LA
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS
Departamento de Estruturas
Exercícios Propostos de
Resistência dos Materiais
Fascículo II
Dagoberto Dario Mori e Outros
São Carlos, · 1978 Reimpressão
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS
EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
,, ,,
Fascículo li
DAGOBERTO DÁRIO MORI e outros
1.ª Edição
Janeiro - 1978
INTRODlJC' ÃO
Esta coletânea vem comple~entar o fascículo I,
"Exercícios Propostos de Resistência dos Materiais". Aqui
estão selecionados os exercicios referentes i segunda Pª! te das disciplinas de Resistência dos Materiais ministra
das na Escola de Engenharia de São Carlos.·
Esta publicação, do Departamento de Estruturas,
se deve ao trabalho do Prof, Dagoberto Dari.o Mori na cole
ta e revisão dos exerc!cios utilizados nas aulas priticas
ou arguições daquelas disciplinas,
Esses exerclcios foram elaborados pelos seguin
tes professores:
Dagoberto Dario Mori
Eduardo José Pereira Coelho
Eloy Ferraz Machado Júnior
João Carlos Barreiro
José Elias Laier
Munir Rachid
Walter Libardi
Esta 2a. edição foi revisada pelo Prof. Mareio
Antonio Ramalho e os trabalhos de datilografia e desenho
foram executado,s por funcionários do Departamento de Es-
1truturas.
são Carlos, abril de 1981
Departamento de Estruturas
/
. · Ij 1()·
109 LISTA DE EXERCÍCIOS ( L 10) RESI STÊN CIA DOS MATE RIAIS
-
p_ ,-
q
-
-
-P
-
,-
I
ESTA DOS DE TENSÕES
Um corpo está submetido ... as tensoes normais p e q.
No corte Ia tensão tan
gencial tem o sentido i�
-' dicado no desenho, e seu
valor ê 0,8 tf/cm 2 . No
corte II a tensão normal I �de tração e seu valor i
21,6 tf/cm
Calcular as ten$Ões principais, a tensao tangencial no cor
te II e a tensão normal no corte I.
Uma caldeira de diâmetro lm e espessura 2cm está sujei ta a
uma pre�são interna p • 50 kgf/cm 2 • Sabendo-se que a cal
deirai constitufda de chap�s de aço soldadas de tal ma-- o neira que a costura de solda forma um angulo de 30 com a
horizontal (vide figura), calcular as tensoes que agem no
fio de solda.
Da 100 PI
TJm t·ubo de oarede fina estâ submeti do a um momento torçor constante (M = 1,0 tfm) em todas as secç5es e a uma pre�
t 2 sao externa constante (p = 0,2 tf/cm ) conforme esquema
(secção do tubo),
Calcular:
1) Tensões principais, indicando, ela
ramente as direções onde elas ocor
rem.
2) T indicando a direção do cortemax onde ele ocorre
10 .. ,
p
-·
O cilindro de diimetro lrn e espessura 2cm, esti sub~etido a '.)
uma pressão interna p = 40 kgf/crn- e a um momento torçor
M"' 157 tf•m, Calcular as tensoes principais indicando as
direções onde elas ocorrem.
p = 40 Kgf/c:m2
Qual é a expressão da máxima
tensao de cisalhamento no es
tado de tensão representado
na figura?
___ t
r Calcular as tensões principais no ponto A situado na alma
do perfil. A seção que contêm o ponto A está submetida a:
momento fletor:+1000 kgf/m
força cortante:+1000 kgf
O plano de carregamento é o plano yy.
Dados:
J 907 4
1 cm XX
4 J = 7 5 cm
8, 5 Cffl
y
YY _______ .,
A
x--·-0,58
., med idg1 ,m c:m
� A caldeira de seçao circular de diâmetro lm e espessura 1cm
está engastada em dois "gigantes" e sujeita a uma pressão
interna de 20 kgf/cm2• Se o "gigante"@sofre um recalque
com giro a• 0,01 rad, calcular as tensões principais e in
clicar&' direçÕes·onde elas ocorrem. G • 800tf/cm
2
, li
'Gigante 11 Gigonte"
----·-- --·-- ---·
P1 = 20 I< gf,k;rrl' !
� -�8.--...00� rn�l.A-� ©
-
As duas peças da figura sao colo
cadas como ê indicado. A cola não
pode ser tracionada e suporta
tensão de cisalhamento de no mâxi
mo 0,4 tf/cm2 , O conjunto está
submetido iis tensões (principais)
indicadas. Entre qu·e valores pode
variar a tensão a para que a soli
citação na cola �eja admisslvel?
CORTE A-A
o, 1 tt/em1
----
O tubo de parede grossa, cuja seção ê representada na figu
ra, é solicitado por um momento torçor de 6 tf•m e uma for
ça normal longitudinal de compressão N.
Determinar o valor de N para que, nos pontos situados a 10
cm do centro da seçio, cr2 = 2 cr1,
/1·
"
Urr.a paral('lepÍpeJo d.e lados a/2, a, 2a
aos esfor~os transri tiJos pelas sapatas
(cm) foi sut~etirlc
(fig. 2) su; osta
sern atrito, do aparelho da.fig. 1. I)eterrninar a TT'âxi·:a ten
sao de cisalhamento no paralelepfpedo.
~ p(t 1
P(t)
)(
a a/2 FIG. 2 ,( FIG. 1 ....
:,o estado de tensao dado, entre que valores pode varLir
par a iu"' as terc,oes
pecti.vatr-ente;
? c
2~ -r',4 tf/c111~·
-µrincipais 0 1 e 0 2 nao ultrapasse•
(j
t y
o,stt/om2 1 l 0,8tf/cm2
L1 T = 0,4tf /cm2
y
.ara a estrutura da figura, calcular, para os pontos
da seção S-S, as tensoes principais.
( SE.ÇÃO TRANSVERSAL - CORTE S S )
42cm
A
6cm
,, ' r f' .
e
~p = U/m ~~~~-~~~~-~~~_._~~ •---B ,s
1 1 1
i l&! ~ t-4so,sm
------t 2 m_t ~ 5 ___ 4 m _ __ ·-+
1
42 cm
6cm
Para o estado de tensao indicado,' sabe-se que a tensão nor
mal no corte I ide tração igual a 1,25 tf/cm 2 ,
Calcular a tensão tangencial
no corte II e a máxima tensão
normal, indicando o corte on
de ela ocorre.
/ 1:/
r -p
A chapa, triangular da figura está submetida, em suas faces,
às tensões normais e tangenciais que a equilibram.
0,8tf/cm 2a =
a
1, 6 tf/cm 2ªb =
0,23 tf/cm 2T =
a
T O, 46 tf/cm =
Pedem-se:
a) Calcular as ten
soes a e Te c
b) Calcular as t ensoes
40 cm·
( 30cm 30cm
principais. 1------------------------------------------------
Na caldeira da fi6ura foi feito o seguinte reparo: retirou
-se um certo material avariado recortando-se a chapa da cal
deira sob a forma de uma superf[cie de lados a (ver fig.).
Finalmente recolocou-se na mesma posição uma chapa com as
mesmas dimensões de recorte e soldou-se. Determinar a for
ça de cisalhamento por unidade de comprimento de soldA, sa
bendo que a pressão interna na caldeira é de 5 kgf/cm�.
/
/
/ :30º
l
2 b
')
1
_ _....::;._j__ _____ l
p
1 1
t
-Numa certa viga, num ponto P, sao conhecidas as tensoes
nas direções indicadas. Sabendo-se que a viga, devido a
cargas verticais, esti submetida a momento fletor (M) e
força cortante (Q), pede-se o valor dos esforços solici
tantes.
Da d os: a a
-t--1 16cm 1
+ f3 cm
-+--
6 cm ~ -+-m
750 kgf/cm 2
=
b
1
~
--=~ ~--~·
\ '
""
/
2 crb = SOO kgf/cm
o
; /
Calcular os valores máximos da tensao normal e de cisalha
menta, indicando as direções onde· el~s ocorm~m, para o
carregamento indicado.
0,5U
A jA B C i:=::=======t=====::::;:===:::f
'-"-..._,,;_..,;_,;_--'-,/.~'-J -+-SECÇÃO A-A
a) Calcular t/cr para que a relação, em módulo, entre a
mixima e a mínima tensão normal seja igual a 2.
b) Para esta relação indicar os planos onde ocorrem O e 1
OBS.: Adotar para a e T os sinais indicados na figura.
Dl 't
1 1
Calcular as tensoes principais no ponto D situado na
transversal à direita do apoio B.
seçao
Dado: E= 2000 tf/crn 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
P: 0,6 t/m /.
,
r1 1 1 1 ! 1
1 - -+-o! :3'
--�1
�. � +o. s cm �
9 pm
�
1
1 mrmmrr
2m t
Dado o estado de
tensio, mostrad6
na figura ao la
do, pede-se de
terminar as ten
sões principais.
2m
/
Para o estado de tensao in�
clicado, calcular as tensoes
principais, Indicando os
cortes onde elas ocorrem.
2 T = 0,5 tf/cm
+
4 O em t
-
i
-t--+ 6cm
//�. 1,0 tf/cm2
//�)'V ·.� </, .. --� ··/� ·····
0 '�
·� � v 0,5 tf/ cm2
�
4,0 c:m - �
--=--,:45
°
Determinar os valores de T para o estado de tensão(E)que
se pode acrescentar ao estado (A) de modo que as tensoes
p r i n c i p a i s , d o e s t a d o · r e s u 1 ta n t e · ( A ) + ( B ) , não u 1 t r a p a s s e rr.
o valor de 0,8 tf/cm 2 •
0.4 -.-
. 'º·'
,: .,._ __
1 1
. (110121)
lt · o,stf/cm ,,
t ~ ~"'. i_ ,~
. ' ,~ 3,0 ctn 1 ,"-."-
1 '""----
' '"' ~~-> ' ! , 1/.,
3;0cmw· 0 ~
. 1, o y /Cm2 ',y-/ ·
'~-----1
"C .
...--~ 't
![~]!
1 1 . ...
/
Calcular as tensoes principais indicando os cortes onde
elas ocorrem,
a) _L · 0,6
~1or:. 0,6
0,6 0,:5
to.e tcJ
~os cortes indicados ocorrem as seguintes tensoes normais
respectivamente:
2 a 1 "" 1,0 tf/cm
ªrr = 0
2 ªrrr = -1,0 tf/cm
Calcular:
a) A tensão tangencial
no corte II,
b) os ângulos que os cortes
principais formam com o
corte I.
I
Para a viga da figura, determinar as tensoes principais,
indicando os planos onde elas ocorrem, nos pontos Q) e
@ da seção mais solicitada do apoio B.
111111111ifi111111111 ]'._I 1111
'1 2,0 m ;0,5m j 20cm
I
ç
�cter�inar as tensoes principais nos pontos A e R situados
na alma do perfil.
----
------- --- ---- --------
50 cm ______ �,-----+
Dada a viga sobre 2 apoios, cuja seçio transversal� comp o s t a d e 2 m a t e r i a i s d e t e n s Õ e s a d mi s s Í v e i s d i f e r e n t e s , p � d e-se:
a) as tensões principais nos pontos 1, 2 e 3 da seçaotransversal mais solicitnda,
b) o máximo valor da carga r (t ensio de estado duplo).
M eriol
lig çõo
OBS.: Os materiais I e II po
de. 0
1'
dem ser colocados em cima ou em baixo, quando da cons trução da viga,
MATERIAL 1 -
=
ªe = 8 Oíl kgf/crn
50 30cm z
lp 3m f 3m t
y MATERIAL DE LIGAÇÃO: = 400 kgf/cm
Sendo dados:
a e X l f o
Qual deve ser o valor de a y
para que as direcÕes princ�
pais façam ângulo de 45 ° com
as direções de a e aX y pectivamente.
r es- )
i!ATERIAL
o - o T C
II
=
SP 2 = 600 kgf/cm
J = 12,2 dm4
z
..,_ _______ t
!
2
:X. ~ \li\'I'!
+-2
l
[ 11 o/ 2 sJ t cr,
't
O'x O"x .....
~ ~\
~ ~m
são dados·
t=?
Calcular o e T y
Uma caldeira feita com chapa de espessura t estâ submetida
ã pressão interna P, Estabelecer fórmulas para cr 1 , 0 2 e
T -max
-·-·-11 Calcular as tensoes principais, indicando no círculo de
-MOHR os planos onde ocorrem, nos pontos A e B da seçao
do ponto de aplicação da carga concentrada.
6 ta ~-+2~
11tf '. 8
2._ 1
---h-
,!-~
,ííiím - -f-:tm ~/· l3!zi3~ Medido111 em ~
f
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
ti� LISTA DE EXERCICIO S ( LII)
ESTADOS DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES
Qual a relação entre as leituras nos extensômetros A e B,
Dados: EXTENSOMETROS
1 tf/cm 2
p =
E 100 tf/cm 2 2 =
µ = 0,25
Numa placa, num ponto, foram medidos, com extensÔmetros
e+étricos de resistência, os alongamentos em quatro dire-
çoes.
e: = 1000 µcm/cm a
e:b= 250 µcm/cm
e: = 500 µcm/cm e
e: d= 750 µcm/cm
a) As leituras dosPorque?
b
Cl
extensômetros si? sao coerentes entre
b) Se as leituras forem incoerentes, é possível descobrirqual a leitura errada? Porque?
Qual deve ser o ângulo e para que a leitura no extensôme
tro seja nula.
Características do
Mate ri a 1 : E , µ
p
p/2
iillillil exn:NSÕMURO
8
1
p/2
p
tf /em2
140cm t
e:
Um cubo de aço estâ colocado dentro de uma câmara de pres
são. Qual deve ser a pressão na câmara para que as arestas
tenham seu comprimento diminuído de 0,01%.
Dados: E = 2000 tf/cm 2
µ = 0,3
No ponto O da viga indicada
na figura foram medidas as
deformaç~es nas direç~es a
e b, encontrando respectiv~ -5 mente e: = 7,14 10 e
a -5 = 16,07 10 • Sabendo-se
e: "" b
que esta viga estã solicita
da apenas por momento f.le
tor e força cortante, calcu
lar os valores destes esfor
ços, sendo dados:
E= 2100 tf/cm 2
G = 800 tf/cm 2
M
Um cilindro de um certo material
Q
A Viga
'·º
\~c~l secção do Vigo
2 (E= 200 tf/cm
j Q M
e JJ =
= 0,4), com 19,99 cm de diâmetro e 80 cm de altura é colo
cado dentro de um tubo de parede fina (E= 2000 tf/cm2
)
com diâmetro interno de 20cm e espessura de 0,2cm e carre
gado atê a carga P atingir 200 tf.
Completar o grifico de P x 61
P '"' 200 tf
ao cm p l!? 1
P(U>
3 extensômetros colocados em uma chapa da maneira indicada
deram as seguintes leiturijs: € = - 0,001, € 1 = 0,001, e"=
0,003. Pede-se calcular as tens;es principais. Usar as se
guintes constantes e·listicas do material:
E= 2100 tf/cm2
1 µ = 3
1 ºI
f: 2,00 em l
Para o tubo de parede fina da figura -
sao dados:
e: ªª
E ==
= -1,40 X 10-4
22100 tf/cm
Pede-se calcular N e Mt
""4,80 X 10-4
µ = 0,3 (coef.de Poisson)
1
Calcular o máximo valor da distorção (y) para o estado pla-
no de deformação indi_cado. A direção@é uma direção prin
cipal de deformação, sendo€ = e: •a 2
l)ados:
e: a
-sE:b = 1,75 X 10
/ 45º /
/
Eli~I~- 45,
[·111/91
-5 1 10 m: X 1
1 so• ..,,,,
~ l( -
= 200 X 10- 6 e Eb = 300 X 10- 6 E
a são deformações nas dire
çoes a e b de um certo ponto de uma chapa, das quais E - - a
-e
deformação principal e igual a E2
, Sabendo-se que l = :::rinr
t f / cm 2
e u = O , 3 , p .e d e - s e c a 1 c u 1 a r a , a e T , i n d i c a d o s , X y
para o ponto,
-------,;
A chapa da figura esta carregada com as tensoes indicadas,
dentro do regime elâstico.
