27

CAMPOS ELÉCTRICOS PROPRIEDADES DAS CARGAS ELÉCTRICAS

• Existem dois tipos de cargas: positivas e negativas.

• As cargas conservam-se.

• Existem forças de atracção e de repulsão entre as cargas, caso sejam de sinais

contrários ou do mesmo sinal, respectivamente.

• Estas forças são proporcionais ao inverso do quadrado da distância entre as cargas.

ISOLADORES E CONDUTORES

• Quanto à capacidade de transportar cargas eléctricas, os materiais dividem-se em:

(i) Condutores – possuem cargas eléctricas livres.

(ii) Isolantes – têm dificuldade em transportar carga eléctrica.

(iii) Semi-condutores – possuem propriedades intermédias.

• Existem várias formas de alterar o estado de electrização de um corpo, por exemplo:

(i) Por contacto.

(ii) Por indução – pode envolver electrização (condutores) ou polarização (isolantes).

Formalismo do Electromagnetismo

(equações de Maxwell)

Explicativo de todos os fenómenos que envolvem propriedades eléctricas e

magnéticas

28

LEI DE COULOMB

• A lei de Coulomb foi uma lei estabelecida com base nos

seguintes dados experimentais:

(i) A força eléctrica entre duas cargas tem a direcção da

linha que as une,

(ii) é inversamente proporcional ao quadrado da distância

entre elas,

(iii) é proporcional ao produto das cargas,

(iv) é atractiva quando as cargas têm sinais contrários e

repulsiva, quando têm sinais iguais.

• Matematicamente, a lei é expressa através da relação:

re urqq

kFrr

221

eléc = , com ke a constante de Coulomb: 229

0

C/Nm109875.84

1×==

πεek ,

e ε0 a permitividade do vazio: 22-12

0 Nm/C108.8542×=ε

• Como seria previsível pelo cálculo

vectorial, também as forças eléctricas

cumprem o princípio da sobreposição

das forças. De modo que a força que

actua sobre uma partícula é a soma de

todas as forças exercidas sobre ela.

• Como exemplo ilustrativo, considerar duas cargas positivas q1 e q2 e uma terceira

carga negativa, q3, num ponto da linha que une as duas primeiras. Pode

demonstrar-se que a coordenada em que a força aplicada à partícula q3 dada por:

( )( )21

211

qqqqqL

x−

±=

CAMPO ELÉCTRICO

• O campo eléctrico é definido pela razão entre a força eléctrica que actua sobre uma

carga de prova positiva colocada num determinado ponto do espaço e o valor dessa

carga.

29

re urQ

kqF

Er

rr2

0eléc ==

• Tendo em conta esta definição, facilmente se conclui que:

(i) O campo tem sempre a direcção e sentido da força.

(ii) O campo é independente da partícula de prova, dependendo

apenas das cargas que lhe dão origem.

(iii) O campo existe mesmo na ausência da carga de prova.

(iv) A carga de prova deve ser tão

pequena quanto possível, para que

não interfira no campo que está estabelecido.

• Como exemplo ilustrativo, pode considerar-se o campo eléctrico

criado por um dipolo:

3eléc2yqa

kE e=

CAMPO ELÉCTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA

• Considera-se uma distribuição contínua quando a distância entre as cargas é muito

menor do que a distância ao ponto de medida.

• Para o cálculo do campo eléctrico produzido por uma

distribuição contínua de cargas, utiliza-se o estratagema de

dividir o volume total em volumes infinitesimais correspondentes

a cargas ∆q.

• Nesse caso o campo será dado por:

∫∑∑ =∆

=∆

=→∆ rer

i i

i

qeri i

ie u

rdq

kurq

kurq

kEi

ii

rrrr2202eléc lim

• Na abordagem contínua, surgem conceitos importantes como as

densidades de carga volúmica, superficial e linear:

lQ

AQ

sVQ

≡≡≡ λρ , válidas para distribuições uniformes de carga, de um

modo mais geral, temos:

30

dldQ

dAdQ

sdVdQ

≡≡≡ λρ

• Como exemplo ilustrativo, pode considerar-se o campo eléctrico criado por uma

barra carregada:

( )dldQ

kE e +=

LINHAS DE CAMPO ELÉCTRICO

• As linhas de campo eléctrico relacionam-se com este da seguinte forma:

(i) O vector campo eléctrico é tangente às linhas de

campo.

