Curso de Hidráulica Aplicada
DHS UFPR
Pressão
a) Definição: Na Mecânica dos Fluidos a pressão resulta da força compressiva normal agindo sobre uma área. A pressão p é definida como:
ObS: A pressão, como outras grandezas, pode ser medida
usando escalas diferentes. Existem a escala absoluta
e a escala relativa, esta medindo a pressão em relação
a um ponto de referência pré-selecionado.
A
Fp n
A
0lim
Pressão em um ponto no interior de um fluido – Princípio de Pascal
Princípio de Pascal
A pressão se transmite
igualmente em todas as direções
(px = py = pz = p).
A pressão é uma grandeza
escalar
Estática dos Fluidos:
A equação geral da Estática dos Fluidos é expressa como:
dp = ρ.(Xdx + Ydy + Zdz)
onde: dp = diferencial total da pressão (expressa a variação total da pressão,
segundo as direções x, y e z)
X
Y = forças de massa por unidade de massa, segundo as três direções
Z
Particularizando para o campo da gravidade: X = 0; Y = 0; Z = -g
logo: dp = - ρgdz
dp = - ρgdz integrando entre dois pontos de pressão po e p e cotas zo e z vem:
Aplicação: - Fluido em equilíbrio estático ou relativo
Fluido incompressível
No campo da gravidade (única força de massa é o peso da massa fluida)
:
:
)(
0
00
0 0
vem
gehzzsendo
zzgpp
dzgdp
p
p
z
z
Po(po)
zo
P(p
)
z Datum
h
hpp 0Variação
hidrostática da
pressão
Igualdade de pressões – Princípio dos Vasos Comunicantes
Da equação da Estática (dp = -
ρ.g.dz) escrita para o campo da
gravidade conclui-se que as
superfícies isóbaras são superfícies
horizontais:
Se: p = cte então dp = o
Logo: dz = 0 e z = cte.
A B
Condições para pA = pB:
1. Mesma horizontal
2. Mesmo “U”
3. No caminho de A para B não se
atravessa superfície de separação
Pressão Absoluta: chega a zero quando um vácuo ideal é atingido, ou seja, quando não resta
mais nenhuma molécula em determinado espaço; consequentemente pressão absoluta
negativa é impossível.
Pressão Relativa (ou Pressão Manométrica): considera como origem da medida de pressão a
pressão atmosférica; logo a pressão relativa admite valores negativos.
Assim tem-se, por exemplo:
relativaaatmosféricabsoluta ppp
relativostermosemp
e
absPapp
atm
atmaatmosféric
__...............0
)(101300
Variação da pressão atmosférica com a altitude – Uma coluna de
ar, na atmosfera, sobre um ponto na superfície da terra, ao nível do
mar, contem gases que exercem uma força igual a 10,14N em cada
centímetro quadrado. Esta pressão equivale a l atm or 760 mm Hg.
Em maiores altitudes a pressão é menor porque a massa de coluna de
ar sobre a superfície torna-se menor.
Exemplos da pressão sobre o cume de três montanhas é apresentado
na figura.
Representação - Pressão Absoluta e Pressão Relativa
Medida da pressão atmosférica: barômetro de mercúrio
Piezômetros e Manômetros: Instrumentos que utilizam colunas de líquidos para a medida da
pressão.
Nos piezômetros a pressão é medida pela ascensão ou depressão da coluna do próprio líquido.
Nos manômetros faz-se uso de outro líquido (líquidos manométricos) para a medida da pressão
em determinado sistema.
Manômetros mecânicos: equipamentos de menor precisão
Vapor de mercúrio (pv ≈ 0 absoluto)
Pressão
atmosférica
γHg
Hg
atmpH
Obs.: δHg ≈ 13,60
Piezômetros e Manômetros:
Variação hidrostática da pressão: A pressão varia linearmente com a profundidade
p = po + γ.h par + γ.h = γ.h1
Ar comprimido
γ
h1
h2
h3
γ.h2
γ.h1
γ.h3
h
piezômetros
manômetro
α tgα=γ
Manômetros diferenciais: fornecem a diferença de pressão entre os sistemas aos
quais está conectado. A pressão real dos sistemas não fica determinada.
