construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Desenho Tecnico - Aula02
Emılio Eiji Kavamura
Eng. MecanicaUniversidade Positivo
27 de fevereiro de 2008
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
1 construcoes FundamentaisPerpedincular a uma reta dada por um ponto distintoBissetriz de um anguloTransportar o anguloDivisao de um angulo em 4 partes iguaisParalela a uma reta por um pontoParalela de uma reta a uma determinada distanciaDivisao um segmento em partes iguais
2 Inscricao de Polıgonos RegularesInscricao de um triangulo numa circunferenciaInscricao um quadrado numa circunferenciaInscricao de um pentagono numa circunferenciaInscricao de um hexagono numa circunferenciaInscrever um heptagono numa circunferenciaInscricao de um octogono numa circunferencia
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
SUMARIO
1 construcoes FundamentaisPerpedincular a uma reta dada por um ponto distintoBissetriz de um anguloTransportar o anguloDivisao de um angulo em 4 partes iguaisParalela a uma reta por um pontoParalela de uma reta a uma determinada distanciaDivisao um segmento em partes iguais
2 Inscricao de Polıgonos RegularesInscricao de um triangulo numa circunferenciaInscricao um quadrado numa circunferenciaInscricao de um pentagono numa circunferenciaInscricao de um hexagono numa circunferenciaInscrever um heptagono numa circunferenciaInscricao de um octogono numa circunferencia
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Perpedincular a uma reta
Problema no1 - Perpedincular a uma reta
Dada uma reta a eum ponto P fora dela,tracar por P a perpendiculara reta dada.
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Perpedincular a uma reta
Problema no1 - Perpedincular a uma reta
a
Dada uma reta a eum ponto P fora dela,tracar por P a perpendiculara reta dada.
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Perpedincular a uma reta
Problema no1 - Perpedincular a uma reta
a
PDada uma reta a eum ponto P fora dela,tracar por P a perpendiculara reta dada.
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Perpedincular a uma reta
Problema no1 - Perpedincular a uma reta
a
PDada uma reta a eum ponto P fora dela,tracar por P a perpendiculara reta dada.
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Perpedincular a uma reta
Problema no1 - Perpedincular a uma reta - solucao
a
P
1 α = �{P, r},r > dist{P,a};
2 α ∩ a = {A,B};3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1}
4 I = β1 ∩ β2;5 r3 ⊂ {P, I};
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Perpedincular a uma reta
Problema no1 - Perpedincular a uma reta - solucao
a
P
r
1 Tracar umacircunferencia comcentro em P e raio rmaior que a distancia doponto a reta a;α = �{P, r},r > dist{P,a};
2 α ∩ a = {A,B};3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1}
4 I = β1 ∩ β2;5 r3 ⊂ {P, I};
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Perpedincular a uma reta
Problema no1 - Perpedincular a uma reta - solucao
a
P
A B
1 α = �{P, r},r > dist{P,a};
2 a circunferenciaintercepta a reta nospontos A e B;α ∩ a = {A,B};
3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1}
4 I = β1 ∩ β2;5 r3 ⊂ {P, I};
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Perpedincular a uma reta
Problema no1 - Perpedincular a uma reta - solucao
a
P
A B
β2β1
1 α = �{P, r},r > dist{P,a};
2 α ∩ a = {A,B};3 tracar 2 circunferencias
com centro nos pontosA e B;β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1}
4 I = β1 ∩ β2;5 r3 ⊂ {P, I};
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Perpedincular a uma reta
Problema no1 - Perpedincular a uma reta - solucao
a
P
A B
β2β1
I
1 α = �{P, r},r > dist{P,a};
2 α ∩ a = {A,B};3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1}
4 as 2 circunferencias seinterceptam no ponto I;I = β1 ∩ β2;
5 r3 ⊂ {P, I};
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Perpedincular a uma reta
Problema no1 - Perpedincular a uma reta - solucao
a
P
I
1 α = �{P, r},r > dist{P,a};
2 α ∩ a = {A,B};3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1}
4 I = β1 ∩ β2;5 tracar uma reta que
passa por P e por I, quee a procurada;r3 ⊂ {P, I};
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Perpedincular a uma reta
Problema no1 - Perpedincular a uma reta - solucao
a
P
1 α = �{P, r},r > dist{P,a};
2 α ∩ a = {A,B};3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1}
4 I = β1 ∩ β2;5 r3 ⊂ {P, I};
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Bissetriz
Problema no2 - bissetriz de um angulo
O
r
s
Dado um par de retas r e s eo ponto O de cruzamento.
