Bruckenkurs Mathematik
Vorlesung
Differentialrechnung
Kai Rothe
Technische Universitat Hamburg
0 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Differentialrechnung
Steigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Differenzenquotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Differentialquotient, Ableitung . . . . . . . . . . 7
Tangentengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Hohere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Tabelle mit Ableitungen von Funktionen 11
Differentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Linearitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Kehrwertregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Ableitung der Umkehrfunktion . . . . . . . . . . 20
Satz von Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Monotoniebereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Krummunsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Wendepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Differentialrechnung 1
Steigung:
Die Steigung ist ein Maß fur den Anstieg, der bewaltigtwerden muss, um vom Punkt A zum Punkt B zu ge-langen und wird festgelegt durch
Steigung =senkrechte Anderung
waagerechte Anderung.
Beispiel:
senkrechte Anderung = waagerechte Anderung
Steigung = 1 = 100 · 1
100= 100% .
x-Achse
y-Achse
Au
Bu
1
1
45◦
cos(45◦)� -
sin(45◦)
6
?
tan(45◦) = 1
6
? -
6
����������������
�����������������������
�r �r
2 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Differentialrechnung
Beispiel:
Steigung einer Geraden y = f (x) = ax + b .
A = (x0, y0) , B = (x1, y1) y0 = f (x0) , y1 = f (x1)
∆x := x1 − x0 waagerechte Anderung,
∆y := y1 − y0 senkrechte Anderung
Steigung =∆y
∆x=
ax1 + b− (ax0 + b)
x1 − x0= a
-
6
x-Achse
y-Achse
x0 x1
y0
y1
∆x� -
∆y
6
?
Au
Bu
��������������������������������
�r
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Differentialrechnung 3
Differenzenquotient:
Definition:
Der Quotient aus den Differenzen
∆y := y − y0 , ∆x := x− x0
wird als Differenzenquotient
oder auch Sekantensteigung
bzgl. der Punkte (x0, y0) und (x, y) bezeichnet
und besitzt fur die allgemeine Funktion f mit
x := x0 + h , y0 = f (x0) , y = f (x)
die Gestalt
S :=∆y
∆x=
f (x)− f (x0)
x− x0=
f (x0 + h)− f (x0)
h.
4 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Differentialrechnung
Lost man nach f (x) auf, so ergibt sich
f (x) = S(x− x0) + f (x0)
Bemerkung:
Ist f keine Gerade, so andert sich die SekantensteigungS mit x.
Vernachlassigt man dies, so gilt fur variables x nur noch
f (x) ≈ S(x− x0) + f (x0) .
Beispiel:
-1 1 2 3x
1
2
3
4
5
6
y
(x− 1)2 + 1 mit Sekante
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Differentialrechnung 5
Frage:
Welcher Differenzenquotient wird verwendet,
um die Steigung fur die Funktion f
an der Stelle x0 zu erhalten?
Beispiel:
-1 1 2 3x
1
2
3
4
5
6
y
(x− 1)2 + 1 mit verschiedenen Sekanten
6 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Differentialrechnung
Antwort:
Je naher x bei x0 liegt,desto besser wird die tatsachliche Steigung von f in x0wiedergegeben.
Man betrachtet daher
die Folge der Differenzenquotienten fur x→ x0(alle Folgen, die gegen x0 konvergieren sind zugelassen)
und nennt den Grenzwert Differentialquotient.
Aus der Folge von Sekanten
wird dann im Grenzwert die Tangente,die f im Punkt x0 tangential beruhrt.
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Differentialrechnung 7
Differentialquotient:
Definition:
Der Grenzwert
df
dx(x0) := f ′(x0) := lim
x→x0
f (x)− f (x0)
x− x0.
wird im Falle der Existenz als Differentialquotientder Funktion f im Punkt x0 bezeichnet.
f heißt dann differenzierbar in x0.
Man bezeichnet f ′(x0) auch als Ableitung von f inx0.
Ist f in jedem Punkt des Definitionsbereiches [a, b] dif-ferenzierbar, so heißt f differenzierbar auf [a, b].
