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3 - Blocos Casualizados, Quadrado Latino
e Outros Delineamentos3 -1 Delineamento em blocos completos casualizados
Um fator de perturbao (nuisance factor) um fator que provavelmente tem um efeito sobre aresposta, mas o pesquisador no est interessado neste efeito. Quando este efeito conhecido econtrolvel, ento pode-se usar a tcnica de blocagempara eliminar esse efeito da comparaoentre os tratamentos.
locos
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!
!emplo. "upon#a que uma pesquisadora dese$a verificar se a pot%ncia e o tempo demicroondas produ&em diferentes resultados para populao de bactriaspsicrotroficas(ufc/cm2), obtidas de amostras (' cm!) de carcaa de franos resfriados. *stratamentos utili&ados foram+ e ! minutos /' e 1 minuto e o controle. 0pesquisadora decidiu usar seis repeties por tratamento e fa&er as medies ao lono
de seis dias, desse modo, as repeties (blocos) so os dias. 2omo as unidadese3perimentais provavelmente comportam-se de modo diferente nestes dias (mais calor,menos calor, etc.), isto pode inflacionar o erro e3perimental. 0ssim, dese$a-se removera variabilidade entre unidades do erro e3perimental. 4ara este fim, vamos usar cadatratamento apenas uma ve& em cada um dos 5 dias. 6entro do bloco (dias), a ordem deaplicao dos tratamentos deve ser reali&ada de forma aleat7ria (por sorteio).
8ste delineamento mostrado na tabela a seuir.
Caso t"pico# $ulgador%bloco. 8ntre os blocos deve #aver diferenas marcantes dentro do blocodeve #aver #omoeneidade. 9eralmente, blocos iual a repeties.
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/
6elineamento em blocos completos casuali&ados para dados de populaes de
bactriaspsicrotroficas(lo de ufc:cm!)
locos;ratamentos
<
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?
3-1&1 'nlise estat"stica
B11B!1..
.Ba1
loco 4emplo+ dados de pop. depsicrotroficas. 0 pesquisadora dese$a construir intervalos deconfiana para a diferena entre duas mdias de populaes de bactrias com preciso(metade do intervalo de confiana)de ,' (no lo), com confiana de A'T. ;em-se umaestimativa de !J,1.
4ara b=0, a preciso do intervalo dada por+ ?51!,
'
1,!/5,! =
4ara b=?,a preciso do intervalo dada por+ '?1,?
1,!??,! =
0 pesquisadora deve usar b=0blocos.
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!1
3-0 Delineamento Quadrado Latino
8ste delineamento utili&a um duplo bloqueamento. 6ese$a-se controlar duas fontes devariabilidade, portanto vamos ter duas restri+es na casualizao.
2
*YUI0"
Ydios
L
;ratamentos "Q;ratamentos p-1 "Q;ratamentos:(p-1) Q>;ratamentosQ>8
Yin#as "QYin#as p-1 "QYin#as:(p-1)
2olunas "Q2olunas p-1 "Q2olunas:(p-1)
8rro 4or diferena (p-!)(p-1) "Q8:R(p-!)(p-1);otal "Q;otal p
!-1
* teste estatSstico de iualdade entre as mdias de tratamento dado por+
>
sratamento
$%
$%F =
Ne$eita-se a #ip7tese nula se LOL(p-1)(p-!)(p-1). (Usar o nSvel descritivo)
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!
!emplo 3-4& 6ados de aroma. *s resultados da anlise de variPncia foram obtidas atravs dosoftare "0" ("tatistical 0nalBsis "Bstem) e esto representados na tabela a seuir.
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!@
>aneiras de repetir um quadrado latino+
1 - Usar os mesmos $uladores e as mesmas ordens
! - Usar os mesmos $uladores mas diferentes ordens em cada repetio, ou, de forma equivalente,
usar as mesmas ordens mas diferentes $uladores *bs+ >aneira mais adequada/ - Usar diferentes ordens e diferentes $uladores.
=amos considerar o caso !, onde outros ? novos $uladores nas mesmas ordens sero utili&ados numanova repetio. 0ssim, temos ? novas colunasdentro de cada repetio.O segundo 2uadrado latino5 selecionado independentemente do primeiro& 6este e!emplo o (ator 7ordem/ 5 de classi(ica*o,
ou se$a no permite o sorteio&
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!A
0 anlise estatSstica, considerando as duas rplicas, foi reali&ada no "0", cu$os resultadosso apresentados a seuir.