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Bissetriz
Problema no2 - bissetriz de um angulo
O
r
s
Dado um par de retas r e s eo ponto O de cruzamento.Determine a bissetrizdo angulo formado por elas.
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Bissetriz
Problema no2 - bissetriz de um angulo - solucao
O
r
s
1 γ = �{O, r};2 γ ∩ r = {A};γ ∩ s = {B};
3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1};
4 I = β1 ∩ β2;5 r1 ⊂ {O, I};
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Bissetriz
Problema no2 - bissetriz de um angulo - solucao
O
r
s
γ
1 Tracar um arco de circunferencia,γ,com centro em O eraio r qualquer; γ = �{O, r};
2 γ ∩ r = {A};γ ∩ s = {B};
3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1};
4 I = β1 ∩ β2;5 r1 ⊂ {O, I};
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Bissetriz
Problema no2 - bissetriz de um angulo - solucao
O
r
s
γ
A
B
1 γ = �{O, r};2 o arco intercepta as retas nos
pontos A e B;γ ∩ r = {A};γ ∩ s = {B};
3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1};
4 I = β1 ∩ β2;5 r1 ⊂ {O, I};
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Bissetriz
Problema no2 - bissetriz de um angulo - solucao
O
r
s
γ
A
B
β1
β2
1 γ = �{O, r};2 γ ∩ r = {A};γ ∩ s = {B};
3 Traca-se dois arcoscom centro em A e em B;β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1};
4 I = β1 ∩ β2;5 r1 ⊂ {O, I};
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Bissetriz
Problema no2 - bissetriz de um angulo - solucao
O
r
s
γ
A
B
β1
β2I
1 γ = �{O, r};2 γ ∩ r = {A};γ ∩ s = {B};
3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1};
4 a interseccao das2 circunferenciasdefine o ponto I;I = β1 ∩ β2;
5 r1 ⊂ {O, I};
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Bissetriz
Problema no2 - bissetriz de um angulo - solucao
O
r
s
r1
1 γ = �{O, r};2 γ ∩ r = {A};γ ∩ s = {B};
3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1};
4 I = β1 ∩ β2;5 tracar uma reta que
passa por O e por I,que e a procurada;r1 ⊂ {O, I};
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Bissetriz
Problema no2 - bissetriz de um angulo - solucao
O
r
s
r1
1 γ = �{O, r};2 γ ∩ r = {A};γ ∩ s = {B};
3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1};
4 I = β1 ∩ β2;5 r1 ⊂ {O, I};
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Transportar o angulo
Problema no4 - transporte de angulo
b
a
O
Dado duas retas a e b, distintas
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Transportar o angulo
Problema no4 - transporte de angulo
b
a
O
θ
c
P
Dado duas retas a e b, distintasDeseja-se transportaro angulo θ formado por elas,para uma terceira reta c em seu ponto P.
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Transportar o angulo
Problema no4 - transporte de angulo - solucao
b
a
O
θ
c
P
1 γ = �{O, r}, ∀r ;2 γ ∩ a = {A};γ ∩ b = {B};
3 β1 = �{P, r};4 C = β1 ∩ c;5 dist(A,B) = dist(C,D);
67 PD;
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Transportar o angulo
Problema no4 - transporte de angulo - solucao
b
a
O
θ
c
P
γ
1 Tracar um arco decircunferencia, γ,com centro em O e raioqualquer r ;γ = �{O, r}, ∀r ;
2 γ ∩ a = {A};γ ∩ b = {B};
3 β1 = �{P, r};4 C = β1 ∩ c;5 dist(A,B) = dist(C,D);
67 PD;
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Transportar o angulo
Problema no4 - transporte de angulo - solucao
b
a
O
θ
c
P
γB
A
1 γ = �{O, r}, ∀r ;2 o arco intercepta
as retas no pontos A e B;γ ∩ a = {A};γ ∩ b = {B};
3 β1 = �{P, r};4 C = β1 ∩ c;5 dist(A,B) = dist(C,D);
67 PD;
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Transportar o angulo
Problema no4 - transporte de angulo - solucao
b
a
O
θ
c
P
γB
A
β1
1 γ = �{O, r}, ∀r ;2 γ ∩ a = {A};γ ∩ b = {B};
3 Tracar o arco β1 com centroem P eraio r ;β1 = �{P, r};
4 C = β1 ∩ c;5 dist(A,B) = dist(C,D);
67 PD;
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Transportar o angulo
Problema no4 - transporte de angulo - solucao
b
a
O
θ
c
P
γB
A
β1
C
1 γ = �{O, r}, ∀r ;2 γ ∩ a = {A};γ ∩ b = {B};
3 β1 = �{P, r};4 A interseccao do arco
com a reta c e o ponto C;C = β1 ∩ c;
5 dist(A,B) = dist(C,D);
67 PD;
