Econometria

1. Propriedades assintóticas dos estimadores MQO

2. Inferência para grandes amostras

3. Teste de Wald e LM

Econometria

1. Multicolinearidade

2. Testes de hipóteses no modelo de regressão linear

Propriedades assintóticas dos estimadores MQO

Propriedades assintóticas

O número de resultados estatísticos exatos, tais como o valor esperado ou a distribuição verdadeira, em muitos modelos é baixo.

Usualmente, utilizamos resultados aproximados com base no que se sabe do comportamento de determinadas estatísticas de grandes amostras.

Convergência

Definições, tipos de convergência quando n cresce:

1. Para uma constante; exemplo, a média amostral,

2. Para uma variável aleatória; exemplo, uma estatística t com n -1 graus de liberdade.

x

Convergência para uma constante

Convergência de uma variável aleatória

O que significa uma variável aleatória convergir para uma constante?

Convergência da variância para zero.

A variável aleatória converge para algo que não é aleatório.

Resultados de convergênciaConvergência de uma sequência de variáveis aleatórias para

uma constante

A média converge para uma constante e a variância converge para zero.

Teorema de convergência para momentos amostrais. Momentos amostrais convergem em probabilidade para seus análogos populacionais.

(1/n)Σig(zi) converge para E[g(zi)].

211 , [ ] , Var[ ]= / 0n

n i i n nnx x E x x n

Convergência em probabilidade

. positivoalor qualquer v para 0Prlim

sss constante uma para

adeprobabilid em converge aleatória A variável

cxob

c

x

nn

n

A probabilidade que a diferença entre xn e c seja maior do que ε para qualquer ε vai para zero.

Ou seja, xn fica perto de c.

Convergência em probabilidade

Convergência em probabilidade significa que os valores das variáveis que não estão próximos de c ficam cada vez mais improváveis à medida que o n cresce.

Exemplo: Suponha uma variável aleatória xn que assume dois valores, zero e n, com probabilidades (1-1/n) e (1/n), respectivamente.Quando n aumenta , o segundo valor é menos provável.Xn converge em probabilidade para zero.

Toda a massa da distribuição de probabilidade fica concentrada em pontos próximos de c.

cxp n lim

Convergência em Média Quadrática

Se xn tem média μn e variância σ2 tal que os limites ordinários de μn e σ2 são c e 0, respectivamente, xn converge em “média quadrática“ para c, e

cxp n lim

Convergência em Média Quadrática

Convergência em probabilidade não implica convergência em média quadrática!!!

Exemplo dado: calcular o valor esperado: o valor esperado é igual a 1 para qualquer n.

As condições para a convergência em média são mais fáceis de verificar do que a forma geral de convergência em probabilidade.

Utilizaremos quase sempre convergência em média.

Consistência de um estimador

Se a variável aleatória, xn é um estimador (por exemplo, a média), e se:

plim xn = θ

xn é um estimador consistente de θ.

Teorema de Slutsky

Se xn é uma variável aleatória tal que plim xn = θ.

Onde θ é uma constante.g(.) é uma função contínua. g(.) não é

função de n.Conclusão: plim[g(xn)] = g[plim(xn)] e

g[plim(xn)] existe. Limite de probabilidade não

necessariamente funciona para esperanças. n n n nE[x ]= ; plim(x ) , E[1/x ]=?; plim(1/x )=1/

Corolários Slutsky

n n

n n

n n

n n

n n

x and y are two sequences of random variables with

probability limits and .

Plim (x y ) (sum)

Plim (x y ) (product)

Plim (x / y ) / (product, if 0)

Plim[g(x ,y )] g( , ) assuming it exists and g(.) is

continuous with continuous partials, etc.

Resultados de Slutsky para Matrizes

Funções de matrizes são funções contínuas de elementos das matrizes.

