7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
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I
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
EEESSSTTTRRRUUUTTTUUURRRAAASSSDDDEEEBBBEEETTTOOO222
LAJES APOIOADAS EM QUATRO BORDOS
PUNOAMENTO
PILARES
FUNDAES
EXERCCIOS PROPOSTOS E RESOLVIDOS
ISABEL ALVIM TELES
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I
erso 0 i INTRODUO
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
EEESSSTTTRRRUUUTTTUUURRRAAASSSDDDEEEBBBEEETTTOOO222
O objectio deste documento o de ajudar os alunos no estudo e compreenso das matrias abordadas na
Unidade Curricular de Estruturas de Beto 2, assim como na preparao para as proas de aaliao.
Os eerccios aqui reunidos estieram includos em proas de aaliao ou nas fichas das aulas de
Orientao Tutorial da autora.
As resolues apresentadas foram disponibiliadas aos alunos da UC EBET2 no ano lectio 2009/2010, peloque a regulamentao e regras utiliadas eram as que nessa data estaam em igor na UC.
Qualquer comentrio que contribua para a reiso e melhoria deste documento ser bem acolhido,
agradecendo a autora desde j o contacto atras do mail: @..
Isabel Alim Teles
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I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 ii NDICE
EXERCCIOS PROPOSTOS E RESOLVIDOS
NDICE
LAJES APOIADAS EM QUATRO BORDOS
Eerccio 1 ......................................................................................... 1
Eerccio 2 ......................................................................................... 12
Eerccio 3 ......................................................................................... 22
PUNOAMENTO
Eerccio 4 ......................................................................................... 32
Eerccio 5 ......................................................................................... 35
Eerccio 6 ......................................................................................... 39
PILARES
Eerccio 7 ......................................................................................... 42
Eerccio 8 ......................................................................................... 48
Eerccio 9 ......................................................................................... 55
FUNDAES
Eerccio 10 ....................................................................................... 60
Eerccio 11 ....................................................................................... 68
Eerccio 12 ....................................................................................... 75
DESENHOS EXEMPLIFICATIVOS DE PROJECTO DE BETO ARMADO
Quadro de pilares .............................................................................. 82
Quadro de sapatas ............................................................................. 83
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ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 1 EXERCCIO 1
6,006,00
PLANTA
V2(0,30x0,55)
7,50
7,50
V1 (0,30x0,50) V1 (0,30x0,50)
V2(0,30x0,55)
V2(0,30x0,55)
V2(0,30x0,55)
V3(0,30x0,60)
V3(0,30x0,60)
V1 (0,30x0,50) V1 (0,30x0,50)
V1 (0,30x0,50) V1 (0,30x0,50)
01EXERCCIO PROPOSTO
(EXAME 21042010)
O desenho aneo representa a planta estrutural de um edifcio industrial realiado com beto C20/25 e aoS400. As lajes so macias armadas em duas direces, constituindo painis rectangulares com dimensoem planta 6,00m 7,50m (er desenho) e com 0,21m de espessura (d=0,17m).
Os alores caractersticos das aces a actuar nas lajes, para alm do seu peso prprio, so os seguintes:
enchimentos ..... 3,0 kN/m2
paredes diisrias ..... 2,0 kN/m2
sobrecarga ...................... 6,0 kN/m2
Foram determinados os esforos nas lajes e aps ter sido realiada uma redistribuio dos momentosnegatios sobre a iga V3, foi calculada uma armadura superior de 12//0.125 como se descree na Plantade Armaduras Superiores (er pgina seguinte).
Faa o projecto de beto armado da laje seguindo os pontos abaio listados.
Determine qual a redistribuio dosmomentos negatios sobre a iga V3 quefoi considerada;
Calcule as armaduras inferiores paralelasao lado menor da laje compateis com aredistribuio efectuada;
Determine todas as armaduras inferiorese superiores paralelas ao lado maior dalaje (sem redistribuio);
Determine todas as restantesarmaduras, identificandoas claramente;
Complete o desenho das armadurassuperiores da laje na planta da pginaseguinte;
Cotando deidamente o desenho,represente numa planta todas asarmaduras inferiores da laje;
Caracterie detalhadamente as acesque permitem determinar os diagramas
de esforos de clculo da iga V1;
Verifique a segurana da laje em relaoao esforo transerso.
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ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 2 EXERCCIO 1
6.
00
7.
50
1.
80
1.
80
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I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 3 EXERCCIO 1
01RESOLUO DO EXERCCIO
QUANTIFICAO DE CARGAS
C
pEd= 1,35 (0,21 25 + 3,0 + 2,0) + 1,50 6,0 = 22,84 kN/m2
DETERMINAO DE MOMENTOS INICIAIS PELAS TABELAS DO MONTOYA (ANTES DA REDISTRIBUIO)
Caso: 9 linha e 0,87,506,00
l
l
==
M //
+
,E= 0,001 22,84 6,002
33= 27,13 kNm/m
M //
,E= 0,001 22,84 6,00
2 88= 72,36 kNm/m
M //
+
,E= 0,001 22,84 6,002 27= 22,20 kNm/m
M //
,E= 0,001 22,84 6,00
2 74= 60,85 kNm/m
=
=
=
=
=
MPa348f
MPa400fS400Ao
MPa2,2fMPa13,3f
MPa20fC20/25Beto:Materiais
d
k
ctm
cd
ck
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ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 4 EXERCCIO 1
REDISTRIBUIO DOS MOMENTOS NEGATIVOS SOBRE A VIGA V3
M
O momento negatio aps redistribuio ser igual ao momento resistente correspondente armadura12//0,125.
As= 12//0,125 = 9,05 cm2/m
0,12940,139313,30,17
348109,05
cdf.b
f.A
4ds==
==
kNm/m49,741013,30,170,1294.fd.b.M 32cd2
Rd ===
Momento negatio aps redistribuio = 49,74 kNm/m
M R
M = Momento inicial Momento final (aps redist.) = 72,36 49,74 = 22,62 kNm/m
% Redistribuio efectuada =72,3622,62
= 31,26 %
M //
+
,E= 27,13 + 2M = 27,1 3 +
262,22
= 38,44 kNm/m
DETERMINAO DE ARMADURAS
A
A
E
Zona de esforos mimos Outras onas
sAp= 2h 0,25 m sAp= 0,25 m sAp= 3h 0,40 m sAp= 0,40 m
sAd= 3h 0,40 m sAd= 0,40 m sAd= 3,5h 0,45 m sAd= 0,45 m
/mcm2,210,170,0013b.d0,0013
ntecondiciona/mcm2,4310,174002,2
0,26b.df
f
.0,26A2
2
k
ctm
mn
==
==
/mcm840,210,04b.h0,04A 2m ===
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I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 5 EXERCCIO 1
A //
+
,E= 38,44 kNm/m
0,1060,10001013,30,171
38,44
.fd.b
m
32cd
2
Ed,==
==
=
==
m
mn2
d
cdA
A/mcm6,89
34813,30,170,106
f
f.b.A/m
Banda central: 6,89 cm2/m 10//0,10(7,85 cm2/m)
10//0,20 (at ao apoio) + 10//0,20 (dispensa)
Bandas laterais: 10//0,20 (3,93 cm2/m) Amn(2,43 cm2/m)
A //
+
,E= 22,20 kNm/m
0,05980,05781013,30,171
22,20
.fd.b
m
32cd
2Ed,
==
==
=
==
m
mn2
d
cdAA
/mcm3,89348
13,30,170,0598
f
f.b.A/m
Banda central: 3,89 cm2/m 8//0,125(4,02 cm2/m)
Como 8//0,25 < Amn(2,43cm2/m) no se fa dispensa
Bandas laterais: Amn(2,51 cm2/m) 8//0,20 (2,51 cm2/m)
A //
,E= 60,85 kNm/m
0,173960,15831013,30,171
60,85
.fd.b
m
32cd
2Ed,
==
==
=
==
m
mn2
d
cdA
A/mcm,3011
34813,30,170,17396
f
f.b.A/m
Armadura: 11,30 cm2/m 12//0,10(11,31 cm2/m)
N
Tabela de armaduras consultada: Tabela 2, pgina 28, coluna 0AA' =
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ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 6 EXERCCIO 1
O
A
A armadura superior representada a ermelho tem que respeitar as seguintes condicionantes: armadura de canto = 0,50 (maior armadura inferior) = 0,50 7,85 = 3,925 2/
Amn(2,431 cm2/m)
armadura de distribuio da armadura principal de momentos negatios(20% de 12//0,10 = 2,26 cm2/m)
Armadura a ermelho condicionante = 3,925 cm2/m 8//0,125 (4,02 cm2/m)
A
A armadura superior representada a erde a armadura de continuidade sobre o apoio simples e tem querespeitar as seguintes condicionantes:
armadura de continuidade = 15% de 10//0,10 = 1,18 cm2/m
Amn(2,431 2/)
Armadura a erde condicionante = 2,431 cm2/m 8//0,20 (2,431 cm2/m)
A
A armadura superior representada a amarelo a armadura de distribuio da armadura principal demomentos negatios.
Armadura a amarelo = 20% de 12//0,125 = 1,81 cm2/m 6//0,15 (1,88 cm2/m)
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I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 7 EXERCCIO 1
A
A armadura superior representada a aul a armadura de distribuio da armadura principal de momentosnegatios.
Armadura a aul = 20% de 12//0,10 = 2,26 cm 2/m 6//0,125 (2.26 cm2/m)
A
A armadura superior representada a magenta a armadura de distribuio da armadura de continuidadesobre o apoio simples (armadura erde).
Armadura a magenta = 20% de 8//0,20 = 0,50 cm2/m 6//0,30 (0,94 cm2/m)
DESENHO
Os desenhos das armaduras encontramse nas pginas 10 e 11.
Largura das bandas superiores = 0,3 l= 0,3 6,00 = 1,80 m
Largura das bandas inferiores = 0,2 l= 0,2 6,00 = 1,20 m
A
A amarrao das armaduras nos apoios deer ser feita de acordo com os esquemas seguintes.
