8/3/2019 Aula de lgebra Linear - 24 de Novembro
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l g e b r a L i n e a r
T h i a g o V e d o V a t t o
C u r s o d e l g e b r a L i n e a r
M a t r i z d e u m a T r a n s f o r m a o L i n e a r
P r o f . E s p . : T h i a g o V e d o V a t t o
U n i v e r s i d a d e F e d e r a l d e G o i s
C a m p u s J a t a
C o o r d e n a o d e M a t e m t i c a
2 4 d e n o v e m b r o d e 2 0 1 1
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T h i a g o V e d o V a t t o
M a t r i z d e u m a
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L i n e a r
O b s e r v a e s
E x e m p l o 1
P a r t e I
M a t r i z d e u m a T r a n s f o r m a o L i n e a r
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L i n e a r
O b s e r v a e s
E x e m p l o 1
O b j e t i v o s d a A u l a
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O b s e r v a e s
E x e m p l o 1
D e n i o
S e j a m U e V e s p a o s v e t o r i a i s s o b r e R
d e d i m e n s o m e n
r e s p e c t i v a m e n t e
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D e n i o
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d e d i m e n s o m e n
r e s p e c t i v a m e n t e . C o n s i d e r e m o s u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r
F
:U
V
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d e d i m e n s o m e n
r e s p e c t i v a m e n t e . C o n s i d e r e m o s u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r
F
:U
V . D a d a s a s b a s e s B
= {u
1
, . . . ,u
n
}d e U e
C= {
v
1
, . . . ,v
m
}d e V
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V . D a d a s a s b a s e s B
= {u
1
, . . . ,u
n
}d e U e
C= {
v
1
, . . . ,v
m
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1
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(u
n
)e s t e m V e c o n s e q u e n t e m e n t e c o m b i n a o
l i n e a r d a b a s e C
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r e s p e c t i v a m e n t e . C o n s i d e r e m o s u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r
F
:U
V . D a d a s a s b a s e s B
= {u
1
, . . . ,u
n
}d e U e
C= {
v
1
, . . . ,v
m
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)e s t e m V e c o n s e q u e n t e m e n t e c o m b i n a o
l i n e a r d a b a s e C :
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1
) = 1 1
v
1
+ . . . + m 1
v
m
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
F(
u
n
) = 1 n
v
1
+ . . . + m n
v
m
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F
:U
V . D a d a s a s b a s e s B
= {u
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, . . . ,u
n
}d e U e
C= {
v
1
, . . . ,v
m
}d e V , e n t o c a d a u m d o s v e t o r e s
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)e s t e m V e c o n s e q u e n t e m e n t e c o m b i n a o
l i n e a r d a b a s e C :
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) = 1 1
v
1
+ . . . + m 1
v
m
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
F(
u
n
) = 1 n
v
1
+ . . . + m n
v
m
D e s t e m o d o a m a t r i z m
n s o b r e R
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F
:U
V . D a d a s a s b a s e s B
= {u
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, . . . ,u
n
}d e U e
C= {
v
1
, . . . ,v
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}d e V , e n t o c a d a u m d o s v e t o r e s
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n
)e s t e m V e c o n s e q u e n t e m e n t e c o m b i n a o
l i n e a r d a b a s e C :
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m
.
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) = 1 n
v
1
+ . . . + m n
v
m
D e s t e m o d o a m a t r i z m
n s o b r e R
:
1 1
. . . 1 n
.
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m 1
. . . m n
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F
:U
V . D a d a s a s b a s e s B
= {u
1
, . . . ,u
n
}d e U e
C= {
v
1
, . . . ,v
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}d e V , e n t o c a d a u m d o s v e t o r e s
F(
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)e s t e m V e c o n s e q u e n t e m e n t e c o m b i n a o
l i n e a r d a b a s e C :
F(
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) = 1 1
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+ . . . + m 1
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m
.
.
