89,935 m – 97,985 m = -8,050 m.
A distância (dH) entre esses mesmos pontos singulares é:
dH = (18 + 10,00 m) – (7 + 0,00 m) = 11 + 10,00m = 230 m.
Portando, a declividade (i2) do trecho reto entre essespontos será igual a:
𝑖2 =−8,050 𝑚
230,00 𝑚,
Logo, i2 = - 0,035 ou – 3,500%
Perfil Longitudinal
Rampas
Veículos de passageiros conseguem vencer
rampas de 4% a 5% com perda de velocidade
pequena.
Para os caminhões, a perda de velocidade em
rampas é bem maior. A velocidade desenvolvida
depende de vários fatores: inclinação e
comprimento da rampa, peso e potência do
caminhão e velocidade de entrada na rampa.
Inclinações máximas das rampas
Fonte: DNIT (1999)
Classe do
projeto
Relevo
Plano Ondulado Montanhoso
Classe 0 3 4 5
Classe I 3 4,5 6
Classe II 3 5 7
Classe III 4 6 8
Classe IV A 4 6 8
Classe IV B 6 8 10 (limitada a
300m)
Comprimento da curva
Comprimento da curva
𝐿𝑉 = 𝑅𝑉 . 𝛿𝑖 ,
em que:
𝐿𝑉 = comprimento da curva (m) (projeção
horizontal);
𝑅𝑉 = raio no vértice da parábola (m);
𝛿𝑖 = diferença algébrica de rampas (número
decimal).
Exemplo
Conhecidos os dados constantes na figura, calcule asestacas dos PCVs e PTVs. Adote os raios (emmódulo) R1 = 6.000,m e R2 = 4.000 m.
Utilize:
𝛿𝑖 = 𝑖2 − 𝑖1
𝐿𝑉 = 𝑅𝑉 . 𝛿𝑖
PCV = PIV - 𝐿𝑉/2
PTV = PIV + 𝐿𝑉/2
Exemplo – Resolução
Cota do PIV1:
745,23 + 0,01.1642 = 761,65m
Cota PIV2:
761,65 – 0,045.766 = 727,18 m.
Inclinação i3:
𝑖3 =773,05 −727,18
880= 0,052121 = 5,2125%
Exemplo – Resolução
Sinais das curvas:
Côncava: + Convexa: -
Curva 1:
i1 = 0,01
i2 = -0,045
𝛿𝑖 = i2 – i1 = -0,045 – 0,01 = - 0,055
R1 = - 6.000 m
𝐿𝑉 = 𝑅𝑉 . 𝛿𝑖 = -6.000.(-0,055) = 330,00m
𝐿𝑉/2 = 165,00m
PIV1 = [82 + 2,00] = 1.642m
PCV1 = 1.642 - 165 = 1.477 = [73 + 17,00]
PTV1 = 1.642 + 165 = 1.807 = [90 + 7,00]
Exemplo – Resolução
Sinais das curvas:
Côncava: + Convexa: -
Curva 2:
i2 = -0,045
i3 = 0,052125
𝛿𝑖 = i3 – i2 = 0,05215 – (-0,045) = 0,097125
R2 = + 4.000 m
𝐿𝑉 = 𝑅𝑉 . 𝛿𝑖 = +4.000 . (0,097125) = 388,50 m
𝐿𝑉/2 = 194,25 m
PIV2 = [120 + 8,00] = 2.408m
PCV2 = 2.408 – 194,25 = 2.213,75 m = [110 + 13,75]
PTV2 = 2.408 + 194,25 = 2.602,25 m = [130 + 2,25]
Exercício – Resposta
Curva 1 2
i2 -0,045 0,052125
i1 0,01 -0,045
𝛿𝑖 -0,055 0,097125
R -6.000,00 4.000,00
LV 330,00 388,50
LV/2 165,00 194,25
PIV [82 + 2,00] [120 + 8,00]
PCV [73 + 17,00] [110 + 13,75]
PTV [90 + 7,00] [130 + 2,25]
Curvas verticais de concordância
Curvas verticais de concordância
Curvas verticais parabólicas:
Equações para a curva: parábola
Equações para a curva
A partir da parábola, 𝑦 = 𝑎. 𝑥2 + 𝑏. 𝑥 + 𝑐, pode-se obter sua derivada, dada pela equação:
𝑦 = 𝑎. 𝑥 + 𝑏
Impondo-se a condição de que a parábolaconcorde com as rampas, ou seja, que astangentes à curva nos pontos PCV e PTVtenham a mesma inclinação das rampas 𝑖1 e 𝑖2,temos:
Equações para a curva
No PCV, 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑖1 = 2.a.0 + b → b = 𝑖1
no PTV, 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑖2 = 2.a. 𝐿𝑉 + b → 𝑎 =
𝑖2 −𝑖1
2.𝐿𝑉=
𝛿𝑖
2.𝐿𝑉
Logo,
𝑦 =𝛿𝑖
2.𝐿𝑉𝑥2 + 𝑖1. 𝑥 ,
A equação obtida fornece a ordenada y em qualquer ponto
P da curva, sendo 𝑥 = distância do PCV ao P e 𝑦 =
diferença de cota entre o P e o PCV.
