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COMENTÁRIO CURSO DE FÉRIAS
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
PROFESSOR ALEXANDRE MOURA
Exercícios de Fixação
1.
O total de originais (U) é obtido somando todos os
valores do diagrama que corresponde a 118 páginas.
Resposta: C
2. Fazendo j como o índice de homens que jogam xadrez e
falam inglês, temos que:
25 + 10 + (9 – j) + 11 + (13 –j) + 12 = 70
80 – 2j = 70
–2j = 70 –80
(–1)(–2j) = (–10)(–1)
2j = 10
j = 5 homens
Resposta: A
3. Temos 36 brasileiros fumantes, destes, 20 são homens.
Então, 16 mulheres brasileiras são fumantes.
Então, temos: 96 brasileiros e 51 homens brasileiros,
então, 45 são mulheres brasileiras. Para saber quais não
fumam, é só subtrair 45 – 16 = 29.
Logo, 29 brasileiras não fumam.
Temos 25 homens fumantes e 20 brasileiros fumantes.
Para saber o número de fumantes estrangeiros, basta
fazer 25 – 20 = 5.
Então, são 5 homens estrangeiros que fumam.
Temos 47 pessoas fumantes no total. É dado que
existem 25 homens fumantes. Então ficaria 47 – 25 = 22
Portanto, 22 mulheres são fumantes.
Resposta: C
4. Fatorando o 2004, teremos:
2004 = 2 2 3 167
2004 = 22 3 167
Perceba que os divisores de 2004 estão na forma de:
2a 3b 167c
Sendo:
a [0, 1, 2]
b [0, 1]
a [1, 2, 3] c [0, 1]
Assim, o número de divisores é dado por:
– Número de maneiras de escolher a: 3
– Número de maneiras de escolher b: 2
– Número de maneiras de escolher c: 2
3 2 2 = 12 maneiras
Resposta: A
5. Seja d1 a despesa com o carro I, tal que 1 I 5.
Assim, temos:
d1 = 46.000 + 8 4.200 – 14.000 = 65.600;
d2 = 55.000 + 8 4.000 – 10.000 = 77.000;
d3 = 56.000 + 8 4.900 – 16.000 = 79.200;
d4 = 45.000 + 8 5.000 – 7.000 = 78.000;
d5 = 40.000 + 8 6.000 – 15.000 = 73.000.
Portanto, o carro que resultaria em menor despesa total
é o I.
Resposta: A
6. A pessoa inicialmente foi até o mercado com 96
garrafas vazias e, a cada 8 vazias trocou por 1 litro de
refrigerante. Logo, 96 8 = 12 litros na primeira troca.
Após esvaziar as 12 garrafas recebidas, retornou ao
mercado e trocou as 12 garrafas por mais um litro de
refrigerante (pois apenas a cada 8 garrafas vazias é
possível fazer a troca). Assim, ao final das trocas a
pessoa teria recebido o equivalente a 12 + 1 = 13 litros
de refrigerante.
Resposta: A
7. Calculando o custo total para cada uma das impressoras,
considerando-se 50 000 cópias:
Custo cópia 80
A1 000
= 0,08
custo total A = 500 + 0,08 50 000 - 4.500,00
Custo cópia 140
B2 000
= 0,07
custo total B = 1 100 + 0,07 50 000 = 4.600,00
Custo cópia 80
C1 000
= 0,05
custo total C = 2 000 + 0,05 50 000 = 4.500,00
Logo, conclui-se que a empresa pode adquirir a
impressora A ou C, descartando a B (maior custo).
Resposta: D
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8.
Portanto, teremos:
(5 90) 3 + (4 50) 3 + 2 50 = 2 050 segundos =
34 minutos e 10 segundos.
Resposta: A
9. Total da conta
2 R$ 7,70 + 2 R$ 3,60 + R$ 4,40 = R$ 27,00
Cada menina pagará R$ 13,50
Portanto,
R$ 20,00 R$ 13,50 R$ 6,5026 moedas
0,25 0,25
Resposta: A
10. Sendo Q a quantidade de litros utilizada por cada
motorista em cada viagem, e C o custo total de cada
viagem, pode-se calcular:
MOTORISTA
CUSTO POR
LITRO DE
COMBUSTÍVEL
(R$)
DISTÂNCIA
PERCORRIDA
(KM)
VELOCIDADE
MÉDIA
(KM/H)
RENDIMENTO
(KM/LITRO)
1 2,80 400 84 12
2 2,89 432 77 16
3 2,65 410 86 10
4 2,75 415 74 15
5 2,90 405 72 15
Motorista 1
1 1
400Q 33,33 litros C 2,80 33,33 93,33 reais
12
Motorista 2
2 2
432Q 27 litros C 2,89 27 78,03 reais
16
Motorista 3
3 3
410Q 41 litros C 2,65 41 108,65 reais
10
Motorista 4
4 4
415Q 27,67 litros C 2,75 27,67 76,08 reais
15
Motorista 5
5 5
405Q 27 litros C 2,90 27 78,30 reais
15
Assim, o motorista que obteve a viagem com menor
custo foi o motorista 4,
Resposta: B
11. Calculando:
2,10Pacote I 0,70
3
2,60Pacote II 0,65
4
3,00Pacote III 0,60
5
3,90Pacote IV 0,65
6
9,60Pacote V 0,80
12
Resposta: C
12. Considerando que os valores de pavimentação de cada
lote seja iguais a R$ 15.000,00, o que cada proprietário
irá pagar:
Proprietário do Lote 1: 15 000
4
Proprietário do Lote 2: 15 000 15 000
4 3
Proprietário do Lote 3: 15 000 15 000 15 000
4 3 2
Proprietário do Lote 4: 15 000 15 000 15 000
15 0004 3 2
Logo, a diferença entre o que o proprietário do lote 4
pagou e o que o proprietário do lote 2 pagou é de:
15 00015 000 R$ 22.500,00
2
Resposta: E
13. O jogador I converte chutes em gol com probabilidade
45 3
60 4 , enquanto que o jogador II converte chutes em
gol com probabilidade 50 2
75 3 .
Portanto, como 3 2
,4 3 o jogador I deve ser escolhido
para iniciar a partida.
Resposta: A
14. O resultado é dado por 80
P(negativo | sadio) 0,8990
Resposta: D
15. Tem-se que x 2
x 3015 x 3
Resposta: D
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16. A probabilidade de a aluna ser sorteada, dado que ela
está na sala C, é igual a: 1 1 1
3 18 54
Resposta: B
17. Calculando cada uma das probabilidades:
1
2
3
4
5
7 800P(C ) 0,0433 4,33%
180 000
7 500P(C ) 0,075 7,5%
100 000
9 000P(C ) 0,08181 8,2%
110 000
6 500P(C ) 0,03939 3,9%
165 000
11 000P(C ) 0,06285 6,3%
175 000
Logo, a cidade que receberá a maior verba será a de
número III (maior probabilidade).
Resposta: A
18. Calculando:
R vencedor Possibilidades:
R ganhar /S empatar 0,8 0,2 0,16 16%
R ganhar /S perder 0,8 (1 0,4 0,2) 0,32 32% 54%
R empatar /S perder 0,15 (1 0,4 0,2) 0,06 6%
Resposta: E
19. A probabilidade do primeiro país escolhido pertencer à
América do Norte é de 3
6.
A probabilidade do segundo pertencer ao continente
asiático é de 3
5.
A probabilidade de ambos os eventos ocorrerem será:
3 3 9 3
6 5 30 10 .
Resposta: B
20. Para que a aula ocorra no domingo, é necessário que
chova no sábado e não chova no domingo. Assim,
pode-se escrever:
sáb
dom
dom dom
sáb dom
P(chover ) 0,30
P(chover ) 0,25
P(não chover ) 1 P(chuva ) 1 0,25 0,75
P(chover ) P(não chover ) 0,30 0,75 0,225 22,5%
Resposta: D
Exercícios Propostos
1. Decompondo os valores em fatores primos, temos:
528, 240, 2016 2
264, 120, 1008 2
132, 60, 504 2
66, 30, 252 2
33, 15, 126 3
11, 5, 42
Logo, o total de açúcar por kit é de 11 quilos.
Resposta: D
2. Para obter o número total de barreiras, basta dividir o
tamanho total do percurso pelo espaço que cada barreira
está uma da outra, ou seja,
1 000 25 = 40.
Porém, como a última barreira está a 25 metros da linha
de chegada, deve-se subtrair uma barreira, logo:
40 – 1 = 39 barreiras.
Resposta: B
3. Transformando os tempos dados para minutos e
calculando-se o mínimo múltiplo comum entre eles,
tem-se:
45 s 0,75 min
60 s 1 min MMC(0,75;1; 0,45) 9
27 s 0,45 min
Assim, a cada 9 minutos as lâmpadas vermelhas estarão
acesas (pois todas as outras estarão acesas ao mesmo
tempo). Lembrando que para encontrar o MMC, deve-se
fatorar os números (dividir sucessivamente por números
primos em ordem crescente), ou seja:
0,75 1 0,45 2
90092 2 3 3 5 5 900
100
0,75 0,50 0,45 2
0,75 0,25 0,45 3
0,25 0,25 0,15 3
0,25 0,25 0,05 5
0,05 0,05 0,01 5
0,01 0,01 0,01
Resposta: E
4. O resultado pedido corresponde ao máximo divisor
comum dos números 120, 180 e 252, ou seja,
MDC(120, 180, 252) = MDC(23 3 5, 22 32 5, 22 32 7)
= 22 3
= 12.
Resposta: A
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5. O valor total em notas de 100 será representado por
100n, em que n é o número de notas.
A diferença entre o valor recebido por um médico e o
valor recebido por um orientando será dada por:
50n 50n (950 300) n 650 n
6 19 114 114
Considerando:
650 nn 114 650 (não é múltiplo de 100)
114
650 nn 228 1 300 (múltiplo de 100)
114
Portanto, a diferença pedida é no mínimo R$ 1.300,00.
Resposta: A
6. Tempo para a colheita da variedade V1:
5 + 3 + 1 = 9 semanas.
Tempo para a colheita da variedade V2:
3 + 2 + 1 = 6 semanas.
Tempo para a colheita da variedade V3:
2 + 1 + 1 = 4 semanas.
O número mínimo de semanas necessárias para que a
colheita das três variedades ocorra simultaneamente,
será: MMC(9, 6, 4) = 36 semanas
Resposta: B
7. Considerando o número de alunos da turma, temos:
N = 3x + 1, x N N – 1 = 3x, x N
N = 4x + 1, x N N – 1 = 4x, x N
Concluímos, então, que N – 1 é múltiplo de 12, ou seja,
N = 12 k + 1, k N N {1, 13, 25, 37, 49, 61, 73, ...}
Como 17 são homens e o número de mulheres é maior
que o número de homens, o menor valor possível para N
será:
N = 37 (37 = 17 + 20 e 20 > 17)
Logo, N é um primo e não par.
Resposta: B
8. Para obter após quanto tempo os dois amigos se
encontram na linha de chegada, basta obter o mínimo
múltiplo comum (MMC) entre dos dois tempos, ou seja:
28, 24 2
MMC (28, 24) = 2 2 2 3 7 1 = 168
14, 12 2
7, 6 2
7, 3 3
7, 1 7
1, 1 1
Dividindo 168 segundos por 60, para obter o tempo em
minutos, temos:
1682,8 2 min e 48 segundos.
60
Resposta: D
9. Sejam x e y, respectivamente, o número de dúzias
compradas de canetas do tipo A e o número de dúzias
compradas de canetas do tipo B, tem-se que:
20x + 15y = 1 020 4x + 3y = 204
Ademais, sendo 777 = 36 21 + 21, podemos concluir
que ele ganhou 21 canetas e, portanto, comprou
3 21 = 63 dúzias de canetas. Em consequência, vem:
4 (63 – y) + 3y = 204 y = 48
Resposta: C
10. Sabendo que os remédios devem ser tomados em
intervalos de 1,5h e 2,5h, respectivamente, para que
ambos sejam tomados novamente no mesmo horário é
preciso encontrar um intervalo de tempo (entre 0 e 24
horas) que seja divisível por 1,5 e 2,5 simultaneamente.
