Econometria
1. Propriedades assintóticas dos estimadores MQO
2. Inferência para grandes amostras
3. Teste de Wald e LM
Econometria
1. Multicolinearidade
2. Testes de hipóteses no modelo de regressão linear
Propriedades assintóticas dos estimadores MQO
Propriedades assintóticas
O número de resultados estatísticos exatos, tais como o valor esperado ou a distribuição verdadeira, em muitos modelos é baixo.
Usualmente, utilizamos resultados aproximados com base no que se sabe do comportamento de determinadas estatísticas de grandes amostras.
Convergência
Definições, tipos de convergência quando n cresce:
1. Para uma constante; exemplo, a média amostral,
2. Para uma variável aleatória; exemplo, uma estatística t com n -1 graus de liberdade.
x
Convergência para uma constante
Convergência de uma variável aleatória
O que significa uma variável aleatória convergir para uma constante?
Convergência da variância para zero.
A variável aleatória converge para algo que não é aleatório.
Resultados de convergênciaConvergência de uma sequência de variáveis aleatórias para
uma constante
A média converge para uma constante e a variância converge para zero.
Teorema de convergência para momentos amostrais. Momentos amostrais convergem em probabilidade para seus análogos populacionais.
(1/n)Σig(zi) converge para E[g(zi)].
211 , [ ] , Var[ ]= / 0n
n i i n nnx x E x x n
Convergência em probabilidade
. positivoalor qualquer v para 0Prlim
sss constante uma para
adeprobabilid em converge aleatória A variável
cxob
c
x
nn
n
A probabilidade que a diferença entre xn e c seja maior do que ε para qualquer ε vai para zero.
Ou seja, xn fica perto de c.
Convergência em probabilidade
Convergência em probabilidade significa que os valores das variáveis que não estão próximos de c ficam cada vez mais improváveis à medida que o n cresce.
Exemplo: Suponha uma variável aleatória xn que assume dois valores, zero e n, com probabilidades (1-1/n) e (1/n), respectivamente.Quando n aumenta , o segundo valor é menos provável.Xn converge em probabilidade para zero.
Toda a massa da distribuição de probabilidade fica concentrada em pontos próximos de c.
cxp n lim
Convergência em Média Quadrática
Se xn tem média μn e variância σ2 tal que os limites ordinários de μn e σ2 são c e 0, respectivamente, xn converge em “média quadrática“ para c, e
cxp n lim
Convergência em Média Quadrática
Convergência em probabilidade não implica convergência em média quadrática!!!
Exemplo dado: calcular o valor esperado: o valor esperado é igual a 1 para qualquer n.
As condições para a convergência em média são mais fáceis de verificar do que a forma geral de convergência em probabilidade.
Utilizaremos quase sempre convergência em média.
Consistência de um estimador
Se a variável aleatória, xn é um estimador (por exemplo, a média), e se:
plim xn = θ
xn é um estimador consistente de θ.
Teorema de Slutsky
Se xn é uma variável aleatória tal que plim xn = θ.
Onde θ é uma constante.g(.) é uma função contínua. g(.) não é
função de n.Conclusão: plim[g(xn)] = g[plim(xn)] e
g[plim(xn)] existe. Limite de probabilidade não
necessariamente funciona para esperanças. n n n nE[x ]= ; plim(x ) , E[1/x ]=?; plim(1/x )=1/
Corolários Slutsky
n n
n n
n n
n n
n n
x and y are two sequences of random variables with
probability limits and .
Plim (x y ) (sum)
Plim (x y ) (product)
Plim (x / y ) / (product, if 0)
Plim[g(x ,y )] g( , ) assuming it exists and g(.) is
continuous with continuous partials, etc.
Resultados de Slutsky para Matrizes
Funções de matrizes são funções contínuas de elementos das matrizes.