(ii) O nº de linhas de campo por unidade de área que

atravessam uma superfície perpendicular ao

campo é proporcional à amplitude do campo

nessa região.

• Propriedades das linhas de campo:

(i) As linhas começam nas cargas positivas e terminam nas negativas (ou então

começam ou acabam no infinito se a carga total não for nula).

(ii) O nº de linhas que chegam ou partem de uma carga é proporcional à sua

amplitude.

(iii) As linhas não se cruzam.

• Verifique-se que esta forma de desenhar linhas de campo é compatível com a lei de

Coulomb. É fácil provar que:

24 rN

Eπ

α , desde que se considere uma esfera centrada numa carga pontual

• Debilidades desta representação:

(i) Dão a ilusão de que o campo eléctrico é descontínuo.

31

(ii) Aparecem como uma representação bi-dimensional de uma realidade

tri-dimensional.

• Exemplos de distribuição de linhas de campo devido a várias conformações de carga:

a) b) c) d) e)

• Repare-se que num ponto afastado as linhas c), d) e e) são semelhantes às a) e b).

MOVIMENTO DE PARTÍCULAS CARREGADAS NUM CAMPO UNIFORME

• Repare-se que uma carga que seja colocada num campo eléctrico uniforme, fica

sujeita a uma força, pelo que terá um movimento uniformemente acelerado, com

aceleração:

mEq

ar

r=

• Se a partícula for positiva a aceleração terá o sentido do campo, caso contrário terá o

sentido contrário.

• É com base neste resultado que se constroem os osciloscópios:

32

LEI DE GAUSS FLUXO ELÉCTRICO

• O fluxo eléctrico numa determinada superfície é definido como o nº de linhas de

campo que a atravessam.

• Então, o fluxo eléctrico através de uma superfície fechada vai ser proporcional à

carga no seu interior e não irá depender da forma dessa

superfície.

• Comece-se por calcular o fluxo eléctrico numa situação

simples – considere-se um campo eléctrico uniforme E

e uma superfície A que lhe é perpendicular. O fluxo

vem dado por:

AE.=φ porque: EAAAN

N ===φ (N m2 / C)

• Se a superfície não for perpendicular ao campo,

temos:

ϑφ cos.AE= , sendo ϑ o ângulo entre Er

e Ar

.

• No caso mais geral em que o campo eléctrico varia em redor da superfície tem-se:

∑ ∫=∆=→∆ i

iiAAdEAE

i sup0

..limrrrr

φ

• E no caso de uma superfície fechada, obtém-se:

∫∫ == dAEAdE n

rr.φ ,

sendo En a componente do campo normal à superfície.

Lei de Gauss Forma alternativa de calcular o campo eléctrico criado por uma distribuição de cargas

33

LEI DE GAUSS

• A Lei de Gauss fornece uma relação entre o fluxo calculado

através de uma superfície fechada e a carga existente no seu

interior.

• O cálculo do fluxo através de uma esfera que envolve uma

carga Q positiva vem dado por:

εφ

Q=

• Na verdade, mesmo que a superfície considerada não seja esférica, o fluxo será igual, uma

vez que é proporcional ao número de linhas de campo.

• Quanto ao fluxo de um campo criado por cargas no exterior da

superfície considerada, facilmente se verifica que é nulo.

• Combinando os dois resultados e admitindo, uma vez mais, a

sobreposição dos campos:

εφ int.

QAdE == ∫rr

“O fluxo através de qualquer superfície fechada é igual à carga no seu interior dividida pela

constante ε”

• Nos problemas em que a Lei de Gauss é utilizada, deve ter-se em atenção o seguinte:

(v) A superfície considerada não tem, necessariamente, realidade física.

(vi) Esta é uma abordagem muito útil para casos em que seja evidente um elevado nível de

simetria.

(vii) A escolha da superfície é crucial.

APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS A ISOLANTES CARREGADOS

• Calcule-se o campo criado por uma esfera isolante com densidade de carga ρ e carga total

positiva Q. (considere-se pontos no interior e no exterior da esfera).

no exterior: 2rQ

kE e=

34

no interior: raQ

kE e 3=

• Calcule-se o campo criado por um fio infinito com densidade de carga linear, λ, constante:

rkE e

λ2=

• Calcule-se o campo criado por um plano infinito com densidade de carga superficial, σ,

constante:

εσ2

=E

CONDUTORES EM EQUILÍBRIO ELECTROSTÁTICO

• Um condutor diz-se em equilíbrio electrostático quando não existe movimento de cargas

no seu interior. Nestas condições mostra-se que:

(i) O campo eléctrico no seu interior é nulo.

