SISTEMAS E TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS
- TÓPICOS DAS AULAS -
1. Introdução.
2. Sistema de coordenadas cartesianas.
3. Sistema de coordenadas cilíndricas circulares.
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4. Sistema de coordenadas esféricas.
5. Sistema de coordenadas ortogonais generalizado.
6. Superfícies de coordenada constante.
Introdução
• Em geral, as quantidades físicas com que trabalhamos noEletromagnetismo são funções do espaço e do tempo.
• A fim de descrever as variações espaciais dessas quantidades,devemos ser capazes de definir todos os pontos de maneiraunívoca no espaço de forma adequada.
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• Isto requer o uso de um sistema de coordenadas apropriado.
• Um ponto, ou um vetor, pode ser representado em qualquersistema de coordenadas curvilíneo ortogonal ou não-ortogonal.
• Um sistema ortogonal é aquele em que as coordenadas sãomutuamente perpendiculares.
• Pode-se economizar uma parcela considerável de tempo, e de
trabalho, ao escolher um sistema de coordenadas que mais se
adapta a um determinado problema.
• Um problema difícil em um sistema de coordenadas pode ser de
fácil solução em outro sistema.
• Neste curso nos restringiremos aos três mais conhecidos
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• Neste curso nos restringiremos aos três mais conhecidos
sistemas de coordenadas ortogonais:
– Cartesiano.
– Cilíndrico.
– Esférico.
Sistema de coordenadas cartesianas
• Um ponto P pode ser representado por (x, y, z).
• Os intervalos de variação das variáveis coordenadas x, y e z são
∞<<∞−
∞<<∞−
y
x
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• Um vetor A, em coordenadas cartesianas, pode ser escrito como
onde âx, ây e âz são vetores unitários ao longo de x, y e z.
∞<<∞−
∞<<∞−
z
y
( )zzyyxxzyx ou,, âAâAâAAAA ++
Sistema de coordenadas cilíndricas circulares
• Um sistema de coordenadas cilíndricas circulares é conveniente
quando tratamos problemas com simetria cilíndrica.
• Um ponto P pode ser representado por (ρ, φ, z).
― ρ representa o raio do cilindro que
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― ρ representa o raio do cilindro que
passa pelo ponto P.
― φ é denominado de ângulo azimutal,
sendo medido a partir do eixo x, no
plano xy.
― z é a mesma coordenada utilizada no
sistema de coordenadas cartesianas.Figura 1
• Os intervalos de variação das variáveis coordenadas ρ, φ e z são
• Um vetor A, em coordenadas cilíndricas circulares, pode ser
escrito como
∞<<∞−
<≤
∞<≤
z
πφ
ρ
20
0
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escrito como
onde âρ, âφ e âz são vetores unitários ao longo de ρ, φ e z.
• âρ aponta no sentido de crescimento de ρ, âφ aponta no sentido
de crescimento de φ e âz aponta no sentido de crescimento de z.
( )zzφφρρzφρ ou,, âAâAâAAAA ++
• Dessa forma,
0
1
zρzφφρ
zzφφρρ
=⋅=⋅=⋅
=⋅=⋅=⋅
ââââââ
ââââââ
âââ =×
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φρz
ρzφ
zφρ
âââ
âââ
âââ
=×
=×
=×
Figura 2
• As relações entre as variáveis (x, y, z) do sistema de coordenadas
cartesianas com as do sistema de coordenadas cilíndricas
circulares (ρ, φ, z) são dadas por
φρ
φρ
sen
cos
=
=
y
x
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=
+=
x
y
yx
arctg
22
φ
ρ
Figura 3
• As relações entre âx, ây, âz e âρ, âφ, âz são dadas por
φφ
φφ
cossen
sencos
φyφx
ρyρx
=⋅−=⋅
=⋅=⋅
ââââ
ââââ
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Figura 4
• Podemos escrever o vetor A da seguinte forma