Dabei kann f ′(x) wieder als Funktion von x aufgefasstwerden.
8 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Differentialrechnung
Beispiel: nicht differenzierbare Funktion
f : IR → IR ,
x 7→ |x| =
{−x , x < 0 ,
x , x ≥ 0
Die Betragsfunktion ist in x0 = 0 nicht differenzierbar,denn die Differenzenquotientenfolgen zweier verschiede-ner Nullfolgen fuhren nicht auf das gleiche Ergebnis:
xn =1
n⇒ lim
n→∞
f (xn)− f (0)
xn − 0= lim
n→∞
1/n
1/n= lim
n→∞1 = 1
xn = −1
n⇒ lim
n→∞
f (xn)− f (0)
xn − 0= lim
n→∞
1/n
−1/n= −1 .
-1 -0.5 0.5 1x
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
y
in x0 = 0 nicht differenzierbare Funktion
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Differentialrechnung 9
Tangentengleichung:
Die Gerade T (x) = ax+ b heißt Tangente an f in x0,
falls T (x0) = f (x0) und T ′(x0) = f ′(x0) gilt:
⇒ T (x) = f ′(x0)(x− x0) + f (x0) .
Die Tangente wird auch als Linearisierung der Funk-tion f im Punkt x0 bezeichnet.
In einer kleinen Umgebung von x0 gilt dann
f (x) ≈ T (x) = f ′(x0)(x− x0) + f (x0) .
-2 -1 1 2x
-1
1
2
3
4
5
y
x0 = 1, f (x) = x2 + 1, T (x) = 2(x− 1) + 2
10 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Differentialrechnung
Hohere Ableitungen:
Definition:
Ist f ′ : D → IR differenzierbar, so wird die Ableitungvon f ′ zweite Ableitung von f genannt und mit
f ′′(x) oderd2f (x)
dx2bezeichnet.
Allgemein lasst sich die n-te Ableitung (n ≥ 1) re-kursiv definieren durch:
d(0)f (x)
dx(0):= f (0)(x) := f (x)
und f (n)(x) =d(n)f (x)
dx(n):=
d
dx
(d(n−1)f (x)
dx(n−1)
).
Beispiel:
f (x) = x3 + x2 + x + 1
f ′(x) = 3x2 + 2x + 1
f ′′(x) = 6x + 2
f ′′′(x) = 6
f ′′′′(x) = 0
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Differentialrechnung 11
Tabelle mit Ableitungen:
f (x) f ′(x)
c 0 , c ∈ IR
x 1
xα αxα−1 , α ∈ IR\{0}ex ex
lnx1
xsinx cosx
cosx − sinx
tanx 1 + tan2 x =1
cos2 x
arcsinx1√
1− x2
arccosx − 1√1− x2
arctanx1
1 + x2sinhx coshx
coshx sinhx
arsinhx1√x2 + 1
arcoshx1√
x2 − 1
12 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Differentialrechnung
Differentiationsregeln
Die Ableitung einer Funktion wird in der Praxis nichtuber den Differentialquotienten, sondern uber Differen-tiationsregeln unter Verwendung der Ableitungen ele-mentar bekannter Funktionen ausgerechnet.
Sind f, g : D ⊂ IR→ IR in x0 ∈ D0 differenzierbar, sogilt:
Linearitat
(f + g)′(x0) = f ′(x0) + g′(x0) , Summenregel
(c · f )′(x0) = c · f ′(x0) , c ∈ IR , Faktorregel
Beispiele:
1. Polynom
(3x6 − 5x2 + 7x + 10)′
= 3(x6)′ − 5(x2)′ + 7(x)′ + (10)′
= 3 · 6x5 − 5 · 2x + 7 · 1= 18x5 − 10x + 7
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Differentialrechnung 13
2. gerades Polynom
-3 -2 -1 1 2 3x
-4
-2
2
4
6
8
y
p(x) = x4 − 4x2 + 1
-2 -1 1 2x
-6
-4
-2
2
4
6
y
p′(x) = 4x3 − 8x
Bemerkung:
• Ableitung einer geraden Funktion ist ungerade.
