8/15/2019 Geometria 1014 i
1/26
MATEMÁTICAS BÁSICAS
SEMANA 5
GEOMETRIA
PEB
2014 - I
J. SOTO S.
TEOREMA DE THALES
1
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GEOMETRIA PLANA
1. TEOREMA DE THALES. Tres o ms re!"s #r$e$s% &e"erm'(( so)re &os o ms
re!"s se!("es se*me("os #ro#or!'o($es.
EF
DE
BC
ABT
L L L H
=:
: 321
A
B
C
D
E
+
1 L
2 L
3 L
2
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GEOMETRIA PLANA
TEOREMA DE THALES. COROLARIO 1. To& re!" #r$e$ ,(o &e $os $&os &e ,( "r'(*,$o
&e"erm'( e( $os o"ros &os $&os se*me("os
#ro#or!'o($es.
BA
C
D E
EB
CE
DA
CDT
AB DE H
=:
:
A B
C
D E
CA
EC
CB
DC T
AB DE H
=:
:
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GEOMETRIA PLANA
TEOREMA DE THALES). COROLARIO 2. E( !,$,'er "r'/(*,$o e$ se*me("o ,e ,(e $os #,("os
me&'os &e &os &e s,s $&os es #r$e$o $ "er!er $&o e
'*,$ s, m'"&.
A B
C
M N2
),):
.:
AB MN b AB MN aT
medios puntos son N y M H
=
4
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GEOMETRIA PLANA
APLICACIONES DEL TEOREMA DE THALES1. TEOREMA DE LA BISECTRI INTERIOR. Los $&os ,e &e"erm'(( ,( /(*,$o '("er'or &e ,(
"r'/(*,$o so( #ro#or!'o($es $os se*me("os ,e
&e"erm'( $ )'se!"r' '("er'or &e$ /(*,$o so)re e$ "er!er$&o.
A
B
C
M MC
BM
AC
ABT
Aángulodel erior triz bi AM H
=:
intsec:
5
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GEOMETRIA PLANA
APLICACIONES DEL TEOREMA DE THALES2. TEOREMA DE LA BISECTRI ETERIOR. Los $&os ,e &e"erm'(( ,( /(*,$o e3"er'or &e ,(
"r'(*,$o so( #ro#or!'o($es $os se*me("os ,e
&e"erm'( $ )'se!"r' e3"er'or so)re e$ "er!er $&o.
A
B
C M
CM
AM
BC
ABT
Bángulodel exterior triz bi BM H
=:
sec::
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GEOMETRIA PLANA
SEMEJANA DE TRIANGLOSDE+INICI6N.Dos "r'/(*,$os so( seme7("es s.s.s. "'e(e( s,s "res /(*,$os'*,$es 8 s,s "res $&os 9om:$o*os res#e!"';me("e
#ro#or!'o($es.
<
A
B
C P
=
R
P! ABC
!
BC
P!
AC
P
AB
y
!C B P A
∆≈∆⇔
==
===
,,
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GEOMETRIA PLANA
CRITERIOS DE SEMEJANA
. PRIMER CRITERIO DE SEMEJANA. Dos "r'/(*,$os !,$es,'er so( seme7("es s.s.s. "'e(e(
&os /(*,$os res#e!"';me("e '*,$es.
!oro$r'o. Dos "r'/(*,$os re!"/(*,$os so( seme7("es s.s.s. "'e(e(
,( /(*,$o *,&o '*,$.
>
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GEOMETRIA PLANA
?
E7em#$o. E( !,$,'er "r'/(*,$o% e$ #ro&,!"o &e &os $&oses '*,$ $ #ro&,!"o &e$ &'/me"ro &e $ !'r!,(@ere(!'!'r!,(s!r'"% #or $ $",r re$"'; $ "er!er $&o.
!"a#T
!radiode#$r#uloel enins#rito ABC H
2:
.,:
=∆
α
α
M
A
B
CH
2R
!
