Fenmenos de Transporte II 2005 documento 5
Equaes do Balano de massa (Cap. 18 do Bird)
Obje os balanos de massa e tambm obter
equ is.
A equao de continuidade para uma mistura binria (A+B)
assa p ra a espcie A em um de
volu mistura inria de A e B est e
roduzido por reao qumica.
(ma sa de A)/(volume.tempo).
x
z
y
z
x
y
Coordenadas retangulares
As contribuies para o balano de massa so:
T
n
E
e
S
e
axa de acmulo de massa de A
o elemento de volume
ntrada de A pela superfcie do
lemento na posio x
ada de A pela superfcie do
lemento na posio x+x
de maneira anloga, introduzimos os
direes y e z.. No elemento de volume, A pode ser p
Faamos rA = taxa de produo de A sAplicando a lei de conservao de m
me xyz fixo no espao, no qual uma
tea
bzyxtA ...
zyxAx ..
zyxxAx ..
rmos de entrada e d elemento
scoando. tivo: Obter as equaes gerais para
aes simples para situaes especia(direo x)
(direo x)
e sada nas
36
Fenmenos de Transporte II 2005 documento 5
Taxa de produo de A por reao qumica. r zyxA ...
qumica reao por produzida
A de taxa
direes 3 nassaindo A de taxa -
entrando A de taxa
zyx elemento no acumulando
A de massa
zyxryx
zxzyzyxt
AzzAzA
yyAyAxxAxAA
.....
.......
expandindo-se os termos na srie de Taylor, aplicando-se o limite para x,y,z 0 e dividindo-se a expresso por dx.dy.dz, ficamos com:
AAzAyAxA rzn
yn
xn
t
Equao de continuidade para o
componente A
notao vetorial
AAA rnt
. analogamente BBB rnt
.
Para massa total (mA + mB) BA rrnt
Onde: vnnn BA .
Pela lei de conservao de massa BA rr
0
v
t para corrente total do fluido
37
Fenmenos de Transporte II 2005 documento 5
para =constante 0 v ou 0
zv
yv
xv zyx
Desenvolvimento semelhante para unidades molares
RA = taxa molar de produo de A por unidade de volume
CA = concentrao molar
NA = Fluxo molar
AAA RNtC
. analogamente BBB RNtC
Para massa total (mA + mB) BA RRNtC
Obs: como moles em geral noso conservados RA RB
BA RRvCtC
*.
________________________ Representaes dos fluxos nA e NA por expresses envolvendo gradientes de
concentrao.
AAA rnt
onde AABBAAA wDnnn ..
AAABAA rDvt
...
obs. AA
38
Fenmenos de Transporte II 2005 documento 5
AAABAA rDvt
.... * eq. 18.1-14
analogamente
AAABAA RxDCvCtC
...*. * eq. 18.1-15
Estas equaes descrevem perfis de concentrao em sistemas binrios. As
restries so: ausncia de difuso trmica, de presso e foradas.
Simplificaes: ( e DAB) constantes
AAABAAA rDvvt
2.... Divergente do gradiente (Laplaciano)
se constante 0 v dividindo-se a expresso por MA, onde CA = A/MA
AAABAA RCDCvtC
2 Eq. 18.1-17
normalmente usada para difuso em soluo lquida diluda a T,P constante. Vide
Tabela 18.2.2 do Bird.
C e DAB constantes
AAABAA RxDCvCtC
...*.
AAABAAA RCDCvvCtC
..**. 2
e sendo BA RRCvtC
* BA RRC
1*v.