Se plimAn = A e plimBn = B (elemento a elemento),
Plim(An-1) = [plim An]-1 = A-1
e plim(AnBn) = plimAnplim Bn = AB
Distribuições limites
Convergência para um tipo de VA e não para uma constante
xn é uma sequência de VA com Fn(xn).
Se plim xn = θ (constante), Fn(xn) será um ponto. Mas, Fn pode convergir para uma variável aleatória específica.
A distribuição desta VA será a distribuição limite de xn.
dn n n nx x F (x ) F(x)
Teorema de Slutsky para Variáveis Aleatórias
Se , e se g(Xn) é uma função continua com
derivadas contínuas e que não depende de n, temos que :
Exemplo:
t-student converge para uma normal padrão.
Quadrado de uma t-student converge para uma qui-quadrada.
XX dn
)()( XgXg dn
Uma extensão do Teorema de Slutsky
Se (Xn tem uma distribuição limite) e θ é uma
constante tal que (gn tem uma distribuição limite
que é função de θ),
e temos que:
Ou seja, substituir o θ por um estimador consistente leva a
mesma distribuição limite.
xx dn
gxg dn ),(
nyp lim gyxg dnn ),(
Aplicação do Teorema de Slutsky
Comportamento da estatística F para testar restrições em grandes amostras:
2
2
2
2
****
1)(
´
)´´(
)(´
)´´(
Jd
p
Jd
JF
knee
JJeeee
knee
Jeeee
F
Teorema do Limite Central
Descreve o comportamento de uma variável aleatória que envolve soma de variáveis “Tendência para a normalidade.”
A média de uma amostra aleatória de qualquer população (com variância finita), quando padronizada, tem uma distribuição normal padrão assintótica.
Teorema do Limite Central
Teorema Lindeberg-Levy (versão simples do TLC):
Se x1, x2, … , xn é uma amostra aleatória de uma
população cuja distribuição de probabilidade tem
média μ e variância finita igual a σ2 e
temos que:
n
iin x
nx
1
1
)1,0(
:lim
)1,0(
Ns
xn
spSe
Nx
n
d
n
n
n
dn
Teorema do Limite Central
Teorema Lindeberg-Feller :
Suponha que é uma sequência de variáveis
aleatórias independentes com média μi e variâncias
positivas finitas σ2i
nix i ,...,1,
),0(
...1
...1
2
3212
321
Nxn
n
n
dnn
nn
nn
Lindberg-Levy vs. Lindeberg-Feller
Lindeberg-Levy assume amostra aleatória – observações possuem as mesmas média e variância.
Lindeberg-Feller – a variância pode ser diferente entre as observações, apenas com hipóteses de como elas variam.Soma de variáveis aleatórias, independente da sua distribuição, tenderão a ser normalmente distribuídas. E, mais, Lindeberg-Feller não requere que as variáveis na soma venham da mesma distribuição de probabilidade.
Estimadores em econometria – uso da versão Lindeberg-Feller do TLC.
Distribuição assintótica Uma distribuição assintótica é uma distribuição usada para a
aproximar a verdadeira distribuição de amostra finita de uma variável aleatória.
Construída a partir da distribuição limite da função de uma variável aleatória.
Se
é assintoticamente normalmente distribuído com média μ e variância σ2/n.
),(~
)1,0(
2
nNx
Nx
n
n
dn
Eficiência assintótica
Comparação de variâncias assintóticas
Como comparamos estimadores consistentes? Se
convergem para constante, ambas variâncias vão
para zero.
Eficiência assintótica: Um estimador é
assintoticamente normal, este estimador é eficiente
assintoticamente se a matriz de covariância de qq
outro estimador consistente e assintoticamente
normal exceder (1/n)V por uma matriz definida não
negativa.
n̂
),0()ˆ( VNn dn
Eficiência assintótica
Exemplo: Amostra aleatória de uma distribuição normal,
A média amostral é assintoticamente normal com [μ,σ2/n]
Mediana é assintoticamente normal com [μ,(π/2)σ2/n]
Média é assintoticamente mais eficiente.