Calculando os múltiplos:
1,5 2 = 3
1,5 3 = 4,5
1,5 4 = 6
1,5 5 = 7,5
2,5 2 = 5
2,5 3 = 7,5
2,5 4 = 10
2,5 5 = 12,5
O primeiro número que é divisível simultaneamente por
1,5 e 2,5 é o número 7,5 (não há necessidade de ser um
número inteiro, pois se trata de intervalo de tempo em
horas). Assim, iniciando o tratamento às 6h, a cada 7,5
horas de intervalo os remédios serão novamente
tomados juntos, ou seja, os dois remédios serão tomados
juntos novamente às:
6h + ,5 = 13,5h 13h30 min
13,5h + ,5h = 21h 21h
Logo, o horário que o remédio deverá ser tomado à
noite é às 21h.
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O problema pode ainda ser resolvido elaborando-se uma
tabela:
Remédio 1
(a cada 1,5h)
Remédio 2
(a cada 2,5h)
06:00 06:00
06:30 06:30
07:00 07:00
07:30 07:30
08:00 08:00
08:30 08:30
09:00 09:00
09:30 09:30
10:00 10:00
10:30 10:30
11:00 11:00
11:30 11:30
12:00 12:00
12:30 12:30
13:00 13:00
13:30 13:30
14:00 14:00
14:30 14:30
15:00 15:00
15:30 15:30
16:00 16:00
16:30 16:30
17:00 17:00
17:30 17:30
18:00 18:00
18:30 18:30
19:00 19:00
19:30 19:30
20:00 20:00
20:30 20:30
21:00 21:00
Resposta: D
11. Para calcular o número de dias necessários para que seu
cão tome os dois remédios juntos novamente devemos
calcular o mínimo múltiplo comum entre 6 e 20, ou
seja, 60.
Como o medicamento da caixa A é tomado a cada
6 dias, depois de 60 dias já foram tomados 60 : 6 = 10
comprimidos da caixa A, restando 14 comprimidos.
Resposta: C
12. O número de documentos em cada pasta é dado por
MDC (42, 30, 18) = 6. Por conseguinte, a resposta é
42 30 1815
6 6 6
Resposta: B
13.
8 2 2 2
12 2 2 3 MMC 2 2 2 3 5 120 min 2h depois
20 2 2 5
Portanto, os ônibus chegarão novamente nesse mesmo
ponto às 8 horas.
Resposta: D
14. O número de professores corresponde ao máximo
divisor comum dos números de redações. Portanto,
desde que 702 = 2 33 13, 728 = 23 7 13 e
585 = 32 5 13, temos MDC (702, 728, 585) = 13.
Logo, como 52 = 4 13, segue o resultado.
Resposta: A
15. Calculando o MDC (144, 96, 192, 240) obtemos 48.
Logo, 144
348
pacotes de feijão por cesta.
Resposta: C
16. Fatorando as quantidades de goiabas, laranjas e maçãs,
tem-se
6 2
4 3 3 2
3 2
576 2 3
432 2 3 MDC(432, 504, 576) 2 3 72 famílias
504 2 3 7
Assim, cada família receberá:
576 72 = 8 goiabas
432 72 = 6 laranjas
504 72 = 7 maçãs
Somando as frutas que cada família receberá, tem-se o
número 21, que é múltiplo de 7.
Resposta: B
17. O número mínimo de escolas beneficiadas ocorre
quando cada escola recebe o maior número possível de
ingressos. Logo, sendo o número máximo de ingressos
igual ao máximo divisor comum de 400 = 24 52 e 320 =
= 26 5, temos MDC (400, 320) = 24 5 = 80.
Portanto, como 400 = 5 80 e 320 = 4 80, segue que a
resposta é 5 + 4 = 9.
Resposta: C
18. Sendo 540 = 22 33 5, 810 = 2 34 5 e 1080 =
= 23 33 5, vem que o máximo divisor comum desses
números é 2 33 5 = 270. Contudo, se o comprimento
das novas peças deve ser menor do que 200 centímetros,
então, queremos o maior divisor comum que seja menor
do que 200, ou seja, 33 5 = 135.
COMENTÁRIO CURSO DE FÉRIAS – MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
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Em consequência, a resposta é:
540 810 108040 30 10 420
135 135 135
Resposta: C
19. MMC(3, 4, 60) = 12
Portanto, 6 + 12 = 18 horas
Resposta: E
20. Para que um armário fique com a porta aberta deverá
ser alterado um número ímpar de vezes.
O número de divisores de um quadrado perfeito é
sempre ímpar, ao passo que o número de divisores de
um número, não quadrado perfeito, é sempre par.
Portanto, os quartos que ficarão abertos terão quadrados
perfeitos como números.
São eles: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100.
Portanto, 10 quartos ficarão com as portas abertas.
Resposta: A
PROFESSOR FABRÍCIO MAIA
Exercícios de Fixação
1. Temos que:
Taxa de variação:
Δt 7,30 7,24
a 0,006.x 20 10
Coeficiente linear t(0) = 7,24 – 10 × (0,006) = 7,18
Logo:
t(x) = 0,006x + 7,18
Resposta: A
2. Uma pessoa trabalha x horas por mês com programação
e y horas com conserto de computadores, com
remuneração de R$ 40,00 por hora de programação
e R$ 20,00 por hora de conserto de computador. Então, I. se a pessoa trabalha no máximo 160 horas por mês,
temos: x + y ≤ 160, com x ≥ 0 e y ≥ 0
II. se a pessoa ganha ao menos R$ 5.000,00 por mês, temos:
40 x + 20 5000, com x ≥ 0 e y ≥ 0
As condições anteriores representadas no sistema de coordenadas resultam:
I. II. As duas condições simultâneas resultam:
Resposta: E 3. Sabemos que o volume de um bloco retangular ou
paralelepípedo reto retângulo é dado pelo produto das medidas de suas dimensões.
Então:
Volume do reservatório = x y 10 = 180 m3
x y = 18 18
y = .x
Como x e y representam grandezas inversamente proporcionais, temos a representação a seguir.
Resposta: E
4. A partir do enunciado, a área de atuação de Cláudio
será igual a A1 = x2 e a área de atuação de Luís será
A2 = (y2 – x2), com 0 < x < y 30.
Se as áreas de atuação são as mesmas, resulta:
A1 = A2 y2 – x2) = x2
y2 – x2 = x2 y2 = 2x2
y = 2 x (pois y > x > 0)
Segundo o que foi estabelecido pelos vendedores, o
lugar geométrico no plano cartesiano dos pares
ordenados (x, y) é o segmento de reta da alternativa B,
excluindo a origem.
Resposta: B
COMENTÁRIO CURSO DE FÉRIAS – MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
7 002.858 – 128983/18
5. Se a função que relaciona o PIB com o tempo t
é quadrática, então, é do tipo P(t) = at2 + bt + c. Como
os pontos (1; 53), (2;58) e (3;65) pertencem ao gráfico
de P, tem-se:
2
2
3
a 1 b 1 c 53 a b c 53
a 2 b 2 c 58 3a b 5
5a b 7a 3 b 3 c 65
a b c 53 a 1
3a b 5 b 2
2a 2 c 50
Assim, P(t) = t2 + 2t + 50, com 1 ≤ t ≤ 6, t em anos
e P(t) em bilhões de dólares.
Resposta: C
6. Sendo C(x) = 1000
x 160x
o custo por unidade, em
reais, o custo total, em reais, desta empresa na produção
de x unidades será dado por
x C(x) = x2 – 160x + 10000, cujo gráfico é:
Portanto, o custo total mínimo é de R$ 3.600,00.
Resposta: A
7.
1. Conforme o enunciado, a demanda é elástica quando
E(p) > 1. Assim,
2 2p 2p 1 p 2p 1
1 1 04p 1 4p 1
2p 2p
0.4p 1
2. O gráfico de f(p) = –p2 + 2p, com p > 0, é do tipo:
3. O gráfico de g(p) = – 4p + 1, com p > 0, é:
4. p 2p f (p) 1
0 0 0 p ou p 24p 1 g(p) 4
conforme mostra o quadro de sinais:
Resposta: D
8. Sendo c, b e r, respectivamente, os preços de um
chiclete, uma bala e um refrigerante, temos:
3c 7b r 3,15 9c 21b 3r 3,15 (I)
4c 10b r 4,20 8c 20b 2r 8,40 (II)
Fazendo (I) – (II), membro a membro, temos:
c + b + r = 1,05
Dessa forma, o preço de um chiclete, uma bala e um
refrigerante é igual a R$ 1,05.
Resposta: D
9. Supondo que até hoje não houve reajuste em sua
aposentadoria, e sendo y = valor anual recebido hoje, e
x o número de anos trabalhados antes da aposentadoria,
teremos:
1. O aposentado recebe aposentadoria proporcional ao
quadrado do número de anos trabalhados: y = kx2
2. Se trabalhar A anos a mais, então a aposentadoria
seria P reais maior que hoje: y + P = k (x + A)2.
3. Se trabalhar B anos a mais, sua aposentadoria seria
Q reais maior que hoje: y + Q = k (x + B)2.
O sistema que permite obter k é o da alternativa E.
Resposta: E
10 000
3 600
f(p)
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10.
Para 6 valores de n, pode ser mais barato comprar mais
do que n livros do que exatamente n livros. São eles:
n = 23 e n = 24, pois sai mais barato comprar 25 livros,
n = 45, n = 46, n = 47 e n = 48, pois sai mais barato
comprar 49 livros.
Resposta: D
11. Dionísio pretende consumir as quantidades x e y
(x ≥ 0 e y ≥ 0) dos produtos A e B, cujas unidades
valem respectivamente R$ 20,00 e R$ 30,00.
Se R$ 600,00 é o máximo que Dionísio pode gastar no
consumo desses produtos e no máximo R$ 300,00 com
o produto A, temos:
20 x 30 y 600 2x 3y 60
20 x 300 x 15
x 0 e y 0 x 0 e y 0
A representação gráfica do conjunto dos pares (x; y)
possíveis, no plano cartesiano, é:
A área da região representada (trapézio) é igual a:
(20 10)
A 15 2252
Resposta: D
12. No gráfico seguinte, temos o valor estimado da casa, em
função do tempo, sendo P o valor estimado da casa
daqui a 4 anos e 3 meses = 17
4 anos.
Como os triângulos ABC e ADE são semelhantes,
temos:
DE AD P 280 000 17
4BC AB 325 000 280 000
3
1 17
P 280 000 45 000 343 7503 4
Resposta: D
13.
Por semelhança de triângulos, temos:
650 600 2014 2013 50 1
1800 600 x 2013 1200 x 2013
1200
x 2013 x 2013 24 x 203750
Resposta: D
14.
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Da semelhança dos triângulos ABC e ADE, temos:
n 400 2010 2000 n 400 10
560 400 2008 2000 160 8
1600
n 400 n 400 200 n 6008
Resposta: A
15.
Calculando:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
M(–3,3) 9 + 9 – 3D + 3E + F = 0
–3D + 3E + F = –18
N(2,8) 4 + 64 + 2D + 8E + F = 0 2D + 8E + F = –68
O(6,0) 36 + 6D + F = 0 F = –36 – 6D
9D 3E 18
4D 8E 32
72D 24E 14460D 240 D 4 F 12 E 6
12D 24E 96
x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0
xc = 4
22
yc = 6
32
R = 2 22 3 ( 12) R = 5
Perímetro = 2R = 2 3, 14 5 = 31,4 cm
Resposta: B
16. Calculando:
reta y – y0 = m (x – x0)
m = 7 2 5 1
11 1 10 2
reta AB 1 x 3
y 2 (x 1) y2 2
reta rio x + 3y = 17 17 x
y3
intersecção 17 x x 3
34 2x 3x 93 2
5x = 25 x = 5 5 3
y 4 I(5,4)2
Resposta: E
17.
r s = {T}
2 2
T, O
y 6x 4T (0,4) d 0 4 4
y 4
r t = {S}
2 2
S, O
y 6x 4S ( 1, 2) d ( 1) ( 2) 5
2y 3X 1 0
s t = {R}
2 2
R, O
y 4R (3,4) d 3 4 5
2y 3x 1 0
(raio da circunferência)
Logo, a inequação que representa o círculo será dada
por:
(x, y) 2; x2 + y2 ≤ 25
Resposta: A
18. Os pontos de intersecção entre as duas circunferências
são solução do sistema a seguir:
2 2
2 2
(x 3) (y 1) 10 (I)
(x 3) y 13 (II)
Subtraindo membro a membro as equações (II) e (I),
temos:
(x + 3)2 + y2 – (x + 3)2 – (y + 1)2 = 13 – 10
y2 – y2 – 2y – 1 = 3
2y = 4
y = –2
Substituindo y = –2 na equação (I),
(x + 3)2 + (–2 + 1) = 10
(x + 3)2 = 9
x+ 3 = 3 x = 0 ou x + 3 = –3 x = –6
Assim, os pontos de intersecção entre as duas
circunferências são A (0, –2) e B(–6, –2).