P2 = p1 + γA.h12
P3 = p2 – γo.h23
P3 = (p1 + γA.h12) - γo.h23
P3 = p4
P4 = (p1 + γA.h12) - γo.h23
p4 = p5 – γo.h45
(p1 + γA.h12) - γo.h23 = p5 – γo.h45
p1 – p5 = γo.h23 - γo.h45 -
γA.h12
Equação da Continuidade
= conservação da massa
Tubo corrente: me ms
m
∆s
me- ms = ∆m
( ) ( )[ ]
pQ pQ t Q s t s t
s t
( ) ( )Q pA
s t
Escoamento permanente 0t
: ρQ = cte
+ fluido incompressível: Q = cte
É resultante da aplicação do princípio da conservação da massa num escoamento permanente através de um tubo de corrente.
Seja o volume de controle constituído por uma porção de matéria isolada do mundo externo e fechada por um contorno imaginário ou real:
(massa do fluido nas regiões I e R)t = (massa do fluido nas regiões O e R)t+dt
(mI + mR)t = (mR + mO)t+dt (mI)t = (mO)t+dt
Ρ.dA1.ds1 = ρ.dA2.ds2 dividindo por dt, sendo v = ds/dt tem-se:
dQM = ρ.v1.dA1 = ρ.v2.dA2 = Cte
ds1
ds2
R I O
dA1
dA2
v1 v2
t t+dt
Equação da Continuidade – Escoamento
Permanente Unidimensional
Para um tubo de seção finita e fluido incompressível:
a) Fluxo de massa -
b) A vazão, que corresponde ao fluxo de volume -
Para uma velocidade constante na seção transversal (hipótese unidimensional):
a) Fluxo de Massa -
b) Vazão -
A
M dAvQ ..
A
M dAvQ
Q .
AUQM ..
AUQ .
Equação da Continuidade – Escoamento
Permanente Unidimensional
Equação da Continuidade: A vazão (Q) corresponde ao volume do diagrama de velocidades.
Equação da Continuidade – Escoamento Permanente Bidimensional:
O fluxo de massa ou de volume pode ser expresso por unidade de largura da seção
transversal do escoamento (B = largura). Logo:
a) Fluxo de massa –
b) Vazão -
NUB
Qq M
M ..
NUB
Qq .
v v vmax
vmax
Equação da Continuidade
Considere um canal largo cujo escoamento possa ser assemelhado à condição bi-dimensional (o
perfil de velocidades no plano vertical longitudinal é constante em toda a largura da seção). Calcular
a vazão (vazão específica - [q] = m³/s.m).
Dados: B = 100 m (largura)
N = 5 m
v = 1,2.n0,188
Q = q.B mas
Q = 68,35 m³/s.km²
v
N n
msm
dnndnvq
N
._835,6
188,1
5.2,1
..2,1.
3188,0
0
5
0
188,0
Exercício
Equações de Euler
2 2 1 (IV-4)s
vvp z
t s s
5)-(IV zpn
1
r
v
t
v 2n
2ª Lei de Newton: F = ma
tangencial normal
Lc Lc a F/m
Integrando a equação de Euler segundo a tangente e considerando movimento
permanente, resulta a Equação de Bernoulii na forma:
sobre a Linha de Corrente
escoamento permanente
z + p/γ + v2/2g = Cte. fluido incompressível
fluido ideal
no campo da gravidade
Os termos da equação de Bernoulli são interpretados como energia por unidade de
peso, daí a dimensão linear de cada parcela.
z ≡ energia potencial de posição;
p/γ ≡ energia latente de pressão (capacidade de elevar o fluido a uma altura h=p/γ);
v2/2g ≡ energia cinética {EC = 1/2(mv2).... EC/P = 1/2(mv2)/(mg) = v2/2g}.
Equação de Bernoulli
Equação de Bernoulli
9)-(IV .constg2
vpz
2
•Cota z: energia potencial de posição, expressa por unidade de peso, com relação a um
plano arbitrário de referência.
• Altura da pressão p/: pode ser considerada como uma forma de energia potencial, porque
indica que o fluido a uma pressão p tem condições potenciais para se elevar a uma altura h =
p/ de pressão relativa nula.
•O termo v²/2g corresponde à altura da velocidade.
O princípio de Bernoulli, portanto, pode ser considerado como um caso
particular do princípio da conservação da energia.
