Fısica I
Aula I - Momento Linear
Pagina da disciplina: http://stoa.usp.brNotas de aula: http://romeo.if.usp.br/∼vchitta
Prof. Valmir A. Chitta
e-mail: [email protected]: 3091-7099
Ed. Mario Schenberg, sala 209
5 de Agosto de 2013
Sumario
1 Momento linear
2 Conservacao do momento linear
3 Centro de massa
4 Colisoes
5 Colisoes unidimensionais
6 Casos particulares
7 Colisoes bidimensionais
8 Colisao no referencial do centro de massa
9 Sistemas com massa variavel
10 Exercıcios
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 2 / 88
Sumario
1 Momento linear
2 Conservacao do momento linear
3 Centro de massa
4 Colisoes
5 Colisoes unidimensionais
6 Casos particulares
7 Colisoes bidimensionais
8 Colisao no referencial do centro de massa
9 Sistemas com massa variavel
10 Exercıcios
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 3 / 88
Colisoes e conservacao do momento linear
Analise de uma colisao usando leis de NewtonI Complicado determinar as forcas durante a colisaoI Usando conservacao do momento nao e necessario conhecer-se essas
forcas
Leis de NewtonI Validas somente na mecanica classica
Conservacao do momento linearI Valida para mecanica classica, relatividade e mecanica quantica
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 4 / 88
Colisoes e conservacao do momento linear
Analise de uma colisao usando leis de NewtonI Complicado determinar as forcas durante a colisaoI Usando conservacao do momento nao e necessario conhecer-se essas
forcas
Leis de NewtonI Validas somente na mecanica classica
Conservacao do momento linearI Valida para mecanica classica, relatividade e mecanica quantica
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 4 / 88
Colisoes e conservacao do momento linear
Analise de uma colisao usando leis de NewtonI Complicado determinar as forcas durante a colisaoI Usando conservacao do momento nao e necessario conhecer-se essas
forcas
Leis de NewtonI Validas somente na mecanica classica
Conservacao do momento linearI Valida para mecanica classica, relatividade e mecanica quantica
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 4 / 88
Momento linear
Segunda lei de Newton:
~F = m~a ⇒ ~F = md~v
dt⇒ ~F =
d
dt(m~v)
considerando a massa constante
Momento linear~p = m~v
unidade no SI: [kg m/s]
~F =d~p
dt
I Formulacao de Newton para a segunda leiI Permite tratar sistemas com massas variaveis
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 5 / 88
Momento linear
Segunda lei de Newton:
~F = m~a ⇒ ~F = md~v
dt⇒ ~F =
d
dt(m~v)
considerando a massa constante
Momento linear~p = m~v
unidade no SI: [kg m/s]
~F =d~p
dt
I Formulacao de Newton para a segunda leiI Permite tratar sistemas com massas variaveis
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 5 / 88
Momento linear
Segunda lei de Newton:
~F = m~a ⇒ ~F = md~v
dt⇒ ~F =
d
dt(m~v)
considerando a massa constante
Momento linear~p = m~v
unidade no SI: [kg m/s]
~F =d~p
dt
I Formulacao de Newton para a segunda leiI Permite tratar sistemas com massas variaveis
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 5 / 88
Forca e momento linear
~F =d~p
dt
Se ~p varia rapidamente ⇒ d~p
dtgrande ⇒ ~F grande
Se ~p varia lentamente ⇒ d~p
dtpequeno ⇒ ~F pequena
Carro com velocidade ~v sofrendo colisaoI Variacao do momento linear do passageiro: m~v → 0I Colisao com o painel - variacao rapida de ~p ⇒ ~F grande ⇒
deformacao grandeI Airbag - variacao mais lenta de ~p ⇒ ~F menor ⇒ deformacao menor
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 6 / 88
Forca e momento linear
~F =d~p
dt
Se ~p varia rapidamente ⇒ d~p
dtgrande ⇒ ~F grande
Se ~p varia lentamente ⇒ d~p
dtpequeno ⇒ ~F pequena
Carro com velocidade ~v sofrendo colisaoI Variacao do momento linear do passageiro: m~v → 0I Colisao com o painel - variacao rapida de ~p ⇒ ~F grande ⇒
deformacao grandeI Airbag - variacao mais lenta de ~p ⇒ ~F menor ⇒ deformacao menor
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 6 / 88
Forca e momento linear
~F =d~p
dt
Se ~p varia rapidamente ⇒ d~p
dtgrande ⇒ ~F grande
Se ~p varia lentamente ⇒ d~p
dtpequeno ⇒ ~F pequena
Carro com velocidade ~v sofrendo colisaoI Variacao do momento linear do passageiro: m~v → 0
I Colisao com o painel - variacao rapida de ~p ⇒ ~F grande ⇒deformacao grande
I Airbag - variacao mais lenta de ~p ⇒ ~F menor ⇒ deformacao menor
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 6 / 88
Forca e momento linear
~F =d~p
dt
Se ~p varia rapidamente ⇒ d~p
dtgrande ⇒ ~F grande
Se ~p varia lentamente ⇒ d~p
dtpequeno ⇒ ~F pequena
Carro com velocidade ~v sofrendo colisaoI Variacao do momento linear do passageiro: m~v → 0I Colisao com o painel - variacao rapida de ~p ⇒ ~F grande ⇒
deformacao grande
I Airbag - variacao mais lenta de ~p ⇒ ~F menor ⇒ deformacao menor
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 6 / 88
Forca e momento linear
~F =d~p
dt
Se ~p varia rapidamente ⇒ d~p
dtgrande ⇒ ~F grande
Se ~p varia lentamente ⇒ d~p
dtpequeno ⇒ ~F pequena
Carro com velocidade ~v sofrendo colisaoI Variacao do momento linear do passageiro: m~v → 0I Colisao com o painel - variacao rapida de ~p ⇒ ~F grande ⇒
deformacao grandeI Airbag - variacao mais lenta de ~p ⇒ ~F menor ⇒ deformacao menor
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 6 / 88
Impulso
Forca constante: ~F
Agindo durante um intervalo de tempo: ∆t = t2 − t1
~J = ~F (t2 − t1) = ~F∆t
Unidade no SI: [N s] = [kg m/s]
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 7 / 88
Impulso
Forca constante: ~F
Agindo durante um intervalo de tempo: ∆t = t2 − t1
~J = ~F (t2 − t1) = ~F∆t
Unidade no SI: [N s] = [kg m/s]
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 7 / 88
Impulso e momento linear
Como ~F = constante ⇒ d~p
dt= constante
~F =d~p
dt=~p2 − ~p1
t2 − t1⇒ ~F (t2 − t1) = ~p2 − ~p1
Teorema impulso-momento linear
~J = ~p2 − ~p1
Forca variavel
~J =
∫ t2
t1
~Fdt
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 8 / 88
Impulso e momento linear
Como ~F = constante ⇒ d~p
dt= constante
~F =d~p
dt=~p2 − ~p1
t2 − t1⇒ ~F (t2 − t1) = ~p2 − ~p1
Teorema impulso-momento linear
~J = ~p2 − ~p1
Forca variavel
~J =
∫ t2
t1
~Fdt
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 8 / 88
Impulso e momento linear
Como ~F = constante ⇒ d~p
dt= constante
~F =d~p
dt=~p2 − ~p1
t2 − t1⇒ ~F (t2 − t1) = ~p2 − ~p1
Teorema impulso-momento linear
~J = ~p2 − ~p1
Forca variavel
~J =
∫ t2
t1
~Fdt
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 8 / 88
Comparacao entre momento linear e energia cinetica
Momento linear: ~p = m~v
Energia cinetica: T = 12mv2
F
t0m m
t1
x0 x1v0 v1
Impulso: ~J = ~p1 − ~p0 ⇒ ~F (t1 − t0) = m~v1 −m~v0
Trabalho: Wtot = T1 − T0 ⇒ |~F |(x1 − x0) = 12mv2
1 − 12mv2
0
Impulso: variacao temporal
Trabalho: variacao espacialI integrais
Lei de Newton: ~F = d~pdt instantaneo - diferencial
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 9 / 88
Comparacao entre momento linear e energia cinetica
Momento linear: ~p = m~v
Energia cinetica: T = 12mv2
F
t0m m
t1
x0 x1v0 v1
Impulso: ~J = ~p1 − ~p0 ⇒ ~F (t1 − t0) = m~v1 −m~v0
Trabalho: Wtot = T1 − T0 ⇒ |~F |(x1 − x0) = 12mv2
1 − 12mv2
0
Impulso: variacao temporal
Trabalho: variacao espacialI integrais
Lei de Newton: ~F = d~pdt instantaneo - diferencial
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 9 / 88
Comparacao entre momento linear e energia cinetica
Momento linear: ~p = m~v
Energia cinetica: T = 12mv2
F
t0m m
t1
x0 x1v0 v1
Impulso: ~J = ~p1 − ~p0 ⇒ ~F (t1 − t0) = m~v1 −m~v0
Trabalho: Wtot = T1 − T0 ⇒ |~F |(x1 − x0) = 12mv2
1 − 12mv2
0
Impulso: variacao temporal
Trabalho: variacao espacialI integrais
Lei de Newton: ~F = d~pdt instantaneo - diferencial
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 9 / 88
Comparacao entre momento linear e energia cinetica
Momento linear: ~p = m~v
Energia cinetica: T = 12mv2
F
t0m m
t1
x0 x1v0 v1
Impulso: ~J = ~p1 − ~p0 ⇒ ~F (t1 − t0) = m~v1 −m~v0
Trabalho: Wtot = T1 − T0 ⇒ |~F |(x1 − x0) = 12mv2
1 − 12mv2
0
Impulso: variacao temporal
Trabalho: variacao espacialI integrais
Lei de Newton: ~F = d~pdt instantaneo - diferencial
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 9 / 88
Comparacao entre momento linear e energia cinetica
Momento linear: ~p = m~v
Energia cinetica: T = 12mv2
F
t0m m
t1
x0 x1v0 v1
Impulso: ~J = ~p1 − ~p0 ⇒ ~F (t1 − t0) = m~v1 −m~v0
Trabalho: Wtot = T1 − T0 ⇒ |~F |(x1 − x0) = 12mv2
1 − 12mv2
0
Impulso: variacao temporal
Trabalho: variacao espacialI integrais
Lei de Newton: ~F = d~pdt instantaneo - diferencial
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 9 / 88
Comparacao entre momento linear e energia cinetica
Momento linear: ~p = m~v
Energia cinetica: T = 12mv2
F
t0m m
t1
x0 x1v0 v1
Impulso: ~J = ~p1 − ~p0 ⇒ ~F (t1 − t0) = m~v1 −m~v0
Trabalho: Wtot = T1 − T0 ⇒ |~F |(x1 − x0) = 12mv2
1 − 12mv2
0
Impulso: variacao temporal
Trabalho: variacao espacialI integrais
Lei de Newton: ~F = d~pdt instantaneo - diferencial
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 9 / 88
Momento linear e energia cinetica
Bola B de massa 0, 50 kg com velocidade de 4, 0 m/s e bola b de massa 0, 10 kgcom velocidade de 20 m/s. Qual e mais facil parar?
pB = mBvB = 2, 0 kg m/s
pb = mbvb = 2, 0 kg m/s
I Mesmo momento linear ⇒ mesmo impulso para para-las
TB =1
2mBv
2B = 4, 0 J
Tb =1
2mbv
2b = 20 J
I O trabalho para parar b e 5 vezes maior que o necessario para parar BI Para uma dada forca media exercida pela mao, o intervalo de tempo
necessario para parar as bolas e o mesmo, porem o deslocamento damao seria cinco vezes maior para a bola mais leve do que para a maispesada.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 10 / 88
Momento linear e energia cinetica
Bola B de massa 0, 50 kg com velocidade de 4, 0 m/s e bola b de massa 0, 10 kgcom velocidade de 20 m/s. Qual e mais facil parar?
pB = mBvB = 2, 0 kg m/s
pb = mbvb = 2, 0 kg m/s
I Mesmo momento linear ⇒ mesmo impulso para para-las
TB =1
2mBv
2B = 4, 0 J
Tb =1
2mbv
2b = 20 J
I O trabalho para parar b e 5 vezes maior que o necessario para parar BI Para uma dada forca media exercida pela mao, o intervalo de tempo
necessario para parar as bolas e o mesmo, porem o deslocamento damao seria cinco vezes maior para a bola mais leve do que para a maispesada.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 10 / 88
Momento linear e energia cinetica
Bola B de massa 0, 50 kg com velocidade de 4, 0 m/s e bola b de massa 0, 10 kgcom velocidade de 20 m/s. Qual e mais facil parar?
pB = mBvB = 2, 0 kg m/s
pb = mbvb = 2, 0 kg m/s
I Mesmo momento linear ⇒ mesmo impulso para para-las
TB =1
2mBv
2B = 4, 0 J
Tb =1
2mbv
2b = 20 J
I O trabalho para parar b e 5 vezes maior que o necessario para parar B
I Para uma dada forca media exercida pela mao, o intervalo de temponecessario para parar as bolas e o mesmo, porem o deslocamento damao seria cinco vezes maior para a bola mais leve do que para a maispesada.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 10 / 88
Momento linear e energia cinetica
Bola B de massa 0, 50 kg com velocidade de 4, 0 m/s e bola b de massa 0, 10 kgcom velocidade de 20 m/s. Qual e mais facil parar?