• Se quisermos expressá-lo em coordenadas cilíndricas circulares
podemos fazer as seguintes operações
zzyyxx âAâAâAA ++=→
( ) ( ) ( )⋅+⋅+⋅=⋅=→
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( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )zzzzyyzxxzz
φzzφyyφxxφφ
ρzzρyyρxxρρ
ââAââAââAâAA
ââAââAââAâAA
ââAââAââAâAA
⋅+⋅+⋅=⋅=
⋅+⋅+⋅=⋅=
⋅+⋅+⋅=⋅=
→
→
→
• Dessa forma, obtemos
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=
y
x
φzφyφx
ρzρyρx
φ
ρ
A
A
ââââââ
ââââââ
A
A
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⋅⋅⋅
zzzzyzxz AââââââA
[ ] ( )[ ][ ]xyzρφz ATA φ=
• Fazendo as devidas substituições, obtemos
−=
y
x
φ
ρ
100
0cossen
0sencos
A
A
A
A
φφ
φφ
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zz
100 AA
[ ] ( )[ ][ ]xyzρφz ATA φ=
• De cilíndricas circulares para cartesianas, temos
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=
φ
ρ
yzyφyρ
xzxφxρ
y
x
A
A
ââââââ
ââââââ
A
A
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⋅⋅⋅
zzzzφzρz AââââââA
[ ] ( )[ ] [ ]ρφz
1
xyz ATA−
= φ
• Fazendo as devidas substituições, obtemos
−
=
φ
ρ
y
x
100
0cossen
0sencos
A
A
A
A
φφ
φφ
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zz
100 AA
[ ] ( )[ ] [ ]ρφz
1
xyz ATA−
= φ
• Pelas expressões anteriores, constatamos que
ou seja
( )[ ] ( )[ ]T1φφ TT =
−
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[ ] ( )[ ][ ]
[ ] ( )[ ] [ ]ρφz
T
xyz
xyzρφz
ATA
ATA
φ
φ
=
=
Sistema de coordenadas esféricas
• Um sistema de coordenadas esféricas é conveniente quando
tratamos problemas com simetria esférica.
• Um ponto P pode ser representado por (r, θ, φ).
― r representa a distância, a partir da
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― r representa a distância, a partir da
origem, até o ponto P.
― θ é denominado de co-latitude, sendo
medido a partir do eixo z e o vetor
posição de r.
― φ é a mesma coordenada utilizada no
sistema de coordenadas cilíndricas
circulares.Figura 5
• Os intervalos de variação das variáveis coordenadas r, θ e φ são
• Um vetor A, em coordenadas esféricas, pode ser escrito como
πφ
πθ
20
0
0
<≤
≤≤
∞<≤ r
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onde âr, âθ e âφ são vetores unitários ao longo de r, θ e φ.
• âr aponta no sentido de crescimento de r, âθ aponta no sentido
de crescimento de θ e âφ aponta no sentido de crescimento de φ.
( )φφθθrrφθr ou,, âAâAâAAAA ++
• Dessa forma,
0
1
φrφθθr
φφθθrr
=⋅=⋅=⋅
=⋅=⋅=⋅
ââââââ
ââââââ
âââ =×
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θrφ
rφθ
φθr
âââ
âââ
âââ
=×
=×
=×
Figura 6
• As relações entre as variáveis (x, y, z) do sistema de coordenadas
cartesianas com as do sistema de coordenadas esféricas (r, θ, φ)
são obtidas a partir da seguinte representação gráfica
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Figura 7
• Dessa forma
θ
φθ
φθ
cos
sensen
cossen
rz
ry
rx
=
=
=
++= zyxr222
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=
+=
++=
x
y
z
yx
zyxr
arctg
arctg22
φ
θ
• As relações entre âx, ây, âz e âr, âθ, âφ são dadas por
coscos
cos
sensen
cossen
θx
rz
ry
rx
=⋅
=⋅
=⋅
=⋅
=⋅
ââ
ââ
ââ
ââ
φθ
φθ
θ
φθ
φθ
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0
cos
sen
sen
sencos
φz
φy
φx
θz
θy
=⋅
=⋅
−=⋅
−=⋅
=⋅
ââ
ââ
ââ
ââ
ââ
φ
φ
θ
φθ
Figura 8
• Podemos escrever o vetor A da seguinte forma
• Se quisermos expressá-lo em coordenadas esféricas podemos
fazer as seguintes operações
zzyyxx âAâAâAA ++=→
( ) ( ) ( )⋅+⋅+⋅=⋅=→
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( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )φzzφyyφxxφφ
θzzθyyθxxθθ
rzzryyrxxrr
ââAââAââAâAA
ââAââAââAâAA
