Ensino Superior2.5.3 Equaes Diferenciaiscomo Modelos MatemticosAmintas Paiva AfonsoIntroduo aos Sistemas de Controle

Equaes Diferenciais como Modelos Matemticos Amintas Paiva Afonso

Modelos MatemticosA construo de um modelo matemtico de um sistema comea com2) Elaboramos um conjunto de hipteses razoveis ou pressuposies sobre o sistema que estamos tentando descrever. Essas hipteses devero incluir tambm quaisquer leis empricas aplicveis ao sistema.1) A identificao das variveis responsveis pela variao do sistema. Podemos a princpio optar por no incorporar todas essas variveis no modelo. Nesta etapa estamos especificando o nvel de resoluo do modelo.

Modelos MatemticosComo as hipteses de um sistema envolvem frequentemente uma taxa de variao de uma ou mais variveis, a descrio matemtica de todas essas hipteses pode ser uma ou mais equaes envolvendo derivadas.Em outras palavras, o modelo matemtico pode ser uma equao diferencial ou um sistema de equaes diferenciais.Um modelo matemtico de um sistema fsico frequentemente envolve a varivel tempo t. Uma soluo do modelo oferece ento o estado do sistema; em outras palavras, os valores da varivel (ou variveis) para valores apropriados de t descrevem o sistema no passado, presente e futuro.

Modelos MatemticosHiptesesExpresse as hipteses em termos de equaes diferenciaisFormulao MatemticaCompare as predies do modelo com os fatos conhecidos Exponha as predies do modelo(por exemplo, graficamente)Obtenha as SoluesSe necessrio altere as hipteses ou aumente a resoluo do modeloResolva as EDs

Modelos MatemticosDinmica Populacional (crescimento populacional Thomas Malthus) a hiptese de que a taxa segundo a qual a populao de um pas cresce em um determinado instante proporcional populao do pas naquele instante. Em outras palavras, quanto mais pessoas houver em um instante t, mais pessoas existiro no futuro.k uma constante de proporcionalidade.

Modelos MatemticosDecaimento RadioativoO ncleo de um tomo consiste em combinaes de prtons e neutrons. Muitas dessas combinaes so instveis. Esses ncleos so chamados de radioativos. Por exemplo, ao longo do tempo, o altamente radioativo elemento rdio, Ra-226, transmuta-se no gs radnio radioativo, Rn-222. Na modelagem do decaimento radioativo, supe-se que a taxa de decaimento do ncleo de uma substncia dA/dt, proporcional quantidade (nmero de ncleos) A(t) de substncias remanescentes no instante t.

Modelos MatemticosCrescimento de um CapitalO mesmo modelo pode descrever o crescimento de um capital S quando uma taxa anual de juros r composta continuamente. Este mesmo modelo descreve a determinao da meia-vida de uma droga, assim como, na descrio de uma reao qumica de primeira ordem.Uma nica equao diferencial pode servir como um modelo matemtico para vrios fenmenos diferentes.

Modelos MatemticosLei de Newton do Esfriamento/AquecimentoA taxa segundo a qual a temperatura de um corpo varia proporcional diferena entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio que o rodeia (temperatura ambiente). T(t): Temperatura de um corpo no instante t,Tm: Temperatura do meio que o rodeia e ...dT/dt: Taxa de variao da temperatura do corpo.

Modelos MatemticosDisseminao de uma Doenax(t): nmero de pessoas que contraram uma doena contagiosa;y(t): nmero de pessoas que ainda no foram expostas; dx/dt: a taxa segundo a qual a doena se espalha proporcional ao nmero de encontros ou interaes entre esses dois grupos de pessoas. Se o nmero de interaes for proporcional a x(t) e y(t) isto , proporcional ao produto xy - ento

Modelos MatemticosDisseminao de uma Doena Exemplo:Suponha que uma pequena comunidade tenha uma populao fixa de n pessoas. Se uma pessoa infectada for introduzida na comunidade, pode-se argumentar que x(t) e y(t) esto relacionados por x + y = n + 1. Usando essa nica equao para eliminar y em dx/dt = kxy, obtemos o modeloUma condio bvia que acompanha essa equao x(0) = 1.

Modelos MatemticosMisturasA mistura de duas solues salinas com concentraes diferentes d origem a uma equao diferencial de primeira ordem para a quantidade de sal contida na mistura.Ex: Um tanque de mistura contm 300 gales de salmoura (gua com sal dissolvido). Uma outra salmoura bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3 gales por minuto; a concentrao de sal nessa segunda salmoura de 2 libras por galo. Quando a soluo no tanque estiver bem misturada, ela ser bombeada para fora mesma taxa em que a segunda salmoura entrar. Veja a figura.

Modelos MatemticosSe A(t) denotar a quantidade de sal (medida em libras) no tanque no instante t, a taxa segundo a qual A(t) varia ser uma taxa lquida:

Modelos MatemticosDrenando um TanqueEm hidrodinmica, a lei de Torricelli, estabelece que a velocidade v do fluxo de gua em um buraco com bordas na base de um tanque cheio at a altura h igual velocidade com que um corpo (no caso, uma gota dgua) adquiriria em queda livre de uma altura h isto , Essa expresso origina-se de igualar a energia cintica ( mv2) com a energia potencial (mgh) e resolver para v. Suponha que um tanque cheio com gua seja drenado por um buraco sob a influncia de um buraco.

Modelos MatemticosQueremos encontrar a altura h de gua remanescente no tanque no instante t. O sinal de subtrao indica que v est decrescendo.

Modelos MatemticosEstamos ignorando a possibilidade de atrito no buraco que possa causar uma reduo na taxa de fluxo.Substituindo em Obtemos a ED desejada para h

Modelos MatemticosCircuito em SrieConsidere o circuito em srie de malha simples i(t): corrente no circuito depois que a chave fechadaIndutorIndutncia L: henrys (h)Queda de voltagem: L di/dtResistorResistncia R: ohms ()Queda de voltagem: iRCapacitorCapacitncia C: farads (f)Queda de voltagem: i/c . qq(t): carga em um capacitor no instante tL, R e C: em geral so constantesE(t): voltagem aplicada em uma malha fechada que, de acordo com a 2 lei de Kirchhoff, deve ser igual soma das quedas de voltagem na malha.

Modelos MatemticosUma vez que a corrente i(t) est relacionada com a carga q(t) no capacitor por i = dq/dt, adicionando-se as trs quedas de voltagem e equacionando-se a soma das voltagens aplicadas, obtm-se uma equao diferencial de segunda ordemindutorresistorcapacitor

Modelos MatemticosCorpos em QuedaPara construir um modelo matemtico do movimento de um corpo em um campo de fora, iniciamos com a 2 lei de Newton. 1 lei de Newton: o corpo permanecer em repouso ou continuar movendo-se a uma velocidade constante, a no ser que esteja agindo sobre ele uma fora externa. Em cada caso, isso equivale a dizer que, quando a soma das foras F = Fk isto , a fora lquida resultante que age sobre o corpo for zero, a acelerao a do corpo ser zero.

Modelos MatemticosCorpos em QuedaPara construir um modelo matemtico do movimento de um corpo em um campo de fora, iniciamos com a 2 lei de Newton. 2 lei de Newton: quando a fora lquida que age sobre o corpo for diferente de zero, essa fora lquida ser proporcional sua acelerao a ou, mais precisamente, F = ma, onde m a massa do corpo.

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