Armaduras inferiores a amarrarnos apoios etremos: 10
Armaduras superiores a amarrar
nos apoios etremos: 8
Comprimento de sobreposio mnimo: l0,min m (0,45 lbd; 15; 20 cm)
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I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 8 EXERCCIO 1
60
30
60
30
60
30
45
45
45
45
45
45
45
45
60
30
V1 V1
V1 V1
3.75 2.165
Viga V1
6.006.00
3.752.165
0.085
7.50
3.75
7.50
3.75
3.75
3.75
0.085
V2
V2
V2
V2
V3
V3
V1 V1
QUANTIFICAO DE ACES NA VIGA V1 (0,30 X 0,50)
Carga uniformemente distribuda: pEd= 22,84 kN/m2
Peso prprio da iga V1 = 0,30 0,50 25 1,35 = 5,0625 kN/mMima aco da laje sobre a iga V1 = 22,84 3,75 2 = 171,30 kN/m
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ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 9 EXERCCIO 1
VERIFICAO DO ESFORO TRANSVERSO
J V1
VE,= pED 3,75 = 22,84 3,75 = 85,65 kN/m
VRd,c = 0,12 K(100 lfck)
1/3bd 0,035 K3/2fck
1/2bd
K = 1+d
200 2,0 K = 1+170200 = 2,08 K=2,0
0,02db
A
sll= 0,026,651010017
11,31
1001712//0,10
3l ===
VRd,c = 0,12 2(100 6,65 103 20)1/3 170 1000 0,035 23/2 201/2 170 1000
VR, = 96,68 N/ 75,26 kN/m
VE,= 85,65 kN/m VR, = 96,68 kN/m
J V2
VE,= pED 2,165 = 22,84 2,165 = 49,45 kN/m
VRd,c 0,035 23/2 201/2 140 1000 = 75,26 kN/m
VE,= 49,45 kN/m VR, 75,26 kN/m
J V3
VE,= pED 3,75 = 22,84 3,75 = 85,65 kN/m
VRd,c = 0,12 K(100 lfck)
1/3bd 0,035 K3/2fck
1/2bd
K=1+d
200 2,0 K=1+170200 =2,08 K=2,0
0,02db
A
sll= 0,025,321010017
9,05
1001712//0,125
3l ===
VRd,c = 0,12 2(100 5,32 103 20)1/3 170 1000 0,035 23/2 201/2 170 1000
VR, = 89,74 N/ 75,26 kN/m
VE,= 85,65 kN/m VR, = 89,74 kN/m
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I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 10 EXERCCIO 1
0.
20
0.
20
7.
50
1.
80
1.
80
1.
80
1.80
1.80
1.80
1.80
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14/86
I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 11 EXERCCIO 1
0.
10
0.
10
6.
00
7.
50
1.
20
1.
20
1.20
1.20
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I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 12 EXERCCIO 2
CORTE1-1
6,10
5,505,50
1
1
PLANTA
0,9
0
0,3
0
V1 V1
V1 V1
V2
V2
V2
02EXERCCIO PROPOSTO
O desenho aneo representa a planta estrutural de uma cobertura ajardinada de um edifcio. As lajes somacias armadas em duas direces com 0,18 m de espessura (d=0,14 m) e realiadas com beto C20/25 eao S400.
Sobre a laje e aps ter sido realiada a sua impermeabiliao, foi colocada terra com altura ariel entre0,30 m e 0,90 m, conforme representado no Corte 11.
Na quantificao das aces, considere que o alor caracterstico da aco correspondente impermeabiliao 3,0 kN/m2e que o peso olmico da terra 19 kN/m3.
Tendo em conta que se pretende faer uma 25%, faa o
projecto de beto armado da laje seguindo os pontos abaio listados.
Determine todas as armaduras da laje;
Cotando deidamente o desenho, represente numa planta todas as armaduras inferiores da laje;
Cotando deidamente o desenho, represente numa planta todas as armaduras superiores da laje;
Calcule o esforo transerso resistente da laje (VR,) junto de cada um dos apoios e faa a respectiaerificao;
Quantifique as aces da laje sobre as igas que lhe do apoio.
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I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 13 EXERCCIO 2
02RESOLUO DO EXERCCIO
QUANTIFICAO DE CARGAS
C
pEd= 1,35 (0,18 25 + 3 + 0,30 19) = 17,82 kN/m2
C ( 3 T M)
pEd= 1,35 (0,60 19) = 15,39 kN/m2
DETERMINAO DE MOMENTOS PELAS TABELAS DO MONTOYA
Caso: 5 linha e6,105,50
l
l
X
=
M //
+
,E = 0,001 17,82 5,502 34 + 0,001 15,39 5,502 19=
= 18,328 + 8,845 = 27,17 kNm/m
M //
+
,E = 0,001 17,82 5,502 18 + 0,001 15,39 5,502 16=
= 9,703 + 7,449 = 17,15 kNm/m
M //
,E = 0,001 17,82 5,50
2 74+ 0,001 15,39 5,502 41=
= 39,890 + 19,087 = 58,98 kNm/m
=
=
=
=
=
MPa348f
MPa400fS400Ao
MPa2,2fMPa13,3f
MPa20fC20/25Beto:Materiais
d
k
ctm
cd
ck
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I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 14 EXERCCIO 2
M M
M MM
5,50 m 5,50 m
diagrama inicial
diagrama final
REDISTRIBUIO DE 25% DOS MOMENTOS NEGATIVOS
M = 0,25 58,98 = 14,745 kNm/m
Momento negatio aps redistribuio: 58,98 14,745 = 44,235 kNm/m
Momento positio aps redistribuio: 27,17 + 14,745 = 41,915 kNm/m
DETERMINAO DE ARMADURAS
A
A
E
Zona de esforos mimos Outras onas
sAp= 2h 0,25 m sAp= 0,25 m sAp= 3h 0,40 m sAp= 0,40 m
sAd= 3h 0,40 m sAd= 0,40 m sAd= 3,5h 0,45 m sAd= 0,45 m
/mcm1,820,140,0013b.d0,0013
ntecondiciona/mcm2,0020,144002,2
0,26b.df
f.0,26
A2
2
k
ctm
mn
==
==
/mcm720,180,04b.h0,04A 2
m ===
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I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 15 EXERCCIO 2
A //
+
,E= 41,915 kNm/m
0,176950,160791013,30,141
41,915
.fd.b
m
32cd
2
Ed,==
==
=
==
m
mn2
d
cdA
A/mcm9,47
34813,30,140,17695
f
f.b.A/m
Banda central: 9,47 cm2/m 12//0,10 (11,31 cm2/m)
12//0,20 (at ao apoio) + 12//0,20 (dispensa)
Bandas laterais: 12//0,20 (5,65 cm2/m)
Amn
(2 cm2/m)
A //
+
,E= 17,15 kNm/m
0,067960,06581013,30,141
17,15
.fd.b
m
32cd
2Ed,
==
==
=== mmn
2d
cd A
A/mcm3,64348
13,30,140,06796f
f.b.A/m
Banda central: 3,64 cm2/m 10//0,20 (3,93 cm2/m)
Bandas laterais: Amn= 2 cm2 8//0,25 (2,01 cm2/m)
A //
,E= 44,235 kNm/m
0,187640,16971013,30,141
44,235
.fd.b
m
32cd
2
Ed,==
==
=
==
m
mn2
d
cd
A
A/mcm9,97
34813,30,140,18764
f
f.b.A/m
Armadura: 9,97 cm2/m 12//0,10 (11,31 cm2/m)
N
Tabela de armaduras consultada: Tabela 2, pgina 28, coluna 0A
A'=
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19/86
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ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 16 EXERCCIO 2
O
A
A armadura superior representada a ermelho tem que respeitar as seguintes condicionantes:
armadura de canto = 0,50 (maior armadura inferior) = 0,50 11,31 = 5,66 2/
Amn(2,00 cm2/m)
armadura de distribuio da armadura principal de momentos negatios(20% de 12//0,10 = 2,26 cm2/m)
Armadura a ermelho condicionante = 5,66 cm
2
/m 10//0,125 (6,28 cm
2
/m)
A
A armadura superior representada a erde a armadura de continuidade sobre o apoio simples e tem querespeitar as seguintes condicionantes:
armadura de continuidade = 15% de 10//0,20 = 0,59 cm2/m
Amn(2,00 2/)
Armadura a erde condicionante = 2,00 cm2/m 8//0,25 (2,01 cm2/m)
A
A armadura superior representada a amarelo a armadura de distribuio da armadura principal demomentos negatios.
Armadura a amarelo = 20% de 12//0,10 = 2,26 cm2/m 8//0,20 (2,51 cm2/m)
A
A armadura superior representada a aul a armadura de distribuio da armadura de continuidade sobreo apoio simples (armadura erde).
Armadura a aul = 20% de 8//0,25 = 0,40 cm2/m 6//0,30 (0,94 cm2/m)
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I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 17 EXERCCIO 2
DESENHO
Os desenhos encontramse nas pginas 20 e 21.
Largura das bandas inferiores = 0,2 lY= 0,2 5,50 = 1,10 m
Largura das bandas superiores = 0,3 lY= 0,3 5,50 = 1,65 m
A
A amarrao das armaduras nos apoios deer ser feita de acordo com os esquemas seguintes.
Comprimento de sobreposio mnimo: l0,min m (0,45 lbd; 15; 20 cm)
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I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 18 EXERCCIO 2
VERIFICAO DO ESFORO TRANSVERSO
C
Por simplificao adoptarse uma carga uniformemente distribuda equialente aco conjunta dacarga uniformemente distribuda e da carga triangular
A carga uniformemente distribuda equialente ser igual soma da carga uniformemente distribudamais 4/3 da mima carga triangular:
pEd,eq= 17,82 + 43 15,39 = 29,36 kN/m2
J V1
VE,= pED,eq 1,59 = 29,36 1,59 = 46,68 kN/m
VRd,c= 0,12 K(100 lfck)
1/3bd 0,035 K
3/2fck1/2bd
K = 1+d
200 2,0 K = 1+140200 = 2,2 K = 2,0
02,0db
A
sll = 0,02101,4410014
2,01
100148//0,25
3l ==
=
VRd,c = 0,12 2(100 1,44 103 20)1/3 140 1000 0,035 23/2 201/2 140 1000
VR, = 47,80 kN/m 61,98 N/
VE,= 46,68 kN/m VR, = 61,98 kN/m
J V2
VE,= pED,eq 2,75 = 29,36 2,75 = 80,74 kN/m
VRd,c= 0,12 K(100 lfck)1/3bd 0,035 K3/2fck1/2bd
K = 1+d
200 2,0 K = 1+140200 = 2,2 K = 2,0
02,0db
A
sll = 0,02108,0810014
11,31
1001412//0,10
3l ==
=
VRd,c = 0,12 2(100 8,08 10
3 20)1/3 140 1000 0,035 2
3/2 20
1/2 140 1000
VR, = 84,95 N/ 61,98 kN/m
VE,= 80,74 kN/m VR, = 84,95 kN/m
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I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 19 EXERCCIO 2
6.10
5.50
2.75 2.75
1.59
1.59
60
2.92
60
6060
3030
3030
5.50
2.75 2.75
V1V1
V1V1
V2
V2
V2
VigaV2
Viga V1
QUANTIFICAO DE ACES NAS VIGAS
Por simplificao adoptarse a carga uniformemente distribuda equialente anteriormente calculada:
pEd,eq= 29,36 kN/m2
Mima aco da laje sobre a iga V1: 29,36 1,59 = 46,68 kN/m
Mima aco da laje sobre a iga V2: 29,36 2,75 2 = 161,48 kN/m
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I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 20 EXERCCIO 2
1.
10
1.
10
1
.10
1
.10
6.
10
5.
50
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24/86
I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 21 EXERCCIO 2
1.
65
1.
65
1
.65
1
.65
6.
10
5.
50
0.20
0.20
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I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 22 EXERCCIO 3
0,05
0,200,25
0,15
GEOMETRIA DAS NERVURASCORTE
bloco
DISTRIBUIO EM PLANTA
DAS NERVURAS
X
Y
0,15
0,65
0,15
0,15
0,50
0,15
bloco
X
Y
7,20
8,00
8,00
PLANTA
V1
V1
V1
V1
V2
V3
V2
Lm
La
03EXERCCIO PROPOSTO
(EXAME 21072010)
A figura anea representa a planta estrutural de umedifcio cujo piso constitudo por um painel de lajemacia (L) e um painel de laje aligeirada nerurada (L).Ambos os painis so armados nas duas direces.