Logo,
2 2
A,Bd ( 6 0) ( 2 ( 2))
dA,B = 36 0
dA,B = 6
Resposta: D
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19. Diante do exposto, temos a figura a seguir:
Pitágoras R2 = (R – 8)2 + 122 R = 13.
Então,
raio = 5 Centro = (12, –5)
Logo:
2 2 2
reduzida da circunferência
(x 12) (y 5) 13
Resposta: A
20. Suponha que:
n é o número de aumentos de R$ 10,00 no preço da
passagem.
Como a receita R(n) de cada voo é dada pelo produto
entre o preço da passagem e o número de passageiros,
temos:
preço passageiros
R(n) = (200 +10n 120 – 4n
polinômio do 2º grau, em
R(n) 40 (n 20) (n 30)
n
Logo, o número de aumentos que torna a receita
máxima é dado pela abscissa do vértice do polinômio
R(n).
20 30n 5 preço da passagem 200 10 5 R$ 250,00
2
Resposta: D
Exercícios Propostos
1. O melhor gráfico é a letra D, pois mostra o nível da
substância A, antes, durante e depois da presença do
medicamento no organismo.
Resposta: D
2. A função *h : , R R dada por h = f(t), é crescente e
sua taxa de crescimento diminui com o tempo. Portanto,
o gráfico que melhor representa h é o da alternativa D.
Resposta: D
3. Seja f : [37500, 47000] [2100; 4237,5] a função
definida por f(x) = ax + b, em que x é a base de cálculo
e f(x) é o imposto devido.
A taxa de variação da função f é dada por
4237,5 2100
a 0,225.47000 37500
Portanto, o acréscimo pedido é igual a
f(x + 1000) – f(x) = 0,225 (x + 1000) + b – (0,225x + b) =
R$ 225,00
Resposta: C
4. Adotando convenientemente um sistema de coordenadas
cartesianas, considere a figura.
Sejam A, o ponto de lançamento do projétil e a função
quadrática f : [–20, 20] R, dada na forma canônica
por f(x) = a (x – m)2 + k, com a, m, k R e a ≠ 0.
É imediato que m = 0 e k = 200. Logo, sabendo que
f(20) = 0, vem
0 = a 202 + 200 a = 1
.2
Portanto, temos f(x) = 2x
2002
e, desse modo, segue
que o resultado pedido é
2( 10)
f ( 10) 200 150 m.2
Resposta: D
5. A receita é dada por
R(x) = p x = (300 – 0,75x) x = –0,75x2 + 300x
O número de passageiros que resulta na receita
máxima é xv = 300
2001,5
–8
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Como o avião utilizado tem 180 lugares, concluímos
que a receita máxima ocorre para x = 180 e resulta, em
reais,
R(180) = (310 – 0,75 180) = 165 180 = 29 700
Resposta: B
6.
1. A função R(x) é de primeiro grau e do tipo
R(x) = ax + b, com R(0) = 0 e R(1 000) = 15 000.
Assim:
R(0) a b 0 a 15
R(1000) a 1000 b 15 000 b 0
e R(x) = 15x
2. A função C(x) é de primeiro grau e do tipo
C(x) = cx + d, com C(0) = c 0 + d = 5 000 e
C(1 000) = 15 000.
Assim:
C(0) c 0 d 5 000 c 10
C(1000) c 1000 d 15 000 d 5 000
e C(x) = 10x + 5 000
3. O lucro ao se produzir e vender 1 350 unidades é
L(1 350) = R(1 350) – C(1 350) =
= 15 1 350 – (10 1 350 + 5 000) = 1 750
Resposta: B
7.
1.
Como dispõe de 60 m de cerca, em metros, temos:
x + y + x = 60 y = 60 – 2x
2. A área do retângulo ABCD é
SABCD = x y = x (60 – 2x) = –2x2 + 60x e é
máxima para x = ( 60)
15.2 ( 2)
Neste caso, y = 60 – 2 × 15 = 30 e, em m2,
Smáxima = 15 30 = 450.
Resposta: D
8. Analisando o gráfico, tem-se que as coordenadas dos
estabelecimentos são:
A(5, 4)
B(–3, 1)
C(4, 2)
D(–4, –3)
Assim, para avaliar se o estabelecimento está dentro da
área de cobertura do sinal basta substituir suas
coordenadas na equação:
x2 + y2 – 2x – 4y – 31 0
A 52 + 42 – 2 5 – 4 4 – 31 0 – 16 0 OK!
B (–3)2 + 12 – 2 (–3) – 4 1 – 31 0
– 19 0 OK!
C 42 + 22 – 2 4 – 4 2 – 31 0 –27 0 OK!
D (–4)2 + (–3)2 – 2 × (–4) – 4 × (–3) – 31 0
14 0 Falso!
Resposta: D
9.
I. O número de carros que comparecem, diariamente
ao estacionamento é y = 120 – 0,5x, sendo x, em
reais, o preço pago por cada um;
II. A receita diária é x (120 – 0,5x);
III. O custo diário, em reais, é 1.150;
IV. Para não ter prejuízo devemos ter
x (120 – 0,5x) ≥ 1.150
120x – 0,5x2 – 1.150 ≥ 0
–x2 + 240x – 2.300 ≥ 0
O gráfico da função definida por
f(x) = –x2 + 240x – 2.300 é do tipo
Assim sendo: –x2 + 240x – 2300 ≥ 0
10 ≤ x ≤ 230 e, portanto, [a; b] = [10; 230] e b – a = 220.
Resposta: A
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12 002.858 – 128983/18
10. A receita R é igual ao produto do preço por unidade
pelo número de unidades vendidas. Assim, R = p x =
= (–0,4x + 200) x = –0,4x2 + 200x.
A receita é igual a R$ 21.000,00 x2 – 500x + 52.500 = 0
As soluções da equação têm soma 500 e correspondem
aos números de pratos k1 e k2, então, k1 + k2 = 500.
Resposta: B
11. O custo total para a produção de x paletós, em reais,
é C(x) = 10 000 + 100 x, com x [0; 500].
O custo médio na produção de x paletós é
C(x) 10 000 100xCM(x)
x x
100100 1 reais
x
O menor custo médio ocorre com o maior valor possível
de x (no caso 500). Desta forma, em reais, o menor
custo médio possível é
100
100 1 120500
Resposta: E
12. Sendo y (a receita mensal de vendas) uma função de x
(gastos mensais com propaganda) de 1º grau; temos y =
a x + b.
De acordo com o enunciado, se x = 10 000 quando
y = 80 000, e, x = 20 000 quando y = 120 000, temos
o sistema:
80 000 a 10 000 b a 4
120 000 a 20 000 b b 40 000
Dessa forma a expressão de y em função de x, pode ser
expressa por: y = 4 x + 40 000.
Resposta: A
13. Da função f(x): 2x 1,1 x 5
, tem-sex 12, 5 x 12
f(1) = 1, f(2) = 3, f(3) = 5, f(4) = 7, f(5) = 7, f(6) = 6,
f(7) = 5, f(8) = 4, f(9) = 3, f(10) = 2, f(11) = 1 e f(12) = 0.
O rol de utilização do equipamento é:
0; 1; 1; 2; 3; 3; 4; 5; 5; 6; 7; 7.
Os dois elementos centrais do rol são o 3 e o 4, em
destaque na sequência anterior.
A mediana é a média aritmética dos dois, portanto,
3 43, 5
2
Resposta: B
14. A função do primeiro grau que relaciona p com x é do
tipo p = ax + b e, de acordo com o enunciado, temos:
b 6010 a 200 b 200 a b 10
115 a 180 b 5 20a a
4
Assim sendo, 1
p x 604
Representando por r a receita diária e sendo
1p x 60,
4 temos
1r x x 60 ,
4
cujo
gráfico é do tipo
A receita diária será máxima para x = 120 e, portanto,
para 1 1
p x 60 120 60 30.4 4
Resposta: D
15.
I. A função que permite calcular o valor da máquina
em função do tempo, em anos, é do tipo y = ax + b;
II. x = 2 y = a 2 + b = 6 400
x = 5,5 y = a 5,5 + b = 4 300
III. 2a b 6 400 a 600
5,5a b 4 300 b 7 600
e y = – 600x + 7 600
IV. x = 7 y = – 600 7 + 7 600 = 3 400
Resposta: D
16. Segundo a análise feita, o único gráfico que possui
concavidade apenas para cima, ou seja, aceleração
positiva, e apresenta velocidade crescente de leitura das
páginas é o da alternativa B.
Resposta: B
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13 002.858 – 128983/18
17. De acordo com a figura, a primeira parte do gráfico não
pode ser uma reta, pois a variação da altura no cone não
é constante. A segunda parte do gráfico deverá ser uma
reta, pois a variação da altura no cilindro é constante.
O único gráfico que obedece a essas condições é o da
alternativa D.
Resposta: D
18. Temos que:
100x2 + 100y2 – 400x – 600y + 1075 = 0(100)
x2 + y2 – 4x– 6y + 43
04
x2 – 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = 43
4 94
(x – 2)2 + (y – 3)2 = 9
4
Logo, o raio será dado por: r = 9 3
.4 2
Calculando o comprimento do arco (altura h da
professora):
32
2h 0,75 u.c.4
Resposta: C
19. Desde que a parábola apresente concavidade para baixo
e intersecte o eixo das abscissas em dois pontos distintos, temos a < 0 e b2 – 4ac > 0.
Resposta: D 20. A taxa de crescimento da altura no tronco do cone
inferior aumenta com o tempo. Já no tronco de cone superior, a mesma taxa diminui com o tempo. Por outro lado, no cilindro, a taxa é constante. Assim, o gráfico que expressa a altura da água na escultura em função do tempo decorrido é o da alternativa D.
Resposta: D
PROFESSOR FILIPE SERPA
Exercícios de Fixação
1. Calculando:
2
2 2
6 4V = 3 = 36 cmprisma 2
1V = b 4 = 36 b = 27 = 3 3 cmpirâmide 3
Resposta: D
2. Calculando:
prisma base
pirâmide base prisma
base base
= S h
1 1V = S PA = V
3 9
1 1 hS PA = S h PA
3 9 3
V
Resposta: B
3. Considerando o tubo de ensaio, um cilindro e R o raio
deste tubo, após o aquecimento, podemos considerar
que:
2cil
2
2
2
V = R h
2 = π R 0,3
2R =
0,942
R = 2,12
R = 1,5
π
Ou seja, o diâmetro mede aproximadamente 2 1,5 = 3 cm.
Resposta: B
4. Do enunciado, temos:
V : volume total de água que cabe no tanque
2
3
3
1 5π 2 = V
4 100
V = 20π m
V 63 m
Resposta: C
5. Seja r, em mm, a medida do raio de uma esfera cujo
volume é 500 mm3.
Temos então:
3
3
33
3
4500 = π r
3
375r =
π
3 5r =
π
3r = 5 mm
π
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14 002.858 – 128983/18
Sendo t, o tempo em segundos, que o balão leva para
atingir o volume 500 mm3 nas condições dadas,
3
3
35 mm
0,5 mm π=
1 s t
3t = 10 s
π
Resposta: E
6. Se g é a geratriz do cone, então:
2 g = 2 2 6 g = 12 cm
Logo, sendo h a altura do cone, vem
h2 = 122 – 62 h = 6 3 cm
A resposta é dada por
2
3π 6 6 3= 72 3π cm
3
.