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/
Delineamento cross-over 2uadrado latino
8m alumas situaes, perSodos de tempo (sesses), so um fator de estudo. Iestedelineamento os _sub$ects` ($uladores, animais, lo$as, etc.) so aleatoriamente desinados
para as diferentes ordens. 0ssume-se que todos os efeitos so aditivosefi4os,com e3ceo doefeito de !ul'adores o ual considerado aleatrio. 2ada $ulador recebe todos ostratamentos durante o tempo do e3perimento, por isso o nome de cross-over.
Ia tabela a seuir apresenta-se o esquema eral do delineamento cross-over. Loram utili&ados @$uladores.
6elineamento cross-over*rdens "esses (!)
(i) Zuladores 1 ! / ?mJ1 6J 0J 2J J1mJ! 6J 0J5 2J JmJ1 0J5 2J5 J 6J!
mJ! 0J5 2J5 J 6JmJ1 2J5 J5 6J 0J'/mJ! 2J J 6J5 0J?mJ1 J 6J 0J 2J?mJ! J' 6J5 0J 2J'
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/1
* modelo matemtico+
( ) ( )ijkmimkjiijkmy +++++=
8squema da 0I*=0 para o delineamento cross-over, onde n o nVmero de $uladores porordem, ep J nVmero de tratamentos J nVmero de ordens J nVmero de sesses.
8squema da 0I*=0 para o delineamento cross-over=ariaes no modelo 9raus de liberdade
*rdem p-1
"esso p-1;ratamentos p-1
Zuladores d. ordem p(n-1)8rro (p-1)(np-!);otal np!-1
ordem sesso ;ratamento Zuladordentro de
ordem
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/!
speran*as dos 2uadrados m5dios#
2
>rro
2
#
2
)ordeml'(Gu
p
i
2
i2
sratamento
p
i
2
i2
#esso
p
i
2
i
2#
2Hrdem
)$%(>
p)$%(>
pnp)$%(>
pnp)$%(>
pnpp)$%(>
=
+=+=
+=
++=
=
=
=
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//
83emplo+ dados de aroma (cross-over), os resultados da anlise de variPncia foramobtidas com o uso do "0".
2ausas devariao
"oma dequadrados
9raus deliberdade
Quadradosmdios
L
ISveldescritivo
;ratamentos !,5/ / ,@@ 1,@' ,1/@*rdem /,1/ / 1,?"esso !,/@ / ,A
Zula d. ordem /,!' ? ,@1
8rro @,' 1@ ,?;otal 1A,@@ /1
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/?
3-3 Quadrados de 8ouden e 9raeco-Latino
Quadrado 9raeco-Latino
uma e3tenso de um quadrado latinop 4 p,e obtido atravs da superposio de um seundoquadrado latino no qual os tratamentos so representados por letras reas. 2ada letra rea deveaparecer uma e somente uma ve& com cada letra latina (quadrados latinos ortoonais). 0 tabelaabai3o ilustra esse delineamento.
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/'
Quadrado de 8ouden
Quando no for possSvel utili&ar um quadrado latino porque o nVmero de nSveis decolunas menos do que o nVmero de nSveis de lin#as, ento pode-se fa&er uso doQuadrado de ouden.
>4emplo+ ;%m-se ? tratamentos ? $uladores para cada $ulador pode-se utili&arsomente / tratamentos
8squema do delineamento Quadrado de ouden*rdem dos tratamentos
Zulador 1 ! /1 0 2! 6 0 / 2 6 0? 2 6
8ste delineamento torna-se um quadrado latino com a adio da coluna 6, 2, , 0.
;odo par de tratamentos aparece o mesmo nVmero de ve&es dentro de $ulador.
4ara anlise consultar livro+ 2oc#ran, .9., and 9.>.2o3. 83perimental 6esins.
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/5
3-4 Blocos :ncompletos Balanceados
8m certos e3perimentos no possSvel utili&ar todos os tratamentos em cada bloco. 4or
e3emplo, num e3perimento para testar o efeito de 1 formulaes de um produto, comrelao ao sabor, aroma ou te3tura, devido a questes de sensibilidade, etc. , cada$ulador pode testar apenas ' formulaes. 0ssim, cada $ulador no pode testar todasas formulaes. Iesses casos, pode-se usar o delineamento em blocos incompletoscasualizados,onde, para cada $ulador (bloco), desinado uma parte das formulaes(tratamentos).
Blocos :ncompletos Balanceados# qualquer dois tratamentos aparecem $untos (nomesmo bloco) o mesmo nVmero de ve&es ().