Caso contrário as cargas tenderiam a se mover.

(ii) As cargas existentes no interior do condutor encontram-se à superfície.

Se: 0 0int =⇒= QEr

e, portanto, as cargas só poderão estar à superfície

do condutor.

(iii) O campo eléctrico fora do condutor, mas junto à fronteira, é perpendicular à superfície e

tem amplitude: σ / ε0.

Se fosse tangencial as cargas encontrar-se-iam em movimento.

Pela Lei de Gauss, prova-se a sua amplitude.

35

POTENCIAL ELÉCTRICO DIFERENÇA DE POTENCIAL E POTENCIAL ELÉCTRICO

• Comece-se por calcular o trabalho realizado por uma força eléctrica sobre uma carga

sujeita a um campo eléctrico:

∫∫ ==B

A

B

AeF sdEqsdFW

e

rrrr.. 0

• Se a este trabalho for associada uma variação de energia potencial ∆U , tem-se:

∫∫

∫∫

−=∆⇔−=−

⇔

⇔−=−⇔−=∆⇔∆−=

B

A

B

A

if

B

Aif

B

AF

sdEVsdEq

UU

sdEqUUsdEqUUWe

rrrr

rrrr

..

..

0

00

• Onde a quantidade U/q0 é definida como a função potencial eléctrico.

• Repare-se que o potencial eléctrico é dependente do campo, mas independente da

carga, enquanto a energia eléctrica depende de ambos.

• O potencial eléctrico exige a definição de uma referência. Por convenção, o potencial

num ponto infinito é nulo. Então: “ O potencial eléctrico num qualquer ponto P é o

trabalho por unidade de carga realizado sobre uma partícula positiva para a fazer

mover do infinito até esse ponto.”

• A unidade de potencial eléctrico é o volt (V), que equivale a 1J/1C.

DIFERENÇAS DE POTENCIAL NUM CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME

• A diferença de potencial criada por um campo uniforme vem dada por:

EdV −=∆

o que pode ser verificado pensando no que se passa com uma partícula que é trazida de um

ponto A para um ponto B, onde está estabelecido um campo eléctrico com a mesma linha de

acção.

O potencial eléctrico

Permite uma abordagem energética dos problemas de electromagnetismo.

36

• Enquanto que a variação de energia potencial, vem dada por:

EdqU 0−=∆

• Se o deslocamento não acontecer segundo a direcção do campo:

EdsEV −=−=∆rr

.

• Donde resulta que qualquer plano perpendicular a um campo eléctrico uniforme se

encontra ao mesmo potencial.

• Define-se superfície equipotencial como o lugar geométrico que se encontra ao mesmo

potencial eléctrico.

POTENCIAL ELÉCTRICO E ENERGIA POTENCIAL DEVIDOS A UMA DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS

• A diferença de potencial criado por uma carga pontual vem

dada por:

−=∆

ABe rrqkV 11

37

• Pensando que no infinito (r = ∞), V = 0, então:

rq

kV e=

• Donde resulta:

∑=i i

ie r

qkV , para um conjunto de partículas carregadas, e

2,1

21

rqq

kU e= para a

energia potencial referente à interacção de duas partículas carregadas.

• E no caso de uma distribuição de cargas contínua:

∫=r

dqkV e

CÁLCULO DO CAMPO ELÉCTRICO A PARTIR DO POTENCIAL

• Conforme já vimos: sdEdVrr

.−= . Se Er

tiver a direcção x, vem: xxx udxdV

uEErrr

−==

• Ou, numa situação mais geral:

VVEzV

EyV

ExV

E zyx grad , , −=∇−=⇒∂∂−=

∂∂−=

∂∂−=

rr

• Ou seja, as superfícies equipotenciais são sempre perpendiculares ao campo, tendo este a

direcção dos potenciais mais baixos.