Calcular o ingulo 8, em que deve ser localizado o extens~-
metro, para que a tensao a seja dada diretamente pelA lei X -
tura (E) do extensÔmetro. Ou seja
O = R E X X
Calcular R em função das
características elâsticas
do material.
t, A chapa ABCD esta submetida a um estado plano de tensoes
a, a e T. X y
ERsas tensoes causam uma variação de 0,03% na diagonal BC
(aumento de comprimento), e de 0,07% na diagonal.AD (tam
bém aumento).
Sabendo-se que a = 2a , X y
Material:
E= 200 tf/cm 2
µ = 0,3
calcular as ten~oes ªx' a e T, y
-
Um corpo de prova de secçao 20 x 20 cm e comprimento 30 cm
ê colocado dentro de uma caixa rígida, com as folgas indi
cadas na figura, e submetido a um ensaio de compressão.
Sabendo-se que nio existe atrito entre o corpo de prova e
a parede da caixa, pede-se completar o diagrama P x 6t,
Dados: Constantes elásticas do material do corpo de prova,
2 E .. 100 tf/cm µ = 0,4
0,01 emH 20cm ii 0.01cm
Planto
/'30<:m
1
11 ,,
p
p
�
at,
e,
Ca
e,
�
�
Ai
A ia ..
.. tg a, =
::tg ª2
..
"tg<&, :a
~.02cm
t·i
ª,
+-
Calcular o 61 para uma carga P = 120 tf.
E = 100 tf/cm2
\J = 0,5
P::: 120 tf
T corte A A 100cm r· r~ 7
\Lll/15]
A N A
0,02 t t 40 cm t ~0,02cm
O paralelepfpedo indicado na figura fica submetido a uma
pressão p na direção y e impossibilitado de se expandir
na direçio x, embora livre na direção z.
Sendo:
E= M~dulo de elasticidade µ = Coeficiente de Poisson
Calcular o m~dulo de elasticidade apaxente (E )
çao y.
Define-se como E em uma direção o quociente: a
E a
= tensão normal naquela direção alongamento especifico naquela direçao
elevação
tttttJt
planta
a na di r e
Num ponto, submetido a um estado plano de tensões, são--=-12 2 -�
nhecidas: o "' 0,8 tf/cm ; a = 1,0 tf/cm ; e: = 0,8 x 10 ·X y . a (E i deformaçio de uma direçio que forma com x um ingulo
a
a tal que cos a= 0,8 e sen a = 0,6).
:Sab�ndo-se que E = 2500 tf/cm2 e µ = 0,25 pedem-se as ten
s�es.pormais e tangenciais nos cortes dados pelas direç;es
a e ó. .,
t ª'
---1»"!11,o ·,: O/
Q
,,,. ...... r ........ ª.:.
Calcular o deslocamento do ponto de aplicação da carga
P .. 40 11:f.
OBS.: No corpo II, nas faces sem contato com as chapas
r!gidas, aplica-se, segundo a direçio z, uma tensio
de traçio a = 1 tf/cm 2 . z
DADOS:
e orpo E 200 tf/cm 2=
I 0,3µ1 =
30em ) 30cm j
Corpo E2 II
µ2
-
-
-
-
-
7,f,�!� -o, 'J
ito-S-CORTE AA
400 tf/cm
= 0,4
(h J ~- /
a
A C:MilPA IIÍ61 Oil ,. azcltf /cm
L •• 20 ...
....,_ ., CHArA/ r 10 cm R{IIM ·' .
1
+
Qual deve ser o momento fletor (tração em cima), para que
o alongamento específico na direção AB, ao nível do ponto -4
P, seja igual a 5 x 10 , conhecendo: Mt ""momento torçor =
= 18 tf•cm; µ = 0,3; cosa= 0,8.
8 Mt Mt
Para o estado plano de tensões da figura são conhecidos:
E = 10- 4 E = 3,5 10- 4 E = -0,25 10-4
X y a
Sabendo-se que E= 2000 tf/cm 2 eµ= 0,25 pede-se determ~
nar as tensoes principais e os planos onde ela$ ocorrem.
Uma peça composta de dois materiais (materiais I e II, ver
figura) é colocada entre duas paredes indeformâveis. Alem
disso o material I estã envolvido por um "anel" também in
deformãvel, que foi confeccionado com uma das dimensdes di
minuÍda de um valor"a"em rel!_
PLANTA ção às dimensões deste mate
rial. Determinar o valor da
pressão de contato entre os J.
CORTE 1· 1
.1!J
ma t e r i a i s I e I I , em f u n ç ão d e I', f, a, sendo dados:
10 6 kgf/cm 2
EI 1:1:
EI r"' 5 5. 10 kgf/cm
2
40 -a µ =
I O, 3
\µ II '"' O' 4
Um pilar cilíndrico de concreto estâ envolvido por um tubo
de aço de 0,5 cm de espessura. Sabendo-se que a ruptura do
concreto se verificará quando houver uma deformação lon�i
tudinal unitária de 10-3 pede-se:
a) a maior carga P para qué nio se
verifique a ruptura quando o tu
bo de aço for resfriado de 30°
C.
b) as tensoes principais no aço no
mesmo caso anterior,
DADOS: aço - E "' 10a c
2 10-5/º ca =a
µa "" O, 3
.�mH 50cm
Concret:o E 200 tf/cm 2 0,2 - =µ "'c e
A fim de se realizar um ensaio num corpo de prova de con-
ereto ,. . I 01. realizado um sistema composto de
.. . 2 placas r1.g2:_
das e de 4 parafusos com passo de 0,2mm por volta, sendo o
cilindro a ser ensaiado colocado entre as placas, conforme
mostra a figura. As porcas são apertadas simultineamente e
para se romper o concreto foi necessário se dar 6 voltas
em cada porca.
o o- --
º o
PORCA
PLACA RIGIDA
CORPO D E PROVA
RÍGIDA
PARAFUSO
CORPO DE PROVA
OBS.: Considerar o comprimento dos parafusos igual ao do corpo de prova.
Pergunta-se:
a) Qual a tensão e a defor
maçao da ruptura do cor
po de prova?
b) Qual a variaçio de volu
me do corpo de prova no
instante da ruptura?
são dados:
Parafuso:
E a6 2 = 2,1 x 10 k�f/cm
A a
µa
= 5 cm 2
= 0,3
Coq?,o de prova:
D = 15 cm
µ = 0,18 c
p
E
X
PARAFUSO
PLACA
... ~----PARAFUSO
5 2 Ec = 2 x 10 kgf/cm
Dada a tensao de cisalhamento T = 0,649 tf/cm 2, a deforma-- ... -4 çao medida no extensometro A,€A = + 5,473 10 ,e a deforma
ção medida no extensômetro B,€B
""
-3,807 10-4, do modo indi-
cado na figura, ped,-se o
/
�11 tado .çle tensão (a , cr ) ,
X ysendo dados ainda:
0,649 tlk;r ·
/ 2 -E= 2100 tf cm (modulo de
elasticidade)
µ = 0,3 (Coeficiente de
Poisson).
LI
Calcular o T que ocorre no corpo lmax
E"" 2100 tf/cm2
µ = 0,3
P = 100 tf
,.._ ______ �.,.-,o,649.tf /cm
01111"0 l!ÍilOO
Obs: não hã folga entre 10 cm
Dado o esquema da figura, pergunta-se qual o miximo valor
da tensão dé compressão cr aplicada no corpo, para que não z 2
seja ultrapassada a tensão admissível cr = 1,0 tf/cm nas
barras que prendem as chapas rlgjdas.
DADOS:
[LEVAÇÃO 11ittfA Para o corpo:
1� r1
., ., 5cm
LATERAL
=r·� �
., 40.cm
� .
PLANTA
E 210 tf/cm 2
li "" 1/3
0,9 tf/cm 2
Para as barras:
E "'
(J ...
s "'
22100 tf/cm 21,0 tf/cm
3 cm 2
S = ãrea da seção
transversal
I
...
(J = y
Determinar a relação entre o a e a
comprimento, na direção do corpo B
para que a variação de
' 2 X l 0- 4seJa a
Dados: (::J •1tfA::m1 (1:1tf/J (1_ 11 lt'WCR12
z z z
= 150() tf/ cm
]J = O, 1 5
caill.o r(glda
+�---+ 20 + 1.50
ªº O'c
yr 'ªº . O'c
Urna peça composta de dois materiais de diferentes módulos
de elasticidade, ê colocada entre duas paredes supostas i�
deformáveis e, em seguida, a parte central (material II) é
comprimida por um êmbulo (de material indeformãvel), como
mostra a figura, com a carga P = 40,0 tf,
Pedem-se: a) as pressoes de contato entre os materiais I
e II;
b) o estado de tensoes no material II;
e) o estado de deformação do material II.
DADOS: µI
= 0,3
µII= 0,4
EI
12 10 5 kgf/cm X
Eir= 6 10
5 kgf/cm X
b.4BOLO r
ÊMBOLO
....,._t _50-"-'-c:m ----..-f 4
_0 �-: --+-t --=:...c:...50 �_
Êt,480LO ,V� I' l 40 cm
VISTA SEÇÃO TRANSVERSAL
1f1tl/21) 1
w o LtJ a: :.
2
e
ll
t t
2
2
Dado um elemento sujeito ao estado plano de deformação 5 que E = 0,001, E = 0,005 e o material de E= 21 x 10
x2 y
er
kgf/cm eµ= 0,25, determinar:
a ) As -tensoes pri nci pais,
:so 0 ;© ---i------r~ !
sabendo-se - direções 1 que X e y sao 1
principais. - ------ ------1
--+--------~ /
b) o estado de tensões (módulo, di-I
-sentido) (DG) 1 J
reçao e do corte I
indicado fi::1,ura. :d :D na
Para o estado plano de tensões indicado, determinar entre
que valores pode variar cr de modo que: y
a) em nenhum corte a tensao normal seja negativa, e
b) a deformação específica na
de no máximo -4 1,4 X 10 ,
2 DADOS: E= 2000 tf/cm
direção de y seJa, em módulo
µ = 0,25
r ____ ,,..,... 0,4 tf / cm2
o,•o,s1~1
0,4tf/ errF ...ii----
LI Na chapa de aço indicada foi desenhado um círculo de 50cm
de diametro. Apôs o carregamento, o círculo transforma-se
em uma elipse. Quais são os comprimentos dos diâmetros m~
ximo e mínimo da elipse?
E= 2.100,000kgf/cm 2 i 600 •oi/cm'
µ ""0,3
1200 ~f/em2
t 600tof/cm1
No estado de tensões (I), a variação específica de área. é 6S/S. Qual deve ser o estado de tensões (II) somado a (I)
para que 6S/S no estado III seja igual i encontrade em (I)?
A chapa trabalha em regime elãs�ico.
2 l,2tf/em
DADOS.
0,6tf/c:m2
I 2
l,2U/em
O,Gtfkm 2
(II)
E= 2100 tf/crn 2
OBSERVAÇÕES:
Oa l,2+cJ0
JJ = 1 / 3
·,.a) No estado de tensoes (III), para qualquer valor de a·,-s a b e - s e q· u e . não o e o r r e d i s t o r ç ão ( y = O ) ,
b) Desprezar o produto EaEb em confronto com Ea ou Eb.
No esquema da figura, os corpos tim seçio 10x20cm e o
corpo @) deve ser encaixado entre os corpos @ e ® P!:,
la aplicação das tensões a • Apôs o encaixe, pedem-se� o a) a relação entre as tensões cr1 e cr0, sendo cr1 a tensao
,que solicita o corpo © após o encaixe.
b) Qual a variação de comprimento do corpo @
0
t40cm
t§Oçm
t
jocm ®
©
• 40,04 cm +
Para o estado plano de tensão da figura, foram medidos E =
-6 - (, ' X
= 350xl0 e 'cy = -300xl0 . Sabe-se ainda que a distor-
ção máxima mo plano xy(y - )'' 325xl0-6. Determinar o estamax d o d e t e n sã o • y
l t Oy llor
----l 0-)t
Dados: E ,,
= 2000 tf/cm ...
µ = 0,3
y
)(
-0-t (Tb
013 +O'b
ª, D - -i l (Jb 0,6+0'b
100 crn
Determinar as deformações especfficas nas direç;es a, b e
e, no ponto O da viga da figura,
.3Qcm
+ 14
---------+ IOm
e ---'-o
----·---.·---"' '20m 10cm
·+---"2""-'-'-m'------~l~mc:..:...... _ _,.__ IOm
DADOS: I = 2100 tf/cm2
µ = 0,3
-6 E:
8 = 150xl0 , E:b = 300xl0- 6 e E = 150xl0-6 são deforma~
e çoes específicas nas direções a, b e e, respectivamente,
de um certo ponto de uma chapa, Sabendo-se que E= 2000
tf/cm 2 eµ= 0,3, pede-se caluclar as tensões principais
indicando os planos onde elas ocorrem.
b lZO" o
' -;,o.
o
iO
/~ / '
e
Na barra da figura foram medidas, nas direções e pontos in
clicados, as deformações específicas. Determinar os esfor
ços aplicados N,Nfte Ht, sabendo-se que o momento fletor ~
tua no plano xy,
-4 E = -0,Sxlü
y E:
X
-4 = 4xl0
E= 2000 tf/cm2
N
-4 E = 3,3xl0
e
µ = 0,25
l
y
2
1(111/381 1
Num corpo, submetido a um estado plano de tensao, foram me
didas as deformaç;es E e e; e sabe-se que a �orna das ten -a a
2 s;es principais� igual a 2,0 tf/cm. Determinar as tensoes
principais, indicado, os planos onde elas ocorrem,
( '"' 2 , 5 X 10-4a
10-4= 7,0 X
a 2
E = 2000 tf/cm
µ = 0,25
Num ponto, submetido a
cidas duas deformações
não atuam as tensões e
/
/
J ,? U)
oi /
_l I/ e:a
1- --º·ª o .. j
um estado plano
específicas (e; aa deformação na
de tensao, sao conhe
e €b) no plano onde
direção perpendicu -
lar a este plano (e;). Pede-se o estado de tensão e as tenc
soes principais, indicando-se os planos onde elas ocorrem.
E a
e:b
E e
E
µ
=
-
= 2 X
"' 10-4
2000
0,25
10-4e
\ / 2
� tf/cm -\, o
Quatro corpos elásticos sao colocados em uma caixa rígida
conforme mostra a figura. Determinar o deslocamento ót .
E= 2000 tf/cm2
caixa rígida µ = O, 3
m lI
-4 = 2 X 10
0,01~. i.0,7 ~~:M 1
~ 40 crn -~2-+----~
/
/
-
A barra mostrada figura estâ solicitada por uma força nor
mal N de tração da maneira indicada. Sabendo-se que as defor
mações específicas nas direções A e B indicadas são respecti
vamente e= -0,00015 e Eb= +0,000425,pede-se determinar ova a 2 -
lor da carga aplicada N, sendo dados E= 100 tf/cm e ~=0,1
Se a seçio onde sia lido& os valores de E8
e Eb fosse solici
tada também por força cortante, ped·e-se indicar e justifica!.
qual das afirmativas abaixo ê correta.
a) A leitura de E8
ê modificada.
b) A leitura de eh ê modificada.
c) são mod icadas as leituras de E8
e eb.
d) As leituras de e8
e Eb não são modificadas.
t· '50cm
t·
$ 1 1
N
IN '
toem -+= f? m
-Os corpos I e II sao colocados, sem folgas, entre duas pare -
des r!gidas. são aplicadas: a carga P e a tensão e ,conforme - z
a figura. A parte com 20 cm de comprimento do corpo II ê colo
cada entre duas paredes rigidas na direção do eixo Z. Pede-s
o valor da tensao entre os corpos e a variação de compri~enm
da direção x do corpo I. Dados:
'I x0,8tf/cm1
,, t f f t ' f f t t f t t t t +
lI lC I
llUHilHlt,HHU ; o.e tf /cm 1
1
40cm 10cm
n § o -
20cm
Corpo r·
E1
.. 500tf/cm2
µ 1 = 0,3
Corpo·II
2 EII"" lOOtf/cm
µII.,. 0,4
) •
RESIS TÊNCIA DOS MATERIAIS
--- --· __... ,._ - � -- ' -
12� LI STA DE EXERCÍCIOS ( L 12) I �
CRI TE R I O S D E RESISTE N CI A
Os parimetros que definem a zona sem ruptura do material
que segue o critério de Coulomb são:
Coesão: T = � kgf/cm2
Ângulo de atrito interno: � = 20 °
2 Dadas as tensões de compressão: p1 = 14 kgf/cm e
Pz = 80 kgf/cm 2
dizer se o estado ê de ruptura ou não. Justificar.