Se plimAn = A e plimBn = B (elemento a elemento),

Plim(An-1) = [plim An]-1 = A-1

e plim(AnBn) = plimAnplim Bn = AB

Distribuições limites

Convergência para um tipo de VA e não para uma constante

xn é uma sequência de VA com Fn(xn).

Se plim xn = θ (constante), Fn(xn) será um ponto. Mas, Fn pode convergir para uma variável aleatória específica.

A distribuição desta VA será a distribuição limite de xn.

dn n n nx x F (x ) F(x)

Teorema de Slutsky para Variáveis Aleatórias

Se , e se g(Xn) é uma função continua com

derivadas contínuas e que não depende de n, temos que :

Exemplo:

t-student converge para uma normal padrão.

Quadrado de uma t-student converge para uma qui-quadrada.

XX dn

)()( XgXg dn

Uma extensão do Teorema de Slutsky

Se (Xn tem uma distribuição limite) e θ é uma

constante tal que (gn tem uma distribuição limite

que é função de θ),

e temos que:

Ou seja, substituir o θ por um estimador consistente leva a

mesma distribuição limite.

xx dn

gxg dn ),(

nyp lim gyxg dnn ),(

Aplicação do Teorema de Slutsky

Comportamento da estatística F para testar restrições em grandes amostras:

2

2

2

2

****

1)(

´

)´´(

)(´

)´´(

Jd

p

Jd

JF

knee

JJeeee

knee

Jeeee

F

Teorema do Limite Central

Descreve o comportamento de uma variável aleatória que envolve soma de variáveis “Tendência para a normalidade.”

A média de uma amostra aleatória de qualquer população (com variância finita), quando padronizada, tem uma distribuição normal padrão assintótica.

Teorema do Limite Central

Teorema Lindeberg-Levy (versão simples do TLC):

Se x1, x2, … , xn é uma amostra aleatória de uma

população cuja distribuição de probabilidade tem

média μ e variância finita igual a σ2 e

temos que:

n

iin x

nx

1

1

)1,0(

:lim

)1,0(

Ns

xn

spSe

Nx

n

d

n

n

n

dn

Teorema do Limite Central

Teorema Lindeberg-Feller :

Suponha que é uma sequência de variáveis

aleatórias independentes com média μi e variâncias

positivas finitas σ2i

nix i ,...,1,

),0(

...1

...1

2

3212

321

Nxn

n

n

dnn

nn

nn

Lindberg-Levy vs. Lindeberg-Feller

Lindeberg-Levy assume amostra aleatória – observações possuem as mesmas média e variância.

Lindeberg-Feller – a variância pode ser diferente entre as observações, apenas com hipóteses de como elas variam.Soma de variáveis aleatórias, independente da sua distribuição, tenderão a ser normalmente distribuídas. E, mais, Lindeberg-Feller não requere que as variáveis na soma venham da mesma distribuição de probabilidade.

Estimadores em econometria – uso da versão Lindeberg-Feller do TLC.

Distribuição assintótica Uma distribuição assintótica é uma distribuição usada para a

aproximar a verdadeira distribuição de amostra finita de uma variável aleatória.

Construída a partir da distribuição limite da função de uma variável aleatória.

Se

é assintoticamente normalmente distribuído com média μ e variância σ2/n.

),(~

)1,0(

2

nNx

Nx

n

n

dn

Eficiência assintótica

Comparação de variâncias assintóticas

Como comparamos estimadores consistentes? Se

convergem para constante, ambas variâncias vão

para zero.

Eficiência assintótica: Um estimador é

assintoticamente normal, este estimador é eficiente

assintoticamente se a matriz de covariância de qq

outro estimador consistente e assintoticamente

normal exceder (1/n)V por uma matriz definida não

negativa.

n̂

),0()ˆ( VNn dn

Eficiência assintótica

Exemplo: Amostra aleatória de uma distribuição normal,

A média amostral é assintoticamente normal com [μ,σ2/n]

Mediana é assintoticamente normal com [μ,(π/2)σ2/n]

Média é assintoticamente mais eficiente.