)
"
!"a#a
"
!
#
M A#onre#t triang sonambos BMC AHB
DEM%&T
22
)..(
.
=→=→
==∆≈∆ α
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GEOMETRIA PLANA
CRITERIOS DE SEMEJANA
). SEGNDO CRITERIO DE SEMEJANADos "r'/(*,$os so( seme7("es s' "'e(e( ,( /(*,$o '*,$
8 $os $&os ,e $o &e"erm'(( res#e!"';me("e#ro#or!'o($es.
C. TERCER CRITERIO DE SEMEJANA. Dos "r'/(*,$os so( seme7("es s' "'e(e( s,s "res $&os
res#e!"';me("e #ro#or!'o($es.
10
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GEOMETRIA PLANA
RELACIONES METRICAS EN EL TRIANGLO RECTANGLO TEOREMA.S' se "r $ $",r 9% !orres#o(&'e("e $ 9'#o"e(,s e( ,("r'(*,$o re!"/(*,$o e("o(!es se ;er'!( $s s'*,'e("es
#ro#os'!'o(es.
11
)A
B
CH
9
m (
!
222
222
2
2
2
111)
)
)
)
)
)
ba" '
#abe
bnan
a
a
b
bm#
m
#
#
b
d
b"a#"
#
a
b#
mn"n
"
"
mb
BHC AHB ABC a
+=
+=
=→=
=→=
=→=
=→=
∆≈∆≈∆
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GOMETRIA PLANA
AREAS1. AREA DE N PARALELOGRAMO. E$ /re &e ,( #r$e$o*rmo es"/ &&o #or e$ #ro&,!"o &e
$ $o(*'",& &e s, )se #or s, $",r.
COROLARIO AREA DE N TRIANGLO
E$ /re &e ,( "r'(*,$o es '*,$ $ sem'#ro&,!"o &e s,)se #or s, $",r.
12
)
9
)
b" A PA!ALEL%( =
b" A2
1=∆
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GEOMETRIA PLANA
PROPOSICIONES MAS COMNES =E SE ERI+ICAN CONRELACI6N AL ÁREA DE N TRIANGLO.. +orm,$ "r'*o(om"r'! &e$ /re &e ,( "r'(*,$o. E$ /re &e ,( "r'(*,$o es '*,$ $ sem'#ro&,!"o &e &os
$&os !o(!e!,"';os #or e$ se(o &e$ /(*,$o !om#re(&'&oe("re s"os &os $&os
1
A
B
C
9
H)
!
b#senA AT
ABC H
ABC 2
1:
:
=
∆
∆
b#senA A#senA" AHBel En
b" A ABC el En
%N DEM%&T!AC)
ABC
ABC
2
1
,
2
1,
.
=→=∆
=∆
∆
∆
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GEOMETRIA PLANA
). AREA DE N TRIANGLO E=ILATERO
!. OTRAS +ORMLAS PARA EL ÁREA DE N TRIANGLO
14
LL
L
4
32 L A =
∆
A
B
C
R
)
r
!
))()((
2
4
# pb pa p p A
pr A
#ba p&i
!
ab# A
−−−=
=
→++
=
=
∆
∆
∆
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GEOMETRIA PLANA
RELACIONES MAS +RECENTES ENTRE LAS AREAS DE DOS TRIANGLOS.
1.- S' &os "r'/(*,$os "'e(e( s,s $",rs !o(*r,e("es%e("o(!es $ re$!':( e("re s,s /res es '*,$ $ re$!':(e("re s,s )ses.
2.- S' e( ,( "r'(*,$o se "r ,( !e;'(% e("o(!es $re$!':( &e $s /res e( ,e ,e& &';'&'&o e$ "r'(*,$o es
'*,$ $ re$!':( e("re $os se*me("os e( ,e &';'&e $!e;'( $ $&o o#,es"o.