83emplo+ um pesquisador formula a #ip7tese que a aceitabilidade de um alimento dependeda sua forma de preparo. Quatro formulaes de um produto esto sendo pesquisadas. 0samostras so preparadas e desinadas aos $uladores, os quais iro atribuir notas, dentro de
uma escala. "ero utili&ados ? $uladores. 2omo e3istem diferenas entre os $uladores, estessero tomados como blocos. 8ntretanto, cada $ulador pode testar apenas tr%s formulaes.8nto, deve-se usar um delineamento em locos
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/
locos incompletos balanceados para o e3perimento deformulao de um produto
;ratamentos Zuladores
(formulaes) 1 ! / ? Bi.1 ,/ ,? - ,1 !1,@! - ,' 5, ,! !1,?/ ,/ ,' 5,@ - !1,5? ,' - ,! ,' !!,!
B.$ !!,1 !!,? !, !1,@ @,JB..
8ste plano foi construSdo formando todas as possSveis combinaes de atratamentos emblocos de taman#o C.
IeferJncia biblio'rKfica+ 2oc#ran, .9. and 2o3, 9.>. 83perimental 6esins.
3-4&1 'nlise estat"stica# vamos assumir+
a tratamentos
bblocos
C tratamentos por bloco
rrepeties por tratamento
n=ar=bCobservaes
bblocos ==
?
/
?blocosb
k
a=
b=ar/C blocos
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/@
4ropriedade+ o nVmero de ve&es que cada par de tratamento aparece $unto no mesmo bloco +
==
=
arbkn
a
)r(k
1
1
Io e3emplo, !1?
)1/(/ ==
2aracterSsticas dos
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/A
O modelo estat"stico
i!i!i! +++=
*ndei! a observao do i-simo tratamento no!-simo bloco a mdia eral io efeito do i-simo tratamento $ o efeito do!-simo bloco e i! o erro aleat7rio,
I
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?
*nde $i o total a$ustado do i-simo tratamento e calculado por+
ainC
$b
! !i!ii
,...,!,11
1 ..
==
=2om ni!J 1 se o tratamento iaparece no bloco!e ni!J se o tratamento ino aparece nobloco!.
0 soma de quadrados do erro calculada por diferena+ "Q8
J"Q;
-"Q;ratamentos(a$ustado)
-"Qlocos
0 tabela a seuir resume a anlise de variPncia deste delineamento.
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?1
Q>
=F
>4emplo A"< dados de aceitabilidade de um produto. um
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?!
[ ]!!',
)?)(!(
)5,()1/,()!/,()/,(/ !!!!
)( =+++
=a!ustados;ratamento#$
/!',!!','',@1, ==>#$
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?/
Contrastes ortogonais#
*s contrastes ortoonais devem ser calculados com relao aos totais de tratamentos
a!ustados ($i). 0 soma dos quadrados do contraste dado por
)(=
>4emplo A"
20,/,2)?)(2/()1,)(A(L
0,/?,)?)(2/()A,)(A(L
10,/M,)?)(2/()2A,)(A(L
20,/M,)?)(2/()A,)(A(L
?
A
2
===
=========
/?MA1,/?.2
//0,/.A# == Io bate com o "tatistica e o "0".
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?'
!'!@@@A@!
!'//@@5A@/
!'5!'@A@/!'/@?@!?
!'///@@5A@!?
!'/5!'@A@!1?
,,)/,("/,M"
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?5
>dias de mSnimos quadrados+ so calculadas como,
',!',!',
!,',!',
15!',@5!',!',
1/',11!',!',
.?
./
.!
.1
...
=+===
== ==
+=
ii Io"0"soobtidas
como comando
Y">80I"
4ode-se aplicar um teste de comparaes mVltiplas com estas m5dias a$ustadas (d omesmo resultado do que nos efeitos dos tratamentos)&
General Linear Models Procedure Least Squares Means
Adust!ent "or !ulti#le co!#arisons$ %u&e'()ra!er
*+,M-LA A/%A Pr % 0$ LSM/AiLSM/A
LSM/A i 1 2 3 4
1 7.13750000 1 . 0.9825 0.8085 0.0130 2 7.16250000 2 0.9825 . 0.9462 0.0175 3 7.20000000 3 0.8085 0.9462 . 0.0281
4 7.50000000 4 0.0130 0.0175 0.0281 .
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?