Propriedades assintóticas do EMQ

A hipótese de normalidade não é necessária para derivarmos as propriedades assintóticas.

Hipóteses: Convergência de XX/n para uma matriz Q positiva definida.

Convergência de X’/n para 0. Suficiente para a consistência.

Hipóteses: Convergência de (1/n)X’ para um vetor com distribuição normal – normalidade assintótica.

EMQ

EMQ pode ser escrito da seguinte forma: (XX)-1Xy = (XX)-1ixiyi

= + (XX)-1ixiεi

Um vetor de constantes mais um vetor de variáveis aleatórias.

Os resultados para a amostra finita são estabelecidos conforme regras estatísticas para esta soma.

Como esta soma de variáveis se comporta em grandes amostras?

1n

i ii 1

1n

i i i ii 1

We use 'convergence in mean square. Adequate for

almost all problems, not adequate for some time

series problems.

1 1n n

1 1 1( ' '

n n n

b X'X x

b- b- X'X x x

1n

i 1

1 1n

i i j j2 i 1

1n

1 1 1 '

n n n

In E[( '| ] in the double sum, terms with unequal

subscripts have expectation zero.

E[( '

n

j=1

X'X

X'X x x X'X

b- b- X

b- b-

1 1

n 2i j i2 i 1

1 1 12 2

1 1 1| ] 'E[ | ]

n n n

1 1 1 1

n n n n n n

X X'X x x X X'X

X'X X'X X'X X'X

Limite de probabilidade

Convergência em média quadrática

E[b|X]=β para qualquer X.Var[b|X]0 para um X específicob converge para βb é consistente

Limite de probabilidade

1n

i ii 1

1 1n

i ii 1

1

1

1 1n n

1 1 1 1n n n n

1 1Plim( ) plim

n n

1 1 1 plim plim plim

n n n

b X'X x

b- X'X x X'X X'

b- X'X X'

X'X X' X'X

1

1

1plim

n

1 plim assuming well behaved regressors.

n

1What must be assumed to get plim ?

n

X'

Q X'

X' 0

Este plim deverá ser zero

A inversa é uma função contínua da matriz original.

Limite de probabilidade

wpQbp

wwn

xnn

X

nX

p

n

ii

n

iii

limlim

11'

'lim

111

Devemos encontrar o plim do último termo:

Para isto, devemos formular algumas hipóteses.

Hipótese crucial do modeloO que devemos assumir para que plim(1/nX’ε)=0?

1) xi = vetor aleatório com média e variâncias finitas e com distribuições idênticas.

2) εi = variável aleatória com uma distribuição constante com média e variância finitas e E(εi)=0

3) xi e εi são estatisticamente independentes. wi = xiεi = uma observação em uma amostra aleatória, com matriz de covariância constante e o vetor de média igual a zero.

converge para sua esperança.

iwn1

Limite de probabilidade

0)(1

)(1

)1

()(

0)( exata aexpectativ a forma Desta

0

)(

111

i

ii

ii

i

ii

ix

iii

xi

ixi

wEn

wEn

wn

EwE

wE

xExE

xxEEx

wEEwE

Pela hipótese de exogeneidade e pela lei das expectativas iteradas:

Limite de probabilidade

(2) '1

|''1

|''1

'1

|'var

I |' usamos termo primeiro ocalcular ara

(1) 0var

varvar)var(

2

2

nXX

nnXXEX

n

XXn

Xn

EXwwEXw

XEP

XwE

XwEX

wEw

Pela decomposição da variância:

Limite de probabilidade

0.lim

0'

plim

:forma desta zero, para quadrática

média em converge zero, para converge variânciasua e zero é média a Como

0.0)var(lim

.suficiente

será Q para converge X/n)(X' plim que de hipótese A constante. matriz uma

paraconvergir parênteses entre esperança a se zero para irá aA variânci

''var)var(

:(1) em (2) doSubstituin

1

22

Qbp

nX

ww

n

Qw

nXX

Enn

XXn

EXwEw

EMQ é consistente!!