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Transportar o angulo
Problema no4 - transporte de angulo - solucao
b
a
O
θ
c
P
γB
A
β1
C
dist (A,B)
1 γ = �{O, r}, ∀r ;2 γ ∩ a = {A};γ ∩ b = {B};
3 β1 = �{P, r};4 C = β1 ∩ c;5 Transportar o arco AOB para
CPD ; dist(A,B) = dist(C,D);
67 PD;
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Transportar o angulo
Problema no4 - transporte de angulo - solucao
b
a
O
θ
c
P
γB
A
β1
C
dist (A,B)
D
1 γ = �{O, r}, ∀r ;2 γ ∩ a = {A};γ ∩ b = {B};
3 β1 = �{P, r};4 C = β1 ∩ c;5 dist(A,B) = dist(C,D);6 D esta sobre o arco β1 a uma
distancia AB do ponto C;D = β1 ∩ �(C,dist(A,B));
7 PD;
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Transportar o angulo
Problema no4 - transporte de angulo - solucao
b
a
O
θ
c
P
γB
A
β1
C
dist (A,B)
D
1 γ = �{O, r}, ∀r ;2 γ ∩ a = {A};γ ∩ b = {B};
3 β1 = �{P, r};4 C = β1 ∩ c;5 dist(A,B) = dist(C,D);6 D = β1 ∩ �(C,dist(A,B));7 A reta definida por P e D e a
reta procurada;PD;
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Transportar o angulo
Problema no4 - transporte de angulo - solucao
b
a
O
θ
c
P
D
1 γ = �{O, r}, ∀r ;2 γ ∩ a = {A};γ ∩ b = {B};
3 β1 = �{P, r};4 C = β1 ∩ c;5 dist(A,B) = dist(C,D);6 D = β1 ∩ �(C,dist(A,B));7 PD;
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Angulo em 4 partes
Problema no5 - Angulo em 4 partes iguais
O processo consiste em repetir a construcao da bissetriz 3 vezes:para dividir o angulo em duas partes iguais;para dividir cada uma das partes obtidas;
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Reta paralela
Problema no3 - Reta paralela
P
a
Dado uma reta a, eum ponto P distintos.
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Reta paralela
Problema no3 - Reta paralela
P
a
Dado uma reta a, eum ponto P distintos.Deseja-se tracar uma segunda reta bparalela a a pelo ponto P.
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Reta paralela
Problema no3 - Reta paralela - solucao
P
a
1 γ1 = �{P, r}, r > dist(P,a);2 γ1 ∩ a = {A};3 �(A,dist(a,P))︸ ︷︷ ︸
γ2
∩a = {B};
4 γ3 = �(A,dist(B,P))γ4 = �(P,dist(B,P))γ3 ∩ γ4 = {C};
5 PC;
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Reta paralela
Problema no3 - Reta paralela - solucao
P
a
r
γ1
1 Trace um arco de circunferencia,γ1, com centro em P eraio r maior quea distancia do ponto P a reta a;γ1 = �{P, r}, r > dist(P,a);
2 γ1 ∩ a = {A};3 �(A,dist(a,P))︸ ︷︷ ︸
γ2
∩a = {B};
4 γ3 = �(A,dist(B,P))γ4 = �(P,dist(B,P))γ3 ∩ γ4 = {C};
5 PC;
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Reta paralela
Problema no3 - Reta paralela - solucao
P
a
r
γ1
A
1 γ1 = �{P, r}, r > dist(P,a);2 γ1 intercepta a reta a no ponto A;γ1 ∩ a = {A};
3 �(A,dist(a,P))︸ ︷︷ ︸γ2
∩a = {B};
4 γ3 = �(A,dist(B,P))γ4 = �(P,dist(B,P))γ3 ∩ γ4 = {C};
5 PC;
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Reta paralela
Problema no3 - Reta paralela - solucao
P
a
r
γ1
A
γ2
B
1 γ1 = �{P, r}, r > dist(P,a);2 γ1 ∩ a = {A};3 γ2 arco com centro em A e raio AP
intercepta a no ponto B;�(A,dist(a,P))︸ ︷︷ ︸
γ2
∩a = {B};
4 γ3 = �(A,dist(B,P))γ4 = �(P,dist(B,P))γ3 ∩ γ4 = {C};
5 PC;
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Reta paralela
Problema no3 - Reta paralela - solucao
P
aA
γ3 γ4
B
C
1 γ1 = �{P, r}, r > dist(P,a);2 γ1 ∩ a = {A};3 �(A,dist(a,P))︸ ︷︷ ︸
γ2
∩a = {B};
4 o arco centro em B eabertura BP e transderido para A;γ3 = �(A,dist(B,P))γ4 = �(P,dist(B,P))γ3 ∩ γ4 = {C};
5 PC;
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Reta paralela
Problema no3 - Reta paralela - solucao
P
a
C
1 γ1 = �{P, r}, r > dist(P,a);2 γ1 ∩ a = {A};3 �(A,dist(a,P))︸ ︷︷ ︸
γ2
∩a = {B};
4 γ3 = �(A,dist(B,P))γ4 = �(P,dist(B,P))γ3 ∩ γ4 = {C};
5 a direcao definidapelos pontos P e Csuporta a reta procurada;PC;
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Reta paralela
Problema no3 - Reta paralela - solucao
P
a
1 γ1 = �{P, r}, r > dist(P,a);2 γ1 ∩ a = {A};3 �(A,dist(a,P))︸ ︷︷ ︸
γ2
∩a = {B};
4 γ3 = �(A,dist(B,P))γ4 = �(P,dist(B,P))γ3 ∩ γ4 = {C};
5 PC;
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Paralela de uma reta
Problema no6 - Paralela de uma reta
d
aDado uma reta a, e uma distancia d .