Coordenadas, em relação ao PCV, de
alguns pontos singulares da curva
Cotas dos pontos da curva
Com as equações 𝑦 =𝛿𝑖
2.𝐿𝑉𝑥2 + 𝑖1. 𝑥 e y = 𝑖1. 𝑥,
pode-se calcular o valor da flecha f para
qualquer ponto da curva:
f = 𝑖1. 𝑥 −𝛿𝑖
2.𝐿𝑉𝑥2 + 𝑖1. 𝑥 = −
𝛿𝑖
2.𝐿𝑉𝑥2,
f = −𝛿𝑖
2.𝐿𝑉𝑥2,
a partir da primeira rampa.
Cotas dos pontos da curva
Para o PIV ( x = 𝐿𝑣/2), temos:
F = −𝛿𝑖.𝐿𝑣
8,
ou seja, f =4.𝑥2
𝐿𝑣2 . 𝐹
Exemplo
Dado o trecho de perfil da figura, calcular as cotas
do greide (perfil de referência) da estaca 103 à
estaca 125.
Exemplo - Resolução
Cotas do PTV1 e PCV2 a partir da cota do PIV2.
PCV2 = 542,48 – (-0,02).(115-109).20 = 544,88
PTV1 = 542,48 – (-0,02).(115-103).20 = 547,28m
Na rampa, o incremento de cota
entre uma estaca e a seguinte é
constante. Neste caso, é igual a
– 0,02.20 = - 0,40 m.
Logo, cada cota é igual à anterior
menos 0,40 m.
Estaca Cota
103 547,28
104 546,88
105 546,48
106 546,08
107 545,68
108 545,28
109 544,88
Exemplo - Resolução
Cálculo da curva vertical 2.
𝐿𝑣 = [121 + 0,00] – [109 + 0,00] = 240m
𝑦 = 𝑎. 𝑥2 + 𝑏. 𝑥 + 𝑐; 𝑎 =𝛿𝑖
2.𝐿𝑉; 𝑏 = 𝑖1
Então, temos:
𝑦 =0,06
2.240𝑥2 − 0,02. 𝑥
𝒚 = 𝟏, 𝟐𝟓. 𝟏𝟎−𝟒𝒙𝟐 − 𝟎, 𝟎𝟐. 𝒙
Exemplo - Resolução1
Estaca
2
x3
0,02.x4
𝒙𝟐5
1,25.𝟏𝟎−𝟒. 𝒙𝟐6
y = 5 - 3
7Cota=544,88+ y
109 0 0 0 0 0 544,88
110 20 0,40 400 0,05 -0,35 544,53
111 40 0,80 1.600 0,20 -0,60 544,28
112 60 1,20 3.600 0,45 -0,75 544,13
113 80 1,60 6.400 0,80 -0,80 544,08
114 100 2,00 10.00 1,25 -0,75 544,13
115 120 2,40 14.400 1,80 -0,60 544,28
116 140 2,80 19.600 2,45 -0,35 544,53
117 160 3,20 25.600 3,20 0,00 544,88
118 180 3,60 32.400 4,05 0,45 545,33
119 200 4,00 40.000 5,00 1,00 545,88
120 220 4,40 48.400 6,05 1,65 546,53
121 240 4,80 57.600 7,20 2,40 547,28
Exemplo - Resolução
Trecho entre PTV2 e a estaca 125 (2ª rampa):
O incremento em cada estaca é 0,04.20 = 0,80m
Portanto:
Estaca Cota
121 547,28
122 548,08
123 548,88
124 549,68
125 550,48
Comprimento mínimo das curvas
Comprimento mínimo das curvas verticais convexas:
critério da distância de visibilidade
1°) Veículo e obstáculo sobre a curva convexa (S = Df ≤ LV):
𝐿𝑣𝑚í𝑛 =𝛿𝑖 .𝐷𝑓
2
4,04,
com 𝐿𝑣𝑚í𝑛 e 𝐷𝑓 em metros.
Obs.: h1 = 1,07m e h2 = 0,15, de acordo valores recomendados pelaAASHTO.
Comprimento mínimo das curvas verticais convexas:
critério da distância de visibilidade
2°) Veículo e obstáculo sobre rampas (S = Df ≥ LV):
𝐿𝑣𝑚í𝑛 = 2. 𝐷𝑓 −4,04
|𝛿𝑖|,
com 𝐿𝑣𝑚í𝑛 e 𝐷𝑓 em metros.
Obs.: h1 = 1,07m e h2 = 0,15, de acordo valores recomendados pelaAASHTO.