A caldeira da figura, de diâmetro d e espessura t (t << d)
estâ submetida a uma pressão interna p, Dar as expressões
de:
1) o e ºba
2) o. (critério 1
ª energia de distorção)1
em função de p, t e d.
P11 t~ pi ,:e
. ---(j
P2 elevação
..
r 11111111111 1111 ! li [ l l l l l l l l 1111 [h p
E (.)
0,79 cm ~
[ in N
_J_ -r. --.--
1 1,25 X B lc
Pl!fll'I L l: 10~ 1 :n. so kgl/ m l +_j/3 l 1
Verifica-se a carza P, que pode ser colocada no meio -· C:o v ao 9
ou no ponto A, ~ admissivel, usando o crit;rio da energia de
distorçio com~= 1,4 tf/crn 2 .
p = O, 7 t f / ['.
t = 6m
p = 2 tf
Calcular o v a J or admissivel da carga P. A viga ~
e de ferro fun
<lido com tensoes admisslveis:
p
1
10 cm
Sabendo-se que um determinado material segue o crit~rio de re
sistincia indicado, verificar se o estado de tens;o ~ admis -
sível. y 1
1 1
0,3 tt /m
s
J
í{
Sabendo-se (:ue a = 1,2 tf/cm 2 e ç9e o material serue o
criterio de Lnergin e Distorçio, �erificar se o carre��
�ento dadq ê admissível.
11.�tf r,5tf
f �n,
0.5 t
!=-· ·-·· =+fc·�� ! 'º ... t �t-
• 1
1,5 tf
l/5tf
Num certo material �:ec,ue o critêrio de "lohr ·indicado na
figura. tum det�rminado ponto de um corpo deste material,
as tensoes principais são:
= o
o 2 •-3
Provar
2tf/cm
que este estado
e admissível.
1,0
No sistem� espacial �a figura t;das as barras
vazada.
ten seçao
Pede-se: a) os diagramas de esforços solicitantes;
b) a maior tensão ideal CJ. (critério de enerria1
de distorção)30cm
Dados: 111 0,5 Cffl
= 15,7 cm 2 30cm
= 196, cm XX l(
37,3 cm XX '·º t
10 cm
01S: No cilculo de CJ,, pode-s� 1
desprezar o efeito de f;rça cor
\
1~ 1 i i 1
! : 1
!
=
tante e fOrça
4
3
norma 1 e
40cm
-~ Um material segue o critério de resistência representado
graficamente na figura.
1) Qual o valor crt para o estado de tensão A.
2) O estado de tensão B não é admissível.
-Somando-se a B o estado C, pretende-se que nao haja ruptura.
Calcular p.
Calcular a tensão ideal
do engastatnento.
(O', ) 1
-nos pontos 1, 2 e 3 da seçao
A barra da figura esti submetida a uma força normal N = 3tf
e um momento torçor Mt. Calcular o valor admisslvel do homento torçor. O material segue o crit iode Tresta (caso
particular do critêrio de Coulomb), sendo:
-a - • a - = traçao compressao
= 0,5 tf/m 2 . 4cm
/
!L 12; 12}
p
Um determinado material segue o critério de ruptura indica
do na figura. Dizer entre que valores pode variar a tensão
de -
haja compressa.o p , sem que ruptura.
A secção mais solicitada de uma viga estâ sujeita a um mo
mento fletor: de 20 tf•cm e a um momento torçor de 40 tf•cm.
O material segue o critério da energia
·de distorção. Dimensionar' a viga admi
tindo tubo de parede fina com d = SOe,
- 2a • 1,4 tf/cm
J
Achar p para os casos indicados, o material segue o crité
rio da figura. Todos os casos são estados planos de tensão.
-
p D p- --
J.
,,01 ..
f ktf )
20 " ::::r cm
·o
. , ' 6 1 • P/2 ~ .~
~2 .
f,, ,·
. 2)
s, tp . ,...__ __,.. p D,,,
ip
Ferro
Verificar a viga de ferro fuftdido cuja seçio abaixo esti
sub~etida a u~ momento fleto~,pTovoeado por cargas vewti
caí~, iaual e. 65 tf•em ~ a Yffla co:rt,ante de 5,S tf,
fundido { :: :
J . = 820cm viga
2 0,4 tf/cm
2 0,8 tf/cm
4
------h ·1
6
t 5 t2~t--5---fl,- Medidos em cm
Um certo material segue o critério indicado na figura,
Achar p para os casos indicados.
parábola do 29 grau
--""""41----""""""!1---...... ---.... a ( tf /crf)
Calcular a pressão axial de ruptura Pa para o ensaio abai
xo esquematizado. O material segue o critério de resistên
cia indicado.
t
tOkgf/cm 2
10 kQ1'/cm2
2 10 kgf/cm
Dado o pilar com seccao aberta �ubrn�tido ao esforço P in
di cado na figura, achar a mi�ima terysio idaal,
P;: 40 tf
. +.�--
(\j (\J
6 cm 6 cm
P= 40 tf
e-.
_.....__ ___ 1_2_c_m _ __ �
No eQ.saio ã compressão tri-axial d e um solo coesivo (fig u
ra), verif icouM se, para dois corpos de prova, no instante
da ruptura, os seguintes valores de pa e P9,
•
Ensaio I
Ensaio II
{pª = 5
P 9, =
{pª. p ""
9,
1
8
2
kgf/cm 2
kgf/cm
kgf/cm 2
kgf/cm
Sabendo-se que o material segue o
critério de Coulomb, calcular as
tensões máximas de tração e com-
pressao.
Pe
E o
2
2
o
~ 1
A figura indica a zona sem ruptura de um certo critério de
resistência, Sabe-se que os estados de tensões A e B estão
na eminência de provocar ruptura no corpo, Calcular os va
lores a e b que definem a zona sem ruptura,
Estado A
2 o1
= -2,0 tf/cm
= o
Estado B
0,25 tf/cm 2 a =
X
0,25 tf/cm 2
a = y
a = o z
T = 0,75 tf/cm 2
Uma viga de ferro fundido, -cuja seçao transversal e mostra
da na figura, é submetida a um momento fletor M = 50tf,cm
e a um esforço cortante Q = 10 tf, provenientes de um car-
regamente vertical. Verificar se esses esforços provocam
estados de - admissÍvei s. tensao nao
0,4 tf/cm 2
1cm O'T =
0,8 tf/cm 2
a = c
l( ---· 6 o N
~ 14 cm .. ,
O material de que ê feita a viga de seção circular da fig~
ra segue o critério da energia de distorção com - 2 a "" 1, 5 t f / cm •
Calcular o valor admissível de T (T = ?).
!ST T T
t2cm 4tf ·-- --· --· -- -- -4tf
Q,2m l 0,2m t 0.2m f
lm
e
p
e
A viga da figura ê consti
tuída por um material que
segue o critério da eneria
de distorção. Sabendo-se
que o = 1,4 tf/cm calcu-
lar o valor admissível da
carga P.
* Despreza r a influincia
d e Q.
Calcular a máxima tensao ideal (o. - ) da viga-calha bi-1.max _apoiada da figura, sabendo-se que o material da viga se
gue o critério da energia de distorção.
t 1 O _ffl ___ -4t
,-
. _
Medidos em cm
Verificar a seção do engastamentb
material segue o critério da
energia 'de distorção Õ = 1,4
tf/cm 2•
nos pontos 1 ' 2 e 3 • o
Il0"(37,8kgf/m)
J "' 5140 cm4
W '"" 405 cm3
i
14H
íl, 8 cm
t . 2 1,25cm
O 79cm li, 45an
,.fl$)HI IH
2
t
d •40 .• _ _..__
,A;,
,·
2Õe ....
p
Um certo material segue o critério 4e resisti~cia indicad~.
O estado A ê suposto não admissível. Qual dev~ ser o mínimo
valor de E do estado B tal que (A+B) seja admissível?
~ ~ 2ei:
p 2kg/cm2
® p
O cilindro da figura está subrn~
tido a uma pressão lateral P 2 = 2 -= 0,5 tf/crn e a urna pressao lon
gitudinal P1 . Sabendo-se que o
material do cilindro segue o
critirio da energia de distor
ção e admitindo urna tensão ad
missível a= 1,0 tf/crn 2 , pede
-se calcular o valor máximo ad
missível da pressão P 1 .
Dimensionar o eixo
indicado na figura, 'L:: ltf y
2tf
/ 1 \
o P1
neio. 11leo
Medidas em cm
o
a= l,4tf/cm2 - O materiàl segue o critério
da energia de distorção.
e:,
Sabendo-se que o corpo0resiste ao ca!W?egamento aplicado e que
o corro@ segue o c.r.n,, deterrrdnar a margem de serurança com
LJ u e e s t ã t r a b a l h a:
d o o c o r l 'O e; + at q em •
po@ em relação a sua ten I··
são e, quando se aplica no . � - CORTE A•A corfo �' na direçao z
uma tensao z de compressão.
OBS.: 1) entre os corpos G) e@ e o corpo rígido não
existem folgas.
2) Desprezar atrito entre
os corpos.
DADOS:
l' = l 00 t f
a e = 2,4 tf/m 2
a = 0,6 tf z
µ = 0,3
2 E= 2 100 tf/cm
cm
I,
:·�.· . .',ci>�PO :'.RÍGID�·.
1 I • •
PLANTA
\ r I , 1 , ", '/ ,' ..... � ,' , ' : .. ,1,., ; •: •
'. . ,CORPO RIGlOO :· . : ·,: .'·. •, :" · : , 1 • ' ....
' • ...... .,f 1 " • ·' •• •,: • ', ·',, ••
/'
. ,. ';
•,, • • I,'. ' • \' 'ti ,._ '
,". ·:{ ,;·_::.:_,,_ ...... :' ..
p
O corpo de prova (E 2 00 tf/cm 2
c e u = 0,2),c metro 20 cm estâ envolvido por um tubo de aço
cilÍndr\CO de diâ
2 (E
A= 2 000 tf/cE e
µA
= 1/3) de espessura t= 0,5 cm. Sabendo-se que o material do
corpo de prova segue o critério de Coulomb com Õ = 50 kgf/crn 2 e - ·2 - T
p ªe= 200 kgf/cm, determinar P
CT
(50;50)
(50,0)
CRIT!RIO O! COULO•& ( UTAOO PLANO)
11tfe1!112
10 10cm
20cm
o lt')
Um ponto de uma chapa estâ submetido ao estado de tensao indici
do. O mateiial segue o critério da energia de distorçio com a=
2 O 9 tf/cm2 • Determinar o estado de tensão (o' • 0·1 e T' )
9 X' y xy que deve ser acrescentado ao estado indicado para que a tensac
f •6tf/cM1
12ttd�'
l QSU/4m1
ideal se iguale ao valor admissivel e, ao
mesmo tempo, a tensao tangencial se anule
em qualquer corte.
YL
2
-200.-200) ___ ;..;;;;;::::.:...~ J ( !5 i - 200)
!li •
. . • 1.
,. ~ . . -
· 10cm .,.P
"'· ...
-t--.-----1_,-=...--=...:._j_: 1 ..,.--,-
E (.)
, .,
••
li t
Numa viga de ferro fundido ensaiada à flexão, atê a i~inên
eia de ruptura, encontrou-se na situação mais desfavorável
a seguinte tensão principal:
r Sabendo-se que as tensões admissíveis p~9
- - 2 ra o ferro fundido sao a= -0,Btf/crn e 2 . e -
crT=0,4tf/cm , determinar as tensoes de
ruptura ã tração (crT) e à compressão(crc),
admitindo-se o mesmo coeficiente de segu
rança para ambas.
'IJ
X
\.-'ºª 0,5t f/em2
\ \{ 4inçlo principal
\
Para o ei~o da figura calcular a mixima distincia b, de mo
do que não seja ultrapassada a tensão admissivel Õ = 1,2
tf/cm 2. O material segue o critirio da energia de dist~r-
-çao,
O material da
= 0;8 tf/cm 2 e
s iv el da carga
gura.
.. , 1 :1 t l 1 1
2~ -~
10 tf. cm ( Momento Fletorl
8cm
viga segue o critério de Coulomb com Jã J = - 2 c crT = 0,6 tf/cm . Determinar o valor admis-
p uniformemente distribuída na viga da fi-
tem
26Ufi
f
t 12•m t
A chapa da figura (ferro fundido) ê submetida a um estado
de tensões em suas faces. Sabendo que, na iminência de ruE
tura ocorre uma distorção y = 0,001 no elemento interno,
solicitado por um "cisalhamento puro", pedem-se:
IOOU
n
a) determinar a solicitação externa da cha-
pa.
b) determinar as deformai�es E e E • X y
c) determinar as máximas tensões de ruptura
ã tração e compressão e o coeficiente de
segurança utilizado se forem usados ªT
:2 - 2 = 0,4 tf/cm e o = 0,8 tf/cm e o critê
.c
rio de Coulomb.
F: = 1000 tf/cm2 ·µ = O, 2 5
Um determinado material segue o critério da
energia de distorção e tem os seguintes va
lores para as constantes elásticas: E = 200
tf/cm e µ = 0,4. Uma carga axial de 100 tf
atuando sobre um corpo de prova cilíndrico
de 20cm de diâmetro apresenta urna segurança
em relação ã ruptura de 1,875. Pretende-se
aumentar esta segurança para 3 colocando o
corpo de prova dentro de um cilindro, ríii
do, vazado, com diâmetro interno de (20+6.)
cm. Qual é o máximo 6 que se pode admitir?
O cubo de 20x2 ¼20cm ê de um material que segue o critério
da energia de distorção. Determinar P sabendo-se que o ma-- 2 2 terial tem: o = 1,2 tf/cm ; E = 200 tf/cm e JJ = 0,4
A· e ______ _
o-------
0.02
0.02
20cm 0.02 e
p ers !)·ec tiva
2
1 [Ll2/40]
Para o estado plano indicado
deduzir uma fórmula para a ten
são ideal, pelo critério da
ener a de distorção.
t
Uma viga de secção retangular esta su
jeita, na secção máxima solicitação, a
uma força cortante O e a um momento
fletor M = 3•Q•h. Calcular, demonstran
do, o máximo valor da tensão ideal pe
lo critério da energia de distorção,
indicando em que ponto da seção ela o
corre.
-1 ,·2 t f / cm 2 Sendo a = , M
Plono Oe c:orreg mento
M 4M
h
-F f 1,f ~ j2,·· calcular o valor ad-
mi ss!vel .. , ..
do momento 5tf
Q critério M pelo da
t 1
~ energia de distorção, o +
o ~ o 1
A barra de aço, de seção circular constante, ê carregada
conforme figura. Sabendo que o material segue o cr:J tério
da energia de distorção (cr 1,2 tf/cm2 ), calcular P.
p
f
A viga da figura, constitu!da por um petfil de aço I 10" x
(37, 80kgf/m) com; = 1, 2 tf/cm 2 , ; submetida i açio si
m u 1 t â n e a d e 2 c ar g a s c o n c e n t r a d a s i g u a� s a P •
a) Calcular P, O critéri o a ser usado io da energi� de
distorção.'
b) A tltulo de comparação, verificar a iesistincia da vi-
ga, com o P calculado, usando o critêiio da maior ten-
sao de cisalhamento,
!pi 1 O 11 (37, 8kgf/m)
l A
! i0.5mf
11111//1
Z,Om 2.0m t
A v iga da figura ê consti tuída por um perfil de aço I 10 11
( 3 7', 80kgf/m); a o q u a 1 se s o 1 d a m d u a s chapas d e 1 5 , O x 1 , 5 cm ,
do mesmo aço, em determinado trecho CD para aumentar a sua
resistência, Calcular o maior valor P e os valores a e B
(comprimento no trecho CD, onde é exigido o reforço), são
dados: o = 1,4 tf/cm 2 • - Critério da energia de distorção -
: o
25,4
't- I?