A laje macia L tem 0,22m de espessura (d=0,18m) enela esto a actuar as seguintes aces (alorescaractersticos):
peso prprio .............. a calcular reestimentos e paredes diisrias ... 4,50 kN/m2
sobrecarga ............................................. 5,00 kN/m2
A laje aligeirada L tem 0,25m de espessura total(d=0,21m) e constituda por blocos com dimenso emplanta 0,65m 0,50m e com 0,20m de altura (erdesenho). Na laje L esto a actuar as seguintes aces(alores caractersticos):
peso prprio .. 3,75 kN/m2
reestimentos ..... 1,25 kN/m2
sobrecarga ................. 5,00 kN/m2
Materiais utiliados: beto C20/25 e ao S400.
) Determine os alores de clculo dos esforos defleo a actuar nas lajes, utiliando as tabelas doMontoa, e efectue uma redistribuio (a menorpossel) para que haja compatibilidade de momentosna ona de ligao entre os painis L e L(identifique claramente as direces dos momentos);
) Calcule a armadura longitudinal inferior a colocar nasneruras paralelas ao lado maior da laje L,efectuando as respectias erificaesregulamentares;
) Calcule todas as armaduras da laje L paralelas aoseu lado maior, efectuando as respectias erificaesregulamentares;
) Calcule todas as armaduras da laje L paralelas aoseu lado menor, efectuando as respectias
erificaes regulamentares;
) Cotando deidamente o desenho, represente todas asarmaduras inferiores da laje Lna planta da pginaseguinte.
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I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 23 EXERCCIO 3
8,00
PLANTA DE ARMADURAS INFERIORESEsc: 1/50
7,20
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
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I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 24 EXERCCIO 3
03RESOLUO DO EXERCCIO
A )
Q
L L: pEd= 1,35 (0,22 25 + 4,50) + 1,50 5,0 = 21,00 kN/m2
L L: pEd= 1,35 (3,75 + 1,25) + 1,50 5,0 = 14,25 kN/m2
D L( )
Tabela do Montoa Caso: 6 linha; 0,97,20
8,00
l
l
==
M //
+
,E= 0,001 21,0 7,202 37= 40,28 kNm/m
M //
,E= 0,001 21,0 7,20
2 38= 41,37 kNm/m
M ( ) //
,E= 0,001 21,0 7,20
2 93= 101,24 kNm/m
=
=
=
=
=
MPa348f
MPa400fS400Ao
MPa2,2fMPa13,3f
MPa20fC20/25Beto:Materiais
d
k
ctm
cd
ck
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
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I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 25 EXERCCIO 3
D L( )
M //
+
,E= 0,001 14,25 7,202 37= 27,33 kNm/m
M //
,E= 0,001 14,25 7,20
2 38= 28,07 kNm/m
M ( ) //
,E= 0,001 14,25 7,20
2 93= 68,70 kNm/m
C V3
Laje macia L: Momento negatio sobre a V3 = 101,24 kNm/m
Laje aligeirada L: Momento negatio sobre a V3 = 68,70 kNm/m
M = LaLm MM = 101,24 68,70 = 32,54 kNm/m
2M = 16,27 kNm/m
8,00 m 8,00 m
diagrama inicial
diagrama final
M
LaLm
M2
(aps redistribuio)
-101,24 kNm/m
-68,70 kNm/m
41,37 28,07 kNm/m
57,64 kNm/m
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
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I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 26 EXERCCIO 3
M L
M //
+
,E= 40,28 kNm/m
M //
+
,E= 41,37 + 16,27 = 57,64 kNm/m
M ( ) //
,E= 68,70 kNm/m
M L
A redistribuio s afecta os momentos da laje macia, pelo que os momentos da laje aligeirada mantmse os iniciais (er desenho de diagrama de momentos).
A )
Largura da nerura paralela ao lado maior da laje = 0,65 + 0,15 = 0,80 m
M+
,Ed= 28,07 kNm/m M+
,Ed /ner = 28,07 0,80 = 22,456 kNm/ner
0,073860,04943
0,047861013,30,210,80
22,456
.fd.b
M
32cd
2Ed
=
==
== (Tab. pg. 28)
res)rectangula(seces28pg.Tab.ausadaserpodelajetananeutroeiom0,05m0,01550,210,07386d.0,07386
====
=
==
m
mn2
d
cd
A
A/nercm3,17
34813,30.210,800,04943
f
f.b.A/ner
/ner)cm(4,02ner/216A/ner 2=
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
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I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 27 EXERCCIO 3
A
/nercm0,410,210,150,0013b.d0,0013
ntecondiciona/nercm0,450,210,15
400
2,20,26b.d
f
f0,26
A 2
2
k
ctm
mn
==
==
A
/nercm280,15)0,200,05(0,800,04A0,04A 2cm =+==
A ) )
DETERMINAO DE ARMADURAS
A
A
E
Zona de esforos mimos Outras onas
sAp= 2h 0,25 m sAp= 0,25 m sAp= 3h 0,40 m sAp= 0,40 m
sAd= 3h 0,40 m sAd= 0,40 m sAd= 3,5h 0,45 m sAd= 0,45 m
A //
+
,E= 57,64 kNm/m
0,14450,133761013,30,181
57,64
.fd.b
M
32cd
2Ed ==
==
=
==
m
mn2
d
cdAA
/mcm9,94348
13,30,180,1445
f
f.b.A/m
Banda central: 9,94 cm2/m 12//0,10(11,31 cm2/m)12//0,20 (at ao apoio) + 12//0,20 (dispensa)
Bandas laterais: 12//0,20 (5,65 cm2/m) Amn(2,574 cm2/m)
/mcm2,340,180,0013b.d0,0013
ntecondiciona/mcm2,5740,184002,2
0,26b.df
f0,26
A2
2
k
ctm
mn
==
==
/mcm880,220,04b.h0,04A 2m ===
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I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 28 EXERCCIO 3
A //
,E= 68,70 kNm/m
0,175280,15941013,30,181
68,70.fd.b
M32
cd2Ed ==
==
=
==
m
mn2
d
cd
A
A/mcm12,06
34813,30,180,17528
f
f.b.A/m
Armadura: 12,06 cm2/m 16//0,15(13,41 cm2/m)
A //
+
,E= 40,28 kNm/m
0,09850,09351013,30,181
40,28f.d.b
M
32cd2Ed ==
==
===
m
mn2
d
cdAA
/mcm,786348
13,30,180,0985f
f.b.A/m
Banda central: 6,78 cm2/m 10//0,10(7,85 cm2/m)
Bandas laterais: 10//0,20 (3,93 cm2/m) Amn(2,574 cm2/m)
N: Tabela de armaduras consultada: Tabela 2, pgina 28, coluna 0AA' =
A
As armaduras inferiores de canto tm de apresentar uma reaigual maior armadura inferior a meio o.(armadura correspondente a 12//0,10=11,31cm2/m)
Na direco paralela ao lado maior, eiste nas bandas laterais12//0,20.
Na direco paralela ao lado menor, eiste nas bandas laterais10//0,20.
A
12//0,20 12//0,20 + 12//0,20 (eistente) = 12//0,10
A 16//0,20 16//0,20 + 10//0,20 (eistente) = 13,98 cm2/m
13,98 cm2/m > 11,31 cm2/m
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I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 29 EXERCCIO 3
O
A
A armadura superior representada a ermelho tem que respeitar as seguintes condicionantes:
armadura de canto = maior armadura inferior = 11,31 2/
Amn(2,574 cm2/m)
Armadura a ermelho condicionante = 11,31 cm2/m 12//0,10
A
A armadura superior representada a erde tem que respeitar as seguintes condicionantes:
armadura de canto = 0,5 maior armadura inferior = 5,66 2/
armadura de continuidade = 15% de 10//0,10 = 1,18 cm2/m
Amn(2,574 cm2/m)
armadura de distribuio = 20% de 16//0,15 = 2,68 cm2/m
Armadura a erde condicionante = 5,66 cm2/m 10//0,125(6,28 cm2/m)
A
A armadura superior representada a aul escuro a armadura de distribuio da armadura principal demomentos negatios.
Armadura a aul escuro = 20% de 16//0,15 = 2,68 cm2/m 8//0,175 (2,87 cm2/m)
A
A armadura superior representada a amarelo a armadura de continuidade sobre o apoio simples e tem
que respeitar as seguintes condicionantes: armadura de continuidade = 15% de 10//0,10 = 1,18 cm2/m
Amn(2,574 2/)
Armadura a amarelo condicionante = 2,574 cm2/m 8//0,175(2,87 cm2/m)
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I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 30 EXERCCIO 3
A
A armadura superior representada a aul claro a armadura de continuidade sobre o apoio simples e temque respeitar as seguintes condicionantes:
armadura de continuidade = 15% de 12//0,10 = 1,70 cm2/m
Amn(2,574 2/)
Armadura a aul claro condicionante = 2,574 cm2/m 8//0,175(2,87 cm2/m)
A
A armadura superior representada a magenta a armadura de distribuio da armadura de continuidade.
Armadura a magenta = 20% de 8//0,175 = 0,57 cm2/m 6//0,25(1,13 cm2/m)
A )
DESENHO
O desenho das armaduras inferiores encontrase na pgina 31.
Largura das bandas superiores = 0,3 l= 0,3 7,20 = 2,16 m 2,20 m
Largura das bandas inferiores = 0,2 l= 0,2 7,20 = 1,44 m 1,40 m
Armaduras de canto inferiores = 0,3 l= 0,3 7,20 = 2,16 m 2,20 m
A
A amarrao das armaduras nos apoios deer ser feita de acordo com os esquemas seguintes.
Comprimento de sobreposio mnimo: l0,min m (0,45 lbd; 15; 20 cm)
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I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 31 EXERCCIO 3
7,20
1,40 1,40
2,20
2,20
2,20
PLANTA DE ARMADURAS INFERIORESEsc: 1/50
8,00
1,40
1,40
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ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 32 EXERCCIO 4
ARMADURAS DE PUNOAMENTO
0,15 m
0,10 m
0,30 m
04EXERCCIO PROPOSTO
No desenho est representada umaestrutura de beto armado que d apoio aum reseratrio de gua.
A estrutura de beto armado constitudapor um pilar circular com 0,30m dedimetro, onde apoia uma laje maciacom 0,25m de espessura (d=0,22m) e comdimenses em planta 3,40m 3,40m.
A laje apresenta uma armadura inferiorconstituda por uma malha quadrada de
#10//0,15 e uma armadura superiorconstituda por uma malha quadrada de
#16//0,15.
Outros dados:
O peso do reseratrio despreel.
Materiais: Beto C25/30 e ao S500.