38

POTENCIAL DE UM CONDUTOR CARREGADO

• Repare-se que num condutor carregado se verifica:

i) dois pontos na superfície têm o mesmo potencial.

ii) qualquer ponto no seu interior têm o mesmo potencial.

iii) o campo eléctrico numa cavidade no seu interior é nulo (possibilidade de

blindar um circuito…)

APLICAÇÕES

• Anel: 22 ax

QkV e

+=

• Barra:

++=

ddll

lQk

V e22

ln

39

CAMPOS MAGNÉTICOS O CAMPO MAGNÉTICO

• Os campos magnéticos são gerados na presença de ímanes ou de cargas eléctricas em

movimento.

• Analogamente ao campo eléctrico, a existência de um campo magnético é

comprovada através da presença de um objecto de prova. Neste caso é uma partícula

carregada animada de velocidade.

• Nestas condições, verificou-se que:

iv) A amplitude da força magnética a que a partícula fica sujeita é proporcional

à sua carga e à sua velocidade.

v) A amplitude da força magnética é proporcional à amplitude do campo

magnético.

vi) Se a velocidade da partícula for paralela à direcção do campo, a força será

nula.

vii) A força é perpendicular ao plano formado pela velocidade da partícula e

pelo campo magnético.

viii) O sentido da força sobre uma carga positiva é o oposto ao que fica sujeita

uma carga negativa.

ix) A amplitude da força é proporcional ao seno do ângulo formado pela

velocidade e pelo campo magnético.

• Estas observações conduzem à expressão:

BvqFmag

rrr×= , sendo magF

r a força magnética a que fica sujeita uma partícula

de carga q, animada de uma velocidade vr

, sob a acção de um campo magnético Br

.

Existência de pólos magnéticos

Descoberta do magnetismo Relação entre a electricidade e o magnetismo

– surgimento do electromagnetismo

40

• Repare-se que:

i) Enquanto a força eléctrica é paralela ao campo eléctrico a força magnética é

perpendicular ao campo magnético.

ii) A força eléctrica actua sobre cargas em repouso a força magnética actua sobre

cargas em movimento.

iii) A força eléctrica realiza trabalho ao deslocar uma partícula, a força magnética

não (desde que o campo seja estacionário).

• A unidade de campo magnético no SI é o Tesla (T).

FORÇA MAGNÉTICA NUM CONDUTOR ATRAVESSADO POR UMA CORRENTE

• Seja uma corrente eléctrica definida pela relação:

dtdq

I =

• Pode pensar-se o que acontece quando uma corrente eléctrica fica sujeita a um campo

magnético - repare-se que uma corrente eléctrica é um fluxo de cargas em movimento.

• Considere-se, então, um fio de área A, comprimento l, mergulhado num campo magnético

Br

, uniforme e no interior do qual se movem n cargas q por unidade de volume, com

velocidade v. A força exercida sobre o fio será:

( )nAlBvqFmag

rrr×=

41

• Mas, pensando que a corrente eléctrica vem dada por:

nqAvt

xnqAtQ

I =∆

∆=

∆∆

= , então:

BLIFmag

rrr×=

• Para um fio de forma arbitrária, teremos a generalização:

BsdIFd mag

rrr×= ou: ∫ ×= BsdIFmag

rrr

CASO I: Campo magnético uniforme e corrente eléctrica constante:

BLIBsdIFb

amag

rrrrr×=×

= ∫ , porque ∫

b

asdr

é a soma vectorial de todos os vectores

infinitesimais que compõem o percurso.

CASO II: Percurso fechado num campo magnético uniforme e percorrido por uma corrente

constante:

0rrrr

=×

= ∫ BsdIF

b

amag , porque 0rr

=∫b

asd

MOVIMENTO DE UMA PARTÍCULA CARREGADA NUM CAMPO MAGNÉTICO

• Aplique-se a lei de Newton a uma partícula carregada, animada de uma velocidade, sob a

acção de um campo magnético perpendicular à sua velocidade.

• Nestas condições a força é central, pelo que a trajectória da partícula será circular e de

raio:

qBmv

rmaqvBFmag =⇔⇔== ...

• Se a velocidade da carga tiver uma componente paralela ao campo, então a sua trajectória

será em hélice.