� 2,0ffl ,sem
A estrutura da figura esti sujeita is cargas indicadas.
-2
1-a 1 Sabendo-
se que ºt = 0,4 tf/crn e e =
o material segue o cri tério de Coulomb,
que valor pode variar a ca!ga axial N,
OBS.: desprezar o efeito da cortante.
2 0,6 tf/cm e que
calcular entre
-�
r m1t
,,_------,-t,Q""'. _.,, N=?
' 100 cm �1 Mt = ao tf/cm
o; -+------i�-+----9"
r 16 cm � (0.6 i O, 6)
""
- - --~-----------
---------=-·'""'--,·ra•,,-._,_"'''=-~-·-·--------
- ~ Para a ví~a ata~xo, calcular ~t sa~endo-se ~ue a= 1,4 tf/crn·
O materiPl seRUP o crit;rio da ener~ia de dístorçio.
Traçar (em escala) o grifico da tPnsao ideal a. pelo Gltimo ti , l
rode FRRFCA en funçio da tenRio r, no intervalo indicado,
Esboçar (aproximadamente em escala) o grifice corres~onrle~te ~e
ra o crit;rio da energia de <l{storç;o.
F~rmulas para a tensio ideal:
FRESCA: a.=(tensio principal J. 2
EnergiR de distorçio: ai= a 1
mixirna)-(tensio príncíoal rn!ni~a)
+02 - c-1°2 2
-1,0 , ..
estado plano de
tensão (o-3:0)
- 2.0
Calcular~ máxima tensão ideal que ocorre no eixo. o eixo da
figura está submetido ao momento torçor e ã força normal in
dicados.
Mt = 40 tf/cm
N .., 30 tf
d= 8 cm
1 - -~~I N
Fara o estado de tensão ;p~ic~dns calcular o valor ~dnissÍvel
da tensio de cisalhsmento. n ~aterial segue o crit;rio aa ener
gia de distorçio com~= 1,n tf/cm 2 •
tº·3 1:
J?,6 j 1 06
1: -
!Q3tf/cm2
0,5
- 2 Sabendo-se que a = 1,2 tf/cm e que o material segue o cri
terio da energia de distorção, verificar se o carregamento
dado ê admissível.
·etf'/cm_ !!'Hf
=�, 1�=1 =, =i=,=i:=, =, =i =i =i =i=1=1::
Para um certo material, a representação do critério da re
s istência ê dado por:
IOkgf /cm2)
10
Pede-se:
- O valor de ªr
do ensaio de tra
ção sirnples,
- O valor de a do ensaio de come pressao simples.
- O valor de T � do ensaio de cimax salhamento puro.
O material se gue o critério da energia de distorção. O es
tado a) e admissfvel no limite, Calcular o valor admissI
vel de p no estado b).
Para este valor de p, calcular entre que valores pode va
riar a tensão principal o3
aplicada per.penrlâc_u'113'rm:etrte , a:0
planó·indicado. a)
0,5
Df-'(5
J 0,5
( estados pio nos de
tensão )
f 112/49] -
·«- __,.} =fü,i i
lçm - - aocm
.A; -· ~ - ~4.i-~ 4m ~ i 1 l
tm Í 12 cm -, 1•6 °"'
---
(112/SQ_j
1 l ---------- r-.
" " ,, / a /
/ --------- v ' 1
J 10 kt;if /cm 11
f112/s1j
1)) 1\ -----..... 1
)01~ - u 1'5tf/cm2 p ...
.-.,._ p l p
Verificar se o carregamento na viga de ferro fundido ê admissI
v e 1.
DADOS:
2 a= 0,8 tf/cm e
- 2 a= 0,4 tf/crn 1
2i z ,... :sm ·I· lm
! 5t1'
=I
J_
T acm T
tem 1
1
140cm
l_ 1
2cm _j_ 4 1
1 1. -1 -Ll2/53 U1ua vira de ferro fundido com seçao transversal conforme a fi2u-
12/54
ratem peso pr;prio g de 200 kgf/m. uando a rnontage~ ê feita~
forme o esquema CD • ela admite urna sohrecarea admissível F ,.?_
ra aumentar a capacidade da viga em receber sobrecarga, pode-se
proceder conforme esquema @. Deterr.1inar entre quais limites
pode variar t para que a ca~acidade da viga no esquema o
o dobro da do esquema G) , ~ DADOS: f 4m f CD Õ = 800 kgf/cm 2
e
Õ1
= 400 kgf/cm 2 4m
Calcular o valor admissível da carga P, sendo dados o = tf/crn 2 , l
Õ = 0,8 tf/cm 2 e sabendo-se que o Material da viga segue o cri-
t~rio de Coulomb, ~ 2ocm 1
p
1 ! l l l l l l l l li l l l l 11Í111[ f 111111111 _J[ X
t 4m j I m j
Determinar o ângulo entre os planos, ?ara os quais o par de ten
s~es (o T) esti na imin~ncia de ruptura, pelo criterio dado.
Cf
0,5 p
0,5 p
RESISTE N C IA DOS MATE RI A l S
13° LISTA DE EXERCICIOS ( L 1�)
F LE XAO GERAL
�- A vig,a da figura fica sujeita ao carregamento indicado,con
tido em um plano vertical que passa pelo centro de gravid;j
de µa seção transversal. Os trechos BC e AB da seção s�o,;
respectivamente, horizontal e vertical. Sendo M • 40tf.cm, 1
, calcular a tensao normal no ponto A.
i _; n:i:ii=11=====*=, -�fi1 �I
-i-A
tem
Sem
E' ' y
� -,-. a:):
NI -
]/
)
Para a seçao da figura,
calcular os momentos 1
principais de inercia e'
indicar os eixos onde e
les ocorrem.
E]- Calcular os momentos pri,ncipais de inércia, indicando os
eixos onde ocorrem�
! 14 cm 1
:t•l t 24 em l
t 12 ~IV)-~- l
1 !
///, /
E o
@
Calcular o momento fletor admissível, sabendo-se que o pla
no das cargas é vertical e passa pelo CG da seção transver
sal.
M = ?
DADO:
2 ci = 1,4 tf/cm
1.0
t t
Medidas em cm
1
16,0
...-,...,j.....----" --=+1º 1 6,0
17 --+d- 1
1
- plano deu cargos
Um pilar com a seçao in
clicada estâ submetido a
uma força axial excên-
trica. Sabendo-se que
a linha neutra é a li-
nha AB, determinar a p~ Sem
sição da carga.
/
·~ . 1
/
6 cm j
/
/L.N.
6 cm ! ( Ll3/6j Calcular a tensao normal no ponto mais solicitado de uma ca
toneira de abas desiguais de 6" x 4" x 3/4", solicitada por
uma força normal excêntrica de -10 tf, sabendo-se que:
a) O ingulo do plano de carga com o eixo x é igua( a 45°
(sentido anti-horário).
b) A excêntricidade e= 6,0 cm do ponto de aplicação da car
ga ê medida com relação ã origem do sistema de coordena
das e no sentido positivo de x e y.
OBS.: Utilizar Tabela de Perfis. (fase. II).
1, 1
i 'I
_E3- Calcular a tensao norinal
no ponto mais solicitado
da seçao ao lado, solici
tada por uma força normal
de compressão excêntrica
de 50 tf• conforme a figura .. - ..
P = 50tf -
�- Calcular os momentos princi
pais de inércia e indicar as
direções principais.
Qual deve ser o ângulo do plano de cargas com a vertical (0) p� ra que a linha neutra tenha a posição indicada na figura.
* As medidas foram tomadas com relação à linha do esqueleto._
* L.N. paralela aos lados inclinados da secção.
20cmJ
L \ \
\
l
10 1 10 j
p
12 cm
t 9 cm
20 i
1 :s o
-r
1 10
-b1
30
t --+-
19 cm
-+-
12CM
+-
112cm
- - ---t-
1
,f r 1
+
i
-1
+9çm
(113/10] A carga� de compressao pode percorrer o segmento de reta
indicado na figura. Determinar as coordenadas do ponto de�
se segmento até o qual a carga P pode se deslocar, a par
tir do CG, sem provocar tensões de tração na viga.
OBS.: As coordenadas do ponto procurado saem em função de
a•
Determinar os momentos
principais de inércia,
i n d i c ar\. d o a p o s i ç ão d os
eixos respectivos.
Desprezar a contribui
ção da solda.
p
24
t o f 20 + . o t
/[2>d:tr-40
CORTE A-A
1.0
Calcular a máxima tensao normal para um carregamento conti
do em um plano cuja intersecção com o plano da seção trans
versal ê o eixo z-z. Este carregamento produz um
fletor de 100 tf.cm que traciona os pontos A e B.
P' o
B
z z
24
A
i IY
18 cm
momento
1
-4- 112
1
Para a seçao discreta
indicada na figura ,d�
terminar os momentos
principais de inércia,
indicando a posição
dos eixos principais.
Para uma força normal
de compressão (N=30tf)
aplicada no ponto A,
d e s e n h ar o d i a grama de
tensões normais.
Calcular os eixos pri�
cipais de inércia da
seçao transversal indi
cada.
o
�1 '3
1
·toem
2
12 cm
1
�
Uma chapa de _seção (2b x t ), onde t << b, deve ser dobrada
conforme a figura. Pede-se calcular o valor do ângulo a pa
ra que a elipse central de inércia se transforme num círcu
lo.
A vigá de concreto da figura e constitufda de uma seção em
"T" assimétrico, conforme figura, e recebe cargas uniform~
mente distribuidas devidas: 3 a) ao peso próprio (y = 2,.5 tf/m ) • concreto
b) a um carregamento àtuando segundo a mesma direção do p~
so próprio e iguàl a 1,35 tf/m.
Calcular os momentos principais de inércia e os planos on
de eles ocorrem.
li I l l l l l l lJ I J J 11 l II i l :E)totol 8cm ti JI~ 1 1
1
1 t 13 10.om,, .
] 1
-
1 e rnmm
1
u
i .. l co
1
\
)20.,201 60cm l 1
1 ' ÍL13/171 Calcular a mãxima tensao normal, indicando o ponto onde e-
la ocorre (tomar cr em mÓdtllo), referente à mesma viga do
exercício anterior.
1113/18} Qual o ângulo que a linha neutra da seção composta da fi
gura deve fazer com a vertical para que o plano de cargas
seja vertical?
d ,. t IY b L1=1
1 üit,y !h 1
b - a~-1Xd x+-- -i--- ___ jl
1 d 1 . _., ri-_lJL,_ 'JI l b 1
,. ' 4=-t IY
\~ V plano de cargos
\ _,_ ___ ..., \ 1
\ ~ 1 \. ~C.G.
\ i \ é:=::::'..et~
U4" ( 10.78 kgf/ m )
Obs: consultar tabelas de
perfis metálicos pa-
ra as dimensões.
(113/1� - A viga da figura estã submeti�a apenas ao peso próprio.
3cm
p
13cm
A seçio i constitu!da de uma canton•ira de abas iguais,
L 4"x4"x3/8". Sabendo-se que ã = 1,2 tf/cm2 calcular o
comprimento! admissível.
(Consultar Tabela de Perfis, f4sc. II).
OBS.: Desprezar o efeito das tensões de cisalhamento,
.- 1 1 1 1 1 : ! 1 t : I
-L--L.....I.-..I.-..L-..L-.L....1....J......i.--1-_,i..-1-....._.,__
........ ,··· ""'"'"'
2c:l'l'I
�--'-,._,,,,,..,,......._.__-+
+�---4---+---------d1t 2 em� ·--4 em--+-
CORTE A- A
1
Calcular o valor admissível
3cm da carga P, na estrutura da
figura, sabendo-se que 3cm
!1.1:i/21] - Numa determinada seçao conhece-se
a) o ângulo (30° ) que o eixo princi
pal 2-2 faz com o eixo y,
b) momento principal de inércia J =4
l = 1000 cm ,
c) J + Jy z
= 1280 cm •
- ,., cr = 1,0 tf/cm ...
'I
,o•\,. \
\2
... T
8 ---t - ,__
1 ' 1 1
1 1 :
-- - - -- - -...--...--.---., ...... -
r--A ! I · '
1 ' 1
1 1
4
e J' • yz
-'' i ,
.... p ...
{113;2d- Determinar e indicar as
direções dos eixos
principais de inércia,
para o perfil da figura,
constituído de chapa do
brada.
--:;;;,
f 113 / 2 3) - Numa viga
uni momento
função de
solicitada
fletor N,
H, sabendo
� flexão atravésa
calcular jcrmaxlque esse reemento
de
em
tra
ciona as fibras inferiores e ê contido num
plano vertical que passa pelo centro de
gravidade da seção,
fa viga, cuja seção estâ na figura, está sujeita M, produzido por cargas
. tidas no.plano passando gravidade da seção.
representada a um momento verticais con pelo centro de
1) Achar os momentos principais deinércia.
2) Achar a tensão normal no� pontosind icaào�.
0.1 a
-' -G
D
.e 1 30
1
+ 1C,G, 1
1 Plano de
'(B
tA
B
E
Ola
H
.\,
10
t F
-y
A
3) Desenhar a linha neutra e calcular a maior tensão normal, indicando oponto onde ela ocorre. 0,1 ª
+!--A ___
G13;2sj- -Determinar:
a) Momentos principaisde inêrcia.
b) Eixos principais esua direção.
c) Linha neutra,
d) Tensões máximas ,
e) Diagrama das tensõesnormais.
p,i 10 tf
1 /
8
20 y
.. p 1
� =r t,t 3 l,f 3 \
1 -,-2 _,_
Calcular o valor da carga P (de tração) admissível, sendo
2 O= 1,5 tf/cm
L 3 11 X 3 11
X 3/8"
S = 13,6
b = 7,62
g = 0,953
2 cm
cm
cm
J = J = 74,9 X y
1 1 = 2,92 cm
12 = 1,47 cm
x = 2,26cm
cm
-Uma carga P de compressao
faz com que a L.N. tenha
a posição indicada na fi
gura. Determinar a posi
ção de mais uma carga P
de compressão, de tal mo
do que a nova L.N. passe
por AB.
b ! X
--t· xi
24cm
1 1 cm
t
8J v, N !
B
f 113/28} O material de que é feita a viga segue o critério da ener
gia de distorçio.
A seção ê indicada ao lado, Calcular P, sabendo que
1,2 tf/cm 2 e que Pé de compressão.
a. = 1
DADOS:
U 4" (10,79 kgf/m)
L 1 1/2" X 1 1/2 11 X 1/8"
J y
y e
= 31,25 cm 4
4 "'226,12 cm
z = eixos auxiliares
J = 19,84 cm yz 4
d '. d tPonto e op ICOFO\ do corga P
�cm�-f�-� +-1
3,81
\
4,37em
! 5,1 cmi
cs� \ 15,1 cm
\
0,85 cm
4
1
--+-1
(113/2~ - Sabendo-se que a carga Pê de tração, calcular o seu maxi, 2
mo valor admiss1vel com Õ = 1,2 tf/cm. 4
p
med Idas em cm
A seção de uma viga ê composta por dois perfis U, conforme
mostra a figura. são supostos dois tipos de carregamento,
sobre ela:
I) momento fletor contido num plano que forma um ân~ulo
de 30° com o eixo 11T. t"'t-T'\+- .... VT1ô ..ç:~ f"Ytt'i"'"".I ,J J, '- \.J LL ,.l.. V .L l.'I C J.. .J... :..__:., V. ..L 1(,.,1. O
II) carga excintrica P de traçio aplicada conforme a figura.
z
Pede-se:
a) calcular os momentos principais de inércia e os eixos
principais de inercia.
b) obter a posiçao da linha neutra para os carrega~efitos
(I) e (II),
- 2 e) calcular N e P sendo dado o= l tf/cm ,
e.IM
/ / -+
6cm 12cm
CI _,_, CI : :-·-iSem
L----1----' =p em
cargo P ) 1 11 b l ~
(±) /'\. plano de coroo do / memento fletor
DADOS'. 4 Ja= 89 6 em
.Jt>=272cm4 ------------'
(113/31) - A seção da figura está submetida a um momento fletor (M)
provocado por cargas verticais, que passam pelo CG da se
ção. Sabendo-se que o material da referida seção tem a •
1,0 tf/crn 2, calcule o M (momento admissível).