Resposta: A
7. Do enunciado e da figura, temos:
3
3
3
2v H=
v 1
2 = H
H = 2
Resposta: A
8. Do enunciado e da figura, temos:
A’ B’ C’ D’ E’ F’ é um hexágono regular cujo lado têm
medida igual a 1
,2
logo, pode ser decomposto em 6
triângulos equiláteros congruentes, todos com lados de
medidas 1
.2
SA’B’C’D’E’F’: área do hexágono regular A’B’C’D’E’F’.
Ssetor: área do setor circular de centro no ponto O4,
extremos nos pontos E’ e D’ e raio de medida 1
.2
O4 E’D’ é um triângulo equilátero cujo lado têm medida
igual a 1
.2
Sendo S a área pedida, temos:
S = SA’B’C’C’D’E’F’ – 6. (Ssetor – 4O E'D'S )
4A'B'C'D'E'F' setor O E'D'
2o
S = S – 6 S – S
1 1 1 1 1 1 1 1S = 6 sen 60° – 6 π – sen 60
2 2 2 6 2 2 2 2
3 3 π 3S = – 6 –
8 24 16
3 3 π 3 3S = – +
8 4 8
3 3 – πS =
4
Resposta: A
9. A área de intersecção será igual a área de dois
triângulos equiláteros de lado 2 somado com a área de
um setor circular de 60º, conforme a figura a seguir.
Calculando:
2
triângulo
2 2
setor
intersecção triângulo setor
2 3S = = 3
4
πR π2 4πS = = =
6 6 6
4π 6 3 + 2πS = 2S + S = 2 3 + =
6 3
Resposta: D
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15 002.858 – 128983/18
10. As dimensões do terreno são dadas por 8 + 2x e 10 + 2x,
portanto sua área será dada por:
2
2
2
(8 + 2x) (10 + 2x) = 120
80 +16x + 20x + 4x = 120
4x + 36x – 40 = 0
x + 9x – 10 = 0 x = –10 ou x = 1
Portanto, x = 1 metro.
Resposta: A
11. Marcando 36 pontos; igualmente espaçados, na
circunferência, encontraremos um polígono regular de
36 lados inscrito nesta circunferência.
A medida do ângulo central deste polígono será dada
por 360 36 = 10º. Podemos então imaginar a figura
abaixo:
xsen 5° = x = 1× 0,08 = 0,08
1
Portanto, o lado do polígono mede:
2 x = 2 0,08 = 0,16
Resposta: C
12. Calculando:
2 2 2a a – x
A(x) = a – 2 = a – a + ax A(x) = ax2
O único gráfico que apresenta uma função linear é o
mostrado na alternativa D.
Resposta: D
13. O triângulo OAB é um triângulo pitagórico do tipo
3- 4-5, portanto:
OA = 4
AB = r = 3
R = 5
h = R – OA 5 – 4 h = 1
Resposta: C
14. Sendo 6 + 2 0,2 + 0,1 = 6,5 m e 10,4 + 2 0,2 + 2 0,1 = 11 m
as dimensões da casa, podemos concluir que a resposta
é dada por 4 6,5 11 = R$ 286,00.
Resposta: E
15. Pela Lei dos cossenos:
2 2 2
2 2
a = 10 + 6 – 2 10 6 cos 120°
1a = 136 – 120 – a = 196 a = 14
2
Perímetro = 10 + 6 +14 = 30 m
3 voltas = 90 m custo = 5 90 = 450 reais
Resposta: C
16. Para tornar mais fácil a análise, acrescentou-se na figura
os pontos E, F e G e os segmentos DG e CE,
perpendiculares a AB, conforme indicado na figura
abaixo:
Nota-se por construção que:
1. GE DC 40 cm ,
2. AG AE GE 60 40 20 cm.
3. ADG = 135° – 90° = 45°, e como AGD = 90°, então
GAD = 45°, e o triângulo AGD é isósceles, o que
implica que h = DG = AG = 20 cm, sendo h a altura
do trapézio.
4. FCE = 150° – 90° = 60° e CEF = 120° – 90° = 30° o
que implica que CFE = 180° – 30° – 60° = 90° e, por
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consequência, BFE = 90°. Logo, a área do triângulo
BFE desejada é igual a EF× FB
.2
5. Do triângulo EFC,
3EF = CE cos 30° = h cos 30° = 20 = 10 3 cm
2 .
6. BEF = 180° –120° = 60°, o que implica que
FB = EF tg60° = 10 3 3 = 30 cm .
A área desejada é calculada da seguinte forma:
2EF FB 10 3 30Área = = = 150 3 cm
2 2
Resposta: D
17. Consideremos o triângulo ABC formado pelo centro da
bola 1 (vértice A), centro da bola 9 (vértice B) e centro
da bola 6 (vértice C). Tal triângulo é equilátero e a
medida de cada um de seus lados é 8r onde r é a medida
do raio de cada uma das bolas de bilhar.
No triângulo ABD,
2 2
22 – 2rtg 60° =
4r
22 – 2r3 =
4r
4r 3 = 22 – 2r
4r 3 + 2r = 22
2r 2 3 +1 = 22
11r =
2 3 +1
11 2 3 – 1r =
2 3 +1 2 3 – 1
11 2 3 – 1r =
2 3 – 1
11 2 3 – 1r =
11
r = 2 3 – 1
Resposta: E
18.
5 1senα = = α = 30°
10 2
7,05senβ = = 0,705 α = 45°
10
Portanto, AOB = 30° + 45° = 75°.
Resposta: C
19. Distância percorrida de A até B: AB = 2 v
Distância percorrida de B até C: BC = v
Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo ABC,
temos a distância d entre os pontos A e B.
2 2 2
2 2 2 2
2 2
d = (2v) + v – 2 2v v cos(180° – α)
3d = 4v + v + –4v –
4
d = 8v
d = 2v 2
Resposta: E
20. Do enunciado,
d x = h x – g x
d x = cos 2x – cos x
d x = cos 2x – sen 2x – cos x
d x = cos 2x – 1 – cos 2x – cos x
d x = cos 2x – 1+ cos 2x – cos x
d x = 2cos 2x – cos x – 1
Como 0 x 2π cosx 1 , 1 .
Fazendo cos x = t, temos a função abaixo:
2y = 2t – t –1, –1 t 1 .
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O gráfico da função 2y = 2t – t –1, –1 t 1 segue
abaixo.
Observando o gráfico, Ymáximo = 2.
Assim, máximo
d x = 2.
Resposta: E
Exercícios Propostos
1. O sólido ABCDEF é um prisma triangular de bases
ABF e DCE. Portanto, a resposta é dada por
31 1AB AA AD = 2 4 2 = 8cm .
2 2
Resposta: C
2. Medida da aresta do cubo maior: x + 4
Medida da aresta do cubo menor: x
Como a diferença entre os volumes é de 208 cm3
podemos escrever que: 3 3
3 2 3
2
2
(x + 4) – x = 208
x +12x + 48x + 64 – x = 208
12x + 48x – 144 = 0
x + 4x – 12 = 0
Resolvendo a equação, temos:
x = –6 ou x = 2.
Portanto, a aresta do cubo maior será 6 cm.
Considerando a área lateral da figura igual a área lateral
do cubo, temos: 2 2
LA = 4 6 = 144 cm .
Resposta: B
3. Sabendo que a superfície lateral de um cilindro reto
corresponde à superfície de um retângulo e que a
superfície lateral de um cone corresponde à superfície
de um setor circular, podemos concluir que a única
alternativa possível é a B.
Resposta: B
4. A base do cilindro foi dividida em 7 partes pelos planos
perpendiculares a elas, dividindo assim o cilindro em 7
sólidos. Considerando o plano paralelo às bases cada
um destes 7 sólidos foi dividido em duas partes.
Portanto, o valor de N será 2 7 = 14.
Resposta: C
5. É imediato que RS = π 0,4 3,1 0,4 = 1,24 m .
Resposta: D
6. O volume pedido é igual a metade do volume do
cilindro. Assim, pode-se escrever:
2
metade
π 2 10 40πV = = V = 20π
2 2
Resposta: D
7.
Comprimento do arco AB (circunferência da base do
cone de raio R).
2 π 42 π R = R = 1 cm
4
Calculando, agora, a altura do cone, temos: 2 2 2h +1 = 4 h = 15 cm
Logo, o volume do cone será:
2 31 15 πV = π 1 15 = cm
3 3
Resposta: C
8. De x2 + y2 – 6x = 0, temos:
2 2
2 2 2
x – 6x + 9 + y = 0 + 9
x – 3 + y – 0 = 3
Logo, o raio de C1 mede 3 km.
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Com isso, observemos a figura abaixo:
Então,
2 2 2
2 2
30π = π 3 + r – π 3 – π r
30π = π 9 + 6r + r – 9 – r
30 = 6r
r = 5 número primo
Resposta: C
9. Calculando:
ocupada total lago
2total
2lago
2ocupada
S = S S
40 + 60S = 30 = 1 500 m
2
30 30S = = 450 m
2
S = 1 500 – 450 = 1 050 m
Nº pessoas = 1050 4 = 4 200 pessoas
Resposta: C
10. Seja u a unidade de área da malha, de tal modo que
2 2 21 u = 160 = 25 600 m = 0,0256 km .
Dividindo o hexágono em um triângulo e dois trapézios,
como indicado, segue que a área aproximada desse
polígono é dada por
2
3 1 9 + 3 3 + 2+ 5 + 5 = 44 u
2 2 2
= 44 0,0256
1,1 km
.
Portanto, temos [0,8; 11,1 ,3[ .
Resposta: A
11. Se os triângulos retângulos são isósceles e congruentes,
então seus catetos medem 18 m e a base do
paralelogramo que constitui o passeio mede 24 – 18 = 6
m. Portanto, a área do passeio é igual a 6 18 = 108 m2.
Resposta: A 12. 10 m = 0,1 m
Área de cada cerâmica em m2:
2 22(0,1) 3 (0,1) 1,7
A = 6 6 0,0255 m4 4
Número de cerâmicas 25,5
= = 1 0000,0255
Resposta: D
13. Tem-se que
D = (10,2 10) = (10, 20) e
C = (10 + 20, – (10 + 20) + 50) = (30, 20).
Ademais, sendo yB = 0, vem
0 = –xB + 50 xB = 50
Portanto, segue que o resultado é dado por
221 1 20
(50 + 20) 20 – π = (700 – 50π) m2 2 2
.
Resposta: B
14. Abrindo-se novamente a folha de papel, tem-se:
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Assim, pode-se escrever:
maior
menor
B = 10 - x10 – x + x 6 60
b = x S = = = 302 2
h = 6
Resposta: B
15. Dentre as opções, as únicas que possuem valor inicial
próximo de 10 000 são as das alternativas D e E.
Ademais, como a função inicialmente é crescente e seu
período é π
2, podemos concluir que a função que
modela razoavelmente bem a curva indicada por A no
gráfico do artigo é a da alternativa E.
Resposta: E
16. Pela equação de Clapeyron (da Química):
PV = nRT
P = pressão
V = volume
n = quantidade de matéria (nº mols)
R = constante universal dos gases
T = temperatura
Assim, percebe-se que pressão e volume são
inversamente proporcionais: a pressão do gás é máxima
quando o volume é mínimo. Como a função logarítmica
dada é sempre crescente, o volume será mínimo quando
o logaritmando for mínimo.
Ou seja:
mín
logaritmando (5 + 2 sen(πt))
(t) = 5 + 2 sen(πt) sen(πt) deve ser mínimo
3π 3 3πt = + 2kπ t = + 2k t = = 1,5
2 2 2
f
Resposta: D
17. Segue de imediato que 1,8
en α = sen α = 0,0360
s .
Portanto, de acordo com as informações da tabela,
podemos afirmar que [1,5; 1,8[ .α
Resposta: C
18. De acordo com as informações do problema, temos:
BAC = 180° –18° – 81° = 81°ˆ
Logo, BC = AC e BM = AM = 1 850.
