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CAMPOS ELÉCTRICOS PROPRIEDADES DAS CARGAS ELÉCTRICAS
• Existem dois tipos de cargas: positivas e negativas.
• As cargas conservam-se.
• Existem forças de atracção e de repulsão entre as cargas, caso sejam de sinais
contrários ou do mesmo sinal, respectivamente.
• Estas forças são proporcionais ao inverso do quadrado da distância entre as cargas.
ISOLADORES E CONDUTORES
• Quanto à capacidade de transportar cargas eléctricas, os materiais dividem-se em:
(i) Condutores – possuem cargas eléctricas livres.
(ii) Isolantes – têm dificuldade em transportar carga eléctrica.
(iii) Semi-condutores – possuem propriedades intermédias.
• Existem várias formas de alterar o estado de electrização de um corpo, por exemplo:
(i) Por contacto.
(ii) Por indução – pode envolver electrização (condutores) ou polarização (isolantes).
Formalismo do Electromagnetismo
(equações de Maxwell)
Explicativo de todos os fenómenos que envolvem propriedades eléctricas e
magnéticas
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LEI DE COULOMB
• A lei de Coulomb foi uma lei estabelecida com base nos
seguintes dados experimentais:
(i) A força eléctrica entre duas cargas tem a direcção da
linha que as une,
(ii) é inversamente proporcional ao quadrado da distância
entre elas,
(iii) é proporcional ao produto das cargas,
(iv) é atractiva quando as cargas têm sinais contrários e
repulsiva, quando têm sinais iguais.
• Matematicamente, a lei é expressa através da relação:
re urqq
kFrr
221
eléc = , com ke a constante de Coulomb: 229
0
C/Nm109875.84
1×==
πεek ,
e ε0 a permitividade do vazio: 22-12
0 Nm/C108.8542×=ε
• Como seria previsível pelo cálculo
vectorial, também as forças eléctricas
cumprem o princípio da sobreposição
das forças. De modo que a força que
actua sobre uma partícula é a soma de
todas as forças exercidas sobre ela.
• Como exemplo ilustrativo, considerar duas cargas positivas q1 e q2 e uma terceira
carga negativa, q3, num ponto da linha que une as duas primeiras. Pode
demonstrar-se que a coordenada em que a força aplicada à partícula q3 dada por:
( )( )21
211
qqqqqL
x−
±=
CAMPO ELÉCTRICO
• O campo eléctrico é definido pela razão entre a força eléctrica que actua sobre uma
carga de prova positiva colocada num determinado ponto do espaço e o valor dessa
carga.
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re urQ
kqF
Er
rr2
0eléc ==
• Tendo em conta esta definição, facilmente se conclui que:
(i) O campo tem sempre a direcção e sentido da força.
(ii) O campo é independente da partícula de prova, dependendo
apenas das cargas que lhe dão origem.
(iii) O campo existe mesmo na ausência da carga de prova.
(iv) A carga de prova deve ser tão
pequena quanto possível, para que
não interfira no campo que está estabelecido.
• Como exemplo ilustrativo, pode considerar-se o campo eléctrico
criado por um dipolo:
3eléc2yqa
kE e=
CAMPO ELÉCTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA
• Considera-se uma distribuição contínua quando a distância entre as cargas é muito
menor do que a distância ao ponto de medida.
• Para o cálculo do campo eléctrico produzido por uma
distribuição contínua de cargas, utiliza-se o estratagema de
dividir o volume total em volumes infinitesimais correspondentes
a cargas ∆q.
• Nesse caso o campo será dado por:
∫∑∑ =∆
=∆
=→∆ rer
i i
i
qeri i
ie u
rdq
kurq
kurq
kEi
ii
rrrr2202eléc lim
• Na abordagem contínua, surgem conceitos importantes como as
densidades de carga volúmica, superficial e linear:
lQ
AQ
sVQ
≡≡≡ λρ , válidas para distribuições uniformes de carga, de um
modo mais geral, temos:
30
dldQ
dAdQ
sdVdQ
≡≡≡ λρ
• Como exemplo ilustrativo, pode considerar-se o campo eléctrico criado por uma
barra carregada:
( )dldQ
kE e +=
LINHAS DE CAMPO ELÉCTRICO
• As linhas de campo eléctrico relacionam-se com este da seguinte forma:
(i) O vector campo eléctrico é tangente às linhas de
campo.