• Ableitung einer ungeraden Funktion ist gerade.
14 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Differentialrechnung
Produktregel
(f · g)′(x0) = f ′(x0)g(x0) + f (x0)g′(x0) ,
Beispiele:
1. (x2 · sinx)′ = (x2)′ sinx + x2(sinx)′
= 2x sinx + x2 cosx
2. (cos2 x)′ = (cosx · cosx)′
= − sinx cosx + cosx(− sinx) = −2 sinx cosx
3. (5x2)′ = (5 · x2)′
= 0 · x2 + 5 · 2x = 5 · 2x = 10x
(vgl. Regel fur konstanten Faktor)
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Differentialrechnung 15
Kehrwertregel
(1
g
)′(x0) = − g′(x0)
(g(x0))2fur g(x0) 6= 0 ,
Beispiele:
1. (x−1)′ =
(1
x
)′= − 1
x2= −x−2
2.
(1
cosx
)′= − cos′ x
cos2 x= −− sinx
cos2 x=
sinx
cos2 x
3. (tan x)′ =
(sinx · 1
cosx
)′(Produktregel)
= sin′ x · 1
cosx+ sinx ·
(1
cosx
)′= cosx · 1
cosx+ sinx · sinx
cos2 x= 1 +
sin2 x
cos2 x
= 1 + tan2 x
16 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Differentialrechnung
Quotientenregel
(f
g
)′(x0) =
f ′(x0)g(x0)− f (x0)g′(x0)
(g(x0))2fur g(x0) 6= 0.
Beispiel 1: rationale Funktion
(x2 + x + 1
x3 − 5
)′
=(x2 + x + 1)′ · (x3 − 5)− (x2 + x + 1) · (x3 − 5)′
(x3 − 5)2
=(2x + 1) · (x3 − 5)− (x2 + x + 1) · (3x2)
(x3 − 5)2
=−5− 10x− 3x2 − 2x3 − x4
(x3 − 5)2
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Differentialrechnung 17
Beispiel 2: Tangensfunktion
tan′(x) =
(sin(x)
cos(x)
)′
=sin′(x) cos(x)− sin(x) cos′(x)
cos2(x)Quotientenregel
=cos(x) cos(x)− sin(x)(− sin(x))
cos2(x)
=cos2(x) + sin2(x)
cos2(x)=
1
cos2(x)
oder =cos2(x)
cos2(x)+
sin2(x)
cos2(x)= 1 + tan2(x)
Also
tan′(x) = 1 + tan2(x) =1
cos2(x).
18 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Differentialrechnung
Kettenregel
Gegeben seien die Funktionen
f : [a, b]→ IR
undg : [c, d]→ IR .
Funktionsverkettung fur f ([a, b]) = [c, d]
g ◦ f : [a, b]f→ [c, d]
g→ IR .
Dabei bezeichet (g ◦ f )(x) = g(f (x))die Hintereinanderausfuhrung der Funktionen.Erst wird f auf x und dann g auf y = f (x) angewendet.
Ist f in x0 ∈]a, b[ und g in f (x0) =: y0 ∈]c, d[differenzierbar, dann gilt
d(g ◦ f )
dx(x0) =
dg
dy(y0) ·
df
dx(x0) .
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Differentialrechnung 19
Beispiele:
1. (g ◦ f )(x) = ex2
= exp( x2︸︷︷︸y=f(x)
)
(ex2)′ = (ey)′ · (x2)′ = ey · 2x = 2x · ex2
2. (g ◦ f )(x) = sin(x2 + x + 1︸ ︷︷ ︸y=f(x)
)
(sin(x2 + x + 1))′ = sin′(y) · (x2 + x + 1)′
= cos(y) · (2x + 1)
= cos(x2 + x + 1) · (2x + 1)
3. (g ◦ f )(x) = elnx = exp( lnx︸︷︷︸y=f(x)
) ( = x )
(elnx)′ = (ey)′ · (lnx)′ = ey · 1
x= elnx · 1
x=x
x= 1
20 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Differentialrechnung
Ableitung der Umkehrfunktion
Sei f : [a, b] → IR eine in [a, b] stetige und streng mo-noton wachsende Funktion und differenzierbar inx0 ∈ [a, b] mit f ′(x0) 6= 0.
