AULA DO
CPOGTeoria dos conjutos
TEORIA DOS CONJUNTOSProfessor Felipe
Técnico de Operações – P-25 Petrobras
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Felipe da Silva Cardoso
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felipedasilvacardoso
Tipos de conjunto
• Conjunto dos dias da semana,
• Conjunto dos times de futebol da primeira divisão,
• Conjunto das marcas de cerveja
• Conjunto dos alunos do Ensino Médio de um colégio
• Todo conjunto é formado por um ou vários objetos que são denominados elementos.
• Por exemplo: No conjunto dos dias da semana são elementos a segunda-feira, a terça feira, a quarta feira, etc.
• De maneira geral indicamos um conjunto por uma letra maiúscula
CONCEITOS IMPORTANTES
• PERTINÊNCIA: O conceito de pertinência procura relacionar um elemento com um conjunto. Um elemento pode pertencer ou não a um conjunto. Quando um elemento pertence a um conjunto, é por que ele está “dentro” do conjunto. Se o elemento não pertence a um conjunto, é por
que ele está “fora” do conjunto.
• Para representar um elemento pertencente a um conjunto
usamos o símbolo e para indicar um elemento que não
pertence a um conjunto usamos o símbolo ∉.
SUBCONJUNTO
• Esse conceito visa estabelecer uma relação entre dois conjuntos. Dados dois conjuntos, A e B, dizemos que A é subconjunto de B se cada elemento do conjunto A também é um elemento do conjunto B. Indica-se por:
• A B (lê-se A está contido em B)
• E dizemos que B é conjunto no qual encontra-se o conjunto A. Indica-se por:
• B ⊃ 𝑨 (lê-se B contém A)
IGUALDADE DE CONJUNTOS
• Dois conjuntos A e B são ditos iguais quando possuem exatamente os mesmos elementos.
• Observação: A ordem em que os elementos aparecem não é importante quando trabalhamos com conjuntos. Sendo assim, dois conjuntos que possuam os mesmos elementos são iguais mesmo que os elementos apareçam em ordens diferentes.
• Conjunto vazio: O conjunto vazio corresponde a um tipo particular de conjunto, já que ele não possui elementos. Esse conjunto é usado para indicar uma situação impossível de ocorrer.
• Podemos indicar um conjunto vazio por {} ou . Nunca indique o conjunto vazio por {}.
• Conjunto Unitário: Corresponde a outro tipo especial de conjunto. O conjunto unitário é todo conjunto que possui apenas um elemento.
• Conjunto Universo: Corresponde ao conjunto ao qual pertencem todos os elementos que fazem parte do nosso estudo.
FORMAS DE REPRESENTAR UM CONJUNTO
• Por extensão: Nesse tipo de representação costumamos enumerar os elementos, escrevendo-os entre vírgulas e os limitando por meio de chaves:
• Exemplo: Seja A o conjunto que representa os meses do ano:
• A = {janeiro, fevereiro, março, abril, maio, junho, julho, agosto, setembro, outubro, novembro, dezembro}.
• Por Compreensão: Nesse tipo de situação procuramos representar o conjunto por meio de uma propriedade ou uma característica de seus elementos.
• Exemplo: Seja C o conjunto dos números naturais menores que 6.
• C = {x N/ x < 6}
• Por figura: Também conhecida como Diagrama de Euler-Venn, a representação por meio de figuras é uma alternativa muito boa para visualizarmos melhor o conjunto com o qual trabalhamos. Nesse tipo de representação colocamos os elementos que pertencem ao conjunto “dentro” da figura e os elementos que não pertencem ao conjunto “fora” da figura.
• Exemplo:
•
• Neste caso, os elementos 1,2,3,4 pertencem ao conjunto A, já os elementos 5, 6 não pertencem ao conjunto A.