pB = mBvB = 2, 0 kg m/s
pb = mbvb = 2, 0 kg m/s
I Mesmo momento linear ⇒ mesmo impulso para para-las
TB =1
2mBv
2B = 4, 0 J
Tb =1
2mbv
2b = 20 J
I O trabalho para parar b e 5 vezes maior que o necessario para parar BI Para uma dada forca media exercida pela mao, o intervalo de tempo
necessario para parar as bolas e o mesmo, porem o deslocamento damao seria cinco vezes maior para a bola mais leve do que para a maispesada.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 10 / 88
Sumario
1 Momento linear
2 Conservacao do momento linear
3 Centro de massa
4 Colisoes
5 Colisoes unidimensionais
6 Casos particulares
7 Colisoes bidimensionais
8 Colisao no referencial do centro de massa
9 Sistemas com massa variavel
10 Exercıcios
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 11 / 88
Partıculas interagindo
Duas partıculas interagindo no espaco
mA mB
FA/BFB/A
Terceira lei de Newton
~FA/B = −~FB/A ⇒ ~FA/B + ~FB/A = 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 12 / 88
Partıculas interagindo
Duas partıculas interagindo no espaco
mA mB
FA/BFB/A
Terceira lei de Newton
~FA/B = −~FB/A ⇒ ~FA/B + ~FB/A = 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 12 / 88
Conservacao do momento linear
mA mB
FA/BFB/A
Segunda lei de Newton
~FA/B =d~pBdt
~FB/A =d~pAdt
~FA/B + ~FB/A =d~pBdt
+d~pAdt
=d
dt(~pB + ~pA) = 0
Momento linear total~P = ~pB + ~pA
~FA/B + ~FB/A =d ~P
dt= 0 ⇒ ~P = constante
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 13 / 88
Conservacao do momento linear
mA mB
FA/BFB/A
Segunda lei de Newton
~FA/B =d~pBdt
~FB/A =d~pAdt
~FA/B + ~FB/A =d~pBdt
+d~pAdt
=d
dt(~pB + ~pA) = 0
Momento linear total~P = ~pB + ~pA
~FA/B + ~FB/A =d ~P
dt= 0 ⇒ ~P = constante
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 13 / 88
Conservacao do momento linear
mA mB
FA/BFB/A
Segunda lei de Newton
~FA/B =d~pBdt
~FB/A =d~pAdt
~FA/B + ~FB/A =d~pBdt
+d~pAdt
=d
dt(~pB + ~pA) = 0
Momento linear total~P = ~pB + ~pA
~FA/B + ~FB/A =d ~P
dt= 0 ⇒ ~P = constante
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 13 / 88
Forcas
Forca interna: forca que uma partıcula de um sistema exerce sobreoutra.
Forca externa: forca exercida por um corpo no exterior do sistemasobre uma parte interna ou sobre algum corpo no interior do sistema.
Nenhuma forca externa agindo sobre o sistema = sistema isolado.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 14 / 88
Forcas
Forca interna: forca que uma partıcula de um sistema exerce sobreoutra.
Forca externa: forca exercida por um corpo no exterior do sistemasobre uma parte interna ou sobre algum corpo no interior do sistema.
Nenhuma forca externa agindo sobre o sistema = sistema isolado.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 14 / 88
Forcas
Forca interna: forca que uma partıcula de um sistema exerce sobreoutra.
Forca externa: forca exercida por um corpo no exterior do sistemasobre uma parte interna ou sobre algum corpo no interior do sistema.
Nenhuma forca externa agindo sobre o sistema = sistema isolado.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 14 / 88
Conservacao do momento linear
Quando a soma vetorial das forcas externas que atuam sobre umsistema e igual a zero, o momento linear total do sistema permanececonstante ∑
~Fe = 0 ⇒∑
~Fi =d ~P
dt= 0
I Nao depende da natureza de ~Fi que podem ser desconhecidas
Se ∑~Fe 6= 0 ⇒
∑~Fe =
d ~P
dt6= 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 15 / 88
Conservacao do momento linear
Quando a soma vetorial das forcas externas que atuam sobre umsistema e igual a zero, o momento linear total do sistema permanececonstante ∑
~Fe = 0 ⇒∑
~Fi =d ~P
dt= 0
I Nao depende da natureza de ~Fi que podem ser desconhecidas
Se ∑~Fe 6= 0 ⇒
∑~Fe =
d ~P
dt6= 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 15 / 88
Conservacao do momento linear
Quando a soma vetorial das forcas externas que atuam sobre umsistema e igual a zero, o momento linear total do sistema permanececonstante ∑
~Fe = 0 ⇒∑
~Fi =d ~P
dt= 0
I Nao depende da natureza de ~Fi que podem ser desconhecidas
Se ∑~Fe 6= 0 ⇒
∑~Fe =
d ~P
dt6= 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 15 / 88
Sistema de N partıculas
Sistema contendo um numero qualquer de partıculas
~P = ~pA + ~pB + ~pC + . . . = mA~vA + mB~vB + mC~vC + . . .
Conservacao do momento linear → mais geral do que a conservacaoda energia mecanica
I Conservacao de E ⇒ forcas internas conservativasI Conservacao de ~P ⇒ mesmo quando as forcas internas nao sao
conservativas
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 16 / 88
Sistema de N partıculas
Sistema contendo um numero qualquer de partıculas
~P = ~pA + ~pB + ~pC + . . . = mA~vA + mB~vB + mC~vC + . . .
Conservacao do momento linear → mais geral do que a conservacaoda energia mecanica
I Conservacao de E ⇒ forcas internas conservativasI Conservacao de ~P ⇒ mesmo quando as forcas internas nao sao
conservativas
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 16 / 88
Sistema de N partıculas
Sistema contendo um numero qualquer de partıculas
~P = ~pA + ~pB + ~pC + . . . = mA~vA + mB~vB + mC~vC + . . .
Conservacao do momento linear → mais geral do que a conservacaoda energia mecanica
I Conservacao de E ⇒ forcas internas conservativas
I Conservacao de ~P ⇒ mesmo quando as forcas internas nao saoconservativas
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 16 / 88
Sistema de N partıculas
Sistema contendo um numero qualquer de partıculas
~P = ~pA + ~pB + ~pC + . . . = mA~vA + mB~vB + mC~vC + . . .
Conservacao do momento linear → mais geral do que a conservacaoda energia mecanica
I Conservacao de E ⇒ forcas internas conservativasI Conservacao de ~P ⇒ mesmo quando as forcas internas nao sao
conservativas
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 16 / 88
Sumario
1 Momento linear
2 Conservacao do momento linear
3 Centro de massa
4 Colisoes
5 Colisoes unidimensionais
6 Casos particulares
7 Colisoes bidimensionais
8 Colisao no referencial do centro de massa
9 Sistemas com massa variavel
10 Exercıcios
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 17 / 88
Sistema de partıculas
x
y
m1m2
m3
m4
m5
m6
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 18 / 88
Coordenadas do centro de massa
xCM =m1x1 + m2x2 + m3x3 + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · ·=
∑i mixi∑i mi
=
∑i mixiM
M =∑
i mi - massa total do sistema
yCM =m1y1 + m2y2 + m3y3 + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · ·=
∑i miyi∑i mi
=
∑i miyiM
Em termos vetoriais
~rCM =m1~r1 + m2~r2 + m3~r3 + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · ·=
∑i mi~ri∑i mi
=
∑i mi~riM
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 19 / 88
Coordenadas do centro de massa
xCM =m1x1 + m2x2 + m3x3 + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · ·=
∑i mixi∑i mi
=
∑i mixiM
M =∑
i mi - massa total do sistema
yCM =m1y1 + m2y2 + m3y3 + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · ·=
∑i miyi∑i mi
=
∑i miyiM
Em termos vetoriais
~rCM =m1~r1 + m2~r2 + m3~r3 + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · ·=
∑i mi~ri∑i mi
=
∑i mi~riM
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 19 / 88
Coordenadas do centro de massa
xCM =m1x1 + m2x2 + m3x3 + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · ·=
∑i mixi∑i mi
=
∑i mixiM
M =∑
i mi - massa total do sistema
yCM =m1y1 + m2y2 + m3y3 + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · ·=
∑i miyi∑i mi
=
∑i miyiM
Em termos vetoriais
~rCM =m1~r1 + m2~r2 + m3~r3 + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · ·=
∑i mi~ri∑i mi
=
∑i mi~riM
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 19 / 88
Corpo solido
x
y
r→ Δm
~rCM ≈∑
i ~ri∆m∑i ∆m
~rCM = lim∆m→0
∑i ~ri∆m∑i ∆m
=
∫~rdm∫dm
=1
M
∫~rdm
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 20 / 88
Corpo solido
x
y
r→ Δm
~rCM ≈∑
i ~ri∆m∑i ∆m
~rCM = lim∆m→0
∑i ~ri∆m∑i ∆m
=
∫~rdm∫dm
=1
M
∫~rdm
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 20 / 88
Velocidade do centro de massa
Sistema de partıculas se movendo
Velocidade do centro de massa
vxCM =dxCMdt
=d
dt
(m1x1 + m2x2 + m3x3 + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · ·
)vxCM =
m1v1x + m2v2x + m3v3x + · · ·m1 + m2 + m3 + · · ·
vyCM =dyCMdt
=m1v1y + m2v2y + m3v3y + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · ·
~vCM =d~rCMdt
=m1~v1 + m2~v2 + m3~v3 + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · · =
∑i mi~vi∑i mi
=
∑i mi~vi
M
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 21 / 88
Velocidade do centro de massa
Sistema de partıculas se movendo
Velocidade do centro de massa
vxCM =dxCMdt
=d
dt
(m1x1 + m2x2 + m3x3 + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · ·
)vxCM =
m1v1x + m2v2x + m3v3x + · · ·m1 + m2 + m3 + · · ·
vyCM =dyCMdt
=m1v1y + m2v2y + m3v3y + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · ·
~vCM =d~rCMdt
=m1~v1 + m2~v2 + m3~v3 + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · · =
∑i mi~vi∑i mi
=
∑i mi~vi
M
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 21 / 88
Velocidade do centro de massa
Sistema de partıculas se movendo
Velocidade do centro de massa
vxCM =dxCMdt
=d
dt
(m1x1 + m2x2 + m3x3 + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · ·
)vxCM =
m1v1x + m2v2x + m3v3x + · · ·m1 + m2 + m3 + · · ·
vyCM =dyCMdt
=m1v1y + m2v2y + m3v3y + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · ·
~vCM =d~rCMdt
=m1~v1 + m2~v2 + m3~v3 + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · · =
∑i mi~vi∑i mi
=
∑i mi~vi
M
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 21 / 88
Momento linear do centro de massa
~vCM =
∑i mi~viM
M~vCM = m1~v1 + m2~v2 + m3~v3 + · · · = ~P
~P - momento linear total do sistema
Se ∑~Fext = 0 ⇒ ~P = constante ⇒ ~vCM = constante
Se ∑~Fext 6= 0 ⇒ ~P = varia ⇒ ~vCM = varia
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 22 / 88
Momento linear do centro de massa
~vCM =
∑i mi~viM
M~vCM = m1~v1 + m2~v2 + m3~v3 + · · · = ~P
~P - momento linear total do sistema
Se ∑~Fext = 0 ⇒ ~P = constante ⇒ ~vCM = constante
Se ∑~Fext 6= 0 ⇒ ~P = varia ⇒ ~vCM = varia
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 22 / 88
Momento linear do centro de massa
~vCM =
∑i mi~viM
M~vCM = m1~v1 + m2~v2 + m3~v3 + · · · = ~P
~P - momento linear total do sistema
Se ∑~Fext = 0 ⇒ ~P = constante ⇒ ~vCM = constante
Se ∑~Fext 6= 0 ⇒ ~P = varia ⇒ ~vCM = varia
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 22 / 88
Aceleracao do centro de massa
~aCM =d~vCMdt
=m1~a1 + m2~a2 + m3~a3 + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · ·
~aCM =
∑i mi~ai∑i mi
=
∑i mi~aiM
M~aCM = m1~a1 + m2~a2 + m3~a3 + · · ·
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 23 / 88
Aceleracao do centro de massa
~aCM =d~vCMdt
=m1~a1 + m2~a2 + m3~a3 + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · ·
~aCM =
∑i mi~ai∑i mi
=
∑i mi~aiM
M~aCM = m1~a1 + m2~a2 + m3~a3 + · · ·
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 23 / 88
Forcas e aceleracao
M~aCM = m1~a1 + m2~a2 + m3~a3 + · · ·
m1~a1 =(∑
~F)
1=(∑
~Fext +∑
~Fint
)1
M~aCM =∑
~Fext +∑
~Fint
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 24 / 88
Forcas e aceleracao
M~aCM = m1~a1 + m2~a2 + m3~a3 + · · ·
m1~a1 =(∑
~F)
1=(∑
~Fext +∑
~Fint
)1
M~aCM =∑
~Fext +∑
~Fint
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 24 / 88
Forcas e aceleracao
M~aCM = m1~a1 + m2~a2 + m3~a3 + · · ·
m1~a1 =(∑
~F)
1=(∑
~Fext +∑
~Fint
)1
M~aCM =∑
~Fext +∑
~Fint
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 24 / 88
Aceleracao e forcas externas
M~aCM =∑
~Fext +∑
~Fint
~Fint sempre aos pares: ~F12 = −~F21 ⇒∑ ~Fint = 0
M~aCM =∑
~Fext
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 25 / 88
Aceleracao e forcas externas
M~aCM =∑
~Fext +∑
~Fint
~Fint sempre aos pares: ~F12 = −~F21 ⇒∑ ~Fint = 0
M~aCM =∑
~Fext
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 25 / 88
Aceleracao e forcas externas
M~aCM =∑
~Fext +∑
~Fint
~Fint sempre aos pares: ~F12 = −~F21 ⇒∑ ~Fint = 0
M~aCM =∑
~Fext
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 25 / 88
Translacao
Quando forcas externas atuam sobre um corpo ou sobre um conjuntode partıculas, o centro de massa se move exatamente como se toda amassa estivesse concentrada nesse ponto e estivesse submetida a umaforca igual a resultante de todas as forcas que atuam sobre o sistema
∑~Fext = M~aCM = M
d~vCMdt
=d
dt(M~vCM) =
d ~P
dtmassa constante
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 26 / 88
O referencial do centro de massa
No referencial do centro de massa:
~v ′CM = 0
~P ′ = M~v ′CM = 0
O referencial do centro de massa e um referencial de momento linearNULO!