N o n
.,. oo
40
p ()1
()
Medidas em cm
j 113/3 2 - Sendo dado cr = 1,4 tf/cm 2 , calcular P, cuja direção contém
o C.G. da seção transversal,, 10 cm t t
1
,
1
,
�.
-r : � CORTE A- A
1
E CG t t:: 1 cm(,)
� 1
1
) plano de / 1 1
5cm 1 i
cargo
�- Para a viga da figura, com carregamento indicado P (tra-� - -
/ 2 çao), pede-se o valor desta carga dado: a "'0,8 tf cm
118cm
1 9 cm
4 cm
6cm
p p -
--t --=---� 9cm
1~-~:·~· -----------------! 1
1
l
1
1
1
•
1
ICJ
1 _µ>,:Sm
i
j
3 3
2m +-A . 1
~
----+-i
-~n----· l _l_
4 cm
1
- 2 Dado a= 1,2 tf/cm , pode-se calcular o valor admissível da
carga excêntrica P,
-! 1 1 1
~I s;t-1
1 1
1
D /
p'-
-=r----------+-
EI u v
~ p -
E u s:t
1
2,5 1 2,5 2,5 cm
Determinar P para o pilar (solicitado por compressão -excen-
trica) com seçio indicada na figura.
OBS.: 1) Não hâ flambagem
2) Dado: a= 1,2 tf/crn 2
D E /
Cantoneira: 3" x 3" x 3/8"
Perfil U: 6" (12,20kgf/m)
ponto de aplicação da
carga P (compressão).
,
14f:I LISTA DE EXERCICIOS I L 14)
1 RESISTÊNCIA DOS M ATERIAIS TORCÃO GERAL E CENTRO OE CISALHAMENTO
� � S a b e n d o q u e a = 1 , O t f / em 2 , c a 1 cu 1 ar o v a 1 o r d a d i me n s ão a
para que o carregamento da figura seja admissível, Para es
se valor de�, calcular a rotação da seção onde estâ o mo
mento MT.
20 cm
+
+
to em
10 cm
""{-� ----L .... --4)_:. 1 � 1 /
G 11 800 tf/cm2
�- Determinar a relação entre os módulos de resistência ã tor
ção, e entre as rigidezes relativas à torção das vigas A e
B cujas seções são dadas na figura. Sabendo-se que a viga
B � submetida a um momento torçor de 100 tfcm, pede-se cal
cular o esforço no cordão de solda,
soldo 2 1t1lda
1, 2 2
40 � �
40 t ( medidas e1TI cm )
�-Calcular as tensoes principais no ponto A da seção do en-
gastarnento, indicando as direções dos planos onde elas o-
correm.
p
50 em t
50 em
21 ffl'I
~- Uma barra ê constituida de duas peças de seção retangular
(20x2cm) soldadas como indica a figura. Estando as extremi
dades da barra engastadas, calcular Tmax em cada peça qua~
do se aplica um momento torçor Mt na emenda,
Sitçõo A-A /soldo rª koem ~~=============!~2=c=m==~',==~~ f ~t•l5tf.m L.e
1 m t 2m __ .,..12_ocm
~- Calcular o momento de inércia e o módulo de resistência
torção da barra cuja se~ão está indicada na figura.
1
1
-11,,,--,.,-- ~
0100
. -
(114/6)- Dar a expressão da constante c da mola, em função de E, a e
t, para que na viga da figura só haja flexão.
p
D N
�- Uma barra de 4m de �om;,rirr1ento tem a seção indicada ao lado.
Sendo T = 0,8 tf/cm , calcular o m@rnento torçor admissível.
Para esse valor do momento,calcular @ �iro relativo das duas
extremidades. ?
'faterial: G = -SO') tf/cm�
._____. _ ___ __ 4_0_c_m ___ __ _ ----+--r.::
==========;:l
º=·=:5 =c=m========::::;-,
i + 1
\ !
0,2 cm 30cm - >-- 0,4c��._
r 1 1114/8)-
1 1
1 o.s cm
Traçar diagramas de momento
fletor, momento torçor e EoE
ça cortante da viga abaixo,
DADO: E= 2100 tf/cm-
25cm
C= 500 Kgf/cm
l 150Cmr
[g- A viga da figura esta sub
metida a, um momento �orçor
Mt = 1,5 tf.cm. Calcular o
deslocamento vertical do
ponto A. 2 G == 800 tf/cm
__ -+'1.L3'--'3 cm 2tf
,__,.._,,,__""'""- =±cm
10cm
6C:lltl
CORTE A-A
i ) i 15cm
\ 15cm Mt __ +-
®
l
?
X
-~~----------ºMt ·~ ____ / í@
t 2Dm t
· ·--
1.
1
X•.ocm
1,0 • •
11~;10 - 3 barras de aço (G = 800 tf/crn2
) de mesmo comprimento -sao
submetidas ã torção conforme indicado. Suas seções t rat).s
versais são, respectivamente, as indicadas nas figuras A,
B e C. Calcular para cada secção:
M = valor admissivel do momento aplicado. t
~=máximo valor do ângulo de que urna secção extrema pode
girar em relação ã outra sem que seja ultrapassada a
tensao admissivel de cisalhamento.
,C,tnt t 0,5cm =F .... e_::=_-_____ ...,._;_t! ........ + .... : ; ____ -__.3
® t IO cm t 0,5!f"-- _
JE Ili o,s~
@
~ • A viga da figura, cuja seção ê mostrada ao lado, e submetida,
em sua extremidade livre, a um
momento torçor Mt• Sabendo-se - 2 que t = 1,0 tf/cm e G = 800
t f / e rn 2 p e d e- s e ~
a) o valor de Mt admissível
b) com esse~, o valor do gi i' t -roda extremidade livre.
1 1 o.s , __ - - _J
j 7,5 un -t ©
~ 1.112,om
-h-~Oem 1 em
40cm 2cm
3cm
t 10 em f
{114/12) - Determinar a expressão de P em função de x.
9- = 30 cm a = 80 kgf/cm.2
Usàr o critério de energia de distorção.
p 1(
pl
t t t T0,5 cm
10 em seçéJo do vlgo
()Mf +-
X
I, 114/lJ-
1 ..__ __ _
Dadas as constantes elásti
cas da barra de aço:
E= 2100 tf/cm2
'l "' O, 3
?ede-se:
.ACalcular a relação� ' ')
para que o Donto � nao
se desloque,
20
tA
borr-o do aço
( medidas em cm l
ao
a
\
r
Is
� Calcular os módulos de resistência à torção e os momentos de
inêrcia à torção das seções indicadas.
50 em
[Ll4/ls)- Calcular a máxima tensão ideal na viqa da fi�ura pelo critério de energia de distorção. Calcular·tambêm a força por unidade de comprimento na soldada viga onde estâ aplicada a carga.
DADOS: J 4 4 2 = 00cm , P = 500 kgf , G = 800.00C kof/cm , XX ,::,
60 cm
p
20 cm
20cm
espessura da chaoa = ô,2cm
n
-.......
10 cm
[Ll4/lr,]- Calcular o desloce.nento vertical
DADOS: 20 f' r = c rn \J =
p = 80 kgf c =
~ p flp e.e.
1
t lm
i 1
(114/171- Ut1a viga
indicada
.,.. com seçao
na figura
está submetida a um
momento torçor
= 200 tf,cm.
' (
" :e
t
Calcular o valor de
T max
Sabendo-se que T 2 = 0,8 tf/cm ,
calcular a relação entre os mo
mentas torçores (Nt) e os eiros da e~tremidade B nos se
guintes-casos:
a) - fechada secçao
b) - aberta A. seçao em H dJ
Pede-se: a ·a Nb
e - . <bb
soo 4r T;
A
e
f. t) ponto A•
tf/cm 2
lt T = 0,4-cm
F>
1 p
20 cm
40 m t
0,1 cm
I! ..
!i 1
0,2 cm 1
4 O em
\ / \ / \ / \ . I \ 1 /
e ... 30° 1 2 =============ª· e 'IA t
l \JI /
\ / G .. 800 tf/cm t 1,5 m o
1
t= cte.~ 1 cm
(Ll4/l� - Para a viga cuJa seção ê mostrada abaixo, determinar a po
sição do centro de cisalhamento,·Sabendo-se que o material
da viga segue o crit;rio da energia de distorçio, com a. = l.
= 1,4 tf/cm2 e que o máximo giro permitido é �2 (15 ° ) de-
terminar a carga admissivel �' sendo dado G = 800 tf/cm2 .
rzzmtt:
22,, ,z"1 1je
't . . cm f
P 5,0cm P
(Ll4/20I- Para a seçao indi
cada ao lado (A),
calcular J� e W 1. t
nos casos: -
a) secçao fechada-b) secçao aberta
em A,
Para a se_ção da
questão anterior(A),
acrescentando nervu
ras (casos B e C)
quais são os novos
Jt e Wt?
.j
30 c.m
secção
A
....... ---
5,0 t
( B)
t=cte. = 0,1 c m
e= ct e : o, l cm
( A)
�- �- ----
20 cm t 5.0
t " e te " O, 1 cm
- - iJI'
+
"-1 \
1,0 cm
10cm
-��
---, o-,o-c_m ___
l o-.-o-c
_m _ ___,l,__s_,
_o __
(C)
20,0 cm
t11 ct.e : 0,1 cm
10cm
• s ' • • • • • . A a • • li ..
---------- 1 . t ~5,ocmf
t, 111 •íl lf n 11
C~ª z I z z z z z 1 ;:;;Jtc-
"
1 __ ,_
/
G14/21j - Para a viga horizontal da figura as cargas
próprio e o peso do enchimento indicado.
-sao: o seu peso
Calcular cr. na borda superior. Desprez~r o efeito da for irnax 3 -
ça cortante. p . = 7,e tf/rn p = 1,0 tf/m 3 viga enchimento
,.~
~ ,120 cm j f
12cm j toem -
f 10 cm j
12cm
l
l
10 cm
2
j
10cm
(1 1 4 / 2 2 j - D e t e r mi na r o v a l o r m ã xi mo a d mi s s Í v e 1 d a c ar g a P u t i i i z a n d o
o critério da energia de distorção.
Calcular o deslocamento vertical do ponto A, iuando se apl!
ca a carga do item anterior.
DADOS: -1, 4 tf/cm 2 a = ,.,
E 210() tf/cm t'.. = ?
G = 8()0 tf/cm~
t = 1
1 , O cm
t = 2
1,0 cm
h = 20cm
b = 10cm
9, = 1,0cm
OBS.: Desprezar o efeito da força cortante.
t b l
i p
- - ==tt, ~ -12 h -
1
J. 1 '+ - - tr
(114/2� - Uma superfície ABCD serã revestida de 10 placas de argama�
sa armada prê-fabricadas. Calcular a mãxima tensio de ci�
salhamento causada pela adaptação das placas planas i su-
f<? • ,er 1c1e reversa.
D
1-toem
-10� /
/
// 1_······ ..... fa>d.-,
/A5.,
/ e• so{=
j......_ _______l 7-�---------=:...----,---7---+- 1,2 cm -=f=-c:::==========::::::::1
E ir t 50 ooo Kgf/em2
}J x 1/6 /
� m f
f 114 / 2 4] - D e t e r mi na r a p o s i ç ão d o e e. n t r o d e e i s a 1 h ame n t o d a s e ç ão i n
clicada na figura. A seção ê obtida com chapa dobrada de es
pessura constante (t=2cm). As cotas se referem ao esquele-.· -
to da seçao.
oem
Determinar a posi
ção do centro de
cisalhamento,
em 20cm
h::: 10cm
b 111 10cm
J114 / 2sf -
------
________ __))
1 1
~ 1 -t•m 2· ~-+-- l 40
ftl4/26J - Achar o centro de cisalhamento para a secçao indicada na fi gura.
espessura constante
o, re o e== a/20
0,?5 o
(114/27)- Determinar o valor da carga admissível P) na viga em bal~n
ço esquematizada ao lado, usando o critério da energia de 2 distorção com cr. ~ 1,4 tf/cm.
l
VI 90 eo, Oolonço r 0,2cm
rr- ---' 1 1
íl-3 em
a- Dada a viga e o carregamento (vide
figura ao lado) determinar a dimen
são da aba (dimensão~ indicada)
para não ocorrer torção.
OBS.: Desprezar o peso próprio da
viga,
LO m t
1 ·:: +p
1
L 1
--+ se1=io do Vigo
--r,: ----1 1 t=cte=0.9cm 1
l ... _____________ ...,_ i2cm l4Cm f o= ? 1
(114/2� - Para a montagem da estrutura que vai receber o esforço to�
çor de 100 ttcm, estão dispon!veis barras de aço de diime
tro 3/4", 1 11 e 1 1/2 ". Sabendo-se que o material segue o- - 2 critirio da energia de distorça-0 com a= 1,4 cf/cm , per-
gunta-se:
a) Qual o menor diâmetro que pode ser utilizado,
b) Qual i entao a mixima tensão ideal na estrutura e onde
ela ocorre.
E 111 2100 tf/cm 2
ISc:m
12
IOOtf/m 15
50 cm i ,ocmt
µ = 1 /3
15 cm O.Sem
0.5 12cm
5cm
Sem l 115,cm
�// -i-
{Ll4/3� - Na seção do engaste (ponto A), calcular as tensoes princi
pais no ponto Ida seção transversal, sendo P = 0,6 tf.
C.8.
2 em 12cm
2cm PERSPECnVA
t 6 cmt
SEÇÃO TRANSVERSAL
(114/31] - Calcular:
1) Momento torçor admissível:
a= 1,0 tf/cm 2 (usar e.E.D.)
2) Giro por unidade de comprimento:
G = 800 tf/cm 2
80 CM
40cm
?S)lffl'l _ __,_2'> m 55cm
40cm
12,0mm
r~l4/3~ - Dada a viga da figura abaixo, calcular:
1) O valor admissível de P.
2) O deslocamento total do ponto de aplicação de P,
DADOS:
a= 1,4 tf/cm 2
perfil U 10"(22,77kgf/m)
E= 2100 tf/cm 2
G = 800 tf/cm 2
O material segue o critério da energia de distorção.
OBS.: Levar em conta o peso próprio e desprezar o efeito da
força cortante,
t---- ____ ] 'l 2,0 m 1 P
[ L 14 / 3 3) - P ar a o eixo
TI a) - e
TII
da figura pede�se, para os casos I e II:
b) A força cortante exercida sobre cada um dos 12 rebites,
desprezar wperpo1icõo
supondo
30cm
T
<
t= constante= 0,2cm
re blte
CASO n
O• •t 30cm
( L 14 / 3 4} - C a 1 eu 1 ar W t e J t par a a se c ç a o e 1 ma x e cp p or uni d a d e d e
comprimento, quando se aplica um momento torçor de 4 tfcm.
1--- -- - - --
1
1
1
a/20
+
1 ! a
_L __ -=-:::::---=-=::---.::::---__ -_=-i_.l 20
T = 6 tfc ( . m caso
t 20 cm ~
[114/35) - Comparar/a resistência ·e a rigidez ã torção das secções indi
cadas.
1 ---·-li 1 1
-l ..!Y'º 1
1 1 1
1 ----- -----'
o
+- 2 o
r;----::::;;----1 '-----------... 1- - - - - - ' - - - - -1
o li -~: li o/10 JEJ/10 11 ...... ,,,_e... -,
1 1 1
·:o: ~ 1 1 o/10 o/10 1 - -1
1 1
T -li . jt l!:! - - - - - - - -~
r 1 ,
I_ - - _L ____ IJ. : • 1 :
~ - - - J - - - - - - -'
t 2·Q o t o
[114/33 - Para os perffs :baixo, o c~lculo exa~o indicou respectivame~
te JT = 28,5 cm; 120,0 cm; 51,6 cm • Determinar, utiliza~
do a espessura média das abas, o erro (%) no cãlculo dos mo
mentos de inercia ã torçao.