) Considerando que a laje no tem armadura de punoamento, determine a mima altura de gua Hqueo reseratrio pode conter, compatel com a resistncia ao punoamento;
) Tendo somente em conta a erificao em relao mima resistncia ao punoamento na iinhanado pilar (E R,), determine a mima altura de gua H que pode ser guardada no reseratrio;
) Considere agora que na laje foi colocada a armadura de punoamento representada na figura abaio,constituda por 16 ramos de 8. Verifique se nestas condies o reseratrio pode ser cheio com mais1,0 m de altura de gua relatiamente altura obtida na alnea a).
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I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 33 EXERCCIO 4
04RESOLUO DO EXERCCIO
=
=
=
=
MPa435df
MPa500kfS500Ao
MPa16,7cdf
MPa25ckfC25/30Beto:Materiais
A ) L
u1= 2 (0,15 + 2 0,22) = 3,707 m
1/2ck3/21/3cklcRd, fk0,035)f(100k0,12=
22202001
d2001k =+=+= 1,9535
0,02lll
=
s
db
A
l =
s
db
A
l =
0,0222100
40,13
db
16//0,15
lll ===== 3106,09
1/23/21/33cRd, 251,95350,03525)106,09(1001,95350,12=
= cRd, 0,5810 MPa = 581,00 P 0,47781 MPa = 477,81 kPa
ED R,
kN412,02V581,000,223,707
V1,15 Ed
EdEd =
1,15interior)(pilar =
Peso olmico da gua 10 kN/m3
VEd= 1,35 3,40 3,40 0,25 25 + 1,50 3,40 3,40 H 10 412,02 kN
VEd= 97,54 + 173,40 H 412,02 kN H 1,81
A ) ED R,
0,54)250251(0,6kPa45091016,70,540,5f0,5 3cdmaRd, =====
du
V
1
EdEd =
)250ckf1(0,6f0,5 maRd, == cd
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
37/86
I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 34 EXERCCIO 4
ED R,M
kN812,99VkPa45090,220,9425
V1,15
du
V
EdmaRd,Ed
0
Ed
Ed ===
m0,94250,152r2u0 ===
VEd= 97,54 + 173,40 H 812,99 kN H 4,13 N/2
A )
H = 1,81 + 1 = 2,81 mVEd= 97,54 + 173,40 H = 97,54 + 173,40 2,81 = 584,794 kN
d = 0,22 m
u1= 3,707 m
1,15interior)(pilarkPa824,620,223,707
584,7941,15
du
V
1
EdEd ====
sendu
1fAsd1,50,75
1efd,s
rcRd,csRd,
+=
Rd,c= 581,00 kPa
d = 0,22 m
u1= 3,707 m
sr= 0,15 m
MPa435fMPa3052200,25250f defd, ==+=
As= 8 8 = 4,02 cm2
= 90 sen = 1
P766,500,223,707
110305104,020,150,22
1,5581,000,75 34csRd, =
+=
ED= 824,62 P R,= 766,50 P O reseratrio pode ser cheio com uma altura
de gua H=2,81 m
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
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I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 35 EXERCCIO 5
6 m
5,5 m
5,5 m
6 m
PLANTA
0,10 m
0,15 m
0,15 m
ARMADURA DE PUNOAMENTO
0,50 m
0,25
05EXERCCIO PROPOSTO
No desenho est representado um ecerto de uma planta de um piso de um edifcio em que os pilaresesto dispostos segundo eios que distam entre si 6,0 m numa direco e 5,5 m na outra.
A laje que constitui o piso fungiforme de beto armado com 0,24 m de espessura (d=0,21m) e estrealiada com beto C25/30 e ao S500.
Na ona dos pilares, a laje apresenta uma armadura inferior constituda por uma malha quadrada de
#16//0,15 e uma armadura superior constituda por uma malha quadrada de #(20//0,30+16//0,30)
(ares alternados). A laje possui uma armadura de punoamento constituda por 38 ramos de 8,conforme representado no desenho.
Para alm do peso prprio, a carga permanente correspondente aos reestimentos e paredes diisriasque actuam na laje 3 kN/m2(alor caracterstico).
) Determine qual o alor caracterstico mimo da sobrecarga (kN/m2) que poder actuar na laje,compatel com a erificao do punoamento pelo EC2;
) Verifique se quando actua a sobrecarga calculada na alnea anterior no ultrapassado o alor declculo da resistncia mima ao punoamento da laje;
) Verifique se a armadura de punoamento representada cumpre a quantidade mnima regulamentar;
) Considerando que na laje esto a actuar as cargas permanentes e a sobrecarga calculada na alnea a),erifique se a armadura de punoamento representada cumpre todas as disposies regulamentaresrelatias colocao de armaduras de punoamento.
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I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 36 EXERCCIO 5
05RESOLUO DO EXERCCIO
A )
sendu
1fAsd1,50,75
1efd,s
rcRd,csRd,
+=
d = 0,21 m
1u = 2 0,25 + 2 0,50 +2 (2 0,21) = 4,1389 m
rs = 0,15 m
efd,f = 250 + 0,25 d = 250 + 0,25 210 = 302,5 MPa df = 435 MPa
menors,A = 10 8 = 5,03 cm2
= 90 (armadura de punoamento ertical) sen = 1
1/2ck
3/21/3cklcRd, fk0,035)f(100k0,12=
22102001
d2001k =+=+= 1,9759
0,02lll
=
s
l db
A =
sl db
A =
0,0221100
17,174
db16//0,3020//0,30
lll
==+
=== 3108,178
1/23/21/33cRd, 251,97590,03525)108,178(1001,97590,12=
= cRd, 0,64835 MPa = 648,35 P 0,48606 MPa = 486,06 kPa
sendu
1fAs
d1,50,75 1efd,srcRd,csRd,
+=
P853,890,214,1389
110302,5105,030,150,21
1,5,356480,75 34csRd, =
+=
=
=
=
=
MPa435f
MPa500fS500Ao
MPa16,7f
MPa25fC25/30Beto:Materiais
d
k
cd
ck
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I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 37 EXERCCIO 5
C
VEd= 5,5 6 [1,5 q + 1,35 (0,24 25 + 3)] = 49,5 q + 400,95 kN
(q sobrecarga)
V
ED R,
1,15interior)(pilarkPa853,890,214,1389
V1,15
duV
EdEdEd ===
VEd 645,37 kN
VEd= 49,5 q + 400,95 645,37 4,94 N/2
A )
0,54)25025(10,6)
250ckf1(0,6f0,5 maRd, ==== cd
kPa45091016,70,540,5 3maRd, ==
m1,50,5020,252ukPa45090,211,5
645,371,15
du
V 0maRd,
0
EdEd =+====
kPa4509kPa2356,1 maRd,Ed ==
A )
k
cktrmns,
k
ck
trmns, f
f
.1,5
s..s0,08Af
f.0,08
s.s
1,5
A (armadura de punoamento ertical)
m0,15s r =
m0,314221
20,40
ssmaior mt,t ===
50025
1,5
0,31420,150,08A mns,
24
mns, m100,251A
8 22s cm0,251cm0,5A >=
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I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 38 EXERCCIO 5
A )
m5,451
0,21648,35
645,371,15
d
EdVucRd,
out ===
outu = 0,25 2 + 0,50 2 + 2 r = 5,451 r = 0,6288 m
Primeiro estribo: distncia face do pilar = 0,10 m
=
m0,105d0,5m0,10
m0,063d0,3m0,10
ltimo estribo: distncia face do pilar = 0,40 m > 0,3138 m
Espaamento radial: rs = 0,15 m 0,75 d = 0,1575 m
Espaamento transersal: mt,s = 0,3142 m 1,5 d = 0,315 m
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
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I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 39 EXERCCIO 6
L
5 m
5 m
L
PLANTA
06EXERCCIO PROPOSTO
No desenho est representado um ecerto de uma planta de um piso de um edifcio em que os pilares, de
seco circular com 0,30 m de dimetro, esto dispostos segundo uma malha ortogonal de eios.
A laje que constitui o piso fungiforme, macia de beto armado, com 0,27 m de espessura (d=0,23m) e
est realiada com beto C25/30 e ao S500.
Na ona dos pilares, a laje apresenta uma armadura inferior constituda por uma malha quadrada de
#20//0,15 e uma armadura superior constituda por uma malha quadrada de #16//0,15
Os alores caractersticos das aces que actuam na laje, para alm do seu peso prprio, so os seguintes:
reestimentos 1,00 kN/m2
paredes diisrias 2,25 kN/m2
sobrecarga 3,00 kN/ m2
) Considerando que a laje no possui armadura de punoamento, determine qual o maior alor do o Lcompatel com a erificao do estado limite ltimo de rotura por punoamento;
) Determine o maior alor do o Lque a laje pode apresentar compatel com a erificao da mimaresistncia ao punoamento (E R,);
) Se o o Ladoptado for o correspondente ao alor mdio dos os encontrados nas alneas anteriores,determine a armadura de punoamento a colocar em cada permetro (As/sr).
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ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 40 EXERCCIO 6
06RESOLUO DO EXERCCIO
=
=
=
=
MPa435f
MPa500fS500Ao
MPa16,7f
MPa25fC25/30Beto:Materiais
d
k
cd
ck
A ) L
u1= 2 (0,15 + 2 0,23) = 3,83274 m
1/2
ck
3/21/3
cklcRd, fk0,035)f(100k0,12=
22302001
d2001k =+=+= 1,9325
0,02lll
=
s
l db
A =
sl db
A =
0,0223100
13,404
db
16//0,15
lll ===== 3105,828
1/23/21/33cRd, 251,93250,03525)105,828(1001,93250,12=
cRd, = 0,56640 MPa = 566,40 P 0,47013 MPa = 470,13 kPa
ED R,
kN434,17V566,400,233,83274
V1,15 Ed
EdEd =
1,15interior)(pilar =
Carga a actuar na laje: pEd= (0,27 25 + 1,00 + 2,25) 1,35 + 3 1,5 = 18 kN/m2
VEd= pEd 5 L = 18 5 L 434,17 kN L 4,82
A ) ED R,M
cdf0,5 maRd, = = 0,5 0,54 16,7 103= 4509 kPa 0,54)
250251(0,6 ==
du
V
1
EdEd =
)250ckf
1(0,6f0,5 maRd, == cd
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
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I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 41 EXERCCIO 6
ED R,M
kN849,95VkPa45090,230,9425
V1,15
du
V
EdmaRd,Ed
0
Ed
Ed ===
m0,94250,152r2u0 ===
VEd= pEd 5 L = 18 5 L 849,95 kN L 9,44
A ) vED vRd,cs
Lmd
= (4,82 + 9,44) / 2 = 7,13 m
VEd= pEd 5 Lmd= 18 5 7,13 = 641,70 kN
0,233,83274641,701,15
du
V
1
EdEd P837,14===
sendu
1fAsd1,50,75
1efd,s
rcRd,csRd,
+=
cRd, = 566,40 kPa
d = 0,23 m
u1= 3,83274 m
efd,f = 250 + 0,25 d = 250 + 0,25 230 = 307,5 MPa df = 435 MPa
= 90 sen = 1
0,233,83274
110307,5
rs
sA0,231,540,5660,75 3csRd,
+=
ED R,
+
0,233,83274110307,5
s
A0,231,5566,400,75837,14 3
r
s
/mm3103,43s
A 2
r
s
/mcm34,3s
A 2
r
s
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
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I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 42 EXERCCIO 7
07EXERCCIO PROPOSTO
Considere a estrutura de beto armado representada na figura, com dois pilares iguais de dimenses0,30m0,50m.