(Fluido ideal incompressível + regime permanente)
ao longo L.C.
pA = pB = 0 (pontos onde a LP cruza a LC)
Plano de Referência
Linha de Corrente
Linha Piezométrica
Linha de Energia
A B
z
p/γ>0
v2/2g
p/γ<0
Representação gráfica da equação de
Bernoulli
Integrando a equação de Euler segundo a normal e considerando movimento
permanente com linhas de corrente retas e paralelas, chega-se a conclusão que:
p + γz = Cte
Sendo fluido incompressível (γ = Cte), dividindo a equação acima por γ tem-se:
z + p/γ = Cte que coincide com a afirmação da estática:
Em um fluido em repouso a altura piezométrica (z + p/γ)
permanece constante. Logo pode-se concluir:
Onde as linhas de corrente são retas e paralelas a pressão varia
hidrostaticamente, ou seja: p = p0 + γh sendo h = Δz
Equação de Bernoulli para tubos de seção finita
Problemas práticos: tubos de corrente ou condutos de seção finita, onde existem
infinitas linhas de corrente.
12)-(IV .constp
z
A altura piezométrica é
constante. A energia cinética
em cada filete, entretanto, varia
em função da sua velocidade.
15)-(IV .constvdA
dAv
g2
1pzE
A
A
3
17)-(IV .constg2
Upz
2
Coeficiente corretivo de Coriolis
a) Orifícios – Fluxo efluente de um reservatório de grandes dimensões através de
um orifício, localizado na parede vertical à uma profundidade “h”.
Seção Contraída – ASC (LC retas e paralelas)
h U ≈ 0
v
A0
z1 + p1/γ + (U1)2/2g = z2 + p2/γ + (v2)
2/2g
z1 – z2 = h ; p1 = p2 = 0 ; U1 = 0
(v2)2/2g = h
Q = v2.Ac, sendo Cc = Ac/Ao
hgv ..22
Aplicações da equação de Bernoulli
Equação de Bernoulli
A equação de Bernoulli requer perdas nulas (fluidos ideais)
Para fluidos reais:
²( ) 0
2
p Uz J
s g
No caso de haver máquinas no circuito resulta (equação da energia):
2 2
1 1 1 2 2 21 2
2 2p
P U P Uz z H h
g g
hp = J.L = perda de carga H = altura líquida
Equação de Bernoulli
A máquina (que pode ser bomba – ou turbina +) terá potência:
1P QH
energia/peso (m)
peso/tempo (N/s)
potência = energia/tempo (W)
Perdas de carga = energia por unidade de peso transformada em calor (energia interna + transf. calor)
Perda de carga
Contínua = distribuída ao longo do escoamento
Localizada = provocada por transições
Regimes de escoamento
laminar 64
Ref
Transição laminar - turbulento
Turbulento liso 1
2log Re 0,8ff
Turbulento parcialmente rugoso
Turbulento rugoso 1
2log 114D
f
Diagramas de Moody
Rugosidade equivalente areia
Concreto 0,3 – 3 mm
Ferro fundido 0,26 mm
Ferro galvanizado 0,15 mm
Aço soldado 0,05 mm
Tubo trefil. 0,002 mm
Vidro 0,001 mm
EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS
AUQ :deContinuida
g2
U
D
Lfh :Weisbach-Darcy
2
p
Muitas vezes é mais prático usar fórmulas empíricas para perdas de carga
Válidas para Re alto, tubo comercial e água !!
n
p n
Qh K L
D
Fórmulas Empíricas
Fórmulas Empíricas
Até recentemente ainda era comum a utilização da fórmula de Darcy (1803-58), na
solução de problemas de condutos de ferro fundido. Essa equação pode ser escrita
na forma simplificada:
2'.QmJ
Para condutos de maiores dimensões, a fórmula prática de maior divulgação é,
sem dúvida, a fórmula de Manning-Strickler .
em função do raio hidráulico (Rh), ou,
21
32
.. JRKU hS (VIII – 3)
21
32
21
32
...397,0..52,2
JDKJDK
U S
s (VIII – 4)
em função do diâmetro, para condutos de seção transversal circular.