No triângulo retângulo BMC, temos:
1 850 1 850cos 81° = 0,16 =
BC BC
1 850BC = BC = 11 562
0,16
Logo, AB + BC = 3 700 +11 562 = 15 262 15 300 km
Resposta: E
19. A medida de cada nível será: 830 ÷ 8 = 103,75 m
Na figura, temos:
htg 60° h = 300 3 h 519 m
300
Dividindo 519 por 103,75 obtemos:
519 ÷103,75 5
Portanto, o feixe de laser atingirá a coluna central do
Burj Khalifa, aproximadamente, na marca N5.
Resposta: A
20. Sabendo que o valor máximo de 8π
cos t3
é 1,
podemos concluir que o valor da pressão diastólica é
100 – 20 = 80 mmHg.
Por outro lado, sendo –1 o valor mínimo de
8πcos t
3
, segue que o valor da pressão sistólica é
100 – 20 (–1) = 120 mmHg .
Resposta: C
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20 002.858 – 128983/18
PROFESSOR JORGE JÚNIOR
Exercícios de Fixação
1. O número de trapézios formados na etapa n, com n 2,
corresponde ao número de combinações simples dos
n segmentos horizontais (inclusive a base do triângulo
inicial) tomados 2 a 2 isto é, n
.2
Portanto, a resposta
é 6 6!
15.2 2! 4!
Resposta: B
2. A estratégia conveniente é retirar as letras na ordem
FGV ou GFV. De fato, considerando a sequência FGV,
para que as letras sejam da mesma cor, pelo Princípio
das Gavetas, a pessoa deverá retirar 6 letras F, 8 letras
G e 1 letra V, totalizando 15 letras. O raciocínio para a
sequência GFV é análogo.
Resposta: B
3. Calculando o total de possibilidades:
6,3 8,3
6,3
8,3
Total C C
6! 6 5 4C 20
3! 3! 3 2
8! 8 7 6C 56
3! 5! 3 2
Total 20 56 1120
Resposta: D
4. Como existem cinco funcionários e, no mínimo, um
trabalha, temos cinco combinações variando de um a
cinco funcionários, logo:
5,1 5,2 5,3 5,4 5,5C C C C C
5! 5! 5! 5!
1!(5 1)! 2!(5 2)! 3!(5 3)! 4!(5 4)!
5!5 10 10 5 1 31
1!(5 5)!
Resposta: D
5. Considerando que as quatro vagas desocupadas são
objetos idênticos, segue que o resultado é dado por
(3, 2, 4)
10
10!P
3! 2! 4!
10 9 8 7 6 5
3 2 2
12600.
Resposta: A
6. Existem cinco modos de escolher o jogo que terá o
placar de zero a zero. Logo, como serão marcados
apenas quatro gols nos quatro jogos restantes e nenhum
poderá terminar em zero a zero, necessariamente todos
terão placar de um a zero. Em consequência, existem
duas maneiras de escolher o time vencedor em cada
jogo.
A resposta, pelo Princípio Multiplicativo, é dada por 5 2 2 2 2 80.
Resposta: C
7. Se todos os atletas se cumprimentassem, então o número
de apertos de mãos seria igual a 2n
.2
Mas, como
apenas adversários se cumprimentam, devemos
descontar desse total o número de apertos de mãos
trocados entre atletas de uma mesma dupla, qual seja n.
Portanto, segue que o resultado é tal que
2
2n (2n)!n 180 n 180
2 2!(2n 2)!
n n 90 0
n 10
Resposta: C
8. Sejam x, y e z, respectivamente, o número de moedas de
dez centavos, o número de moedas de cinquenta
centavos e o número de moedas de um real, de tal sorte
que x y z 12.
Queremos calcular o número de soluções inteiras não
negativas dessa equação. Tal resultado corresponde ao
número de combinações completas de 3 objetos
tomados 12 a 12, isto é,
12
3
3 12 1 14!CR 91.
12 12! 2!
9. O resultado corresponde ao número de arranjos simples
de 5 objetos tomados 3 a 3, ou seja, 5, 3
5!A 60.
2!
Resposta: B
10. Número de escolhas possíveis de 3 pontos:
8,3
8!C 56
3! 5!
Número de escolhas com 3 pontos alinhados:
4,3
4!2 C 8
3! 1!
Número de escolhas com 3 símbolos iguais:
4,3
4!2 C 8
3! 1!
Portanto, o número de triângulos formados com
símbolos diferentes será dado por: 56 – 8 – 8 = 40.
Resposta: E
COMENTÁRIO CURSO DE FÉRIAS – MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
21 002.858 – 128983/18
11.
figura ilustrativa – fora da escala
Permutando as mulheres nas cinco primeiras posições,
temos:
5P 5! 120
Calculando todas as sequências de três homens
possíveis, escolhidos em um total de 8, temos: 8 7 6 336.
Portanto, o número de formas possíveis de fila que
podem ser formadas e obedecendo a essas restrições
são: P 120 336 40.320
Resposta: C
12. Supondo que a sequência ACPR represente a opção na
qual todos os amigos retiram o próprio nome e sabendo
que o total de permutações para os quatro amigos é
24 (P4 = 4! = 24), pode-se contar o número de
permutações caóticas da sequência com a ajuda de um
diagrama de árvore:
Logo, de um total de 24 permutações, em 9 delas
nenhum participante retira seu próprio nome.
A probabilidade será de: 9 324 8
.
Resposta: D
13. É imediato que existem 6 6 = 36 resultados possíveis.
Dentre esses resultados, não são favoráveis:
(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 3), (4, 5), (4, 6), (5, 3) e (5, 6).
Portanto, a resposta é 17 19
1 .36 36
Resposta: C
14. Das cartas apresentadas temos apenas três números maiores
que 1.
Observe o esquema:
Portanto, a probabilidade pedida será: 3
P10
.
Resposta: B
15. Probabilidade do casal não ter filhos com os olhos
azuis: 2 2 2 2 16
3 3 3 3 81
Probabilidade do casal ter apenas um filho com os olhos
azuis:
34 1 2 32
1 3 3 81
Probabilidade do casal ter exatamente dois filhos com
os olhos azuis:
2 24 1 2 24
2 3 3 81
.
Portanto, a probabilidade pedida será dada por:
16 32 24 72 8
P .81 81 81 81 9
Resposta: C
16. Sendo p a probabilidade pedida e supondo que os eventos
são independentes, temos: 0,6 p = 0,7 p 86%.
Resposta: B
17. A probabilidade de se retirar uma bola branca da primeira
caixa e uma bola branca da segunda caixa é 3 2 6
.5 3 15
Logo, 1
6 9P 1
15 15 .
A probabilidade de se retirar uma bola preta da primeira
caixa e uma bola preta da segunda caixa é 2 1 2
.5 3 15
Logo, 2
6 2 8P
15 15 15
Portanto, 1 2
9 8 17P P
15 15 15
Resposta: E
COMENTÁRIO CURSO DE FÉRIAS – MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
22 002.858 – 128983/18
18. Seja a, b e v, respectivamente, o número de bolas
amarelas, o número de bolas brancas e o número de bolas
vermelhas na urna. Logo, de (I), concluímos que v = 2a.
Além disso, de (II), temos
v 1 2a 1
a 4 b v 2 3a b 4 2
a b 4.
Portanto, de (III), vem
b 1 b 1
a b v 12 2 b 4 b 2(b 4) 12 2
b 12.
A quantidade de bolas brancas na urna é 12.
Resposta: C
19. Sendo (4)
10
10!P
4! o número de anagramas possíveis
e 7P 7! o número de anagramas com as vogais juntas,
podemos concluir que a resposta é
7! 7! 4 3 2 1.
10! 10 9 8 7! 30
4!
Resposta: B
20. Se c denota cara, e k denota coroa, então
P(c) 2 P(k). Ademais, temos
P(c) P(k) 1 2 P(k) P(k) 1
1P(k) .
3
Logo, vem 2
P(c)3
e, portanto, a probabilidade
pedida é igual a 1 1 2 2 5
.3 3 3 3 9
Resposta: B
21. Alunos que atuam no mercado de trabalho em área
diferente do curso: 1
300 605
Alunos que não estão trabalhando: 3
300 60 908
Portanto, a probabilidade de ele estar trabalhando na
mesma área será de:
300 60 90P 0,5
300
Resposta: A
22. Existem 4
43
modos de escolher três estudantes de
modo que Carlos fique fora do grupo. Ademais,
é possível escolher três estudantes quaisquer de
5 5!10
3 3! 2!
maneiras.
Portanto, a resposta é dada por 4 2
.10 5
Resposta: A
23. A probabilidade de não sair um rei na primeira retirada
é 3
,5
enquanto que a probabilidade de sair um rei na
segunda retirada, dado que não saiu um rei na primeira
retirada, é 2 1
.4 2 Portanto, pelo Teorema do Produto,
segue que a probabilidade pedida é 3 1 3
.5 2 10
Resposta: D
24. Desde que que 0,6 160 96 dos funcionários são
graduados e 2
0,3 160 323 funcionários são
graduados e do sexo feminino, segue que existem
96 – 32 = 64 funcionários graduados do sexo masculino.
A resposta é 64 2
.160 5
Resposta: B
25. Sabendo que cada gabinete receberá pelo menos um dos
20 candidatos, vamos analisar cada uma das opções:
A hipótese de colocarmos apenas 1 candidato apenas
em 9 gabinetes, e 11 candidatos no gabinete restante já
descarta as opções A, B e C.
Se os candidatos forem divididos igualmente entre os
gabinetes, eliminamos a opção E.
Pelo Princípio da Casa dos Pombos (ou Princípio das
Gavetas), a pior hipótese possível seria colocar
2 candidatos em cada um dos 10 gabinetes. Assim, não
é possível deixar algum gabinete sem dois ou mais
candidatos.
Resposta: D
COMENTÁRIO CURSO DE FÉRIAS – MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
23 002.858 – 128983/18
Exercícios Propostos
1. Número de maneiras de se escolher três nadadores
medalhistas num total de 8.
8,3
8!C 56
3! 5!
Número de maneiras de se escolher três medalhistas de
modo que um deles seja o brasileiro.
7,2
7!C 21
2! 5!
Portanto, a probabilidade pedida será dada por:
21 3P 37,50%
56 8
Resposta: C
2. De acordo com o enunciado:
Sem
agasalho
(SA)
Com
agasalho
(CA)
Total
Oficiais Aviadores (x) 10 10 20
Oficiais Intendentes (y) 10 15 25
Total 20 25 45
Analisando as alternativas uma a uma:
a) 35 7
P(y CA)45 9
b) 15 3
P(y / CA)25 5
c) 10 2
P(x SA)45 9
d) 10 1
P(SA / x)20 2
Resposta: C
3. Existem
6 7 6! 7!525
2 3 2! 4! 3! 4!
modos de formar uma comissão com 2 vereadores da
situação e 3 da oposição. Dentre essas possibilidades,
5 6 6!5 75
1 2 2! 4!
apresentam os dois líderes. Logo, há 525 75 450
maneiras para esse caso.
Por outro lado, há
6 7 6! 7!420
3 2 3! 3! 2! 5!
maneiras de formar uma comissão com 3 vereadores da
situação e 2 da oposição. Porém, nessas comissões estão
incluídas
5 6 5!6 60
2 1 2! 3!
possibilidades nas quais os dois líderes figuram.
Em consequência, há 420 – 60 = 360 comissões possíveis.
Portanto, pelo Princípio Aditivo, segue que a resposta
é 450 + 360 = 810.
Resposta: D
4. O número de maneiras que esse aluno pode escrever
essa palavra é igual ao arranjo de 4, 3 a 3 ou seja,
3 3
4 4
4!A 4 3 2 A 24
(4 3)!
Resposta: B
5. Sabemos que 50 processos foram revistos por
6 estagiários. Como a questão diz que todos
trabalharam, podemos concluir que cada um deles reviu
pelo menos 1 processo.
O contraexemplo extremo, em que temos 5 estagiários
com apenas um processo e 1 estagiário com os
45 restantes, já elimina as opções A, B, C e D.
Podemos confirmar que a letra E é a opção correta
através do Princípio da Casa dos Pombos ou das
Gavetas.
Como 6 8 = 48, na pior das hipóteses, podemos
distribuir 48 processos entre os 6 estagiários, de modo
que cada um fique com 8, e ainda sobrarão 2 processos.
Assim, alguém terá que trabalhar com 9 processos ou
mais para completar o trabalho.