(ii) O nº de linhas de campo por unidade de área que
atravessam uma superfície perpendicular ao
campo é proporcional à amplitude do campo
nessa região.
• Propriedades das linhas de campo:
(i) As linhas começam nas cargas positivas e terminam nas negativas (ou então
começam ou acabam no infinito se a carga total não for nula).
(ii) O nº de linhas que chegam ou partem de uma carga é proporcional à sua
amplitude.
(iii) As linhas não se cruzam.
• Verifique-se que esta forma de desenhar linhas de campo é compatível com a lei de
Coulomb. É fácil provar que:
24 rN
Eπ
α , desde que se considere uma esfera centrada numa carga pontual
• Debilidades desta representação:
(i) Dão a ilusão de que o campo eléctrico é descontínuo.
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(ii) Aparecem como uma representação bi-dimensional de uma realidade
tri-dimensional.
• Exemplos de distribuição de linhas de campo devido a várias conformações de carga:
a) b) c) d) e)
• Repare-se que num ponto afastado as linhas c), d) e e) são semelhantes às a) e b).
MOVIMENTO DE PARTÍCULAS CARREGADAS NUM CAMPO UNIFORME
• Repare-se que uma carga que seja colocada num campo eléctrico uniforme, fica
sujeita a uma força, pelo que terá um movimento uniformemente acelerado, com
aceleração:
mEq
ar
r=
• Se a partícula for positiva a aceleração terá o sentido do campo, caso contrário terá o
sentido contrário.
• É com base neste resultado que se constroem os osciloscópios:
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LEI DE GAUSS FLUXO ELÉCTRICO
• O fluxo eléctrico numa determinada superfície é definido como o nº de linhas de
campo que a atravessam.
• Então, o fluxo eléctrico através de uma superfície fechada vai ser proporcional à
carga no seu interior e não irá depender da forma dessa
superfície.
• Comece-se por calcular o fluxo eléctrico numa situação
simples – considere-se um campo eléctrico uniforme E
e uma superfície A que lhe é perpendicular. O fluxo
vem dado por:
AE.=φ porque: EAAAN
N ===φ (N m2 / C)
• Se a superfície não for perpendicular ao campo,
temos:
ϑφ cos.AE= , sendo ϑ o ângulo entre Er
e Ar
.
• No caso mais geral em que o campo eléctrico varia em redor da superfície tem-se:
∑ ∫=∆=→∆ i
iiAAdEAE
i sup0
..limrrrr
φ
• E no caso de uma superfície fechada, obtém-se:
∫∫ == dAEAdE n
rr.φ ,
sendo En a componente do campo normal à superfície.
Lei de Gauss Forma alternativa de calcular o campo eléctrico criado por uma distribuição de cargas
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LEI DE GAUSS
• A Lei de Gauss fornece uma relação entre o fluxo calculado
através de uma superfície fechada e a carga existente no seu
interior.
• O cálculo do fluxo através de uma esfera que envolve uma
carga Q positiva vem dado por:
εφ
Q=
• Na verdade, mesmo que a superfície considerada não seja esférica, o fluxo será igual, uma
vez que é proporcional ao número de linhas de campo.
• Quanto ao fluxo de um campo criado por cargas no exterior da
superfície considerada, facilmente se verifica que é nulo.
• Combinando os dois resultados e admitindo, uma vez mais, a
sobreposição dos campos:
εφ int.
QAdE == ∫rr
“O fluxo através de qualquer superfície fechada é igual à carga no seu interior dividida pela
constante ε”
• Nos problemas em que a Lei de Gauss é utilizada, deve ter-se em atenção o seguinte:
(v) A superfície considerada não tem, necessariamente, realidade física.
(vi) Esta é uma abordagem muito útil para casos em que seja evidente um elevado nível de
simetria.
(vii) A escolha da superfície é crucial.
APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS A ISOLANTES CARREGADOS
• Calcule-se o campo criado por uma esfera isolante com densidade de carga ρ e carga total
positiva Q. (considere-se pontos no interior e no exterior da esfera).
no exterior: 2rQ
kE e=
34
no interior: raQ
kE e 3=
• Calcule-se o campo criado por um fio infinito com densidade de carga linear, λ, constante:
rkE e
λ2=
• Calcule-se o campo criado por um plano infinito com densidade de carga superficial, σ,
constante:
εσ2
=E
CONDUTORES EM EQUILÍBRIO ELECTROSTÁTICO
• Um condutor diz-se em equilíbrio electrostático quando não existe movimento de cargas
no seu interior. Nestas condições mostra-se que:
(i) O campo eléctrico no seu interior é nulo.