Distribuição assintótica

1

n

i ii 1

1 1n n

The limiting behavior of is the same as

that of the statistic that results when the

moment matrix is replaced by its limit. We

examine the behavior of the modified

b X'X x

b

n1i ii 1

sum

1n

Q x

O comportamento limite de b é o mesmo da estatística resultante da substituição da matriz de momentos pelo seu limite. Examinamos o comportamento da seguinte soma modificada:

Resultados Assintóticos

n1i ii 1

1n

What is the mean of this random vector?

What is its variance?

Do they 'converge' to something? We use

this method to find the probability limit.

What is the asymptotic distribu

Q x

tion?

Qual a média desta variável aleatória?

Qual sua variância?

Esta soma converge para algo? Podemos achar o limite de probabilidade.Qual a distribuição assintótica?

Distribuição assintótica

b β em probabilidade. Como descrever esta distribuição? Não tem uma distribuição limite

Variância b 0 Como estabilizar a variância? Var[n b] ~ σ2Q-1

Mas, E[n b]= n β que diverge n (b - β) é uma variável aleatória com

média e variância finitas (transformação que estabiliza)

b aproximadamente β +1/ n vezes a variável aleatória.

Distribuição limite

n (b - β) = n (X’X)-1X’ε = (X’X/n)-1(X’ε/ n)No limite, isto é igual a (plim):

Q-1(X’ε/ n)Q é uma matriz positiva definida. Comportamento depende da variável

aleatória (X’ε/ n)

Distribuição no limite: Normal

iiiii

iii

QxxEx

xw

nw

wEwnXn

22 )'()var(

:a igual variânciae zero média têm vetoresEstes

:tesindependen aleatórios vetores de média a é

acima. aleatória variávelda limite ãodistribuiç a

obter para TLC doFeller -Lindeberg versãoausar Podemos

)(')1

(

Distribuição no limite: Normal

QQ

QQn

xn

xn

nwnwn

QxxExS

n

ni

iiii

iiiii

22

22

22

lim

)var(1

)1

var()var()var(

)'()var(e

Distribuição no limite: Normal

21

12111

2

2

,0)(

,0'1

,0'1

. a igual variância

e zero média com osdistribuíd tesindependen vetoressão

:)( vetor o para TLC o aplicarmos para elementos todos Temos

QNbn

QQQQNXn

Q

QNXn

Q

x

wn

d

d

d

i

ii

Distribuição assintótica

TLC. do iaconsequênc com distúrbios dos enormalidad da

depende não EMQ do aassintótic enormalidad :importante Resultado

,~

:que temos finita

variânciae zero média com osdistribuíd tementeindependen são Se

tesindependen sobservaçõe com b de aassintótic ãoDistribuiç :Teorema

,0)(

21

2

21

nQNb

QNbn

i

d

Consistência de s2

2

2

1 1 n 1s

n K n K n K nn

1n K

1 1 1plims plim plim ( )

n n n

1 1 1 1plim plim plim ( ) plim

n n n n

1plim

n

What must be a

-1

-1

-1

e'e 'M 'M

'M ' 'X X'X X'

' 'X X'X X'

' 0'Q 0

2 21ssumed to claim plim = E[ ] ?

n'

Consistência de s2

12

12

1212

)'(var

var

)'

(lim

XXsbest

Qn

b

QnXX

sp

Eficiência assintótica

Um estimador é assintoticamente eficiente se é

consistente, assintoticamente normalmente

distribuído, e tem uma matriz de covariância que

não é maior que uma matriz de covariância de

qualquer outro estimador consistente e com

distribuição assintótica normal.