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F(
u
n
) = 1 n
v
1
+ . . . + m n
v
m
D e s t e m o d o a m a t r i z m
n s o b r e R
:
1 1
. . . 1 n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
m 1
. . . m n
c h a m a d a M a t r i z d e F e m r e l a o s b a s e s B e C
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S e j a m U e V e s p a o s v e t o r i a i s s o b r e R
d e d i m e n s o m e n
r e s p e c t i v a m e n t e . C o n s i d e r e m o s u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r
F
:U
V . D a d a s a s b a s e s B
= {u
1
, . . . ,u
n
}d e U e
C= {
v
1
, . . . ,v
m
}d e V , e n t o c a d a u m d o s v e t o r e s
F(
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1
), . . . ,F
(u
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)e s t e m V e c o n s e q u e n t e m e n t e c o m b i n a o
l i n e a r d a b a s e C :
F(
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v
1
+ . . . + m 1
v
m
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
F(
u
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) = 1 n
v
1
+ . . . + m n
v
m
D e s t e m o d o a m a t r i z m
n s o b r e R
:
1 1
. . . 1 n
.
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.
.
.
.
.
.
.
m 1
. . . m n
c h a m a d a M a t r i z d e F e m r e l a o s b a s e s B e C . U s a r e m o s
p a r a i n d i c a r e s s a m a t r i z a n o t a o
(F
)B
,C
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S e F u m o p e r a d o r l i n e a r e c o n s i d e r a r m o s B = C , e n t o
d i r e m o s a p e n a s m a t r i z d e F e m r e l a o b a s e B p a r a i n d i c a r
a m a t r i z a c i m a d e n i d a e u s a r e m o s a n o t a o (
F)
B
p a r a
r e p r e s e n t - l a ;
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S e F u m o p e r a d o r l i n e a r e c o n s i d e r a r m o s B = C , e n t o
d i r e m o s a p e n a s m a t r i z d e F e m r e l a o b a s e B p a r a i n d i c a r
a m a t r i z a c i m a d e n i d a e u s a r e m o s a n o t a o (
F)
B
p a r a
r e p r e s e n t - l a ;
S e m p r e q u e n o h a j a d v i d a s q u a n t o a o p a r d e b a s e s q u e
e s t a m o s c o n s i d e r a n d o e s c r e v e r e m o s a p e n a s (
F)
e m r e l a o a
e s s e p a r d e b a s e s .
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E x a m p l e ( C l c u l o d a M a t r i z d a T r a n s f o r m a o L i n e a r )
C o n s i d e r e F: R3 R2
F(
x , y , z ) = (x + y , y + z )
Q u a l a m a t r i z d e F e m r e l a o s b a s e s :
B= {u
1
= (1 , 2 , 3 ); u
2
= (1 , 2 , 0 ); u
3
= (1 , 0 , 0 )} e
C= {
v
1
= (1
,0
);v
2
= (4
,5
)}?
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E x a m p l e ( C l c u l o d a M a t r i z d a T r a n s f o r m a o L i n e a r )
C o n s i d e r e F: R3 R2
F(
x , y , z ) = (x + y , y + z )
Q u a l a m a t r i z d e F e m r e l a o s b a s e s :
B= {u
1
= (1 , 2 , 3 ); u
2
= (1 , 2 , 0 ); u
3
= (1 , 0 , 0 )} e
C= {
v
1
= (1
,0
);v
2
= (4
,5
)}?
P r i m e i r a m e n t e v e r i q u e m o s o s v a l o r e s d e F(
u
1
), F
(u
2
)e F
(u
3
).
F(
1,
2,
3) = (
3,
5)
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E x a m p l e ( C l c u l o d a M a t r i z d a T r a n s f o r m a o L i n e a r )
C o n s i d e r e F: R3 R2
F(
x , y , z ) = (x + y , y + z )
Q u a l a m a t r i z d e F e m r e l a o s b a s e s :
B= {u
1
= (1 , 2 , 3 ); u
2
= (1 , 2 , 0 ); u
3
= (1 , 0 , 0 )} e
C= {
v
1
= (1
,0
);v
2
= (4
,5
)}?
P r i m e i r a m e n t e v e r i q u e m o s o s v a l o r e s d e F(
u
1
), F
(u
2
)e F
(u
3
).