Resposta: E
6. Fazendo a relação entre as combinações de 2 e 3
sabores de cobertura, pode-se escrever:
3
y
2
y
y!
C (y 3)! 3!200
y!150C
(y 2)! 2!
(y 2)! 2!y!
(y 3)! 3! y!
(y 2) (y 3)! 2!
(y 3)! 3 2!
(y 2) (y 2) 200
3 3 150
y 2 200
3 150
y150y 30 600 150 900 y 6
Resposta: C
COMENTÁRIO CURSO DE FÉRIAS – MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
24 002.858 – 128983/18
7. Como cada um aperta a mão de outra pessoa somente
uma vez temos a seguinte combinação:
25,2
25! 25 . 24 . 23!C 300
(25 2)! 2! 23! 2!
Resposta: C
8. O número de interruptores será igual ao número de
combinações de 6 elementos (lâmpadas) tomados de 3 em 3.
6,3
6!C 20
3! 3!
Resposta: B
9. Uma pilha pode ter blocos de duas ou três cores
distintas. Para as pilhas de blocos de duas cores existem
2 escolhas para a cor repetida e 3 para a segunda cor.
Definidos os blocos, é possível dispô-los
de (2)
3
3!P 3
2! maneiras. Logo, pelo Princípio
Multiplicativo, segue que existem 2 3 3 = 18 pilhas
com blocos de duas cores.
Ademais, para as pilhas de blocos de três cores distintas,
sabemos que existem 4 modos de escolher a primeira
cor, 3 modos de escolher a segunda cor e 2 modos de
escolher a última cor. Portanto, pelo Princípio
Multiplicativo, segue que há 4 3 2 = 24 pilhas
possíveis.
Finalmente, pelo Princípio Aditivo, podemos concluir
que o resultado é 18 + 24 = 42.
Resposta: C
10. Considerando três folhas na mesma cor, temos
5 possibilidades.
Considerando duas com a mesma cor e a terceira com
cor diferente, temos 5 4 = 20 possibilidades. Portanto,
o número de escolhas possíveis destas folhas será dado
por 20 + 5 = 25.
Resposta: E
11. Considere a figura em que estão indicadas as possíveis
localizações do cliente.
A resposta é 12.
Resposta: C
12. Sendo 3 426 10 o número total de placas, e 263
o número de placas em que os algarismos são todos
iguais a zero, podemos afirmar que podem ser utilizadas 3 4 3 3 426 10 26 26 (10 1) placas.
Resposta: C
13. Para que a aula ocorra no domingo é necessário que
chova no sábado e não chova no domingo. Assim, pode-se
escrever:
sáb
dom
dom dom
sáb dom
P(chover ) 0,30
P(chover ) 0,25
P não chover 1 P chuva
1 0,25 0,75
P(chover ) P(não chover )
0,30 0,75 0,225 22,5%
Resposta: C
14. Sendo B o evento “consulta a Internet para se manter
informado” e o evento “homem”, queremos calcular
P(A/B). Logo, o resultado é igual a
375 125P(A | B)
150 375 125
500
650
76,92%
Resposta: D
15. Calculando:
5
5
5
5! 1 103 pares / 2 ímpares
3! 2! 2 32
5! 1 54 pares /1 ímpar
4! 1! 2 32
1 15 pares
2 32
10 5 1 16 1P(X)
32 32 32 32 2
Resposta: D 16. O número de resultados possíveis para o experimento
pode ser obtido da seguinte forma: 6 3 18, ou seja, para cada um dos 6 resultados da
primeira roleta teremos 3 multiplicadores.
Os pares ordenados (x, y) cujo produto x y é menor ou igual a 5 são os seguintes: (2, 0); (2; 1); (2, 2); (5, 0); (5, 1); (10, 0); (20,0) (50, 0) e (100, 0), ou seja, 9 produtos que são menores ou iguais a cinco.
Logo, a probabilidade P pedida será dada por:
9 1
P18 2
Resposta: C
COMENTÁRIO CURSO DE FÉRIAS – MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
25 002.858 – 128983/18
17. Calculando
P(perder) 1 P(ganhar)
1 1 1 1P(ganhar) 1 1 1 1 1
7 5 3 105
1 104P(perder) 1
105 105
Resposta: D 18. Observando que as letras P e A figuram apenas na urna 2,
e que as letras E e Z figuram apenas na urna 3, podemos concluir que serão necessárias pelo menos 6 extrações a fim de retirar tais letras. Além disso, como a letra R figura uma vez em cada urna, o primeiro R deverá ser retirado da urna 1, e o segundo da urna 2, totalizando 8 retiradas. Caso contrário, o número de letras retiradas será igual a 9.
Resposta: A 19. Existem 9 10 10 5 4 500 números naturais pares
de quatro algarismos distintos ou não. Portanto, como há 9 8 7 504 pares com algarismos
distintos que terminam em zero, e 8 8 7 4 1 792
pares com algarismos distintos que não terminam em zero, podemos concluir que a resposta é 4 500 504 1 792 2 204.
Resposta: A 20. Existem 26 2 24 ternas de letras consecutivas e
10 3 7 quadras de algarismos consecutivos. Assim,
pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é 24 7 168.
Resposta: A
PROFESSOR LUCAS CARVALHO
Exercícios de Fixação
1. Se a idade da pessoa, em dias terrestres, é igual a
45.365, então sua idade em Vênus é 45 365
73225
anos.
Resposta: A
2. Sejam v1 e v2, respectivamente, a velocidade do
corredor que partiu de A e a velocidade do corredor que
partiu de B. Logo, se é o comprimento da piscina, em
metros, então
1
2
v 800.
v 800
Por outro lado, do segundo encontro, temos
1
2
v 500.
v 2 500
Em consequência, vem
2
2
500 800300 400 000 1 600 400 000
2 500 800
1 900 0
( 1 900) 0
1 900 m.
Resposta: D
3. Admitindo que o preço de uma camisa seja 2x, logo o
preço de 2 camisas deveria ser 4x. Com a promoção o
comprador pagará por dois camisas o valor de
2x + x = 3x. Ocorrendo um desconto de x, ou seja,
1/4 do valor. Portanto, se o comprador levar 4 camisas
ela pagará apenas três.
Resposta: D
4. A sequência (1, 2, 3, ..., n) é uma progressão aritmética,
tal que S = 231 e n é o total de filas formadas com todos
os estudantes.
Daí,
2
2
1 n n231
2
2 231 n n
n n 462 0
21 1 4 1 462n
2 1
1 1849n
2
1 43n
2
Como n > 0,
1 43n
2
n 21
Assim, foram formadas 21 filas com todos os estudantes.
Resposta: B
5. Calculando:
0
2
2 2
2
C 15
8 dias n 2
C(1) 15 q
C(2) 15 q
15 q 15 q 15 195 q q 12 0
1 4 1 12 49
q 4 (não convém)1 49q
2 q 3
Resposta: B
COMENTÁRIO CURSO DE FÉRIAS – MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
26 002.858 – 128983/18
6. Desde que
12 6 2
12 0 12 0
6 12
0
C C (1,01) C C [(1,01) ]
C(1,01) ,
C
temos:
6
18 12
1212
0
012
12
0 0
1212 0
0
C C (1,01)
CC
C
CCC
C C
CC C .
C
Resposta: C
7. Considerando que a quantidade de medicamento se
reduz à metade a cada 3 horas, podemos elaborar a
seguinte tabela:
Horário Quantidade do fármaco
8h 60 mg
11h 30 mg
14h 15 mg
17h 7,5 mg
20h 3,75 mg
23h 1,875 mg
Resposta: B
8. Do enunciado, temos:
24,1 24
log E 11,8 1,5 8,2
log E 24,1
E 10 10
Resposta: D
9. Desde que log ab = log a + log b, a
log log a log bb
e blog a b a 10 , para quaisquer a e b reais positivos,
temos
3 3
3
11,19
2 E E8,9 log log 13,35
3 7 10 7 10
log E log7 10 13,35
log E 13,35 log7 3log10
log E 13,35 0,84 3
E 10 kWh.
Resposta: B
10. Calculando:
0 00
t t
t
t
10
0,5
10
20.000N N 1000
1 19 (0,5)
20.000N 5 1000
1 19 (0,5)
4 31 (0,5)
191 19 (0,5)
3log
3 log3 log1919t log
519 log5 1log
10
log19 log3t
1 log5
Resposta: E
11. Para A = 1000 m e f = 0,2 Hz, temos:
3
M log(1 000 0,2) 3,3
log10 log 0,2 3,3
3 0,7 3,3
5,6
E, portanto, podemos concluir que ele foi destrutivo,
com consequências significativas em edificações pouco
estruturadas.
Resposta: C
12.
0,45 t
0
0,45 t00
1 0,45 t
1 0,45 t
e e
e
Q(t) Q e
QQ e
2
2 e
log 2 log e
1 log 2 0,45 t
0,69 0,45t
t 1,5333... horas 1 hora e 32 minutos.
Resposta: C
13. Basta substituir o valor procurado na equação.
Primeiramente note o valor de 2015
Q(t) = 3,2 (1,2)t Q(0) = 3,2 (1,2)0 Q(0) = 3,2
Aplicando o valor procurado:
Q(t) = 3,2 (1,2)t 6,64 = 3,2 (1,2)t
COMENTÁRIO CURSO DE FÉRIAS – MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
27 002.858 – 128983/18
2,075 = (1,2)t log1,2 (2,075) = t
Aplicando todos os valores de t possíveis para as
alternativas, temos:
1
2
3
4
t 1 (1,2) 1,2
t 2 (1,2) 1,44
t 3 (1,2) 1,728
t 4 (1,2) 2,0736
Logo, como t = 0 corresponde ao ano de 2015, o ano
correto seria de 2019.
Resposta: A
14. Lembrando que loga bc = c loga b, com 1 a > 0 e
b > 0, temos
2t
2t
2t
1 QQ 15 10
10 15
Qlog10 log
15
Q2t log
15
1 Qt log
2 15
15t log .
Q
Resposta: A
15.
t t
0
2t t
V V 1 i 120 000 (1 0,7) 120 000 1 0,1
3 30,3 0,9 log 0,3 log 0,9 log t log
10 10
log3 log10 t 2 log3 log10
0,477 1 t 2 0,477 1 t 11,37 anos
Resposta: D
16. Lembrando que logb ac = c logb a e logb b = 1, com a, b,
c reais positivos e b 1, temos
2P 2P
2P
0,8 0,8
0,8
0,8
0,8
Q 1Q 1 4 (0,8) (0,8)
4
Q 1log log (0,8)
4
Q 12P log
4
1 Q 1P log
2 4
Q 1P log .
4
Resposta: A
17. Calculando:
Parcela = P
No ato da 6ª parcela:
2 2
P P 1 1P P 1
i ii i1 11 1100 100100 100
Resposta: A
18. Como se trata de juros simples, o valor devido V, após
n meses será igual a:
V = 80 + 80 30% n = 80 + 80 0,3 n
V = 80 + 24n
Resposta: B
19.
Preço com juros compostos: 2.000 (1,06)7 = R$ 2.837
Preço com juros simples: 2.000 (1 + 6 0,05) = R$ 2.600
Total de juros pagos: R$ 600,00
Total de desconto obtido: 2.837 – 2.600 = R$ 237.
Resposta: C
20. Aplicando a fórmula dos juros compostos, temos:
Y = X (1 + i)n y = 500 (1 + 10%)n
y = 500 (1 + 0,1)n y = 500 (1,1)n
Resposta: A
21. Como as parcelas crescem segundo uma progressão
geométrica de razão 1,1 e primeiro termo igual a 2.000,
segue que o montante pago foi de
5(1,1) 12.000 2.000 6,1051
1,1 1
R$12.210,20.
Logo, os juros cobrados correspondem a 12.210,2 – 10.000
= R$ 2.210,20 e, portanto, a taxa de juros simples na
transação é igual a
2.210,2100% 4,42%.
10.000 5
Resposta: E
COMENTÁRIO CURSO DE FÉRIAS – MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
28 002.858 – 128983/18
22. A intensidade da força de atração gravitacional é
inversamente proporcional ao quadrado da distância
entre a Terra e o satélite. Como as órbitas são circulares,
a distância para cada satélite é constante, sendo também
constante a intensidade da força gravitacional sobre
cada um. Como as massas são iguais, o satélite mais
distante sofre força de menor intensidade.