39
Fenmenos de Transporte II 2005 documento 5
AAABABAAA RCDCvRRCC
tC
..* 2
BAA
AAABAA RR
CCRCDCv
tC
..* 2 eq. 18.1-19
Se RA = -RB a equao 18.1-19 fica igual a equao 18.1-17
Para: v ou v* nula com rA, rB, RA, RB = 0
AABA CDtC .2
Eq. 18.1-20
2a lei de Fick de difuso
40
Fenmenos de Transporte II 2005 documento 5
Tab. 18.2.1
A equao de continuidade do componente A em vrias coordenadas
Coordenadas retangulares:
Ct
Nx
N
yN
zRA Ax
Ay AzA
(A)
Coordenadas cilndricas:
(B)
C
t r rrN
rN N
zRA Ar
A AzA
1 1
Coordenadas esfricas:
C
t r rr N
rsinN sin
rsinN
RA Ar AA
A
1 1 12
2 (C)
Tab. 18.2.2
A equao de continuidade do componente A para e DAB constantes
Coordenadas retangulares:
Ct
vC
xv
Cy
vC
zD
C
x
C
y
C
zRA x
Ay
Az
AAB
A A AA
2
2
2
2
2
2 (A)
Coordenadas cilndricas:
Ct
vC
rv
rC
vC
zD
r rr
Cr r
C C
zRA r
A Az
AAB
A A AA
1 1 12
2
2
2
2 B)
Coordenadas esfricas:
Ct
vC
rv
rC
vrsin
C
Dr r
rC
r r sinsin
C
r sin
CR
Ar
A A A
ABA A
A
A
1 1
1 1 12
22 2 2
2
2
(C)
Ref. R.B. BIRD; STEWART,W.E. & LIGHTFOOT,E.N. - Transport phenomena, John Wiley & Sons, 1960
41
Fenmenos de Transporte II 2005 documento 5
Coordenadas Retangulares
y
z
x
Coordenadas Cilndricas
C
x ry rz z
r x yarc y x
z z
.cos
.sen
tan /
2 2
y
z
x
roordenadas Esfricas
x ry rz r
r x y z
arc x y z
y x
.sen .cos
.sen .sen.cos
tan
arctan( / )
2 2 2
2 2
42
y
z
x
r
Fenmenos de Transporte II 2005 documento 5
DIFUSO EM MEIO SLIDO
Leis de Fick: Tomemos como exemplo ilustrativo, o fenmeno de difuso de um componente A em uma placa plana (Figura), com coeficientes de difuso DA
constante e coeficiente de partio k unitrio.
CA1
t t*
CA1
CA2
t
xt=0
Mantendo-se fixas as concentraes de A (CA1 e CA2) nas superfcies do slido,
verifica-se a formao de perfis de concentrao, que variam com o tempo e com a
posio CA(x,t), at que se atinja o estado estacionrio a t= t*
Fluxo de massa por difuso:
jA [=] [quantidade (massa ou moles)]/[(rea).(tempo)]
jA = f(x,t) para t < t* (estado no estacionrio)
jA = constante para t t* (estado estacionrio)
1a lei de Fick: Se existe um gradiente de concentrao em um meio homogneo,
haver transferncia de massa por difuso.
j D dCdxA A
A (1)
2a. Lei de Fick: No estado no estacionrio CA = f(x,t).
Neste caso jA = f(x,t), acarretando acmulo de massa de A em funo do
tempo.
Fazendo-se um balano de massa em um elemento de volume (S).dx
43
Fenmenos de Transporte II 2005 documento 5
SUPERFCIE PLANA ( ). ( ). ( ). .( ).
S j S j S dx CtA x A x dxA
S dx
( ). . ( ). .S dx j
xS dx C
tA
x
A
x x+dx
C
xD
dCdx
CtA
A A
para D constante CtAA
D C
xAA
2
2 (2)
Analogamente para:
SUPERFCIE CILNDRICA
j D dCdrA A
A
Ct
DC
r rC
rA
AA
2
21 A (3)
SUPERFCIE ESFRICA
j D dCdrA A
A
Ct
DC
r rC
rA
AA
2
22 A (4)
USO DAS EQUAES (1-4) EM PROBLEMAS PRTICOS - Determinao experimental do coeficiente de difuso do componente A no slido.
- Estimativa da quantidade do componente A que migra pela interface.