Velocidade das partıculas no referencial do centro de massa:
~u′i = ~vi − ~vCM
I ~u′i = velocidade da i-esima partıcula no referencial do centro de massaI ~vi = velocidade da i-esima partıcula no referencial do laboratorioI ~vCM = velocidade do centro de massa no referencial do laboratorio
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 27 / 88
O referencial do centro de massa
No referencial do centro de massa:
~v ′CM = 0
~P ′ = M~v ′CM = 0
O referencial do centro de massa e um referencial de momento linearNULO!
Velocidade das partıculas no referencial do centro de massa:
~u′i = ~vi − ~vCM
I ~u′i = velocidade da i-esima partıcula no referencial do centro de massaI ~vi = velocidade da i-esima partıcula no referencial do laboratorioI ~vCM = velocidade do centro de massa no referencial do laboratorio
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 27 / 88
O referencial do centro de massa
No referencial do centro de massa:
~v ′CM = 0
~P ′ = M~v ′CM = 0
O referencial do centro de massa e um referencial de momento linearNULO!
Velocidade das partıculas no referencial do centro de massa:
~u′i = ~vi − ~vCM
I ~u′i = velocidade da i-esima partıcula no referencial do centro de massaI ~vi = velocidade da i-esima partıcula no referencial do laboratorioI ~vCM = velocidade do centro de massa no referencial do laboratorio
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 27 / 88
Energia cinetica de um sistema de partıculas
T =∑i
1
2miv
2i =
∑i
1
2mi (~vi · ~vi )
Usando o referencial do centro de massa:
~u′i = ~vi − ~vCM ⇒ ~vi = ~u′i + ~vCM
T =∑i
1
2mi
[(~u′i + ~vCM
)·(~u′i + ~vCM
)]
T =∑i
1
2miu
′2i +
∑i
1
2miv
2CM + 2
∑i
1
2mi
(~u′i · ~vCM
)
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 28 / 88
Energia cinetica de um sistema de partıculas
T =∑i
1
2miv
2i =
∑i
1
2mi (~vi · ~vi )
Usando o referencial do centro de massa:
~u′i = ~vi − ~vCM ⇒ ~vi = ~u′i + ~vCM
T =∑i
1
2mi
[(~u′i + ~vCM
)·(~u′i + ~vCM
)]
T =∑i
1
2miu
′2i +
∑i
1
2miv
2CM + 2
∑i
1
2mi
(~u′i · ~vCM
)
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 28 / 88
Energia cinetica de um sistema de partıculas
T =∑i
1
2miv
2i =
∑i
1
2mi (~vi · ~vi )
Usando o referencial do centro de massa:
~u′i = ~vi − ~vCM ⇒ ~vi = ~u′i + ~vCM
T =∑i
1
2mi
[(~u′i + ~vCM
)·(~u′i + ~vCM
)]
T =∑i
1
2miu
′2i +
∑i
1
2miv
2CM + 2
∑i
1
2mi
(~u′i · ~vCM
)
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 28 / 88
Energia cinetica de um sistema de partıculas
T =∑i
1
2miu
′2i +
∑i
1
2miv
2CM + 2
∑i
1
2mi
(~u′i · ~vCM
)
T =1
2
∑i
miu′2i +
1
2v2CM
∑i
mi + ~vCM ·∑i
mi ~u′i
∑i mi = M e
∑i mi ~u
′i = M~v ′CM = 0
T =1
2
∑i
miu′2i +
1
2Mv2
CM
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 29 / 88
Energia cinetica de um sistema de partıculas
T =∑i
1
2miu
′2i +
∑i
1
2miv
2CM + 2
∑i
1
2mi
(~u′i · ~vCM
)
T =1
2
∑i
miu′2i +
1
2v2CM
∑i
mi + ~vCM ·∑i
mi ~u′i
∑i mi = M e
∑i mi ~u
′i = M~v ′CM = 0
T =1
2
∑i
miu′2i +
1
2Mv2
CM
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 29 / 88
Energia cinetica de um sistema de partıculas
T =∑i
1
2miu
′2i +
∑i
1
2miv
2CM + 2
∑i
1
2mi
(~u′i · ~vCM
)
T =1
2
∑i
miu′2i +
1
2v2CM
∑i
mi + ~vCM ·∑i
mi ~u′i
∑i mi = M e
∑i mi ~u
′i = M~v ′CM = 0
T =1
2
∑i
miu′2i +
1
2Mv2
CM
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 29 / 88
Energia cinetica de um sistema de partıculas
T =1
2
∑i
miu′2i +
1
2Mv2
CM
12
∑i miu
′2i energia cinetica das partıculas em relacao ao centro de
massa (energia do movimento relativo). E a mesma em qualquerreferencial, pois so depende das velocidades das partıculas em relacaoao centro de massa.12Mv2
CM energia cinetica do centro de massa. Depende do referencial.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 30 / 88
Sumario
1 Momento linear
2 Conservacao do momento linear
3 Centro de massa
4 Colisoes
5 Colisoes unidimensionais
6 Casos particulares
7 Colisoes bidimensionais
8 Colisao no referencial do centro de massa
9 Sistemas com massa variavel
10 Exercıcios
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 31 / 88
Colisao
Colisao: interacao entre dois corpos com uma duracao relativamente curta
Quando as forcas entre os corpos forem muito maiores do que as forcas externas,como em geral ocorre na maior parte das colisoes, podemos desprezarcompletamente as forcas externas e considerar os corpos como um sistema isolado⇒ conservacao do momento linear
Quando as forcas entre os corpos tambem forem conservativas, de modo quenenhuma energia mecanica e ganha ou perdida durante a colisao, a energiacinetica total do sistema e a mesma antes e depois da colisao ⇒ colisao elastica
Uma colisao na qual a energia cinetica total do sistema depois da colisao ediferente do que antes da colisao denomina-se colisao inelastica
Chama-se colisao completamente inelastica a que ocorre quando os corpospermanecem unidos e se movem como um unico corpo depois da colisao
E um erro comum pensar que uma colisao inelastica ocorre somente quando oscorpos permanecem colados.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 32 / 88
Colisao
Colisao: interacao entre dois corpos com uma duracao relativamente curta
Quando as forcas entre os corpos forem muito maiores do que as forcas externas,como em geral ocorre na maior parte das colisoes, podemos desprezarcompletamente as forcas externas e considerar os corpos como um sistema isolado⇒ conservacao do momento linear
Quando as forcas entre os corpos tambem forem conservativas, de modo quenenhuma energia mecanica e ganha ou perdida durante a colisao, a energiacinetica total do sistema e a mesma antes e depois da colisao ⇒ colisao elastica
Uma colisao na qual a energia cinetica total do sistema depois da colisao ediferente do que antes da colisao denomina-se colisao inelastica
Chama-se colisao completamente inelastica a que ocorre quando os corpospermanecem unidos e se movem como um unico corpo depois da colisao
E um erro comum pensar que uma colisao inelastica ocorre somente quando oscorpos permanecem colados.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 32 / 88
Colisao
Colisao: interacao entre dois corpos com uma duracao relativamente curta
Quando as forcas entre os corpos forem muito maiores do que as forcas externas,como em geral ocorre na maior parte das colisoes, podemos desprezarcompletamente as forcas externas e considerar os corpos como um sistema isolado⇒ conservacao do momento linear
Quando as forcas entre os corpos tambem forem conservativas, de modo quenenhuma energia mecanica e ganha ou perdida durante a colisao, a energiacinetica total do sistema e a mesma antes e depois da colisao ⇒ colisao elastica
Uma colisao na qual a energia cinetica total do sistema depois da colisao ediferente do que antes da colisao denomina-se colisao inelastica
Chama-se colisao completamente inelastica a que ocorre quando os corpospermanecem unidos e se movem como um unico corpo depois da colisao
E um erro comum pensar que uma colisao inelastica ocorre somente quando oscorpos permanecem colados.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 32 / 88
Colisao
Colisao: interacao entre dois corpos com uma duracao relativamente curta
Quando as forcas entre os corpos forem muito maiores do que as forcas externas,como em geral ocorre na maior parte das colisoes, podemos desprezarcompletamente as forcas externas e considerar os corpos como um sistema isolado⇒ conservacao do momento linear
Quando as forcas entre os corpos tambem forem conservativas, de modo quenenhuma energia mecanica e ganha ou perdida durante a colisao, a energiacinetica total do sistema e a mesma antes e depois da colisao ⇒ colisao elastica
Uma colisao na qual a energia cinetica total do sistema depois da colisao ediferente do que antes da colisao denomina-se colisao inelastica
Chama-se colisao completamente inelastica a que ocorre quando os corpospermanecem unidos e se movem como um unico corpo depois da colisao
E um erro comum pensar que uma colisao inelastica ocorre somente quando oscorpos permanecem colados.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 32 / 88
Colisao
Colisao: interacao entre dois corpos com uma duracao relativamente curta
Quando as forcas entre os corpos forem muito maiores do que as forcas externas,como em geral ocorre na maior parte das colisoes, podemos desprezarcompletamente as forcas externas e considerar os corpos como um sistema isolado⇒ conservacao do momento linear
Quando as forcas entre os corpos tambem forem conservativas, de modo quenenhuma energia mecanica e ganha ou perdida durante a colisao, a energiacinetica total do sistema e a mesma antes e depois da colisao ⇒ colisao elastica
Uma colisao na qual a energia cinetica total do sistema depois da colisao ediferente do que antes da colisao denomina-se colisao inelastica
Chama-se colisao completamente inelastica a que ocorre quando os corpospermanecem unidos e se movem como um unico corpo depois da colisao
E um erro comum pensar que uma colisao inelastica ocorre somente quando oscorpos permanecem colados.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 32 / 88
Colisao
Colisao: interacao entre dois corpos com uma duracao relativamente curta
Quando as forcas entre os corpos forem muito maiores do que as forcas externas,como em geral ocorre na maior parte das colisoes, podemos desprezarcompletamente as forcas externas e considerar os corpos como um sistema isolado⇒ conservacao do momento linear
Quando as forcas entre os corpos tambem forem conservativas, de modo quenenhuma energia mecanica e ganha ou perdida durante a colisao, a energiacinetica total do sistema e a mesma antes e depois da colisao ⇒ colisao elastica
Uma colisao na qual a energia cinetica total do sistema depois da colisao ediferente do que antes da colisao denomina-se colisao inelastica
Chama-se colisao completamente inelastica a que ocorre quando os corpospermanecem unidos e se movem como um unico corpo depois da colisao
E um erro comum pensar que uma colisao inelastica ocorre somente quando oscorpos permanecem colados.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 32 / 88
Sumario
1 Momento linear
2 Conservacao do momento linear
3 Centro de massa
4 Colisoes
5 Colisoes unidimensionais
6 Casos particulares
7 Colisoes bidimensionais
8 Colisao no referencial do centro de massa
9 Sistemas com massa variavel
10 Exercıcios
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 33 / 88
Colisoes elasticas unidimensionais
Corpos de massa m1 e m2
Velocidades iniciais: v1A e v2A
Quais as velocidades finais v1D e v2D ?