Caso contrário as cargas tenderiam a se mover.
(ii) As cargas existentes no interior do condutor encontram-se à superfície.
Se: 0 0int =⇒= QEr
e, portanto, as cargas só poderão estar à superfície
do condutor.
(iii) O campo eléctrico fora do condutor, mas junto à fronteira, é perpendicular à superfície e
tem amplitude: σ / ε0.
Se fosse tangencial as cargas encontrar-se-iam em movimento.
Pela Lei de Gauss, prova-se a sua amplitude.
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POTENCIAL ELÉCTRICO DIFERENÇA DE POTENCIAL E POTENCIAL ELÉCTRICO
• Comece-se por calcular o trabalho realizado por uma força eléctrica sobre uma carga
sujeita a um campo eléctrico:
∫∫ ==B
A
B
AeF sdEqsdFW
e
rrrr.. 0
• Se a este trabalho for associada uma variação de energia potencial ∆U , tem-se:
∫∫
∫∫
−=∆⇔−=−
⇔
⇔−=−⇔−=∆⇔∆−=
B
A
B
A
if
B
Aif
B
AF
sdEVsdEq
UU
sdEqUUsdEqUUWe
rrrr
rrrr
..
..
0
00
• Onde a quantidade U/q0 é definida como a função potencial eléctrico.
• Repare-se que o potencial eléctrico é dependente do campo, mas independente da
carga, enquanto a energia eléctrica depende de ambos.
• O potencial eléctrico exige a definição de uma referência. Por convenção, o potencial
num ponto infinito é nulo. Então: “ O potencial eléctrico num qualquer ponto P é o
trabalho por unidade de carga realizado sobre uma partícula positiva para a fazer
mover do infinito até esse ponto.”
• A unidade de potencial eléctrico é o volt (V), que equivale a 1J/1C.
DIFERENÇAS DE POTENCIAL NUM CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME
• A diferença de potencial criada por um campo uniforme vem dada por:
EdV −=∆
o que pode ser verificado pensando no que se passa com uma partícula que é trazida de um
ponto A para um ponto B, onde está estabelecido um campo eléctrico com a mesma linha de
acção.
O potencial eléctrico
Permite uma abordagem energética dos problemas de electromagnetismo.
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• Enquanto que a variação de energia potencial, vem dada por:
EdqU 0−=∆
• Se o deslocamento não acontecer segundo a direcção do campo:
EdsEV −=−=∆rr
.
• Donde resulta que qualquer plano perpendicular a um campo eléctrico uniforme se
encontra ao mesmo potencial.
• Define-se superfície equipotencial como o lugar geométrico que se encontra ao mesmo
potencial eléctrico.
POTENCIAL ELÉCTRICO E ENERGIA POTENCIAL DEVIDOS A UMA DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS
• A diferença de potencial criado por uma carga pontual vem
dada por:
−=∆
ABe rrqkV 11
37
• Pensando que no infinito (r = ∞), V = 0, então:
rq
kV e=
• Donde resulta:
∑=i i
ie r
qkV , para um conjunto de partículas carregadas, e
2,1
21
rqq
kU e= para a
energia potencial referente à interacção de duas partículas carregadas.
• E no caso de uma distribuição de cargas contínua:
∫=r
dqkV e
CÁLCULO DO CAMPO ELÉCTRICO A PARTIR DO POTENCIAL
• Conforme já vimos: sdEdVrr
.−= . Se Er
tiver a direcção x, vem: xxx udxdV
uEErrr
−==
• Ou, numa situação mais geral:
VVEzV
EyV
ExV
E zyx grad , , −=∇−=⇒∂∂−=
∂∂−=
∂∂−=
rr
• Ou seja, as superfícies equipotenciais são sempre perpendiculares ao campo, tendo este a
direcção dos potenciais mais baixos.