Propriedades assintóticas do EMQ
A hipótese de normalidade não é necessária para derivarmos as propriedades assintóticas.
Hipóteses: Convergência de XX/n para uma matriz Q positiva definida.
Convergência de X’/n para 0. Suficiente para a consistência.
Hipóteses: Convergência de (1/n)X’ para um vetor com distribuição normal – normalidade assintótica.
EMQ
EMQ pode ser escrito da seguinte forma: (XX)-1Xy = (XX)-1ixiyi
= + (XX)-1ixiεi
Um vetor de constantes mais um vetor de variáveis aleatórias.
Os resultados para a amostra finita são estabelecidos conforme regras estatísticas para esta soma.
Como esta soma de variáveis se comporta em grandes amostras?
1n
i ii 1
1n
i i i ii 1
We use 'convergence in mean square. Adequate for
almost all problems, not adequate for some time
series problems.
1 1n n
1 1 1( ' '
n n n
b X'X x
b- b- X'X x x
1n
i 1
1 1n
i i j j2 i 1
1n
1 1 1 '
n n n
In E[( '| ] in the double sum, terms with unequal
subscripts have expectation zero.
E[( '
n
j=1
X'X
X'X x x X'X
b- b- X
b- b-
1 1
n 2i j i2 i 1
1 1 12 2
1 1 1| ] 'E[ | ]
n n n
1 1 1 1
n n n n n n
X X'X x x X X'X
X'X X'X X'X X'X
Limite de probabilidade
Convergência em média quadrática
E[b|X]=β para qualquer X.Var[b|X]0 para um X específicob converge para βb é consistente
Limite de probabilidade
1n
i ii 1
1 1n
i ii 1
1
1
1 1n n
1 1 1 1n n n n
1 1Plim( ) plim
n n
1 1 1 plim plim plim
n n n
b X'X x
b- X'X x X'X X'
b- X'X X'
X'X X' X'X
1
1
1plim
n
1 plim assuming well behaved regressors.
n
1What must be assumed to get plim ?
n
X'
Q X'
X' 0
Este plim deverá ser zero
A inversa é uma função contínua da matriz original.
Limite de probabilidade
wpQbp
wwn
xnn
X
nX
p
n
ii
n
iii
limlim
11'
'lim
111
Devemos encontrar o plim do último termo:
Para isto, devemos formular algumas hipóteses.
Hipótese crucial do modeloO que devemos assumir para que plim(1/nX’ε)=0?
1) xi = vetor aleatório com média e variâncias finitas e com distribuições idênticas.
2) εi = variável aleatória com uma distribuição constante com média e variância finitas e E(εi)=0
3) xi e εi são estatisticamente independentes. wi = xiεi = uma observação em uma amostra aleatória, com matriz de covariância constante e o vetor de média igual a zero.
converge para sua esperança.
iwn1
Limite de probabilidade
0)(1
)(1
)1
()(
0)( exata aexpectativ a forma Desta
0
)(
111
i
ii
ii
i
ii
ix
iii
xi
ixi
wEn
wEn
wn
EwE
wE
xExE
xxEEx
wEEwE
Pela hipótese de exogeneidade e pela lei das expectativas iteradas:
Limite de probabilidade
(2) '1
|''1
|''1
'1
|'var
I |' usamos termo primeiro ocalcular ara
(1) 0var
varvar)var(
2
2
nXX
nnXXEX
n
XXn
Xn
EXwwEXw
XEP
XwE
XwEX
wEw
Pela decomposição da variância:
Limite de probabilidade
0.lim
0'
plim
:forma desta zero, para quadrática
média em converge zero, para converge variânciasua e zero é média a Como
0.0)var(lim
.suficiente
será Q para converge X/n)(X' plim que de hipótese A constante. matriz uma
paraconvergir parênteses entre esperança a se zero para irá aA variânci
''var)var(
:(1) em (2) doSubstituin
1
22
Qbp
nX
ww
n
Qw
nXX
Enn
XXn
EXwEw
EMQ é consistente!!