Econometria

1. Propriedades assintóticas dos estimadores MQO (continuação)

Inferência – grandes amostras

Estatísticas de testes

Como estabelecemos a distribuição assintótica de b, podemos construir estatísticas de testes. Baseamos os testes na estatística de Wald.

F[J,n-K] = (1/J)(Rb - q)’[R s2(XX)-1R]-1(Rb - q)

Esta é a estatística de teste usual para testar hipóteses lineares no modelo de regressão linear, seguindo uma distribuição F exata se os erros são normalmente distribuídos.

Qual o resultado mais geral? Quando não se assume normalidade.

Estatística de WaldAbordagem geral considerando uma distribuição univariada

Quadrado de uma variável normal padrão qui-quadrada com 1 grau de liberdade.

Suponha z ~ N[0,2] , desta forma (z/)2 é uma qui-quadrada com 1 gl.

Suponha z~N[,2].[(z - )/]2 é uma qui-quadrada com 1 gl. Esta é a distância

normalizada entre z e , onde a distância é medida em unidades de desvios padrão.

Suponha zn não é exatamente normalmente distribuída, mas (1) E[zn] = , (2) Var[zn] = 2, (3) a distribuição limite de zn é normal. (zn - )/ N[0,1], que é uma distribuição limite , não é uma distribuição exata em uma amostra finita.

ExtensõesLogo: n

2 = [(zn - )/]2 {N[0,1]}2, ou 2[1]. Novamente, uma distribuição limite, não é uma

distribuição exata.Suponha desconhecido, e substituímos por um estimador

consistente para , ou seja sn, tal que plim sn = . O que acontece com este “análogo empírico”? tn = [(zn - )/sn]?Como plim sn = , o comportamento desta estatística em uma

grande amostra será igual ao comportamento da estatística original usando ao invés de sn.

tn2 = [(zn - )/sn]2 converge para uma qui-quadrada[1].

tn e n convergem para a mesma variável aleatória.

Forma Quadrática

Se um vetor aleatório x (dimensão k) tem uma distribuição normal multivariada com vetor de média igual a e matriz covariância igual a , a variável aleatória W = (x - )-1(x - ) tem uma distribuição qui-quadrada com K graus de liberdade..

Prova1/2 é uma matriz tal que: 1/2 1/2 = . Logo, V = (1/2)-1 é a inversa da raiz

quadrada, tal que V V = -1/2 -1/2 = -1.Se z = (x - ). O z tem média 0, matriz covariância , e

distribuição normal. O vetor aleatório w = Vz tem média V0 = 0 e matriz

covariância VV = I. w tem uma distribuição normal com´média 0 e matriz

covariância I. ww = kwk

2 onde cada elemento é o quadrado de uma normal padrão, logo uma qui-quadrada(1). A soma de qui-quadradas é igual a uma qui-quadrada, logo:

ww = (x - ) -1(x - ).

Construindo a estatística de teste Wald

Suponha que a hipótese de normalidade permanece, mas ao invés de termos a matriz de parâmetros usamos a matriz Sn que é consistente (plim Sn = ).

O resultado exato da qui-quadrada não se aplica, mas a distribuição limite é a mesma se usarmos .

Estatística de WaldSuponha que a estatística é construída com um x

que não tem uma distribuição normal exata, mas com xn que tem distribuição normal limite.

(xn - ) Sn-1(xn - ) 2[K]

Nada depende da distribuição normal. Usamos a consistência de (Sn) e TLC para xn.