A estrutura de em ambas as direces e nela esto a actuar as foras F1, F2 e F3 cujos aloresde clculo so os seguintes:
F1,Ed= 1400 kN
F2,Ed= 60 kN
F3,Ed= 30 kN
Considere a seguinte informao adicional:
-Na direco do prtico (dir. ), os pilaresencontramse sujeitos aco dos momentosflectores que esto representados na figura aolado.
-As fundaes so de grandes dimenses,conferindo aos pilares encastramento perfeito;
-O peso prprio do prtico despreel;
-Os materiais a utiliar sero o beto C25/30 e oao S400.
) Determine a esbeltea do pilar em cada uma das direces.
) Determine as ecentricidades adicionais a considerar no dimensionamento do pilar.
) Obtenha os esforos de dimensionamento a considerar na erificao da segurana ao estado limiteltimo de encuradura, localiando as respectias seces crticas.
) Calcule a armadura corrente do pilar e representea numa seco transersal. Justifiqueconenientemente todas as opes tomadas.
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
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I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 43 EXERCCIO 7
07RESOLUO DO EXERCCIO
A )
D Pilar
=
=
m0,30h
m0,50b
Fundao: encastramento perfeito 1= 0
0,6328
621
0,400,50
4210,300,50
3
3
2 ==
=+=+=
=+=++=
2,000,32,00,32,0ntecondiciona1,094920,63280,151)(0,151,0
demenormin
21
l0= l = 1,09492 4 = 4,38 m
= 50,57120,30
4,38
12h
l
i
l 00
===
Condies para dispensa da erificao do E. L. U. Encuradura ( )
1,050,303,5h3,50,0171490
25N
M
3550,57
h3,5
35
Ed
Ed
EdNEdM
===
calcular as ecentricidades adicionais: = + 2
D Pilar
== m0,50h m0,30b
l0= 2 l = 2 4 = 8 m
= 55,43120,50
8
12
h
l
i
l 00 === > 35 calcular as ecentricidades adicionais
Condies para dispensa da erificao do E. L. U. Encuradura ( )
1,750,503,5h3,50,0401490
60
EdN
EdM
3555,43
h3,5
N
M
35
Ed
Ed
===
calcular as ecentricidades adicionais: = + 2
MEd= 30 1 + 60 0,50 = 60 kNm (er )
=
=
=
=
MPa348f
MPa400fS400Ao
MPa16,7f
MPa25fC25/30Beto:Materiais
d
k
cd
ck
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
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I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 44 EXERCCIO 7
A )
D : = + 2
m0,02em0,01463004,38
e aa ===
Ecentricidade de 2 ordem: 1N
Acf0,410
h5
r1
10
l
r1e
Ed
cd32
02 ===
67248,01490
0,500,301016,70,41
N
Acf0,4
3
Ed
cd ===
0,67248100,30
5r110
h5
r1 33 ==
m0,0215e10
4,380,6724810
0,305
10
l
r1e 2
23
20
2 ===
= + 2= 0,02 + 0,0215 = 0,0415
D : = + 2
m0,00267ae3008ae ==
Ecentricidade de 2 ordem: 1N
Acf0,410
h5
r1
10
l
r1e
Ed
cd32
02Y ===
67248,01N
Acf0,4Edcd ==
0,67248100,50
5r110
h5
r1 33 ==
m0,0430e1080,6724810
0,505
10
l
r1e 2
232
02 ===
= + 2= 0,0267 + 0,0430 = 0,0697
Ecentricidade acidental: cm2300
le 0a =
Ecentricidade acidental: cm2300
le 0a =
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
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I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 45 EXERCCIO 7
A )
E ( )
M,E M,E
D Y D
M,Ed= 30 1 + 60 0,50 = 60 kNm
Estrutura de ns meis nas duas direces seces crticas nas etremidades dos pilares
E
Menc,= NEd e= 1490 0,0697 = 103,85 kNm
Menc,= NEd e= 1490 0,0415 = 61,84 kNm
Etremidade superior
kNm76,8461,8415M15M
kNm163,85103,8560M60MkN1490N
enc,Ed,
enc,Ed,
Ed
=+=+=
=+=+=
=
Etremidade inferior kNm86,8461,8425M25M kNm163,85103,8560M60M
kN1490N
enc,Ed,enc,Ed,
Ed
=+=+= =+=+=
=
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
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I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 46 EXERCCIO 7
A )
Esforos condicionantes (et. inferior): kNm86,84M kNm163,85M
kN1490N
Ed,Ed,
Ed
==
=
baco 5 Fleo desiada;Armadura igual em todas as faces;C12C50; S500
0,59481016,70,500,30
1490fhb
N
3cd
Ed =
==
0,13081016,70,500,30
163,85
fhb
M
32cd
2Ed,
=
==
0,11561016,70,300,50
86,84
fbh
M
32cd
2
Ed, =
==
0,40,6
0,12;0,13 21 =
=
====>
=
==
==
2ms,
2mns,2
d
cdtots,
cm60A
cm4,28Acm,7928
3487,1650,030,04,0
f
f.h.b.A
A
2
23d
Ed
cm3,000,500,300,002Ac0,002
ntecondicionacm4,2834810
14900,10
f
N0,10
==
==mns,A
A cm600,500,300,04Ac0,04A 2ms, ===
A
As,tot= 28,79 cm2 A= 425 + 420 (32,20 cm
2)
Os ares de 25 deero ser colocados nos cantos da seco transersal do pilar.
D
Dimetro das cintasntecondicionamm6,25250,25
41
mm6c
ml,
==
c 6,25 mm c = 8
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
50/86
I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 47 EXERCCIO 7
C
ntecondicionam0,30mm300ntecondicionam0,30pilardodimensomenora
m0,3750,02515mnl,15
sm
==
==
8//0,30
C 0,50
ntecondicionam0,18mm180
ntecondicionam0,18m0,300,6pilardim.menor0,6
m0,2250,0259mnl,9
sm
=
==
==
8//0,175
D
A = 425 + 420 (os 25 esto colocados nos cantos)
8//0,30 na seco corrente
8//0,175 em seces localiadas numa distncia de 0,50 mabaio da iga superior e acima da fundao
O
A= 420+816 (28,65 cm2) As,tot= 28,79 cm
2
(ares 20 nos cantos)
6//0,24 na seco corrente
6//0,14 em seces localiadas numa distncia de 0,50 mabaio da iga superior e acima da fundao
O espaamento entre as armaduras longitudinais inferior a 30 cm.
No so necessrias mais cintas porque todos os ares esto cintados ou a menos de 15 cm de aro que est cintado.
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
51/86
I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 48 EXERCCIO 8
P2
V(0.20X0.35)
V(0.20X0.60)V(0.20X0.35)
V(0.25X0.35)
V(0.2
0X0.4
0)
V(0.2
0X0.4
0)
V(0.2
0X0.4
0)
3 m 6 m
4 m
4 m
Planta estrutural dos Pisos Inferiores
V(0.20X0.60)
V(0.2
0X0.4
0)
V(0.25X0.60)
08EXERCCIO PROPOSTO
A figura representa a planta estrutural dos pisosinferiores de um edifcio de beto armado comrios andares. Esto tambm representados o Ae o Bassinalados nas plantas.
A estrutura de ns fios numa direco e nsmeis na outra.
Na direco de ns fios o comprimentode encuradura dos pilares igual a 90%do seu comprimento efectio (l0=0,9 l).
Pretendese calcular o tramo do pilar P2entre aFundao e o Piso 1 que se encontra sujeito aco dos momentos flectores referidos nosesquemas dos prticos e a um esforo aial de
clculo (NEd) de 1350 kN.
Outros dados:
Materiais: beto C25/30 e ao S500.
Admita que as fundaes conferem aos pilaresum encastramento parcial.
O peso prprio do pilar despreel.
) Sem realiar clculos, justifique que a direco em que a estrutura de ns fios a do P B.
) Determine a esbeltea do pilar P2entre a Fundao e o Piso 1 em cada uma das direces.
) Determine as ecentricidades adicionais a considerar no dimensionamento do tramo do pilar P2 emestudo.
) Obtenha os esforos de dimensionamento a considerar na erificao da segurana ao estado limiteltimo de encuradura, localiando as respectias seces crticas.
) Calcule a armadura do pilar e representea numa seco transersal. Justifique conenientemente todasas opes tomadas.
Dimenses depilares e paredes
P1 0,20m 4,225m
P1 0,20m 0,50m
P2 0,40m 0,25m
MEd= 10 kNm
MEd= 15 kNm MEd=+ 40 kNm
MEd= 25 kNm
-
3 m 6 m
5 m
3,5 m
4 m 4 m
Piso 2
Piso 1
Fundao
Prtico A Prtico B
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
52/86
I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 49 EXERCCIO 8
08RESOLUO DO EXERCCIO
A )
B)(Portico
A)(PrticoEstrutura
D.
D.
Todas as paredes e pilares (ecepto o pilar P2) apresentam a sua maior inrcia para deslocamentos nadireco do Prtico B. Logo a direco de ns fios a direco do Prtico B, ou seja, a direco .
A )
D P A N m0,40h
m0,25bP2Pilar
=
=
N inferior (encastramento parcial): = 1
0,6181
621
0,600,25
3210,350,25
)3,51
51(
210,400,25
:superiorN
33
3
=
+
+=
=+=+=
=+=++=
2,18540,61810,32,00,32,0
ntecondiciona1,61810,151)21(0,151,0demenor
min
1,2427
l0= l = 1,2427 5 = 6,21 m
= 78,53120,40
6,21
12
h
l
i
l 00 ===
Condies para dispensa da erificao do E. L. U. Encuradura ( )
1,40,403,5h3,50,0111350
15N
M
3553,78
0)7(h3,5
N
M
35
Ed
Ed
Ed
Ed
===
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
53/86
I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 50 EXERCCIO 8
D P B N m0,25h
m0,40bP2Pilar
=
=
l0= 0,9 l = 0,9 5 = 4,5 m
= 35,62120,25
4,5
12hl
il 00 ===
Condies para dispensa da erificao do E. L. U. Encuradura ( )
===
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54/86
I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 51 EXERCCIO 8
4948,01N
Acf0,4
Ed
cd ==
0,494810
0,25
5
r
110
h
5
r
1 33 ==
m0,02004e10
4,50,494810
0,255
10
l
r1e 2
23
20
2 ===
= + 2= 0,02 + 0,02004 = 0,040
A )
S
Direco Ns meis seces crticas nas etremidades do pilar
Direco Ns fios seco crtica a seco intermdia
M
kNm16MkNm16400,4M
kNm14250,4400,6MM sd,
sd,
sd, =
==
==
kNm13MkNm6150,4M
kNm13100,4150,6MM sd,
sd,
sd, =
==
=+=
E
Menc,= NEd e= 1350 0,0400 = 54,00 kNm
Menc,= NEd e= 1350 0,0446 = 60,21 kNm
Etremidade superior
kN70,2160,2110M10M
kNm25M
kN1350N
enc,Ed,
Ed,
Ed
=+=+=
=
=
Seco intermdia kNm13M
kN7054,0016M16M
kN1350N
Ed,
enc,Ed,
Ed
==+=+=
=
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
55/86
I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 52 EXERCCIO 8
Etremidade inferior
kN75,2121,6051M15M
kNm40M
kN1350N
enc,Ed,
Ed,
Ed
=+=+=
=
=
Os esforos na etremidade inferior so mais graosos que os da etremidade superior.