Distribuição assintótica
1
n
i ii 1
1 1n n
The limiting behavior of is the same as
that of the statistic that results when the
moment matrix is replaced by its limit. We
examine the behavior of the modified
b X'X x
b
n1i ii 1
sum
1n
Q x
O comportamento limite de b é o mesmo da estatística resultante da substituição da matriz de momentos pelo seu limite. Examinamos o comportamento da seguinte soma modificada:
Resultados Assintóticos
n1i ii 1
1n
What is the mean of this random vector?
What is its variance?
Do they 'converge' to something? We use
this method to find the probability limit.
What is the asymptotic distribu
Q x
tion?
Qual a média desta variável aleatória?
Qual sua variância?
Esta soma converge para algo? Podemos achar o limite de probabilidade.Qual a distribuição assintótica?
Distribuição assintótica
b β em probabilidade. Como descrever esta distribuição? Não tem uma distribuição limite
Variância b 0 Como estabilizar a variância? Var[n b] ~ σ2Q-1
Mas, E[n b]= n β que diverge n (b - β) é uma variável aleatória com
média e variância finitas (transformação que estabiliza)
b aproximadamente β +1/ n vezes a variável aleatória.
Distribuição limite
n (b - β) = n (X’X)-1X’ε = (X’X/n)-1(X’ε/ n)No limite, isto é igual a (plim):
Q-1(X’ε/ n)Q é uma matriz positiva definida. Comportamento depende da variável
aleatória (X’ε/ n)
Distribuição no limite: Normal
iiiii
iii
QxxEx
xw
nw
wEwnXn
22 )'()var(
:a igual variânciae zero média têm vetoresEstes
:tesindependen aleatórios vetores de média a é
acima. aleatória variávelda limite ãodistribuiç a
obter para TLC doFeller -Lindeberg versãoausar Podemos
)(')1
(
Distribuição no limite: Normal
QQn
xn
xn
nwnwn
QxxExS
n
ni
iiii
iiiii
22
22
22
lim
)var(1
)1
var()var()var(
)'()var(e
Distribuição no limite: Normal
21
12111
2
2
,0)(
,0'1
,0'1
. a igual variância
e zero média com osdistribuíd tesindependen vetoressão
:)( vetor o para TLC o aplicarmos para elementos todos Temos
QNbn
QQQQNXn
Q
QNXn
Q
x
wn
d
d
d
i
ii
Distribuição assintótica
TLC. do iaconsequênc com distúrbios dos enormalidad da
depende não EMQ do aassintótic enormalidad :importante Resultado
,~
:que temos finita
variânciae zero média com osdistribuíd tementeindependen são Se
tesindependen sobservaçõe com b de aassintótic ãoDistribuiç :Teorema
,0)(
21
2
21
nQNb
QNbn
i
d
Consistência de s2
2
2
1 1 n 1s
n K n K n K nn
1n K
1 1 1plims plim plim ( )
n n n
1 1 1 1plim plim plim ( ) plim
n n n n
1plim
n
What must be a
-1
-1
-1
e'e 'M 'M
'M ' 'X X'X X'
' 'X X'X X'
' 0'Q 0
2 21ssumed to claim plim = E[ ] ?
n'
Consistência de s2
12
12
1212
)'(var
var
)'
(lim
XXsbest
Qn
b
QnXX
sp
Eficiência assintótica
Um estimador é assintoticamente eficiente se é
consistente, assintoticamente normalmente
distribuído, e tem uma matriz de covariância que
não é maior que uma matriz de covariância de
qualquer outro estimador consistente e com
distribuição assintótica normal.