Resultado geral para a distância de Wald

Medida de distância de Wald: Se plim xn = , xn é assintoticamente normalmente distribuído com média e variância , e se Sn é um estimador consistente para , a estatística de Wald, que é uma medida de distância generalizada converge para uma qui-quadrada

(xn - ) Sn-1(xn - ) 2[K]

A estatística FH0: R - q = 0 F[J, n-K] = [(e*’e* - e’e)/J] / [e’e / (n-K)]F[J,n-K] = (1/J) (Rbn - q)[R s2(XX)-1 R’]-1 (Rbn -

q).Onde m = (Rbn - q). Sob Ho, plim m=0.

n m N[0, R(2/n)Q-1R’]Var estimada : R(s2/n)(X’X/n)-1R’](n m )’ [Est.Var(n m)]-1 (n m )Se plim bn = , plim s2 = 2,

JF[J,n-K] 2[J].

Distância de Wald

Teste mais geral sobre um único parâmetro. Estimativa amostral: bk

Valor hipotético: βk

O quão distante βk está de bk? Se muito longe, a hipótese é inconsistente com a evidência amostral.

Medida de distância em unidades de desvios-padrão:t = (bk - βk)/estimativa de vk.

Se t is “grande” (maior que o valor crítico), rejeitamos a hipótese.

Estatística de Wald

Na maioria dos testes são utilizadas medidas de distâncias de Wald.

W=(vetor aleatório-valor hipotético)’(variância da diferença)-1(vetor aleatório-valor hipotético)

W= medida de distância normalizada

1) A distância deve ser normalmente distribuída

2) A matriz de covariância é a verdadeira e não a estimada.

20

100 ~][var' Jqqqqqq

Teste de Robustez

O teste de Wald geralmente será (quando devidamente construído)mais robusto que o teste t e F

Razão: Baseado nos estimadores robustos da variância e nos resultados assintóticos.

Teste de hipótese: caso geral H0: R - q = 0 (J restrições lineares)Duas abordagens(1) Rb - q está perto de 0? Defina: m = Rb - q. Usando o critério

de Wald: Critério de Wald: m(Var[m])-1m tem uma distribuição qui-quadrada com J graus de liberdade Mas, Var[m] = R[2(X’X)-1]R. Se usarmos a estimativa de 2, teremos uma F[J,n-K]. (ee/(n-K) é a estimativa de 2.)

(2) Quando impomos uma restrição, o ajuste do modelo é reduzido. R2 necessariamente irá diminuir. Será que diminui muito? (I.e., de forma significativa?).

R2 = modelo irrestrito, R*2 = modelo restrito. F = { (R2 - R*2)/J } / [(1 - R2)/(n-K)] = F[J,n-K].No modelo linear, estas duas abordagens são iguais.

Estatística do Multiplicador de Lagrange

Lembrando do MQO restrito, o multiplicador de lagrange é igual a:

= [R(XX)-1R]-1 (Rb – q)= = [R(XX)-1R]-1 m.

Suponha que queremos testar H0: = 0, usando o critério de Wald.

A estatística de teste será JF

Aplicação

LogG = 1 + 2logY + 3logPG

+ 4logPNC + 5logPUC + 6logPPT

+ 7logPN + 8logPD + 9logPS +

Período = 1960 - 1995. Um evento importante ocorreu em 1973.

Queremos saber se o modelo de 1960 a 1973 é o mesmo de 1974 a 1995. Todos os coeficientes do modelo são elasticidades.

Modelo completo

----------------------------------------------------------------------Ordinary least squares regression ............LHS=LG Mean = 5.39299 Standard deviation = .24878 Number of observs. = 36Model size Parameters = 9 Degrees of freedom = 27Residuals Sum of squares = .00855 <******* Standard error of e = .01780 <*******Fit R-squared = .99605 <******* Adjusted R-squared = .99488 <*******--------+-------------------------------------------------------------Variable| Coefficient Standard Error t-ratio P[|T|>t] Mean of X--------+-------------------------------------------------------------Constant| -6.95326*** 1.29811 -5.356 .0000 LY| 1.35721*** .14562 9.320 .0000 9.11093 LPG| -.50579*** .06200 -8.158 .0000 .67409 LPNC| -.01654 .19957 -.083 .9346 .44320 LPUC| -.12354* .06568 -1.881 .0708 .66361 LPPT| .11571 .07859 1.472 .1525 .77208 LPN| 1.10125*** .26840 4.103 .0003 .60539 LPD| .92018*** .27018 3.406 .0021 .43343 LPS| -1.09213*** .30812 -3.544 .0015 .68105--------+-------------------------------------------------------------

