UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA

CENTRO DE TECNOLOGIA

ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAO

MRAC PLANTAS COM DINMICA NO MODELADA

TPICOS DE CONTROLE AVANADO

Leandro Tom Martins

Santa Maria, RS, Brasil

2014

1. PLANTA 1

No trabalho anterior, a planta era dada por

( )

( )( )

Adicionando-se dinmica no modelada ( ) ( ) encontramos

( ) ( )

( )( )

Supondo que , a nova planta torna-se

( )

Levando para o espao de estados, temos

[ ] [

] [ ] [

]

[ ] [ ]

Observando as equaes no espao de estados temos, agora, um vetor . Este

vetor ser includo na simulao conforme mostrado a seguir.

2. SIMULAO MATLAB

A seguir segue o cdigo para implementao do MRAC no Matlab.

% Leandro Tom Martins

% Prof. Hilton Grundling

% 26/11/2014

close all

clear all

clc

% Modelo de referencia

Am = [0 1;

-12.96 -5.76]; % Matriz A do modelo de ref.

Bm = [0; 12.96]; % Matriz B do modelo de ref.

% Planta

Ap = [0 1;

-2 -3]; % Matriz A da planta.

Bp = [0; 1]; % Matriz B da planta.

Cp = [0.0002 0.02;

0 0 ];

% Intervalo de amostragem:

Ts = 0.0001;

%Incializaes

Yp_old = [0; 0];

Yp = [0; 0];

Ym_old = [0; 0];

Ym = [0; 0];

omega = [1; -1; 0; 0];

u = 0;

r = 0;

%teta = [-0.4; -0.8; -0.3; -0.5];

%teta = [-2; -1; -3; -4];

%teta = [9; 0.5; 8; -0.5];

teta = [0; -3; -0.5; -0.0007];

teta_old = teta;

zeta = [0.8; -0.4; 1; 0];

Ym_old1 = [0; 0];

Ym_old2 = [0; 0];

Ym_old3 = [0; 0];

Ym_old4 = [0; 0];

Ym_old5 = [0; 0];

P = 500*eye(4);

P_old = P;

for k = 1:100000

tk(k) = k*Ts;

r = 2+sin(2*pi*0.1*tk(k)); % Sinal de referencia pra

teste

%r=heaviside(k); %entrada degrau unitario

%Control Law

u = (-teta(1)*omega(1) - teta(2)*omega(2) -

teta(3)*omega(3) -r) ./teta(4);

% Modelo de referencia

Ym = (eye(2) + Am*Ts)*Ym_old + Bm*Ts*r;

Ym_old = Ym;

% Vetor de estados.

omega(1) = Yp(1);

omega(2) = Yp(2);

omega(3) = r;

omega(4) = u;

% Calculo de Zeta

zt = (eye(2) + Am*Ts)*Ym_old1 + Bm*Ts*omega(1);

zeta(1) = zt(1);

Ym_old1 = zt;

zt = (eye(2) + Am*Ts)*Ym_old2 + Bm*Ts*omega(2);

zeta(2) = zt(1);

Ym_old2 = zt;

zt = (eye(2) + Am*Ts)*Ym_old3 + Bm*Ts*omega(3);

zeta(3) = zt(1);

Ym_old3 = zt;

zt = (eye(2) + Am*Ts)*Ym_old4 + Bm*Ts*omega(4);

zeta(4) = zt(1);

Ym_old4 = zt;

zt = (eye(2) + Am*Ts)*Ym_old5 + Bm*Ts*(teta'*omega);

Ym_old5 = zt; % teta'*omega filtrado pelo modelo de

Referncia.

% Erro de rastreamento:

e1 = Yp(1) - Ym(1);

% Erro aumentado:

E = e1 + teta'*zeta - Ym_old5(1);

% Normalizador

m = 1 + zeta'*P*zeta;

% Matriz de covariancia

P_old = P;

P = P_old - P_old*zeta*zeta'*P_old ./m;

teta = teta_old - P_old*zeta*E ./m;

teta_old = teta;

% Planta

Yp = Cp*((eye(2) + Ap*Ts)*Yp_old + Bp*Ts*u);

Yp_old = Yp;

PlantOut(k) = Yp([1]); % Salvo para depois plotar, Y =

Cx, C=1.

ModelOut(k) = Ym([1]);

RefOut(k) = r;

theta1(k)=teta(1);

theta2(k)=teta(2);

theta3(k)=teta(3);

theta4(k)=teta(4);

end

plot(tk, PlantOut, ':', tk, ModelOut, tk, RefOut, '-');

legend('Yp', 'Ym', 'ref(degrau)');

title('Exercicio MRAC');

xlabel('Tempo - seg.');

ylabel('Output');

figure;

plot(tk,theta1,tk,theta2,tk,theta3,tk,theta4, '-');

legend('theta1', 'theta2', 'theta3','theta4');

title('Thetas');

xlabel('Tempo - seg.');

ylabel('Output');

Escolhendo uma matriz de inicializao do vetor arbitrariamente e um tempo de

amostragem chegamos aos seguintes resultados

[

]

Figura 1: Resposta do modelo de referncia e da planta 1 para uma entrada senoidal.

Como neste caso h dinmica no modelada da planta, a resposta apresenta um

atraso em relao ao modelo de referncia. Entretanto, observa-se que passado algum tempo,

os se ajustam e a sada do sistema passa a seguir melhor o modelo de referncia. O grfico

abaixo mostra a curva dos e para qual valor eles convergem.

Figura 2: Resposta dos parmetros da planta 1.

3. PLANTA 2

A seguir o mesmo procedimento foi aplicado para uma nova planta

( )

( )( )

com uma dinmica no modelada ( ) ( ), logo a planta resulta em

( )

Escrevendo no espao de estados temos que a planta

[ ] [

] [ ] [

]

[ ] [ ]

O resultado da simulao para o vetor inicializado como

[

]

e tempo de amostragem pode ser visto na figura abaixo.

Figura 3: Resposta do modelo de referncia e da planta 2 para uma entrada senoidal.

O modelo de referncia no espao de estados dado por

[ ] [

] [ ] [

]

Enfim, podemos concluir que a planta com dinmica no modelada converge para a referncia

mais lentamente que o modelo de referncia. Na figura abaixo podemos ver as respostas de

cada com o tempo e para qual valor eles convergem.

Figura 4: Resposta dos parmetros da planta 2.