ââAââAââAâAA
⋅+⋅+⋅=⋅=
⋅+⋅+⋅=⋅=
⋅+⋅+⋅=⋅=
→
→
→
• Dessa forma, obtemos
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=
y
x
θzθyθx
rzryrx
θ
r
A
A
ââââââ
ââââââ
A
A
A
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⋅⋅⋅
zφzφyφxφ AââââââA
[ ] ( )[ ][ ]xyzrθ , AMA φθφ =
• Fazendo as devidas substituições, obtemos
−
−=
y
x
θ
r
0cossen
sensencoscoscos
cossensencossen
A
A
A
A
A
A
φφ
θφθφθ
θφθφθ
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−
zφ
0cossen AA φφ
[ ] ( )[ ][ ]xyzrθ , AMA φθφ =
• De esféricas para cartesianas, temos
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=
θ
r
yφyθyr
xφxθxr
y
x
A
A
A
ââââââ
ââââââ
A
A
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⋅⋅⋅
φzφzθzrz
AââââââA
[ ] ( )[ ] [ ] φφθ rθ
1
xyz , AMA−
=
• Fazendo as devidas substituições, obtemos
−
−
=
θ
r
y
x
0sencos
cossencossensen
sencoscoscossen
A
A
A
A
A
A
θθ
φφθφθ
φφθφθ
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−
φz
0sencos AA θθ
[ ] ( )[ ] [ ] φφθ rθ
1
xyz , AMA−
=
• Pelas expressões anteriores, constatamos que
ou seja
( )[ ] ( )[ ]T1,, φθφθ MM =
−
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[ ] ( )[ ][ ]
[ ] ( )[ ] [ ] φ
φ
φθ
φθ
rθ
T
xyz
xyzrθ
,
,
AMA
AMA
=
=
• Na transformação de um ponto, ou de um vetor, eles não se
alteram, apenas são expressos de maneira diferente.
• Portanto, a magnitude de um vetor, por exemplo, permanece a
mesma depois de uma transformação e isso serve como um
modo de conferir o resultado da transformação.
• A distância d, entre dois pontos com vetores posição r1 e r2, é
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• A distância d, entre dois pontos com vetores posição r1 e r2, é
geralmente dada por
2
12
2→→
−= rrd
• Em coordenadas cartesianas
• Em coordenadas cilíndricas circulares
( ) ( ) ( )2
12
2
12
2
12
2zzyyxxd −+−+−=
( ) ( )2
121212
2
1
2
2
2 cos2 zzd −+−−+= φφρρρρ
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• Em coordenadas esféricas
( )1212121212
2
1
2
2
2 cossensen2coscos2 φφθθθθ −−−+= rrrrrrd
Exercícios
1. Obtenha a matriz de transformação de um vetor que se encontra
representado no sistema de coordenadas cilíndricas circulares
para o sistema de coordenadas esféricas.
2. Converta os pontos P (1, 3, 5), T (0, -4, 3) e S (-3, -4, -10) do
sistema de coordenadas cartesianas para os sistemas de
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sistema de coordenadas cartesianas para os sistemas de
coordenadas cilíndricas circulares e esféricas.
3. Transforme o vetor
em coordenadas cilíndricas circulares e em esféricas.
z222
x222
22
âzyx
yzâ
zyx
yxQ
++−
++
+=
→
Exercícios
4. Determine Q no ponto T nos três sistemas de coordenadas.
5. Expresse os seguintes vetores em coordenadas cartesianas:
zφρ sencoscos3sen âââzA φφρφρφρ ++=→
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φr
2
zφρ
sen
sencoscos3sen
âârB θ
φφρφρφρ
+=
++=
→
Sistema de coordenadas ortogonais generalizado
• Embora as leis que regem o eletromagnetismo não variem com o
sistema de coordenadas utilizado, as soluções dos problemas
exigem que as relações obtidas por essas leis sejam expressas
em um sistema de coordenadas apropriado com a geometria de
tais problemas.
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• Em um espaço tridimensional, um ponto pode ser localizado
como a interseção de três superfícies, são elas: u, v e w, todas
constantes e não necessariamente precisam ser comprimentos
físicos.
• Quando essas três superfícies (u, v e w) são mutuamente
perpendiculares, tem-se um sistema de coordenadas ortogonal.