38
POTENCIAL DE UM CONDUTOR CARREGADO
• Repare-se que num condutor carregado se verifica:
i) dois pontos na superfície têm o mesmo potencial.
ii) qualquer ponto no seu interior têm o mesmo potencial.
iii) o campo eléctrico numa cavidade no seu interior é nulo (possibilidade de
blindar um circuito…)
APLICAÇÕES
• Anel: 22 ax
QkV e
+=
• Barra:
++=
ddll
lQk
V e22
ln
39
CAMPOS MAGNÉTICOS O CAMPO MAGNÉTICO
• Os campos magnéticos são gerados na presença de ímanes ou de cargas eléctricas em
movimento.
• Analogamente ao campo eléctrico, a existência de um campo magnético é
comprovada através da presença de um objecto de prova. Neste caso é uma partícula
carregada animada de velocidade.
• Nestas condições, verificou-se que:
iv) A amplitude da força magnética a que a partícula fica sujeita é proporcional
à sua carga e à sua velocidade.
v) A amplitude da força magnética é proporcional à amplitude do campo
magnético.
vi) Se a velocidade da partícula for paralela à direcção do campo, a força será
nula.
vii) A força é perpendicular ao plano formado pela velocidade da partícula e
pelo campo magnético.
viii) O sentido da força sobre uma carga positiva é o oposto ao que fica sujeita
uma carga negativa.
ix) A amplitude da força é proporcional ao seno do ângulo formado pela
velocidade e pelo campo magnético.
• Estas observações conduzem à expressão:
BvqFmag
rrr×= , sendo magF
r a força magnética a que fica sujeita uma partícula
de carga q, animada de uma velocidade vr
, sob a acção de um campo magnético Br
.
Existência de pólos magnéticos
Descoberta do magnetismo Relação entre a electricidade e o magnetismo
– surgimento do electromagnetismo
40
• Repare-se que:
i) Enquanto a força eléctrica é paralela ao campo eléctrico a força magnética é
perpendicular ao campo magnético.
ii) A força eléctrica actua sobre cargas em repouso a força magnética actua sobre
cargas em movimento.
iii) A força eléctrica realiza trabalho ao deslocar uma partícula, a força magnética
não (desde que o campo seja estacionário).
• A unidade de campo magnético no SI é o Tesla (T).
FORÇA MAGNÉTICA NUM CONDUTOR ATRAVESSADO POR UMA CORRENTE
• Seja uma corrente eléctrica definida pela relação:
dtdq
I =
• Pode pensar-se o que acontece quando uma corrente eléctrica fica sujeita a um campo
magnético - repare-se que uma corrente eléctrica é um fluxo de cargas em movimento.
• Considere-se, então, um fio de área A, comprimento l, mergulhado num campo magnético
Br
, uniforme e no interior do qual se movem n cargas q por unidade de volume, com
velocidade v. A força exercida sobre o fio será:
( )nAlBvqFmag
rrr×=
41
• Mas, pensando que a corrente eléctrica vem dada por:
nqAvt
xnqAtQ
I =∆
∆=
∆∆
= , então:
BLIFmag
rrr×=
• Para um fio de forma arbitrária, teremos a generalização:
BsdIFd mag
rrr×= ou: ∫ ×= BsdIFmag
rrr
CASO I: Campo magnético uniforme e corrente eléctrica constante:
BLIBsdIFb
amag
rrrrr×=×
= ∫ , porque ∫
b
asdr
é a soma vectorial de todos os vectores
infinitesimais que compõem o percurso.
CASO II: Percurso fechado num campo magnético uniforme e percorrido por uma corrente
constante:
0rrrr
=×
= ∫ BsdIF
b
amag , porque 0rr
=∫b
asd
MOVIMENTO DE UMA PARTÍCULA CARREGADA NUM CAMPO MAGNÉTICO
• Aplique-se a lei de Newton a uma partícula carregada, animada de uma velocidade, sob a
acção de um campo magnético perpendicular à sua velocidade.
• Nestas condições a força é central, pelo que a trajectória da partícula será circular e de
raio:
qBmv
rmaqvBFmag =⇔⇔== ...
• Se a velocidade da carga tiver uma componente paralela ao campo, então a sua trajectória
será em hélice.
