4.1- Rotações, Centro de Massa e Momento
Física I
Prof. Roberto Claudino Ferreira
Universidade Estadual do
Sudoeste da Bahia
Departamento de Ciências Exatas e
Naturais
Índice 1. Movimento Circular Uniformemente Variado;
2. Movimento Circular Variado não Uniforme;
3. Centro de Massa;
4. Momento e Colisões;
5. Lei da Conservação do Momento.
2 Prof. Roberto Claudino
3
OBJETIVO GERAL
Alcançar um entendimento sobre os
conceitos e grandezas que envolvem os
movimentos rotacionais, centro de massa,
momento e lei da conservação do
movimento, assim como suas expressões,
unidades de medida e aplicações.
Prof. Roberto Claudino
4
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO (MCUV)
MCUV, apresenta:
Trajetória circular;
Velocidade escalar varia de acordo com
v = vo + at, e (a = constante ≠ 0); cuja
intensidade = aceleração tangencial (at);
Aceleração centrípeta não - nula, pois a
velocidade varia em direção e sentido.
Aceleração resultante:
Prof. Roberto Claudino
cptr aaa
5
ACELERAÇÕES (MCUV)
Prof. Roberto Claudino
Aceleração tangencial
tem sempre a direção
da velocidade do móvel
Aceleração
centrípeta é
perpendicular
a v
cptr aaa
dt
d
r
at
Aceleração angular
6
FUNÇÕES DO MCUV
Prof. Roberto Claudino
²2
toto
²2
ta
votSoS
Forma linear: Forma angular:
atvov
Savov 2²²
to
2²² o
Sendo:
r
a
r
v
r
S
Ou, analogamente às
deduções lineares, partir
dos conceitos ao lado e
chegar às equações
angulares. dt
d
dt
d
Um objeto inicia seu movimento, a partir do
repouso, deslocando-se em trajetória circular de
raio 20 m. A aceleração tangencial em relação à
Terra tem módulo de 2m/s². Após 10s, pede-se:
a) Velocidade tangencial;
b)Aceleração angular;
c)Velocidade angular;
d)Deslocamento;
e)Deslocamento angular;
f)Aceleração centrípeta;
Prof. Roberto Claudino 7
1º Problema:
g) Aceleração total;
h) Direção
aceleração total.
8
Um pião gira com aceleração α = 5t³ - 4t, onde t
está em (s) e α está em (rad/s²). Em t = 0 a
velocidade angular do pião é 5 rad/s e uma reta
de referência traçada no pião está na posição
angular θ = 2 rad.
a) Obtenha uma expressão para a velocidade
angular do pião, ω(t).
b) Obtenha uma expressão para a posição
angular do pião, θ(t). Prof. Roberto Claudino
MOVIMENTO CIRCULAR VARIADO NÃO UNIFORME A velocidade angular e a aceleração angular variam segundo
suas funções que podem mudar de uma situação para outra.
2º Problema:
9 Prof. Roberto Claudino
4
4
00
4
5
05
4
5²25
²24
55
²2
4
4
5
)4³5(
tt
tt
tt
dtttd
dtd
dtd
dt
d
tt
t
t
too
43
³252
43
³252
5
1.
4
5
3
25
4
5²25
5
5
0
5
0
3
02
4
ttt
ttt
ttt
dtttd
dtd
dt
d
ttt
t
too
2º Problema: Resolução
10
ACELERAÇÕES (MCUV)
Prof. Roberto Claudino
Aceleração tangencial
tem sempre a direção
da velocidade do móvel
Aceleração
centrípeta é
perpendicular
a v
cptr aaa
dt
d
r
at
Aceleração angular
11
FUNÇÕES DO MCUV
Prof. Roberto Claudino
²2
toto
²2
ta
votSoS
Forma linear: Forma angular:
atvov
Savov 2²²
to
2²² o
Sendo:
r
a
r
v
r
S
Ou, analogamente às
deduções lineares, partir
dos conceitos ao lado e
chegar às equações
angulares. dt
d
dt
d
12
CENTRO DE MASSA PARA UM SISTEMA DE
PARTÍCULAS
Prof. Roberto Claudino
Num sistema de partículas, trata-se de um ponto que
se move como se: (1º) toda a massa do sistema
estivesse concentrada nesse ponto e (2º) todas as
forças externas estivessem aplicadas nesse ponto.