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 34 / 88
Conservacao do momento linear total
PA = m1v1A + m2v2A = m1v1D + m2v2D = PD
m2v2D −m2v2A = m1v1A −m1v1D
m2 (v2D − v2A) = m1 (v1A − v1D )
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 35 / 88
Conservacao do momento linear total
PA = m1v1A + m2v2A = m1v1D + m2v2D = PD
m2v2D −m2v2A = m1v1A −m1v1D
m2 (v2D − v2A) = m1 (v1A − v1D )
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 35 / 88
Conservacao do momento linear total
PA = m1v1A + m2v2A = m1v1D + m2v2D = PD
m2v2D −m2v2A = m1v1A −m1v1D
m2 (v2D − v2A) = m1 (v1A − v1D )
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 35 / 88
Conservacao da energia cinetica
TA =1
2m1v
21A
+1
2m2v
22A
=1
2m1v
21D
+1
2m2v
22D
= TD
1
2m2v
22D− 1
2m2v
22A
=1
2m1v
21A− 1
2m1v
21D
m2
(v2
2D− v2
2A
)= m1
(v2
1A− v2
1D
)
m2 (v2D − v2A) (v2D + v2A) = m1 (v1A − v1D ) (v1A + v1D )
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 36 / 88
Conservacao da energia cinetica
TA =1
2m1v
21A
+1
2m2v
22A
=1
2m1v
21D
+1
2m2v
22D
= TD
1
2m2v
22D− 1
2m2v
22A
=1
2m1v
21A− 1
2m1v
21D
m2
(v2
2D− v2
2A
)= m1
(v2
1A− v2
1D
)
m2 (v2D − v2A) (v2D + v2A) = m1 (v1A − v1D ) (v1A + v1D )
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 36 / 88
Conservacao da energia cinetica
TA =1
2m1v
21A
+1
2m2v
22A
=1
2m1v
21D
+1
2m2v
22D
= TD
1
2m2v
22D− 1
2m2v
22A
=1
2m1v
21A− 1
2m1v
21D
m2
(v2
2D− v2
2A
)= m1
(v2
1A− v2
1D
)
m2 (v2D − v2A) (v2D + v2A) = m1 (v1A − v1D ) (v1A + v1D )
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 36 / 88
Conservacao da energia cinetica
TA =1
2m1v
21A
+1
2m2v
22A
=1
2m1v
21D
+1
2m2v
22D
= TD
1
2m2v
22D− 1
2m2v
22A
=1
2m1v
21A− 1
2m1v
21D
m2
(v2
2D− v2
2A
)= m1
(v2
1A− v2
1D
)
m2 (v2D − v2A) (v2D + v2A) = m1 (v1A − v1D ) (v1A + v1D )
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 36 / 88
Juntando as duas
m2 (v2D − v2A) = m1 (v1A − v1D )
m2 (v2D − v2A) (v2D + v2A) = m1 (v1A − v1D ) (v1A + v1D )
(v2D + v2A) = (v1A + v1D )
v2D − v1D = − (v2A − v1A)
Velocidade relativa depois e igual ao inverso da velocidade relativaantes
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 37 / 88
Juntando as duas
m2 (v2D − v2A) = m1 (v1A − v1D )
m2 (v2D − v2A) (v2D + v2A) = m1 (v1A − v1D ) (v1A + v1D )
(v2D + v2A) = (v1A + v1D )
v2D − v1D = − (v2A − v1A)
Velocidade relativa depois e igual ao inverso da velocidade relativaantes
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 37 / 88
Juntando as duas
m2 (v2D − v2A) = m1 (v1A − v1D )
m2 (v2D − v2A) (v2D + v2A) = m1 (v1A − v1D ) (v1A + v1D )
(v2D + v2A) = (v1A + v1D )
v2D − v1D = − (v2A − v1A)
Velocidade relativa depois e igual ao inverso da velocidade relativaantes
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 37 / 88
Velocidades apos o choque
m2 (v2D − v2A) = m1 (v1A − v1D )
(v2D + v2A) = (v1A + v1D )
Velocidade da partıcula 1
v1D =m1 −m2
m1 + m2v1A +
2m2
m1 + m2v2A
Velocidade da partıcula 2
v2D =2m1
m1 + m2v1A −
m1 −m2
m1 + m2v2A
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 38 / 88
Velocidades apos o choque
m2 (v2D − v2A) = m1 (v1A − v1D )
(v2D + v2A) = (v1A + v1D )
Velocidade da partıcula 1
v1D =m1 −m2
m1 + m2v1A +
2m2
m1 + m2v2A
Velocidade da partıcula 2
v2D =2m1
m1 + m2v1A −
m1 −m2
m1 + m2v2A
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 38 / 88
Velocidades apos o choque
m2 (v2D − v2A) = m1 (v1A − v1D )
(v2D + v2A) = (v1A + v1D )
Velocidade da partıcula 1
v1D =m1 −m2
m1 + m2v1A +
2m2
m1 + m2v2A
Velocidade da partıcula 2
v2D =2m1
m1 + m2v1A −
m1 −m2
m1 + m2v2A
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 38 / 88
Configuracao final
Velocidade da partıcula 1
v1D =m1 −m2
m1 + m2v1A +
2m2
m1 + m2v2A
Velocidade da partıcula 2
v2D =2m1
m1 + m2v1A −
m1 −m2
m1 + m2v2A
Configuracao final (v1D e v2D ) inteiramente determinada pelaconfiguracao inicial (v1A e v2A) e pela conservacao do momento e daenergia cinetica, nao dependendo da natureza das forcas de interacao(desde que correspondam a um processo elastico).
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 39 / 88
Sumario
1 Momento linear
2 Conservacao do momento linear
3 Centro de massa
4 Colisoes
5 Colisoes unidimensionais
6 Casos particulares
7 Colisoes bidimensionais
8 Colisao no referencial do centro de massa
9 Sistemas com massa variavel
10 Exercıcios
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 40 / 88
m1 = m2
Velocidade da partıcula 1
v1D =m1 −m2
m1 + m2v1A +
2m2
m1 + m2v2A
Velocidade da partıcula 2
v2D =2m1
m1 + m2v1A −
m1 −m2
m1 + m2v2A
m1 = m2
v1D = v2A
v2D = v1A
partıculas trocam entre si as velocidades
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 41 / 88
m1 = m2
Velocidade da partıcula 1
v1D =m1 −m2
m1 + m2v1A +
2m2
m1 + m2v2A
Velocidade da partıcula 2
v2D =2m1
m1 + m2v1A −
m1 −m2
m1 + m2v2A
m1 = m2
v1D = v2A
v2D = v1A
partıculas trocam entre si as velocidades
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 41 / 88
Partıcula 2 inicialmente em repouso: v2A= 0
Velocidade da partıcula 1
v1D=
m1 −m2
m1 + m2v1A
+2m2
m1 + m2v2A
Velocidade da partıcula 2
v2D=
2m1
m1 + m2v1A− m1 −m2
m1 + m2v2A
Partıcula 2 inicialmente em repouso: v2A= 0
v1D=
m1 −m2
m1 + m2v1A
v2D=
2m1
m1 + m2v1A
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 42 / 88
Partıcula 2 inicialmente em repouso: v2A= 0
Velocidade da partıcula 1
v1D=
m1 −m2
m1 + m2v1A
+2m2
m1 + m2v2A
Velocidade da partıcula 2
v2D=
2m1
m1 + m2v1A− m1 −m2
m1 + m2v2A
Partıcula 2 inicialmente em repouso: v2A= 0
v1D=
m1 −m2
m1 + m2v1A
v2D=
2m1
m1 + m2v1A
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 42 / 88
v2A= 0 e m1 � m2
v1D =m1 −m2
m1 + m2v1A e v2D =
2m1
m1 + m2v1A
m1 � m2 ⇒m1
m2' 0
v1D =m1m2− 1
m1m2
+ 1v1A = −v1A
v2D =2m1m2
m1m2
+ 1v1A = 2
m1
m2v1A = 0
Partıcula de massa menor e praticamente refletida
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 43 / 88
v2A= 0 e m1 � m2
v1D =m1 −m2
m1 + m2v1A e v2D =
2m1
m1 + m2v1A
m1 � m2 ⇒m1
m2' 0
v1D =m1m2− 1
m1m2
+ 1v1A = −v1A
v2D =2m1m2
m1m2
+ 1v1A = 2
m1
m2v1A = 0
Partıcula de massa menor e praticamente refletida
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 43 / 88
v2A= 0 e m1 � m2
v1D =m1 −m2
m1 + m2v1A e v2D =
2m1
m1 + m2v1A
m1 � m2 ⇒m2
m1' 0
v1D =1− m2
m1
1 + m2m1
v1A = v1A
v2D =2
1 + m2m1
v1A = 2v1A
Velocidade de m1 praticamente nao se altera. m2 e lancada parafrente com aproximadamente o dobro da velocidade de m1.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 44 / 88
v2A= 0 e m1 � m2
v1D =m1 −m2
m1 + m2v1A e v2D =
2m1
m1 + m2v1A
m1 � m2 ⇒m2
m1' 0
v1D =1− m2
m1
1 + m2m1
v1A = v1A
v2D =2
1 + m2m1
v1A = 2v1A
Velocidade de m1 praticamente nao se altera. m2 e lancada parafrente com aproximadamente o dobro da velocidade de m1.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 44 / 88
Colisoes unidimensionais totalmente inelasticas
2 partıculas de massas m1 e m2 com velocidades iniciais v1i e v2i ,respectivamente, que passam a mover-se juntas apos a colisao,formando uma unica partıcula de massa m1 +m2 e velocidade final vf .
Conservacao do momento linear
m1v1i + m2v2i = (m1 + m2)vf
Velocidade final
vf =m1v1i + m2v2i
m1 + m2
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 45 / 88
Colisoes unidimensionais totalmente inelasticas
2 partıculas de massas m1 e m2 com velocidades iniciais v1i e v2i ,respectivamente, que passam a mover-se juntas apos a colisao,formando uma unica partıcula de massa m1 +m2 e velocidade final vf .
Conservacao do momento linear
m1v1i + m2v2i = (m1 + m2)vf
Velocidade final
vf =m1v1i + m2v2i
m1 + m2
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 45 / 88
Colisoes unidimensionais totalmente inelasticas
2 partıculas de massas m1 e m2 com velocidades iniciais v1i e v2i ,respectivamente, que passam a mover-se juntas apos a colisao,formando uma unica partıcula de massa m1 +m2 e velocidade final vf .