15
2
1
2
121
b
b
A
A""&i =→=
A
B
CM
1 A2 A
MC
AM
A
AT
ABC trianguloel en#e*ianauna BM &ea H
=2
1:
:
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GEOMETRIA PLANA
. S' &os "r'/(*,$os so( seme7("es e("o(!es $ re$!':(e("re s,s /res es '*,$ $ re$!':( e("re $os !,&r&ose("re s,s e$eme("os 9om:$o*os.
1
A
B
C
LH
P
=
RS
9$
M
2
2
2
2
2
1:
,,:
"
H
l
L
A
AT
B P A#on P! ABC &i H
==
==∆≈∆
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GEOMETRIA PLANA
AREAS DE OTRAS REGIONES PLANAS.1. Áre &e$ !,&r&o &e $&o L 2. Áre &e$ rom)o &e &'*o($es & 8 D. Áre &e$ "r#e!'o &e )ses ) 8 B% 8 $",r 9
4. Áres &e$ !'r!,$o &e r&'o R.5. Áre &e$ "r#e!'o !'r!,$r. Áre &e$ se*me("o !'r!,$r
1<
2 L A =
Dxd A !%MB%2
1=
"b B
AT!APEC)%
+=
2
( ) ( )r ! L L Ar ! A #ir#trap#ir#trap −
+=−=
2,
360
21
..
22
..
πθ
2. ! AC)!C π =
BC
AD
R
r
A%B A%BC)!C DEL&ECT A!EA AMBC)!C &E( A A A ∆−= ..:..
A
B
MO
ABCDC)!C+LA!T!APEC)% : AMBC)!C+LA!&E(MENT% :
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GEOMETRIA DEL ESPACIO
EL PRISMADE+INICION.Se &e(om'( s,#er!'e #r'sm/"'! $ s,#er!'e *e(er&#or ,( re!" &e(om'(& re!" *e(er"r' ,e se m,e;e
#r$e$me("e s' m'sm 8 se &es#$ so)re ,( #o$'*o($&e(om'(& &'re!"r'.
1>
dire#triz
generatriz
Bbase :
"altura
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GEOMETRIA DEL ESPACIO
DE+INICION.Se &e(om'(( #r'sms re!"os !,(&o $s r's"s $"er$es so(#er#e(&'!,$res $s )ses% 8 !,(&o (o o!,rre s se&e(om'(( #r'sms o)$'!,os.
DE+INICION.E$ #r'sm se &e(om'( #r'sm re*,$r !,(&o e$ #o$*o(o &e$ )se es ,( #o$*o(o re*,$r% e( !so !o("rr'o se &e(om'(#r'sm 'rre*,$r.DE+INICION.
E$ (om)re &e$ #r'sm es &e !,er&o $ (om)re &e$ #o$*o(o &e$ )se% s se &e(om'(r/ #r'sm "r'(*,$r% !,&r(*,$r%#e("*o($ e3*o($ %e"!.
1?
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GEOMETRIA DEL ESPACIO
AREA LATERAL TOTAL F OLMEN DE N PRISMAE$ /re $"er$ &e ,( #r'sm o)$'!,o es '*,$ $ #erme"ro &e $se!!':( re!" #or $ r's" $"er$.E$ /re $"er$ &e ,( #r'sm re!"o es '*,$ $ #ro&,!"o &e s,
$",r #or e$ #erme"ro &e $ )se.EL ;o$,me( &e ,( #r'sm re!"o o)$'!,o es '*,$ $ #ro&,!"o&e$ /re &e $ )se #or s, $",r.DE+INICION.Se &e(om'( !,)o o e3e&ro $ #r'sm !,8s )ses 8 !rs
$"er$es so( !,&r&os &e $&o .