CONJUNTO DAS PARTES
• O conjunto das partes de um conjunto é formado por todos os subconjuntos de A. Ou seja:
• ℙ (A) = {x / {x} A}• Exemplo: o conjunto das partes dos conjuntos abaixo: A = {0,
1} é:• ℙ (A) = {Ø, {0}, {1}, {0,1}}• Já para o conjunto B = {0, 1, 2}, o conjunto das partes será• ℙ (B) = {Ø, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {1, 2}, {0, 2}, {0, 1, 2}}
PROPRIEDADES IMPORTANTES
• a) Ø ℙ (A)
• b) A ℙ (A)
• c) Se A possui n elementos, ℙ (A) possui elementos
Relações entre conjuntos
1 pertence a A
{1} está contido em A
{3} não está contido em B
B está contido em A
A não está contido em B
O conjunto vazio está contido em BB
BA
AB
B
A
A
CouC
B
A
}3{
}1{
1
{}
}2,1{
}4,3,2,1,0{
Operações com conjuntos:Intersecção
• Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos:
• A B = {x/xA e x B} (Intersecção)
• A B = {0, 2}
A
B1 3 4 5 6
0 2
Operações com conjuntos:União
• Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos:
• A B = {x/xA ou x B} (União)
• A B = {0, 1, 2, 3, 4, 5 ,6}
A
B1 3 4 5 6
0 2
Operações com conjuntos:Diferença
• Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos:
• A - B = {x/xA e xB} (Diferença)
• A - B = {1, 3, 4}
A
B1 3 4 5 6
0 2
Operações com conjuntos:Complementar
• Caso especial: um conjunto está contido no outro:
• A={0, 1 ,2} e B={0, 1, 2, 5, 6}, temos:
A B
0 1 25 6
• O complementar de B em relação a A:
}6,5{ ABC A
B
A B = {0, 1, 2, 5 ,6} = B A B = {0, 1, 2} = A
A-B={ } B-A={5, 6}
Operações com conjuntos:Produto cartesiano
• Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos:
• A x B = {(x,y)/xA e yB} (Produto cartesiano)
• AxB={(0,0); (0,2); (0,5); (0,6);(1,0); (1,2); (1,5); (1,6);(2,0); (2,2); (2,5); (2,6);(3,0); (3,2); (3,5); (3,6);(4,0); (4,2); (4,5); (4,6)}
• Atenção: n(A) = 5 e n(B)=4 e n(AxB)=5 . 4 = 20
• Par ordenado: (2, 0)(0, 2)
Representação no plano cartesiano
A={0, 1 ,2, 3, 4}
B={0, 2, 5, 6}
A
B
Atenção para:
•AxB: A no eixo horizontal e B
no eixo vertical
• (0,2) e (2,0) são pontos
distintos
• Os pontos não estão ligados
por linhas contínuas, isso
depende dos conjuntos e da
relação!
NÚMEROS NATURAIS
Estes números foram criados pela
necessidade prática de contar as coisas
da natureza, por isso são chamados de
números naturais.
1
2
3
4
A representação matemática deste conjunto é:
N = { 1, 2, 3, 4, 5, ... }
CONJUNTOS NUMÉRICOS
NÚMEROS INTEIROS
• Os números naturais não permitiam a resolução
de todas as operações. A subtracção de 3 - 4 era
impossível.
• A ideia do número negativo, aparece na
Índia,associada a problemas comerciais que
envolviam dívidas.
• A ideia do número zero surgiu também nesta
altura, para representar o nada.
NÚMEROS INTEIROS
A representação matemática deste conjunto é:
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
A representação matemática deste conjunto
através de diagramas e feita desta maneira
N Z
CONJUNTOS NUMÉRICOS
NÚMEROS RACIONAIS
Entretanto...surgiu outro tipo de problema:
“ Como dividir 3 vacas por 2 herdeiros? “
Para resolver este tipo de problemas foram criados
os números fracionários. Estes números juntamente
com os números inteiros formam os racionais.
Conjuntos numéricos
• Representação decimal de números racionais:
– A representação decimal de um número racional é obtida pela divisão de a por b.
– Esta divisão pode resultar em decimais exatas ou dízimas periódicas:
b
a
...1666,06
15,0
2
1
NÚMEROS RACIONAIS
Q = Z { números fracionários }
A representação matemática deste conjunto é:
A representação matemática deste conjunto através de
diagramas e feita desta maneira.
N Z Q
NÚMEROS IRRACIONAIS
É formado pelos números decimais
infinitos não-periódicos.
Alguns números irracionais famosos:
• Pi que vale 3,14159265 ....
• Phi φ que vale 1,61803399...
• Raízes quadradas de números primos
Conjunto numéricos
Conjunto dos Números Irracionais (I ou Ir)
Números decimais que não admitem representação fracionária
Exemplo: , a raiz quadrada de um número inteiro não-negativo que não é inteira, decimais infinitas e não-periódicas
...123456,275,3,2,
CONJUNTOS NUMÉRICOS
NÚMEROS REAIS
Os pitagóricos ao aplicarem o
Teorema de Pitágoras para
determinar a medida do
comprimento da diagonal de
um quadrado de lado unitário,
não conseguiram encontrar um
número racional para essa
medida.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
A representação matemática deste conjunto é:
R = Q { números irracionais }
NÚMEROS REAIS
A representação matemática deste conjunto através
de diagramas e feita desta maneira.
N Z Q
I
R
Petrobras 2003 TO CESP
Um posto de abastecimento decombustíveis vende gasolina
comum (GC), álcool anidro (AA)e óleo dísel (OD). Em uma
pesquisa realizada com 200 clientes, cada entrevistado declarou que seus veículos consomem pelo menos um dos produtos citados, de acordo com a tabela.Considerando essas informações e que cada veículo consome apenas um tipo de combustível, é correto afirmar que• 26) 35 clientes possuem apenas veículos que consomem OD.• 27) pelo menos dois produtos são consumidos pelos veículos de mais de
120 clientes.• 28) 10 clientes possuem mais de um veículo, sendo que pelo menos um
desses veículos consome GC e outro consome AA, mas não possuem nenhum veículo que consome OD.
PETROBRAS Cesp 2007
PETROBRAS 2008 CESP
PETROBRAS 2010 MAIO
PETROBRAS 2010
PETROBRAS 2010
PETROBRAS 2010.2
PETROBRAS 2011.2
PETROBRAS BIOCOMBUSTIVEIS
PETROQUIMICA SUAPE 2009