Conservacao do momento linear
m1v1i + m2v2i = (m1 + m2)vf
Velocidade final
vf =m1v1i + m2v2i
m1 + m2
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 45 / 88
Sumario
1 Momento linear
2 Conservacao do momento linear
3 Centro de massa
4 Colisoes
5 Colisoes unidimensionais
6 Casos particulares
7 Colisoes bidimensionais
8 Colisao no referencial do centro de massa
9 Sistemas com massa variavel
10 Exercıcios
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 46 / 88
Colisao elastica bidimensional
m1
m1
m2
m2
v1i
v1f
v2i=0
v2f
b θ1
θ2
y
x
Parametro de choque: bI b = 0 ⇒ choque unidimensionalI b > r1 + r2 ⇒ nao ha choque
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 47 / 88
Conservacao do momento linear
Momento linear inicial: ~Pi = m1~v1i
Momento linear final: ~Pf = m1~v1f + m2~v2f
Conservacao do momento linear: m1~v1i = m1~v1f + m2~v2fI ~v1i , ~v1f
e ~v2fno mesmo plano ⇒ plano de colisao
θ1 θ2m 1
v 1fm
2 v2f
m1v1i
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 48 / 88
Conservacao do momento linear
Momento linear inicial: ~Pi = m1~v1i
Momento linear final: ~Pf = m1~v1f + m2~v2f
Conservacao do momento linear: m1~v1i = m1~v1f + m2~v2fI ~v1i , ~v1f
e ~v2fno mesmo plano ⇒ plano de colisao
θ1 θ2m 1
v 1fm
2 v2f
m1v1i
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 48 / 88
Conservacao do momento linear
Momento linear inicial: ~Pi = m1~v1i
Momento linear final: ~Pf = m1~v1f + m2~v2f
Conservacao do momento linear: m1~v1i = m1~v1f + m2~v2f
I ~v1i , ~v1fe ~v2f
no mesmo plano ⇒ plano de colisao
θ1 θ2m 1
v 1fm
2 v2f
m1v1i
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 48 / 88
Conservacao do momento linear
Momento linear inicial: ~Pi = m1~v1i
Momento linear final: ~Pf = m1~v1f + m2~v2f
Conservacao do momento linear: m1~v1i = m1~v1f + m2~v2fI ~v1i , ~v1f
e ~v2fno mesmo plano ⇒ plano de colisao
θ1 θ2m 1
v 1fm
2 v2f
m1v1i
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 48 / 88
Equacoes
θ1 θ2m 1
v 1fm
2 v2f
m1v1iCoordenadas
m1v1fcos(θ1) + m2v2f
cos(θ2) = m1v1i
m1v1fsen(θ1)−m2v2f
sen(θ2) = 0
Colisao elastica ⇒ Tf = Ti
1
2m1v
21f
+1
2m2v
22f
=1
2m1v
21i
I 3 equacoes e 4 incognitas: ~v1f, ~v2f
, θ1 e θ2
I Conhecer pelo menos um dos parametros, por exemplo: θ1 ou b
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 49 / 88
Equacoes
θ1 θ2m 1
v 1fm
2 v2f
m1v1iCoordenadas
m1v1fcos(θ1) + m2v2f
cos(θ2) = m1v1i
m1v1fsen(θ1)−m2v2f
sen(θ2) = 0
Colisao elastica ⇒ Tf = Ti
1
2m1v
21f
+1
2m2v
22f
=1
2m1v
21i
I 3 equacoes e 4 incognitas: ~v1f, ~v2f
, θ1 e θ2
I Conhecer pelo menos um dos parametros, por exemplo: θ1 ou b
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 49 / 88
Equacoes
θ1 θ2m 1
v 1fm
2 v2f
m1v1iCoordenadas
m1v1fcos(θ1) + m2v2f
cos(θ2) = m1v1i
m1v1fsen(θ1)−m2v2f
sen(θ2) = 0
Colisao elastica ⇒ Tf = Ti
1
2m1v
21f
+1
2m2v
22f
=1
2m1v
21i
I 3 equacoes e 4 incognitas: ~v1f, ~v2f
, θ1 e θ2
I Conhecer pelo menos um dos parametros, por exemplo: θ1 ou b
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 49 / 88
Equacoes
θ1 θ2m 1
v 1fm
2 v2f
m1v1iCoordenadas
m1v1fcos(θ1) + m2v2f
cos(θ2) = m1v1i
m1v1fsen(θ1)−m2v2f
sen(θ2) = 0
Colisao elastica ⇒ Tf = Ti
1
2m1v
21f
+1
2m2v
22f
=1
2m1v
21i
I 3 equacoes e 4 incognitas: ~v1f, ~v2f
, θ1 e θ2
I Conhecer pelo menos um dos parametros, por exemplo: θ1 ou b
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 49 / 88
Caso particular - Massas iguais: m1 = m2 = m
Energia cineticav2
1f+ v2
2f= v2
1i
Momento linear~v1i = ~v1f + ~v2f
Quadrando a equacao do momento linear
(~v1f + ~v2f ) · (~v1f + ~v2f ) = ~v1i · ~v1i
v21f
+ v22f
+ 2(~v1f · ~v2f ) = v21i
2(~v1f · ~v2f ) = 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 50 / 88
Caso particular - Massas iguais: m1 = m2 = m
Energia cineticav2
1f+ v2
2f= v2
1i
Momento linear~v1i = ~v1f + ~v2f
Quadrando a equacao do momento linear
(~v1f + ~v2f ) · (~v1f + ~v2f ) = ~v1i · ~v1i
v21f
+ v22f
+ 2(~v1f · ~v2f ) = v21i
2(~v1f · ~v2f ) = 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 50 / 88
Caso particular - Massas iguais: m1 = m2 = m
Energia cineticav2
1f+ v2
2f= v2
1i
Momento linear~v1i = ~v1f + ~v2f
Quadrando a equacao do momento linear
(~v1f + ~v2f ) · (~v1f + ~v2f ) = ~v1i · ~v1i
v21f
+ v22f
+ 2(~v1f · ~v2f ) = v21i
2(~v1f · ~v2f ) = 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 50 / 88
Caso particular - Massas iguais: m1 = m2 = m
Energia cineticav2
1f+ v2
2f= v2
1i
Momento linear~v1i = ~v1f + ~v2f
Quadrando a equacao do momento linear
(~v1f + ~v2f ) · (~v1f + ~v2f ) = ~v1i · ~v1i
v21f
+ v22f
+ 2(~v1f · ~v2f ) = v21i
2(~v1f · ~v2f ) = 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 50 / 88
Velocidades finais
m1
m1
m2
m2
v1i
v1f
v2i=0
v2f
b θ1
θ2
y
x
θ1 θ2
v1fv2f
v1i
2(~v1f · ~v2f ) = 0
2v1f v2f cos(θ1 + θ2) = 0
θ1 + θ2 =π
2
v1f = v1i cos(θ1)
v2f = v1i sen(θ1)
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 51 / 88
Velocidades finais
m1
m1
m2
m2
v1i
v1f
v2i=0
v2f
b θ1
θ2
y
x
θ1 θ2
v1fv2f
v1i
2(~v1f · ~v2f ) = 0
2v1f v2f cos(θ1 + θ2) = 0
θ1 + θ2 =π
2
v1f = v1i cos(θ1)
v2f = v1i sen(θ1)
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 51 / 88
Velocidades finais
m1
m1
m2
m2
v1i
v1f
v2i=0
v2f
b θ1
θ2
y
x
θ1 θ2
v1fv2f
v1i
2(~v1f · ~v2f ) = 0
2v1f v2f cos(θ1 + θ2) = 0
θ1 + θ2 =π
2
v1f = v1i cos(θ1)
v2f = v1i sen(θ1)
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 51 / 88
Velocidades finais
m1
m1
m2
m2
v1i
v1f
v2i=0
v2f
b θ1
θ2
y
x
θ1 θ2
v1fv2f
v1i
2(~v1f · ~v2f ) = 0
2v1f v2f cos(θ1 + θ2) = 0
θ1 + θ2 =π
2
v1f = v1i cos(θ1)
v2f = v1i sen(θ1)
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 51 / 88
Caso geral
Energia cinetica
1
2m1v
21f
+1
2m2v
22f
=1
2m1v
21i
⇒ m1v21f
+ m2v22f
= m1v21i
v22f
=m1
m2
(v2
1i− v2
1f
)Momento linear
m1~v1i = m1~v1f + m2~v2f ⇒ ~v2f =m1
m2(~v1i − ~v1f )
v22f
=
(m1
m2
)2 (v2
1i+ v2
1f− 2~v1i · ~v1f
)v2
2f=
(m1
m2
)2 (v2
1i+ v2
1f− 2v1i v1f cosθ1
)
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 52 / 88
Caso geral
Energia cinetica
1
2m1v
21f
+1
2m2v
22f
=1
2m1v
21i
⇒ m1v21f
+ m2v22f
= m1v21i
v22f
=m1
m2
(v2
1i− v2
1f
)
Momento linear
m1~v1i = m1~v1f + m2~v2f ⇒ ~v2f =m1
m2(~v1i − ~v1f )
v22f
=
(m1
m2
)2 (v2
1i+ v2
1f− 2~v1i · ~v1f
)v2
2f=
(m1
m2
)2 (v2
1i+ v2
1f− 2v1i v1f cosθ1
)
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 52 / 88
Caso geral
Energia cinetica
1
2m1v
21f
+1
2m2v
22f
=1
2m1v
21i
⇒ m1v21f
+ m2v22f
= m1v21i
v22f
=m1
m2
(v2
1i− v2
1f
)Momento linear
m1~v1i = m1~v1f + m2~v2f ⇒ ~v2f =m1
m2(~v1i − ~v1f )
v22f
=
(m1
m2
)2 (v2
1i+ v2
1f− 2~v1i · ~v1f
)v2
2f=
(m1
m2
)2 (v2
1i+ v2
1f− 2v1i v1f cosθ1
)
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 52 / 88
Caso geral
Energia cinetica
1
2m1v
21f
+1
2m2v
22f
=1
2m1v
21i
⇒ m1v21f
+ m2v22f
= m1v21i
v22f
=m1
m2
(v2
1i− v2
1f
)Momento linear
m1~v1i = m1~v1f + m2~v2f ⇒ ~v2f =m1
m2(~v1i − ~v1f )
v22f
=
(m1
m2
)2 (v2
1i+ v2
1f− 2~v1i · ~v1f
)v2
2f=
(m1
m2
)2 (v2
1i+ v2
1f− 2v1i v1f cosθ1
)V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 52 / 88
Caso geral
v22f
=m1
m2
(v2
1i− v2
1f
)v2
2f=
(m1
m2
)2 (v2
1i+ v2
1f− 2v1i v1f cosθ1
)
m1
m2
(v2
1i− v2
1f
)=
(m1
m2
)2 (v2
1i+ v2
1f− 2v1i v1f cosθ1
)(m1
m2− 1
)v2
1i+
(m1
m2+ 1
)v2
1f− 2
m1
m2v1i v1f cosθ1 = 0
(m1
m2+ 1
)v2
1f− 2
m1
m2v1i cosθ1v1f +
(m1
m2− 1
)v2
1i= 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 53 / 88
Caso geral
v22f
=m1
m2
(v2
1i− v2
1f
)v2
2f=
(m1
m2
)2 (v2
1i+ v2
1f− 2v1i v1f cosθ1
)m1
m2
(v2
1i− v2
1f
)=
(m1
m2
)2 (v2
1i+ v2
1f− 2v1i v1f cosθ1
)
(m1
m2− 1
)v2
1i+
(m1
m2+ 1
)v2
1f− 2
m1
m2v1i v1f cosθ1 = 0
(m1
m2+ 1
)v2
1f− 2
m1
m2v1i cosθ1v1f +
(m1
m2− 1
)v2
1i= 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 53 / 88
Caso geral
v22f
=m1
m2
(v2
1i− v2
1f
)v2
2f=
(m1
m2
)2 (v2
1i+ v2
1f− 2v1i v1f cosθ1
)m1
m2
(v2
1i− v2
1f
)=
(m1
m2
)2 (v2
1i+ v2
1f− 2v1i v1f cosθ1
)(m1
m2− 1
)v2
1i+
(m1
m2+ 1
)v2
1f− 2
m1
m2v1i v1f cosθ1 = 0
(m1
m2+ 1
)v2
1f− 2
m1
m2v1i cosθ1v1f +
(m1
m2− 1
)v2
1i= 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 53 / 88
Caso geral
v22f
=m1
m2
(v2
1i− v2
1f
)v2
2f=
(m1
m2
)2 (v2
1i+ v2
1f− 2v1i v1f cosθ1
)m1
m2
(v2
1i− v2
1f
)=
(m1
m2
)2 (v2
1i+ v2
1f− 2v1i v1f cosθ1
)(m1
m2− 1
)v2
1i+
(m1
m2+ 1
)v2
1f− 2
m1
m2v1i v1f cosθ1 = 0
(m1
m2+ 1
)v2
1f− 2
m1
m2v1i cosθ1v1f +
(m1
m2− 1
)v2
1i= 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 53 / 88
Caso geral
(m1
m2+ 1
)v2
1f− 2
m1
m2v1i cosθ1v1f +
(m1
m2− 1
)v2
1i= 0
Modulo de v1f - so raızes reais e > 0
4
(m1
m2
)2
v21icos2θ1 − 4
[(m1
m2
)2
− 1
]v2
1i≥ 0
4v21i
[(m1
m2
)2
cos2θ1 −(m1
m2
)2
+ 1
]≥ 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 54 / 88
Caso geral
(m1
m2+ 1
)v2
1f− 2
m1
m2v1i cosθ1v1f +
(m1
m2− 1
)v2
1i= 0
Modulo de v1f - so raızes reais e > 0
4
(m1
m2
)2
v21icos2θ1 − 4
[(m1
m2
)2
− 1
]v2
1i≥ 0
4v21i
[(m1
m2
)2
cos2θ1 −(m1
m2
)2
+ 1
]≥ 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 54 / 88
Caso geral
(m1
m2+ 1
)v2
1f− 2
m1
m2v1i cosθ1v1f +
(m1
m2− 1
)v2
1i= 0
Modulo de v1f - so raızes reais e > 0
4
(m1
m2
)2
v21icos2θ1 − 4
[(m1
m2
)2
− 1
]v2
1i≥ 0
4v21i
[(m1
m2
)2
cos2θ1 −(m1
m2
)2
+ 1
]≥ 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 54 / 88
Caso geral
(m1
m2+ 1
)v2
1f− 2
m1
m2v1i cosθ1v1f +
(m1
m2− 1
)v2
1i= 0
Modulo de v1f - so raızes reais e > 0
4
(m1
m2
)2
v21icos2θ1 − 4
[(m1
m2
)2
− 1
]v2
1i≥ 0
4v21i
[(m1
m2
)2
cos2θ1 −(m1
m2
)2
+ 1
]≥ 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 54 / 88
Caso geral
4v21i
[(m1
m2
)2
cos2θ1 −(m1
m2
)2
+ 1
]≥ 0
(m1
m2
)2 (cos2θ1 − 1
)+ 1 ≥ 0
1−(m1
m2
)2
(sen)2θ1 ≥ 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 55 / 88
Caso geral
4v21i
[(m1
m2
)2
cos2θ1 −(m1
m2
)2
+ 1
]≥ 0
(m1
m2
)2 (cos2θ1 − 1
)+ 1 ≥ 0
1−(m1
m2
)2
(sen)2θ1 ≥ 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 55 / 88
Caso geral
4v21i
[(m1
m2
)2
cos2θ1 −(m1
m2
)2
+ 1
]≥ 0
(m1
m2
)2 (cos2θ1 − 1
)+ 1 ≥ 0