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Paralela de uma reta
Problema no6 - Paralela de uma reta
d
a
Dado uma reta a, e uma distancia d .Deseja-setracar uma segunda reta bparalela a a e distante de d .
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Paralela de uma reta
Problema no6 - Paralela de uma reta - solucao
d
a
1 A,B ∈ a, A 6= B;2 a1⊥a, {A} ∈ a1;
a2⊥a, {B} ∈ a2;3 a1 ∩ �{A,d} = {C};
a2 ∩ �{B,d} = {D};4 {C,D} ∈ b;
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Paralela de uma reta
Problema no6 - Paralela de uma reta - solucao
d
a A B
1 Escolha 2 pontos distintosquaiquer, A e B;A,B ∈ a, A 6= B;
2 a1⊥a, {A} ∈ a1;a2⊥a, {B} ∈ a2;
3 a1 ∩ �{A,d} = {C};a2 ∩ �{B,d} = {D};
4 {C,D} ∈ b;
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Paralela de uma reta
Problema no6 - Paralela de uma reta - solucao
d
a A B
a1 a2
1 A,B ∈ a, A 6= B;2 Trace as perpendiculares a
a por A e por B;a1⊥a, {A} ∈ a1;a2⊥a, {B} ∈ a2;
3 a1 ∩ �{A,d} = {C};a2 ∩ �{B,d} = {D};
4 {C,D} ∈ b;
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Paralela de uma reta
Problema no6 - Paralela de uma reta - solucao
d
a A B
a1 a2
C D
1 A,B ∈ a, A 6= B;2 a1⊥a, {A} ∈ a1;
a2⊥a, {B} ∈ a2;3 Transfira
a distancia dsobre a1 esobre a2;a1 ∩ �{A, d} = {C};a2 ∩ �{B,d} = {D};
4 {C,D} ∈ b;
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Paralela de uma reta
Problema no6 - Paralela de uma reta - solucao
a A B
C D
1 A,B ∈ a, A 6= B;2 a1⊥a, {A} ∈ a1;
a2⊥a, {B} ∈ a2;3 a1 ∩ �{A,d} = {C};
a2 ∩ �{B,d} = {D};4 a reta que
contem os pontos C e D e aresposta;{C,D} ∈ b;
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Paralela de uma reta
Problema no6 - Paralela de uma reta - solucao
a
b 1 A,B ∈ a, A 6= B;2 a1⊥a, {A} ∈ a1;
a2⊥a, {B} ∈ a2;3 a1 ∩ �{A,d} = {C};
a2 ∩ �{B,d} = {D};4 {C,D} ∈ b;
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Divisao de segmento
Problema no7 - Divisao de segmento
A DDado um segmento de reta AD,dividi-la em tres partes iguais.
