O terceiro postulado de Euclides diz que é possível
traçar um círculo com qualquer centro e com qualquer
raio. Com os nossos axiomas, este postulado é
simplesmente uma consequência.
Até o momento nós estudamos apenas triângulo e
quadriláteros, figuras planas definidas por pontos e retas.
Começaremos nosso estudo do círculo, que é uma figura
plana definida através da noção de distância entre dois
pontos.
Seja 𝑂 um ponto e 𝑅 um número positivo.
Definição. O círculo com centro 𝑂 e raio 𝑅 é o conjunto dos
pontos 𝑄 tais que 𝑂𝑄 = 𝑅.
Dois ou mais círculos com o mesmo centro são ditos
concêntricos. Se Q é qualquer ponto do círculo, então o
segmento OQ é um raio do circulo, e Q é a extremidade do
raio. Se Q e R são pontos do círculo, então QR é uma corda do
círculo. Uma corda que contém o centro é denominada um
diâmetro do círculo. Evidentemente, o comprimento de todo
diâmetro é o número 2r. Este número é denominado o
diâmetro do círculo.
Observação Note que a palavra raio é
usada com dois sentidos. Ela pode
significar um número 𝑅 ou um segmento
𝑂𝑄. Porém, no contexto sempre será
fácil identificar o significado. Quando
falamos “o raio”, falamos do número 𝑅, e
quando falamos de “um raio”, falamos de
um segmento. Da mesma forma, para a
palavra diâmetro.
Tangência e ângulos no círculo
Comecemos esta seção estudando uma das mais importantes
noções da Geometria Euclidiana, qual seja, a de reta e círculos
tangentes.
Dizemos que um círculo e uma reta r são tangentes ou, ainda, que
a reta r é tangente ao círculo , se r e tiverem exatamente um ponto
P em comum. Nesse caso, P é denominado o ponto de tangência de r
e .
A proposição a seguir ensina como construir uma reta tangente a
um círculo dado e passando por um ponto do mesmo.
Teorema. Se uma reta é perpendicular a um raio de um círculo
em sua extremidade, então a reta é tangente ao círculo.
Demonstração Sejam 𝐶 um círculo com
centro em 𝑂 , 𝑂𝑃 um raio e 𝑡 a
perpendicular a 𝑂𝑃 em 𝑃. Se 𝑅 é qualquer
outro ponto de r, então 𝑂𝑅 > 𝑂𝑃, já que
o menor segmento unindo um ponto a uma
reta é o segmento perpendicular.
Portanto, 𝑅 está no exterior de 𝐶. Logo, 𝑡
intersecta 𝐶 somente no ponto 𝑃, o que
implica que 𝑡 é tangente a 𝐶.
Teorema. Toda tangente 𝑟 a um círculo C é perpendicular ao raio
com extremidade no ponto de tangência 𝑄.
Proposição. Um raio é perpendicular a uma corda (que não é um
diâmetro) se e somente se a divide em dois segmentos congruentes.
Voltemo-nos, agora, ao estudo de certos ângulos em um círculo.
Dado, no plano, um círculo de centro O, um ângulo central em
é um ângulo de vértice O e tendo dois raios OA e OB por lados. Em
geral, tal ângulo central será denotado por AOB e o contexto
tornará claro a qual dos dois ângulos AOB estamos nos referindo.
Por definição, a medida do ângulo central AOB é igual à medida do
arco correspondente. O exemplo a seguir mostra que ângulos
centrais iguais subentendem cordas também iguais.
Suponha que AÔB = CÔD < 180 (o caso AÔB =CÔD > 180 pode
ser tratado de modo análogo). Como AO = CO, BO =DO e AÔB
= CÔD, os triângulos AOB e COD são congruentes por LAL, de
modo que AB = CD.
Outra importante classe de ângulos em um círculo é aquela formada
pelos ângulos inscritos. Por definição, um ângulo inscrito num
círculo é um ângulo cujo vértice é um ponto do círculo e cujos lados
são duas cordas do mesmo.
Outra maneira útil de generalizarmos ângulos inscritos é considerar
ângulos ex-cêntricos mas, nesse caso, há dois tipos distintos, quais
sejam, os interiores e os exteriores. Um ângulo ex-cêntrico interior
é um ângulo formado por duas cordas de um círculo que se
intersectam no interior do mesmo;
Um ângulo ex-cêntrico exterior é um ângulo formado pelas retas
suporte de duas cordas de um círculo que se intersectam no
exterior do mesmo.
(a) Basta aplicar sucessivamente o teorema do ângulo externo
(Corolário 3.7, Unidade 3) e o resultado da Proposição 4:
Contrariamente aos triângulos, nem todo quadrilátero
(convexo) admite um círculo passando por seus vértices.
Para ver isso, basta tomar um triângulo ABD e um ponto C
não pertencente ao círculo circunscrito a ABD. Por outro
lado, dizemos que um quadrilátero é inscritível se existir
um círculo passando por seus vértices.
• É imediato a partir da unicidade do círculo circunscrito a um triângulo quese um quadrilátero for inscritível, então o círculo que passa por seus vértices é único e será doravante denominado o círculo circunscrito ao quadrilátero.
• Podemos mostrar que um quadrilátero é inscritível se, e só se, as mediatrizes de seus lados se intersectarem em um único ponto, o circuncentro do quadrilátero. Porém, nas aplicações que temos em mente, a caracterização dos quadriláteros inscritíveis dada a seguir mostra-seem geral mais útil:
No que segue, apresentamos duas aplicações importantes
da proposição acima. Para a primeira delas, precisamos da
seguinte nomenclatura: o triângulo órtico de um triângulo não-
retângulo ABC é o triângulo formado pelos pés das alturas de
ABC.
Nossa segunda aplicação diz respeito à seguinte situação: dados no plano um triângulo ABC e um ponto P não situado sobre qualquer das retas suportes dos lados de ABC, marcamos os pontos D, E e F, pés das perpendiculares baixadas de P respectivamente aos lados BC, CA e AB. O triângulo DEF assim obtido é o triângulo pedal de P em relação a ABC. Por exemplo, o triângulo órtico de um triângulo é o triângulo pedal do ortocentro do triângulo.
Nas notações da discussão acima, quando P estiver sobre o círculo circunscrito a ABC diremos que a reta que passa pelos pontos D, E e F é a reta de Simson-Wallace de P relativa a ABC.
Voltando à discussão do parágrafo inicial desta seção,
observamos agora que nem todo quadrilátero convexo
possui um círculo tangente a todos os seus lados. Quando
tal ocorrer, diremos que o quadrilátero é circunscritível e
que o círculo tangente a seus lados é o círculo inscrito no
quadrilátero. O teorema a seguir, conhecido como o
teorema de Pitot, dá uma caracterização útil dos
quadriláteros inscritíveis.