Testando um parâmetro

O preço do transporte público é importante? H0 : 6 = 0.IC: b6 t(.95,27) erro padrão = .11571 2.052(.07859) = .11571 .16127 = (-.045557 ,.27698)

Contém 0, logo não rejeito a hipóteseMedida de distância: (b6 - 0) / sb6 = (.11571 - 0) / .07859 = 1.472 < 2.052.O ajuste cai se eliminamos? Sem LPPT, R-quadrado = .99573 Compare R2, .99605,F(1,27) = [(.99605 - .99573)/1]/[(1-.99605)/(36-9)] = 2.187 = 1.4722

Teste de hipóteses: Soma de coeficientes

Será que as elasticidades preço agregadas somam zero?H0 :β7 + β8 + β9 = 0R = [0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1], q = [0]

Variable| Coefficient Standard Error t-ratio P[|T|>t] Mean of X--------+------------------------------------------------------------- LPN| 1.10125*** .26840 4.103 .0003 .60539 LPD| .92018*** .27018 3.406 .0021 .43343 LPS| -1.09213*** .30812 -3.544 .0015 .68105

Teste Wald

O valor crítico da qui-quadrada com 1 grau de liberdade é 3,84, logo a hipótese nula é rejeitada.

Impondo uma restrição----------------------------------------------------------------------Linearly restricted regressionLHS=LG Mean = 5.392989 Standard deviation = .2487794 Number of observs. = 36Model size Parameters = 8 <*** 9 – 1 restriction Degrees of freedom = 28Residuals Sum of squares = .0112599 <*** With the restrictionResiduals Sum of squares = .0085531 <*** Without the restrictionFit R-squared = .9948020Restrictns. F[ 1, 27] (prob) = 8.5(.01)Not using OLS or no constant.R2 & F may be < 0--------+-------------------------------------------------------------Variable| Coefficient Standard Error t-ratio P[|T|>t] Mean of X--------+-------------------------------------------------------------Constant| -10.1507*** .78756 -12.889 .0000 LY| 1.71582*** .08839 19.412 .0000 9.11093 LPG| -.45826*** .06741 -6.798 .0000 .67409 LPNC| .46945*** .12439 3.774 .0008 .44320 LPUC| -.01566 .06122 -.256 .8000 .66361 LPPT| .24223*** .07391 3.277 .0029 .77208 LPN| 1.39620*** .28022 4.983 .0000 .60539 LPD| .23885 .15395 1.551 .1324 .43343 LPS| -1.63505*** .27700 -5.903 .0000 .68105--------+-------------------------------------------------------------F = [(.0112599 - .0085531)/1] / [.0085531/(36 – 9)] = 8.544691

Hipóteses conjuntas

Hipóteses conjuntas: elasticidade renda = +1, elasticidade preço = -1.A hipótese implica que logG = β1 + logY – logPg + β4 logPNC + ...Estratégia: regrida logG – logY + logPg nas outras variáveis e compare a soma quadrado dos resíduos.Com as duas restriçõesSQR = 0.0286877R-quadrado = 0.9979006IrrestritoSQR = 0.0085531R-quadrado = 0.9960515

F = ((.0286877 - .0085531)/2) / (.0085531/(36-9)) = 31.779951O valor crítico para a F com 95% com 2,27 gl é 3.354. A hipótese nula é rejeitada.

Os resultados são consistentes?? O R2 realmente aumenta com as restrições?

Baseando o teste no R2

F = ((.9960515 - .997096)/2)/((1-.9960515)/(36-9)) = -3.571166 (!)

O que está errado?