Comprimento mínimo das curvas verticais côncavas:
critério da distância de visibilidade
1°) Veículo e obstáculo sobre a curva côncava (S = Df ≤ LV):
𝐿𝑣𝑚í𝑛 =𝛿𝑖 .𝐷𝑓
2
1,2+0,035.𝐷𝑓,
com 𝐿𝑣𝑚í𝑛 e 𝐷𝑓 em metros.
Obs.: h3 = 0,6 m e 𝛼 = 1°, de acordo valores recomendados pela AASHTO.
Comprimento mínimo das curvas verticais côncavas:
critério da distância de visibilidade
2°) Veículo e obstáculo sobre rampas (S = Df ≥ LV):
𝐿𝑣𝑚í𝑛 = 2. 𝐷𝑓 −1,2+0,035.𝐷𝑓
|𝛿𝑖|,
com 𝐿𝑣𝑚í𝑛 e 𝐷𝑓 em metros.
Obs.: h3 = 0,6 m e 𝛼 = 1°, de acordo valores recomendados pelaAASHTO.
Critério do mínimo valor absoluto
Curvas verticais devem atender, também, a
seguinte condição:
𝐿𝑣𝑚í𝑛 = 0,6. 𝑉𝑝,
em que:
𝐿𝑣𝑚í𝑛 = comprimento mínimo (m);
𝑉𝑝 = velocidade de projeto (km/h).
Concordância vertical
Em uma concordância vertical com uso de parábolasimples, define-se o valor do parâmetro de curvaturaK da parábola pelo quociente:
𝐾 =𝐿
|𝐴|,
em que:
K= parâmetro de curvatura (m/%);
L = comprimento da parábola;
A (ou 𝛿𝑖) = diferença algébrica entre as declividades nos extremos daparábola (%).
Critério da máxima “aceleração centrífuga” admissível
Em curvas verticais, a “força centrífuga” vertical não deve
ultrapassar determinada porcentagem da aceleração g da
gravidade, para não causar desconforto aos passageiros e
ao motorista.
Assim, o DNIT define os valores dos parâmetros de
curvatura Kmín (m/%):
V.Diretriz
(km/h)
30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
Elevado a
= 1,5% g4,72 8,39 13,1 18,88 25,69 33,56 42,47 52,44 63,45 75,51
Reduzidoa = 5,0% g
1,42 2,52 3,93 5,66 7,71 10,07 12,74 15,73 19,03 27,65
Critério da drenagem
É recomendável que as declividades longitudinais sejam iguais ou
superiores a 1,000% para as sarjetas (e, consequentemente, para o
greide nos trechos que incluem sarjetas).
As declividades longitudinais devem ter no mínimo 0,500%, onde não
for possível manter as declividades desejáveis, com um mínimo
absoluto de 0,350%.
Valores menores que 0,350% são limitados a uma extensão de até
30,00 m, o que pode ocorrer, por exemplo, no entorno do vértice de
curvas convexas, em concordâncias de trechos retos de greide com
declividades de sinais contrários.
Exemplo
Qual o comprimento mínimo de parábola a ser
usado na concordância de dois trechos retos de
greide, com declividades i1 = +6,000% e i2 = -
4,000%, respectivamente, para uma rodovia com
elevado padrão de projeto, considerando uma
velocidade de projeto de 100km/h?
Exemplo – Resolução
a) Mínimo valor absoluto:
Lmín = 0,6.100 = 60,00 m;
b) Máxima aceleração centrífuga admissível:
Lmín = |A|.Kmín = 10,000.52,5 = 525,00 m;
Exemplo – Resolução
c) Distância de visibilidade para frenagem:
𝐷𝑓= 0,7.V + 0,0039.𝑉2
𝑓+𝑖= 0,7.100 + 0,0039.
1002
0,29= 204,5 m;
Supondo-se, por hipótese, 𝐷𝑓 ≥ 𝐿𝑚í𝑛:
𝐿𝑚í𝑛 = 2. 204,50 −4,04
−0,04−0,06= 368,60 𝑚 (maior que a distância de
frenagem, o que não confirma a hipótese);
Supondo-se, por hipótese, 𝐿𝑚í𝑛 ≥ 𝐷𝑓:
𝐿𝑚í𝑛 =−0,04 − 0,06 . 204,502
4,04= 1.035,15 𝑚.
Logo, 𝐿𝑚í𝑛 = 1.035,15 m.
Resposta: o comprimento mínimo a ser utilizado será de 1.040,00 m(valor arredondado por questões práticas).
Bibliografia
ANTAS, P. M.; VIEIRA, A.; GONÇALO, E. A.; LOPES, L. A. S.. Estradas:
projeto geométrico e de terraplenagem. Capítulo 9. Rio de Janeiro:
editora Interciência, 2010.
LEE, S. H.. Introdução ao projeto geométrico de rodovias: Capítulo 8.
Florianópolis: editora UFSC, 2013.
PIMENTA, C. R T.; OLIVEIRA, M. P.. Projeto Geométrico de
Rodovias: Capítulo 7. São Carlos: editora RIMA, 2004.