Assim: FA < FB < FC < FD < FE.
Resposta: B
Exercícios Propostos
1. Seja r, em mm, a medida do raio de uma esfera cujo
volume é 500 mm3.
Temos então:
3
3
33
3
4500 r
3
375r
3 5r
3r 5 mm
Sendo t, o tempo em segundos, que o balão leva para
atingir o volume 500 mm3 nas condições dadas,
3
3
35 mm
0,5 mm
1s t
3t 10 s
Resposta: E
2.
6 100 5 43 000x 24 000 x 8 dias
3 500 4 x
Resposta: E
3. Considere a proporção:
Convidados Salgados Horas
100 6000 3h
120 8000 x
Vendo que o número de convidados e o total de horas
são inversamente proporcionais, temos:
3 120 6 000 3 12 6x 3,3 3h20min.
x 100 8 000 x 10 8
Resposta: E
4. Calculando, inicialmente, a massa do saco de ração:
3,5 + 3 + 0,5 = 7 kg
Calculando a massa no nutriente A neste saco de ração (7 kg)
3,5 500 + 3 100 + 0,5 100= 2 100 g
Logo, a massa do nutriente A em 1 kg nessa mistura será:
2 100 7 = 300 g
Resposta: C
5. A cada volta do piloto mais rápido o piloto mais lento
dá 2 20
2,7 27 de uma volta. Logo, após (n *) voltas
do piloto mais rápido, o piloto mais lento terá dado
20 n
27
voltas.
Em consequência, desde que 20 e 27 são primos entre
si, podemos concluir que 27 é o menor valor de n para o
qual a condição do enunciado é satisfeita.
A resposta é, portanto, 20 2,7 = 54 km.
Resposta: B
6. Seja x e y os filhos. Pela regra das proporções, temos:
x y x 10 23x 2y
10 15 y 15 3
Sabendo que juntos receberão 800 reais:
3x 2y 3x 2y (I)
x y 800 x 800 y (II)
Substituindo (II) em (I):
3 (800 y) 2y
2400 3y 2y
y 480
Logo,
x y 800
x 480 800
x 320
Resposta: C
COMENTÁRIO CURSO DE FÉRIAS – MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
29 002.858 – 128983/18
7. A diferença entre os espaços percorridos pelo leão e
pela presa, a cada segundo, aumenta segundo uma
progressão aritmética de primeiro termo 0 e razão 0,2.
Portanto, sendo n um inteiro positivo, temos
(n 1) 0,2n 38 n (n 1) 380 n 20.
2
Resposta: C
8. Calculando:
4
5
PG 81 , 45 , 25
45 5q
81 9
5 625a 81
9 81
Resposta: A
9. Seja q a taxa de decrescimento. Logo, tem-se que
2 2 1632 000 50 000 q q
25
4q .
5
A resposta é 4
32 000 R$ 25.600,00.5
Resposta: A
10. Calculando:
b
b
b b
9 9
b b b b b
9
9 15
15
y 9x 1
x log (t)
y log (N)
log (N) 9 log (t) 1
log (N) log (t ) log (b) log (N) log (b t )
N b t
Mas
N t 10
Logo:
b 10
Resposta: E
11. Sabendo que a base deste logaritmo é dez e
desenvolvendo normalmente, temos:
5
10log [H ] 5 log [H ] 5 H 10
Resposta: B
12. Seja a função p : , dada por t
0p(t) p (1,02) ,
com p(t) sendo a população do país após t anos.
Logo, como queremos calcular t para o qual se tem
p(t) = 2 p0, vem
t t
0 02 p p (1,02) log(1,02) log 2
t log(1,02) log 2
log 2t
log1,02
0,301t
0,0086
t 35.
Resposta: E
13. Para 0,0625 (0)t 0 V(0) 1 000 2 1 000
Logo,
Para t ? V(t) 2 000
0,0625 (t)
0,0625 (t)
2 000 1 000 2
2 2
0,0625 (t) 1
t 16
Resposta: C
14.
15
15
5 5 5
M 1 000 000 1 8,5%
M 1 000 000 1,085
1 000 000 1,085 1,085 1,085
1 000 000 1,5 1,5 1,5
M 3 375 000 3,375 milhões
Resposta: C
COMENTÁRIO CURSO DE FÉRIAS – MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
30 002.858 – 128983/18
15. Seja 8 35, tem-se que
1
8 8log log 35 log log(7 5)
1log (log7 log5)
8
1log (0,845 0,699)
8
log 0,193
log log1,56
1,56.
Resposta: B
16. Sejam r0, e P0 respectivamente, a renda per capita,
o PIB e a população do país hoje. Assim, o PIB e a
população, daqui a 20 anos, são dados, respectivamente,
por (1 + i)20 PIB0 e (1,02)20 P0, em que i é a taxa
pedida.
Portanto,
20
0 00 20
00
20 20
2020
20
(1 i) PIB PIBr 2 r 2
P(1,02) P
(1 i) 2 (1,02)
i 2 (1,02) 1
i 1,02 2 1
i 1,02 1,035 1
i 5,6%
Resposta: B
17. Seja n o número de acertos do aluno.
A cada acerto, o aluno fica com seus pontos
multiplicados por 3
;2
e a cada erro, fica com seus
pontos multiplicados por 1
.2
Desse modo, sabendo que o aluno ficou devendo
13 pontos, temos que
n 8 n
n 53 1256 243 3 3 n 5.
2 2
Portanto, o aluno acertou 5 perguntas e errou 8 – 5 = 3.
Resposta: B
18. Calculando a quantidade inicial, temos: 0
112Q(0) 20 2 Q(0) 40
60% de 40 24.
Logo:
t t t1 1 1
12 12 12
t t1 1
212 12
24 1224 20 2 2 2
20 10
12log log 2 log 2 3 log10 log 2
10
t2 log 2 log3 log10 1 log 2
12
t t 0,082 0,3 0,48 1 1 0,30 1
12 12 030
t 4 t 111
12 15 12 15
44t t 8,8 horas t 8 h e 4
5
8 minutos
Portanto, o tempo necessário será de 8 horas e 48 minutos.
Resposta: D
19. Nota-se que os dois primeiros investimentos são da
forma de juros compostos, seguindo a fórmula:
tempoMontante Capital (1 taxa)
E que os dois últimos investimento são de juros simples,
isto é:
Montante Capital Juros
Montante Capital (Capital taxa tempo)
Aplicando ambos os tipos de juros nas opções de
investimento e calculando o melhor rendimento sobre
um capital C, temos:
tempo 2
2
tempo 3
3
Inv1 [C (1 taxa) ] (1 2%) C
(1 0,02) C 1,0404 C
Inv2 [C (1 taxa) ] (1 1,5%) C
(1 0,015) C 1,04567 C
Inv3 C (C taxa tempo) C (2% 4)C
C (0,02 4)C C 0,08 C 1,08 C
Inv4 C (C taxa tempo) C (1,5% 5)
C
C (0,015 5)C C 0,075 C 1,075 C
Logo, o melhor investimento é a terceira opção.
Resposta: C
COMENTÁRIO CURSO DE FÉRIAS – MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
31 002.858 – 128983/18
20. Seja C o capital aplicado, sabendo que o montante
resgatado foi de R$ 65.536,00, temos
8
4 4
4
8
8
465536 C (1,01) (1,02) C
1,0302
4C
1,0302
C 3,94 .
Por conseguinte, podemos afirmar que o capital
aplicado, em reais, foi aproximadamente igual a 3,968.
Resposta: E 21. Sendo 180 dias correspondentes a 6 meses, considerando
como sendo x o valor que Mariana pegou emprestado e
y o valor gasto com os pagamentos, pode-se escrever:
6x (1,1) 9.000 x 5.000
x y 1.250 5.000 y 1.250
y 3.750 reais
Resposta: D
22. Valor da dívida após 2 meses: 10.000 (1,03)2 = 10.609
Valor da primeira prestação: x
Valor da segunda prestação: (10.609 – x) 1,03
Como as prestações são iguais, podemos escrever:
x = (10609 – x) 1,03
Resolvendo a equação anterior concluímos que x é
aproximadamente R$ 5.383,00.
Resposta: B 23. O número de inscritos no canal de Dudu cresce em
progressão geométrica de razão 2.
Para solucionar a questão, devemos considerar a soma
dos dez primeiros termos da P.G.: (5, 10, 20, 40, 80,...)
10
10
5 2 1S 5115
2 1
inscritos.
Resposta: C
PROFESSOR TÁCITO VIEIRA
Exercício de Fixação
1. As variáveis quantitativas (números são idade e tempo
de serviço).
Resposta: C
2.
Pesos
(kg)
Nº
crianças
(fi)
fac Fi Fac
(ou Fr)
0 10 3 3 3 15
0,15 15%20 100
15%
10 20 6 9 6 30
0,30 30%20 100
45%
20 30 7 16 7 35
0,35 35%20 100
80%
30 40 4 20 4 20
0,20 20%20 100
100%
20 20 100
1 100%20 100
Da tabela tem-se fac da 3ª classe igual a 80%.
Resposta: C
3.
Classes de
salários
(em reais)
fi fac Fi Fac
(ou Fr)
[900, 1000[ 2 2 2 8
0,08 8%25 100
8%
[1000, 1500[ 3 5 3 12
0,12 12%25 100
20%
[1500, 2000[ 6 11 6 24
0,24 24%25 100
44%
[2000, 2500[ 6 17 6 24
0,24 24%25 100
68%
[2500, 3000[ 6 22 5 20
0,20 20%25 100
88%
[3000, 3500[ 3 25 3 12
0,12 12%25 100
100%
Como 20% dos funcionários recebem menos que 1.500
reais tem-se que 80% dos funcionários recebem 1.500
reais ou mais.
Resposta: C
4.
I. Total de mm = 100 + 100 + 300 + 100 + 50 + 50 = 700.
Isso nos diz que, em um metro quadrado de
superfície plana, haverá um acúmulo total de 700
litros de água das chuvas.
II. Área da casa (terreno plano) = (8 m) (10 m) = 80 m2.
Isso nos diz que caíram no telhado da casa 80 × 700
litros d’água.
III. Volume do reservatório = (4 2 p) m3 = 8 p m3
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Como 1 m3 corresponde a 1000 litros, devemos ter:
8p × 1000 = 80 × 7000 p = 7
Obs.: 100 mm em 1 m2
Equipe A = (100 mm) × (1 m) × (1 m)
= (1 dm) × (10 dm) × (10 dm)
= 100 dm3 = 100
Resposta: D
5. 9,8
250 000 24 500100
Resposta: A
6. Pela definição de histograma e polígono de frequências,
verifica-se que a opção E é a única correta.
Resposta: E
7. Completando a tabela tem-se:
Conceito Nº de cursos
(fi)
Fi
(ou Fr)
6 2 2 10
0,1 10% c20 100
5 3 3 15
0,15 15% d20 100
4 8 8 40
0,40 40% a20 100
3 6 6 30
0,30 30% e20 100
2 1 1 5
0,05 5% b20 100
TOTAL 20 20 100
1 100%20 100
a) = a% de 360º = 40
100 360º = 144º (Falso)
b) a = c + e 40 = 10 + 30 (Verdadeiro)
c) = d% de 360º = 15
100 360º = 54º (Falso)
d) d + c = e 15 + 10 = 30 25 = 30 (Falso)
e) b + c < d 5 + 10 < 15 15 < 15 (Falso)
Resposta: B
8. Escrevendo as taxas de cada região em ordem crescente,
podemos concluir que as medianas são MdA = 12;
MdB = 11,6; MdC = 11,9; MdD = 11,6 e MdE = 12,6.
Portanto, a região que deve receber a maior parte do
recurso é a opção E.
Resposta: E
9. Média = 4 1 1 2 2 4 2 5 1 6 30
310 10
Mediana = quinto termo + sexto termo 2 4
32 2
Moda = 1 (maior frequência)
Resposta: B
10. Calculando:
2 2
2 21003 9971.003 9972 2
A3 3 3 4
1.003 997 1.003 997
3 4
6 2.000 1 22 12.000 22.000A
3 4 3 7 4 7
Médias fiscais
3 3 4 2 4 5 21 7M
6 6 2
Pessoas na manifestação = 22.000 7
A.M7 2
= =
11.000 pessoas
Resposta: A
11.