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Divisao de segmento
Problema no7 - Divisao de segmento - solucao
A D
1 b, b 6= AD, b ∩ AD = {A};2 �{A, r} ∩ b = {B1},�{B1, r} ∩ b = {C1},�{C1, r} ∩ b = {D1};
3 D1D;4 C1C//D1D, {C} ∈ AD ;
B1B//D1D, {B} ∈ AD;5 AB = BC = CD;
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Divisao de segmento
Problema no7 - Divisao de segmento - solucao
AD
b
A D
1 Trace um segmento de reta bcom extremidade na reta dada;b, b 6= AD, b ∩ AD = {A};
2 �{A, r} ∩ b = {B1},�{B1, r} ∩ b = {C1},�{C1, r} ∩ b = {D1};
3 D1D;4 C1C//D1D, {C} ∈ AD ;
B1B//D1D, {B} ∈ AD;5 AB = BC = CD;
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Divisao de segmento
Problema no7 - Divisao de segmento - solucao
b
A D
B1
C1
D1
1 b, b 6= AD, b ∩ AD = {A};2 Marque tres pontos equidistantes
sobre b:B,C,D;�{A, r} ∩ b = {B1},�{B1, r} ∩ b = {C1},�{C1, r} ∩ b = {D1};
3 D1D;4 C1C//D1D, {C} ∈ AD ;
B1B//D1D, {B} ∈ AD;5 AB = BC = CD;
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Divisao de segmento
Problema no7 - Divisao de segmento - solucao
b
A D
B1
C1
D1
1 b, b 6= AD, b ∩ AD = {A};2 �{A, r} ∩ b = {B1},�{B1, r} ∩ b = {C1},�{C1, r} ∩ b = {D1};
3 Trace D1D;D1D;
4 C1C//D1D, {C} ∈ AD ;B1B//D1D, {B} ∈ AD;
5 AB = BC = CD;
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Divisao de segmento
Problema no7 - Divisao de segmento - solucao
b
A
B C
D
B1
C1
D1
1 b, b 6= AD, b ∩ AD = {A};2 �{A, r} ∩ b = {B1},�{B1, r} ∩ b = {C1},�{C1, r} ∩ b = {D1};
3 D1D;4 Trace as parelelas a D1D:
C1C, B1B;C1C//D1D, {C} ∈ AD ;B1B//D1D, {B} ∈ AD;
5 AB = BC = CD;
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Divisao de segmento
Problema no7 - Divisao de segmento - solucao
A
B C
D
1 b, b 6= AD, b ∩ AD = {A};2 �{A, r} ∩ b = {B1},�{B1, r} ∩ b = {C1},�{C1, r} ∩ b = {D1};
3 D1D;4 C1C//D1D, {C} ∈ AD ;
B1B//D1D, {B} ∈ AD;5 o segmento AD e dividido em
tres partes iguais pelos pontos Be CAB = BC = CD;
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Divisao de segmento
Problema no7 - Divisao de segmento - solucao
A
B C
D
1 b, b 6= AD, b ∩ AD = {A};2 �{A, r} ∩ b = {B1},�{B1, r} ∩ b = {C1},�{C1, r} ∩ b = {D1};
3 D1D;4 C1C//D1D, {C} ∈ AD ;
B1B//D1D, {B} ∈ AD;5 AB = BC = CD;
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
SUMARIO
1 construcoes FundamentaisPerpedincular a uma reta dada por um ponto distintoBissetriz de um anguloTransportar o anguloDivisao de um angulo em 4 partes iguaisParalela a uma reta por um pontoParalela de uma reta a uma determinada distanciaDivisao um segmento em partes iguais
2 Inscricao de Polıgonos RegularesInscricao de um triangulo numa circunferenciaInscricao um quadrado numa circunferenciaInscricao de um pentagono numa circunferenciaInscricao de um hexagono numa circunferenciaInscrever um heptagono numa circunferenciaInscricao de um octogono numa circunferencia
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Triangulo inscrito
Problema no8 - Triangulo inscrito
O
α
Dada uma circunferencia α,inscrever um triangulo equilatero.