F(
1,
2,
3) = (
3,
5)
F(
1,
2,
0) = (
3,
2)
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E x a m p l e ( C l c u l o d a M a t r i z d a T r a n s f o r m a o L i n e a r )
C o n s i d e r e F: R3 R2
F(
x , y , z ) = (x + y , y + z )
Q u a l a m a t r i z d e F e m r e l a o s b a s e s :
B= {u
1
= (1 , 2 , 3 ); u
2
= (1 , 2 , 0 ); u
3
= (1 , 0 , 0 )} e
C= {
v
1
= (1
,0
);v
2
= (4
,5
)}?
P r i m e i r a m e n t e v e r i q u e m o s o s v a l o r e s d e F(
u
1
), F
(u
2
)e F
(u
3
).
F(
1,
2,
3) = (
3,
5)
F(
1,
2,
0) = (
3,
2)
F(
1,
0,
0) = (
1,
0)
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E x a m p l e ( C l c u l o d a M a t r i z d a T r a n s f o r m a o L i n e a r )
C o n s i d e r e F: R3 R2
F(
x , y , z ) = (x + y , y + z )
Q u a l a m a t r i z d e F e m r e l a o s b a s e s :
B= {u
1
= (1 , 2 , 3 ); u
2
= (1 , 2 , 0 ); u
3
= (1 , 0 , 0 )} e
C= {
v
1
= (1
,0
);v
2
= (4
,5
)}?
P r i m e i r a m e n t e v e r i q u e m o s o s v a l o r e s d e F(
u
1
), F
(u
2
)e F
(u
3
).
F(
1,
2,
3) = (
3,
5)
F(
1,
2,
0) = (
3,
2)
F(
1,
0,
0) = (
1,
0)
A g o r a e s c r e v a m o s o s v e t o r e s o b t i d o s c o m o c o m b i n a o l i n e a r d o s
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E x e m p l o 1
P a r a t a n t o :
(3 , 5 ) =
x
(1 , 0 ) +
y
(4 , 5 )
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O b s e r v a e s
E x e m p l o 1
P a r a t a n t o :
(3 , 5 ) =
x
(1 , 0 ) +
y
(4 , 5 )
= (x
,0
) + (4 y
,5 y
)
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T r a n s f o r m a o
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O b s e r v a e s
E x e m p l o 1
P a r a t a n t o :
(3 , 5 ) =
x
(1 , 0 ) +
y
(4 , 5 )
= (x
,0
) + (4 y
,5 y
)
= (x
+4 y
,5 y
)
l g e b r a L i n e a r
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E x e m p l o 1
P a r a t a n t o :
(3 , 5 ) =
x
(1 , 0 ) +
y
(4 , 5 )
= (x
,0
) + (4 y
,5 y
)
= (x
+4 y
,5 y
)
D e s t e m o d o o b t e m o s o s i s t e m a l i n e a r : x
+4 y
=3
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E x e m p l o 1
P a r a t a n t o :
(3 , 5 ) =
x
(1 , 0 ) +
y
(4 , 5 )
= (x
,0
) + (4 y
,5 y
)
= (x
+4 y
,5 y
)
D e s t e m o d o o b t e m o s o s i s t e m a l i n e a r : x
+4 y
=3
5 y=
5
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P a r a t a n t o :
(3 , 5 ) =
x
(1 , 0 ) +
y
(4 , 5 )
= (x
,0
) + (4 y
,5 y
)
= (x
+4 y
,5 y
)
D e s t e m o d o o b t e m o s o s i s t e m a l i n e a r : x
+4 y
=3
5 y=
5
C u j a s o l u o s e r x= 1 e y = 1
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E x e m p l o 1
P a r a t a n t o :
(3 , 5 ) =
x
(1 , 0 ) +
y
(4 , 5 )
= (x
,0
) + (4 y
,5 y
)
= (x
+4 y
,5 y
)
D e s t e m o d o o b t e m o s o s i s t e m a l i n e a r : x
+4 y
=3
5 y=
5
C u j a s o l u o s e r x= 1 e y = 1 .