Fórmulas Empíricas
Muito difundida (em particular nos Estados Unidos) e de uso atual é a fórmula de
Hazen-Williams (1902). Seu emprego, na faixa de diâmetro entre 0,05 m e 1,00
m, em sistemas urbanos de água, conduz a resultados satisfatórios. Em
unidades métricas, tem a forma:
54,063,0 ...355,0 JDCU
Modernamente, contudo, é cada vez maior a tendência à utilização da
fórmula de Colebrook-White ou de suas variantes, pois ainda que mais
complexas, conduzem certamente a melhores resultados. Sua própria
complexidade é relativa, pois os meios computacionais atualmente
disponíveis tornam mecânica sua solução.
De uso particularmente difundido passou a ser a fórmula de Colebrook-
White, que tem como único inconveniente não abranger os
escoamentos em regime laminar e a faixa de transição entre este
regime e o turbulento.
Fórmulas Empíricas
Perdas de cargas Localizadas
Geralmente são expressas em função da altura de velocidade, através da
fórmula empírica:
O coeficiente KL depende também do número de Reynolds do escoamento.
Entretanto, para valores elevados de Re, o que ocorre com freqüência em
problemas práticos, KL independe desse parâmetro.
49)-(VII 2
h2
Lg
UKL
Perdas de cargas Localizadas
50)-(VII 2
h
2
1L
g
U
Entrada em um reservatório
Alargamento Gradual
Redução brusca de seção
As tomadas de um reservatório apresentam-se como um caso particular de
contrações, onde A2/A1 = 0. Para uma entrada em cantos vivos o coeficiente KL
vale 0,5.
Tomadas em um reservatório
brusca. expansão da caso no como unidade, à igual ecoeficient o com, g2
Uh
22
L
Entradas com bordos arredondados evitam a formação de uma seção
contraída e as perdas são substancialmente reduzidas. Quando se consegue evitar
a separação, o coeficiente " KL " cai a valores entre 0,06 e 0,10.
Se o arredondamento for insuficiente para evitar a seção contraída, o coeficiente
“KL” apresentará evidentemente valores superiores, compreendidos entre 0,1 e
0,5, este último correspondendo, como já foi visto, à entrada com cantos vivos,
sem reentrância.
Contração Gradual
O valor de "KL" em uma transição curta bem projetada é da ordem de
0,02 a 0,04. Contudo, se a contração é muito longa, valores mais
elevados são obtidos devido ao aumento da resistência de contorno, que
nesse caso, também, é considerada como parte da perda de carga
localizada.
Perdas em Curvas
Dispositivos capazes de inibir ou evitar as correntes secundárias e a
separação, por exemplo, aletas diretrizes, reduzem sensivelmente as perdas
de carga. Duas curvas idênticas com raio de curvatura nulo (cotovelo), com e
sem aletas, apresentando coeficientes de perdas iguais a 1,1 e 0,2,
respectivamente.
SISTEMAS DE CONDUTOS
Simplificações: Em função de aspectos econômicos associados à vida útil das tubulações e à
garantia de bom funcionamento do sistema, as velocidades do escoamento ficam restritas à
2,5 m/s até 3,0 m/s. Para esta situação, muitas vezes é possível desprezar a energia cinética
do fluxo considerando, portanto a coincidência entre as Linhas de Energia e Linha
Piezômétrica. Como conseqüência, também são desprezadas, conforme o caso, as perdas de
carga localizadas.
Considerando, para efeito de análise, o escoamento entre dois reservatórios interligados, pode–se
avaliar as conseqüências devidas ao perfil do encanamento em relação à Linha de Energia.
Os planos ou linhas consideradas são: i) NAR superior; ii) LE ≡ LP para escoamento a plena
seção; iii) LEA ≡ LPA para a mesma condição: e iv) Nível estático absoluto relativo ao
reservatório superior.
patm/γ
Rs
Ri
tubulação
Observações:
a) Situação preferencial de fluxo é a que resulta em pressões positivas ao longo de
toda a tubulação;
b) Quando a pressão mínima na tubulação (ponto de maior cota) é negativa, é
aconselhável a instalação de dispositivos para eliminar o ar que se acumula,
devido ao desprendimento do oxigênio da água;
c) A pressão mínima pode ser negativa com o escoamento se estabelecendo
espontaneamente ou, caso se configure um sifão, é necessário o escorvamento
prévio;
d) O escoamento será totalmente a plena seção se a Linha de Energia (LE ≡ LP)
tiver decaimento linear ao longo de todo o comprimento da tubulação;
e) Ocorre redução da capacidade de descarga quando um trecho da tubulação, logo
a jusante do ponto de maior cota, não apresenta escoamento a plena seção,
mantendo uma pressão constante e igual a pressão mínima. Neste caso, a Linha
de Energia se altera, diminuindo sua declividade no trecho a montante do ponto
de maior cota.