A )
baco 5 Fleo desiada;Armadura igual em todas as faces;C12C50; S500
S
Esforos na seco intermdia:
kNm13M
kNm70M
kN1350N
Ed,
Ed,
Ed
=
=
=
0,8081016,70,400,25
1350
fhb
N
3cd
Ed
===
0,1681016,70,250,40
70fhb
M
32cd
2Ed,
=
==
0,0191016,70,400,25
13fbh
M
32cd
2
Ed, =
==
0,450,8
0,02;0,17 21 =
=====>
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
56/86
I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 53 EXERCCIO 8
S
Esforos na seco inferior:
kNm75,21Ed,M
kNm40Ed,M
kN1350EdN
=
=
=
0,8081016,70,400,25
1350fhb
N
3cd
Ed =
==
0,0961016,70,250,40
40fhb
M
32cd
2Ed,
=
==
0,1131016,70,400,25
75,21
fbh
M
32cd
2
Ed, =
==
0,350,8
0,10;0,11 21=
=
====>
C
0,45:ntecondicionasituao0,35inferiorSeco
0,45intermdiaSeco=
=
=
=
==
==
2ms,
2mns,2
d
cdtots,
cm40A
cm3,10Acm28,17
4357,1640,025,045,0
f
f.h.b.A
2tots, cm28,17A = A= 420 + 416 (20,61 cm
2)
A
2
23d
Ed
cm2,000,400,250,002Ac0,002
ntecondicionacm3,1010435
13500,10f
N0,10
A
==
==mns,
A
cm400,400,250,04Ac0,04A 2ms, ===
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
57/86
I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 54 EXERCCIO 8
D
Dimetro das cintas 6cml,
c mm5200,25
41
ntecondicionamm6
=
==
C
m0,30mm300
m0,25pilardodimensomenora
ntecondicionam0,240,0161515
s
mnl,
m
=
=
==
6//0,24
C 0,40
=
==
==
m18,0mm180
m15,0m25,06,0. pilardim menor6,0
antecondicionm14,0016,099
s
l,mn
m 6//0,14
D
A = 420 + 416 (ares 20 nos cantos)
6//0,24 na seco corrente
6//0,14 em seces localiadas numa distnciade 0,40 m abaio da iga superior eacima da fundao
O espaamento entre as armaduras longitudinais inferior a 30 cm.
Todos os ares esto cintados ou a menos de 15 cm de um aro que est cintado.
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I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 55 EXERCCIO 9
09EXERCCIO PROPOSTO
Considere o pilar pertencente a um prtico isolado de beto armado de dimenses 0,45m 0,60m e com3,70m de altura, onde esto a actuar simultaneamente as cargas que seguidamente se discriminam.
Aco permanente: Fora F1= 2200 kN (alor caracterstico)
Fora F2= 300 kN (alor caracterstico)
Aco do ento: Carga uniforme = 10 kN/m (alor caracterstico)
Tenha em conta a seguinte informao adicional:
Considere que na direco o comprimentode encuradura do pilar 20% superior aoseu comprimento efectio (l0= 1,20 l);
A fundao do pilar garante encastramentoperfeito;
O peso prprio da estrutura despreel;
Os materiais a utiliar sero o beto C25/30 eo ao S500.
) Esboce os grficos de momentos iniciais (antes do estudo da encuradura) que esto a actuar no pilarem cada uma das direces;
) Determine a esbeltea do pilar em cada uma das direces;
) Determine as ecentricidades adicionais a considerar no dimensionamento do pilar;
) Obtenha os esforos de dimensionamento a considerar na erificao da segurana ao estado limiteltimo de encuradura, localiando as respectias seces crticas;
) Calcule a armadura corrente do pilar e representea numa seco transersal. Justifiqueconenientemente todas as opes tomadas.
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
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I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 56 EXERCCIO 9
09RESOLUO DO EXERCCIO
A )
NEd= (2200 + 300) 1,35 = 3375 kN
Topo: MEd,inicial= 300 (0,25 + 0,30) 1,35 = 222,75 kNm
Base: MEd,inicial= 222,75 + 10 3,70 1,85 1,50 = 325,425 kNm
MEd,inicial= 0 ( no eistem momentos iniciais)
A )
D Pilar
=
=
m0,45h
m0,60b
Como l0> l Estrutura de ns meis
l0= 1,2 l = 1,2 3,70 = 4,44 m
= 34,18120,45
4,44
12h
l
i
l 00 ===
=
=
=
=
MPa435f
MPa500fS500Ao
MPa16,7f
MPa25fC25/30Beto:Materiais
d
k
cd
ck
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
60/86
I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 57 EXERCCIO 9
Condies para dispensa da erificao do E. L. U. Encuradura ( )(basta erificar condio para que seja dispensada a erificao do E.L.U. Encuradura)
h3,5NM
aEncuradurE.L.U.dooerificaadispensa3534,18
h3,5NM
35
EdEd
EdEd
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
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I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 58 EXERCCIO 9
A )
Estrutura de ns meis nas duas direces Seces crticas: etremidades do pilar
E
Menc,= NEd e= 3375 0,049 = 165,375 kNm
Etremidade superior
kNm0,0M
kNm388,125165,375222,75M222,75M
kN3375N
Ed,
enc,Ed,
Ed
=
=+=+=
=
Etremidade inferior
kNm0,0M
kNm490,8165,375325,425M325,425M
kN3375N
Ed,
enc,Ed,
Ed
=
=+=+=
=
A )
Esforos condicionantes (et. inferior):
kNm0,0M
kNm490,8M
kN3375N
Ed,
Ed,
Ed
=
=
=
32)(pg.3Tabelaou67)(pg.1baco
A'A
S500C50;C12
compostaFleo
=
0,74851016,70,600,45
3375fhb
N
3cd
Ed =
==
0,18141016,70,600,45
490,8
fhb
M
32cd
2Ed,
=
==
0,300,1814
0,7485
=
=
=
==== 2ms,
2mns,2
d
cds
cm108Acm7,76Acm31,10
43516,70,600,450,30
ff.h.b.A
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
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I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 59 EXERCCIO 9
A
2
23d
Ed
cm5,400,600,450,002Ac0,002
ntecondicionacm7,7610435
33750,10f
N0,10
A
==
==mns,
A
cm1080,600,450,04Ac0,04A 2ms, ===
A
As= 31,10 cm2 A= 1020 (31,42 cm
2) A = A = 520
D
Dimetro das cintasntecondicionamm5,00200,25
41
mm6c
ml,
==
c 5,00 mm c = 6
C
ntecondicionam0,30mm300m0,45pilardodimensomenora
ntecondicionam0,300,0201515
s
mnl,
m
==
==
6//0,30
Todos os ares deero estar cintados ou a menos de 15 cm de aro que esteja cintado.
E
Na face com 0,60 m ai ser necessrio colocar um aro para cumprir a regra (no eplicitada no EC2) deafastamento mimo de 30 cm. Optouse por colocar um aro 10 em cada face, que ser consideradaarmadura construtia.
cm6,7m670,4 0,0250,00620,03520,45aresentrelireEspao ===
D
A= 1020 (+210 nas faces com 0,60 m)
6//0,30 na seco corrente
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
63/86
I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 60 EXERCCIO 10
10EXERCCIO PROPOSTO
A figura representa uma mquina que est centrada sobre um pilar de beto armado que descarrega numasapata tambm de beto armado.
A mquina um equipamento fio que pesa 550 kN (alor caracterstico).
Para alm das cargas permanentes, a estrutura est sujeita aco do ento sobre a maior face damquina conforme representado na figura.
Outros dados:
Aco do ento: k= 1,2 kN/m2(alor caracterstico).
Materiais a utiliar: beto C20/25 e ao S400.
) Considerando que o pilar est centrado na fundao, determine as aces de dimensionamento nocentro de graidade da face inferior da sapata;
) Calcule a tenso admissel do terreno de fundao compatel com as dimenses indicadas da sapata;
) Verifique a segurana em relao ao esforo transerso da sapata;
) Verifique a segurana em relao ao punoamento da sapata;
) Aplicando o mtodo das consolas, determine a armadura da sapata, escolha uma disposio de ares erepresentea num corte transersal deidamente cotado;
) Refaa a alnea anterior aplicando o mtodo das bielas.
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
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I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 61 EXERCCIO 10
10RESOLUO DO EXERCCIO
A )
C N,P W (alores caractersticos)
Peso da mquina = 550 kN
Peso prprio do pilar = 0,25 0,40 3,80 25 = 9,5 kN
Peso prprio da fundao = 1,65 1,20 0,50 25 = 24,75 kN
N= 550 + 9,5 = 559,5 kN
P= 24,75 kN
N+ P= 584,25kN
W= 4 1,80 1,5 = 8,64 kN
C M (alor caracterstico)
kNm44,9280,50)3,802
1,80(8,64 =++=M
A )
C
centralncleonoacesdasresultante0,2756
1,656B0,077
584,2544,928
PNMe ==
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
65/86
I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 62 EXERCCIO 10
0,70d0,26
d
A )
D ( )
C NENE= 1,35 (550 + 9,5) = 755,325 kN
C ME
kNm60,9123,8)2
1.80(8,641,50 =+=EM
C
centralncleonoacesdasresultante
0,27561,656B0,081755,32560,912NM
e EdEd
==
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
66/86
I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 63 EXERCCIO 10
a
D ( )
d= 0,44 m
a = 0,40 m
Como < no se fa a erificao ao corte nesta direco.
A )
V
ED R
du
V
redEd,Ed =
mdauEdEdEdredEd,AVVVV ==
NM
ebe
1,81 =+=
ad2fk0,035
ad2)f(100k0,12 1/2ck
3/21/3ckl =R
kPa381,482
269,61493,35
2
Ed2,Ed1,mdED, =
+=
+=
ua= 2 0,25 + 2 0,40 +2 a = 1,3 + 2 a
Aua
= 0,25 0,40 + 2 0,25 a + 2 0,40 a + a2= 0,10 + 1,3 a + a2
VEd= NEd= 755,325 kN
VEd,red= 755,325 VEd
b = 0,25 + 2 a
2a0,250,0806
1,81be1,810,0806
755,32560,912
NMe
++=+====
Como ainda no foi calculada a armadura da sapata, amos considerar:
kPaa
298,4MPaa
0,2984
a0,442201,67420,035
ad2fk0,035 1/23/21/2ck
3/2Rd
==
==
a
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
67/86
I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 64 EXERCCIO 10
(m)
ua
(m)
Aua
(m2)
VEd
(kN)
VEd,red
(kN)
b
(m)
du
V redEd,
Ed =
(kPa)
R
(kPa)
Ed
Rd
0,35 3,4991 0,9398 358,532 396,792 0,95 1,1528 297,10 852,57 2,87
0,30 3,1850 0,7727 294,786 460,539 0,85 1,1708 384,75 994,67 2,59
0,25 2,8708 0,6213 237,032 518,293 0,75 1,1935 489,73 1193,60 2,44
0,20 2,5566 0,4857 185,271 570,054 0,65 1,2233 619,92 1492,00 2,41
0,15 2,2425 0,3657 139,502 615,823 0,55 1,2639 788,85 1989,33 2,52
0,10 1,9283 0,2614 99,725 655,600 0,45 1,3226 1021,94 2984,00 2,92
ED R em todos os permetros de controlo.