1−(m1
m2
)2
(sen)2θ1 ≥ 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 55 / 88
Caso geral
(m1
m2+ 1
)v2
1f− 2
m1
m2v1i cosθ1v1f +
(m1
m2− 1
)v2
1i= 0
v1f =m1m2
v1i cosθ1
m1m2
+ 1±
v1i
√(m1m2
)2cos2θ1 −
(m1m2
)2+ 1
m1m2
+ 1
v1f =m1v1i
m1 + m2
cosθ1 ±m2
m1
√(m1
m2
)2
cos2θ1 −(m1
m2
)2
+ 1
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 56 / 88
Caso geral
(m1
m2+ 1
)v2
1f− 2
m1
m2v1i cosθ1v1f +
(m1
m2− 1
)v2
1i= 0
v1f =m1m2
v1i cosθ1
m1m2
+ 1±
v1i
√(m1m2
)2cos2θ1 −
(m1m2
)2+ 1
m1m2
+ 1
v1f =m1v1i
m1 + m2
cosθ1 ±m2
m1
√(m1
m2
)2
cos2θ1 −(m1
m2
)2
+ 1
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 56 / 88
Caso geral
(m1
m2+ 1
)v2
1f− 2
m1
m2v1i cosθ1v1f +
(m1
m2− 1
)v2
1i= 0
v1f =m1m2
v1i cosθ1
m1m2
+ 1±
v1i
√(m1m2
)2cos2θ1 −
(m1m2
)2+ 1
m1m2
+ 1
v1f =m1v1i
m1 + m2
cosθ1 ±m2
m1
√(m1
m2
)2
cos2θ1 −(m1
m2
)2
+ 1
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 56 / 88
Caso geral
v1f =m1v1i
m1 + m2
cosθ1 ±m2
m1
√(m1
m2
)2
cos2θ1 −(m1
m2
)2
+ 1
1−
(m1
m2
)2
(sen)2θ1 ≥ 0
m2 > m1: condicao satisfeita para 0 ≤ θ1 ≤ πI√
> cosθ1 ⇒ so +
m1 > m2: m1m2
senθ1 ≤ 1 ⇒ senθ1 ≤ m2m1
I√
< cosθ1 ⇒ 2 raızesI Se m1 � m2 senθ1 ' 0 ⇒ θ1 = 0 m1 quase nao se desvia
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 57 / 88
Caso geral
v1f =m1v1i
m1 + m2
cosθ1 ±m2
m1
√(m1
m2
)2
cos2θ1 −(m1
m2
)2
+ 1
1−
(m1
m2
)2
(sen)2θ1 ≥ 0
m2 > m1: condicao satisfeita para 0 ≤ θ1 ≤ πI√
> cosθ1 ⇒ so +
m1 > m2: m1m2
senθ1 ≤ 1 ⇒ senθ1 ≤ m2m1
I√
< cosθ1 ⇒ 2 raızesI Se m1 � m2 senθ1 ' 0 ⇒ θ1 = 0 m1 quase nao se desvia
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 57 / 88
Caso geral
v1f =m1v1i
m1 + m2
cosθ1 ±m2
m1
√(m1
m2
)2
cos2θ1 −(m1
m2
)2
+ 1
1−
(m1
m2
)2
(sen)2θ1 ≥ 0
m2 > m1: condicao satisfeita para 0 ≤ θ1 ≤ πI√
> cosθ1 ⇒ so +
m1 > m2: m1m2
senθ1 ≤ 1 ⇒ senθ1 ≤ m2m1
I√
< cosθ1 ⇒ 2 raızes
I Se m1 � m2 senθ1 ' 0 ⇒ θ1 = 0 m1 quase nao se desvia
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 57 / 88
Caso geral
v1f =m1v1i
m1 + m2
cosθ1 ±m2
m1
√(m1
m2
)2
cos2θ1 −(m1
m2
)2
+ 1
1−
(m1
m2
)2
(sen)2θ1 ≥ 0
m2 > m1: condicao satisfeita para 0 ≤ θ1 ≤ πI√
> cosθ1 ⇒ so +
m1 > m2: m1m2
senθ1 ≤ 1 ⇒ senθ1 ≤ m2m1
I√
< cosθ1 ⇒ 2 raızesI Se m1 � m2 senθ1 ' 0 ⇒ θ1 = 0 m1 quase nao se desvia
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 57 / 88
Colisoes inelasticas bidimensionais
m1
m3
m2
m4
v1
v3
v2=0
v4
θ3
θ4
y
x
Condicoes iniciais: m1 → m1~v1 e m2 → v2 = 0
Condicoes finais: m3 → m3~v3 e m4 → m4~v4
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 58 / 88
Equacoes
m1
m3
m2
m4
v1
v3
v2=0
v4
θ3
θ4
y
x
Conservacao do momento linear
~p1 = ~p3 + ~p4
m1~v1 = m3~v3 + m4~v4
Energia cinetica
Q = Tf − Ti = T3 + T4 − T1 6= 0
I Q < 0 ⇒ perda de energia (exoergico)I Q > 0 ⇒ ganho de energia (endoergico)
Parametros finais: ~v3, ~v4, θ3, θ4 e Q
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 59 / 88
Equacoes
m1
m3
m2
m4
v1
v3
v2=0
v4
θ3
θ4
y
x
Conservacao do momento linear
~p1 = ~p3 + ~p4
m1~v1 = m3~v3 + m4~v4
Energia cinetica
Q = Tf − Ti = T3 + T4 − T1 6= 0
I Q < 0 ⇒ perda de energia (exoergico)I Q > 0 ⇒ ganho de energia (endoergico)
Parametros finais: ~v3, ~v4, θ3, θ4 e Q
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 59 / 88
Equacoes
m1
m3
m2
m4
v1
v3
v2=0
v4
θ3
θ4
y
x
Conservacao do momento linear
~p1 = ~p3 + ~p4
m1~v1 = m3~v3 + m4~v4
Energia cinetica
Q = Tf − Ti = T3 + T4 − T1 6= 0
I Q < 0 ⇒ perda de energia (exoergico)I Q > 0 ⇒ ganho de energia (endoergico)
Parametros finais: ~v3, ~v4, θ3, θ4 e Q
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 59 / 88
Equacoes
m1
m3
m2
m4
v1
v3
v2=0
v4
θ3
θ4
y
x
Conservacao do momento linear
~p1 = ~p3 + ~p4
m1~v1 = m3~v3 + m4~v4
Energia cinetica
Q = Tf − Ti = T3 + T4 − T1 6= 0
I Q < 0 ⇒ perda de energia (exoergico)I Q > 0 ⇒ ganho de energia (endoergico)
Parametros finais: ~v3, ~v4, θ3, θ4 e Q
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 59 / 88
Equacoes
~p4 = ~p1 − ~p3
p24 = p2
1 + p23 − 2p1p3 cosθ3
Relacao energia cinetica - momento linear
T =1
2mv2 =
p2
2m⇒ p =
√2mT
2m4T4 = 2m1T1 + 2m3T3 − 2√
2m1T1
√2m3T3 cosθ3
T4 =m1
m4T1 +
m3
m4T3 − 2
√m1
m4T1
√m3
m4T3 cosθ3
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 60 / 88
Equacoes
~p4 = ~p1 − ~p3
p24 = p2
1 + p23 − 2p1p3 cosθ3
Relacao energia cinetica - momento linear
T =1
2mv2 =
p2
2m⇒ p =
√2mT
2m4T4 = 2m1T1 + 2m3T3 − 2√
2m1T1
√2m3T3 cosθ3
T4 =m1
m4T1 +
m3
m4T3 − 2
√m1
m4T1
√m3
m4T3 cosθ3
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 60 / 88
Equacoes
~p4 = ~p1 − ~p3
p24 = p2
1 + p23 − 2p1p3 cosθ3
Relacao energia cinetica - momento linear
T =1
2mv2 =
p2
2m⇒ p =
√2mT
2m4T4 = 2m1T1 + 2m3T3 − 2√
2m1T1
√2m3T3 cosθ3
T4 =m1
m4T1 +
m3
m4T3 − 2
√m1
m4T1
√m3
m4T3 cosθ3
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 60 / 88
Equacoes
~p4 = ~p1 − ~p3
p24 = p2
1 + p23 − 2p1p3 cosθ3
Relacao energia cinetica - momento linear
T =1
2mv2 =
p2
2m⇒ p =
√2mT
2m4T4 = 2m1T1 + 2m3T3 − 2√
2m1T1
√2m3T3 cosθ3
T4 =m1
m4T1 +
m3
m4T3 − 2
√m1
m4T1
√m3
m4T3 cosθ3
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 60 / 88
Equacoes
T4 =m1
m4T1 +
m3
m4T3 − 2
√m1
m4T1
√m3
m4T3 cosθ3
Q = T3 + T4 − T1
Q = T3 +m1
m4T1 +
m3
m4T3 − 2
√m1
m4T1
√m3
m4T3 cosθ3 − T1
Q =
(1 +
m3
m4
)T3 −
(1− m1
m4
)T1 − 2
√m1
m4
m3
m4T1T3 cosθ3
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 61 / 88
Equacoes
T4 =m1
m4T1 +
m3
m4T3 − 2
√m1
m4T1
√m3
m4T3 cosθ3
Q = T3 + T4 − T1
Q = T3 +m1
m4T1 +
m3
m4T3 − 2
√m1
m4T1
√m3
m4T3 cosθ3 − T1
Q =
(1 +
m3
m4
)T3 −
(1− m1
m4
)T1 − 2
√m1
m4
m3
m4T1T3 cosθ3
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 61 / 88
Equacoes
T4 =m1
m4T1 +
m3
m4T3 − 2
√m1
m4T1
√m3
m4T3 cosθ3
Q = T3 + T4 − T1
Q = T3 +m1
m4T1 +
m3
m4T3 − 2
√m1
m4T1
√m3
m4T3 cosθ3 − T1
Q =
(1 +
m3
m4
)T3 −
(1− m1
m4
)T1 − 2
√m1
m4
m3
m4T1T3 cosθ3
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 61 / 88
Sumario
1 Momento linear
2 Conservacao do momento linear
3 Centro de massa
4 Colisoes
5 Colisoes unidimensionais
6 Casos particulares
7 Colisoes bidimensionais
8 Colisao no referencial do centro de massa
9 Sistemas com massa variavel
10 Exercıcios
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 62 / 88
Posicao do centro de massa
m1
m2
y
xr1
r2rCM
r1'
r2'
Vetor posicao do centro de massa
~rCM =m1~r1 + m2~r2m1 + m2
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 63 / 88
Posicoes relativas
m1
m2
y
xr1
r2rCM
r1'
r2'
Vetor posicao relativa ao centro de massa do corpo de massa m1
~r ′1 = ~r1 − ~rCM = ~r1 −m1~r1
m1 + m2− m2~r2
m1 + m2=
m2~r1 −m2~r2
m1 + m2=
m2 (~r1 − ~r2)
m1 + m2
Vetor posicao relativa ao centro de massa do corpo de massa m2
~r ′2 = ~r2 − ~rCM =m1~r2 −m1~r1m1 + m2
= −m1 (~r1 − ~r2)
m1 + m2= −m1
m2
~r ′1
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 64 / 88
Posicoes relativas
m1
m2
y
xr1
r2rCM
r1'
r2'
Vetor posicao relativa ao centro de massa do corpo de massa m1
~r ′1 = ~r1 − ~rCM = ~r1 −m1~r1
m1 + m2− m2~r2
m1 + m2=
m2~r1 −m2~r2
m1 + m2=
m2 (~r1 − ~r2)
m1 + m2
Vetor posicao relativa ao centro de massa do corpo de massa m2
~r ′2 = ~r2 − ~rCM =m1~r2 −m1~r1m1 + m2
= −m1 (~r1 − ~r2)
m1 + m2= −m1
m2
~r ′1
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 64 / 88
Centro do movimento
Combinando~r ′2 = −m1
m2
~r ′1
m1~r ′1 + m2
~r ′2 = 0
m1d~r ′1dt
+ m2d~r ′2dt
= ~p′1 + ~p′2 = 0
I O CM e o centro do movimento
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 65 / 88
Centro do movimento
Combinando~r ′2 = −m1
m2
~r ′1
m1~r ′1 + m2
~r ′2 = 0
m1d~r ′1dt
+ m2d~r ′2dt
= ~p′1 + ~p′2 = 0
I O CM e o centro do movimento
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 65 / 88
Centro do movimento
Combinando~r ′2 = −m1
m2
~r ′1
m1~r ′1 + m2
~r ′2 = 0
m1d~r ′1dt
+ m2d~r ′2dt
= ~p′1 + ~p′2 = 0
I O CM e o centro do movimento
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 65 / 88
Colisao bidimensional no referencial do CM
p’1i
p’2i
p’1f
p’2f
θ’1
θ’2
Momento linear inicial
~p′1i+ ~p′2i
= 0
Conservacao do momento linear ⇒momento linear final
~p′1f+ ~p′2f
= 0
~p′1f= −~p′2f
I Mesma direcao, mas sentidos inversos
θ′1 + θ′2 = π
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 66 / 88
Colisao bidimensional no referencial do CM
p’1i
p’2i
p’1f
p’2f
θ’1
θ’2
Momento linear inicial
~p′1i+ ~p′2i
= 0
Conservacao do momento linear ⇒momento linear final
~p′1f+ ~p′2f
= 0
~p′1f= −~p′2f
I Mesma direcao, mas sentidos inversos
θ′1 + θ′2 = π
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 66 / 88
Colisao bidimensional no referencial do CM
p’1i
p’2i
p’1f
p’2f
θ’1
θ’2
Momento linear inicial
~p′1i+ ~p′2i
= 0
Conservacao do momento linear ⇒momento linear final
~p′1f+ ~p′2f
= 0
~p′1f= −~p′2f
I Mesma direcao, mas sentidos inversos
θ′1 + θ′2 = π
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 66 / 88
Sumario
1 Momento linear
2 Conservacao do momento linear
3 Centro de massa
4 Colisoes
5 Colisoes unidimensionais
6 Casos particulares
7 Colisoes bidimensionais
8 Colisao no referencial do centro de massa
9 Sistemas com massa variavel
10 Exercıcios
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 67 / 88
Foguete
Propulsao de um foguete
I Foguete se deslocando no espaco:∑ ~Fext = 0
v
mt
x
y
v + dv
m + dm
t + dt
vc
-dm
I vc - velocidade de escape do combustıvel com relacao ao fogueteI dm < 0 - massa perdida pelo foguete devido a queima do combustıvelI Velocidade do combustıvel com relacao ao referencial
vcr = v + dv + (−vc) = v + dv − vc
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 68 / 88
Foguete
Propulsao de um foguete
I Foguete se deslocando no espaco:∑ ~Fext = 0
v
mt
x
y
v + dv
m + dm
t + dt
vc
-dm
I vc - velocidade de escape do combustıvel com relacao ao foguete
I dm < 0 - massa perdida pelo foguete devido a queima do combustıvelI Velocidade do combustıvel com relacao ao referencial
vcr = v + dv + (−vc) = v + dv − vc
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 68 / 88