Redes de Condutos:
a) Arbitra-se as vazões nos trechos
b) Calcula-se a soma das perdas de
energia em cada malha
c) Calcula-se a vazão de correção
para cada malha
d) Correção da vazão inicial
arbitrada
e) Repetição do procedimento até a
prcisão desejada
Método de Hardy-Cross
pertencequeasmalha
mi
i
i
mi
i
i
I
mi
i
i
i
i
QQQd
mQr
Qr
Qc
Qrhb
ii )(01
1
)
)
)
Condutos com distribuição em marcha: Considerando uma taxa de ditribuição de vazão
em marcha (q) constante vem Eq. Da Continuidade: Q = Qo – q.L
L
Qo Q q
Classificação do escoamento:
• Escoamento permanente
• Escoamento variado
Não são válidas as equações de
dimensionamento dedinidas para
o regime uniforme
A Linha de Energia não tem
decaimento linear (aproxima-
se a uma parábola cúbica
Para uso das equações do regime uniforme, a
solução é aproximada, supondo uma vazão
imaginária, que mantida constante, produz a
mesma perda de carga que o escoamento real
ESCOAMENTO LIVRE – ESCOAMENTO EM CANAIS
Escoamento em canal ocorre pela ação gravidade. A força responsável é a componente do peso no
sentido do escoamento. Desta forma a gravidade é preponderante para este tipo de escoamento.
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA:
Parâmetro adimensional: = n° de Froude
ie ≡ declividade da linha de energia
i ≡ declividade da linha de água
io ≡ declividade do fundo do canal
Δx
h ≡ perda de energia
gh
U
F
FFr
nalGravitacio
Inércia
Escoamento com superfície livre: (a) distribuição de velocidades;
(b) sewção transversal; (c) modelo uni-dimensional
Perfil de um escoamento em canal
Seções Transversais Regulares (Canais prismáticos):
(a) retangular; (b) trapezoidal; (c) circular.
Condição de regime uniforme:
• io = i = ie........ (superfície livre paralela ao fundo)
• Canal retilíneo em planta e perfil
• Seção transversal constante em forma e área
• Rugosidade do contorno constante ao longo do canal
OBS.: Em condições naturais nunca será atingida a condição de regime uniforme, porém o
escoamento sempre tenderá a estabelecer nesta situação, mesmo nunca a atingindo.
Equação do regime uniforme:
Do equilíbrio entre as forças atuantes resulta como característica do regime uniforme a relação (semelhante a
que se obtém para o caso de escoamento em condutos):
Considerando que 0 é uma função da velocidade média do escoamento e agrupando constantes
tem-se a equação de Chézy:
eh
h
e iRR
i ...
00
Equação de Chézy:
No regime uniforme como ie = i0, é comum escrever a equação de Chézy na forma:
onde: C = coeficiente de Chézy = f (rugosidade do contorno, n° de Reynoldas)
Fórmulas empíricas para a determinação do coeficiente C:
eh
eh
iRACQ
AUQcomomasiRCU
..
..
oh iRACQ ..
rugosidadenKuttereGanguillet
R
n
i
niC
canaldoticascaracterísfmBa
R
mC
he
e
h
)......(
).00155,0
23(1
100155,023
)(.......sin)......(
1
87
Equação de Manning ou Manning-Strickler:
É a fórmula mais utilizada para escoamentos em canais. Concluindo que os dados
utilizados por Ganguillet e Kutter, para estabelecer a fórmula para o valor de C,
ajustam-se bem à expressão simples,
que associada a própria equação de Chézy fornece a equação
de Manning, ou seja:
n
RC h
61
21
03
2
0
21
32
...1
,
...1
iRAn
Q
iiondeuniformeescoamentoopara
iRAn
Q
h
e
eh
Recommended