30~
• mEid Idos ~ mm·
(114/37} - Dado o pilar com
s,ção aberta sub
metido aos esfor
ços P e Mt indi
cados na figura,
achar a máxima
tensão ideal.
t 139
7.5
mE1didas em cm
t !
251 17.1
22 2 p:: 40 tt
2
(1i4/38I - Calcular P pelo e.E.D.
- 2a .. 1,4 tf/cm
Desprezar o efeito da força cortante.
dtepruor efeito
40 co rtante
6 cm
(�'i4/391- O material da viga da figura se
gue o critério da energia
distorção. Sabendo-se que 2 -
• 1,4 tf/cm, calcular P.
de
(J ..
Com es
se valor de P calcular o desloca
mento vertical do ponto D.
OBS.: as cotas se referem ã li
nha do esqueleto.
r 1
1
[�14/401 - Determinar a posição �o centro de ci
salhamento para a seçao abaixo.
t = constante = 0,5 cm
f114/41) - Calcular wt
30cm
li 'Cffi
·- ".., 1 _J 1 t= l R..J ·,.o m
f 114/42] - Dadas as seções abaixo (A e B), de duas vigas com lm de com
primento, solicitadas apenas por momento torçor, calcular:
a) Mt admissível nos dois casos, sabendo-se que o
segue o critério da energia de distorção e ã =
material 2 1,4tf/cm ;
b) A força na solda, por unidade de comprimento, quando se
aplica, no caso B, o Mt do item anterior;
c) Os giros relativos entre as seções extremas, quando se a
plicam, nos dois casos, Mt = 1 tfm,
DADO: G = 800 tf/cm 2
Medidos em cm
1114/43) - Calcular o valor admissível de P e o deslocamento vertical
do ponto A, localizado ao nível da seção E-E da viga,
6,0cm
2 T = 0,8 tf/cm
G = 800 tf/cm 2
t =constante= 0,5 cm
10,5cm
60cm 6,0cm
IE ~ 2 em t 2 em t 2 cm
(114/44) - Uma barra de seção celular,
cuja seção esti mostrada ao
lado, serâ solicitada por
um momento torçor de 4,8tfcm,
Determinar o mínimo valor da
dimensão�' sabendo-se que
o material da barra segue
1-
1
1
1 0,1cm 1 1 �-
t 2a
0,1cm O,lem
- .r
t 1
1 l-0.2.
1 0,1cm 011cm 1
0,1
_\_ 1
f ª, o critirio de Coulomb cbm:
2 cr = 0,8 tf/cm (tensão admissível de compressão simples)c
crt = 0,4 tf/cm 2
(tensão admissível de tração simples).
2a
(114/451- Para a viga em balanço da figUra, determinar a carga P ad-
missível, sabendo-se que o material segue o critêrio da e
nergia de distorção.
cr. = 1, 2 tf/cm 2
l
t g • 50 cm
t =constante= 0,1 cm
�14/461 - Qual o máximo valor de�, sabendo-se que o ponto B pode se
deslocar na vertical, de no máximo 0,6 2 5 cm, e a tensao de 2 cisalhamento admissível do material ê T = 1,0 tf/cm .
t == constante = 1, O cm G = 800 tf/cm 2
rt
: 1
r
i!
� o
1 ® /
40cm
l u
400 cm_--+
t!Oem
t t t 4 0 em 30 cm
-4
p
[114/47) - Determinar o centro de Torção
da seção ao lado,em função do
momento de inércia ã flexão e
das caracterfsticas geométri
cas mostradas,
t = ete.
-t--R --------..----R-
(114/481.:. Calcular o centro de cisalhamento para as seções abaixo.
t = espessura constante
~14/49)- Calcular o valor admissfvel da carga P pelo critêrio da
gia de distorção.
1
l
2 a= 1,5 tf/cm
2,0 m
1
p ! ~
espessura constante= 0,1 cm
TT I~2cm J p
R
la 1
'ª
ener
(ii4/Sol - Para a viga mostrada na figura abaixo, cuja seção e vista
em detalhe, pede-se determinar o momento torçor admissível
pelo critério da energia de distorção com ã, = 1,4 tf/cm 2 • l
Sabendo-se que o material da viga tem G = 800 tf/cm2, ped�
-se tambêm o giro da extremidade livre para aquele momento,
4,0cm
]VIGA
�$º=
4.0cm
f Mt � i 3,0cm '4.0 cm t
o.som------------ -i-
[L14/511- Uma peça componente de uma estrutura é solicitada conforr.1e
a figura e deveri ser dimensionada com urn material que se
gue o critério da energia de distorção, com Õ = 1,5 tf/cm 2 .
Se para a montagem da peça não for encontrado aquele ma
terial, pergunta-se se ê possível construir tal peça utili
zando ferro fundido, com diimetro 2 vezes maior. Justifique.
�-
f 30cm
T = 2, 5 d N
Ferro fundido: = c
T
= 30
O, 8
t
tf / cn12ot = 0,4 tf/cm
Calcular o valor admissível de T pelo critério da energia
de distorção, sendo dado cr 1, 5 tf/cm 2 = .
t'5 cm )T T
� \
r- f" '
I
=�+·,m t l 1 �
\
/ 15cm
__i_ tem �. -4- ,-r
3·0cm l 30cm �
:SO cm 1. 5
7,0cm
2 a
~14/53)- Calcular l\ e Jt
o/20
!._J> a/40 - · • · f
o
i
[114/54]- Estabelecer, utilizando e.E.D., uma fórmula prática para
diMensionar barras de secção quadrada solicitada por mom~n
to fletor e momento de torção.
(114/551- Calcular o mâxiJ110 valor da carga P, de ,,modo que a tensao
de cisalhamento seja igual a 1,0 tf/cm~ e o deslocamento
vertical do ponto A seja no miximo igual a 1/500.
1 4 cm f2"crm · p
1 --+ PHP ~ \4cm
0,!3 llffl -·t- ~
14cm
--+-
·! "
, --i~m
{114/5~ - A viga da figura tem secção retangular vazada, obtida pela
soldagem de uma chapa dobrada. Determinar o ~iximo coDpri--mento sem solda, no trecho indicado, de modo que nao seja
')
ultrapassada a tensao T = 1 tf/cm~
solda ucão do trecho
a D + A
J-A~ ~ D ~ t = 0,5 cm cm --+
t 30 cm ~ 60 cm 1
t 6 cmf f 6 cm f
(Ll4/571- Para a viga de seçao celular da figura abaixo, pede-se dete.E_
minar o valor de P pelo critério da energia de distorção sen
do dados:
----
CJ o
"' X
-.......
5 o
ln
--
cr. = 1,2 tf/cm 2
1.
4 J = 262,66 cm XX
100,0 cm 1 p
l
r-1T
-- -,- 1
1
1
1 -�-. -- ·-
1 1
5,0 cm
1
1 t = cte =, ..._. 0.4ar
�-------1 CG -1
1
1
1 1 1
�
5,0 cm
1 1 1 !e 1 f()'
f/=seqão =f:I:. 1 1
X ·--·1 1 �------1 1
1
1 li) 1 1
1
1 ,-t----· 5,0 cm-+-
fL14/5� - Determinar o deslocamento vertical do ponto de aplicação da
carga P = 5 tf.
E = 2 ,100 tf/crn 2
G = 800 tf/crn 2
OBS.: As chapas ABCDEF e GHIJKL são rígidas.
t = lc m(ch l
secõo"O"
o li")
secõo"Q"
pB G
A----+---��--+-----.._-�L
�
I
. t QJ 1(
j.,, 60 cm + 60cm l
,-
i E' (.) 1
01
21 !
i 11
r F
. -
]_ l 1
~ 1
1
! _J_ ..
{114/59) - Uma ponte ferroviária tem a seçao transversal mostrada na fi gura. A máxima força cortante Q correspondente a um trem ti
po passando sobre a ponte, em uma certa seçao, vale 690 tf.
Para essa seçao pergunta-se:
a) Qual o valor de Jt
b) Qual a máxima tensão de cisalhamento que ocorre devido
torção e em que trecho ocorre.
1,3 cm 1,3 cm
1,6cm E CJ
1,6cm 8 li)
2,5cm 2,5cm 2,5cm
_ ____,,___3_5_0_c_m _____ 3_00 cm pso_ cm --.-----
1114/60 - Sendo a= 1,5 t/cm2 , calcular o valor admissível de T pelo
critério da energia de distorção. Para este valor de T, cal
cular o valor de máximo ângulo de rotaçao, sendo dado C =
800 t/cm 2 .
2T
T
50 cm 50cm 1 1 1
~- No cálculo de eixos de máquinas
ção, é costume substituir esses
momento ideal que e considerado
espessura " 0,5cml solicitados à flexão e tor 1
esforços solicitantes por u: 1
como momento fletor. Usando
o critério da energia de distorção, deduzir uma fórmula para
o momento ideal no caso de seção quadrada.
OBSERVAÇÕES:
1) As cargas que produzem momento fletor estao
contidas num plano perpendicular ao lado qu~
drado.
2) Desprezar as tensoes de cisalhamento produzi
das pela força cortante.
(114 /6 2) - Qual a relação entre os coeficientes das molas k1/k2
para
que a estrutura da figura só esteja sujeita a momento tor
çor.
z -
b
b
t (cte.)
,,--Mt
CC
h
se�ão tra nsver11al
(1
o
a "" b/2
h = 2b
b ·t =
2Q
t == O, 5 cm
,�14/631- Calcular o valor admissível de T pelo critério da energia de
distorção e o ângulo de rotaçao da extremidade livre.
Dados: cr :::: 1, 5 t / cm 2
G 800 t/cm =
1(2T
30cm l !50 c m
(114/64)- Para a estrutura da figura -3seja igual a 6,5,10
Dados: E 2100 t/cm 2=
µ
espessura o, 5 cm
determinar Mt de modo que o E max
== O , 5
(e= constante l
2
f_ . -
~14/6~ - Calcular o Centro de Cisalhamento da seção transversal indi
cada.
3a 4a 3a
--~-~-:::--~7:;i f.osa r----1 1 1 1
~ - 2 ~- Dado T = 1,0 tf/cm ,
Para este valor de P
to A.
1 1 1 I 0,03 o 40 1 1 1 1 , ....... _....., ___ 1
'------- __ 1
0,030
calcular o valor admiss{vel da carga P.
calcular o deslocamento vertical dopo~
P p P/2
~1------,o-o_c_m ___ ----1i P/2
A
t = espessura= cte = 0,5 em
G = 800 tf/em 2
~ ~">
7 (,,~
,,a.,
RESISTENCIA DOS MATERIAIS 159 LISTA DE EX E R C Í C I os ( L 15)
FLAMBAGE M
§]- Seja a coluna da figura. Calcular Pft (carga de Euler), saben
do-se que E= 2100 tf/cm2•
p (caroo cêntrlco l
, ,,
24 cm
;
t a
em
i �- A lâmina de aço indicada na figura faz parte
de um sistema regulador de refrigeração. O
projeto requer que, para um aumento de temp�
ratura de 40°, a lâmina dê contacto com um
dos dois terminais A ou B. Por razões cons
trutivas a lâmina deve ter seção O,lxO,S(cm).
Avaliar qual deve ser o comprimento da lâmi
na para satisfazer as condições do projeto.
Coeficiente de expansão térmica: 2xl0-S ºc-l
E= 2100 tf/cm 2
Secõo A A 1
e
� - Um certo material segue o diagrama ªft x À indicqdo. Calcu
lar Pfl para a coluna da figura,
1 ;;;, õ1e
l Kof/em 2 >
i 2cmj 1 "°" jf
m
1100
u r 7
2,5m 6cm A A
2cm
100 ----+--SEÇÃO A-A
1
40 À
___,_
B e
0,1 cm
_1 _
~- Determinar o máximo comprimento (i) do pilar. Utilizar a NB-
14.
l '°t' p
t
5"X S' x 3/4'11
Obs: utilizar tabela dosperfís metálicos para as dimensões,
~-Calculara carga admissível P para a coluna de aço,
Obs: Usar as f6rmulas da NB-14.
p secçao da Coluna
~- Calcular a carga admissível para a coluna de
material considerado ·é aço 37. 10 cm
r p
E u
N
E v
Secção
j /
aço
E \1
ui IO 1
-~t 51
IO i 1
indicada. o
10cm Li ~1
---t --Í
12 cm j
� - Para a coluna de ferro fundido com seção indicada, calcular o
máximo Vqlor de P. Supor coeficiente de segurança igual a 4.
Obs: Usar as fórmulas de TETMAJER.
l
..:
l 6 l l jO circuito elétrico da figura deve entrar em funcionamento
o quando houver um aumento de temperatura de 50 C.
A lâmina é de aço e deve ter as seguintes dimensões:
9, = 10cm a == 0,5cm
Avaliar qual deve ser a dimensão b da seção para que o sis
tema funcione conforme re-Bateria
b
b
querido,
Coeficiente de Expansão ter
mica da lâmina:
ct =
2 E= 2100 tf/cm
6
-~li>-----
·-
-p
6 o -1 2.10- ( C)
- Calcular a carga P de flambagem,
Dados:
PERFIL U:
d= 1,2cm
J = 158cm4
Jy = 13,3cm4 ... x 2 area = 10,1cm
E A A
PERFIL I:
J = 250cm 4 X 4
J = 32,1cm _Y 2 area = 14,3cm
E= 2000 tf/cm 2
sec:,õo A-A
t0.2 cm
V
E u
"!. 2
[ 11snoj- O escoramento de vala esquematizada ê feito com madeira pero
ba rosa. Sabendo se que os perfÍs disponíveis para as escoras
são de 6x12 cm e 6x16 cm, escolher a mais conveniente.
200kgf/
-~.
6m
2m
200 kgf /m2 V AÇÃO" ( pressão do solo)
E = (peroba rosa
= 94250 kgf/cm 2
a = 85 kgf/cm 2 e
{11s/11) - Para o pilar de peroba rosa mostrado na figura, determinar a
mínima dimensão "d" de modo que a viga resista ã máxima car
ga possível. Com esta dimensão, determinar a carga admissí-- 2 2 vel, sendo dados: ª� = 85kgf/cm , E= 94250kgf/cm
Desprezar a contribuição da alma no J , J e S da seção. y z
···- d?t,
1,0,11111
y
3,0
l(
y
otma ( VISTA f'lE LADO)
[115/12]- Na estrutura da figura a barra BCD ê rígida e as barras AB e I
A
r·f 3m
B
º:iml 1 1
2,5m 1 2.,5 m
E
E 1D
D
\
DE tim se�s circulares de,
respectivamente, Sem e 2cm de
diâmetro, Sabendo-se que o
material dessas barras é aço - 2
(at
= 1,2 tf/cm), calcular
o valor admissível da carga
p •
1115/131- A barra, cuja seção ê indicada, é de um material que segue o
diagrama ºfe x À da figura. Para À < À
l ocorre a flambagern
plástica segundo uma parábola, cuja tangente para À= O ê ho
rizontal, Para X> A1 ocorre flambagem elástica segundo a hi
pêrbole de Euler, com coeficiente de segurança 2. Sendo E=
2000 tf/cm , calcular P com À= 80.
"'ht Oo = o. 8tflem2
SECÃO 6
ªº I
ÕIOO
2 2
t 2 !2 i 4- t 2 i 1 p p
À,= 100 À --:� I �
l - -
2
1,
---
(1{s;14) - Para a coluna da figura,
determinar o valor de P , cr sendo dado:
E ... 100 tf/cm2
(medidos em cm)
e N
e N
{115/15]- Determinar o comprimento 9.- admissível pAr 0 a "'"trutura de
ferro fundido da figura.
Adotar: Coef~ciente de segurança= 4 E= 1000 tf/cm
P• IOOtf +4,621 g j l 15,24 cm
t secõo da viga
1 y,
Medidos em em.
,
chapo de aço
[115/16} - A care:a P indicada cresce lentanente de P =
Sejam:
O até P=P r
61
: deslocamento horizontal do ponto C.
6 2 : deslocamento vertical do ponto R.