Econometria
1. Propriedades assintóticas dos estimadores MQO (continuação)
Inferência – grandes amostras
Estatísticas de testes
Como estabelecemos a distribuição assintótica de b, podemos construir estatísticas de testes. Baseamos os testes na estatística de Wald.
F[J,n-K] = (1/J)(Rb - q)’[R s2(XX)-1R]-1(Rb - q)
Esta é a estatística de teste usual para testar hipóteses lineares no modelo de regressão linear, seguindo uma distribuição F exata se os erros são normalmente distribuídos.
Qual o resultado mais geral? Quando não se assume normalidade.
Estatística de WaldAbordagem geral considerando uma distribuição univariada
Quadrado de uma variável normal padrão qui-quadrada com 1 grau de liberdade.
Suponha z ~ N[0,2] , desta forma (z/)2 é uma qui-quadrada com 1 gl.
Suponha z~N[,2].[(z - )/]2 é uma qui-quadrada com 1 gl. Esta é a distância
normalizada entre z e , onde a distância é medida em unidades de desvios padrão.
Suponha zn não é exatamente normalmente distribuída, mas (1) E[zn] = , (2) Var[zn] = 2, (3) a distribuição limite de zn é normal. (zn - )/ N[0,1], que é uma distribuição limite , não é uma distribuição exata em uma amostra finita.
ExtensõesLogo: n
2 = [(zn - )/]2 {N[0,1]}2, ou 2[1]. Novamente, uma distribuição limite, não é uma
distribuição exata.Suponha desconhecido, e substituímos por um estimador
consistente para , ou seja sn, tal que plim sn = . O que acontece com este “análogo empírico”? tn = [(zn - )/sn]?Como plim sn = , o comportamento desta estatística em uma
grande amostra será igual ao comportamento da estatística original usando ao invés de sn.
tn2 = [(zn - )/sn]2 converge para uma qui-quadrada[1].
tn e n convergem para a mesma variável aleatória.
Forma Quadrática
Se um vetor aleatório x (dimensão k) tem uma distribuição normal multivariada com vetor de média igual a e matriz covariância igual a , a variável aleatória W = (x - )-1(x - ) tem uma distribuição qui-quadrada com K graus de liberdade..
Prova1/2 é uma matriz tal que: 1/2 1/2 = . Logo, V = (1/2)-1 é a inversa da raiz
quadrada, tal que V V = -1/2 -1/2 = -1.Se z = (x - ). O z tem média 0, matriz covariância , e
distribuição normal. O vetor aleatório w = Vz tem média V0 = 0 e matriz
covariância VV = I. w tem uma distribuição normal com´média 0 e matriz
covariância I. ww = kwk
2 onde cada elemento é o quadrado de uma normal padrão, logo uma qui-quadrada(1). A soma de qui-quadradas é igual a uma qui-quadrada, logo:
ww = (x - ) -1(x - ).
Construindo a estatística de teste Wald
Suponha que a hipótese de normalidade permanece, mas ao invés de termos a matriz de parâmetros usamos a matriz Sn que é consistente (plim Sn = ).
O resultado exato da qui-quadrada não se aplica, mas a distribuição limite é a mesma se usarmos .
Estatística de WaldSuponha que a estatística é construída com um x
que não tem uma distribuição normal exata, mas com xn que tem distribuição normal limite.
(xn - ) Sn-1(xn - ) 2[K]
Nada depende da distribuição normal. Usamos a consistência de (Sn) e TLC para xn.
Resultado geral para a distância de Wald
Medida de distância de Wald: Se plim xn = , xn é assintoticamente normalmente distribuído com média e variância , e se Sn é um estimador consistente para , a estatística de Wald, que é uma medida de distância generalizada converge para uma qui-quadrada
(xn - ) Sn-1(xn - ) 2[K]
A estatística FH0: R - q = 0 F[J, n-K] = [(e*’e* - e’e)/J] / [e’e / (n-K)]F[J,n-K] = (1/J) (Rbn - q)[R s2(XX)-1 R’]-1 (Rbn -
q).Onde m = (Rbn - q). Sob Ho, plim m=0.
n m N[0, R(2/n)Q-1R’]Var estimada : R(s2/n)(X’X/n)-1R’](n m )’ [Est.Var(n m)]-1 (n m )Se plim bn = , plim s2 = 2,
JF[J,n-K] 2[J].