42
LEI DE BIOT-SAVART
• Experimentalmente observou-se que o campo magnético Bdr
criado num ponto P
devido à passagem de uma corrente I no elemento sdr
de um fio condutor, cumpre:
x) Bdr
é perpendicular a sdr
e a rr
, sendo rr
o vector posição do ponto P.
xi) Bdr
é inversamente proporcional a 2r .
xii) Bdr
é proporcional à corrente I e ao elemento de comprimento ds ..
xiii) Bdr
é proporcional ao sen θ, sendo θ o ângulo formado por sdr
e rr
.
• Matematicamente pode-se expressar estes resultados, através da expressão:
2
r
usdIkBd r
m
rrr ×= , sendo Tm/A10
470 −==
πµ
mk , uma vez que:
0µ - permeabilidade do vácuo tem o valor: Tm/A 104 -7×π .
Que é conhecida como a Lei de Biot-Savart.
• A generalização desta lei para calcular o campo magnético criado por uma
distribuição de correntes, será:
∫×
= 2
r
usdIkB r
m
rrr que é uma expressão com algumas semelhanças
com a encontrada para o campo eléctrico: ∫= urdq
kErr
2
• Uma aplicação importante desta expressão é o cálculo do campo criado por um
condutor linear rectilíneo:
( )210 coscos
4ϑϑ
πµ
−=RI
Br
• Ou, se o condutor for considerado infinito:
RI
Bπ
µ2
0=r
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FORÇA MAGNÉTICA ENTRE DOIS CONDUTORES PARALELOS
• Calcule-se a força existente entre dois condutores paralelos entre si e que são percorridos
por correntes I1 e I2:
211 BlIFrrr
×= , onde 1Fr
é a força exercida pelo condutor 2
sobre o elemento de comprimento l do condutor 1.
Ou seja, 2Br
é o campo magnético criado pelo condutor 2 no elemento l do condutor 1.
• Então:
la
IIaI
lIlBIFπ
µπ
µ22
210
201211 === , ou, quando
se calcula a força por unidade de comprimento:
lF
aII
lF 221
01
2==
πµ
• Quanto ao sentido das forças, facilmente se
verifica que elas serão de atracção quando as
correntes circulam em sentido contrário e de
repulsão, caso contrário.
LEI DE AMPÈRE
• Tendo em conta o cálculo do campo criado por um fio rectilíneo infinito, determine-se a
quantidade ∫ sdBrr
. , nestas circunstâncias:
IsdB 0. µ=∫rr
• Na verdade, esta expressão é mais geral, cumprindo-se para qualquer trajectória fechada e
geometria de correntes estacionárias que se considerem. É conhecida pela Lei de Ampère
e é a lei do magnetismo equivalente à Lei de Gauss.
• Pode enunciar-se da seguinte forma: “O integral da quantidade sdBrr
. através de uma linha
fechada iguala o produto I0µ , onde I é a corrente estacionária total que atravessa
qualquer superfície delimitada pela linha fechada considerada”.
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• Uma aplicação interessante da Lei de Ampère é o cálculo do campo magnético criado por
um solenóide:
i) Num ponto exterior pode considerar-se o campo magnético nulo.
ii) Num ponto interior, aplicando a Lei de Ampère à linha fechada apresentada na
figura:
lN
IB 0µ=
LEI DE FARADAY E LEI DE LENZ
• A Lei de Faraday indica-nos de que
forma é que campos magnéticos
permitem gerar correntes eléctricas.
• Se um condutor, no interior do qual
não circulam cargas se deslocar
relativamente a um campo magnético,
as suas cargas vão sofrer uma força
que as impelirá a mover-se.
• A este fenómeno dá-se o nome de Indução Magnética.
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• Similarmente ao que foi feito para o campo eléctrico é possível definir fluxo de campo
magnético através de uma superfície A, através da expressão:
∫=Φ AdBmag
rr.
• A unidade de fluxo magnético no SI é o Weber (Wb), pelo que é também possível
considerar a unidade de campo como Wb/m2.
• A forma matemática de formalizar a indução magnética é através da lei de Faraday:
dt
dfem magΦ
−=
que pode ser enunciada da seguinte forma: “A força electromotriz (diferença de potencial)
gerada por indução iguala, em valor absoluto, a taxa de variação do fluxo de campo magnético
através da superfície delimitada pelo circuito”.
• O sinal ‘-‘ na expressão indica que “a fem se opõe à causa que lhe deu origem”. Que é a
conhecida Lei de Lenz.