INFORMAES NECESSRIAS: - DA = constante ou DA = f(CA) - k = coeficiente de partio = razo entre as concentraes de equilbrio do
componente A nas fases em contato. - Tipo de superfcie (plana, cilndrica ou esfrica) - Condies iniciais e de contorno. SOLUO: - ANALTICA - Combinao de variveis - Separao de variveis - uso de transformadas de Laplace - NUMRICA - Mtodo das diferenas finitas (Crank-Nicholson) * apropriada para casos em que o coef. de difuso no
constante
44
Fenmenos de Transporte II 2005 documento 5
SOLUES ANALTICAS 1 CASO (Slido semi infinito)
para CAi= constante e DA = constante - o slido considerado semi infinito, quando a frente de concentrao no atinge a posio x=L. - aplicvel apenas para o intervalo de tempo em que CA(L,t)=CA
CtA
D C
xAA
2
2
com condies iniciais e de contorno: p/ t=0 CA = CA p/ x 0 p/ x=0 CA = CAi p/ t 0 p/ x=l CA = CA p/ t
t
CAI
CA
x=0 x=L
combinao de variveis xD tA4
C x t C
C Ce d erfA Ai
A Ai
( , ). (
22
0
) onde erf() = funo erro
Fluxo de massa na interface (x=0) j D dCdxA x A
A
x
00
.
Fluxo instantneo na interface j tD
tC CA x
AAi A( ) .
.
0
Fluxo mdio no intervalo t=0 a t=t j tD
tC CA
x
AAi A
__( )
..
02
massa total transferida pela interface M tD t
C CA Ai A( ).
.
2
em
(massa/rea)
45
Fenmenos de Transporte II 2005 documento 5
APLICAES: 1.a) Contato entre 2 meios slidos de mesmo material (e de mesma dimenso) com concentraes iniciais diferentes do componente A.
mesmo material k=1 e D1 = D2
C
C CAi
A A
1
2 2 (conc. na
interface) CAi = constante dentro do perodo de tempo em que os slidos podem ser considerados semi infinitos.
CAi
2 1
(CA)
(CA)
x x
Soluo: C x t CC C
erfxDt
A Ai
A Ai
( , )( )
2 4 para meio (2)
C x t CC C
erfxDt
A Ai
A Ai
( , )( )
1 4 para meio (1)
D t
C CA Ai A( ).
.
2
M t quantidade total migrada pela
interface (molar ou mssica) _____________________________________ 2.a) Contato entre 2 meios slidos diferentes. Um contendo concentrao inicial Co e outro contendo concentrao nula.
k 1 (ex k=1/2) D1 D2 (ex D2 = 4D1)
kCC
i
i
eq
1
2
k
DD
2
1
1 2/
C Ci o2 1
C k Ci o1 1
.
MD t
C CD t
CC
t o i oo
2 2
12
22
M C D tt o
21
2
soluo: idem anterior com os respectivos D e CAi
C2i
C1i
Co
2 1
0 x x
46
Fenmenos de Transporte II 2005 documento 5
3.a) Slido com concentrao uniforme CAo confinado entre dois meios slidos (de mesmo material) com concentrao CA=0
C
0 -h 0 h x
C x tC
erfh x
Dterf
h xDt
Ao( , )
2 2 2
obs: erf(-Z) = -erf(Z) 2 CASO (Volume finito de slidos, mantendo constante a concentrao na superfcie CAi) o caso de um slido imerso em um meio lquido bem agitado de volume infinito
condies iniciais e de contorno t=0 CA= CAo para -a x a x = a CA= CAi para t 0
x=0
CxA
x
00
CAi CAi
CAo
2a
Soluo do tipo EC C
C CC qA Ai
Ao Ain n
n
_
exp 21
47
Fenmenos de Transporte II 2005 documento 5
onde: concentrao mdia no slido CA_
= (no. de Fick) D ta
.2
a = semi espessura D = difusividade no slido __________________________________________________________________ SUPERFCIE q n Cn __________________________________________________________________
PLANA 2 12
n .
82 1
22 2 2n q n
.
__________________________________________________________________
CILNDRICA J qo n( ) 0 * 4
2qn
__________________________________________________________________
ESFRICA n
62n
__________________________________________________________________ * q J qn n raizes positivas no nulas de o ( ) J = funo de Bessel de 1a. espcie e de ordem zero o PLACA PLANA:
En
e e e en
n
8 1
2 18 1
91252 2
2 1 22
41 2
2
49
2
425
2
4
( ). . . ...
( ) . .