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Triangulo inscrito
Problema no8- Triangulo inscrito - solucao
O
α1 α = �{O, r}{D} ∈ α;
2 DO ∩ α = {A};3 β = �{D, r};4 β ∩ α = {C,D};5 AB,BC,CA;
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Triangulo inscrito
Problema no8- Triangulo inscrito - solucao
O
α
D
1 α = �{O, r}{D} ∈ α;
2 DO ∩ α = {A};3 β = �{D, r};4 β ∩ α = {C,D};5 AB,BC,CA;
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Triangulo inscrito
Problema no8- Triangulo inscrito - solucao
O
α
D
A
1 α = �{O, r}{D} ∈ α;
2 DO ∩ α = {A};3 β = �{D, r};4 β ∩ α = {C,D};5 AB,BC,CA;
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Triangulo inscrito
Problema no8- Triangulo inscrito - solucao
O
α
D
A
β
1 α = �{O, r}{D} ∈ α;
2 DO ∩ α = {A};3 β = �{D, r};4 β ∩ α = {C,D};5 AB,BC,CA;
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Triangulo inscrito
Problema no8- Triangulo inscrito - solucao
O
α
D
A
β
CB
1 α = �{O, r}{D} ∈ α;
2 DO ∩ α = {A};3 β = �{D, r};4 β ∩ α = {C,D};5 AB,BC,CA;
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Triangulo inscrito
Problema no8- Triangulo inscrito - solucao
O
α
D
A
β
CB
1 α = �{O, r}{D} ∈ α;
2 DO ∩ α = {A};3 β = �{D, r};4 β ∩ α = {C,D};5 AB,BC,CA;
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Triangulo inscrito
Problema no8- Triangulo inscrito - solucao
O
α
A
CB
1 α = �{O, r}{D} ∈ α;
2 DO ∩ α = {A};3 β = �{D, r};4 β ∩ α = {C,D};5 AB,BC,CA;
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Quadrado inscrito
Problema no9 - Quadrado inscrito
O
α
Dada uma circunferencia α,inscrever um quadrado.
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Quadrado inscrito
Problema no9 - Quadrado inscrito - solucao
O
α1 α = �{O, r}{C} ∈ α;
2 CO ∩ α = {A};3 OD⊥AC;4 OD ∩ α = {B};5 AB,BC,CD,DA;
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Quadrado inscrito
Problema no9 - Quadrado inscrito - solucao
O
α
C
1 α = �{O, r}{C} ∈ α;
2 CO ∩ α = {A};3 OD⊥AC;4 OD ∩ α = {B};5 AB,BC,CD,DA;
[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 21 / 29
construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Quadrado inscrito
Problema no9 - Quadrado inscrito - solucao
O
α
C
A
1 α = �{O, r}{C} ∈ α;
2 CO ∩ α = {A};3 OD⊥AC;4 OD ∩ α = {B};5 AB,BC,CD,DA;
[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 21 / 29
construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Quadrado inscrito
Problema no9 - Quadrado inscrito - solucao
O
α
C
A
D
1 α = �{O, r}{C} ∈ α;
2 CO ∩ α = {A};3 OD⊥AC;4 OD ∩ α = {B};5 AB,BC,CD,DA;
[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 21 / 29
construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Quadrado inscrito
Problema no9 - Quadrado inscrito - solucao
O
α
C
A
D B
1 α = �{O, r}{C} ∈ α;
2 CO ∩ α = {A};3 OD⊥AC;4 OD ∩ α = {B};5 AB,BC,CD,DA;
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Quadrado inscrito
Problema no9 - Quadrado inscrito - solucao
O
α
C
A
D B
1 α = �{O, r}{C} ∈ α;
2 CO ∩ α = {A};3 OD⊥AC;4 OD ∩ α = {B};5 AB,BC,CD,DA;
[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 21 / 29
construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Quadrado inscrito
Problema no9 - Quadrado inscrito - solucao
O
α
C
A
D B
1 α = �{O, r}{C} ∈ α;
2 CO ∩ α = {A};3 OD⊥AC;4 OD ∩ α = {B};5 AB,BC,CD,DA;
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Pentagono inscrito
Problema no10 - Pentagono inscrito
O
α
Dada uma circunferencia α,inscrever um pentagono.