Foguete
Propulsao de um foguete
I Foguete se deslocando no espaco:∑ ~Fext = 0
v
mt
x
y
v + dv
m + dm
t + dt
vc
-dm
I vc - velocidade de escape do combustıvel com relacao ao fogueteI dm < 0 - massa perdida pelo foguete devido a queima do combustıvel
I Velocidade do combustıvel com relacao ao referencial
vcr = v + dv + (−vc) = v + dv − vc
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 68 / 88
Foguete
Propulsao de um foguete
I Foguete se deslocando no espaco:∑ ~Fext = 0
v
mt
x
y
v + dv
m + dm
t + dt
vc
-dm
I vc - velocidade de escape do combustıvel com relacao ao fogueteI dm < 0 - massa perdida pelo foguete devido a queima do combustıvelI Velocidade do combustıvel com relacao ao referencial
vcr = v + dv + (−vc) = v + dv − vc
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 68 / 88
Aceleracao
Conservacao do momento linear
mv = (m + dm)(v + dv) + (−dm)(v + dv − vc)
mv = mv + mdv + vdm + dmdv − vdm − dmdv + vcdm
mdv = −vcdm
mdv
dt= F = −vc
dm
dt
I F - forca de propulsao
a = −vcm
dm
dt
a > 0, vc > 0 e dmdt < 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 69 / 88
Aceleracao
Conservacao do momento linear
mv = (m + dm)(v + dv) + (−dm)(v + dv − vc)
mv = mv + mdv + vdm + dmdv − vdm − dmdv + vcdm
mdv = −vcdm
mdv
dt= F = −vc
dm
dt
I F - forca de propulsao
a = −vcm
dm
dt
a > 0, vc > 0 e dmdt < 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 69 / 88
Aceleracao
Conservacao do momento linear
mv = (m + dm)(v + dv) + (−dm)(v + dv − vc)
mv = mv + mdv + vdm + dmdv − vdm − dmdv + vcdm
mdv = −vcdm
mdv
dt= F = −vc
dm
dt
I F - forca de propulsao
a = −vcm
dm
dt
a > 0, vc > 0 e dmdt < 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 69 / 88
Aceleracao
Conservacao do momento linear
mv = (m + dm)(v + dv) + (−dm)(v + dv − vc)
mv = mv + mdv + vdm + dmdv − vdm − dmdv + vcdm
mdv = −vcdm
mdv
dt= F = −vc
dm
dt
I F - forca de propulsao
a = −vcm
dm
dt
a > 0, vc > 0 e dmdt < 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 69 / 88
Aceleracao
Conservacao do momento linear
mv = (m + dm)(v + dv) + (−dm)(v + dv − vc)
mv = mv + mdv + vdm + dmdv − vdm − dmdv + vcdm
mdv = −vcdm
mdv
dt= F = −vc
dm
dt
I F - forca de propulsao
a = −vcm
dm
dt
a > 0, vc > 0 e dmdt < 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 69 / 88
Aceleracao
Conservacao do momento linear
mv = (m + dm)(v + dv) + (−dm)(v + dv − vc)
mv = mv + mdv + vdm + dmdv − vdm − dmdv + vcdm
mdv = −vcdm
mdv
dt= F = −vc
dm
dt
I F - forca de propulsao
a = −vcm
dm
dt
a > 0, vc > 0 e dmdt < 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 69 / 88
Velocidade final
Considerar vc constante, vi velocidade inicial, mi massa inicial e mf massafinal. Qual a velocidade final vf ?
dv = −vcdm
m
∫ vf
vi
dv = −vc∫ mf
mi
dm
m
vf − vi = −vc ln
(mf
mi
)
vf = vi + vc ln
(mi
mf
)
I mi
mf= 3 ⇒ vf − vi ≈ vc
I mi
mf= 7 ⇒ vf − vi ≈ 2vc
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 70 / 88
Velocidade final
Considerar vc constante, vi velocidade inicial, mi massa inicial e mf massafinal. Qual a velocidade final vf ?
dv = −vcdm
m∫ vf
vi
dv = −vc∫ mf
mi
dm
m
vf − vi = −vc ln
(mf
mi
)
vf = vi + vc ln
(mi
mf
)
I mi
mf= 3 ⇒ vf − vi ≈ vc
I mi
mf= 7 ⇒ vf − vi ≈ 2vc
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 70 / 88
Velocidade final
Considerar vc constante, vi velocidade inicial, mi massa inicial e mf massafinal. Qual a velocidade final vf ?
dv = −vcdm
m∫ vf
vi
dv = −vc∫ mf
mi
dm
m
vf − vi = −vc ln
(mf
mi
)
vf = vi + vc ln
(mi
mf
)
I mi
mf= 3 ⇒ vf − vi ≈ vc
I mi
mf= 7 ⇒ vf − vi ≈ 2vc
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 70 / 88
Velocidade final
Considerar vc constante, vi velocidade inicial, mi massa inicial e mf massafinal. Qual a velocidade final vf ?
dv = −vcdm
m∫ vf
vi
dv = −vc∫ mf
mi
dm
m
vf − vi = −vc ln
(mf
mi
)
vf = vi + vc ln
(mi
mf
)
I mi
mf= 3 ⇒ vf − vi ≈ vc
I mi
mf= 7 ⇒ vf − vi ≈ 2vc
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 70 / 88
Velocidade final
Considerar vc constante, vi velocidade inicial, mi massa inicial e mf massafinal. Qual a velocidade final vf ?
dv = −vcdm
m∫ vf
vi
dv = −vc∫ mf
mi
dm
m
vf − vi = −vc ln
(mf
mi
)
vf = vi + vc ln
(mi
mf
)
I mi
mf= 3 ⇒ vf − vi ≈ vc
I mi
mf= 7 ⇒ vf − vi ≈ 2vc
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 70 / 88
Sumario
1 Momento linear
2 Conservacao do momento linear
3 Centro de massa
4 Colisoes
5 Colisoes unidimensionais
6 Casos particulares
7 Colisoes bidimensionais
8 Colisao no referencial do centro de massa
9 Sistemas com massa variavel
10 Exercıcios
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 71 / 88
Exercıcio 1
Suponha que voce jogue uma bola de massa igual a 0,40 kg contra umaparede. Ela colide com a parede quando esta se movendo horizontalmenteda direita para a esquerda a 30 m/s, retornando horizontalmente daesquerda para a direita a 20 m/s. (a) Calcule o impulso da forcaresultante sobre a bola durante sua colisao com a parede. (b) Sabendoque a bola permanece em contato com a parede durante 0,010 s, ache aforca horizontal media que a parede exerce sobre a bola durante a colisao.
R: ~J = 20ı kg m/s. Fmed = 2000 N.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 72 / 88
Exercıcio 1
Suponha que voce jogue uma bola de massa igual a 0,40 kg contra umaparede. Ela colide com a parede quando esta se movendo horizontalmenteda direita para a esquerda a 30 m/s, retornando horizontalmente daesquerda para a direita a 20 m/s. (a) Calcule o impulso da forcaresultante sobre a bola durante sua colisao com a parede. (b) Sabendoque a bola permanece em contato com a parede durante 0,010 s, ache aforca horizontal media que a parede exerce sobre a bola durante a colisao.
R: ~J = 20ı kg m/s. Fmed = 2000 N.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 72 / 88
Exercıcio 2
A massa de uma bola de futebol e igual a 0, 40 kg . Inicialmente, ela sedesloca da direita para a esquerda a 20 m/s, a seguir e chutadadeslocando-se com uma velocidade a 45◦ para cima e para a direita, commodulo igual a 30 m/s. Calcule o impulso da forca resultante e a forcaresultante media, supondo um intervalo de tempo da colisao∆t = 0, 010 s.
R: Jx = 16, 5 kg m/s, Jy = 8, 5 kg m/s. Fmed = 1, 9× 103 N com θ = 27◦.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 73 / 88
Exercıcio 2
A massa de uma bola de futebol e igual a 0, 40 kg . Inicialmente, ela sedesloca da direita para a esquerda a 20 m/s, a seguir e chutadadeslocando-se com uma velocidade a 45◦ para cima e para a direita, commodulo igual a 30 m/s. Calcule o impulso da forca resultante e a forcaresultante media, supondo um intervalo de tempo da colisao∆t = 0, 010 s.
R: Jx = 16, 5 kg m/s, Jy = 8, 5 kg m/s. Fmed = 1, 9× 103 N com θ = 27◦.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 73 / 88
Exercıcio 3
Um canhao de massa M = 1300 kg dispara uma bala de massa m = 72 kgna horizontal com uma velocidade v = 55 m/s em relacao ao canhao, querecua (sem atrito) com uma velocidade V em relacao a Terra. (a) Qual ovalor de V ? (b) Qual o valor da velocidade da bala com relacao a TerravT ?
R: (a) V = −2, 89 m/s e (b) vT = 52, 11 m/s.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 74 / 88
Exercıcio 3
Um canhao de massa M = 1300 kg dispara uma bala de massa m = 72 kgna horizontal com uma velocidade v = 55 m/s em relacao ao canhao, querecua (sem atrito) com uma velocidade V em relacao a Terra. (a) Qual ovalor de V ? (b) Qual o valor da velocidade da bala com relacao a TerravT ?
R: (a) V = −2, 89 m/s e (b) vT = 52, 11 m/s.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 74 / 88
Exercıcio 4
Considere dois blocos ligados por uma mola e apoiados em uma superfıciehorizontal sem atrito. Os blocos, de massas m1 e m2, sao afastados edepois liberados sem velocidade inicial. Qual e a fracao da energia cineticatotal em cada bloco depois que eles sao liberados?
m1 m2
R: f1 =m2
m1 + m2e f2 =
m1
m1 + m2
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 75 / 88
Exercıcio 4
Considere dois blocos ligados por uma mola e apoiados em uma superfıciehorizontal sem atrito. Os blocos, de massas m1 e m2, sao afastados edepois liberados sem velocidade inicial. Qual e a fracao da energia cineticatotal em cada bloco depois que eles sao liberados?
m1 m2
R: f1 =m2
m1 + m2e f2 =
m1
m1 + m2
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 75 / 88
Exercıcio 5
Uma bomba explode no interior de um coco de massa M, inicialmente emrepouso em um piso sem atrito, quebrando-se em tres pedacos, que saoarremessados horizontalmente. A figura mostra os pedacos vistos de cima.O pedaco C , com massa 0, 3M, tem velocidade vC = 5 m/s. Qual avelocidade do fragmento B, de massa 0, 2M? Qual a velocidade dofragmento A?
AB
C vCvA
vB
100o
130o
R: vB = 9, 6 m/s e vA = 14, 9 m/s
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 76 / 88
Exercıcio 5
Uma bomba explode no interior de um coco de massa M, inicialmente emrepouso em um piso sem atrito, quebrando-se em tres pedacos, que saoarremessados horizontalmente. A figura mostra os pedacos vistos de cima.O pedaco C , com massa 0, 3M, tem velocidade vC = 5 m/s. Qual avelocidade do fragmento B, de massa 0, 2M? Qual a velocidade dofragmento A?
AB
C vCvA
vB
100o
130o
R: vB = 9, 6 m/s e vA = 14, 9 m/sV. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 76 / 88
Exercıcio 6
Tres partıculas de massas m1 = 1, 2 kg, m2 = 2, 5 kg e m3 = 3, 4 kgsituadas nos vertices de um triangulo equilatero de lado a = 140 cm. Quala localizacao do centro de massa do sistema?
R: xCM = 82, 8 cm e yCM = 58, 1 cm
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 77 / 88
Exercıcio 6
Tres partıculas de massas m1 = 1, 2 kg, m2 = 2, 5 kg e m3 = 3, 4 kgsituadas nos vertices de um triangulo equilatero de lado a = 140 cm. Quala localizacao do centro de massa do sistema?
