CC54Z - Hidrologia
Introdução a hidrologia estatística
Prof. Fernando Andrade
Curitiba, 2014
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
• Revisar estatística básica aplicada a
hidrologia
• Estudar a curva de Permanência
• Examinar o risco de ocorrência de eventos
hidrológicos
• Estudar as distribuições estatísticas da
chuva anual e de eventos extremos
(vazões máximas e mínimas)
Objetivos da aula
2
Hidrologia estatística
• Variáveis hidrológicas: chuva, vazão, etc.
• Variáveis hidrológicas podem ser consideradas variáveis aleatórias: apresentam variações sazonais que podem ser irregulares, ocorrendo valores extremos e diferentes sequências de valores ao longo do tempo
• Técnicas estatísticas podem ser aplicadas para estudar o comportamento das variáveis hidrológicas
3
Estatística básica: média
• A vazão ou precipitação média é a média aritmética de toda a série temporal de vazões ou precipitações registradas
• É importante na avaliação da disponibilidade hídrica total de uma bacia
4
n
x
x
n
i
i 1
Estatística básica: média
• As vazões médias mensais são muito utilizadas para análise de vazões em rios (média de cada mês para a série de dados)
• Exemplo: muito importante na determinação da sazonalidade de um rio (dado da média mensal é mais relevante do que valores diários)
• Em alguns casos é utilizada a vazão média mensal específica: vazão média mensal dividida pela área de drenagem da bacia
5
Estatística básica: média
• Exemplo: vazões médias mensais para o rio Cuiabá, medidas em Cuiabá, entre 1967 e 1999
6
Estatística básica: desvio
padrão e variância
• O desvio padrão é uma medida de dispersão dos valores de uma amostra em torno da média
• A variância é definida como o quadrado do desvio padrão (s2)
7
1
1
2
n
xx
s
n
i
i
Estatística básica: PDF
• Se a função densidade de probabilidade
f(x) for conhecida, a média, o desvio
padrão e a variância são facilmente
obtidos
8
𝑥 = 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +∞
−∞
𝑠2 = 𝑥 − 𝑥 2𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +∞
−∞
• Valor que caracteriza o quanto uma amostra
de dados é assimétrica com relação à média
• Uma amostra é simétrica com relação à
média se o histograma dos dados revela o
mesmo comportamento de ambos os lados
da média
Estatística básica:
coeficiente de assimetria
9
𝐺 = 𝑥𝑖 − 𝑥 3𝑛
𝑖=1
𝑛𝑠3
Estatística básica:
mediana e quantis
• Mediana é o valor que é superado em 50% dos pontos da amostra
• Quartis separam a amostra em quatro partes
• Primeiro quartil: é superado em 25% dos pontos da amostra
• Terceiro quartil: é superado em 75% dos pontos da amostra
• Quantis separam a amostra em partes arbitrárias. Por exemplo, quantil 90% é o valor superado em 90% das vezes
11
Exemplo 1
• Calcule a média, o desvio padrão e o
coeficiente de assimetria destes dados
12
A média é de 1645,1 mm por ano e o desvio padrão é de 241,9 mm por ano
Curva de Permanência
• Uma das análises estatísticas mais simples e mais importantes na hidrologia
• Auxilia na análise dos dados de vazão com relação a perguntas como:
• O rio tem uma vazão aproximadamente constante ou extremamente variável?
• Qual é a porcentagem do tempo em que o rio apresenta vazões em determinada faixa?
• Qual é a porcentagem do tempo em que um rio tem vazão suficiente para atender determinada demanda?
14
Curva de Permanência
• Definição: a curva de permanência
expressa a relação entre a vazão e a
frequência com que esta vazão é
superada ou igualada
• Pode ser elaborada a partir de dados
diários ou dados mensais de vazão
15
Curva de Permanência:
exemplo
• A curva de permanência das vazões diárias do rio Taquari é obtida listando-se em ordem decrescente as vazões observadas no hidrograma
• Para cada vazão associa-se o número de ordem (vezes que ela foi excedida)
• Divide-se o número de ordem pelo número total de dados medidos, multiplica-se por 100 para obter a frequência em porcentagem
17
Curva de Permanência:
exemplo
• A vazão de 1000 m³/s é igualada ou superada em menos de 10% do tempo
• Na maior parte do tempo as vazões do rio Taquari são bastante inferiores a 500 m³/s
• Picos de 7000 m³/s são atingidos em períodos de cheia 19
Curva de Permanência:
exemplo • A curva de permanência pode ser apresentada com eixo
vertical logarítmico, de forma a destacar as vazões mais baixas
20
Curva de Permanência:
pontos especiais
• A vazão que é superada em 50% do tempo (mediana das vazões) é a chamada Q50
• As vazões Q90 e a Q10 são utilizadas como referência para legislação na área de meio ambiente e de recursos hídricos
• A vazão que é superada em 95% do tempo é chamada de Q95, e é utilizada para definir a energia assegurada de uma usina hidrelétrica
21
Aplicações da Curva de
Permanência
• A curva de permanência também é útil
para diferenciar o comportamento de rios e
para avaliar o efeito de modificações como
desmatamento, reflorestamento,
construção de reservatórios, extração de
água para uso consuntivo, etc.