11 1 2 1 3 2 4 5 5 3 6 6 7 3 8 1 9 1 10x
1 1 1 2 5 3 6 3 1 1
142x x 5,9
24
Mo = 7
Md = ?
12 12
1,2,3,4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,9,10
Md =
6 66
2
Logo: ox 5,9; M 7; Md 6
Resposta: D
12. Colocando-se os dados do gráfico em uma tabela, tem-se
xi fi xi fi
200
400
600
800
1 000
5
10
30
20
5
1 000
4 000
18 000
16 000
5 000
= 70 xifi
44 000
1. i ix f 44 000
x 628n 70
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2. Md = ?
1º 5º 6º 15º 16º 35º 36º
Rol: 200, ..., 200, 400, ..., 400, 600, ..., 600, 600, ...
45º
600, ..., 100
Md = 600 600
6002
3. Mo = 600
Resposta: E
13. Observando-se os dados da tabela, tem-se que:
I. É imediato que a perda de peso modal do grupo 2 é
igual a 2. Logo Mo(2) = 2.
II. Ordenando as perdas de peso do grupo 3, obtemos:
3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6. Daí, segue que a perda de peso
mediana do grupo 3 é 5 5
5.2
Logo Md(3) = 5.
Assim, a perda de peso média do grupo 1 é dada por
(2) (3)Mo 3 4 4 Md 6 8 10
8
2 3 4 4 5 6 8 10 425,25
8 8
Resposta: D
14. Encontrando-se a mediana (Md)
Temos que n = 50 elementos. Logo, há duas posições
centrais:
1ª) n/2 = 25ª e
2ª) a vizinha posterior: 26ª
Os elementos que ocupam estas duas posições centrais
são: 9 e 9. Assim, fazendo a média desses dois valores
(o que não é, absolutamente, necessário), teremos: Md =
9,0.
Encontrando-se a moda (Mo)
Note que o elemento que mais aparece no rol é o
número 8, logo Mo = 8,0.
Logo Md > Mo assimetria à direita ou assimetria
positiva.
Resposta: D
15. Do gráfico, conclui-se:
Assim: Mo 3 x = n Md
60 3 8 = n 9
60 24 = n 9
36 = n 9
n = 4
Resposta: C
16. Temos:
I. Média: (3 4 6 9 5 7 8) chamadas
x7 dias
6 chamadas/dia
II. Variância:
2 2 2 2 2 2 2(3 6) (4 6) (6 6) (9 6) (5 6) (7 6) (8 6)
V7
V = 9 4 9 1 1 4
47
III. Desvio-padrão: DP = V 4 2
Resposta: D
17. O primeiro passo será o cálculo da média.
Teremos:
(0 0 0 2 2 2 4 4 6 10) 30
X 3,010 10
Na sequência, calcularemos os valores de (Xi X)
através da tabela seguinte:
Xi (Xi X)
0 3(= 0 3)
0 3(= 0 3)
0 3(= 0 3)
2 1(= 0 3)
2 1(= 2 3)
2 1(= 2 3)
4 1(= 4 3)
4 1(= 4 3)
6 3(= 6 3)
10 7(= 10 3)
Elevaremos ao quadrado os (Xi X) , e, ao final,
somaremos os resultados. Teremos:
Xi (X X) (Xi 2X)
0 3 9
0 3 9
0 3 9
2 1 1
2 1 1
2 1 1
4 1 1
4 1 1
6 3 9
10 7 49
90
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Assim,
102
i2 i 1
(X X)
S10
2 290S S 9
10
Resposta: B
18. A equipe mais regular é aquela que apresenta menor
desvio-padrão.
Resposta: C
19.
I. 2 3 3 4 1 6
x x 42 3 1
II.
2 2 2
2 2 3 4 3 4 4 1 6 4S
2 3 1
2 2 4S
6
S2 = 1 (variância)
III. S = 1 = 1 (desvio-padrão)
IV. Nova variância:
(S’)2 =
22 22 (3 4) (3 n) (4 4) 1 6 4
2 3 n 1
(S’)2 = 2 4
6 n
V. Novo desvio-padrão:
S’ = 6 1 6 1
1 n 186 n 2 6 n 4
Resposta: A
20. Como as variáveis são de espécies diferentes, a de
menor dispersão (variabilidade) não é obrigatoriamente a
de menor desvio-padrão, mas sim a de menor
coeficiente de variação (C.V.).
Calculando os respectivos CV = desvio-padrão
média, temos:
I. 15 0
80 0
3
16
II. 3 1
12 4
III. 1,5 15 1
4,5 45 3
IV. 9 1
72 8 (menor) massa
V. 1,5 15 3
2,5 25 5 (maior) Nº de banheiros
Resposta: D
Exercícios Propostos
1. Para o 5º dia tem-se que a
Frelativa
Resposta: C
2. Para a classe “27 polegadas” tem-se a seguinte
frequência relativa:
Resposta: A
3. Rol (21, 22, 25, 25, 26, 30, 40, 40)
Média Aritmética:
21 22 25 25 26 30 40 40
8
22928,625
8
Moda: 25 e 40 (espaço bimodal)
Mediana: 25 26
25,52
Resposta: A
4. Internet e Correios, respectivamente, por possuírem o
maior percentual em cada classe.
Resposta: B
5. 6,5 10 8 9,4 8 6,4 x 7,4
8,28
6,5 + 10 + 8 + 9,4 + 8 + 6,4 + x + 7,4 = 65,6 x = 9,9
Moda = 8
Mediana = 8 8
82
Média das outras 7 notas =
6,5 10 8 9,4 8 6,4 7,4
7,967
Assim a única alternativa correta é a opção C.
Resposta: C
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6. De acordo com o gráfico, tem-se que 200 · 0,25 = 50
hotéis cobram diárias de R$ 200,00; 200 · 0,25 = 50
hotéis cobram diárias de R$ 300,00; 200 · 0,4 = 80
hotéis cobram diárias de R$ 400,00 e 200 · 0,1 = 20
hotéis cobram diárias de R$ 600,00.
Considere a tabela abaixo, em que xi é o valor da diária,
em reais, para um quarto padrão de casal, fi é a
frequência simples absoluta e Fi é a frequência absoluta
acumulada.
xi fi Fi
200 50 50
300 50 100
400 80 180
600 20 200
in f 200
Portanto, como dM
n 200E 100,
2 2 segue-se que o
valor mediano da diária é:
d
300 400M R$ 350,00.
2
Resposta: C
7. Considere os possíveis róis (ordem crescente):
7; 8; x; 17; 21; 30
ou
7; 8; 17; x; 21; 30
Em qualquer deles, temos:
Média = 17 8 30 21 7 x 83 x
6 6
e
Mediana = x 17
2
Assim, devemos ter:
83 x x 17
1 x 136 2
Logo, a média será: (83 13)anos
6 funcionários
=
= 16 anos/ funcionário.
Resposta: A
8. 360º —— 100%
x —— 20%
Portanto, x = 72º.
Resposta: D
9. Sabendo que média da distribuição de “zeros” e “uns”
é igual a 0,45 < 0,50, podemos concluir que existem
mais sapatos na cor branca do que na cor preta.
Além disso, como a moda da numeração dos sapatos
com defeito é 38, segue que os sapatos na cor branca
de número 38 não serão mais encomendados.
Resposta: A
10. Sendo x a quantidade de alunos com 20 anos, devemos
ter:
I. Média = 19 13 20 x 21 3 22 10
20,2513 x 3 10
20,25 (26 + x) = 530 + 20x
526,5 + 20,25x = 530 + 20x
0,25x = 3,5
x = 14
Assim, a turma tem (3 + 10 + 13 + 14) = 40 alunos,
cujo rol das idades (ordem crescente) é
13 vezes 14 vezes 3 vezes 10 vezes
19;19;...;19; 20;20;...;20; 21;21;...;21; 22;22;...;22
II. Moda = 20 (maior frequência, aparece 14 vezes);
III. A sequência de dados tem um número par de termos
(40 termos), a mediana é a média aritmética dos dois
termos centrais, cujas posições são 40
2 = 20 (20ª
posição) e 21ª posição. Daí:
Mediana = 20 20
202
Resposta: E
11. Colocando os dados em ordem crescente, temos:
181419, 181796, 204804, 209425, 212952, 246875,
255415, 290415, 298041, 305088.
A mediana (Ma) é a média aritmética dos dois termos
centrais da sequência anterior.
212952 246875Ma 229 913,5.
2
Resposta: B
12. A distribuição tem assimetria positiva, portanto:
Mo < Md < x
Resposta: B
13. Considerando P o número estimado de pessoas na foto,
temos:
P = 500 · (1,5 · 2 + 2 · 4 + 3 · 5 + 2 · 4 + 1,5 · 3)
P = 500 · (3 + 8 + 15 + 8 + 4,5)
P = 500 · 38,5 = 19 250.
Resposta: A
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14.
Classe (nota) Frequência (nº de alunos)
4 30
5 80
6 90
8 40
9 10
Ft = 250
4 · 30 5 ·80 6 · 90 8 · 40 9 ·10
x 5,88250
Mo = 6, pois 6 é a nota de maior frequência.
Md = 6, pois 6 é a média aritmética entre os termos
a125 = 6 e a126 = 6 do rol formado pelas notas das
provas.
Assim, Mo = Md e x < Md.
Resposta: C
15. As notas mais regulares são aquelas que apresentam
menor desvio-padrão (menor dispersão em torno da
média)
Resposta: B
16. Como temos um total de 50 cenas selecionadas, o tempo
médio de corte por cena é:
40x min 0,8 min
50
Dividindo o tempo de corte, 40 min, em partes
diretamente proporcionais as 18 · 3, 11 · 4,5 · 6 e 16 · 2,
obtemos, respectivamente, 0,75 min, 1 min, 1,5 min e
0,5 min. Assim, construímos a tabela:
Número de cenas Corte por cena (min)
18 0,75
11 1
5 1,5
16 0,5
Logo, o desvio absoluto médio será:
| 0,75 0,8 | ·18 |1 0,8 | ·11 |1,5 0,8 | · 5 | 0,5 0,8 | ·16Dam
50
min 0,228 min
Resposta: B
17. I. Para o aluno A:
9,5 8 9 9,5
x 94
2 2 2
22 · 9,5 9 8 9 9 9
S4
2 0,50 1S
4
1,50S (desvio-padrão)
4
II. Para o aluno B:
8 10 10 8
x 94
2 2
22 · 8 9 2· 10 0
S4
2 4S
4
4S (desvio-padrão)
4
III. Para o aluno C:
10 7,5 9 9,5
x 94
2 9 2 2
2 10 9 7,5 9 9 9 9,5 9S
4
2 3,50S
4
3,50S desvio padrão
4
Resposta: C
18. Idades em P.A. de razão 2: x, (x + 2), (x + 4), (x + 6) e
(x + 8)
Média: x x 2 x 4 x 6 x 8
x x 4.5
Variância:
Desvio-padrão: DP V 8 2 2
Resposta: C
19. Indicando por o desvio-padrão, temos que:
2 2
90kg 90 kg 1,5 · 60kg
talhão 30.000 m 3 ·10.000 m
1,5saca/hectare 0,5 saca/hectare
3
Logo, a variância 2 é dada por:
2 = (0,5 saca/hectare)2 = 0,25 (saca/hectare)2
Resposta: E
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20.
Do gráfico anterior, tem-se que:
Me 72 3
76 72 12
Mr 72 3
4 12
(Me 72) 12
1
4 3 1
Mr 72 1
Mr 73
Resposta: C
SUPERVISOR(A)/DIRETOR(A): MARCELO PENA – AUTORES: ALEXANDRE MOURA,
FABRÍCIO MAIA, FILIPE SERPA, JORGE JÚNIOR, LUCAS CARVALHO E TÁCITO VIEIRA
DIGITADORES: VICENTINA, RÔMULO, JULIANA, EDNA,
REJANE E ESTEFÂNIA – REVISOR(A): KATIARY