20
3
2
)(
2
)(
6
4
a,
a A
a A
#ubo
#uboT
#ubol
=
=
=
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21/26
GEOMETRIA DEL ESPACIO
LA PIRAMIDE.DE+INICION.Se &e(om'( s,#er!'e #'rm'&$ $ s,#er!'e *e(er& #or,( se*me("o &e re!"% ,(o &e !,8os e3"remos s'em#re #s
#or ,( #,("o 7o 8 e$ o"ro e3"remo se &es#$ so)re ,( #o$'*o($.
21
piramideladearista
piramideladeapotema
.. piraladealt
baseladeapot .
A
B C
D
E
MH
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GEOMETRIA DEL ESPACIO
DE+INICIONES.E$ (om)re &e ,( #'r/m'&e es &e !,er&o s, )se.P'r/m'&e re*,$r % es ,e$$ ,e "'e(e #or )se ,( #o$*o(ore*,$r % 8 e$ #'e &e s, $",r !o'(!'&e !o( e$ !e("ro &e $ )se.
Tro(!o &e #'r/m'&e% o #'r/m'&e "r,(!& es $ #r"e &e $#'r/m'&e !om#re(&'& e("re $ )se 8 ,( #$(o ,e !or" "o&s s,s r's"s $"er$es.C,(&o $ se!!':( es #r$e$ $ )se% res,$" ,( "ro(!o &e#'r/m'&e &e )ses #r$e$s. S, $",r es $ &'s"(!' e("re $s)ses.
Tro(!o &e #'r/m'&e re*,$r % es $ #or!':( &e #'r/m'&e re*,$r!om#re(&'& e("re $ )se 8 ,( se!!':( #r$e$ $ m'sm.Ls !rs $"er$es so( "r#e!'os 's:s!e$es '*,$es% 8 $ $",r &e!& ,(o &e e$$os se &e(om'( #o"em &e$ "ro(!o.
22
8/15/2019 Geometria 1014 i
23/26
GEOMETRIA DEL ESPACIO
AREAS F OLMEN DE NA PIRAMIDE.E$ /re $"er$ &e ,( #'r/m'&e re*,$r% es '*,$ $ sem'#ro&,!"o&e$ #erme"ro &e $ )se #or e$ #o"em &e $ #'r/m'&e.E$ /re $"er$ &e$ "ro(!o &e #'r/m'&e re*,$r es '*,$ $sem's,m &e $os #erme"ros &e $s )ses #or $ me&'& &e$#o"em &e$ "ro(!o.o$,me( &e $ #'r/m'&e es '*,$ ,( "er!'o &e$ /re &e $ )se#or s, $",r.
o$,me( &e$ "ro(!o &e #'r/m'&e s' 9 es $ $",r &e$ "ro(!o 8 )%8 B so( $s /res &e s,s )ses e("o(!es e$ ;o$,me( es" &&o#or
2
B", P)!AM 3
1. =
( )bB Bb", DEP)!AM T!%NC% ++=3
.
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24/26
GEOMETRIA DEL ESPACIO
EL TETRAEDRO REGLAR.Se &e(om'( "e"re&ro re*,$r $ #'r/m'&e re*,$r !,8)se 8 !rs $"er$es so( "r'/(*,$os e,'$/"eros.
24
A M
N
H
9
3
2,2
12
3
433
3
2
2
a"a
,
a A
a A
T
l
==
=
=
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25/26
GEOMETRIA DEL ESPACIO
1. AREAS F OLMEN DEL CILINDRO CIRCLAR RECTO.
2. AREAS F OLMEN DEL CONO CIRCLAR RECTO
25
r
9 "r ,
r r" A
r" A
T
L
2
22
2
π
π π
π
=
+=
=
9
r
*
"r ,
r rg A
rg A
T
l
2
2
3
1π
π π
π
=
+=
=
8/15/2019 Geometria 1014 i
26/26
GEOMETRIA DEL ESPACIO
SPER+ICIE ES+ERICA
2
R
3
.
2
..
3
4
4
!,
! A
E&F
E&F &+P
π
π
=
=
Recommended