42

LEI DE BIOT-SAVART

• Experimentalmente observou-se que o campo magnético Bdr

criado num ponto P

devido à passagem de uma corrente I no elemento sdr

de um fio condutor, cumpre:

x) Bdr

é perpendicular a sdr

e a rr

, sendo rr

o vector posição do ponto P.

xi) Bdr

é inversamente proporcional a 2r .

xii) Bdr

é proporcional à corrente I e ao elemento de comprimento ds ..

xiii) Bdr

é proporcional ao sen θ, sendo θ o ângulo formado por sdr

e rr

.

• Matematicamente pode-se expressar estes resultados, através da expressão:

2

r

usdIkBd r

m

rrr ×= , sendo Tm/A10

470 −==

πµ

mk , uma vez que:

0µ - permeabilidade do vácuo tem o valor: Tm/A 104 -7×π .

Que é conhecida como a Lei de Biot-Savart.

• A generalização desta lei para calcular o campo magnético criado por uma

distribuição de correntes, será:

∫×

= 2

r

usdIkB r

m

rrr que é uma expressão com algumas semelhanças

com a encontrada para o campo eléctrico: ∫= urdq

kErr

2

• Uma aplicação importante desta expressão é o cálculo do campo criado por um

condutor linear rectilíneo:

( )210 coscos

4ϑϑ

πµ

−=RI

Br

• Ou, se o condutor for considerado infinito:

RI

Bπ

µ2

0=r

43

FORÇA MAGNÉTICA ENTRE DOIS CONDUTORES PARALELOS

• Calcule-se a força existente entre dois condutores paralelos entre si e que são percorridos

por correntes I1 e I2:

211 BlIFrrr

×= , onde 1Fr

é a força exercida pelo condutor 2

sobre o elemento de comprimento l do condutor 1.

Ou seja, 2Br

é o campo magnético criado pelo condutor 2 no elemento l do condutor 1.

• Então:

la

IIaI

lIlBIFπ

µπ

µ22

210

201211 === , ou, quando

se calcula a força por unidade de comprimento:

lF

aII

lF 221

01

2==

πµ

• Quanto ao sentido das forças, facilmente se

verifica que elas serão de atracção quando as

correntes circulam em sentido contrário e de

repulsão, caso contrário.

LEI DE AMPÈRE

• Tendo em conta o cálculo do campo criado por um fio rectilíneo infinito, determine-se a

quantidade ∫ sdBrr

. , nestas circunstâncias:

IsdB 0. µ=∫rr

• Na verdade, esta expressão é mais geral, cumprindo-se para qualquer trajectória fechada e

geometria de correntes estacionárias que se considerem. É conhecida pela Lei de Ampère

e é a lei do magnetismo equivalente à Lei de Gauss.

• Pode enunciar-se da seguinte forma: “O integral da quantidade sdBrr

. através de uma linha

fechada iguala o produto I0µ , onde I é a corrente estacionária total que atravessa

qualquer superfície delimitada pela linha fechada considerada”.

44

• Uma aplicação interessante da Lei de Ampère é o cálculo do campo magnético criado por

um solenóide:

i) Num ponto exterior pode considerar-se o campo magnético nulo.

ii) Num ponto interior, aplicando a Lei de Ampère à linha fechada apresentada na

figura:

lN

IB 0µ=

LEI DE FARADAY E LEI DE LENZ

• A Lei de Faraday indica-nos de que

forma é que campos magnéticos

permitem gerar correntes eléctricas.

• Se um condutor, no interior do qual

não circulam cargas se deslocar

relativamente a um campo magnético,

as suas cargas vão sofrer uma força

que as impelirá a mover-se.

• A este fenómeno dá-se o nome de Indução Magnética.

45

• Similarmente ao que foi feito para o campo eléctrico é possível definir fluxo de campo

magnético através de uma superfície A, através da expressão:

∫=Φ AdBmag

rr.

• A unidade de fluxo magnético no SI é o Weber (Wb), pelo que é também possível

considerar a unidade de campo como Wb/m2.

• A forma matemática de formalizar a indução magnética é através da lei de Faraday:

dt

dfem magΦ

−=

que pode ser enunciada da seguinte forma: “A força electromotriz (diferença de potencial)

gerada por indução iguala, em valor absoluto, a taxa de variação do fluxo de campo magnético

através da superfície delimitada pelo circuito”.

• O sinal ‘-‘ na expressão indica que “a fem se opõe à causa que lhe deu origem”. Que é a

conhecida Lei de Lenz.