Distância de Wald
Teste mais geral sobre um único parâmetro. Estimativa amostral: bk
Valor hipotético: βk
O quão distante βk está de bk? Se muito longe, a hipótese é inconsistente com a evidência amostral.
Medida de distância em unidades de desvios-padrão:t = (bk - βk)/estimativa de vk.
Se t is “grande” (maior que o valor crítico), rejeitamos a hipótese.
Estatística de Wald
Na maioria dos testes são utilizadas medidas de distâncias de Wald.
W=(vetor aleatório-valor hipotético)’(variância da diferença)-1(vetor aleatório-valor hipotético)
W= medida de distância normalizada
1) A distância deve ser normalmente distribuída
2) A matriz de covariância é a verdadeira e não a estimada.
20
100 ~][var' Jqqqqqq
Teste de Robustez
O teste de Wald geralmente será (quando devidamente construído)mais robusto que o teste t e F
Razão: Baseado nos estimadores robustos da variância e nos resultados assintóticos.
Teste de hipótese: caso geral H0: R - q = 0 (J restrições lineares)Duas abordagens(1) Rb - q está perto de 0? Defina: m = Rb - q. Usando o critério
de Wald: Critério de Wald: m(Var[m])-1m tem uma distribuição qui-quadrada com J graus de liberdade Mas, Var[m] = R[2(X’X)-1]R. Se usarmos a estimativa de 2, teremos uma F[J,n-K]. (ee/(n-K) é a estimativa de 2.)
(2) Quando impomos uma restrição, o ajuste do modelo é reduzido. R2 necessariamente irá diminuir. Será que diminui muito? (I.e., de forma significativa?).
R2 = modelo irrestrito, R*2 = modelo restrito. F = { (R2 - R*2)/J } / [(1 - R2)/(n-K)] = F[J,n-K].No modelo linear, estas duas abordagens são iguais.
Estatística do Multiplicador de Lagrange
Lembrando do MQO restrito, o multiplicador de lagrange é igual a:
= [R(XX)-1R]-1 (Rb – q)= = [R(XX)-1R]-1 m.
Suponha que queremos testar H0: = 0, usando o critério de Wald.
A estatística de teste será JF
Aplicação
LogG = 1 + 2logY + 3logPG
+ 4logPNC + 5logPUC + 6logPPT
+ 7logPN + 8logPD + 9logPS +
Período = 1960 - 1995. Um evento importante ocorreu em 1973.
Queremos saber se o modelo de 1960 a 1973 é o mesmo de 1974 a 1995. Todos os coeficientes do modelo são elasticidades.