E 0 hocar o~ gráficos:
õl X p
tA 1
/J.2 e B X p • A ' ~
J/2 1Hf00
1 1 . ' CI p
..b-......,_ !'f'l17i/1'/
circular de
t dia metro d.
[11s/1d- A NB-14 fixa a tensao admissível de flambagem
gião de flambagem no regime plástico (O < À <
para o aço,na re
105), pela rela -
çao seguinte:
(1 2 -
fe = 1200-0,023 (tensao em
kgf / cm 2)
Se a relação acima (equação
de uma parábola do 29 grau)
for substituída por uma rela
ção linear (equação de uma
reta), calcular o maior erro
(%) cometido no t recho cita
do.
�-1)
O < À < 10 5
� Supondo que o numero de
contraventamentos seja tal
que a capacidade da colu
na seja mâxima, calcular
a cérga P �dmis�ivel.
2) Qual ê o numero mínimo des
ses contraventamentos para
que a carga admissível se
ja a do item 1 ?
OBS,: Fazer o cálculo pela
NB-11.
Pinho do Paraná
a = 51 kgf/cm 2
e
2 E = 1052 2 5 kgf/cm
NB·l4
-relo f:1io
propctto
.L-.-----.1-----� 106
-·
flambegam --+-� flaabas•• no regime ao regimeplástico elã1tieo
p
�;\ ��
o
e, o
i o
o
contraventomento
-
-, o
- .. CI
.---, '
2,s_±: i
t
[115/1� - Duas vigotas de madeira de 6xl6cm (peroba rosa), foram co
ladas de modo a constituírem uma coluna que deve ser capaz
16cm
.,
-
de resistir uma carga de compressao P. Calcular o valor de
P admissivel nos casos I e II,
Peroba Rosa: E= 94 2 50kgf/cm 2
t 6cm
16 em
a= 85kgf/cm2
c
CASO I
�;;::
2,om
2,0 m
CASO Il
1
""-Contraventamento lateral (segundo
d1 reções y .y e z. z)
� 6cm ,li///
� - Para a coluna da figura ao lado pede-se determinar o valor
da carga admiss!vel � nos casos A e B, sabendo-se que a
mesma ide aço 37 (utilizar �B-14),
Coluna
/ I
'-
I 10"(37,8 kgf/m)
300cm
Secões
-
solda
) -
- A -
't.,I 10"
soldoO"
--z---I10"'2-:r 1
Bob&. medidos em cm
CARACTFFÍSTICAS DO
PERFIL
2 S = 48,1 cm
J = 5140,0 XX
cm
J yy
4= 282,0 cm
1 ·y
4
TIO"
-( (
1115/2� - � coluna, cuja seção é dada na figura,
e. articulada nas duas extremidades. Sa
bendo-se que a seção transversal e cons
tituída por úma chapa de aço de 0,5 cm
de espessura, dobrada conforme a figu
ra, e que a colu�a esti sujeita a uma
carga cêntrica de 10 tf, pede-se o com
primento miximo da coluna.
(115 / 2 2] - e a 1 cu 1 ar o raio de giração
-
., . m1n1mo, i . 'min
see6o transversal
( medidas em cm l
-
da seçao da figura.
2 (medi dos em cm 1
1
2
t12
1115/23] - Na montagem da estrutura
de aço foi cometido um
erro na barra AB de 0,10
cm (esquema I). Calcular
o valor admissível do car
regamento aplicado sobre
a estrutura (esquema II).
E = 21 O O ·t f / cm 2
2 a= 1,2 tf/cm
Seção circular de�= 4 cm
c:,squemo I
1
t
E 1()
11:t'
euquemolI..
_fit ,__ ---
A
;,_! .,.;
�15/2 � - A coluna da figura é de peroba rosa e tem seçao circular com
d = 20 cm.
Fixando-se a esbeltez em À = 100, calcu
lar:
a) o comprimento l e a respectiva carga
admissível P,p .
cri t b) o coeficiente de segurança s= p
,
sendo P 't o calculado pela teoria cri
de Euler.
DADOS: NB-11 E= 94 250 khf/cm 2
<J = 85 kgf/cm 2
c
[115/25)- Para a estrutura da figura pede-se determinar a carg.:i. admissí
vel q, sabendo-se que E= 2100 tf/cm 2 e a = 1, 2 tf/cm2 . N:
caso de flambagem, usar as fórmulas da NB-14, pois a estrutu-
ra é de aço 37.
Para a viga AB
4 J = 5140 cm
3 W = 405 cm
DADOS
Para as b a.rras:
BC-+ Seção circu
lar,qi =1,0cm
BD e BE-+ Seção
circular,c/>= 2 ,0cm
e
q
[li 1111111111111l1Í111111111111111 II
A
2,70m l 0,30 ! 0,30
EoIO
o
--
ô
e ~ . •
l
J. =?
1
-+
[LlS/26) - Dada a seção do pilar da figura _e sabendo-se que À = 100 pe
de-se calcular o comprimento de flambagem tf.
120
l40
1 20 1 1� 'p
i ·-·-·+
40 !f
(medidos em cm)
f11s/27] - Quai o máximo
normal esteja
t do pilar BC (aço 37) de forma que a tensão
na iminência de atingir ªft' Usar NB-14.
ttf / m _.......,.........,..�-r-,---,-r-,--r-,----r,-.-T-.----i,.----.-,-,-r-,-,-.--,-r,:-,-.-r.--r-.---r-rr,m '--1111 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 � li 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 li, 1
tlm 2m 3m
� 10cm +
r:: - - - -1
1 1 1
( secão do , pltor)
o N
1 t = constante = t cm
1,
e ,------�
f 10cm
t
----·
A 1
--
T
- = ---
[115/281. - Qual o máximo valor da distância a para que a carga de 30 tf seja admissível?
DADOS
Seção das colunas AB, CD
10cm
2,4m
t 1 1
10 l I t
B D Material = aço
3m Usar dados da NB-14.
(115/29]- Escolher o perfil I adequado para cons
truir a coluna da figura.
Observação:
1) Usar fÕrmula de Euler com coeficiente de segurança 2.
2) Verificar a validade da fÕrmula de Euler,
3) Tendo escolhido o perfil, fazer uma verificaçio pela KB-14,
Determinar a carga admissível na treliça,
~/2
1') aço: 37
2 2) a= 1,2 tf/cm
3) - da barra seçao
com ~ = 8,0 cm
-
Q = 4 m
sendo dados:
BC -+ circular,
4) seçao das outras barras -+
i/2 s 9 2
= cm
5) ,Q, = 3, 00 m
OBS.: Usar as fórmulas da NB-14.
Calcular o valor de a para que- a coluna esquematizada na figura tenha a mâximã capacidade de carga possível. Devido a problemas construtivos e outros, devemos ter O<a<40e. Para esse valor_ de a calcular a carga admiss!vel usando f;rmulas da NB-14. -
Seção tronBVtrsol.
4,0m
Uma coluna de peroba rosa com a seção dada abaixo, estã su jeita a uma carga P e � articulada em ambas as extremida-des. Pede-se esta carga sabendo-se que:
1) o comprimento total da coluna =
= 12 m.
2) na direção do eixo yy a colunaesta contraventada ao meio.
3) na direção do eixo xx a colunaesta contraventada de 3 em 3m.� 2
4 ) ·a == 8 5 k g f / cm c
2 E = 94250 kgf/cm
[115/33] - A coluna da figura, contraventada 1�
teralmente e articulada em suas ex
tremidades, recebe uma carga de 24t.
Determinar o comprimento da coluna,
sabendo que ela i feita de ferro fun
dido. Utilizar coeficiente de segura�
ça 1igual a 4,
OBS.: O < À < 80 utilizar TETr�JER
À > 80 utilizar EULER
X
oontrovtntomtn t@
StpÕo 4 x 12 em
.! -��rn...it _!. __
T y
--
Dim~nsionar a barra AB de seção
circular, para que o sistema es
trutural resista ã máxima carga
P possível de ser aplicada.
A barra CD ê de seção quadrada
de 6,0 x 6,0 cm.
OBS.: Utilizar as fÔrmulas
NB-14.
B
o
D
e .. -
,\
As barras AB e CD -sao de aço com~= 1200 kgf/cm 2
[115/35] - A barra cuja seção ê mostrada abaixo, e constituída de un, material com as seguintes características:
1) Diagrama tensão
2) Valor do !ndice haver flambagem
x deformação
de esbeltez a partir do qual começa a (À= 50).
3) No trecho onde ocorre flambagem plástica a relação entre crf~xÀ ê linear.
______________ e
+- 6 em -+----h 1 cm
Determinar P para~ =
= 80 com coeficiente
de seguranças= 2.
0 e
0 p
= tensão de escoamen 2 to= 2000 kgf/crr
= tensão de propor
cionalidade = 2
= 1600 kgf/cm
E= 2.000 000 kgf/crn 2
(Ll5/3~ - Os extensômetros A e B estao colados na
superf!cie da barra da figura corno indi~
cado. A carga P cresce desde zero atê
seu valor crítico. 1
Esboçar os gráficos das deformações me
didas por A e Bem função de P. A 1 1 1 a
1 .
1
p
t1° ~
[115/37] - Para a coluna da figura abaixo, determinar o ângulo ex de modo
que a perda da estabilida-
de ocorra do mesmo tempo
----
segundo as direç5es princi
pais.
Para esse a, determinar o
..l:5m P,
1115/38] - 1) As colunas da figura serão de um material elástico,
E= 1,500,000 kgf/cm2. qual o coeficiente de segurança
do em relação à tensão crítica de flambagem.
com
usa
2) Se as colunas forem de aço (NB-14), qual a margem extra de
segurança, em relação às tens6es admissíveis (de flambage�.
. p=lôtf/m
l 1 ! 1 1 1 r 11 1 l PI I l 1 1 1 1 1 i 1 1 1 11 11111
IOlC 10 cm 015cm
2 4m 4m
Urna coluna ê construida com 3 tâbuasde peroba rosa, formando a seção dáfigura. Considerando a coluna articulada nas duas extremidades:
-
1) a partir de qual comprimento hãperigo de flambagern? Qual ê a carga admissível para uma coluna desse comprimento?
2) a partir de qual comprimento passa a valer a fórmula de EULER? Qual é a carga admissível então?
OBS.: Usar as fórmulas da NB-11.
IOx 10cm
2m
2,20m
1
14,00m 1
1
-ij l __?,
5
2 ·-·,-·-· 2
1
1
-t- 30 ______ t_ ?fe = 8 5 kgf/em2
E = 94 250 kof /cnf
r
---~---- ----------------
lL15/39J-~ I' --- 1 -~-s o ,..,
1
{115/40]- Pede-se .determinar o valor da carga 1' aplicada na viga de
peroba rosa da figura, nos seguintes casos:
1) A carga t. ê de tração e estâ aplicada no ponto A da se
ção transversal.
2) A carga N ide compressão e esti aplicada no centro de
gravidade da secção transversal.
são dados: E == 94250 J,gf/cp, 2
ªe = (tensão admissível de tração) = 200 kff/cm 2
a = (tensão admissi~el de compressão)=85kgf/cm2 c
1 t
plano de 1 slmttrlo
1 80 cm ' i. 11,25
(1.15/41) - Consi<lera~do várias barras de aço com a
mesma seçao da figura, mas diferentes
comprimentos 1ft' çual ê o valor li~ite
de tf! no qual a f;rmula de Euler perde
sua aplicabilidade,
(115/42}- Quantos contr'aventos devem ser
usados para que a carga P seia a
máxima possivel? Qual ê a carga
P nesse caso? (a~o 37).
1 1
10cm
1 10 cm 1
E , u : 1
... 1c_m_,,_~ _,._f __ 20_c_m_~--t--: l_c_m
-+-
(115/431 - Determinar a carga máxima admissível para a estrutura abaixo.
E= 2000 tf/cm2
2 a= 1,2 tf/cm
Obs.: Utilizar,para as barras comprimidas, os valores de a dados pela
NB-14.
O ponto D está contraventado lateralmente.
[115/44) - Calcular o máximo valor de P nas seguintes situações:
_._._2=-c m
z p CG
'----+----' �. rz cm
y
�.,_+
a) 9, = 2 m
b) ,Q, = 4 m
Obs.: a cantoneira ê
de aço 37.
[115/45] - Uma certa liga de alumínio tem o regime plástico de flambagem no intervalo 18,5 < À < 64. Nesse intervalo a tensão crítica ê dada por:
ªft = 3150 - 22 À (kgf/cm)
A coluna da figura tem a seção indicada e ê feita com o material citado. Usando fator de segurança 4, determinar a carga axial admissível (P).
2.5ct-
t4 cm
/ 2 j 4 em
1
2..5 5 em .5
4 em
250 cm
1'
5cm
l 1 - [
~,__ 1 .....
__ ,...,._
7
1
2
[115/4aj - Dada a coluna de pinho do paraná,
E= 105225 kgf/cm 2
sendo cr = 51 kgf/cm 2 c
15 em
a) Calcular p para
b) A partir de qual
c) Abaixo de qual 9,
flambagem
9, = 2m
9, vale - hâ nao
p ~-1
Euler ,..... __ ~,5Cffl
25 cm 15 cm
{115/47) - Calcular a carga admissível P. DADOS:
a= 1,2 tf/cm 2
E= 2100 tf/cm 2
Barra BC: circular com d=3,&cm
Obs: Estrutura em aço
Medidas em cm
'A ; ;+---------...-tg ~
1 e ~êt----------.... , D
(115/48] - Calcular o valor da carga admissível P da estrutura abaixo.
Dados: a= 50cm
flecha na porta do balanço: f 3 = p,\>, /3EJ
Barras AB e CD Barra BD
21x~6 -21~0 6 2. / . 2 E N/cm E = N cm =
15xl0 3 ') 3 2 N/cm t.. N / cm a .- a = 21xl0 4 e
J1= 11500cm Àl. = 100 i m
s = coef. de segurança = 3
A i p
Barras BD Barras AB e CD
z 34 cm
1cm
D e 1 cm1l6cm H, cm
t o +
2g t yi
{LlS/49)- Sobre a viga prisniatica da figura(!) seção indicada na
figura® está aplicada uma carga P no meio do vão. Pre
tendendo-se aumentar o valor da carga P, ê coloGada uma
escora metálica conforme figuraG)
ta.o
I.S Cffl
Pede-se determinar:
a) O valor da carga P sem escora para que não sejam ultra - - 2 passadas as tensões admissíveis da viga - cr = 12 00kgf/cm
b) ô valor da carga P com escora, para que o coeficiente
de segurança da escora seja 3. Seçao transversal da es
cora também figura 2.
c) O deslocamento vertical do ponto c (item b).
d) As tensões máximas na viga no caso do item b.
são dados:
v''º"º de
carga
1 1
1 2 cm
E = 21000 tf/cm 2 t = 4,0 w h = 4, Or.-:aço
Para À< 105 + ªft = 1 2 00 - 0,023 A 2
À > 105
Al t12
+ ªu,
=
(t; '2.
e
FIG.
2 2 TI E/3�
FIG. 2
-- -----------"-�- --- --
(11 s Is o] - Calcular a carga admissível P, sendo dado:
- 2 2o= 1,2 tf/cm e E= 2 100 tf/cm
Para a barra comprimida usar as da NB-14.
1/)1
-1_,
1 1 f() U)
--
B
8
10
me-d idas em cm
t
h ,;escora
FIG. 3
- ~· ----------
1
1
f ~
il ,] ~ ~ A T
1
~ - A carga Pê admissível. Determinar uma forma de contraventa
mento, a fim de que se possa dobrar a carga P. A seção da barra ê composta de quatro perfis "U" iguais, con
forme a figura 1. Este perfil "U" ê mostrado na figura 2.
DADOS DO PERFIL "U":
h = 30,5 cm
J = 5370 x-x cm 4
b = 7,47 cm
J = 161,1 y-y
OBS.: Utilizar a NB-14
1
1 l 1
4 cm
1!5 m 11 1 1 . l
figura 1
obs:Utillzor o NB-14
S = 39, 1
X= 1,77
)(
figuro j 2
2 cm
cm
(ârea)
~15/52)- A coluna de aço da figura será cravada no terreno atraves da
aplicação de uma carga crescente P (a partir do valor zero),
aplicada centrada na extremidade superior. Sabendo-se que o
terreno reage linearmente ã penetração segundo a expressão
K~x (K = 500 kgf/cm), determinar o máximo comprimento a ser
cravado óx para que esteja garantida a segurança contra a
flambagem segundo a NB-14.