L o g o :
(3 , 5 ) =
1
(1 , 0 ) +
1
(4 , 5 )
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E x a m p l e ( C l c u l o d a M a t r i z d a T r a n s f o r m a o L i n e a r )
C o n s i d e r e F: R3 R2
F(
x , y , z ) = (x + y , y + z )
Q u a l a m a t r i z d e F e m r e l a o s b a s e s :
B= {u
1
= (1 , 2 , 3 ); u
2
= (1 , 2 , 0 ); u
3
= (1 , 0 , 0 )} e
C= {
v
1
= (1
,0
);v
2
= (4
,5
)}?
P r i m e i r a m e n t e v e r i q u e m o s o s v a l o r e s d e F(
u
1
), F
(u
2
)e F
(u
3
).
F(
1,
2,
3) = (
3,
5) = 1 (1 , 0 ) + 1 (4 , 5 )
F(
1,
2,
0) = (
3,
2)
F(
1,
0,
0) = (
1,
0)
A g o r a e s c r e v a m o s o s v e t o r e s o b t i d o s c o m o c o m b i n a o l i n e a r d o s
v e t o r e s d a b a s e C .
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P a r a t a n t o :
(3
,2
) =x
(1
,0
) +y
(4
,5
)
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P a r a t a n t o :
(3
,2
) =x
(1
,0
) +y
(4
,5
)= (
x,
0) + (
4 y,
5 y)
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P a r a t a n t o :
(3
,2
) =x
(1
,0
) +y
(4
,5
)= (
x,
0) + (
4 y,
5 y)
= (x
+4 y
,5 y
)
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P a r a t a n t o :
(3
,2
) =x
(1
,0
) +y
(4
,5
)= (
x,
0) + (
4 y,
5 y)
= (x
+4 y
,5 y
)
D e s t e m o d o o b t e m o s o s i s t e m a l i n e a r :
x + 4 y = 3
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P a r a t a n t o :
(3
,2
) =x
(1
,0
) +y
(4
,5
)= (
x,
0) + (
4 y,
5 y)
= (x
+4 y
,5 y
)
D e s t e m o d o o b t e m o s o s i s t e m a l i n e a r :
x + 4 y = 3
5 y=
2
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P a r a t a n t o :
(3
,2
) =x
(1
,0
) +y
(4
,5
)= (
x,
0) + (
4 y,
5 y)
= (x
+4 y
,5 y
)
D e s t e m o d o o b t e m o s o s i s t e m a l i n e a r :
x + 4 y = 3
5 y=
2
C u j a s o l u o s e r x= 7
5
e y= 2
5
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E x e m p l o 1
P a r a t a n t o :
(3
,2
) =x
(1
,0
) +y
(4
,5
)= (
x,
0) + (
4 y,
5 y)
= (x
+4 y
,5 y
)
D e s t e m o d o o b t e m o s o s i s t e m a l i n e a r :
x + 4 y = 3
5 y=
2
C u j a s o l u o s e r x= 7
5
e y= 2
5
.
L o g o :
(3 , 2 ) =7
5
( 1 , 0 ) +2
5
(4 , 5 )
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E x e m p l o 1
C o n s i d e r e F: R3 R2
F(
x , y , z ) = (x + y , y + z )
Q u a l a m a t r i z d e F e m r e l a o s b a s e s :
B= {u
1
= (1 , 2 , 3 ); u
2
= (1 , 2 , 0 ); u
3
= (1 , 0 , 0 )} e
C= {
v
1
= (1
,0
);v
2
= (4
,5
)}?
P r i m e i r a m e n t e v e r i q u e m o s o s v a l o r e s d e F(
u
1
), F
(u
2
)e F
(u
3
).
F(
1,
2,
3) = (
3,
5) = 1 (1 , 0 ) + 1 (4 , 5 )
F(
1,
2,
0) = (
3,
2) =
7
5
(1
,0
) +2
5
(4
,5
)
F(
1,
0,
0) = (
1,
0)
A g o r a e s c r e v a m o s o s v e t o r e s o b t i d o s c o m o c o m b i n a o l i n e a r d o s
v e t o r e s d a b a s e C .