A )
M A
NE = 755,325 kN
ME= 60,912 kNm
l = 0,70 + 0,15 0,25 = 0,7375 m
kPa393,345
kPa269,61
kPa493,35Ed
Ed2,
Ed1,=
=
=
kNm/m125,10
0,737532
20,7375393,345)(493,35
2
0,7375393,3450,7375MEd/m
=
=+=
0,050320,04861013,30,441
125,10
.fd.b
M
32cd
2Ed ==
==
=== )A(/mcm8,46348
13,30,440,05032f
f.b.A mn2
d
cd/m 12//0,125 (9,05 cm2/m)
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
68/86
I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 65 EXERCCIO 10
A
E : s = 2h 0,25 m s = 0,25 m
M A
kPa437,4154
269,61493,353
4 3 Ed2,Ed1,Ed3/4,
=+
=
=+=
l = 0,40 + 0,15 0,40 = 0,46 m
kNm/m46,282
0,460,46437,415M Ed/m ==
0,01800,01801013,30,441
46,28
.fd.b
M
32cd
2Ed ==
==
/mcm3,03348
13,30,440,0180
f
f.b.A/m 2
d
cd =
== Amn= 6,292 cm2/m
12//0,175(6,46 cm2/m)
D
/mcm5,720,440,0013.db0,0013
ntecondiciona/mcm6,2920,444002,2
0,26.dbf
f.0,26
A
2
2
k
ctm
mn
==
==
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
69/86
I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 66 EXERCCIO 10
A )
M A
d8)l(LN
F Maior//LMaioreqEd,Ed =
menorMaiorEd3/4,eqEd, L.L.N =
fF
Ad
Edtotals, =
menor
totals,s L
AA /m=
LMaior
Lmenor
Maior//Ll
d
maior dimenso da sapata
menor dimenso da sapata
dimenso do pilar paralela ao lado maior da sapata
altura til da sapata
kPa437,415Ed3/4, =
L.L menorMaiorEd3/4,eqEd, .N = = 437,415 1,65 1,20 = 866,08 kN
kN344,460,448
0,25)(1,65866,08d8
)l(LNF Maior//LMaioreqEd,Ed ===
)A(/mcm8,251,209,90
LA
Acm9,9010348
344,46fF
A mn2
menor
totals,s
23d
Edtotals, /m >======
As/m= 8,25 cm2/m 12//0,125 (9,05 cm2/m)
M A
d8)l(LN
F menor//LmenoreqEd,Ed =
menorMaiorEd3/4,eqEd, L.L.N =
fFA
d
Edtotals, =
Maior
totals,s L
AA /m=
LMaior
Lmenor
menor//Ll
d
maior dimenso da sapata
menor dimenso da sapata
dimenso do pilar paralela ao lado menor da sapata
altura til da sapata
eqEd,N = 866,08kN kN196,840,4480,40)(1,20866,08
d8)l(LN
F menor//LmenoreqEd,Ed ===
)A(/mcm3,431,655,66
LA
Acm5,6610348
196,84fF
A mn2
Maior
totals,s
23d
Edtotals, /m
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
70/86
I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 67 EXERCCIO 10
D
Como todas as armaduras so iguais s calculadas na alnea anterior, o desenho tambm o mesmo da
alnea anterior.
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
71/86
I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 68 EXERCCIO 11
11EXERCCIO PROPOSTO
Na figura anea est representada uma estrutura constituda por uma laje de beto armado com forma triangular emplanta e que se apoia num nico pilar. A laje d apoio a uma caia de armaenagem de cereais com a mesma formaem planta da laje e com 2,5 m de altura.
Outros dados:
O peso olmico dos cereais a armaenar de 18 kN/m3.
Materiais a utiliar: beto C16/20 e ao S400.
O peso da caia despreel.
A laje tem espessura 0,25 m.
) Calcule a tenso admissel do terreno de fundaocompatel com as dimenses indicadas da sapata;
) Verifique a segurana em relao ao esforotranserso da sapata;
) Verifique a segurana em relao ao punoamentoda sapata;
) Aplicando o mtodo das consolas, determine aarmadura da sapata paralela ao seu lado maior;
) Aplicando o mtodo das consolas, determine aarmadura da sapata paralela ao seu lado menor;
) Represente todas as armaduras da sapata numdesenho cotado;
) Refaa o clculo aplicando o mtodo das bielas.
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
72/86
I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 69 EXERCCIO 11
M
N+P
11RESOLUO DO EXERCCIO
A )
C N P
kN28,125250,252
3,003,00lajep.p. ==
p. p. pilar = 0,40 0,25 5,00 25 = 12,50 kN
p. p. fundao = 1,30 1,15 0,35 25 = 13,08 kN
kN202,50182,502
3,003,00cereaisdosPeso ==
N= 28,125 + 12,50 + 202,50 = 243,125 kN
P= 13,08 kN
N+ P= 256,205 kN
C M
Posio do centro de graidade do pilar = 0,55 m
b = 1,5 2 m
Posio do centro de graidade da laje: a =22
3b = m
c = 0,55 a = 0,55 22
= 0,1571 m
kNm36,230,1571230,625c202,50)(28,125 ==+=M
C
centralncleonoacesdasresultante0,21676
1,30
6L0,1414
256,20536,23
PN
Me ==
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
73/86
I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 70 EXERCCIO 11
0,45d0,16
d
A )
D ( )
C NENE= 1,35 (28,125 + 12,5) + 1,5 202,5 = 358,59 kN
C ME
kNm54,39
0,1571205,5)1,528,1251,35(
=
=+=EM
C
centralncleonoacesdasresultante
0,2176
1,30
6
L
0,1517358,59
54,39
N
M
e Ed
Ed
==>===
kPa407,771,301,15
54,396
1,301,15358,59
L.L
M6
L.L
N
2
2EdEd
Ed1,
=+=
=+=
kPa71,951,301,15
54,396
1,301,15358,59
L.L
M6
L.L
N
2
2
EdEd
Ed2,
==
==
d = h 6 cm = 0,29 m 0,60 d = 0,16 m
kPa366,44Ed =
V VE VR,
kN71,231,15)(0,162
407,77366,44reaV mdEd =+==
dbfk0,035db)f(100k0,12=V 1/2ck3/21/3cklcRd,
Como ainda no foi calculada a armadura da sapata, amos considerar:
dbfk0,035V 1/2ck3/2
cRd,
K = 1 +d
200 2,0 K = 1 +290200 = 1,830
kN115,582901150161,8300,035V 1/23/2cRd, =
VE= 71,23 N VR, 115,58 N
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
74/86
I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 71 EXERCCIO 11
d
D ( )
kPa407,77=Ed1,
kPa71,95=Ed2,
d = h 6 cm = 0,29 m
V VE VR,
kN49,891,30)(0,162
71,95407,77
reaV mdEd
=+
=
==
Como ainda no foi calculada a armadura da sapata,
amos considerar:
dbfk0,035V 1/2ck3/2
cRd,
K = 1,830
kN130,662901300161,8300,035V 1/23/2cRd, =
VE= 49,89 N VR, 130,66 N
A )
V
ED R
duV
redEd,=E
mdEd,auEdEdEdredEd,AVVVV ==
NMe
be1,81 =+=
ad2fk0,035
ad2)f(100k0,12 1/2ck
3/21/3ckl =R
Ed,md(tenso no centro de graidade de Aua) = 239,86 kPa
ua= 2 0,40 + 2 0,25 +2 a = 1,3 + 2 a
Aua= 0,40 0,25 + 2 0,40 a + 2 0,25 a + a2= 0,10 + 1,3 a + a2
VEd= NEd= 358,59 kN
VEd,red
= 358,59 VEd
b = 0,40 + 2 a
2a0,400,15171,81
be1,810,1517
358,5954,39
NM
eEd
Ed+
+=+====
a
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
75/86
I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 72 EXERCCIO 11
Como ainda no foi calculada a armadura da sapata, amos considerar:
kPaa
201MPaa
0,201a0,292161,8300,035
ad2fk0,035 1/23/21/2ck
3/2 ===R
(m)
ua
(m)
Aua
(m2)
VEd
(kN)
VEd,red
(kN)
b
(m)
du
redEd,V=Edv
(kPa)
R
(kPa)
Ed
Rd
v
v
0,40 3,8133 1,1227 269,280 89,310 1,20 1,2275 99,14 502,50 5,07
0,35 3,4991 0,9398 225,431 133,159 1,10 1,2482 163,79 574,29 3,51
0,30 3,1850 0,7727 185,350 173,240 1,00 1,2730 238,77 670,00 2,81
0,25 2,8708 0,6213 149,037 209,553 0,90 1,3034 328,06 804,00 2,45
0,20 2,5566 0,4857 116,491 242,099 0,80 1,3413 437,97 1005,00 2,30
0,15 2,2425 0,3657 87,713 270,877 0,70 1,3900 578,99 1340,00 2,31
0,10 1,9283 0,2614 62,703 295,887 0,60 1,4550 769,88 2010,00 2,61
ED R em todos os permetros de controlo.
A )
M A
l = 0,45 + 0,15 0,40 = 0,51 m
kPa276,025kPa71,95
kPa407,77 EdEd2,
Ed1, =
==
kNm/m47,320,5132
20,51276,025)(407,77
20,51276,0250,51MEd/m =
+=
0,05460,05261010,70,291
47,32
cd.fd.b
M
322Ed
====
=== )mnA(/mcm4,8734810,70,290,0546
ff.b.
A/m 2d
cd 12//0,225 (5,02 cm2/m)
0,40
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
76/86
I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 73 EXERCCIO 11
A
ntecondiciona/mcm3,770,290,0013b.d0,0013
/mcm3,580,29
400
1,90,26b.d
f
f.0,26
A2
2
k
ctm
mn
==
==
E : s = 2h 0,25 m s = 0,25 m
A )
M A
kPa323,8154
95,71407,773
43 Ed2,Ed1,Ed3/4,
=+
=
=+=
l = 0,45 + 0,15 0,25 = 0,635 m
kNm/m34,262
0,460,46,815323MEd/m ==
0,03811010,70,291
34,26cd.fd.b
M
322Ed =
==
0,03910,0381 ==
34810,70,290,0391
ff.b.