Dann ist die Umkehrfunktion f−1 : [f (a), f (b)] → IRin y0 := f (x0) differenzierbar und es gilt:
(f−1(y0)
)′=
1
f ′(x0)=
1
f ′ (f−1(y0)).
Beispiele:
1. naturlicher Logarithmus
y = ex = f (x) und x = ln y = f−1(y)
(ln y)′ =1
(ex)′=
1
ex=
1
eln y=
1
y
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Differentialrechnung 21
2. n.-ten Wurzelfunktion
y = xn = f (x), x = y1n = n√y = f−1(y),
(y1/n
)′=(f−1(y)
)′=
1
f ′(x)=
1
nxn−1
=1
n(y
1n
)n−1 =1
ny1−1n
=1
n· y
1n−1
3. arcsinus
y = arcsin(x) = f (x), x = sin y = f−1(y),
arcsin′(x) =1
(sin(y))′=
1
cos(y)
=1√
1− sin2(y)=
1√1− x2
Mit der Kreisgleichung: cos2 y + sin2 y = 1.
22 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Differentialrechnung
Satz von Rolle
Gegeben sei eine stetige Funktion
f : [a, b]→ IR ,
die auf ]a, b[ differenzierbar ist. Dann gilt
f (a) = f (b) ⇒ ∃ x0 ∈ ]a, b[ mit f ′(x0) = 0 .
Beispiel:
-1 1 2 3 4 5x
-1
1
2
3
4
5
y
f (x) = −(x− 2)2 + 4 mit f ′(2) = 0
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Differentialrechnung 23
Mittelwertsatz
Gegeben sei eine stetige Funktion
f : [a, b]→ IR ,
die auf ]a, b[ differenzierbar ist. Dann
∃ x0 ∈ ]a, b[ mit f ′(x0) =f (b)− f (a)
b− a.
Beispiel:
f (x) = −(x− 2)2 + 4 , [a, b] = [1, 4] ⇒ x0 =5
2
⇒ f (4)− f (1)
4− 1=
0− 3
4− 1= −1 = f ′
(5
2
)
1.5 2 2.5 3 3.5 4x
-1
1
2
3
4
5
y
f (x) = −(x− 2)2 + 4 mit f ′(
5
2
)
24 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Differentialrechnung
Monotoniebereiche:
Definition:
Gegeben sei eine Funktion
f : [a, b]→ IR ,
mit beliebigen x1, x2 ∈ [a, b]. Die Funktion f heißt
•monoton wachsend, falls gilt:
x1 < x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2) ,
• streng monoton wachsend, falls gilt:
x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2) ,
•monoton fallend, falls gilt:
x1 < x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2) ,
• streng monoton fallend, falls gilt:
x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2) .
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Differentialrechnung 25
Sei f : [a, b] → IR , eine differenzierbare Funktion,dann gilt
• f ′(x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b]
⇔ monoton wachsend in [a, b] ,
• f ′(x) > 0 ∀ x ∈ [a, b]
⇒ streng monoton wachsend in [a, b] ,
• f ′(x) ≤ 0 ∀ x ∈ [a, b]
⇔ monoton fallend in [a, b] ,
• f ′(x) < 0 ∀ x ∈ [a, b]
⇒ streng monoton fallend in [a, b] .
Beispiel: f (x) = x3 + x⇒ f ′(x) = 3x2 + 1 > 0
-2 -1 1 2x
-10
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
10
y
streng monoton wachsend: f (x) = x3 + x
26 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Differentialrechnung
Extremwerte:
Definition:
Gegeben sei eine Funktion f : [a, b]→ IR. Fur x0 ∈ Ddefiniert man:
1. f besitzt in x0 ein globales Maximum,
falls ∀x ∈ [a, b] gilt: f (x) ≤ f (x0) .
2. f besitzt in x0 ein lokales Maximum,
falls ein ε > 0 existiert, so dass
∀x ∈ ]x0 − ε, x0 + ε[ ∩[a, b] gilt: f (x) ≤ f (x0) .
