ConvoluçãoOrigem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Em matemática, particularmente na área de análise funcional, convolução é um operador que, a partir de duas
funções, produz uma terceira. O conceito de convolução está ligado ao de média móvel, e é crucial no estudo
de sistemas lineares invariantes no tempo.
Índice
1 Definição
2 Propriedades
2.1 Comutatividade
2.2 Associatividade
2.3 Distributividade
2.4 Associatividade com multiplicação escalar
2.5 Regra da diferenciação
2.6 Teorema da Convolução
3 Aplicações
Definição
A notação para a convolução de f e g é f * g. Ela é definida como a integral do produto de uma das funções
com uma cópia invertida, com relação a um determinado plano, da outra. A função resultante depende do valor
deste deslocamento.
,
Para se adquirir uma boa visão intuitiva da convolução, é preciso entender que diversas cópias transladadas e
tomadas de trás-pra-frente de uma das funções são ponderadas pelo valor da outra função, e somadas,
produzem o resultado.
Na fórmula acima, f seria a função de ponderação, enquanto que cópias revertidas de g estariam sendo
deslocadas e somadas ao resultado. Entretanto, a convolução não depende da ordem das funções, ou seja, a
função de ponderação pode ser tanto f quanto g, produzindo o mesmo resultado.
Existe ainda uma definição de convolução para funções de domínio discreto, dada por
Propriedades
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Todos os vários operadores de convolução obedecem as seguintes propriedades:
Comutatividade
Associatividade
Distributividade
Associatividade com multiplicação escalar
para qualquer número a real ou complexo.
Regra da diferenciação
onde denota a derivada de f. No caso discreto, uma aproximação é o uso do operador diferencial
.
Esta regra deve-se ao fato de que as operações de derivação e integração podem ser realizadas através da
convolução por funções específicas, assim como a translação.
Teorema da Convolução
O teorema da convolução diz que
onde F(f) denota a transformada de Fourier de f. Versões deste teorema também valem para a transformada
de Laplace, a transformada bi-lateral de Laplace, a transformada Z e a transformada de Mellin.
Aplicações
A operação de convolução pode ser utilizada para encontrar a resposta de um sistema linear de
equações diferenciais. A saída de um sistema linear também pode ser dada pela convolução da entrada
pela resposta a impulso do sistema.
Em estatística, a função de densidade de probabilidade da soma de duas variáveis aleatórias X e Y é
dada pela convolução das respectivas funções de densidade de probabilidade.
Segundo o teorema da convolução, a convolução de duas funções resulta na multiplicação de suas
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Segundo o teorema da convolução, a convolução de duas funções resulta na multiplicação de suas
transformadas de Fourier no domínio freqüência.
Ao multiplicarem-se dois polinômios, os coeficientes do produto serão dados pela convolução dos
coeficientes originais (estendendo-se as seqüências de coeficientes com zeros, conforme necessário).
Generalizando-se os casos acima, a convolução pode ser definida para quaisquer duas funções
integráveis definidas em um grupo topológico localmente compacto. Uma generalização diferente é a
convolução de distribuições.
Obtida de "http://pt.wikipedia.org/wiki/Convolu%C3%A7%C3%A3o"
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