22
Exemplo 2
• Os dados de vazão do rio Descoberto em
Santo Antônio do Descoberto (GO) foram
organizados na forma de uma curva de
permanência, como mostra a figura a
seguir. Um empreendedor solicita outorga
de 2,5 m3/s num ponto próximo no mesmo
rio. Considerando que a legislação permite
outorgar apenas 20% da Q90 a cada
solicitante, responda: é possível atender a
solicitação? 23
Risco de ocorrência
• O risco de ocorrência pode ser calculado com base no tempo de retorno TR
• Onde R é o risco de ocorrência (uma ou mais vezes) de um determinado evento em um período n chamado de horizonte de planejamento
25
𝑅 = 1 − 1 −1
𝑇𝑅 𝑛
Exemplo 3
• Determine o risco que a canalização do rio
Belém tem de falhar pelo menos uma vez
durante sua vida útil, que é estimada em
50 anos. A obra foi projetada para um
tempo de retorno de 500 anos
26
𝑅 = 1 − 1 −1
𝑇𝑅 𝑛
𝑅 = 1 − 1 −1
500
50
= 0,095 = 9,5%
Distribuição de
probabilidades
• Existem duas formas de atribuir probabilidades e tempos de retorno aos eventos hidrológicos
• Probabilidades empíricas: podem ser estimadas a partir da observação das variáveis (aleatórias) hidrológicas
• Métodos analíticos: supõe-se que os dados hidrológicos sejam aleatórios e que sigam uma determinada distribuição de probabilidade analítica, como a distribuição normal, por exemplo
28
Eventos extremos
• Distribuição empírica: selecionando apenas as vazões máximas ou as vazões mínimas de cada ano em um dado local, é obtida a série de vazões deste local que permitem realizar análises estatísticas relacionando vazão com probabilidade
• Também é possível análises mediante uso de distribuições estatísticas analíticas: normal, log-normal, log-pearson III, Gumbel
31
Vazões máximas:
distribuição empírica
• Seleciona-se de cada ano apenas o valor da maior vazão
• Organizando as vazões máximas em ordem decrescente, podemos atribuir uma probabilidade de exceder, utilizando a fórmula de Weibull
• onde N é o tamanho da amostra (número de anos) e m é a ordem da vazão (para a maior vazão m=1 e para a menor vazão m=N)
32
𝑃 =𝑚
𝑁 + 1
Distribuição estatística
• O problema da estimativa empírica é que
não é possível extrapolar a estimativa para
tempos de retorno maiores do que a série
de dados
• Como estimar vazões com tempo de
retorno alto, usando séries de
relativamente poucos anos?
• Supor que os dados correspondem a uma
distribuição de frequência conhecida
35
Distribuição estatística
• A distribuição Normal não é adequada
para descrever as estatísticas de eventos
de máxima vazão
• As distribuições log-normal e log-pearson
III podem ser usadas em diversos casos
• Vamos estudar a distribuição de Gumbel
pelo fato de ser simples e não necessitar
tabelas de probabilidades
36
Distribuição Normal
• Vazões máximas segundo uma distribuição normal podem ser estimadas por
• Onde onde x é a vazão máxima para uma dada probabilidade, x é a média das vazões máximas anuais, s é o desvio padrão das vazões máximas anuais e K é obtido de tabelas de distribuição normal (igual ao valor de z)
37
𝑥 = 𝑥 + 𝐾𝑠
Distribuição de Gumbel
• A probabilidade de que uma vazão venha a ser igualada ou excedida em um ano qualquer
• onde x é a vazão máxima anual, 𝑥 é a média das vazões máximas anuais, e s é o desvio padrão das vazões máximas anuais
39
𝑃 = 1 − 𝑒−𝑒−𝑏
𝑏 =1
0,7797𝑠 𝑥 − 𝑥 + 0,45𝑠
𝑥 = 𝑥 − 𝑠 0,45 + 0,7797𝑙𝑛 𝑙𝑛 𝑇𝑅
𝑇𝑅 − 1
Eventos extremos:
vazões mínimas
• A análise de vazões mínimas é
semelhante à análise de vazões máximas,
exceto pelo fato que no caso das vazões
mínimas o interesse é pela probabilidade
de ocorrência de vazões iguais ou
menores do que um determinado limite
• No emprego da probabilidade empírica, os
valores de vazão devem ser organizados
em ordem crescente 40
Eventos extremos:
vazões mínimas
• Muitas vezes as análises estatísticas de vazões mínimas anuais são realizadas sobre as vazões mínimas de 7 dias, 15 dias ou de 30 dias de duração
• Ou seja, encontra-se a vazão mínima média de períodos de 7, 15 ou 30 dias (médias móveis)
• A vazão mínima anual de referência é a Q7,10, ou 7Q10, que é a média anual móvel da vazão mínima a cada 7 dias com tempo de retorno de 10 anos
41
Exemplo 4
• A tabela abaixo apresenta as vazões
mínimas anuais observadas no rio Piquiri,
no município de Iporã (PR). Determine a
vazão mínima de 5 anos de tempo de
retorno pelo método empírico. A
distribuição normal se ajusta bem aos
dados observados?
42
Referências bibliográficas
[1] VILLELLA, S. M., MATTOS, A.. Hidrologia aplicada. São Paulo. Editora McGraw Hill do Brasil, 1975
[2] TUCCI, C. E. M.. Hidrologia: ciência e aplicação. Porto Alegre. Editora da Universidade, 4 ed. 2009
[3] PINTO, N. et al.. Hidrologia básica. São Paulo. Editora Edgard Blucher, 1976