• Algumas superfícies representadas por ui = constante, podem
não ser planas, podendo ser curvilíneas.
• âu, âv e âw são os vetores unitários nas três direções coordenadas
e são denominados de vetores-base.
• Em um sistema de coordenadas curvilíneo, ortogonal e
dextrógiro, as seguintes relações são satisfeitas
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dextrógiro, as seguintes relações são satisfeitas
1
0
wwvvuu
wvwuvu
vuw
uwv
wvu
=⋅=⋅=⋅
=⋅=⋅=⋅
=×
=×
=×
ââââââ
ââââââ
âââ
âââ
âââ
• Qualquer vetor A pode ser escrito como a soma de suas
componentes nas três direções da seguinte forma
sendo sua magnitude dada por
wwvvuu âAâAâAA ++=→
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2
w
2
v
2
u AAAA ++=→
• Em cálculo vetorial, frequentemente realizamos cálculos de
integrais de linha, de superfície e de volume.
• Em cada caso, precisamos expressar o comprimento diferencial
correspondente a uma variação diferencial em uma das
coordenadas.
• Entretanto, algumas coordenadas podem não ser comprimento
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• Entretanto, algumas coordenadas podem não ser comprimento
físico e um fator de conversão é necessário para converter uma
variação diferencial dui em uma variação no comprimento dli, ou
seja,
onde hi é conhecido como coeficiente métrico e pode ser uma
função de u, v e w.
iii duhdl =
dl
dlwdlu
P
âv
âu
âw
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dlvS1
S0
S2
P
Figura 9
• Um comprimento diferencial, em uma direção arbitrária, pode
ser escrito como uma soma vetorial de componentes, ou seja,
( ) ( ) ( )dwhâdvhâduhâld
dlâdlâdlâld
wwvvuu
wwvvuu
++=
++=
→
→
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• Desse modo, a magnitude de dl é dada por
( ) ( ) ( )2
w
2
v
2
u
2
w
2
v
2
u dwhdvhduhdldldllddl ++=++==→
• O volume diferencial é formado pelas variações diferenciais nas
coordenadas u, v e w, nas direções âu, âv e âw, sendo dado por
( )( )( )
dudvdwhhhdv
dwhdvhduhdldldldv
wvu
wvuwvu
=
==
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• Teremos ocasiões de expressar a corrente, ou fluxo, através de
uma área diferencial. Em tais casos, a área da seção
perpendicular à corrente, ou ao fluxo, deve ser utilizada. Sendo
conveniente utilizar um vetor área diferencial, cuja direção é
normal à superfície, ou seja,
dSâSd n=→
dl
dlwdlu
P
âv
âu
âw
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dlvS1
S0
S2
P
Figura 10
• Em um sistema de coordenadas curvilíneas ortogonais
generalizado, a área diferencial dSu, normal ao vetor âu, é dada
por
( )( )
dvdwhhdS
dwhdvhdldldS
wvu
wvwvu
=
==
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• Dessa forma, temos que as áreas diferenciais, normais a âv e âw
são
dvdwhhdS wvu =
( )( )
( )( ) dudvhhdvhduhdldldS
dudwhhdwhduhdldldS
vuvuvuw
wuwuwuv
===
===
dl
dlwdlu
P
âv
âu
âw
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dlvS1
S0
S2
P
Figura 11
• Relacionando com os sistemas de coordenadas ortogonais
estudados até o presente momento, temos que
Generalizado hu
hv hwâu
âv âw
Cartesiano 1 1 1 âx ây âz
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Cartesiano 1 1 1 âx ây âz
Cilíndrico 1 ρ 1 âρ âφ âz
Esférico 1 r rsenθ âr âθ âφ
Superfícies de coordenada constante
• As superfícies, nos sistemas de coordenadas, são obtidas ao
manter uma das variáveis com valor constante, enquanto que as
outras variam.Coordenadas cartesianas
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Figura 12
Coordenadas cilíndricas circulares
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Figura 13
Coordenadas esféricas
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Figura 14
Exercício
6. Considere o campo vetorial
No ponto (1, π/3, 0), determine:
z
2
φ
2
ρ2
sencos ââeâzH ρφ
φρ +
+= −
→
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a) H . âx.
b) H x âθ.
c) A componente vetorial de H normal à superfície ρ = 1.
d) A componente escalar de H tangencial ao plano z = 0.