21
2211
mm
xmxmxCM
Sistema com 2 partículas.
Sistema com n
partículas. Em 1 D
n
i
iiCM xmM
x1
1
Sendo M a massa total do sistema.
Sistema com n
partículas. Em 3 D
n
i
iiCM rmM
r1
1
13
CENTRO DE MASSA PARA UM CORPO
MACIÇO
Prof. Roberto Claudino
Para objetos sólidos.
Onde dm é o elemento de massa.
Para objetos com massa específica uniforme.
xdmM
xCM
1
V
MdVdm
V
M
dV
dm
V
MdVx
MxCM
1
xdVV
xCM
1
Aqui dV é o volume ocupado por um elemento de
massa dm e V é o volume total do objeto.
Prof. Roberto Claudino 14
3º Problema:
Três partículas de massas m1 = 1,2 kg, m2 = 2,5 kg e
m3 = 3,4 kg formam um triângulo equilátero de lado
a = 140 cm. Onde fica o centro de massa desse
sistema?
15
MOMENTO LINEAR
Prof. Roberto Claudino
vmp.Para uma partícula:
Também chamado de quantidade de movimento.
É uma das duas grandezas criadas para a
correta descrição do inter-relacionamento entre
dois entes ou sistemas físicos.
Pelo conceito de momento chegamos a forma
diferencial da força:
dt
Prof. Roberto Claudino 16
4º Problema:
Um caminhão de 2100 kg viajando para o norte a 41
km/h vira para leste e acelera até 51 km/h. (a) Qual é
a variação da energia cinética do caminhão? Quais
são (b) o módulo e (c) o sentido da variação do
momento?
17
MOMENTO LINEAR DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS
Prof. Roberto Claudino
p
O sistema como um todo tem momento linear
total que é a soma vetorial dos momentos de
todas as partículas.
CM
nn
n
vMp
vmvmvmp
pppp
...
...
2211
21
18
COLISÕES e IMPULSO Consiste no choque entre duas partículas,
surgindo uma força suficiente para mudar o
momento.
Prof. Roberto Claudino
dt
dttFpd )(
Definindo o intervalo de tempo:
dttFpd
f
i
f
i
t
t
p
p
)(
Jppp if
Impulso
dttFJ
f
i
t
t
)(
Jp
Teorema do momento linear e impulso
Prof. Roberto Claudino 19
5º Problema:
Um carro colide com um muro de proteção conforme
figura. Antes da colisão o carro está se movendo com
uma velocidade escalar = 70 m/s, ao longo de uma
linha reta que faz um ângulo de 30º com o muro.
Após a colisão o carro está se movendo com
velocidade escalar = 50 m/s, ao longo de uma
linha reta que faz um ângulo de 10º com o muro. A
massa m do piloto é 80 kg.
(a) Qual é o impulso a que o piloto é submetido no
momento da colisão?
(b) A colisão dura 14 ms. Qual é o módulo da força
média que o piloto experimenta durante a colisão?
iv
fv
20
CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR
Prof. Roberto Claudino
ii vmp.
Se um sistema de partículas não está submetido
a nenhuma força externa, o momento linear total
do sistema não pode variar.
11 . ff vmp
22 . ff vmp
fi pp
21 ffi ppp
Prof. Roberto Claudino 21
6º Problema:
Uma urna de votação de massa m = 6,0 kg desliza
com velocidade v = 4,0 m/s em um piso sem atrito no
sentido positivo de um eixo x. A urna explode em dois
pedaços. Um pedaço de massa m1 = 2,0 kg, se move
no sentido positivo do eixo x com v1 = 8,0 m/s. Qual é
a velocidade do segundo pedaço, de massa m2?