E o IJ)
o f()
CORTE B-8
t = con st.
1,0cm
30cm
(115/53] - Para a estrutura da figura, a carga N pode ser de compressao
ou tração em relação à chapa ABC. Pede-se os máximos valores
de N de tração e compressão de modo que as tensões na estru
tura sejam admissíveis.
N j_ D
1 1m
1 B
3m lm
1
17m E : 2 100 tf
E 1
1 cm
2cm
20cm
2om
4cm
2cm
seçcfo transversal
coluna BE
Hcão transvenal
chapa ABCD
2Obs,: O material da coluna BE segue a NB-14 +a= 1200 kgf/cm
O material da chapa (ABCD) tem tensao admissível a = 1400kgf/crn '.i
i�lS/541- Para�= 1,5 m, calcular o valor admissível da carga P.
Para que a carga admissível seja o dobro da calculada, qual
deve ser o comprimento�?
Fazer o cálculo pela NB-14.
Material: aço
lf)
1
-+-------f--------,1-
E e.>
-1 \,f,.,Lf,~LI
(11s/ss) - Calcular o valor admissível da carga P, nos dois casos:
a) R- = O, 7 5 m
b) R- = 1,25 m
Fazer o cilculo pela NB-11
Material: madeira
r a = 126 kg/cm 2
c E ==
t
2 141000 kg/cm
15 cm
15
~15/561 - Determinar o valor admissível da carga P (uniformemente dis
tribuída) sabendo-se que:
1) A chapa BCDF ê rígida.
2) As barras AB e DE tem seção transversal retangular de
3 x 4 cm.
3) A barra FG tem s~çao transversal circular de diâmetro 1-
gual a 7 cm.
4) O material das barras ê o aço (CA-24 ou 37) e segue a
NB-14.
E N
E D
\ 1,5 m j
1,5
4.0 m
G
-4~ 1
el 1
+
16� LISTA DE EXERCICIOS (L 16) DOS MA TE�IAIS RESISTENCIA
CALCULO DE DESLOCAMENTOS
�- Dada a estrutura ao lado,
pede-se:
1) Traçar os diagramas de
M, N, Q,
2) Calcular o deslocamen
to do ponto A,
DADOS: EJ = constante
= 4, O m
OBS: A barra AB e inexten
sivel.
+--
2tf/m
ltf/m
EJ: cte.
D
� A estrutura da figura irá receber carga vertical uniforme
mente distribuida p = 0,5 tf/m na barra BCD. Após esse car
regamento pretende-se anular a flecha no ponto C através
de um esforço horizontal no apoio móvel. Pede-se calcular
esse esforço.
B
A
�- Catcular o deslocamento
horizontal do apoio B,
sabendo-se que:
L
E = 2000 tf/cm2
Área da barra de S =2 = 10,0 cm
Chapas ACE e BCD
EJ • 2 ,0 108 tf/cm2
e
EJ = cte
4m
D
+-
E
D E
2,0m
4,o m
3,0m 3,0 m
1 1
,2 m "
1
,
+. -r
,
borro li
~- Para a estrutura abaixo, calcular o giro relativo da
barra 8-9
E 11 2100 tf/cm2
2tf
1,5 m 1,5 m 1,5 m
(Ll6/5J- As chapas AB e BCD for
mam, entre si, inicial
mente, um ângulo de 90°.
Apôs a aplicação da car
ga de 2 tf em e, qual
s~rã o novo ângulo entre
1,5 .m
as duas chapas? 6 m
EJ • 2 x 10 7 tf/cm2
2 S .. 2,0 cm
l,Sm
t e
2,0 m
4m
e
[116/6 )- Calcular o deslocamento vertical na extremidade E, e o
giro no apoio A.
DADO: 2 E'"' 100 tf/cm
2tf
J .. l 80000 4 cm J2 .. 40000 cm
ltf/m o.eu
J1
,. 1 I •
1 3,00m i
1
1
3,0om
1
·1
e
: 1
E
; 1 1 ' _ r--2, OOm -t--~~ 4,00 m --~ ---r-- 2, OOm _1 _ 1
1 1
1 1
2tf
4
-4-t-----•�.a.!,IO�ffi!!._._---+t---4..'...111L=.O..:.:.;m'---:---
---:-..,--�tf
h; @ -t---1 �--�----:-74U
� m 1
!
Calcular o giro da barra 2-3
sabendo-se que
2 S • 1 O cm
E .,. 2000 tf/cm ..
ltf/m
e j l t j j j j l v6 1 j ] D,-----_.,_____
e
Para o pórtico da figura,
calcular o deslocamento
horizontal do ponto Q e
4,0m
P= 3tf
4,0 m
__... ____ A
2.0m 4,0 m.
E}--+--- ---- - -- &ffi..
3,0
3,0
j 4.0m
4,0m
E
o giro relativo entre as
chapas ABC e CDE.
E .,. 200 tf/cm2
J '"' 105 crn4
Calcular o deslocame�
1to do apoio B, sendo,
dadas as cargas (ver
figura) e
J .. cm
2·10 cm
E ... 2000 tf/cm2
')
____ ".'." __ _
~ 1
4
~16/10)- A treliça foi montada com diagonais ri\'edindo 2,S2 m. QtÚ;il
a flecha no meio do vão? Indicar claramente o sentido da
flecha.
~50 11,50. j 1 t 1,50 1 1,50 t !._~O
t
- Determinar o deslocamento total
1,5 m
, 1,5cm
~ 1,50 t 1,50 1
t
)< /\
\ 2,50 m \
do ...
9. no p: 3 tf
E; .,. 2100 tf/cm 2
* Área de todas as barras 2 S = 3,0 cm
~16/l~ - Determinar o deslocamento horizontal do ponto D.
EJ,., constante
A o
B
p
i -~---- .,..c ___ o
1 '
a 1 :
-ª+ª-~-+-
\.1tf/m
[116/13} - Calcular o giro da
eli�tica no apoio A.
2tf
ll11llllJlll611'
®
---t--1 1
®
4m
4m
4 m
(116/141- A estrutura da figura, quando solicitada por um momento de
6 tfm no ponto B, apresenta no ponto A uma flecha de 6 mm.
Calcular a flecha no ponto B quando se aplica no ponto A
uma carga de 5 tf.
�.O m
-�----... A _________ .._,,:;;.-_-__ ..-)
6tf.m
,.A; ... - &mm-7<- 1 - - - - - - -,#::;:. 1
1 A'
:5,0 m 4, Om I l, 5 m --------.--------- +·-----
t 5tf f3'.__+__
i - --
f:? ....a.:.:lf' _________________ -::zL_�..::.......,-- -- -+-
/Ili//!//,;- - - - _ _ _ _ -� 8
/EJ • cte
Calcular o deslocamento
de aplicação da carga.
DADOS: J • 10000 cm4
vertical do ponto
E • 2100 tf/cm2
EJ • constante
-t-- - -- t------------------....,J' 2 t1
( ,,
-t----1
1 ....
------------ ... ------------- -- l
EJ Ili 2 X 10 7 tfcm 2
-- 1-) f 7/rtm
1
,
y rmrtr,1
~----~ ~-
'®'
1 -
----1
--- T :
-- ---~i- .
' r----~~
1
1
1
r.
/
1 'f#t'r,, ..J.l_
"iil7177
t \
.. - ~3.iOm_ 1.0 m '
j 1
J116/l6j - Determinar o deslocamento do ponto
B e a rotaçio em B,
DADOS: EJ • constante
2 sen cf>d<P • 1/2 (cj>- 1/2 sen2<f>)
2 sencf> cos<l> d cf> • 1/2 sen <f>
A
r
p ___.,. 18
1
t r 1
-+-1
[Ll6/1~ - D~terminar o deslocamento horizontal do ponto B e a rota
çao em E.
DADOS: E• 2100 tf/cm2
ltf
B e
J .. 10 000 0,25 tf/m
o
4 cm
4m
1
3m 4m 4m t--t-----+--------+--------+- 1
!Ll6/laj - Calcular o deslocamento vertical do ponto c.
E .. 200 tf/cm2 J = 3,Sxl05cm4 EJ = constante
~A I
:Xe
+--2;. T --t -- 2m_
E16/19]- Calcular o desloca
mento horizontal
do ponto A (apoio
mÕvel).
E .. 2000 tf/cm2
J "" 10 6 cm4
. 2 S • 10 cm
1
t 2m
M = l ltf.m. o
5m
-1>-
, 3 m
ft16/20j - Calcular: a)
b)
DADOS:
deslocamento vertical do ponto 5
deslocamento vertical do ponto 3
3tf
5
E,.. 2100 tf/cm 2
Secção das barras ""
Cl:"'-------r.r------"""iJ
2 "" 5 cm
f116/2� - Calcular o deslocamen
to total do ponto e.
Desprezar o afeito da
força normal
10 7 2EJ ,.. 3 tfcm
� 2,0m
4
2,0m
2m
B
j 2,0m l 2,0 m
2m
e
�5 m
1,5m
º-t-
14m
\ '"
[116/2� - Determi�ar a distância vertical DF apôs a aplicação do
carregamento indicado.
8
2 E= 2000 tf/cm
J .. 20 000 cm4
E
4m f
2 m
tt f ,h;i
A
~
A
O. tf/m ~~,,
llfL '7'l'?7'mt'
j ,
l
E .,.
--,,-
Calcular o giro
ticulação B)
relativo entre as chapas AB e BCDÊ (na ar-
3 DADOS: E ,.. 2 • 10 2 tf/cm 4 cm 2s 1111 1, O tm
· Lôtt/m 2 tf i 1 1 t 11 l 1 I 11 1 1 t I f 1 11 i 1 1 11 t 1 1 11 11 11 111 f I l • i 111-t-"'
B
!5.0 m 3,0m
e o
EJ·
2,0
E o
vi
f16/24] - Calcular as tensões máximas no pÕrtico e no tirante da fig.
30cm t
15cm
--- -
P "" 0,3 tf
Desprezar o efeito da força
normal, no pórtico, no cál
culo da deformação.
(Ll6/251- Calcular o deslo.camento vertical e o horizontal do ponto C
e� constante da mola
OBS.: O trecho BC i um quarto da circunferincia de raio a.
e
f:J CONSTANTE 1'1
� A <
l I
j l a a
11•:;,." ____ ,.,,,
_____ :::---·--------~-------- ------- -~------
--
· .... ~1-; _ _.I
· ~-6-cm·-'-l· --
o
1116/26)- Calcular o deslocamento vertical do ponto B.
7 2Para o trecho AB: EJ • 10 tf.cm
Para o trecho BC: EJ • 105 tf.cm 2
IOOthm '-
'
4ffl 1 +
1
2m ____f
(116/27) - Calcular o deslocamento horizontal nos casos I e II, do
ponto B.
r
G)
3m
E .,. 2 000 tf/cm 2
J"' 20000cm 4
t @
......... l------+-�m- - � .. E• 2000 tf/cm 2
S • .1 O cm 2
f116/2a} - D�terminar o deslocamento horizontal do ponto B e a rota
çao em E.
DADOS: E• 2 100 tf/cm 2 J • 10 000 cm
0,25tf/m 1 tf
e D
4m
E
'\\\ 1
4m 4
, 4m
+ T
4
rn
~16/2~ - Calcular o deslocamento do nó 5.
· 2 2 E·• 2 000 Cf/cm. S • fO cm
4tf ~
1,5m
l,Sm
2
' 13u ---2~,0_m ~·-~
f116/3~ - Traçar diagramas de Momento Fletor.
P = 1tf/m
EJ = cte. 4m
2m 2m
[116/31]- Calcular a relação entre os deslocamentos verticais do poE_
to C das estruturas (D e @, sendo C o ponto médio de
BD
3m
0
e S= 10
2 em2
J = 2~104cm4
E= 2.100tf/em2
4m t 3m t i Jm
® l 2tl
e 10 em2
102 em4
2tf
E = 2..100 tf/em2
i 3m
(Ll6/32l- Calcular: a) deslocamento vertical do ponto D
b) deslocamento vertical do ponto E
2 EJ 1111 31250 tfcm P • 2tf K • 1 tf/çm
-1-. _50_cm _ __.j.-c-5_0_em -----i
0�50_c_m___,ld"""' I(
E IJ
o liO
l� l 6 / 3 31 T Calcular o giro em A.
4
4m
J "' 4000 cm
E .., 2100 tf/cm 2
/ ltf/m 12U
l�t�l-I ........ l ........ l ·· ........ 1 --,.-• -r.-tla(-.-t ....-l ...-+ �l -.--+ -.--1 .,......,* I_ ll!lllllllllilillllllllli1lllllll!lllllllllllillllillllllllllllillllllll-llllll!l!!lllllillllllllllillllllll-
2J 2J
2m 2m 2m
D
E
N
0,51.f/m
Traçar o diagrama de Momento
Fletor.
Â
4m i 2 m
A e B
1
l T T
(116/35]- Calcular o momento nó · engastam_entt> �
lp l· EJ= cte.
1
t 11
to o a 1 Q
t
(116/3� - Determinar o deslocamento total do ponto G.
E 2 000 tf/cm 2 r ...
J 103 4cm
s .. 1 2 R cm EJ= cte
p .. 2, O tf e E
R .. 100 cm R
A � F..,......-:
R 'R
'
fl6137j - Determinar o coeficiente k da mola para que o deslocamento
horizontal do ponto C seja nulo.
2 E ,.. 2 000 tf/cm
J ,.. 104 cm 4
�&_!n-��
4 Otf I O, 75m__,J..... -+-
i 2,om
o 10,75m
i 1, 5 m
J
1
D -
G i------1-,., t
_1 r
{116/3� - Determinar o valor admissível da carga P, sabendo que a
flecha máxima não deve ultrapassar 2 cm e que cr • l,4tf/cm
OBS.: 1) Utilizar NB-14 para a análise das barras comprimi
das. 2) Todas as barras possuem ... (S•4,64a mesma area
(2100 e mesmo E tf/cm)
3) Todos .. -impedidos de movimentarem os nos sao se
L,O m
4)
t,Om
ra do plano. J "" 6 ,60 cm 2
X
I.Om 1,0m
J • 14,53y
,JT 1,0 m
-+-
2 cm
y
y, l
f 1 16 / 3 9) - C a 1 eu lar o g ir o no a p o i o D •
EJ ""2 x 10 6 tfcm2 n/'l,2tf/m
r-rl l -rrl l"J l"J rrl l TT'7l l l'f
B e
0,6 tf
A Q_
2m 1 4m -+------+-- -�--+�
�16/40] - Determinar o_
deslocamento horizontal do ponto E
O trecho CD e rígido.
7.A;,,:
;,
2 cm
� l, Om
B
e
ts- 1 ..
E• 2 000 tf/cm 2
cm
E l,Otf
D
2,0m
3m
2 cm)
fo-
2 cm
2
L li/2~ ,112"x l/811
,-----<1) -- •
L O,B tf ----- .
4
/
/
r
Calcular o deslocamento horizontal do ponto F,
DADOS: EJ = 2 x 10 7 tfcm 2
,.,
ES = 4 x 10 .) tf
-
mesma seçao transversPl,
A
3,0m
(116/421 Dados EJ = 10 7 tfcm
para toda a viga e
a constahte el3sti
ca e da mola.
Determinar o giro
da estrutura no po�
to A.
OBS.: Desprezar a
cortante e a normal
_na chapa A BCDE.
e
0,5 tf/m
2tf
j N O,S U/m
6,0m -Jlf
0,4tf/m
2,0m
E ,..... __ ... D
3,0m
e
0,4tf
Determinar o desloca 4m 4m ------------+-
menta vertical do
ponto e.
2 E = 2000 tf/cm ;
J = cte para a� colunas
AB e DE = 10 4 crn
4
S = cte para todas as
barras da treliça = 25cm
B cJ 3,6 tf
1 ! 1
/ I
/