3. x0 heißt strenges Maximum, wenn in a) und b)
f (x) ≤ f (x0) durch f (x) < f (x0) ersetzt werdenkann .
4. Gilt in 1. und 2. f (x) ≥ f (x0) bzw. f (x) > f (x0),so spricht man vom Minimum in x0.
5. f besitzt in x0 ein Extremum, falls es sich um einMaximum oder Minimum handelt.
6. f besitzt in x0 einen stationaren Punkt, fallsf ′(x0) = 0 gilt.
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Differentialrechnung 27
Notwendige Bedingung:
Ist f in x0 ∈ ]a, b[ differenzierbar und liegt in x0 einelokale Extremstelle vor, dann gilt f ′(x0) = 0.
Beispiel:
f (x) = x2 ⇒ f ′(x) = 2x = 0 ⇒ x0 = 0
Der stationare Punkt x0 = 0 ist ein strenges globalesMinimum (global, weil f (0) = 0 und f (x) = x2 ≥ 0).
-2 -1 1 2x
-1
1
2
3
4
y
f (x) = x2
28 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Differentialrechnung
Beispiel:
f (x) = x3 ⇒ f ′(x) = 3x2 = 0 ⇒ x0 = 0
Der stationare Punkt x0 = 0 ist kein Extremum.
-2 -1 1 2x
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
y
f (x) = x3
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Differentialrechnung 29
Hinreichende Bedingung
Es sei f eine zweimal stetig differenzierbare Funktionin [a, b].
Gilt f ′(x0) = 0 fur x0 ∈ ]a, b[ und
1. f ′′(x0) < 0,
dann besitzt f in x0 ein strenges lokales Maximum,
2. f ′′(x0) > 0,
dann besitzt f in x0 ein strenges lokales Minimum.
Beispiel:
f (x) = x2 ⇒ f ′(x) = 2x ⇒ f ′′(x) = 2
f ′(x) = 2x = 0 ⇒ x0 = 0 ist stationarer Punkt.
f ′′(0) = 2 > 0 ⇒ x0 = 0 ist strenges lokales Minimum
-2 -1 1 2x
-1
1
2
3
4
y
f (x) = x2
30 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Differentialrechnung
Hinreichende Bedingung
Es sei f eine stetig differenzierbare Funktion in [a, b].
Gilt f ′(x0) = 0 fur x0 ∈ ]a, b[ und
1. f ′(x) ≥ 0 fur x ∈]a, x0[ und f ′(x) ≤ 0 fur x ∈]x0, b[,dann besitzt f in x0 ein lokales Maximum,
2. f ′(x) ≤ 0 fur x ∈]a, x0[ und f ′(x) ≥ 0 fur x ∈]x0, b[,dann besitzt f in x0 ein lokales Minimum.
Beispiel:
f ′(x) = 2x
< 0 , x < 0 : streng monoton fallend= 0 , x = 0 : strenges lokales Minimum> 0 , x > 0 : streng monoton wachsend
-2 -1 1 2x
-1
1
2
3
4
y
f (x) = x2
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Differentialrechnung 31
Extrema in Randpunkten
Es sei f eine stetig differenzierbare Funktion in [a, b]und 0 < ε ≤ b− a. Gilt
1. f ′(x) < 0:
streng monoton fallend fur x ∈ [a, a + ε],
dann besitzt f in a ein strenges lokales Maximum,
2. f ′(x) > 0:
streng monoton wachsend fur x ∈ [b− ε, b],
dann besitzt f in b ein strenges lokales Maximum.
Bei Umkehrung der Ungleichung erhalt man eine ent-sprechende Bedingung fur ein Minimum.
32 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Differentialrechnung
Beispiel:
f : IR+0 → IR+
0 , x 7→ f (x) =√x = x1/2
Es gibt keine Extrema in IR+, denn
f ′(x) =1
2x−1/2 =
1
2√x> 0
(f wachst streng monoton)
Wegen√
0 = 0 und√x > 0 fur x 6= 0 gilt
x0 = 0 ist streng globales Minimum.