A/md
cd ==
/mcm3,77mnA/mcm3,49A/m 22 ==
A/m = 10//0,20 (3,93 cm2/m)
A )
0,25
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
77/86
I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 74 EXERCCIO 11
A )
M A
d8)l(LN
F Maior//LMaioreqEd,
Ed =
menorMaiorEd3/4,eqEd, L.L.N =
fF
Ad
Edtotals, =
menor
totals,s L
AA /m=
LMaior
Lmenor
Maior//Ll
d
maior dimenso da sapata
menor dimenso da sapata
dimenso do pilar paralela ao lado maior da sapata
altura til da sapata
kPa323,815 Ed3/4, =
menorL.MaiorEd3/4,eqEd, L.N = = 323,815 1,30 1,15 = 484,10 kN
kN187,800,298
0,40)(1,30484,10d8
)l(LNF Maior//LMaioreqEd,Ed ===
)A(/mcm4,701,155,40
LA
Acm5,4010348
187,80fF
A mn2
menor
totals,s
23d
Edtotals, /m >======
As/m= 4,70 cm2/m 12//0,225 (5,03 cm2/m)
M A
d8)l(LN
F menor//LmenoreqEd,
Ed =
menorMaiorEd3/4,eqEd, L.L.N =
fFA
d
Edtotals, =
Maior
totals,
s L
A
A /m=
LMaior
Lmenor
menor//Ll
d
maior dimenso da sapata
menor dimenso da sapata
dimenso do pilar paralela ao lado menor da sapata
altura til da sapata
eqEd,N = 323,815 kN kN125,620,2980,25)(1,15323,81508
d8)l(LN
F menor//LmenoreqEd,Ed ===
)A(/mcm2,781,303,61
LA
Acm3,6110348
125,62fF
A mn2
Maior
totals,s
23d
Edtotals, /m
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
78/86
I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 75 EXERCCIO 12
12EXERCCIO PROPOSTO
No desenho est representada uma estrutura de beto armado que d apoio a um reseratrio de gua.
A estrutura de beto armado constituda por uma sapata, um pilar e uma laje macia com 0,28 m deespessura.
Outros dados:
O peso do reseratrio despreel;
Os materiais a utiliar so o beto C20/25 e o ao S400.
) Considerando que a altura de gua no depsito no mimo 2,50 m, calcule a tenso admissel doterreno de fundao compatel com as dimenses indicadas da sapata;
) Verifique a segurana em relao ao esforo transerso da sapata;
) Verifique a segurana em relao ao punoamento da sapata;
) Aplicando o mtodo das consolas, determine as armaduras da sapata e representeas num desenhocotado.
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
79/86
I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 76 EXERCCIO 12
12RESOLUO DO EXERCCIO
A )
C N P
p. p. laje = 4,00 2,30 0,28 25 = 64,4 kN
p. p. pilar = 0,45 0,30 4,00 25 = 13,5 kN
p. p. fundao = 1,55 1,40 0,40 25 = 21,7 kN
Peso da gua 4,00 2,30 2,50 10 = 230,0 kN
N= 64,4 + 13,5 + 230,0 = 307,9 kN
P= 21,7 kN
N+ P= 329,6 kN
C M
( )
kNm73,60,25294,4
0,150,752
2,30230,0)(64,4
==
=
++=M
C
centralncleonoacesdasresultante0,2336
1,406L0,223
329,673,6
PNMe ==
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
80/86
I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 77 EXERCCIO 12
d0,21
0,55
d
A )
D ( )
C NENE= 1,35 (64,4 + 13,5) + 1,5 230,0 = 450,165 kN
C ME
( )
kNm107,9850,25431,94
0,150,752
2,30230,0)1,564,4(1,35M Ed
==
=
++=
C
centralncleodoforaacesdasresultante
0,2336
1,406L0,240
450,165107,985
NMeEd
Ed
==>===
6Le >
m1,380)450,165107,9852(1,401,5 ==
kPa420,911,3801,55
450,1652 Ed1, ==
d = h 6 cm = 0,34 m 0,55 d = 0,21 m
kPa388,88 CGEd, =
V VE VR,
kN126,581,55)(0,21388,88reaV mdEd ===
VRd,c = Rd,c rea,corte rea,corte = L . d
corterea,fk0,035corterea,)f(100k0,12=V 1/2ck3/21/3
cklcRd,
Como ainda no foi calculada a armadura da sapata, amos considerar:
corterea,fk0,035V 1/2ck3/2
cRd,
K = 1+ d
200 2,0 K = 1+
340200
= 1,767
kN193,753401550201,7670,035V 1/23/2cRd, =
VE= 126,58 N VR, 193,75 N
)NM
2(L1,5.L
N2
Ed
EdEd1 ==
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
81/86
I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 78 EXERCCIO 12
D ( )
NE= 450,165 kN
kNm107,985=EM m1,38=
kPa420,91=E1,
d = h 6 cm = 0,34 m
V
VE VR,
kN68,251,38)(0,2352
0420,91
reaV mdEd
=
+
=
==
Como ainda no foi calculada a armadura da sapata,amos considerar:
d.LXcorterea,corterea,fk0,035V 1/2ck3/2
cRd, =
K = 1,767
kN175,003401400201,7670,035V 1/23/2cRd, =
VE= 68,25 N VR, 175,00 N
A )
V
ED R
duV
redEd,=E
mdEd,auEdEdEdredEd, AVVVV ==
NMe
be1,81 =+=
ad2fk0,035
ad2)f(100k0,12 1/2ck
3/21/3ckl =R
Ed,md(tenso no centro de graidade de Aua) = 207,405 kPa
ua= 2 0,30 + 2 0,40 +2 a = 1,4 + 2 a
Aua= 0,30 0,40 + 2 0,30 a + 2 0,40 a + a2= 0,12 + 1,4 a + a2
VEd= NEd= 450,165 kN
VEd,red= 450,165 VEd
a
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
82/86
I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 79 EXERCCIO 12
b = 0,30 + 2 a
2a0,300,2401,81
be1,810,240
450,165107,985
NM
eEd
Ed+
+=+====
Como ainda no foi calculada a armadura da sapata, amos considerar:
kPaa
250MPaa
0,25a0,342201,7670,035
ad2fk0,035 1/23/21/2ck
3/2Rd ===
(m)
ua
(m)
Aua
(m2)
VEd
(kN)
VEd,red
(kN)
b
(m)
du
redEd,V=Edv
(kPa)
R
(kPa)
Ed
Rd
v
v
0,50 4,5416 1,6054 332,968 117,197 1,30 1,3323 101,12 500,00 4,94
0,45 4,2274 1,3862 287,505 162,660 1,20 1,3600 153,91 555,55 3,61
0,40 3,9133 1,1827 245,298 204,867 1,10 1,3927 214,44 625,00 2,91
d=0,34 3,5363 0,9592 198,943 251,222 0,98 1,4408 301,05 735,29 2,44
0,30 3,2850 0,8227 170,632 279,533 0,90 1,4800 370,41 833,33 2,25
0,25 2,9708 0,6663 138,194 311,971 0,80 1,5400 475,64 1000,00 2,10
0,20 2,6566 0,5257 109,033 341,132 0,70 1,6171 610,74 1250,00 2,05
0,15 2,3425 0,4007 83,107 367,058 0,60 1,7200 792,69 1666,67 2,10
ED R em todos os permetros de controlo.
A )
M A
NE= 450,165 kN
ME= 107,985 kNm
l = 0,55 + 0,15 0,30 = 0,595 m
kPa,91420 Ed1, =
kPa,43239Ed=
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
83/86
I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 80 EXERCCIO 12
kNm/m63,800,59532
20,595239,43)(420,91
20,595239,430,595MEd/m =+=
0,04250,04151013,30,341
63,80
.fd.b
M
32cd2
Ed
=
===
=== )mnA(/mcm5,5234813,30,340,0425
ff.b.
A/m 2d
cd 12//0,20 (5,65 cm2/m)
A
/mcm4,420,340,0013b.d0,0013
ntecondiciona/mcm4,8620,344002,20,26b.d
ff
.0,26A
2
2
k
ctm
mn
==
==
E : s = 2h 0,25 m s = 0,25 m
M A
kPa315,68420,9143
43 Ed1,Ed3/4, ===
l = 0,575 + 0,15 0,40 = 0,635 m
kNm/m63,65
2
0,6350,635,68315M /mEd ==
0,04141013,30,341
63,65
cd.fd.b
EdM322
=
==
0,04240,0414 ==
34813,340,04240,3
dfcdf.b.A/m ==
= )Amn(/m2cm5,51A/m 12//0,20 (5,65 cm2/m)
D
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
84/86
I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 81 EXEMPLOS
DESENHOS EXEMPLIFICATIVOS DE PROJECTO DE ESTABILIDADE
QUADRO DE PILARES ................... pg. 82
QUADRO DE SAPATAS .................. pg. 83
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
85/86
I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
erso 0 82 EXEMPLOS
Cobertura
QUAD
ROD
EPILARES
P1
P2
Piso1
Piso2
Piso3
P5
P6
P8
cintas6//0.225
1016
cintas6//0.20
816
cintas6//0.20
616
cintas8//0.30
425+620
cintas6//0.30
820
cinta
s6//0.20
8
20+816
cinta
s6//0.20
620+416
Fundao
P4
cintas6//0.30
420
cinta
s6//0.20
616
P3
cintas6//0.175
1012
cintas6//0.175
612
cintas8//0.3
0
1425+1420
cintas6//0.3
0
1620
cintas6//0.2
25
1616
cintas6//0.225
620+616
cintas6//0.20
816
P7
cintas6//0.24
620+616
cintas6//0.175
812
1020
cintas6//0.30
1016
cintas6//0.225
616
cintas6//0.225
416
cintas6//0.225
N:Ascintasdeeroserreforadasn
asonasjuntodasetremidadesdecadatramodopilar,numaetensocorrespo
ndentesuamaiordimensotransersal.
Nestasonasascintasdeeroap
resentarum
espaamentode60%doind
icadonoQuadroparaasonascorrentes.
7/25/2019 Ebet2 Exer Resolvidos
86/86
I
ESTRUTURAS DE BETO 2 ISABEL ALVIM TELES
A A
2.20 1.20 0.40 12//0.125 10//0.2510//0.2512//0.12554.95
1.90 1.20 54.95
54.95
0.251.80 1.80
1.00 1.00
1.50 1.50
2.40 1.35
1.20 1.20
0.40
0.50
0.40
0.40
0.40
0.40
0.200.20
0.30
12//0.1516//0.15
12//0.15 10//0.3010//0.3012//0.15
16//0.15 10//0.1510//0.1516//0.15
12//0.125 10//0.2510//0.2512//0.125
12//0.125 10//0.2510//0.2512//0.125
0.30
Quando no cotado na planta de fundaes, o centro de gravidade das sapatas coincide com o centro de gravidade dos pilares
SAPATAS ISOLADAS
0.25
estribos
a
pav. trreo
0.300.60 10//0.3010//0.30
12//0.12512//0.125 10//0.2510//0.25
SAPATAS ISOLADAS * QUADRO RESUMO
54.95
54.95
Lx
Ly
a
b