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E x e m p l o 1
P a r a t a n t o :
(1
,0
) =x
(1
,0
) +y
(4
,5
)
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E x e m p l o 1
P a r a t a n t o :
(1
,0
) =x
(1
,0
) +y
(4
,5
)= (
x,
0) + (
4 y,
5 y)
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E x e m p l o 1
P a r a t a n t o :
(1
,0
) =x
(1
,0
) +y
(4
,5
)= (
x,
0) + (
4 y,
5 y)
= (x
+4 y
,5 y
)
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P a r a t a n t o :
(1
,0
) =x
(1
,0
) +y
(4
,5
)= (
x,
0) + (
4 y,
5 y)
= (x
+4 y
,5 y
)
D e s t e m o d o o b t e m o s o s i s t e m a l i n e a r :
x + 4 y = 1
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E x e m p l o 1
P a r a t a n t o :
(1
,0
) =x
(1
,0
) +y
(4
,5
)= (
x,
0) + (
4 y,
5 y)
= (x
+4 y
,5 y
)
D e s t e m o d o o b t e m o s o s i s t e m a l i n e a r :
x + 4 y = 1
5 y=
0
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P a r a t a n t o :
(1
,0
) =x
(1
,0
) +y
(4
,5
)= (
x,
0) + (
4 y,
5 y)
= (x
+4 y
,5 y
)
D e s t e m o d o o b t e m o s o s i s t e m a l i n e a r :
x + 4 y = 1
5 y=
0
C u j a s o l u o s e r x=
1 e y=
0
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E x e m p l o 1
P a r a t a n t o :
(1
,0
) =x
(1
,0
) +y
(4
,5
)= (
x,
0) + (
4 y,
5 y)
= (x
+4 y
,5 y
)
D e s t e m o d o o b t e m o s o s i s t e m a l i n e a r :
x + 4 y = 1
5 y=
0
C u j a s o l u o s e r x=
1 e y=
0 .
L o g o :
(1
,0
) =1
(1
,0
) +0
(4
,5
)
l g e b r a L i n e a r
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C o n s i d e r e F: R3 R2
F(
x , y , z ) = (x + y , y + z )
Q u a l a m a t r i z d e F e m r e l a o s b a s e s :
B= {u
1
= (1 , 2 , 3 ); u
2
= (1 , 2 , 0 ); u
3
= (1 , 0 , 0 )} e
C= {
v
1
= (1
,0
);v
2
= (4
,5
)}?
P r i m e i r a m e n t e v e r i q u e m o s o s v a l o r e s d e F(
u
1
), F
(u
2
)e F
(u
3
).
F(
1,
2,
3) = (
3,
5) = 1 (1 , 0 ) + 1 (4 , 5 )
F(
1,
2,
0) = (
3,
2) =
7
5
(1
,0
) +2
5
(4
,5
)
F(
1,
0,
0) = (
1,
0) =
1(
1,
0) +
0(
4,
5)
A g o r a e s c r e v a m o s o s v e t o r e s o b t i d o s c o m o c o m b i n a o l i n e a r d o s
v e t o r e s d a b a s e C .
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E x e m p l o 1
C o n s i d e r e F: R3 R2
F(
x , y , z ) = (x + y , y + z )
Q u a l a m a t r i z d e F e m r e l a o s b a s e s :
B= {u
1
= (1 , 2 , 3 ); u
2
= (1 , 2 , 0 ); u
3
= (1 , 0 , 0 )} e
C= {
v
1
= (1
,0
);v
2
= (4
,5
)}?
P r i m e i r a m e n t e v e r i q u e m o s o s v a l o r e s d e F(
u
1
), F
(u
2
)e F
(u
3
).
F(
1,
2,
3) = (
3,
5) = 1 (1 , 0 ) + 1 (4 , 5 )
F(
1,
2,
0) = (
3,
2) =
7
5
(1
,0
) +2
5
(4
,5
)
F(
1,
0,
0) = (
1,
0) =
1(
1,
0) +
0(
4,
5)
A g o r a e s c r e v a m o s o s v e t o r e s o b t i d o s c o m o c o m b i n a o l i n e a r d o s
v e t o r e s d a b a s e C . D e s t e m o d o a M a t r i z d a T r a n s f o r m a o L i n e a r
F e m r e l a o a s b a s e s B e C s e r :
(F
)B , C
=
1
7
5
1
1
2
5
0
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