CILINDRO:
Eq
e e e en
q nn
41
41
5 7831
30 4721
74 88722
15 30,472 74 887.
, ,.
,. ...,783 ,
ESFERA:
En
e e e enn
6 6 1
4192
2
1 2
2 4 2 9 2
( ). . . ...( ) .
48
Fenmenos de Transporte II 2005 documento 5
3 CASO (Volumes finitos das fases) Difuso em um slido em contato com uma soluo lquida bem agitada de volume limitado.
x
2a
2a a - concentrao na interface = f(t)
- coeficiente de partio kCC
s
L
eq
VV k
L
s .
- VL = volume de lquido (constante) e Vs = volume de slidos (constante) t=0 conc. inicial no slido = Cs
o e conc. inicial no lquido = C Lo
t 0 e x=0
C r tr
s
x
( , )
00
t 0 e x=a VC t
tk A D
C x txL
Ls s
s
x a
_( )
. . .( , )
soluo do tipo EC t C
C C
C t C
C CC qL L
Lo
L
s s
so
sn n
n
( ) ( ).exp .
_2
1
onde: CL concentrao de A no lquido
concentrao mdia de A no slido Cs_
CL concentrao de A no lquido aps t (fases em equilbrio)
concentrao de A no slido aps t (fases em equilbrio) Cs
D ta
s.2
49
Fenmenos de Transporte II 2005 documento 5
__________________________________________________________________ SUPERFCIE qn(raizes positivas no nulas de:) Cn __________________________________________________________________
PLANA q qn n tan( )
2 11 2
( )( ) ( . )
qn
__________________________________________________________________ CILNDRICA q J q
J qnn
o n
2 1. ( )
. ( ) * 4 1
4 1 2
( )( ) (
qn )
ESFRICA q q qn n( ). tan( )3
3
2 n
6 19 1 2
( )( ) ( )
q n
__________________________________________________________________ * J J funes de Bessel de 1a. espcie de ordem 0 e 1, respectivamente. o e 1 balano de massa para clculo de C e C L
s
C C V C V C V C VL L s s L
oL s
os
. . . . = conhecido e C k Cs L
.
VALORES PARA ZEROS APROXIMADOS DAS
Cso
Lo CL
o
t
ou ou
CL CL
CL
Cs
Cs Cs
k 1 k = 1 k 1
FUNES DE BESSEL DE 1a ESPCIE
n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 2,4048 3,8317 5,1356 6,3802 7,5883 8,7715 9,9361 5,5201 7,0156 8,4172 9,7610 11,0647 12,3386 13,5893
Jn(x)=0 8,6537 10,1735 11,6198 13,0152 14,3725 15,7002 17,0038 11,7915 13,3237 14,7960 16,2235 17,6160 18,9801 20,3208 14,9309 16,4706 17,9598 19,4094 20,8269 22,2178 23,5861 18,0711 19,6159 21,1170 22,5827 24,0190 25,4303 26,8202
50
Fenmenos de Transporte II 2005 documento 5
51
Tabela da funo erro d( ) exp .
2 2
0erf
erf erf erf
0.00 0 0.65 0.642029 1.60 0.976348 0.05 0.056372 0.70 0.677801 1.70 0.983790 0.10 0.112463 0.75 0.711156 1.80 0.989091 0.15 0.167996 0.80 0.742101 1.90 0.992790 0.20 0.222703 0.85 0.770668 2.00 0.995322 0.25 0.276326 0.90 0.796908 2.10 0.997021 0.30 0.328627 0.95 0.820891 2.20 0.998137 0.35 0.379382 1.00 0.842701 2.30 0.998857 0.40 0.428392 1.10 0.880205 2.40 0.999311 0.45 0.475482 1.20 0.910314 2.50 0.999593 0.50 0.520500 1.30 0.934008 2.60 0.999764 0.55 0.563323 1.40 0.952285 2.70 0.999866 0.60 0.603856 1.50 0.966105 2.80 0.999925
Equaes do Balano de massa \(Cap. 18 do BirA equao de continuidade para uma mistura binPara massa total (mA + mB)Desenvolvimento semelhante para unidades molares
Para massa total (mA + mB)