R: xCM = 82, 8 cm e yCM = 58, 1 cm
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 77 / 88
Exercıcio 7
A figura mostra uma placa metalica circular de raio 2R da qual foiremovido um disco de raio R. Qual a posicao do centro de massa dosistema?
y
x2RR
R: xCM = R3 e yCM = 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 78 / 88
Exercıcio 7
A figura mostra uma placa metalica circular de raio 2R da qual foiremovido um disco de raio R. Qual a posicao do centro de massa dosistema?
y
x2RR
R: xCM = R3 e yCM = 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 78 / 88
Exercıcio 8
Voce precisa pendurar uma placa homogenea de massa M por um unicofio vertical. A placa tem o formato mostrado na figura. O lado dedimensao a deve ficar paralelo ao solo. A que distancia da extremidadeesquerda da placa voce deve fixar o fio?
a
b
R: xCM = 23a
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 79 / 88
Exercıcio 8
Voce precisa pendurar uma placa homogenea de massa M por um unicofio vertical. A placa tem o formato mostrado na figura. O lado dedimensao a deve ficar paralelo ao solo. A que distancia da extremidadeesquerda da placa voce deve fixar o fio?
a
b
R: xCM = 23a
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 79 / 88
Exercıcio 9
Uma bola de massa m e raio R e colocada no interior de uma cascaesferica com a mesma massa m e raio interno 2R. O sistema esta emrepouso sobre uma mesa na posicao indicada na figura. A bola e liberada,balanca varias vezes para um lado e para o outro e finalmente se imobilizana parte inferior da casca esferica. Qual o deslocamento d da cascaesferica durante o processo?
y
x2RR
R: d = −R2
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 80 / 88
Exercıcio 9
Uma bola de massa m e raio R e colocada no interior de uma cascaesferica com a mesma massa m e raio interno 2R. O sistema esta emrepouso sobre uma mesa na posicao indicada na figura. A bola e liberada,balanca varias vezes para um lado e para o outro e finalmente se imobilizana parte inferior da casca esferica. Qual o deslocamento d da cascaesferica durante o processo?
y
x2RR
R: d = −R2
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 80 / 88
Exercıcio 10
Uma molecula de um gas, com velocidade de 300 m/s, colideelasticamente com outra molecula de mesma massa que esta inicialmenteem repouso. Depois do choque, a primeira molecula desloca-se em umadirecao que forma um angulo de 30◦ com a direcao do movimento inicialda partıcula. Determinar a velocidade de cada molecula apos o choque e oangulo que a molecula-alvo, ao avancar, faz com a direcao de incidencia.
R: v1f = 260 m/s, v2f = 150 m/s e θ2 = 60◦.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 81 / 88
Exercıcio 10
Uma molecula de um gas, com velocidade de 300 m/s, colideelasticamente com outra molecula de mesma massa que esta inicialmenteem repouso. Depois do choque, a primeira molecula desloca-se em umadirecao que forma um angulo de 30◦ com a direcao do movimento inicialda partıcula. Determinar a velocidade de cada molecula apos o choque e oangulo que a molecula-alvo, ao avancar, faz com a direcao de incidencia.
R: v1f = 260 m/s, v2f = 150 m/s e θ2 = 60◦.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 81 / 88
Exercıcio 11
Um atomo de hidrogenio, movendo-se com velocidade v , colideelasticamente com uma molecula de hidrogenio em repouso, sofrendo umadeflexao de 45◦. Calcule: (a) a magnitude da velocidade do atomo apos acolisao; (b) a direcao de movimento da molecula (com respeito a direcaoinicial de movimento do atomo) e a magnitude de sua velocidade.
R: (a) v1f = 0, 859 v ; (b) v2f = 0, 362 v e θ2 = 57◦
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 82 / 88
Exercıcio 11
Um atomo de hidrogenio, movendo-se com velocidade v , colideelasticamente com uma molecula de hidrogenio em repouso, sofrendo umadeflexao de 45◦. Calcule: (a) a magnitude da velocidade do atomo apos acolisao; (b) a direcao de movimento da molecula (com respeito a direcaoinicial de movimento do atomo) e a magnitude de sua velocidade.
R: (a) v1f = 0, 859 v ; (b) v2f = 0, 362 v e θ2 = 57◦
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 82 / 88
Exercıcio 12
Um caminhao carregado, de massa total 3 toneladas, viajando para o nortea 60 km/h, colide com um carro de massa total 1 tonelada, trafegandopara leste a 90 km/h, em um cruzamento. Calcule em que direcao e deque distancia o carro e arrastado pelo caminhao, sabendo que o coeficientede atrito cinetico no local do acidente e 0,5.
R: θ = 63, 43◦ e d = 19, 53 m
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 83 / 88
Exercıcio 12
Um caminhao carregado, de massa total 3 toneladas, viajando para o nortea 60 km/h, colide com um carro de massa total 1 tonelada, trafegandopara leste a 90 km/h, em um cruzamento. Calcule em que direcao e deque distancia o carro e arrastado pelo caminhao, sabendo que o coeficientede atrito cinetico no local do acidente e 0,5.
R: θ = 63, 43◦ e d = 19, 53 m
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 83 / 88
Exercıcio 13
Uma reacao nuclear de grande importancia para a geracao de energia por fusaonuclear e a assim chamada reacao d-d para a qual um das formas e:
d + d → t + p
As partıculas representadas por tais letras sao todas isotopos do hidrogenio, comas seguintes propriedades:
p 1H proton mp = 1,00783 ud 2H deuteron md = 2,01410 ut 3H trıton mt = 3,01605 u
(a) Quanta energia cinetica aparece devido a variacao ∆m que ocorre nestareacao? (b) Um deuteron de energia cinetica Td = 1,50 MeV atinge um deuteronem repouso, iniciando a reacao. Observa-se que um proton se afasta a um angulode 90◦ com a direcao de incidencia, com uma energia cinetica de 3,39 MeV. Quale a energia cinetica do trıton? (c) A que angulo φ com a direcao de incidenciaemerge o trıton?
R: (a) ∆E = −4, 025 MeV; (b) Tt = 2, 14 MeV; (c) φ = 46, 83◦
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 84 / 88
Exercıcio 13
Uma reacao nuclear de grande importancia para a geracao de energia por fusaonuclear e a assim chamada reacao d-d para a qual um das formas e:
d + d → t + p
As partıculas representadas por tais letras sao todas isotopos do hidrogenio, comas seguintes propriedades:
p 1H proton mp = 1,00783 ud 2H deuteron md = 2,01410 ut 3H trıton mt = 3,01605 u
(a) Quanta energia cinetica aparece devido a variacao ∆m que ocorre nestareacao? (b) Um deuteron de energia cinetica Td = 1,50 MeV atinge um deuteronem repouso, iniciando a reacao. Observa-se que um proton se afasta a um angulode 90◦ com a direcao de incidencia, com uma energia cinetica de 3,39 MeV. Quale a energia cinetica do trıton? (c) A que angulo φ com a direcao de incidenciaemerge o trıton?
R: (a) ∆E = −4, 025 MeV; (b) Tt = 2, 14 MeV; (c) φ = 46, 83◦
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 84 / 88
Exercıcio 14
Um disco circular de raio a, que se desloca sobre um colchao de ar comvelocidade v e atrito desprezıvel, colide com um disco identico em repouso.O parametro de choque e b. (a) Considere a colisao no referencial docentro de massa. Levando em conta que a forca de contato entre os discosno instante da colisao esta dirigida segundo a linha que une os dois centrosO e O ′, determine o angulo de que se desviam os momentos dos doisdiscos neste referencial. (b) Determine as direcoes e magnitudes dasvelocidades dos dois discos apos a colisao, no referencial do laboratorio.
R: (a) θ′2 = 2 arcsen(
b2a
)e θ′1 = π − θ′2; (b) v1f = v cosθ1 e v2f = v senθ1
com θ1 =θ′12
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 85 / 88
Exercıcio 14
Um disco circular de raio a, que se desloca sobre um colchao de ar comvelocidade v e atrito desprezıvel, colide com um disco identico em repouso.O parametro de choque e b. (a) Considere a colisao no referencial docentro de massa. Levando em conta que a forca de contato entre os discosno instante da colisao esta dirigida segundo a linha que une os dois centrosO e O ′, determine o angulo de que se desviam os momentos dos doisdiscos neste referencial. (b) Determine as direcoes e magnitudes dasvelocidades dos dois discos apos a colisao, no referencial do laboratorio.
R: (a) θ′2 = 2 arcsen(
b2a
)e θ′1 = π − θ′2; (b) v1f = v cosθ1 e v2f = v senθ1
com θ1 =θ′12
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 85 / 88
Exercıcio 15
Um rojao, lancado segundo um angulo de 45◦ com a horizontal, explodeem dois fragmentos ao atingir a sua altura maxima, de 25 m; osfragmentos sao lancados horizontalmente. Um deles, de massa igual a100 g , cai no mesmo plano vertical da trajetoria inicial, a 90 m dedistancia do ponto de lancamento. O outro fragmento tem massa igual a50 g . (a) A que distancia do ponto de lancamento cai o fragmento maisleve? (b) Quais sao as velocidades comunicadas aos dois fragmentos emconsequencia da explosao? (c) Qual e a energia mecanica liberada pelaexplosao?
R: (a) 120 m; (b) v1 = 8√
5 m/s e v2 = 14√
5 m/s; (c) Q = 3 J
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 86 / 88
Exercıcio 15
Um rojao, lancado segundo um angulo de 45◦ com a horizontal, explodeem dois fragmentos ao atingir a sua altura maxima, de 25 m; osfragmentos sao lancados horizontalmente. Um deles, de massa igual a100 g , cai no mesmo plano vertical da trajetoria inicial, a 90 m dedistancia do ponto de lancamento. O outro fragmento tem massa igual a50 g . (a) A que distancia do ponto de lancamento cai o fragmento maisleve? (b) Quais sao as velocidades comunicadas aos dois fragmentos emconsequencia da explosao? (c) Qual e a energia mecanica liberada pelaexplosao?
R: (a) 120 m; (b) v1 = 8√
5 m/s e v2 = 14√
5 m/s; (c) Q = 3 J
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 86 / 88
Exercıcio 16
O motor de um foguete tem uma taxa de queima de combustıvel∣∣dmdt
∣∣ = 3, 8 kg/s e a velocidade dos gases de exaustao evc = 2, 3× 103 m/s. Determine: (a) o modulo do empuxo do motor; (b) amassa maxima que o foguete pode ter ao decolar da superfıcie da Terra.(c) Se a massa do foguete e de 900 kg no instante em que o motor atingepotencia plena, quanto tempo levara ate que o foguete comece a decolar?
R: (a) F = 8740 N; (b) M < 874 kg; (c) ∆t = 6, 8 s
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 87 / 88
Exercıcio 16
O motor de um foguete tem uma taxa de queima de combustıvel∣∣dmdt
∣∣ = 3, 8 kg/s e a velocidade dos gases de exaustao evc = 2, 3× 103 m/s. Determine: (a) o modulo do empuxo do motor; (b) amassa maxima que o foguete pode ter ao decolar da superfıcie da Terra.(c) Se a massa do foguete e de 900 kg no instante em que o motor atingepotencia plena, quanto tempo levara ate que o foguete comece a decolar?
R: (a) F = 8740 N; (b) M < 874 kg; (c) ∆t = 6, 8 s
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 87 / 88
Exercıcio 17
Um foguete tem massa igual a 15000 kg quando esta completamentecheio de combustıvel, em uma plataforma de lancamento. Ele e lancadoverticalmente e quando o seu combustıvel for totalmente queimado suamassa passara a ser 5000 kg. Os gases sao ejetados a taxa de 150 kg/scom a velocidade de 2000 m/s em relacao ao foguete (velocidade deescape), valores estes, ambos, supostos constantes, enquanto ocombustıvel e queimado. (a) Qual e o empuxo que age sobre o foguete?(b) Se pudessemos desprezar todas as forcas externas, incluindo a forca dagravidade e a resistencia do ar, qual seria a velocidade do foguete apostodo o combustıvel ter sido queimado?
R: (a) F = 3× 105 N; (b) vf = 2197, 2 m/s
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 88 / 88
Exercıcio 17
Um foguete tem massa igual a 15000 kg quando esta completamentecheio de combustıvel, em uma plataforma de lancamento. Ele e lancadoverticalmente e quando o seu combustıvel for totalmente queimado suamassa passara a ser 5000 kg. Os gases sao ejetados a taxa de 150 kg/scom a velocidade de 2000 m/s em relacao ao foguete (velocidade deescape), valores estes, ambos, supostos constantes, enquanto ocombustıvel e queimado. (a) Qual e o empuxo que age sobre o foguete?(b) Se pudessemos desprezar todas as forcas externas, incluindo a forca dagravidade e a resistencia do ar, qual seria a velocidade do foguete apostodo o combustıvel ter sido queimado?
R: (a) F = 3× 105 N; (b) vf = 2197, 2 m/s
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 88 / 88