0 5 10 15x
1
2
3
4
y
x ∈ [0,∞[ , f (x) =√x
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Differentialrechnung 33
Beispiel:
f : [0, 1]→ IR , x 7→ f (x) = ex
f ′(x) = ex > 0 , d.h. f wachst streng monoton
x0 = 0 ist streng lokales Minimum,
x1 = 1 ist streng lokales Maximum
0.2 0.4 0.6 0.8 1x
0.5
1
1.5
2
2.5
3
y
x ∈ [0, 1] , f (x) = ex
34 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Differentialrechnung
Krummungsverhalten:
Das Krummungsverhalten einer Funktion f wird uberdie Begriffe “konvex” (Linkskrummung) und “konkav”(Rechtskrummung) erklart.
Definition:
1. Eine Funktion f : [a, b]→ IR heißt konvex in [a, b],
falls fur alle x1, x2 ∈ [a, b] mit x1 < x < x2 gilt
f (x) ≤ g(x) := f (x1) +x− x1x2 − x1
(f (x2)− f (x1)) .
Der Funktionsgraph von f im Intervall [x1, x2] ist al-so kleinergleich der Sekante durch die Punkte (x1, f (x1))und (x2, f (x2)).
2. Gilt in 1. f (x) ≥ g(x), so spricht man von konkav.
3. Wird f (x) ≤ g(x) durch f (x) < g(x) ersetzt,
so heißt f streng konvex,
im umgekehrten Fall (> statt ≥) streng konkav.
4. Hinreichende Bedingung:
∀x ∈ ]a, b[ gilt: f ′′(x) > 0 ⇒ f streng konvex
∀x ∈ ]a, b[ gilt: f ′′(x) < 0 ⇒ f streng konkav
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Differentialrechnung 35
Beispiele:
0.5 1 1.5 2 2.5x
1
2
3
4
5
y
f streng konvex in [0, 2.5]
0.5 1 1.5 2 2.5 3x
1
2
3
4
5
6
7
y
f streng konkav in [0, 2.5]
36 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Differentialrechnung
Wendepunkte:
Definition:
Die Funktion f : [a, b] → IR besitzt in x0 ∈ ]a, b[einen Wendepunkt, wenn f in diesem Punkt seinKrummungsverhalten andert.
Genauer formuliert bedeutet dies:Fur hinreichend kleines ε > 0 ist f in ]x0−ε, x0[ konvexund in ]x0, x0 + ε[ konkav oder umgekehrt.
Notwendige Bedingung:
Ist f eine zweimal stetig differenzierbare Funktion in[a, b] mit x0 ∈ ]a, b[, dann gilt
x0 ist Wendepunkt ⇒ f ′′(x0) = 0 .
Hinreichende Bedingung:
Ist f eine dreimal stetig differenzierbare Funktion in[a, b] mit x0 ∈ ]a, b[, dann gilt
f ′′(x0) = 0 ∧ f ′′′(x0) 6= 0 ⇒ x0 ist Wendepunkt.
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Differentialrechnung 37
Beispiel:
Notwendige Bedingung:
f (x) = x4 ⇒ f ′′(x) = 12x2 = 0 ⇒ x0 = 0 .
Fur die hinreichende Bedingung muss zusatzlich gelten
f ′′′(x0) = 24x0 6= 0 .
Diese Bedingung ist jedoch nicht erfullt: f ′′′(0) = 0 .
Tatsachlich ist x0 = 0 auch kein Wendepunkt, sondernein Minimum.
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5x
2
4
6
8
y
f (x) = x4 und x0 = 0 ist kein Wendepunkt
38 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Differentialrechnung
Beispiel:
Notwendige Bedingung:
f (x) = x3 ⇒ f ′′(x) = 6x = 0 ⇒ x0 = 0 .
Fur die hinreichende Bedingung muss zusatzlich gelten
f ′′′(x0) = 6 6= 0 .
Die Bedingung ist erfullt ⇒ x0 = 0 ist Wendepunkt.
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5x
-6
-4
-2
2
4
6
y
f (x) = x3 und x0 = 0 ist Wendepunkt