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Pentagono inscrito
Problema no10 - Pentagono inscrito - solucao
α
O
α
1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}
2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 β2 = �{P,PA};6 β2 ∩OD = {Q};7 �{A,AQ} ∩ α = {E}8 AE = EF = FG = GH = HA
AE ,EF ,FG,GH,HA;
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Pentagono inscrito
Problema no10 - Pentagono inscrito - solucao
α
O
α
C
A
D B
1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}
2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 β2 = �{P,PA};6 β2 ∩OD = {Q};7 �{A,AQ} ∩ α = {E}8 AE = EF = FG = GH = HA
AE ,EF ,FG,GH,HA;
[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 23 / 29
construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Pentagono inscrito
Problema no10 - Pentagono inscrito - solucao
α
O
α
C
A
D B
β1
1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}
2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 β2 = �{P,PA};6 β2 ∩OD = {Q};7 �{A,AQ} ∩ α = {E}8 AE = EF = FG = GH = HA
AE ,EF ,FG,GH,HA;
[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 23 / 29
construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Pentagono inscrito
Problema no10 - Pentagono inscrito - solucao
α
O
α
C
A
D B
β1
N
M
1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}
2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 β2 = �{P,PA};6 β2 ∩OD = {Q};7 �{A,AQ} ∩ α = {E}8 AE = EF = FG = GH = HA
AE ,EF ,FG,GH,HA;
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Pentagono inscrito
Problema no10 - Pentagono inscrito - solucao
α
O
α
C
A
D B
β1
N
M
P
1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}
2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 β2 = �{P,PA};6 β2 ∩OD = {Q};7 �{A,AQ} ∩ α = {E}8 AE = EF = FG = GH = HA
AE ,EF ,FG,GH,HA;
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Pentagono inscrito
Problema no10 - Pentagono inscrito - solucao
α
O
α
A β1
N
P
β2
1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}
2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 β2 = �{P,PA};6 β2 ∩OD = {Q};7 �{A,AQ} ∩ α = {E}8 AE = EF = FG = GH = HA
AE ,EF ,FG,GH,HA;
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Pentagono inscrito
Problema no10 - Pentagono inscrito - solucao
α
O
α
A
β2
Q
1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}
2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 β2 = �{P,PA};6 β2 ∩OD = {Q};7 �{A,AQ} ∩ α = {E}8 AE = EF = FG = GH = HA
AE ,EF ,FG,GH,HA;
[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 23 / 29
construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Pentagono inscrito
Problema no10 - Pentagono inscrito - solucao
α
O
α
A
β2
Q
E
1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}
2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 β2 = �{P,PA};6 β2 ∩OD = {Q};7 �{A,AQ} ∩ α = {E}8 AE = EF = FG = GH = HA
AE ,EF ,FG,GH,HA;
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Pentagono inscrito
Problema no10 - Pentagono inscrito - solucao
α
O
α
A
E H
F G
1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}
2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 β2 = �{P,PA};6 β2 ∩OD = {Q};7 �{A,AQ} ∩ α = {E}8 AE = EF = FG = GH = HA
AE ,EF ,FG,GH,HA;
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Pentagono inscrito
Problema no10 - Pentagono inscrito - solucao
α
O
α
A
E H
F G
1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}
2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 β2 = �{P,PA};6 β2 ∩OD = {Q};7 �{A,AQ} ∩ α = {E}8 AE = EF = FG = GH = HA
AE ,EF ,FG,GH,HA;
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Hexagono inscrito
Problema no11 - Hexagono inscrito
O
α
Dada uma circunferencia α,inscrever um hexagono.
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Hexagono inscrito
Problema no11 - Hexagono inscrito - solucao
O
α 1 α = �{O, r}{A} ∈ α;{D} ∈ α, {O} ∈ AD;
2 β1 = �{A, r};β2 = �{D, r};
3 β1 ∩ α = {B,F};β2 ∩ α = {C,E};
4 AB,BC,CD,DE ,EF ,FA;
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Hexagono inscrito
Problema no11 - Hexagono inscrito - solucao
O
αA
D
1 α = �{O, r}{A} ∈ α;{D} ∈ α, {O} ∈ AD;
2 β1 = �{A, r};β2 = �{D, r};
3 β1 ∩ α = {B,F};β2 ∩ α = {C,E};
4 AB,BC,CD,DE ,EF ,FA;
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Hexagono inscrito
Problema no11 - Hexagono inscrito - solucao
O
αA
D
β1
β2
1 α = �{O, r}{A} ∈ α;{D} ∈ α, {O} ∈ AD;
2 β1 = �{A, r};β2 = �{D, r};
3 β1 ∩ α = {B,F};β2 ∩ α = {C,E};
4 AB,BC,CD,DE ,EF ,FA;
[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 25 / 29
construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Hexagono inscrito
Problema no11 - Hexagono inscrito - solucao
O
αA
D
β1
β2
B F
C E
1 α = �{O, r}{A} ∈ α;{D} ∈ α, {O} ∈ AD;
2 β1 = �{A, r};β2 = �{D, r};
3 β1 ∩ α = {B,F};β2 ∩ α = {C,E};
4 AB,BC,CD,DE ,EF ,FA;
[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 25 / 29
construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Hexagono inscrito
Problema no11 - Hexagono inscrito - solucao
O
αA
D
B F
C E
1 α = �{O, r}{A} ∈ α;{D} ∈ α, {O} ∈ AD;
2 β1 = �{A, r};β2 = �{D, r};
3 β1 ∩ α = {B,F};β2 ∩ α = {C,E};
4 AB,BC,CD,DE ,EF ,FA;
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Hexagono inscrito
Problema no11 - Hexagono inscrito - solucao
O
αA
D
B F
C E
1 α = �{O, r}{A} ∈ α;{D} ∈ α, {O} ∈ AD;
2 β1 = �{A, r};β2 = �{D, r};
3 β1 ∩ α = {B,F};β2 ∩ α = {C,E};
4 AB,BC,CD,DE ,EF ,FA;
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Heptagono inscrito
Problema no12 - Heptagono inscrito
O
α
Dada uma circunferencia α,inscrever um heptagono.
