Aula Teórica 16
Equação de Navier-Stokes em coordenadas cilíndricas. Força de Coriolis
e escoamentos em tubos
Algebra da transformação
• As equações são deduzidas a partir de uma transformação de coordenadas convencional (ver detalhes na sebenta).
• A transformação de coordenadas põe em evidências as acelerações de Coriolis e centrípeta, que aparecem directamente a partir da aceleração convectiva.
• A aceleração centrípeta está associada ao gradiente radial de pressão no caso de ocorrer curvatura das linhas de corrente.
• A aceleração de coriolis é responsável pelo aumento da velocidade tangencial quando o raio de curvatura diminui.
Equações em coordenadas cilíndricas: Forças centrífuga e de Coriolis
z
zzzzz
zzr
z
rz
rr
rrrrr
zrr
rr
zr
gz
vv
rr
vrrrz
p
z
vv
v
r
v
r
vv
t
v
gv
rz
vv
rr
vrrr
p
rz
vv
r
vvv
r
v
r
vv
t
v
gv
rz
vv
rr
vrrrr
p
z
vv
r
vv
r
v
r
vv
t
v
z
vv
rr
rv
rt
rx
rx
zx
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
3
2
1
11
2111
211
011
sin
cos
Aceleração Centrípeta e de Coriolis
r
vv
t
v
r
p
r
v
r
2
A aceleração centrípeta origina aceleração radial, a menos que seja equilibrada por uma força exterior. Essa força só pode ser o gradiente de pressão. O atrito só poderia em escoamentos muito particulares e a gravidade não pode porque é uma força dirigida sempre no mesmo sentido. A aceleração de coriolis origina aceleração tangencial a menos que seja equilibrada por outra força. Essa aceleração aumenta quando o raio de curvatura diminui. A combinação com a aceleração centrípeta e o gradiente de pressão estão na origem dos escoamentos observadas nos tufões.
O escoamento nos tufões
• Nos tufões o ar roda em torno do centro do tufão e por isso tem aceleração centrípeta que se não for equilibrada pelo gradiente de pressão origina aceleração radial. No caso de a aceleração radial fazer convergir o escoamento para o centro de rotação, a velocidade tangencial aumenta devido ao efeito de coriolis.
• Nos tufões isso acontece. A pressão é globalmente hidrostática e o efeito do atrito faz baixar a velocidade junto ao solo. Como consequência o gradiente de pressão necessário para equilibrar a força centrífuga é excessivo, gerando aceleração centrípeta e obrigando o fluido a convergir para o centro.
Escoamento nos tufões
• Quando o fluido converge para o centro a velocidade tangencial aumenta devido a coriolis. Isto acontece junto ao solo por causa do retardamento do escoamento pelo atrito.
• Pelo contrário, no topo da atmosfera, acontece o contrário e o ar diverge do centro para a periferia. Quando o ar diverge do centro, a pressão baixa e o ar sobe, arrefecendo e gerando chuva.
• Vistos da terra, o tufões são por conseguinte escoamentos com rotação e velocidade dirigida para o centro, que aumenta à medida que “caminhamos” para o “olho” do furacão e que originam grande quantidade de chuva.
Escoamento laminar em tubos
• Os tufões são exemplos de escoamentos onde as forças de inércia e de pressão dominam o escoamento. Os tubos são exemplos em que o escoamento é determinado pelo equilíbrio entre as forças de pressão e as forças viscosas.
• O perfil de velocidades num tubo pode ser facilmente obtido integrando as equações de Navier – Stokes.
Balanço de Energia e de QM a um troço de um tubo
P1P2
Aτw
z
zzzzzz
zzr
z
zr
gz
vv
rr
v
rr
rv
rrz
p
z
vv
v
r
v
r
vv
t
v
z
vv
rr
rv
rt
2
2
22
2
2
211
011
C
x
gzprv
r
C
x
gzpr
r
v
Cx
gzpr
r
vr
x
gzpr
r
vrr
x
gzp
r
vrrr
z
vv
rr
vrrrx
gzp
gz
vv
rr
vrrrz
p
z
v
x
x
x
x
zzz
zzzz
z
4
1
2
12
11
011
011
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Condições de Fronteira
• r=R => v=0
22
2
4
1
4
rRx
gzpv
Cx
gzprv
Perfil Parabólico, vel máxima em r=0, vel aumenta com gradiente de pressão ou com gradiente de cota.
emedmed
med
R
A
RDVVf
x
gzpR
r
v
x
gzpRV
A
QV
x
gzpRQ
rdrrRx
gzpRdArR
x
gzpRQ
x
gzpRV
6464
2
1
2
82
8
244
4
2
2max
4
22
0
222
2
2
max
Tubo coaxial
• Onde a é o Raio do tubo exterior e b do interior
r
a
a
bba
rax
gzpv
CrCx
gzprv
r
C
x
gzpr
r
v
Cx
gzpr
r
vr
x
x
lnln4
1
ln4
2
2
2222
21
2
1
1
2