Modelo completo
----------------------------------------------------------------------Ordinary least squares regression ............LHS=LG Mean = 5.39299 Standard deviation = .24878 Number of observs. = 36Model size Parameters = 9 Degrees of freedom = 27Residuals Sum of squares = .00855 <******* Standard error of e = .01780 <*******Fit R-squared = .99605 <******* Adjusted R-squared = .99488 <*******--------+-------------------------------------------------------------Variable| Coefficient Standard Error t-ratio P[|T|>t] Mean of X--------+-------------------------------------------------------------Constant| -6.95326*** 1.29811 -5.356 .0000 LY| 1.35721*** .14562 9.320 .0000 9.11093 LPG| -.50579*** .06200 -8.158 .0000 .67409 LPNC| -.01654 .19957 -.083 .9346 .44320 LPUC| -.12354* .06568 -1.881 .0708 .66361 LPPT| .11571 .07859 1.472 .1525 .77208 LPN| 1.10125*** .26840 4.103 .0003 .60539 LPD| .92018*** .27018 3.406 .0021 .43343 LPS| -1.09213*** .30812 -3.544 .0015 .68105--------+-------------------------------------------------------------
Testando um parâmetro
O preço do transporte público é importante? H0 : 6 = 0.IC: b6 t(.95,27) erro padrão = .11571 2.052(.07859) = .11571 .16127 = (-.045557 ,.27698)
Contém 0, logo não rejeito a hipóteseMedida de distância: (b6 - 0) / sb6 = (.11571 - 0) / .07859 = 1.472 < 2.052.O ajuste cai se eliminamos? Sem LPPT, R-quadrado = .99573 Compare R2, .99605,F(1,27) = [(.99605 - .99573)/1]/[(1-.99605)/(36-9)] = 2.187 = 1.4722
Teste de hipóteses: Soma de coeficientes
Será que as elasticidades preço agregadas somam zero?H0 :β7 + β8 + β9 = 0R = [0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1], q = [0]
Variable| Coefficient Standard Error t-ratio P[|T|>t] Mean of X--------+------------------------------------------------------------- LPN| 1.10125*** .26840 4.103 .0003 .60539 LPD| .92018*** .27018 3.406 .0021 .43343 LPS| -1.09213*** .30812 -3.544 .0015 .68105
Teste Wald
O valor crítico da qui-quadrada com 1 grau de liberdade é 3,84, logo a hipótese nula é rejeitada.
Impondo uma restrição----------------------------------------------------------------------Linearly restricted regressionLHS=LG Mean = 5.392989 Standard deviation = .2487794 Number of observs. = 36Model size Parameters = 8 <*** 9 – 1 restriction Degrees of freedom = 28Residuals Sum of squares = .0112599 <*** With the restrictionResiduals Sum of squares = .0085531 <*** Without the restrictionFit R-squared = .9948020Restrictns. F[ 1, 27] (prob) = 8.5(.01)Not using OLS or no constant.R2 & F may be < 0--------+-------------------------------------------------------------Variable| Coefficient Standard Error t-ratio P[|T|>t] Mean of X--------+-------------------------------------------------------------Constant| -10.1507*** .78756 -12.889 .0000 LY| 1.71582*** .08839 19.412 .0000 9.11093 LPG| -.45826*** .06741 -6.798 .0000 .67409 LPNC| .46945*** .12439 3.774 .0008 .44320 LPUC| -.01566 .06122 -.256 .8000 .66361 LPPT| .24223*** .07391 3.277 .0029 .77208 LPN| 1.39620*** .28022 4.983 .0000 .60539 LPD| .23885 .15395 1.551 .1324 .43343 LPS| -1.63505*** .27700 -5.903 .0000 .68105--------+-------------------------------------------------------------F = [(.0112599 - .0085531)/1] / [.0085531/(36 – 9)] = 8.544691
Hipóteses conjuntas
Hipóteses conjuntas: elasticidade renda = +1, elasticidade preço = -1.A hipótese implica que logG = β1 + logY – logPg + β4 logPNC + ...Estratégia: regrida logG – logY + logPg nas outras variáveis e compare a soma quadrado dos resíduos.Com as duas restriçõesSQR = 0.0286877R-quadrado = 0.9979006IrrestritoSQR = 0.0085531R-quadrado = 0.9960515
F = ((.0286877 - .0085531)/2) / (.0085531/(36-9)) = 31.779951O valor crítico para a F com 95% com 2,27 gl é 3.354. A hipótese nula é rejeitada.
Os resultados são consistentes?? O R2 realmente aumenta com as restrições?
Baseando o teste no R2
F = ((.9960515 - .997096)/2)/((1-.9960515)/(36-9)) = -3.571166 (!)
O que está errado?