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Heptagono inscrito
Problema no12 - Heptagono inscrito - solucao
α
O
α
1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}
2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 MP = AE6 AE = EF = FG = GH =
= HI = IJ = JA7 AE ,EF ,FG,GH,HI, IJ, JA;
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Heptagono inscrito
Problema no12 - Heptagono inscrito - solucao
α
O
α
C
A
D B
1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}
2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 MP = AE6 AE = EF = FG = GH =
= HI = IJ = JA7 AE ,EF ,FG,GH,HI, IJ, JA;
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Heptagono inscrito
Problema no12 - Heptagono inscrito - solucao
α
O
α
C
A
D B
β1
1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}
2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 MP = AE6 AE = EF = FG = GH =
= HI = IJ = JA7 AE ,EF ,FG,GH,HI, IJ, JA;
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Heptagono inscrito
Problema no12 - Heptagono inscrito - solucao
α
O
α
C
A
D B
β1
N
M
1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}
2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 MP = AE6 AE = EF = FG = GH =
= HI = IJ = JA7 AE ,EF ,FG,GH,HI, IJ, JA;
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Heptagono inscrito
Problema no12 - Heptagono inscrito - solucao
α
O
α
C
A
D B
β1
N
M
P
1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}
2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 MP = AE6 AE = EF = FG = GH =
= HI = IJ = JA7 AE ,EF ,FG,GH,HI, IJ, JA;
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Heptagono inscrito
Problema no12 - Heptagono inscrito - solucao
α
O
α
AM
P
E
1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}
2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 MP = AE6 AE = EF = FG = GH =
= HI = IJ = JA7 AE ,EF ,FG,GH,HI, IJ, JA;
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Heptagono inscrito
Problema no12 - Heptagono inscrito - solucao
α
O
α
A
E
F
GH
I
J
1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}
2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 MP = AE6 AE = EF = FG = GH =
= HI = IJ = JA7 AE ,EF ,FG,GH,HI, IJ, JA;
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Heptagono inscrito
Problema no12 - Heptagono inscrito - solucao
α
O
α
A
E
F
GH
I
J
1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}
2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 MP = AE6 AE = EF = FG = GH =
= HI = IJ = JA7 AE ,EF ,FG,GH,HI, IJ, JA;
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Heptagono inscrito
Problema no12 - Heptagono inscrito - solucao
O
A
E
F
GH
I
J
1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}
2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 MP = AE6 AE = EF = FG = GH =
= HI = IJ = JA7 AE ,EF ,FG,GH,HI, IJ, JA;
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Octogono inscrito
Problema no13 - Octogono inscrito
Oα
Dada uma circunferencia α,inscrever um octogono.
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construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares
Octogono inscrito
Problema no13 - Octogono inscrito - solucao
αO
1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BD;AC ∩ BD = {O}
2 AOE = EOB;3 AOG = GOD;4 AE ,EB,BF ,FC,
CH,HD,DG,GA;
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Octogono inscrito
Problema no13 - Octogono inscrito - solucao
αO
C
A
D B
1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BD;AC ∩ BD = {O}
2 AOE = EOB;3 AOG = GOD;4 AE ,EB,BF ,FC,
CH,HD,DG,GA;
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Octogono inscrito
Problema no13 - Octogono inscrito - solucao
αO
C
A
D B
E
H
1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BD;AC ∩ BD = {O}
2 AOE = EOB;3 AOG = GOD;4 AE ,EB,BF ,FC,
CH,HD,DG,GA;
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Octogono inscrito
Problema no13 - Octogono inscrito - solucao
αO
C
A
D B
E
F
G
H
1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BD;AC ∩ BD = {O}
2 AOE = EOB;3 AOG = GOD;4 AE ,EB,BF ,FC,
CH,HD,DG,GA;
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Octogono inscrito
Problema no13 - Octogono inscrito - solucao
αO
C
A
D B
E
F
G
H
1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BD;AC ∩ BD = {O}
2 AOE = EOB;3 AOG = GOD;4 AE ,EB,BF ,FC,
CH,HD,DG,GA;
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Octogono inscrito
Problema no13 - Octogono inscrito - solucao
αO
C
A
D B
E
F
G
H
1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BD;AC ∩ BD = {O}
2 AOE = EOB;3 AOG = GOD;4 AE ,EB,BF ,FC,
CH,HD,DG,GA;
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