Blocos :ncompletos BalanceadosBlocos :ncompletos Balanceados
7
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?@
!emplo 7:nstituto de
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?A
1 ! /1 0J/ J! 6J1! CJ! 0J1 ZJ// J! 2J/ LJ1? 2J/ 6J! CJ1' LJ! CJ/
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'
Ieste e3perimento temos+
a = tratamentos
C = A unidades e4perimentais por bloco
b = A blocos
r = M repeti+es
= 2 blocos nos uais os tratamentos i e iN aparecem !untos
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'1
6ota*o#
Oi!os resultados do tratamento ! no bloco i se o tratamento ! aparece no bloco i
*rdene osOi! dentro de cada bloco assinalando o posto 1 ] menor observao no bloco,posto ! ] seunda menor, e assim por diante, at o posto C, que assinalado a maior de todasas observaes no bloco i, $ que e3iste apenas Cobservaes dentro de cada bloco. 6enota-
se porI(Oi!)o posto deOi!ondeOi!e3iste.
2ompute-se a soma dos postos assinalados aos r valores observados para o!"simotratamento e c#ame esta soma deI!.
8nto, I!pode ser escrito como+
O teste de Durbin
b
i
i!! )O(II1
*nde somente r valores deI(Oi!)e3istem para cada tratamento!.
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'!
Observa*o#
1) "e as observaes so no numricas, por e3emplo+ ruim, mdio, bom, muito bom,mas so passSveis de serem ordenadas dentro dos blocos de acordo com alum critrio
de interesse, o posto de cada observao anotado e os valores deI!so calculadoscomo antes.
!) "e #ouver empates, recomenda-se assinalar o posto mdio ]s observaes empatadas.
?ressuposi*+es do teste de Durbin
1. *s blocos so mutuamente independentes um do outro
!. 6entro de cada bloco as observaes podem ser ordenadas em ordem crescente, deacordo com alum critrio de interesse.
ipteses#
C+ *s tratamentos tem efeitos id%nticos
C1+ 4elo menos um tratamento tende a produ&ir valores maiores do que pelo menos um
dos outros tratamentos.
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'/
* teste estatSstico de 6urbin definido como+
= +
+
=
t
!
2
! C
)C)(a(r
AI)C)(C(ra
)a(2
;
Nera de deciso do teste+
0Harejeitar
liberdadedegraus1-acomT
> ! ',#e
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'?
83emplo+
a = tratamentos
C = A unidades e4perimentais por bloco
b = A blocos
r = M repeti+es
= 2 blocos nos uais os tratamentos i e iN aparecem !untos
I9=? I:= IB=20 I@=1 I>= IF=0 IP=2 IQ=
IR= IG=M
,2
,?,?M
,?),AA2?(0,
A
)A)((M.A)M20120?(
)A)(A(.M
)(2 2222222222
==
=
++++++++++
+
=
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''
2om a utili&ao de um prorama estatSstico, obtemos o valor de qui-quadrado (2), com 1-1JA raus de liberdade e nSvel de sinificPncia de 'T, iual a 15,A1@A@. 2omo a estatSsticade 6urbin menor do que o valor de qui-quadrado tabelado, devemos aceitar a #ip7tese nulae, assim, no foi observado diferenas sinificativas entre os tratamentos quanto ao sabor.
Compara*+es mltiplasCompara*+es mltiplas
* mtodo que se seue pode ser usado para comparar pares de tratamentosse e somente sea#ip7tese nula for re$eitada.
2onsidere dois tratamentos i e iNdiferentes se as suas somas de postos satisfa&em adesiualdade+
))((
])()[)(()/(' 115
111!1 +
+>
babCa
aabCCCrtII ii
*nde t("/2) o quantil da distribuio tde "tudent com bC"a"bS raus de liberdade.2#amamos o lado direito da desiualdade de@iferena %Tnima #i'nificativa.
4(!
O1!,5)J,1@15 (valor p)
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'5
Continua*o do e!emplo#
Ieste e3emplo, faremos os testes de comparao de pares de tratamentos, somente para finsdidticos, pois o teste de 6urbin no foi sinificativo. =amos, inicialmente, encontrar o valorda d.m.s.
?@A5@
!'?
?A!?@5!
1/1//11551!111//1/1/A5!
115
111
'1!'1
!1
,
,
).)((
],.)(.)[)((,
))((
])()[)((
'
'
'
'
);/,(
)/(
>
>
++>
=
++
>
ii
ii
ii
ii
II
II
II
t
babCa
aabCCCrtII
2,0075!
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;emos 1(A):!J?' pares de tratamentos. =amos ver somente as seuintes diferenas.
1725""#1$25""
101525""
111!25""
%&
'&
(&
)&
====
====
* tratamento 2 apresenta diferenas sinificativas com relao aos tratamentos 0, L e